Distribución de Probabilidad

Variables continuas

Álvaro José Flórez

1Escuela de Estadística

Facultad de Ingeniería

Febrero - Junio 2014

Variable aleatoria continua

Se dice que una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquiervalor en un intervalo (números reales en un intervalo)

Si X es una variable aleatoria continua, la probabilidad de que la variabletome un valor determinado siempre es cero.

Para el caso continuo se está interesado no en probabilidad de exactamenteun valor, sino en la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentredentro de un intervalo.

La distribución de probabilidad de una v.a. continua está caracterizadapor una función (f(x)) llamada función de densidad, por medio de la cualpodemos calcular la probabilidad de un intervalo a ≤ X ≤ b.

Función de densidad

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces una función dedensidad de X es una función f(x) tal que para dos númeroscualesquiera a y b con a ≤ b,

P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af(x)dx

Es decir, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo (a,b)es el área bajo la curva de la función de densidad. Además f(x) debecumplir:

f(x) ≥ 0

∫ ∞−∞

f(x)dx = 1

Función de densidad

Función acumulativa

La función de distribución acumulativa de una v.a. continua X es laprobabilidad de que X tome un valor menor o igual a x. Esto es,

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞f(t)dt

dado que P (X = x) = 0, entonces P (X ≤ x) = P (X < x) =F (x). Propiedades:

• F (−∞) = 0, F (∞) = 1

• F (a < X < b) = F (b)− F (a)

• dF (x)dx = f(x)

Función acumulativa

Ejemplo

Sea X la variable aleatoria continua que denota el diámetro de unori�cio perforado en una pieza de un componente metálico. Los datoshistóricos muestran que la distribución de X (en mm) puede sermodelada por la siguiente función de densidad:

f(x) = 20e−20(x−12.5) x ≥ 12.5

f(x) es una función de densidad pues: f(x) ≥ 0∫∞−∞ f(x)dx = 1

Si una pieza con un diámetro superior a 12.6 mm se desecha, ¾Cuáles la probabilidad de que una pieza sea desechada?

Ejemplo

Sea X la variable aleatoria continua que denota el diámetro de unori�cio perforado en una pieza de un componente metálico. Los datoshistóricos muestran que la distribución de X (en mm) puede sermodelada por la siguiente función de densidad:

f(x) = 20e−20(x−12.5) x ≥ 12.5

f(x) es una función de densidad pues: f(x) ≥ 0∫∞−∞ f(x)dx = 1

Si una pieza con un diámetro superior a 12.6 mm se desecha, ¾Cuáles la probabilidad de que una pieza sea desechada?

Ejemplo

Si una pieza con un diámetro superior a 12.6 mm se desecha, ¾Cuáles la probabilidad de que una pieza sea desechada?

P (X > 12.6) =

∫ 12.6

∞f(x)dx

12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 13.0

05

1015

20

mm

Den

sida

d

Valor esperado y varianza

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x).La media o el valor esperado de X, denotado como µ o E(X), es:

E(X) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx

La varianza de X, denotada como V (X) o σ2, es:

V (X) =

∫ ∞−∞

(x− E(X))2f(x)dx =

∫ ∞−∞

x2f(x)dx− E(X)2

La desviación estándar de X es igual a√V (X)

Ejercicio

La resistencia de una muestra de un deteminado material viene dadopor una variable aleatoria X, con función de densidad,

f(x) =

x si 0 < x ≤ 12x+18 si 1 < x ≤ 2

0 en otro caso

• Si una muestra se encuentra en estado ideal de resistencia siésta se encuentra entre 0.5 y 1.5, ¾Cuál es la probabilidad deque una muestra se encuentre en estado ideal?

• Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X.

Percentiles de una distribución

Sea p un número entre 0 y 1. El percentil (100p) de la distribuciónde una variable aleatoria X, está de�nido por:

F (x′) =

∫ x′

−∞f(y)dy = p

x′ es el valor tal que P (X ≤ x′) = p.

La mediana (Me) de una distribución continua es el percentil 50, esdecir que satisface F (Me) = 0.5.

Los cuartiles, denotados por Q1, Q2 y Q3, de una distribucióncorresponden a los percentiles 25, 50 y 75, respectivamente. Me =Q2.

