DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Muchas situaciones reales pueden ser analizadas por variables aleatorias discretas. En esta lectura se estudian las distribuciones de probabilidad discretas, Bernoulli, Binomial, Poisson, Hipergeomtrica

DistribucinBernoulliLos nombres de las distribuciones de probabilidad llevan en su mayora el nombre de quien las cre y dio a conocer. La distribucin de Bernoulli se distingue porque es utilizada en contextos para los cuales tan slo hay dos posibles resultados: ocurre o no ocurre, xito o fracaso. De este modo cuando nos encontremos en un contexto como el mencionado asignaremos a la variable aleatoria los valores 1 y 0, con lo que indicaremos respectivamente ocurre, no ocurre o xito y fracaso.

Sea X una variable aleatoria que slo toma los valores 1 y 0, denotamos por p y 1 p a la probabilidad de xito y fracaso respectivamente. La funcin de probabilidad de esta variable est dada de la siguiente manera

P( X = 0) = 1 p

P( X = 1) = p

Por otra parte, el valor esperado o media y la varianza son

E( X ) = xP( x) = 0 (1 p) + 1( p) = px

Var ( X ) = E( X 2 ) ( E ( X ))2 = p p 2 = p(1 p)

Se denotar por q al valor de 1 p . No olvidemos que es importante conocer el valor esperado de una variable aleatoria porque ste nos dice segn el contexto y las probabilidades dadas en l, lo que se espera de variable aleatoria o el resultado que se espera obtener. Adicionalmente la varianza nos permite calcular la desviacin estndar que nos indica qu tan alejados estn los datos del valor

promedio de los mismos, entonces con ello sabremos si los datos se agrupan o alejan del valor promedio, mostrando as la dispersin de los mencionados. Ejemplo 60 Un poltico cree que el 32% de los habitantes de cierta regin apoyarn su campaa para el consejo. Determine la media y la varianza de la variable aleatoria que toma el valor 1 si el poltico es apoyado y 0 sino. Como X = 0, 1 y p = 0.32 entonces 1 p = 0.68, luego el valor esperado o media de la variable aleatoria es

E ( X ) = 0(0.68) + 1(0.32) = 0.32Lo que significa que se espera que un 32% de los habitantes apoyen la campaa del poltico.

Var ( X ) = p(1 p) = 0.32(0.68) = 0.2176Dado que la raz de la varianza mide qu tan dispersos estn los datos de la media, si calculamos dicho valor obtenemos

Var ( X ) = 0.2176 0.4664 DistribucinBinomial

Cuando un experimento aleatorio tiene dos posibles resultados, xito o fracaso, y se repite un nmero finito de veces nos encontramos en un experimento de tipo Binomial. Los criterios que nos permitirn utilizar esta distribucin son:

Debe existir un nmero fijo de pruebas repetidas o ensayos independientes, a este nmero lo denotamos con la letra n . Cada una n de las pruebas debe tener dos resultados, xito o fracaso (favorable o desfavorable). La probabilidad de xito de un acontecimiento es fijo y se denota con la letra p . La variable aleatoria X cuenta el nmero de xitos obtenidos en los n ensayos independientes.

Si una variable aleatoria X se distribuye Binomial entonces su funcin de probabilidad establece que la probabilidad de que X tome un valor x es

n P( x) = p x q n x x n Donde x es n combinado x o como lo hemos venido trabajando n Cx .Para esta variable aleatoria el valor esperado o media y varianza son:

E ( X ) = xP( x) = npx

Var ( X ) = E( X 2 ) ( E ( X ))2 = np(1 p)

Ejemplo 61 De la produccin de envases metlicos de una fbrica se sabe que el 3% son defectuosos. Cul es la probabilidad de que en una muestra de siete envases:

a. Por los menos tres sean defectuosos? b. Como mximo tres sean buenos?Comencemos por clasificar la informacin dada y distinguir si se cumplen o no los criterios de la distribucin binomial. Un envase puede clasificarse en defectuoso o no defectuoso, luego sta es la variable aleatoria para la cual tenemos xito o fracaso. Como ser defectuoso representar el xito tendremos que p = 0.03 . Por otra parte, como se analizarn 7 envases es como si estuvisemos repitiendo el mismo experimento 7 veces, luego n = 7 . De este modo observamos que todos los criterios son los requeridos para utilizar una distribucin binomial. Respondamos ahora la pregunta de cada literal.

a. Cul es la probabilidad de que en una muestra de siete envases por los menos tres sean defectuosos?

Primero definimos la variable aleatoria

X: Nmero de envases defectuosos

Como por lo menos significa como mnimo debemos calcular la probabilidad de que como mnimo haya tres envases defectuosos.

