CAPÍTULO 7FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

GRUPO#2 • PABLO SOLANO• DOMÉNICA DUEÑAS• KARLA REYES• MAITE VARELES

Capítulo 7 Definición

Teoremas

Distribuciones discretas

Distribuciones continuas

Interrelaciones entre las distribuciones

DefiniciónPosibilidad de que un evento se cumpla. La Probabilidad es cuantificable y toma valores entre 0 y 1. La probabilidad está asociado a un evento definido.

Ejemplo: Si el experimento consiste en lanzar 3 monedas.Un evento A se lo define como “En las 3 monedas sale cara” y su P(A)=1/8

Ejemplos

Si un evento A puede suceder en Na resultados de un total N (de

igual probabilidad) P(A) = Na/N

Teoremas

TeoremasTeorema 1 •Un número entre 1 y 0. Donde 1 es la certeza de que ocurra Y 0 de que no ocurre

Teorema 2 •P(A)^c =1- P(A)

Teorema 3 •Mutuamente excluyentes•P(A o B) = P(A) + P(B)

Teorema 4 •No mutuamente excluyentes•P(A o B o ambos) = P(A) + P(B) – P(ambos)

Teorema 5 •La suma de probabilidades de los eventos en una situación es 1

Teorema 6

Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de sus probabilidades respectivas:

P(A y B) = P(A) x P(B)

Un evento independiente es aquel en el que su ocurrencia no tiene influencia sobre e otro evento o eventos. A este eorema se le llama LEY

MULTIPLICATIVA DE PROBABILIDAD. Siempre que se verbaliza 'y', la operación matemática es multiplicación.

Ejemplo

Ejemplo

Teorema 7●Si A y B son eventos dependientes, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto dela probabilidad de A por

la probabilidad de que si sucede A suceda tambien B● P(A y B) = P(A)x P(B/A)

●Donde el simbolo P(B/A) se define como la probabilidad de B dado el evento A. Un eventto dependiente es aquel cuya

ocurrencia influye sobre la probabilidad de o los otros eventos. A este teorema se le llama a veces TEOREMA

CONDICIONAL, porque la probabilidad del segundo evento depende del primer evento.

Ejemplo

Ejemplo

Conteo de Eventos●Muchos de eventos de probabilidad donde los eventos son distribuciones uniformes de probabilidad, se pueden resolver usando técnicas de conteo. Hay 3 técnicas:

1. Multiplicación simple: Si un evento A puede suceder en cualquiera de a formas o resultados, y si despues de haber ocurrido puede suceder otro evento B en b formas o resultados, la cantidad de formas en que pueden suceder ambos eventos es ab

1) Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2. Respuesta: (3)(4)=12 2)Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.Solución: El primer niño puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer niño se sentará en el único lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:Respuesta: 3x2x1 = 6 maneras diferentes

3)Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.

Solución:El primer niño puede sentarse en cualquiera de los cuatro lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de lostres asientos restantes y el tercer niño se sentará en alguna de los dos lugares que quedan disponibles quedando un lugar vacío.

Respuesta: 4x3x2 = 24 maneras diferentes

Ejemplos

2. Permutaciones: Una permutación e sun arreglo ordenado de un conjunto de objetos. Las permutaciones de la palabra cup son: cup, cpu, upc, puc, y pcu. En este conjunto hay 3 objetos y se ordenaron de tal manera para obtener 6 permutaciones.

●La fórmula para calcular la cantidad de permutaciones es:

Ejemplo1) ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde

existen 15 participantes?

Aplicando la formula de la permutación tenemos:

P = n! (n - r)! = 15!(15-4)= 32760

2) Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física, ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero de 3 en 3?

Respuesta: P= 15 ! (15-3)! = 1,307,674,36 maneras

3. Combinaciones: Si no importa el orden de los objetos, lo que se tiene es una combinación. La palabra cup tiene 6 permutaciones cuando los tres objetos se toman de 3 en 3, sin embargo, solo hay una combinación, porque las mismas 3 letras están en orden distinto.

Ejemplo

Ejemplo

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBAILIDAD

Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores:

Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32.

Las distribuciones discretas típicas son:

Hipergeométrica

Binomial

Poisson

Distribución Hipergeométrica de probabilidad.

Se presenta cuando la población es finita, y la muestra aleatoria se toma sin sustitución. Su fórmula consta de tres combinaciones,

Combinaciones Totales, No conformes y Conformes:

En el numerador se tienen los resultados al obtener unidades no conformes por los resultados de unidades conformes y en el denominador se coloca el total de resultados posibles.

