ESTADÍSTICA APLICADA

Equipo de Estadística

Sesión N° 03

CONTENIDODISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA: BINOMIAL Y POISSON.

¿QUÉ CARACTERÍSTICAS OBSERVAMOS?

Variables discretas o continuas???

DEFINICIONES PRELIMINARES: I. VARIABLE ALEATORIA: • Se denota por una X.• Es aquella que puede tomar diferentes valores a

través del tiempo o de sujeto a sujeto.• Si una variable, es una una variable aleatoria,

entonces tiene una distribución de probabilidad.

• X: Nº de casas vendidas en Trujillo.• X: Nº de ingenieros reconocidos a nivel nacional.• X: Ventas diarias de una empresa.• X: Nº de clientes que llegan diariamente a Plaza Vea.• X: Nº de automóviles que llegan a una Estación de Servicio.• X: Nº de llamadas telefónicas que recibe una secretaria.• X: Edad de las personas.• X: Tiempo de vida de un neumático.• X: Nº de artículos defectuosos de un proceso productivo.

EJEMPLOS:

xnxqpx]P[X

x

n

x!

λex]P[X

xλ

II. FUNCION DE PROBABILIDAD: • Es una fórmula matemática que nos permite calcular

probabilidades. • Una función de probabilidad, calcula la probabilidad para

cada valor individual de la variable aleatoria X.• Se denota por:

f (x) = P[ X = x ]

Distribución Binomial:

Distribución Poisson:

EJEMPLOS:

III. FUNCION DE PROBABILIDAD ACUMULADA:

• Llamada también función de distribución que se denota por F(x).

• Es aquella que nos permite calcular probabilidades acumuladas.

• Se denota por:

F(x) = P[ X ≤ x ]Por ejemplo:

• F(1) = P[X≤1]=P(X=0) + P(X=1)

• F(2) = P[X≤2]=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

• F(3) = P[X≤3]=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)+P(X=3)

Distribución Binomial

Distribución Poisson

Distribución Hipergeometrica

Distribución Binomial Negativa

Distribución de Pascal

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Otras DISTRIBUCIONES para var. DISCRETAS:

),( pnBX

xnx )1(px]P[X pC nx

Parámetros:

n , p

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Los parámetros de la distribución binomial son “n” y “p”., donde:n=Numero de ensayos o tamaño de muestrap = probabilidad de éxito en cada ensayo.De aquí se obtiene que la probabilidad de fracaso es q = 1-p

• Si una v.a. X tiene una distribución binomial , esta se denota por:

• Su función de probabilidad esta dada por:

CARACTERISTICAS:

En la empresa Aceros Arequipa, el

inspector de control de calidad ha

determinado que el 25% de los

lingotes producidos son defectuosos.

Para probar su afirmación extrae una

muestra de 5 lingotes de acero y a

partir de ello desea calcular las

siguientes probabilidades:

a. Ninguno sea defectuoso.

b. Exactamente 1 sea defectuoso.

c. Menos de 2 sean defectuosos.

xnx )1(px)P(X pC nx

Función de probabilidad

4151 .75)0(25.01)P(X C

Solución:

1)P(X0)P(X1)P(X2)P(X

5050 .75)0(25.00)P(X C

= 0.237

= 0.396

= 0.633

a.

b.

c.

EJERCICIO:

PARAMETROS:

n = 5p = 0.25

MANEJO DE TABLA:

Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente

A P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tablaB P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a )C P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 )D P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) - P ( X ≤ a - 1 )E P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 )F P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 )G P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )H P (X < a ) = P ( X ≤ a-1 )I P ( a < X <= b ) = P ( X ≤ b ) – P ( X ≤ a )

A P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tablaB P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a )C P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 )D P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) - P ( X ≤ a - 1 )E P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 )F P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 )G P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )H P (X < a ) = P ( X ≤ a-1 )I P ( a < X <= b ) = P ( X ≤ b ) – P ( X ≤ a )

Es otra de las distribuciones discretas mas importantes del calculo de probabilidades.

Se utiliza cuando se quieren evaluar variables aleatorias discretas pero ocurridos en espacios continuos.

Estos espacios continuos pueden ser el tiempo, volumen, espacio, etc.

DISTRIBUCIÓN POISSON

Simeon Poisson

Función de probabilidad

x!λe

x/λXPxλ

Donde λ = Número esperado de éxitos. e = Constante matemática. x = Número de éxitos por unidad.

Parámetro: λ

EJERCICIO:

Se conoce que el número promedio de arribos de camiones a la central de abastos es de 3 camiones por minuto.Calcular las siguientes probabilidades:a.Lleguen exactamente dos arribos en un minuto.b.Lleguen a lo más 2 arribos en un minuto.

x!λe

x/λXPxλ

Función de probabilidad

Solución:

a. Se tiene que λ = 3 arribos por minuto. 3 2e 3

P X 2 0.2242!

b. P X 2 P(X 0) P(X 1) P(X 2)

42302240149049702!3e

1!3e

0!3e 231303

....

FIN