Papel de la probabilidad en estadística

La probabilidad y estadística se relaciona de una manera importante. La probabilidad se emplea como una herramienta; permite evaluar la confiabilidad de las conclusiones respecto a la probabilidad cuando solo tiene información muestral.

Como en el ejemplo de lanzar una moneda, los analistas estadísticos usan la probabilidad de dos formas. Cuando se conoce la población, la probabilidad se usan para describir la probabilidad de observación un resultado muestral particular. Cuando se desconoce la población, se usa la probabilidad para hacer afirmaciones acerca de la composición de la población, es decir se hacen inferencias estadísticas

Existen muchas formas distintas para calcular probabilidades. Se supondrá que se conoces la población y se calculara la probabilidad observar varios resultado de la muestra.

Ejemplo

1. Cuando lanza una moneda, ve cara (C) o cruz (X). Si lanza la moneda repetidas veces, generara un número infinito de letras C y X, la población completa. ¿A qué se parece esta población? Si la moneda no está cargada, entonces la población debe contener 50% de letras C y 50% de letras X. ahora lance la moneda una vez más. ¿Cuál es la posibilidad de obtener una cara? La mayor parte de las personas dirían que la “probabilidad” u oportunidad es ½.

2. Hora suponga que no está seguro si la moneda está cargada; es decir, no tiene la certeza de que la composición de la población sea 50-50. Usted decide realizar un experimento simple. Lanza la moneda n = 10 veces y observa 10 caras consecutivas. ¿le es posibles concluir que la moneda no está cargada, sería muy improbable, observar 10 caras consecutivas; es decir, la “probabilidad” sería muy pequeña. Es más probable que la moneda este cargada.

3. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento

4. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

5. Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución: Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

Eventos y espacio muestral

Los datos se obtienen al observar ya sea eventos no controlados en la naturaleza o situaciones controladas en un laboratorio. Se usan el término experimento para describir cualquier método de recolección de datos

Definición de un experimento es el proceso mediante cual se obtiene una observación (o medición).

La observación o medición generada mediante un experimento se puede o no producir un valor numérico. Aquí tiene algunos experimentos de ejemplo

Registrar una calificación de examen

Medir la lluvia diaria

Entrevistar al dueño de una casa para obtener su opinión acerca de un decreto de zonificación para ares verdes

Cuando se realiza un experimento, lo que observas es un método simple, Denotado con frecuencias mediante la E mayúscula con un subíndices

Definición de un evento simple es el resultado que se observa en una repetición del experimento.

Definición un evento es una colección de un evento simple.

Definición dos eventos mutuamente excluyentes si, cuando un evento ocurre, el otro no, y viceversa

Definición el conjunto de todos los eventos simples se llama espacio muestral s

Una forma alterna de mostrar los eventos simples es usar una tabla de probabilidades,

Ejemplo

1. Experimento: lance un dado y observe al número que parece en la cara superior. Estos son eventos simples

EventoE1: observar un 1 evento E4: observar un 4

EventoE2: observar un 2 evento E5: observar un 5

Evento E3: observar un 3 evento E6: observar un 6

La definición para los eventos A y B en el experimento de lanzar un dado son:

A: observar un número impar

B: observar un número menor que 4

Puesto que al evento A ocurre si la cara superior es 1,3 o 5, es una colección de tres eventos simples y se escribe A = E1,E3,E5. De manera similar, el evento B ocurre si la cara superior es 1,2 o 3 y es definido como una colección conjunta de estos tres eventos simples: B = E1,E2,E3

En el experimento de lanzar un dado, los eventos A y B no son mutuamente excluyentes por que tiene dos resultados en común: si el número de la cara superior es 1 o 3. Ambos eventos A y B ocurrirán si se observan E1o E3 cuando se efectúan el experimento. En contraste, los seis evento simples E1,E2…,E6 forman conjunto de resultados mutuamente excluyentes para el experimento. Cuando el experimento se efectúa una vez, ocurren uno y solo uno de estos eventos simples

2. Si A=”Sale 1 en el lanzamiento de un dado correcto” entonces P(A)=

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Propiedades básicas

Imposible P(A)=0

Seguro P(A)=1

En general 0<P(A) <1

Espacio muestral P(S)=1

Evento nulo P (∅)=0

3. Espacio muestral y eventos El uso de conjuntos representados por diagramas de Venn, facilita la compresión de espacio muestral y evento, ya que el espacio muestral S, se puede equiparar con el conjunto universo, debido a que S contiene la totalidad de los resultados posibles de un experimento, mientras que los eventos E contienen solo un conjunto de resultados posibles del experimento, mientras que los puntos muestrales se equiparan con los elementos.