N= Numero total de elementos de la población

a= Número de elementos no conformes

n= Numero de elementos de la muestra

x= Número de elementos no conformes presentes en la muestra

𝑃 (𝑋=𝑥 )=(𝑁−𝑎𝑛−𝑥 )( 𝑎𝑥 )

(𝑁𝑛

)

Ejemplo. Un lote finito de 20 relojes digitales es 20% No conforme. Use una distribución hipergeométrica para determinar cuál es la probabilidad que una muestra de 3 contenga 2 no conformes.

N=20 X= Número de relojes digitales no conformes.

a=4

n=3

x=2=0,0842

Calculo de la media y la desviación estándar para distribuciones Hipergeométricas.

μ=𝑛𝑎𝑁

σ=√(𝑛𝑎𝑁)(1−

𝑎𝑁

)(𝑁−𝑛)

𝑁−1

Media.

Desviación Estándar

N= Numero total de elementos de la población

a= Número de elementos no conformes

n= Numero de elementos de la muestra

x= Número de elementos no conformes presentes en la muestra

Distribución Binomial de Probabilidad.

Se aplica a problemas con probabilidades discretas que tienen una cantidad infinita de elementos, o que tienen una corriente constante de elementos que salen de un centro de trabajo.

Se aplica a problemas que tienen atributos, como conformes o no conforme, éxito o fracaso, pasa o no pasa, cara o cruz. Se puede aplica siempre que los dos resultados posibles sean constantes, y que los intentos sean independientes.

Corresponde a los términos sucesivos del desarrollo del binomio:

En la mayor parte de casos de control de calidad no interesa toda la distribución, sino solo uno o dos términos de la expansión binomial. Para un solo término del desarrollo binomial, la fórmula es:

𝑃 (𝑥=𝑎 )=(𝑛𝑎

)(𝑝)𝑎(1−𝑝)𝑛−𝑎

n=numero de la muestraa=cantidad de no conformes en la muestrap=proporción de no conformes en la población

Ejemplo De un flujo de producto que contiene 5% de no conformes, se toma una muestra de 10 defensas de automóvil. Use la distribución Binomial para determinar la probabilidad de haber sacado 2 defensas de automóvil no conformes.

𝑃 (𝑥=2 )=(102

)(0.05)2(1−0.05)10−2n=10a=2p=0.05

𝑃 (𝑥=2 )=0.075=7.5%

n=numero de la muestraa=cantidad de no conformes en la muestrap=proporción de no conformes en la población

Cálculo de la media y la desviación estándar para una distribución Binomial.

La distribución Poisson Una de las más importantes distribuciones de probabilidad para variables discretas sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.

Se usa para describir varios procesos, entre otros:

El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.

El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.

El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.

El número de servidores web accedidos por minuto.

Ejemplo: Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, 1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? 2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? 3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

Sea la variable aleatoria X , con distribución de Poisson con parámetro λ = [X] = 8, que determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.

1. Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable Z que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro λZ=2. Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente:

P(Z=1;λ=2)= 0.2707

2. Análogamente, definimos una variable aleatoria U con distribución de Poisson de parámetro λU = 4, que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento. Se tiene entonces que:

P(U≤2;λ=4)=0.0183 + 0.0733 + 0.1465 = 0.2381

3. De la misma forma, definiendo una variable aleatoria V con distribución de Poisson de parámetro λV=10 se obtiene:

P(V≥10;λ=10)=1 – P(V<10; λ=10)=1 - [0.0000+ 0.0005 + 0.0023 + 0.0076 + 0.0189 +0.0378 + 0.0631+ 0.0901 + 0.1126 + 0.1251]=1-0.4580

=0.5420

Distribución normal

Una distribución muy importante es la Distribución Normal o de Gauss. La ecuación matemática de la función de Gauss es la siguiente:

La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del

La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a σ, la desviación standard de la población.universo μ.

GRAFICO DE LA D. NORMAL

La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a σ, la desviación standard de la población.

El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida entre μ - σ y μ + σ es aproximadamente igual a 0,68 del área total; entre μ - 2σ y μ + 2σ es aproximadamente igual a 0,95 del área total:Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son Media y desviación standard de la población.

Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por la desviación standard).

Otro tipo de distribución La distribución exponencial es utilizada en estudios de confiabilidad cuando hay una frecuencia constante de fallas.

La distribución Weibull se usa en cambio cuando el tiempo antes de la falla no es constante usamos la siguiente función de densidad: