Chap 5-*Captulo 5

Distribuciones Tericas de Probabilidad. (Variables Discretas)Estadstica

Chap 5-*Objetivos de aprendizajeEn este captulo aprender; Las propiedades de las distribuciones de probabilidadCalcular el valor esperado ,y, varianza de una distribucin de probabilidadCalcular la covarianza, y ,su aplicacin en finanzasCalcular probabilidades de la binomial, hipergeomtrica y Poisson Como usar la binomial, hipergeomtrica y, Poisson para resolver problemas de negocios

Chap 5-*Introduccin a las Distribuciones deto ProbabilidadVariable AleatoriaRepresenta a un posible valor numrico para un evento posible

Variables AleatoriasDiscretas VariableAleatoriaContinuaVariableAleatoriaC05C06

Chap 5-*Variables Aleatorias DiscretasPuede asumir solo valores numricos que proceden de un conteo

Ejemplos:

Arrojar un dado dos vecesSea X el numero de veces que aparece el 4 (X puede tomar valores 0, 1, 2)

Arrojar 5 veces una moneda. Sea X el numero de caras (luego X = 0, 1, 2, 3, 4, o 5)

Chap 5-*Experimento: Arrojar 2 Monedas. Sea X = n de caras.TTProbabilidad de Distribuciones Discretas4 posibles resultadosTTHHHHDistribucin de Probabilidad 0 1 2 X X Valor Probabilidad 0 1/4 = 0.25 1 2/4 = 0.50 2 1/4 = 0.250.500.25 Probabiidad

Chap 5-*Variables Aleatorias Discretas (Medidas de Resumen)Valor Esperado (o media) de una distribucin discreta(tambin llamado promedio ponderado)

Ejemplo: Arrojo 2 monedas, X = n de caras, calcular el valor esperado de X: E(X) = (0 x 0.25) + (1 x 0.50) + (2 x 0.25) = 1.0 X P(X) 0 0.25 1 0.50 2 0.25

Chap 5-*Varianza de una variable aleatoria discreta

Desvo estndar de una variable aleatoria discreta

donde:E(X) = Valor esperado de una variable aleatoria discreta X Xi = el iesimo resultado de XP(Xi) = Probabilidad de la iesimo ocurrencia de X(continua)Variables Aleatorias Discretas (Medidas de Resumen)

Chap 5-*Ejemplo: Se arrojan 2 monedas, X = # de caras, calcular la desviacin estndar (E(X) = 1)Variable aleatoria discreta Medidas resumen (continua)Numero posible de caras = 0, 1, o 2

Chap 5-*La covarianzaLa covarianza mide la intensidad de la relacin entre dos variablesLa covarianza:

donde:X = variable discreta XXi = el iesimo resultado de XY = variable discreta YYi =el iesimo resultado de YP(XiYi) = probabilidad de ocurrencia del iesimo resultado de X y el iesimo resultado de Y

Chap 5-*Calculo de la media y del retorno de la inversinRetorno por $1,000 para dos tipos de inversin Fondo Pasivo X Fondo Agresivo Y 0.2 Recesin - $ 25 - $ 200 0.5 Economa estable +$ 50 +$ 60 0.3 Economa Expansiva +$ 100 +$ 350 InversinE(X) = X = (-25)(0.2) +(50)(0.5) + (100)(0.3) = 50E(Y) = Y = (-200)(0.2) +(60)(0.5) + (350)(0.3) = 95P(XiYi) Condicin econmica

Chap 5-*Calcular el desvo estndar para el retorno de inversin Fondo Pasivo X Fondo Agresivo Y 0.2 Recesin - $ 25 - $ 200 0.5 Economa estable +$ 50 +$ 60 0.3 Economa Expansiva +$ 100 +$ 350 InversinP(XiYi) Condicin econmica