Vamos a suponer que el experimento que se realiza es el lanzamiento de un

dadoy queremos conocer ¿cuál es la probabilidad de que caiga un 3 o un 5? Si

contiene la totalidad de los resultados posibles, entonces S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

puesto que el dado tiene 6 caras y si buscamos la probabilidad P de que caiga 3

o5, esto constituye un evento entonces, E = 3, 5

4. Se hace un experimento en que se lanza de un dado y se quiere conocer ¿cuál es la probabilidad de que

Caiga un tres o un cinco?

Solución.

Si E contiene la totalidad de los resultados posibles, entonces E = 1,2,3,4,5,6 puesto que el dado

Tiene seis caras y si se busca la probabilidad P de que caiga tres o cinco, esto constituye un evento

Entonces, A = 3,5.

5. Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = águila, sol .

Ejemplo.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Cálculo de probabilidades para eventos simples

La probabilidad de un evento A es una medida de nuestra creencia de que ocurrirá el evento A. una manera práctica de interpretar esta medida es con el concepto de

frecuencia relativa. Un experimento se efectúa n veces, entonces la frecuencia relativa de una ocurrencia particular, por ejemplo A, es

Frecuencia = frecuncias

n

Donde la frecuencia es el número de veces que ha ocurrido un evento A. si se permite que n, el número de repeticiones del experimento, se vuelva cada vez más grande (n ∞), al final generara la población completa. En esta población la frecuencia relativa del evento A se define como la probabilidad del evento A; es decir,

P(A) = lím frecuencia

n

n→∞

Puesto que p(A) se comporta como una frecuencia relativa, P(A) debe ser una proporción que se encuentre 0 y 1; P(A) = 0 si el evento A nuca ocurre, y P(A) = 1 si el evento A ocurre siempre. Mientras más cerca este P(A) de 1, hay más probabilidades de que ocurra A.

A veces ayuda a visualizar un experimento el uso de una ilustración llamada diagrama de ven, mostrado. Representado el espacio muestral, que contiene todo los eventos simples, representados por puntos etiquetados. Puesto que un evento es una colección de uno o más eventos simples, los puntos apropiados se agrupan y marcan con la letra de evento. Para el experimento de lanzar un dado, el espacio muestral es s = E1,E2,E3,E4,E5,E6 o, de modo más simple, s = 1,2,3,4,5,. Los eventos A = 1, 2,5 y B = 1 ,2 ,3 se agrupan en el diagrama de ven.

Ejemplo

1. experimento: lance una moneda y observe el resultado. Estos son los eventos simples:

E1: observamos una cara (C)

E2: observamos una cruz (X)

El espacio muestral es S = E1,E2 o de modo más simples, S = C, X

2. experimento: registre el tipo de sangre de una persona. Los cuadros posibles, son estos eventos simples mutuamente excluyentes:

E1: Sangre tipo A

E2: Sangre tipo B

E3: Sangre tipo AB

E4: Sangre tipo O

El espacio muestral es S = E1, E2, E3, E4 , = A, B, AB, O.

3. Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca una canica de la Bolsa al azar, ¿cuál es P (azul)?

P (azul) es la probabilidad de sacar una canica azul.

Hay 3 maneras de sacar una canica azul.

Hay 4 3 ó 7 resultados posibles.

P (azul) ó como un decimal, 0.428571

.P (azul) ó como un decimal, 0.428571Una moneda puede caer en cara (o Heads) o cruz (o Tails). Tori puede sacar dos caras, dos cruces, o una de cada una. Existen 3 resultados: 0 caras, 1 cara, o 2 caras.

Estos resultados no son igualmente probables. Puede sorprendente, pero piensa de esta forma: Imagina que una moneda es de 5 centavos y la otra es de 10 centavos. Las maneras posibles de lanzar las monedas son:

Moneda de 5 centavos

Moneda de 10

centavos

Número de Caras

H H 2H T 1T H 1T T 0

Solución

Nota que hay dos formas de sacar una cara, pero sólo una forma de sacar 2 caras y una forma de sacar 0 caras. Tori debe esperar obtener 1 cara ½ de las veces, 0 caras ¼ de las veces, y 2 caras ¼ de las veces.

