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Materia Estadística Matemática II

Docente : Marco A Sánchez L 2013

Hay muchos experimentos que solo tienen dos resultados posibles éxito “E” y fracaso “F”.

Luego el espacio muestral para este tipo de ensayo es ={E,F} Un experimento con estas características se llama un ensayo de Bernoulli.

Definimos la variable aleatoria X de tal manera que: X(w)=Número de éxitos en un ensayo de Bernoulli

RX={0,1}

Es decir X(F)=0 si el resultado del ensayo es una F y X(E)=1 si el resultado del ensayo es una E.

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La variable aleatoria X, así definida se llama: Variable aleatoria de Bernoulli

E F

0= X(F)

1= X(E)

R X

Determinamos por p=P[E] y por q=1-p=P[F]

La distribución de probabilidad de Bernoulli se presenta en la siguiente tabla y grafica:

x 0 1

p(x) 1-p=q p

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 1

p(x

)

X

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La distribución de Bernoulli se escribe como una distribución así: p(x)=P[X=x]=px(1-p)1-x, x=0 ó 1 La media y la varianza de la variable aleatoria X se calcula como sigue:

=E(X)=0*q+1*p=p 𝜎2=Var(X)=E(X2)-(E(X))2

=02xq+12xp-p2=p-p2=p(1-p) Hay muchos problemas en los cuales el experimento consta de n ensayos (o sub experimentos), de Bernoulli:1,2,3,…,n.

Se dice que una secuencia de n ensayos iguales de Bernoulli, forman un proceso de Bernoulli o experimento binomial si se cumple: a) Cada ensayo tiene solo 2 resultados posibles E ó

F. b)Los ensayos son independientes. Es decir el

resultado(éxito o fracaso) de cualquier ensayo es independiente del resultado de cualquier otro ensayo.

c)La probabilidad de éxito ”p” permanece constante de ensayo a ensayo. Luego la probabilidad de fracasos q=1-p también es constante.

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EJEMPLO: Suponga un experimento que consta de tres ensayos de Bernoulli y p la probabilidad de éxito en cada ensayo. X la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los tres ensayos. Hallar la distribución de probabilidad de X. Sea Xi(i=1,2,3) la variable aleatoria de Bernoulli que representa el numero de éxitos en el ensayo i.

La variable aleatoria X se escribe X= 𝑥𝑖3𝑖=1 , el

dominio es:

={FFF, FFE, FEF, EFF, EEF, EFE, FEE, EEE}

RX={0,1,2,3}

P[X=0]=P[FFF]=(1-p)(1-p)(1-p)=(1-p)3

P[X=1]=P[FFE]+P[FEF]+P[EFF]=3p(1-p)2

P[X=2]=P[EEF]+P[FEE]+P[EFE]=3p2(1-p)

P[X=3]=P[EEE]=p3

x 0 1 2 3

p(x) (1-p)3 3p(1-p)2 3p2(1-p) p3

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Gráficamente representado tendríamos:

FFF, FFE, FEF, EFF, EEF, EFE, FEE, EEE

0

1

2

3

RX

A menudo estaremos interesados en el numero total de éxitos “E” obtenidos en un proceso de n ensayos de Bernoulli al margen del orden en que se presentan. El espacio muestral de los n ensayos, tiene 2n elementos o sucesos los cuales son una sucesión de n símbolos E y F.

=(FEFFEF…EFE,…)

n letras

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Definamos ahora una variable aleatoria X de la siguiente forma: X(w)= “Número de éxitos obtenidos en los n ensayos de Bernoulli”

RX={0,1,2,3,4,5,…,n} La variable aleatoria X así definida, se llama una variable aleatoria binomial.

FF…E; F….EF FE…F; EF….F

FF…F

EF….EF

0

1

n

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, se llama distribución binomial y se denota por P[X=x/B;np] o b(x;n,p) que se lee: “la probabilidad de obtener exactamente x éxitos y n-x fracasos”

Cálculo de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X:

a)La probabilidad que en los n ensayos no ocurra ningún éxito es qn. Es decir:

P[X=0]=P[{F..FF.FF}] =qn, por ser independientes

n veces F

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b) La probabilidad de que en los n ensayos ocurra un éxito es:

P[X=1]=P[{FFF…FE,…}]=𝑝𝑛𝑛−1,𝑛𝑞𝑛−1𝑝 =

𝑛1

𝑞𝑛−1𝑝

Ya que una E y n-1 efes pueden ocurrir en los n

ensayos de Pnn-1=

𝑛1

formas diferentes.

c) La probabilidad que en los n ensayos ocurran 2 éxitos es: n-2 2

P[X=2]=P[{FFF…FEE,…}]=𝑛2

𝑞𝑛−2𝑝2

Ya que en los n ensayos los dos ees y n-2 efes

ocurren de 𝑃𝑛 − 2,2

𝑛=

𝑛2

formas diferentes.

d) En general la probabilidad que en los n ensayos ocurra x, éxitos es:

P[X=x]=P[{FFFF....EEE,…}]=𝑛𝑥

𝑞𝑛−𝑥𝑝𝑥

Ya que los x ees ocurre en los n ensayos de

P𝑛 − 𝑥, 𝑛𝑛

=𝑛𝑥

formas diferentes.

r-x x

𝑃𝑥, 𝑛 − 𝑥

𝑛

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Por lo tanto la distribución binomial de la variable X es:

P[X=x/B;np]=P[X=x]=𝑛𝑥

𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥, x=0,1,2,…,n

Algunas veces escribiremos simplemente:

b(x;n,p)=]=𝑛𝑥

𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 , x=0,1,2,…,n

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Las características de la distribución binomial son la esperanza matemática, la Varianza y la desviación típica. La esperanza matemática luego de aplicar la definición general se define como:

=E(X)=np

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La varianza se la define como:

𝜎2𝑥

= 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞

De donde la desviación estándar seria:

𝜎= 𝑛𝑝𝑞

EJEMPLO: Se lanza un dado 10 veces. Calcular la probabilidad de obtener cuatro veces 6.

Paso 1 Definimos la variable aleatoria así: X(w)=numero de veces que aparece el numero seis en los 10 lanzamientos del dado. Entonces: RX={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Paso 2 El evento que nos interesa es obtener un 6. Entonces definimos los eventos:

E= obtener un 6 al lanzar el dado

F= obtener un número diferente de 6

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Paso 3:Definimos que la probabilidad para ambos eventos es: P[E]=1/6 y P[F]=5/6 Paso 4: Se lanza el dado 10 veces por lo tanto n=10. Paso 5: Analizamos que: Cada lanzamiento puede considerarse con dos

resultados E o F. Las probabilidades de E y F permanecen

constantes en cada ensayo El resultado de cualquier ensayo es

independiente de otro. Por lo tanto X(w) es una variable aleatoria binomial y su distribución de probabilidad es:

P[X=x/B;n=10 y p=1/6]=10𝑥

(1

6)𝑥(

5

6)10−𝑥 , con

x=0,1,2,3,…10 Paso 6 Para resolver el ejercicio debemos calcular:

P[X=4/B;n=10 y p=1/6]=104

(1

6)4(

5

6)10−4

= 10!

4! 10−4 !∗

1

1296 ∗ (

5

6)6=

3628800

24∗(720)∗

1

1296∗

15625

46656

=3628800

17280*0,000771605*0,334897977

=210*0,000258409=0,0542659

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EJEMPLO 2:En Monteagudo en el mes de octubre la lluvia cae con un promedio de uno cada cuatro días durante los que el cielo esta nublado.

Determine la distribución de probabilidades del número de días con lluvia entre los cuatro próximos días nublados, suponiendo se cumple independencia.

Encuentre la media y la varianza del número de días lluviosos.

Presente también la gráfica de la distribución de probabilidad.

La variable aleatoria X(w)= Numero de días con lluvia durante los cuatro días nublados.

RX={0,1,2,3,4} El experimento es observar si llueve durante los días nublados de donde solo pueden haber dos tipos de respuesta: E= día con lluvia y F= día sin lluvia De donde p=P[E]=1/4 q=P[F]=3/4 Suponiendo que llueve o no un día determinado, es independiente de que llueva o no los otros días se tiene que X(w) es una variable aleatoria binomial cuya distribución de probabilidad con parámetros: n=4 p=1/4 es:

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P[X=x/4;1/4]=4𝑥

1

4

𝑥 3

4

4−𝑥 , x=1,2,3,4

La media y la varianza de X están dadas por:

=E(X)=np=4*1/4=1

𝜎2 =npq=4*1/4*3/4=12/16=3/4

Para la grafica de la distribución tendríamos la siguiente distribución:

x 0 1 2 3 4

p(x) 0,316 0,422 0,211 0,047 0,004

La grafica muestra la distribución de probabilidad graficada y es una variable aleatoria discreta.

0,000

0,200

0,400

0,600

0 1 2 3 4 5

p(x

)

X

Distribución Binomial

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APLICACIONES DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL EN UNA MUESTRA La extracción de una muestra de n elementos de una población puede considerarse como un experimento que consiste de n ensayos repetidos. Los n ensayos o selecciones serán independientes en los siguientes casos: a) Cuando los elementos de la muestra se extraen con o sin remplazo de una población infinita. Obviamente el resultado de una extracción cualquiera es independiente de otra extracción y la proporción p de éxitos (p=P[éxito]) permanece constante en cada extracción. Entonces es aplicable la distribución binomial.

b) Cuando los elementos de la muestra se extraen con reemplazamiento de una población finita. Suponga que la población tiene N elementos, k de los cuales son de cierta clase en las que estamos interesados.

Definimos la variable aleatoria X tal que:

X(w)=número de elementos de la clase de nuestro interés en la muestra de tamaño n.

Las extracciones individuales son ensayos de Bernoulli, donde el elemento de clase de nuestro interés son éxitos y el experimento de tomar una muestra de tamaño n con reemplazamiento consiste de n ensayos independientes de Bernoulli donde p= P[éxito]=k/N, es decir X tiene una distribución binomial.

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p(x)=P[X=x/B;n,k/N]=𝑛𝑥

𝑘

𝑁

𝑥1 −

𝑘

𝑁

𝑛−𝑥,x=0,1,2,..,n

Frecuentemente en la realidad se extrae una muestra sin reemplazamiento de una población finita, situación en la cual no se puede aplicar la distribución binomial ya que los ensayos son claramente no independientes. En este caso la distribución es una hipergeométrica.

Ejemplo1 En una colmena de abejas, el 25% tienen una diferenciación de color por alguna afección bacteriana.

Se seleccionan aleatoriamente 300 abejas de la colmena para un análisis de la afección que tienen. Defina X como el número de abejas que tienen la afección en la muestra.

Determinar el valor esperado la varianza y la desviación estándar.

Los datos para resolver el problema son:

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X(w)= “número de abejas que tienen la afección en la muestra”

p=25% q=75% y n =300

Entonces la distribución sería seria binomial y se la expresaría como:

P[X=x]=300𝑥

0,25𝑥0,75300−𝑥,

=E(x)=np=300x0,25=75

Var(x)=npq=56,25

= 56,25=7,5

Ejemplo 2: El daltonismo afecta al 1% de una población grande. Suponga que se escogen aleatoriamente n personas de esta población. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las n personas sean daltónicos?¿Que tamaño debe tener n para que esta población sea <10%? Los datos del problema son: X(w)= personas que son daltónicas p=0,01 y q=0,99 para la primera pregunta x=0, entonces el tamaño de muestra es el que calcularía de la siguiente manera:

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a) P[X=0]=𝑛0

0,0100,99𝑛−0=𝑛!

0! 𝑛−0 !× 1 × 0,99𝑛

𝑛!

𝑛!× 1 × 0,99𝑛 =1×1× 0,99𝑛=(0,99)𝑛

b)Se quiere determinar n tal que (0,99)𝑛< 0,10 (0,99)𝑛= 0,10

Aplicando logaritmos tendríamos:

nlog0,99=log0,10

n=𝑙𝑜𝑔0,10

𝑙𝑜𝑔0,99=

−1

−0,0043648=229,1=229

USO DE LA TABLA DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Los valores de la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X que tiene una distribución binomial están dadas en tablas y es uso de estas simplifica mucho el calculo de todas las probabilidades binomiales.

Sea X(w)=numero de éxitos en los n ensayos de Bernoulli.

La probabilidad acumulada binomial dado en la tabla 1 es P[X≥r] que designaremos por:

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P[X≥r/B;n,p] o P[X≥r/n,p] En otras palabras la tabla da la probabilidad que la variable aleatoria binomial toma valores mayores o iguales a r. En la siguiente grafica se muestran los valores que toma la variable aleatoria, asociada con sus respectivas probabilidades y se ve también que cada probabilidad en la tabla de probabilidad acumulada es la suma de probabilidades individuales P[X≥r]=P[X=r]+P[X=r+1]+……+P[X=n]

Algunas de las probabilidades mas simples que se presentan se dan en el siguiente cuadro:

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Utilizando un diagrama similar al anterior se tendrá:

Probabilidades que queremos calcular

Probabilidades dadas en la tabla

P[X≥r/n,p] P[X≥r/n,p]

P[X>r/n,p] P[X≥r+1/n,p]

P[X=r/n,p] P[X≥r/n,p]-P[X≥r+1/n,p]

P[X<r/n,p] 1-P[X≥r/n,p]

P[X≤r/n,p] 1-P[X≥r+1/n,p]

Ejemplo: Calcular: a) P[X=2/4;0,23]=P[X≥2/4;0,23]-P[X ≥ 3/4;0,23]

=0,2285-0,0403=0,1882

b) P[X<10/20;0,3]=1-P[X≥10/20;0,3]

=1-0,0480=09520

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Considerando que las tablas solo contienen valores hasta p=0,5, cuando p>0,5 se debe proceder de la siguiente manera: 1) Se sustituye r por n-r 2) Se sustituye p por 1-p 3) Se invierten las desigualdades (< por >) 4) Se usa el procedimiento para calcular

probabilidades <0,5 Ejemplo: Resolver P[X<4/10;0,8] Aplicando regla tenemos P[X>6/10;0,2]=P[X≥7/10;0,2]=0,0009

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La distribución geométrica esta también relacionada con un proceso de Bernoulli excepto que el numero de ensayos no es fijo.

La definición de la variable aleatoria es:

X(w)=número de ensayos requeridos hasta obtener el primer éxito.

RX={1,2,3,4,5,…}

={E,FE,FFE,FFFE,FFFFE,…} La variable aleatoria así definida se llama una variable aleatoria geométrica y la distribución de probabilidad se llama distribución geométrica.

La distribución de probabilidad geométrica es:

p(x)=P[X=x]=pqx-1, x=1,2,3,4 La distribución acumulativa estaría dada por:

𝑓 𝑥 = 0 , 𝑥 < 1 1 − 𝑞𝑥 , 𝑥 ≥ 1

La media y la varianza de la distribución estarían dadas por:

=1

𝑝 𝜎2 =

𝑞

𝑝2 y 𝜎 =𝑞

𝑝

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PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION GEOMETRICA

1. La distribución geométrica es decreciente es decir :

p(x)<p(x-1) para x=2,3,…

2. La distribución geométrica no tiene memoria, es decir:

P[X>x+r/X>r]=P[X>x]

La distribución geométrica es la única que tiene esta propiedad.

Ejemplo1: La probabilidad de éxito al lanzar un cohete es 0,8. Suponga que el ensayo del lanzamiento ya ha ocurrido.

¿Cuál es la probabilidad que sean necesarios 6 ensayos?

Paso 1 Sea:

X(w)=Numero de ensayos hasta que el cohete sea lanzado con éxito

Paso 2 Se define:

RX={1,2,3,4,..} ; p=P[E]=0,8, q=0,2

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Paso 3 La variable aleatoria tiene una distribución geométrica:

p(x)=P[X=x]=(0,8)(0,2)x-1 , x=1,2,3,…

Luego:

P[X=6]=(0,8)(0,2)5=0,000256

La distribución de Poisson es una de las distribuciones mas importantes puesto que se aplica a muchos casos.

El proceso de Poisson consiste en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuó ( unidad de medida).

Por ejemplo contar el numero de automóviles que llegan a una estación de servicio durante un intervalo de tiempo por ejemplo una hora.

Entonces la variable aleatoria será:

X(w)= numero de automóviles que llegan a una estación de servicio en una hora

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Y su rango será RX={1,2,3,…}

Otros ejemplos pueden ser el numero de llamadas que llegan a un tablero conmutador telefónico de una compañía grande en un intervalo de tiempo digamos 9:00 a 10:00am, en este caso el numero de llamadas es discreto ya que el tiempo de llamada es un punto aislado en el periodo de una hora.

O podría ser el numero de bacterias que se pueden contar en 1cm2 de agua.

DEFINICION Diremos que los eventos discretos que se generan en un intervalo continuo (unidad de medida: longitud , área, volumen, tiempo, etc.) forman un proceso de Poisson con parámetro si tiene las siguientes propiedades:

1. El numero promedio de ocurrencia de eventos en una unidad de medida (intervalo de tiempo, región especifica), es conocido e

igual a .

2. La ocurrencia de un evento en una unidad de medida h no afecta a la ocurrencia o no ocurrencia de otra unidad de medida h contigua.(Es decir, la ocurrencia de eventos en unidades contiguas son independientes)

3. Sea una unidad de medida suficientemente pequeña de longitud h luego:

i. La probabilidad de un éxito en esta unidad pequeña es

proporcional a la longitud del intervalo esto es h.

ii. La probabilidad de la ocurrencia de dos o mas éxitos en esta unidad pequeña es aproximadamente 0.

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En un proceso de Poisson de parámetro se observan t unidades de medida y definimos la variable aleatoria como:

X(w)= numero de ocurrencia de eventos en t unidades de medida.

RX={0,1,2,3,4,…}

La variable así definida se llama variable aleatoria de Poisson y la distribución de probabilidades de X se llama distribución de Poisson lo cual esta definido por:

p(x)=P[X=x/P: t]=𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥

𝑥! , x=0,1,2,3,…

t es el numero promedio de ocurrencias de los eventos en las t unidades de medida.

Para t fijo, ponemos = t y obtenemos una expresión mas simple para la distribución de Poisson.

p(x)=P[X=x/P: t]=𝛼𝑥(𝑒)−𝛼

𝑥! , x=0,1,2,3,…

La función de distribución de X esta dada por:

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F(x)=P[X≤x/P:]= 0 , 𝑥 < 0

𝛼𝑘

𝑘!𝑒−𝛼 , 𝑥 ≥ 0𝑥

𝑘=0

La media y la varianza de Poisson están dadas por:

E(X)=∝ 𝑒−∝ 𝛼𝑘

𝑘!= 𝛼𝑒−𝛼𝑒𝛼 = 𝛼∞

𝑘=0

E(x)== Similarmente:

2=E(X2)-(E(X))2=2+-2

2=

TABLA DE DISTRIBUCION DE POISSON

La tabla de distribución de Poisson es de distribución acumulativa P[X≤x/P;] y su uso lo mostraremos con un ejemplo.

EJEMPLO: Las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco en promedio a una razón de 24 por hora durante el periodo de tiempo de 11:00 a 12:00 a.m. cierto día. ¿Cual es la probabilidad que exactamente 5 personas lleguen durante un periodo de tiempo de 12 minutos? ¿Cuál que por lo menos lleguen 10 personas ? ¿Qué lleguen a lo mas 12?

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Paso 1 Definimos la variable aleatoria como:

X(w)= Numero de personas que llegan dentro de el periodo de 12 minutos

Paso 2 Determinamos el Rango de la variable aleatoria y el valor de .

RX={0,1,2,3,….}

=(24)(12)/60=4,8

Paso 3 X es una variable aleatoria de Poisson y su distribución es:

P[X=x/P;4,8]=(4,8)𝑥𝑒−4,8

𝑥! , x=1,2,3,…

Si P[X=5/P;4,8]=(4,8)5𝑒−4,8

5!=

2548,0397×0,0082

120=0,1747

Hay una probabilidad del 17,47% que lleguen exactamente 5 personas en el periodo de 5 minutos.

El calculo en la tabla de Poisson seria el presentado a continuación:

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El valor de x=k=5 y el valor de ==4,8 y en la intersección se muestra el valor de 0,1747 equivalente al 17,47% de que lleguen 5 personas en 12 minutos

Para la segunda pregunta la respuesta es 0,0064=0,64% de probabilidad

Para la ultima pregunta la tabla da un valor de 0,0026 que es 0,26% de probabilidad que lleguen a lo mas 12 personas en el lapso de los 12 minutos.

Ejemplo2: La siguiente distribución estadística de la distribución del número de días (ni) sin accidentes, con accidente, …, con 4 accidentes para un periodo n= 50 días en la ciudad es:

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a) La distribución de accidentes puede considerarse como una variable de Poisson

b) Si la respuesta en (a) es si compare los valores dados (ni) con el numero teórico de días (numero calculado mediante la distribución de Poisson).

Numero de accidentes (xi) 0 1 2 3 4

Numero de días ni 21 18 7 3 1

PASO 1 Calculamos la distribución de probabilidad empírica de la variable

PASO 2 Cálculo de la esperanza matemática de la variable

E(X)=0*0,42 + 1 ∗ 0,36 + 2 ∗ 0,14 + 3 ∗ 0,06 + 4 ∗ 0,02 =

0,9

x 0 1 2 3 4

p(x)=ni/n

21

50= 0,42

18

50= 0,36

7

50= 0,14

3

50= 0,06

1

50= 0,02

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PASO 3 Calculamos la varianza de la variable:

E(X2)=02*0,42 + 12 ∗ 0,36 + 22 ∗ 0,14 + 32 ∗ 0,06 +42 ∗ 0,02 = 1,78

Var(X)=E(X2)-(E(X))2=1,78-(0,9)2=0,97

PASO 4 Puesto que la E(X) ≈ Var(X) es decir son casi lo mismo hacemos que =9 entonces:

p(x)=P[X=x]=0,9𝑋𝑒−0,9

𝑥! , x00,1,2…

Paso 5Determinado por la formula (4) las P[X=x] para, x=1,2,3,4 obtenemos la tabla.

a)La distribución es de Poisson puesto que sus características se ajustan a esta distribución.

b)El numero teórico de días en base a la distribución hallada, se calcula por la formula: n*P[X=x]=50*P[X=x]

x 0 1 2 3 4

P[X=x] 0,41 0,36 0,16 0,05 0,002

x 0 1 2 3 4

Frecuencia teórica (fi)

20 18 8 2 1

Frecuencia observada (ni)

21 18 7 3 1

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DISTRIBUCION DE POISON COMO UNA APROXIMACION A LA BINOMIAL La distribución de Poisson se considera como un limite de la distribución binomial con =np. En esta relación “p” debe ser suficientemente pequeño y “n” grande de tal manera que np permanezca constante.

De =np tenemos que p=n/ y q=1-n/ de donde se deduce la aproximación:

P[X=x/B:n,p]=𝜆𝑥

𝑥!𝑒−𝜆 , x=1,2,3,…

Ejemplo1 Una fabrica textil produce ciertas piezas de dimensiones específicas. Se sabe que la probabilidad que una pieza sea defectuosa es de 0,02 en un lote de 100 piezas ¿Cuál es la probabilidad que no hayan piezas defectuosas? ¿Cuál es la probabilidad que a lo sumo hayan 3 piezas defectuosas? Paso 1 Sea X una variable definida como X(w)=Numero de piezas defectuosas en 100 piezas

Entonces n=100, p=0,02 luego =np=2

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Paso 2 La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es la binomial con parámetros 100 y 0,02 Paso 3: Puesto que n es grande y p pequeña entonces =np (100*000002=2<5) por lo que se aproxima por la distribución de Poisson, con parámetro =2. Es decir:

P[X=x/B:100;0,02]=2𝑥𝑒−2

𝑥! , x=0,1,2,3,…,100

a) P[X=0]=𝑒−2 = 0,1353=13,53% b) P[X≤3]=1-P[X≥4]=1-0,1429=0,8571