P( x 3) = 1 P( x < 3) = 1 ( P( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2)) 7 7 7 = 1 p 0 q 7 0 + p1 q 7 1 + p 2 q 7 2 1 2 0 = 1 q 7 7 pq 6 21 p 2 q 5 = 1 0.977 7(0.03)(0.97)6 21(0.03)2 (0.97)5 1 0.99913 = 0.00087Con lo cual notamos que es muy poco probable que haya ms de tres envases defectuosos.

b. Cul es la probabilidad de que en una muestra de siete envases como mximo tres sean buenos?Que mximo tres sean buenos significa que como mnimo hay cuatro defectuosos, luego la probabilidad solicitada es

P( x 4) = P( X = 4) + P( X = 5) + P ( X = 6) + P ( X = 7) 7 7 7 7 = p 4 q 7 4 + p 5 q 7 5 + p 6 q 7 6 + p 7 q 7 7 4 5 6 7 = 35(0.03) 4 (0.97)3 + 21(0.03)5 (0.97) 2 + 7(0.03)6 (0.97)1 + 1(0.03) 7 (0.97) 0 0.0000263593Con base en lo anterior tendramos que es muy poco probable que ms de cuatro envases resulten defectuosos con lo cual es muy poco probable que mximo tres sean buenos. La distribucin binomial de una variable aleatoria puede calcularse en programas con Excel, segn la versin que se tenga; en mi caso tengo office 2007 y segn este que es tan solo una versin mejorada respecto a las anteriores versiones de office les indicar cmo utilizarla. Desarrollemos el anterior ejemplo con Excel: Abrimos una hoja de clculo de Excel y escribimos los datos en columnas de la siguiente manera.

Como se observa los resultados son los mismos que obtuvimos realizando la operacin manualmente. Debe resaltarse que si no se tiene office 2007 las anteriores versiones tambin realizan estos clculos, tan solo hay que dar click en ayuda y escribir binomial o distribucin binomial, esto los conducir al procedimiento requerido en su versin. Otra observacin es que Excel slo calcula, somos nosotros quienes debemos indicarle correctamente qu calcular. Tambin dicha probabilidad considerando la variable aleatoria Y : nmero de envases no defectuosos para la cual su probabilidad p es de 0.97 y n = 7 . De podramos determinar

igual manera esta es una variable con distribucin binomial, por lo tanto estaramos buscando

P( y 3) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) 7 7 7 7 = p 0 q 7 0 + p1 q 7 1 + p 2 q 7 2 + p 3 q 7 3 0 1 2 3 = 1(0.97)0 (0.03) 7 + 7(0.97)1 (0.03) 6 + 21(0.97) 2 (0.03)5 + 35(0.97)3 (0.03) 4 0.0000263590Nuevamente confirmamos que es muy poco probable que menos de tres envases no sean defectuosos.

DistribucinPoisson

En la distribucin de Poisson la variable aleatoria cuenta el nmero de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio.

Sea X una variable aleatoria que se distribuye Poisson, entonces la expresin que permite calcular la probabilidad de un experimento aleatorio de este tipo es:

P( x) =

x e x!

x = 0, 1, 2, 3,4,. y donde es el valor promedio por unidad de tiempo y e = 2,718281828 Para dicha variable aleatoria la media y la varianza son respectivamente:

E( X ) =

Var ( X ) =

Ejemplo 62 Los clientes de una cafetera llegan a razn de nueve, en un perodo de 30 minutos.

a. Calcule la probabilidad de que en la primera media hora por lo menos lleguen 4 personas. Sea X la variable aleatoria nmero de clientes que entran a la cafetera y, segn los datos dados = 9 la media en 30 minutos, entonces la probabilidad solicitada es:

P( x 4) = 1 P( x < 4) = 1 ( P ( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2) + P ( x = 3)) 0 e 1e 2 e 3 e = 1 + + + 1! 2! 3! 0! 90 e9 91 e9 92 e9 93 e9 = 1 + + + 1! 2! 3! 0! = 0.9787

Esto significa que es muy probable o existe una posibilidad en un 97% de que entren ms de cuatro clientes a la cafetera en un perodo de 30 minutos. La distribucin Poisson de una variable aleatoria puede calcularse en programas con Excel, segn la versin que se tenga; en mi caso tengo office 2007 y segn este que es tan solo una versin mejorada respecto a las anteriores versiones de office les indicar cmo utilizarla. Desarrollemos el anterior ejemplo con Excel: Abrimos una hoja de clculo de Excel y escribimos los datos en columnas de la siguiente manera.

b. Calcule la probabilidad de que en los 10 primeros minutos no llegue ningn cliente.Para resolver este ejercicio debe tenerse en cuenta que no tenemos la media o el nmero de personas promedio que ingresan en 10 minutos, como consecuencia debemos hallarla con una regla de tres:

: nmerode personas promedio 9 ?