Existen 3 resultados, pero no son igualmente probables.

4. Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la

Probabilidad de que ocurra al menos una cara? El EM para este experimento es CC, CS, SC, SS. Si la moneda está

Balanceada, cada uno de estos resultados tendrá la misma Probabilidad de ocurrencia. Si A es el evento de que ocurra al Menos una cara, entonces A= CC, CS, SC y P(A)=1/4+1/4+1/4=3/4.

5. Se carga un dado de forma que sea dos veces más

Probable que salga un número par que uno impar. Si E es el

Evento de que ocurra un número menor que 4 en un solo

Lanzamiento del dado, calcular P (E).

Sabemos que el EM es 1, 2, 3, 4, 5 ,6. Asignamos una probabilidad

De w a cada número impar y una probabilidad de 2w a cada

Número par. Como la suma de las probabilidades debe ser 1,

Tenemos 9w=1 o w=1/9. Por lo tanto E= 1, 2,3 y

P (E)=1/9+2/9+1/9=4/9.

REQUISITO PARA LAS PROBABILIDADDES DE EVENTOS SIMPLES

Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1.

La suma de las probabilidades de todos los eventos simples en s es igual a 1.

Cuando es posibles mostrar los eventos simples asociado con una experimento y determinado sus probabilidades respectivas, es posibles hallar la probabilidad de un evento a al sumar las probabilidades para todos los eventos simples conteniendo en el.

Definición la probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades de los eventos simples contenidos en A.

Ejemplo

1. Un recipiente contiene un dulce amarillo y dos rojos. Usted cierre sus ojos, elijas dos dulces del recipiente, uno a la vez registre sus colores. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos dulces sean rojos

Solución hay dos dulces rojos en el recipiente, asi que puede usar las letras R1,R2, El primero rojo, el segundo rojo y A para indicar que ha seleccionado el amarillo. Puesto que cierra sus ojos cuando elige los dulces las seis elecciones deben ser equiprobables y se les asignas probabilidad 1/6. Si A es el evento de que ambos dulces sean rojos, entonces

A = R1, R2, R2 R1 así p(A) = p(R1 R2) + (R2 R1)

=1/6+1/6=1/3

2. Las proporciones de fenotipo sanguinos A, B, AB y O en la población de todos los caucásicos en estados unidos son .41, .10, .04, y .45, respectivamente. Si se eligiera al azar un solo caucásico de la población, ¿Cuál es la probabilidad de que él o ella tengan sangre tipo A o tipo AB?

Solución los cuatros eventos simples, A, B, AB Y O no son equiprobables. Sus probabilidad se encuentran del concepto de frecuencia relativa como

P(A) = .41 p(B) =.10 P(AB) =.04 P(O) = .45

El evento de interés consiste en dos eventos simples, por tanto

P (la personas es de tipo A o tipo AB)

= p(A)+P (AB)

= .41 + .04 =.45

3. Lance dos monedas no cargadas y registre el resultado. Encuentre la probabilidad de observación exactamente una cara en dos lanzamientos.

Solución para listar los eventos simples en el espacio muestral, use un diagrama de árbol. Las C y X significan que usted observo una cara o una cruz, respectivamente, en cada lanzamiento. Para asignar las probabilidades a cada uno de los cuatro eventos simples, necesita recordar que las monedas no están cargadas. Por tantos, cualquiera de los cuatros eventos simples es tan probable como cualquier otro. Puesto que la suma de los cuatros eventos debe ser 1, cada uno debe tener probabilidad p(Ei) = 1/4 . Los eventos simples en el espacio muestral. Junto a sus probabilidades equiprobables (igualmente probable o con probabilidades iguales.) para hallar p(A) = p (observe exactamente una cara), necesita hallar los eventos simples que dan como resultado el evento A; a saber E2 Y E3:

P(A) = p (E2) + P (E3)

=1/4+1/4=1/2

4. Un surtido de dulces contiene seis mentas, cuatro chicles y Tres chocolates. Si una persona hace una selección aleatoria de uno

De estos dulces, calcular la probabilidad de sacar a) una menta y b) un

Chicle o un chocolate.