Distribuciones de probabilidad

En el caso continuo algunas distribuciones de probabilidad son:

• Exponencial

• Normal

• Weibull

• Uniforme

• Gamma

Distribución exponencial

La variable aleatoria X que describe la distancia entre dos suceso sucesivosde un proceso poisson es una variable aleatoria exponencial con parámetroλ. La función de densidad X esta dada por:

f(x) = λe−λx

0 ≤ x <∞

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Den

sida

d

λ=2λ=1λ=0.5

Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetroλ, entonces:

E(X) =1

λV (X) =

1

λ2

Ejemplo

La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados en motoresdiesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelopara la variable aleatoria X el tiempo hasta que se presenta una falla.Suponga que el valor espero de X es de 25.000 horas.

1 ¾Cuál es la probabilidad de que un ventilador seleccionado dureentre 20.000 y 30.000 horas?

2 Los productores quieren determinar el tiempo de garantía de losventiladores teniendo en cuenta que están dispuestos a recibir porgarantía a no más del 15% de los ventiladores producidos, ¾Cuáldebería ser el tiempo estipulado de garantía?

Suponga que el número de kilómetros que puede recorrer un automóvilantes de que se le acabe la batería está distribuido exponencialmente conun valor promedio de 10000km. Si una persona quiere realizr un viaje de5000km, ¾Cuál es la probabilidad de que llegue al �nal de su viaje sin tenerque cambiar la batería?

Ejercicio

Sea la variable aleatoria X el tiempo, en horas, necesario para repararuna pieza de equipo, en un proceso de manufactura, es una variablealeatoria exponencial con λ = 1/5.

1 Cuál es la probabilidad de que para reparar una pieza seanecesario más de 5 horas.

2 Determinar los cuartiles de la variable X.

3 Si la perdida de dinero es igual al cuadrado del número dehoras necesarias para llevar a cabo la reparación, determine elvalor esperado de las pérdidas por reparación

Distribución Normal

La distribución normal es una de las distribuciones más importantesy de uso más frecuente en la estadística, puesto que gran partede la teoría fue desarrollada inicialmente para variables con estadistribución.

La gran mayoría de variables aleatorias que se estudianen experimentos físicos (alturas, pesos) son aproximadamentemodelados por una distribución normal.

Muchas distribuciones de probabilidad, incluyendo discretas, puedenser aproximadas por esta distribución (si se cumplen ciertascondiciones).

Aunque una variable no se distribuya normal, las sumas y promediosde las variables, si se cumplen ciertas condiciones, tendrán unadistribución normal aproximada (Teorema Central del Límite)

Distribución Normal

Una variable aleatoria X tiene distribución normal con parámetros µ(media) y σ2 (varianza) si su función está dada por:

f(x) =1√

2πσ2e−

12σ2

(x−µ)2

σ > 0, −∞ < x <∞

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

Den

sida

d

N(0,1)N(0,2)N(3,1)

Ejemplo

La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede sermodelada por una distribución normal con media de 6000Kg/cm2

y una desviación estándar de 100Kg/cm2. ¾Cuál es la probabilidadde que la resistencia a la compresión de una muestra sea inferior a6250Kg/cm2?

P (X < 6250) =

∫ 6250

−∞

1√2π(100)2

e− 1

2(100)2(x−6000)2

dx

Ninguna de las técnicas estándar se pueden usar para evaluar la expresión

anterior. En vez de eso, para µ = 0 y σ = 1 (normal estándar) se han

evaluado numéricamente y tabulado ciertos valores. A partir de estas tablas

se puede usar para calcular probabilidades para cualquier µ y σ

Ejemplo

La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede sermodelada por una distribución normal con media de 6000Kg/cm2

y una desviación estándar de 100Kg/cm2. ¾Cuál es la probabilidadde que la resistencia a la compresión de una muestra sea inferior a6250Kg/cm2?

P (X < 6250) =

∫ 6250

−∞

1√2π(100)2

e− 1

2(100)2(x−6000)2

dx

Ninguna de las técnicas estándar se pueden usar para evaluar la expresión

anterior. En vez de eso, para µ = 0 y σ = 1 (normal estándar) se han

evaluado numéricamente y tabulado ciertos valores. A partir de estas tablas

se puede usar para calcular probabilidades para cualquier µ y σ

Distribución normal

SiX tiene una distribución normal con media µ y desviación estándarσ, entonces:

Z =X − µσ

Tiene una distribución normal estándar. Así,

P (a ≤ X ≤ b) = P (a− µσ≤ Z ≤ b− µ

σ)

= P (Z <b− µσ

)− P (Z <a− µσ

)

Al estandarizar, cualquier probabilidad en la que interviene X sepuede expresar como una probabilidad asociada a una variablealeatoria Z (Normal Estándar)

Ejercicio

Una prestigiosa universidad de la región tiene como estrategia deselección la aplicación de una prueba de conocimientos, sobre cuyosresultados escoge al 20% de los estudiantes, quienes deben tenerlos mayores puntajes en dicho examen. Si las cali�caciones de esteexamen siguen una distribución normal con media 65 y desviaciónestándar 20. Determine:

• La cali�cación mínima que debe obtener un estudiante para serseleccionado.