Tiempo en minutos 30 10

Luego

=

9 (10 ) = 3 , es decir que en 10 minutos ingresan alrededor de 3 personas. Ahora s 30

podemos calcular la probabilidad solicitada:

P( x = 0) =

0e 0

0! 3 e3 = 0! = 0.0497

Lo que significa que es poco probable que ninguna persona ingrese en un perodo a la cafetera. Realizando el ejercicio en Excel tenemos:

Ejemplo 63 En Bogot sobre la carrera 7 con 53 se presentan en promedio 3 accidentes de trnsito por mes determine la probabilidad de que: a. No se presenten accidentes en un mes b. Se presenten ms de 5 accidentes en un mes c. Se presenten 10 o ms accidentes en un semestre Definimos la variable aleatoria X: Nmero de accidentes que ocurren en un mes. La funcin de probabilidad de la variable es:

a. Laprobabilidaddequenosepresentenaccidentesenunmeses0,0498 b. Msde5accidentesenunmeses:

c. EnestecasodefinimosnuevamentelavariableX: Nmero de accidentes que ocurren en un semestre y es necesario cambiar el valor promedio Enunsemestreseesperaunpromediode=18accidentes,laprobabilidadquesepidees:

DistribucinHipergeomtrica

La distribucin hipergeomtrica es un tipo de distribucin que se caracteriza porque la probabilidad no es fija o constante, a continuacin expondremos los criterios bajos los cuales sta debe utilizarse.

La informacin de la muestra se toma sin reposicin (es decir lo que se extrae no se retorna) de una poblacin finita. La probabilidad de xito no es constante, cambia con cada observacin. El resultado de una prueba es dependiente de la prueba anterior. El tamao de la poblacin es pequea.

Sea X una variable aleatoria que se distribuye Hipergeomtrica, para la cual se toma una muestra de tamao n de N objetos de los cuales A son xito para la variable aleatoria, entonces la expresin que permite calcular la probabilidad de un experimento aleatorio de este tipo es:

A N A x n x P( x) = N n x = o,1,2,3,.min(A,n)

Ejemplo 64 Un Jefe de almacn sabe que 6 de las 25 bicicletas que tiene para la venta presentan fallas en los frenos y necesitan ajuste. Si el vendedor que no tena conocimiento de lo anterior vendi en el da, 4 bicicletas, cul es la probabilidad de que vendiera dos que requeran ser ajustadas? Para resolver el ejercicio identifiquemos y clasifiquemos la informacin: Nmero de objetos o tamao de la poblacin N = 25 . Tamao de la muestra n = 4 . Nmero de objetos de la poblacin que son casos favorables o exitosos A = 6 . Nmero de objetos que se desea determinar que sean favorables x = 2 . Con estos datos podemos calcular la probabilidad solicitada:

6 25 6 2 42 P ( x = 2) = 25 4 = 0.2027La probabilidad de que las bicicletas vendidas requieran ser ajustadas es de 0,2027 Veamos cmo resolver el ejercicio en Excel:

Autoestudio Llego el momento de aplicar los temas tratados anteriormente, para reforzar nuestros conocimientos es necesario practicar; por ello tal y como se indica en la gua de actividades semanal por favor revise el libro sugerido en el mapa conceptual de la unidad 2 (Estadstica) en particular las pginas 73 a 102 ya que stas contienen ejercicios de todas las distribuciones vistas en esta seccin. Luego realice la gua prctica correspondiente a esta semana. Para acceder al libro mencionado debe ingresar a la biblioteca virtual en otra pgina de internet distinta a la del mdulo. Las instrucciones para ingresar a la biblioteca aparecen a continuacin; por favor sgalas y realice los ejercicios del libro, slo aquellos que cubran los temas tratados hasta ahora. Para acceder al libro En la unidad 2, aparece un mapa conceptual; en el espacio en el que se despliega la bibliografa accede al libro siguiendo los siguientes pasos: 1. en la pgina principal de campus virtual debajo del CAE dice biblioteca virtual, de click en este link. 2. All se abre la pgina de la biblioteca y debe escribir su usuario y contrasea. 3. Hagan click en libros electrnicos e ingrese el usuario y la contrasea. 4. Ahora de click en e-libro, vuelva a la pgina del mapa conceptual y de click sobre el libro que desean consultar. Si sigui correctamente las instrucciones debe poder visualizar el libro indicado.

Adicionalmente puede revisar el libro Estadstica para Administracin y Economa de Anderson que se encuentra en google (libros); busque en el ndice los temas tratados: Distribucin Binomial, Poisson, Hipergeomtrica (pginas 175-206). Luego resuelva los ejercicios all propuestos.