variable aleatoria y distribucion de probabilidad
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VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
ESPACIO MUESTRAL CONJUNTO
DE VALORES POSIBLES QUE PUEDE ADOPTAR LA
VARIABLE ALEATORIA
EJEMPLO: TIRADA DE DADOS
EJEMPLO: NUMERO DE CARAS AL LANZAR LA
MONEDA CINCO VECES
DISTRIBUCION BINOMIAL
•DOS RESULTADOS POSIBLES
•PRUEBAS INDEPENDIENTES
•LA PROBABILIDAD DE UN ESTADO ES UNA
CONSTANTE p
PARAMETROS: n, p.
DISTRIBUCION MULTINOMIAL
•j RESULTADOS POSIBLES
•PRUEBAS INDEPENDIENTES
•LA PROBABILIDAD DE UN ESTADO DE LA
NATURALEZA i ES UNA CONSTANTE pI
PARAMETROS: n, pI
MEDIA POBLACIONAL
EL PROMEDIO DE LOS VALORES POSIBLES QUE
PUEDE ADOPTAR LA VARIABLE ALEATORIA
PONDERADO POR SU PROBABILIDAD DE
OCURRENCIA.
VARIANZA POBLACIONAL
EL PROMEDIO DEL CUADRADO DE LOS DESVIOS
ENTRE LOS VALORES POSIBLES QUE PUEDE
ADOPTAR LA VARIABLE ALEATORIA Y LA MEDIA,
PONDERADO POR SU PROBABILIDAD DE
OCURRENCIA.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONTINUA
EN ESTE CASO LA VARIABLE ALEATORIA NO
ADOPTA UN VALOR ESPECÍFICO SINO SE
ANALIZAN INTERVALOS
FUNCION DE DENSIDAD Y FUNCION DE
DISTRIBUCION
3 5Probability
f(x)
X
FUNCION DE DENSIDAD Y FUNCION DE
DISTRIBUCION
Función de Densidad (tira probabilidades):
f (x)
Función de Distribución (acumula probabilidades):
F (x)
DISTRIBUCION UNIFORME
•PARAMETROS: MAXIMO, Y MINIMO
•CARACTERISTICAS: PROBABILIDAD CONSTANTE
DISTRIBUCION NORMAL
•PARAMETROS: MEDIA Y VOLATILIDAD
•CARACTERISTICAS: FORMA DE CAMPANA,
PRESENTE EN LA NATURALEZA
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION NORMAL
SIMETRICA - SURGE EN FORMA NATURAL
PROMEDIOS - TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
ERROR - USUALMENTE LA DISTRIBUCION DEL
ERROR SE ASUME NORMAL, DEBIDO A LA
INTERACCION DE DIFERENTES VARIABLES
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
PARA UTILIZAR TABLAS DE USO COMÚN, SE
STANDARIZA LA VARIABLE ALEATORIA NORMAL
z = (X - )/
QUE TIENE MEDIA CERO Y VOLATILIDAD 1.
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
MUESTREO
PLANIFICACION Y DIRECCION1- Seleccione los objetivos: Que inferencias necesitamos obtener, y que es lo que no sabemos?
2- Identifique la población objetivo: Sobre quienes queremos obtener conclusiones?
3- Seleccione un marco de muestreo: en esta etapa pueden ocurrir lo siguientes problemas; bases de datos a ser utilizadas no se encuentran completas, error de selección o sesgo de diseño de la muestra, error de falta de respuesta, lo que hace que la muestra no sea representativa.
MUESTREO
PLANIFICACION Y DIRECCION4- Seleccione un diseño de muestreo: como se seleccionarán los encuestados y cual será el tamaño de la muestra.
5- Seleccione un método de muestreo: decidiendo como se recogerán los datos, sea en forma personal, telefónica, por correo, étc.
6- Desarrolle un cuestionario: escriba el cuestionario, decidiendo el tipo y cantidad de preguntas. El error de respuesta sucede a menudo en encuestas de opinión; depende de cómo se formule una pregunta o que tipo de palabras se utilicen se recibirán distintos porcentajes de opinión.
MUESTREO
PLANIFICACION Y DIRECCION
7- Realice un prueba previa del cuestionario: lleve a cabo la encuesta en una pequeña muestra, y vea como evoluciona la misma.
8- Lleve a cabo el muestreo: monitoree los encuestadores para verificar habilidades de entrevista consistentes.
9- Analice los datos: aún antes de llevar a cabo la encuesta, determine el método de análisis de los datos
MUESTREO
DISEÑO DE MUESTREOSDiseño Como seleccionar la
muestra
Fortalezas/Debilidades
Muestra Simple Asigne números a los
elementos de la población.
Utilice tabla de números
aleatorios para seleccionar la
muestra.
El elemento básico de
construcción.
Simple, pero usualmente
costoso.
No se puede utilizar a menos
que se asigne un número a
cada elemento de la
población
Muestra estratificada Divida la población en
grupos que sean homogéneos
internamente y heterogéneos
entre sí.
Utilice números aleatorios
para seleccionar muestras en
cada estrato
Con estratos apropiados
puede producir estimadores
muy acertados.
Más barato que el muestreo
simple, requiere de una
correcta estratificación de la
población.
MUESTREO
DISEÑO DE MUESTREOSMuestra Sistemática Seleccione cada elemento kth
de una lista a partir de un
comienzo aleatorio.
Produce estimadores
acertados cuando los
elementos en la población
exhiben un cierto orden.
Utilizar cuando muestreo
simple o estratificado es
impracticable: e.g. no se
conoce el tamaño
poblacional.
Simplifica el proceso de
selección.
No utilizar con poblaciones
de características repetidas
en forma periódica.
Muestreo por agrupamientos
(clustering)
Agrupamientos (clusters)
elegidos en forma aleatoria y
luego encuesta de cada
elemento del cluster.
Con agrupamientos
apropiados, puede producir
estimadores muy acertados.
Util cuando un marco de
muestreo no está disponible o
los costos de traslado son
altos.
Los agrupamientos deben ser
representativos de la
población.
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
QUE OBTENEMOS DE LAS MUESTRAS?
ESTIMADORES, O SEA VARIABLES
ALEATORIAS
QUE TENDRAN COMO TODA VARIABLE
ALEATORIA, ASOCIADAS UNA DISTRIBUCION
DE FRECUENCIAS
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA
MUESTRAL
SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS
TIENDE A UNA
NORMAL
MEDIA =
VARIANZA = 2 / n
CORRECCION POBLACION FINITA= (N -n)/(N -1)
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA
PROPORCION MUESTRAL
p= EXITOS/ (TOTAL DE OBSERVACIONES)
TIENDE A UNA
NORMAL
MEDIA = p
VARIANZA = p*q/n
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZA
MUESTRAL (VARIABLES ALEATORIAS
NORMALES
DISTRIBUCION CHI - CUADRADA
= (n-1) s2/2
MEDIA = 2
VARIANZA = 2 2/(n-1)
ESTIMACION PUNTUAL E INTERVALOS DE CONFIANZA
ESTIMADORES
A TRAVÉS DE UN ESTIMADOR CONSTRUIR UN
INTERVALO.
PARAMETROMuestra
Estimador
CRITERIO DE ESTIMACION - ERROR AL
CUADRADO
FUNCION DE PERDIDA
E {(t - )2}
MINIMIZO SU VALOR ESPERADO
CRITERIO DE ESTIMACION - ERROR AL
CUADRADO
t1 t2
MSE
CRITERIO DE SELECCIÓN - ESTIMADORES
INSESGADOS
DESCOMPOSICION FUNCION DE PERDIDA
E {(t - )2}= Var (t) + {E (t - )}2=
varianza mas sesgo
EFICIENCIA
CONSISTENCIA
SESGO TIENDE A CERO
VARIANZA TIENDE A CERO
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DISTINTAS
VARIABLES ALEATORIAS
NORMALES O CONVERGENTES A NORMAL
u ~ N (, V)
z SE DISTRIBUYE NORMAL ESTANDAR
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DISTINTAS
VARIABLES ALEATORIAS
P { - 1.96 < (u - )/SE < + 1.96} = .95
P { u - 1.96 *SE< < u + 1.96*SE} = .95
u 1.96*SE