• Si se decide otorgar una beca a los estudiantes que presentanun puntaje superior a 98 puntos, que proporción de estudiantesserian becados?

• ¾Cuál es la probabilidad de que una cali�cación se encuentrealejada de su media en mas de dos desviaciones estándar?

Ejemplo

Una empresa productora está interesada en conocer el gasto promediosemanal en cierto tipo de alimento de las familias de estratosocioeconómico medio, con el �n de diseñar una estrategia de mercadopara promover la demanda en el mercado. Si se supone que el gastopromedio semanal en cierto tipo de alimento de las familias de estratosocioeconómico medio se distribuye Normal con media 61.73 y desviaciónestándar 10.3.

¾Cuál es la probabilidad de que una familia gaste más de $75000 en esetipo de alimento?

Si la empresa quiere determinar el valor de su producto teniendo en

cuenta que mínimo el 60% de la población tenga capacidad de comprarlo.

Basándose en la distribución de probabilidad de los datos ¾Cuál debería

ser el valor del nuevo producto?

Distribución Weibull

La distribución Weibull sirve para modelar tiempos de falla dediferentes sistemas físicos, sobretodo cuando la probabilidad de queun elemento falle cambia en el tiempo.

Una variable aleatoria X tiene una distribución Weibull si su funciónde densidad es,

f(x) =α

βαxα−1e

−(xβ

)α

Donde α > 0 (parámetro de forma) y β > 0 (parámetro de escala).Su valor esperado y varianza es,

E(X) = βΓ

(1 +

1

α

)V (X) = β2Γ

(1 +

2

α

)−β2

{Γ

(1 +

1

α

)}2

Distribución Weibull

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X

f(x)

Fig: Distribución weibull. α = 2, β = 2 (negro), α = 1, β = 2 (rojo),α = 2, β = 3 (azul)

Función Gamma

La función gamma está de�nida como:

Γ(r) =

∫ ∞0

xr−1e−xdx, para r > 0

Se puede demostrar que:

Γ(r) = (r − 1)Γ(r − 1)

Por lo tanto, si r es un entero positivo,

Γ(r) = (r − 1)!

Ejemplo

Si el tiempo de vida (en horas) de cierto componente expuesto agases corrosivos tiene una distribución de probabilidad con α = 3 yβ = 900. Entonces:

• Determine la vida media y la varianza del componente.

• ¾Cuál es la probabilidad de que el componente falle antes de500?

• ¾Cuál es la probabilidad de que falle después de 700 horas?

Algunos ejercicios

El diámetro de un punto producido por una impresora sedistribuye normal con media de 0.0002 pulgadas. Suponga que lasespeci�caciones requieran que el diámetro del punto esté entre 0.0014y 0.0026 pulgadas. Si la probabilidad de que un punto cumpla conlas especi�caciones debe ser de 0.9973, Qué valor de la desviaciónestándar es necesario?

La resistencia última (ksi) a -200 grados F de un tipo de acero queexhibe fragilidad al frio a bajas temperaturas se puede modelar pormedio de una distribución Weibull con parámetros α = 20 y β = 100.

• ¾Cuál es la probabilidad de que el acero presente unaresistencia superior a 105 ksi?

• ¾Para qué valor X se encuentra el 10% de las resistencias másbajas?

Algunos ejercicios

El diámetro de un punto producido por una impresora sedistribuye normal con media de 0.0002 pulgadas. Suponga que lasespeci�caciones requieran que el diámetro del punto esté entre 0.0014y 0.0026 pulgadas. Si la probabilidad de que un punto cumpla conlas especi�caciones debe ser de 0.9973, Qué valor de la desviaciónestándar es necesario?

La resistencia última (ksi) a -200 grados F de un tipo de acero queexhibe fragilidad al frio a bajas temperaturas se puede modelar pormedio de una distribución Weibull con parámetros α = 20 y β = 100.

• ¾Cuál es la probabilidad de que el acero presente unaresistencia superior a 105 ksi?

• ¾Para qué valor X se encuentra el 10% de las resistencias másbajas?