Chap 5-*Calculo la covarianza para retorno de inversin Fondo Pasivo X Fondo Agresivo Y 0.2 Recesin - $ 25 - $ 200 0.5 Economa estable +$ 50 +$ 60 0.3 Economa Expansiva +$ 100 +$ 350 InversinP(XiYi) Condicin econmica

Chap 5-*Interpretando los resultados del retorno de una inversinEl fondo agresivo tiene un retorno esperado mas alto, pero mucho mayor riesgo

Y = 95 > X = 50 peroY = 193.71 > X = 43.30

La covarianza de 8250, indica que las dos inversiones estn positivamente relacionados y varan en la misma direccin

Chap 5-*La suma de dos variables aleatoriasEl valor esperado de la suma de dos variables aleatorias:

Varianza de la suma de dos variables aleatorias

Desviacin estndar de la suma de dos variables aleatorias:

Chap 5-*Retorno esperado del Portfolio y Riesgo del Portfolio El retorno esperado del Portfolio (retorno promedio ponderado):

Riesgo del Portfolio (variabilidad ponderada)

donde w = porcentaje del activo X en el portfolio (1 - w) = porcentaje del activo Y en el portfolio

Chap 5-*Portfolio Ejemplo Inversin X: X = 50 X = 43.30 Inversin Y: Y = 95 Y = 193.21 XY = 8250

Supongamos 40% del portfolio est en la Inversin X y 60% en la Invesin Y:

El retorno del portfolio y la variabilidad del portfolio entre los valores para las inversiones en X e Y

Chap 5-*Distribuciones de ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad ContinuasBinomialHipergeomtricaPoisonDistribuciones deProbabilidadDistribuciones de Probabilidad Discretas NormalUniformeExponencialC 5C 6

Chap 5-*La Distribucin Binomial BinomialHipergeomtricaPoissonDistribuciones deProbabilidadDistribuciones de Probabilidad Discretas

Chap 5-*Distribucin de Probabilidad BinomialUn numero finito de observaciones, np.ej.,15 lanzamientos de una moneda; 10 tubos de luz tomados de un depositoDos eventos mutuamente excluyentes y con categoras exhaustivasp.ej., cara o cruz en cada tirada de una moneda; defectuoso o no defectuoso tubos de luzGeneralmente llamados xitos y fracasoProbabilidad de xito es p, probabilidad de fracaso es 1 pProbabilidad constante para todas las observacionesp.e., Probabilidad de obtener una cara en cada lanzamiento de una moneda

Chap 5-*Distribucin de Probabilidad Binomial (continua)Las observaciones son independientesEl resultado de cada observacin no afecta, al resultado de otroDos mtodos de muestreoPoblacin Infinita sin reemplazoPoblacin finita con reemplazo

Chap 5-*Algunos ejemplos de la distribucin Binomial Una fbrica que produce tems aceptables o defectuosos.Una firma de acuerdo a que firme contrato o no.Una firma de investigacin en marketing de encuestas, cuyas respuestas son: Si, yo voy a comprar o, No , no voy a comprar.Nuevos procesos de trabajo en las que acepto o rechazo los mismos.

Chap 5-*La Regla de CombinacionesEl numero de combinaciones de elegir X objetos de n objetos es: donde:n! =(n)(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)X! = (X)(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1) 0! = 1 (por definicin)

Chap 5-*P(X) = probabilidad de X xitos en n pruebas con probabilidad de exito p, constante para cada prueba

X = numero de sucesos en la muestra, (X = 0, 1, 2, ..., n) n = tamao de la muestra (numero de observaciones de las pruebas) p = probabilidad de suceso o xito P(X)nX !nXp(1-p)XnX!()!=--Ejemplo: Arrojo una moneda cuatro veces y obtengo x = # caras:n = 4p = 0.51 - p = (1 - 0.5) = 0.5X = 0, 1, 2, 3, 4Formula de la Distribucin Binomial

Chap 5-*Ejemplo: Calculando la Probabilidad BinomialCul es la probabilidad de un xito en cinco observaciones, si la probabilidad de xito es .1? X = 1, n = 5, y p = 0.1

Chap 5-*n = 5 p = 0.1n = 5 p = 0.5Mean 0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)0Distribucin BinomialLa forma de la distribucin binomial depende de los valores de p y nAqu, n = 5 y p = 0.1Aqu, n = 5 y p = 0.5

Chap 5-*Caractersticas de la Distribucin BinomialMedia

Varianza y desviacin estndardonden = tamao de la muestrap = probabilidad de xito(1 p) = probabilidad de fracaso

Chap 5-*n = 5 p = 0.1n = 5 p = 0.5Mean 0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)0Caractersticas de la BinomialEjemplo

Chap 5-*Utilizando la tabla de la Binomial Ejemplo: n = 10, p = 0.35, x = 3: P(x = 3|n =10, p = 0.35) = 0.2522n = 10, p = 0.75, x = 2: P(x = 2|n =10, p = 0.75) = 0.0004

n = 10xp=.20p=.25p=.30p=.35p=.40p=.45p=.500123456789100.10740.26840.30200.20130.08810.02640.00550.00080.00010.00000.00000.05630.18770.28160.25030.14600.05840.01620.00310.00040.00000.00000.02820.12110.23350.26680.20010.10290.03680.00900.00140.00010.00000.01350.07250.17570.25220.23770.15360.06890.02120.00430.00050.00000.00600.04030.12090.21500.25080.20070.11150.04250.01060.00160.00010.00250.02070.07630.16650.23840.23400.15960.07460.02290.00420.00030.00100.00980.04390.11720.20510.24610.20510.11720.04390.00980.0010109876543210p=.80p=.75p=.70p=.65p=.60p=.55p=.50x

Chap 5-*La Distribuci de PoissonBinomialHipergeomtricaPoissonDistribucin de ProbabilidadDistribucin de Probabilidad Discreta

Chap 5-*La Distribucin de PoissonSe aplica la Distribucin de Poisson cuando:Se desea contar el numero de veces en que ocurra un evento en una determinada rea de oportunidadLa probabilidad que un evento ocurra en un rea de oportunidad, es la misma para todas las reas de oportunidad El numero de eventos que ocurren en un rea de oportunidad es independiente del numero de eventos que ocurren en las otras reas de oportunidadLa probabilidad que, dos o mas eventos ocurran en un rea de oportunidad tiende a cero, cuando el rea de oportunidad tiende a ser pequeoEl numero promedio de eventos por unidad es (lambda)

Chap 5-*Formula de la Distribucin de Poissondonde:X = numero de eventos en un rea de oportunidad = valor esperado de eventose = base del sistema de los logaritmos naturales 2.71828...)

Chap 5-*Caractersticas de la Distribucin de PoissonMedia

Varianza y desviacin estndardonde = numero esperado de eventos

Chap 5-*Utilizando la Tabla de PoissonEjemplo: Encontrar P(X = 2) if = 0.50

X0.100.200.300.400.500.600.700.800.90012345670.90480.09050.00450.00020.00000.00000.00000.00000.81870.16370.01640.00110.00010.00000.00000.00000.74080.22220.03330.00330.00030.00000.00000.00000.67030.26810.05360.00720.00070.00010.00000.00000.60650.30330.07580.01260.00160.00020.00000.00000.54880.32930.09880.01980.00300.00040.00000.00000.49660.34760.12170.02840.00500.00070.00010.00000.44930.35950.14380.03830.00770.00120.00020.00000.40660.36590.16470.04940.01110.00200.00030.0000

Chap 5-*Grafico de las Probabilidades de PoissonP(X = 2) = 0.0758 Graficamente: = 0.50

X =0.50012345670.60650.30330.07580.01260.00160.00020.00000.0000

Chart2

0.6065306597

0.3032653299

0.0758163325

0.0126360554

0.0015795069

0.0001579507

0.0000131626

0.0000009402

x

P(x)

Histogram

0

0.6065306597

0.3032653299

0.0758163325

0.0126360554

0.0015795069

0.0001579507

0.0000131626

0.0000009402

0.0000000588

0.0000000033

0.0000000002

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Number of Successes

P(X)

Histogram

Poisson2

Poisson Probabilities for Customer Arrivals

Data

Average/Expected number of successes:0.5

Poisson Probabilities Table

XP(X)P(=X)

00.6065310.6065310.0000000.3934691.000000

10.3032650.9097960.6065310.0902040.393469

20.0758160.9856120.9097960.0143880.090204

30.0126360.9982480.9856120.0017520.014388

40.0015800.9998280.9982480.0001720.001752

50.0001580.9999860.9998280.0000140.000172

60.0000130.9999990.9999860.0000010.000014

70.0000011.0000000.9999990.0000000.000001

80.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

90.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

100.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

110.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

120.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

130.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

140.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

150.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

160.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

170.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

180.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

190.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

200.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

&A

Page &P

Poisson2

0

0

0

0

0

0

0

0

x

P(x)

Poisson

Poisson Probabilities for Customer Arrivals

Data

Average/Expected number of successes:0.1

Poisson Probabilities Table

XP(X)P(=X)

00.90480.9048370.0000000.0951631.000000

10.09050.9953210.9048370.0046790.095163

20.00450.9998450.9953210.0001550.004679

30.00020.9999960.9998450.0000040.000155

40.00001.0000000.9999960.0000000.000004

50.00001.0000001.0000000.0000000.000000

60.00001.0000001.0000000.0000000.000000

70.00001.0000001.0000000.0000000.000000

&A

Page &P

Sheet1

Sheet2

Sheet3

Chap 5-* Forma de la Distribucin de PoissonForma de la Distribucin de Poisson depende del parmetro : = 0.50 = 3.00

Chart3

0.0497870684

0.1493612051

0.2240418077

0.2240418077

0.1680313557

0.1008188134

0.0504094067

0.0216040315

0.0081015118

0.0027005039

0.0008101512

0.0002209503

x

P(x)

Histogram

0

0.6065306597

0.3032653299

0.0758163325

0.0126360554

0.0015795069

0.0001579507

0.0000131626

0.0000009402

0.0000000588

0.0000000033

0.0000000002

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Number of Successes

P(X)

Histogram

Poisson2

Poisson Probabilities for Customer Arrivals

Data

Average/Expected number of successes:3

Poisson Probabilities Table

XP(X)P(=X)

00.0497870.0497870.0000000.9502131.000000

10.1493610.1991480.0497870.8008520.950213

20.2240420.4231900.1991480.5768100.800852

30.2240420.6472320.4231900.3527680.576810

40.1680310.8152630.6472320.1847370.352768

50.1008190.9160820.8152630.0839180.184737

60.0504090.9664910.9160820.0335090.083918

70.0216040.9880950.9664910.0119050.033509

80.0081020.9961970.9880950.0038030.011905

90.0027010.9988980.9961970.0011020.003803

100.0008100.9997080.9988980.0002920.001102

110.0002210.9999290.9997080.0000710.000292

120.0000550.9999840.9999290.0000160.000071

130.0000130.9999970.9999840.0000030.000016

140.0000030.9999990.9999970.0000010.000003

150.0000011.0000000.9999990.0000000.000001

160.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

170.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

180.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

190.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

200.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

&A

Page &P

Poisson2

0

0

0

0

0

0

0

0

x

P(x)

Poisson

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

x

P(x)

Sheet1

Poisson Probabilities for Customer Arrivals

Data

Average/Expected number of successes:0.1

Poisson Probabilities Table

XP(X)P(=X)

00.90480.9048370.0000000.0951631.000000

10.09050.9953210.9048370.0046790.095163

20.00450.9998450.9953210.0001550.004679

30.00020.9999960.9998450.0000040.000155

40.00001.0000000.9999960.0000000.000004

50.00001.0000001.0000000.0000000.000000

60.00001.0000001.0000000.0000000.000000

70.00001.0000001.0000000.0000000.000000

&A

Page &P

Sheet2

Sheet3

Chart2

0.6065306597

0.3032653299

0.0758163325

0.0126360554

0.0015795069

0.0001579507

0.0000131626

0.0000009402

x

P(x)

Histogram

0

0.6065306597

0.3032653299

0.0758163325

0.0126360554

0.0015795069

0.0001579507

0.0000131626

0.0000009402

0.0000000588

0.0000000033

0.0000000002

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Number of Successes

P(X)

Histogram

Poisson2

Poisson Probabilities for Customer Arrivals

Data

Average/Expected number of successes:0.5

Poisson Probabilities Table

XP(X)P(=X)

00.6065310.6065310.0000000.3934691.000000

10.3032650.9097960.6065310.0902040.393469

20.0758160.9856120.9097960.0143880.090204

30.0126360.9982480.9856120.0017520.014388

40.0015800.9998280.9982480.0001720.001752

50.0001580.9999860.9998280.0000140.000172

60.0000130.9999990.9999860.0000010.000014

70.0000011.0000000.9999990.0000000.000001

80.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

90.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

100.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

110.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

120.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

130.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

140.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

150.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

160.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

170.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

180.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

190.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

200.0000001.0000001.0000000.0000000.000000

&A

Page &P

Poisson2

0

0

0

0

0

0

0

0

x

P(x)

Poisson

Poisson Probabilities for Customer Arrivals

Data

Average/Expected number of successes:0.1

Poisson Probabilities Table

XP(X)P(=X)

00.90480.9048370.0000000.0951631.000000

10.09050.9953210.9048370.0046790.095163

20.00450.9998450.9953210.0001550.004679

30.00020.9999960.9998450.0000040.000155

40.00001.0000000.9999960.0000000.000004

50.00001.0000001.0000000.0000000.000000

60.00001.0000001.0000000.0000000.000000

70.00001.0000001.0000000.0000000.000000

&A

Page &P

Sheet1

Sheet2

Sheet3

Chap 5-*La Distribucin HipergeomtricaBinomialPoissonDistribucin de ProbabilidadDistribucin Discreta de ProbabilidadHipergeomtrica

Chap 5-*La Distribucin Hipergeometrica n pruebas de una muestra tomada para de poblacin finita de tamao NMuestras tomadas sin reemplazoLos resultados de las pruebas son dependientesQueremos encontrar la probabilidad de X xitos en la muestra donde hay A exitos en la poblacin

Chap 5-*Formula de la Distribucin HipergeomtricadondeN = tamao de la poblacin A = numero de xitos en la poblacin N A = numero de fracasos en la poblacinn = tamao de la muestraX = numero de xitos en la muestra n X = numero de fracasos en la muestra

Chap 5-*Propiedades de la Distribucin HipergeomtricaLa media de la distribucin hipergeomtrica es

La desviacin estndar es

donde es llamado Factor de Correccin de Poblacin Finitade la muestra sin reemplazo proveniente de una poblacin finita.

Chap 5-*Utilizando la Distribucin HipergeomtricaEjemplo: 3 diferentes computadoras son chequeadas de 10 en un departamento. 4 de 10 computadoras tienen cargados software ilegal. Cual es la probabilidad que 2 de 3 computadoras seleccionadas tengan software ilegal cargado?

N = 10n = 3 A = 4 X = 2La probabilidad que 2 de 3 computadoras seleccionadas tengan software ilegal cargados es 0.30, o 30%.

Chap 5-*Resumen del CaptuloDireccionar la probabilidad de la variable aleatoria discretaDefinir la covarianza y discutir su aplicacin en finanzasDiscutir la distribucin Binomial Discutir la distribucin de Poisson Discutir la distribucin Hipergeomtrica