Si M, T y C representan los eventos de que la persona seleccione,

Respectivamente, una menta, un chicle y un chocolate. El número

Total de dulces es 13, los cuales tiene la misma probabilidad de ser

Seleccionados.

a) Como seis de los 13 dulces son mentas, P (M)=6/13.

b) Como siete de los 13 dulces son chicles o chocolates, P (T U C)=7/13

5. La probabilidad de que Paula apruebe Estadística es

2/3 y la probabilidad de que apruebe Ecuaciones Diferenciales es

4/9. Si la probabilidad de aprobar ambos cursos es 1/4. ¿Cuál es la

Probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de estos cursos?

Si E es el evento aprobar Estadística y D el evento aprobar

Ecuaciones Diferenciales, entonces

Calculo de la probabilidad de un evento

1. Liste los eventos simples del espacio muestral.2. Asigne una probabilidad apropiada para cada evento simple.3. Determine que eventos simple que dan como resultado el evento de interés.4. Sume las probabilidades de los eventos simples que dan como resultado el

evento de interés.

En su cálculo siempre debe tener cuidado de satisfacer estas dos condiciones:

Incluyendo todos los eventos simples en el espacio muestral.

Asigne probabilidades reales a los eventos simples.

Cuando el espacio muestral es grande, es fácil omitir sin advertirlo algunos de los eventos simples. Si estos suceden o si sus probabilidades asignadas son errores, sus respuestas no serán útiles en las prácticas.

Una manera de determinar el número requerido de eventos simples es usar las reglas de conteo presentadas en la siguiente sección opcional. Estas reglas se usan para resolver problemas más complejos, que por lo común involucran un gran número de eventos simples. Si necesita dominar solo los conceptos básico de la probabilidad, elija omitir la siguiente sección.

Un experimento o fenómeno aleatorio es un

Proceso o acción cuyo resultado es incierto.

1. Lanzar una moneda al aire y observar la cara

Superior.

2. Marcar un teléfono al azar del directorio y

Observar si contestan, no contestan o está

3. Es un subconjunto del espacio muestra S.

En el ejemplo de las gasolineras…

El evento A está definido como el que la primera

Gasolinera tiene más bombas ocupadas que la

Segunda.

A = (1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2),…

…, (6, 5)

B = La primera gasolinera tiene la mitad de bombas

Ocupadas que la segunda.

B = (1, 2), (2, 4), (3, 6)

4. La probabilidad de que una persona entre conduzca a exceso de velocidad es de 0.35, la probabilidad de

Que maneje sin licencia es de 0.15 y la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad y sin licencia es

De 0.08. a) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad o sin licencia? b) ¿Cuál es la

Probabilidad de que maneje sin licencia dado que maneja a exceso de velocidad?

P (EV) = 0.35; P (SL) = 0.15 = P(EV ∩ SL ) = 0.08

P (EV U SL) = 0.35 + 0.15 – 0.08 = 0.42

P (SL | EV) = 0.08/0.35 = 0.2286

5. La probabilidad de que una persona posea un teléfono celular es de 0.35, la probabilidad de que sea un

Profesionista es de 0.25 y la probabilidad de que ya sea profesionista o posea un teléfono celular es de 0.50.

Encuentre la probabilidad de que una persona a) Posea un teléfono celular y sea profesionista; b) Sea

Profesionista dado que no posee un teléfono celular; c) Posea un teléfono celular dado que es profesionista.

P (CE) = 0.35; P(PF) = 0.25 P(PF U CE) = 0.50

P (CE ∩ PF) = 0.35 + 0.25 – 0.50 = 0.10.

P (PF | CE’) = 0.25/0.65 = 0.3846

P (CE | PF) = 0.10/0.25 = 0.40

Reglas de conteo para permutaciones

El número de maneras en que posible arreglar n objetivo distintos, tomándolos de r en r a la vez

Prn =

n !r ! (n−r )!Donde n! = n(n - 1) (n - 2)… (3)(2)(1) y 0! = 1.

Puesto que se elige los r objetivo, este es un experimento de r etapas. El primer objeto es elegido de n maneras, el segundo en (n – 1) maneras, el tercero de (n – 2) maneras y el r-esimo de (n – r + 1) maneras. Para simplificar estas difícil notación se usa la regla de conteo para las permutaciones porque

n !r ! (n−r )! = n (n−1 ) (n−2 )…(n−r+1)(n−r )… (2 )(1)

(n−r )… (2 )(1)

n (n−1 )…n−r+1¿|

Ejemplo:

1. Una marca de coches comercializa un determinado modelo en tres versiones: cinco

Puertas, tres puertas y familiar. El motor puede ser dicel o gasolina. Finalmente,

Hay disponibles cinco colores: rojo, blanco, gris, azul y verde. ¿Cuántos tipos de

Coches diferentes se fabrican del mismo modelo?

De forma razonada, podemos deducir el principio de multiplicación y aplicarlo a

Este caso concreto: por cada versión del modelo podemos elegir dos motores

Diferentes y, a su vez, por cada motor podemos elegir entre cinco colores para la

Carrocería.

Versión Motor Color TOTAL

2. de la regla de conteo para combinaciones es un procedimiento de control de calidad en que un inspector selecciona al azar dos de cinco partes, para examinar y ver si tiene defectos. En un grupo de cinco partes, ¿cuántas combinaciones de dos partes se puede seleccionar? La regla de conteo de la ecuación que para n=5 y r=2 el resultado es

Así, hay 10 resultados en el experimento de seleccionar al azar dos partes de un grupo de cinco. Si identificamos a cinco partes como A, B, C, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE y DE.

3. la lotería de ohio emplea selección aleatoria de seis números de un grupo de 47 para determinar al ganador semanal. Se puede aplicar la regla de conteo. Para combinaciones, para calcular la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar seis números distintos de entre un grupo de 47 números.

4. La regla de conteo para combinaciones indica que hay más de 10 millones de resultados experimentales para determinar al ganador de la lotería. Una persona se compra un boleto de lotería tiene una posibilidad de ganar 10737573.

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con

todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

5. Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 ×... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

on las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Un caso especial: arreglos de n elementos

El numero de formas para un conjunto completo de n elementos distintos es Prn =

n!

Ejemplo

1. una pieza de quipo está compuesta por cinco partes que se ensamblan en cualquier orden. Se realizara una prueba para determinar el tiempo necesario para cada orden de ensamble. Si cada orden se probara una vez, ¿Cuántas pruebas se debe llevar a cabo

Solución el número total de pruebas es igual a

p55 =

5!0 ! = 5(4) (3) (1) = 120

2. Tres boletos de loterías se extraen de un total de 50. Si los boletos se distribuirán a cada uno de tres empleados en el orden en que son extraídos, el orden será importante. ¿Cuántos eventos simples se relacionan con este experimento?

Solución el número total de eventos de simples es

P350 = 50(49) (48) = 117600

3. Para referirnos a una posición o elemento en particular del arreglo, especificamos el nombre del arreglo y el número de posición de ese elemento en el arreglo. Ejemplo

a[i] = 0; , a[0][3]= 9;|

4. ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Solución: Por principio multiplicativo: 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6, 375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc. Por Fórmula: n = 25, r = 5 25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x... x 1) = 6, 375,600 maneras de formar la representación

5. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

Solución:

a. Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera Por Fórmula: n = 8, r = 8 8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida......etc., etc. b. Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera Por fórmula: n =8, r = 3 8P3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera ¿Cuántos puntos de tres coordenadas (x, y, z), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

Solución: a. Por fórmulan = 6, r = 3 6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo b. Por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

Regla de conteo para combinaciones

El numero de combinaciones distintas de n objetas que se pueden se formar, tomándolos de r en r elementos a la vez, es

C rn =

n !r ! (n−r )!

Hay una relación entre el número de combinaciones y el número de permutaciones:

C rn = Pr

n/r!

Usted puede ver que C rn resulta cuando divide el numero de permutaciones entre

r!, el numero de maneras de arreglar cada grupo distintos de r objetivos escoge del total n.

Ejemplo

1. Una tarjeta de circuito impreso es ofrecida por cinco proveedores. ¿De cenatas maneras se escoge a tres proveedores de entre los cincos?

Solución puesto que solo es importante conocer cuales son los tres que sido escogido, y no el orden de selección, el numero de maneras es

C rn =c=

(5 )(4 )2

=10

2. cinco fabricantes producen un determinado dispositivo electrónico cuya calidad varia de un fabricante a otro. Si usted eligiera tres fabricantes al azar ¿Cuál es la probabilidad de que la selección contenga a dos tres mejores?

Solución el número total de eventos simples N se cuenta como el numero de maneras de escoger tres de los cincos fabricantes, o bien

N=C35=

5 !3! 2!=10

3. Combinaciones con repetición: Por último estudiaremos las formaciones denominadas Combinaciones con Repetición. Introduciremos el problema con un ejemplo.

Supongamos que el capitán de un barco puede cargar 5 contenedores. Puede

Elegir entre tres mercancías diferentes: transistores, ordenadores o cintas de

Vídeo, habiendo en el puerto existencias suficientes de las tres ¿Cuántas opciones tiene? [COMBINACIONES CON REPETICIÓN]. Una opción sería cargar

Sólo transistores TTTTT, otra dos de transistores y tres de ordenadores T, T, T, O, O,

etc... Se trata de calcular el número de subconjuntos de 5 elementos que pueden formarse

Con los elementos de T, O, C permitiéndose la repetición de éstos. En general el número

De combinaciones con repetición que pueden formarse con n elementos tomados de m en

M es:

4. Permutaciones con repetición: Supongamos ahora que estamos participando

En el juego de las palabras cruzadas y que disponemos de las letras A, S, R, Q, A, A, S.

¿Cuántas palabras podemos formar usándolas todas? El problema es equivalente

A estudiar cuántas palabras se pueden formar permutando (cambiando de orden) las letras

De CASA. Si todas las letras fuesen distintas (COSA) tendríamos P4

= 4! = 24 opciones.

Pero al tener dos letras repetidas (A, A), cuando las permutemos obtendremos la misma

palabra. De forma que de COSA y CASO, se obtiene sólo CASA. De esta forma se obtiene

que con CASA se podrán formar 24/2=12 palabras distintas. ¿Qué ocurrirá con las letras

CAAAS? ¿Y con CASAS? Estúdiense estos problemas hasta deducirse la siguiente fórmula

general. El número de palabras de longitud n que pueden formarse con n letras, donde la

primera se repiten1 veces, la segunda n2, etc... Se denomina Permutaciones con Repetición

y su número es:

5. Permutaciones sin repetición: Un caso particular de variaciones son aquellas en las que intervienen todos los símbolos (n = m), denominadas Permutaciones, cuyo número será

Donde n!, se lee como ene factorial y es simplemente una forma de representar la multiplicación n(n−1)...1. Con esta notación se tiene V

n,m = n!/(n− m)!.

Veamos un ejemplo, ¿Cuántas palabras pueden formarse permutando (cambiando) las letras de la palabra CARLOS? La solución es:

P6= 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

REGLAS DE CONTEO UTILES (OPCIONAL)

Supongamos que un experimento tiene que ver con un gran número N de eventos simples y usted sabe que los eventos simples son igualmente probables. Entonces cada evento simple tiene probabilidad de un evento A se calcula como:

P (A )=nA

N

Donde

Es el número de eventos simples que hay en el evento A. en esta sección presentamos tres reglas simples, útiles para contar ya sea N, el número de eventos simples en el espacio muestral, o nA, el número de eventos simples en el evento A. una vez que ha sido obtenido estas cuentas, podrá encontrar la P(A) sin listar los eventos simples.

LA REGLA DE mn

Considere un experimento que se realiza en dos etapas. Si la primera etapa se logra de manera m maneras y, para cada una de éstas, la segunda etapa se lleva a cabo de n modos, entonces hay mn formas de llevar a cabo el experimento.

EJEMPLO

Supongamos que le es posible ordenar un automóvil en uno de tres estilos y en uno de cuatro colores. Para determinar cuántas opciones están

disponibles, piensa en escoger primero uno de los m=3 estilos y luego seleccionar uno de los n=4 colores. Por medio de la regla de mn, se tiene mn = (3)(4)= 12 opciones.

Se lanzan dos dados ¿cuántos eventos simples hay en el espacio muestral S?

Solución El primer dado cae en una de m =6 maneras, y el segundo dado en uno de n=6 modos. Puesto que el experimento consta de dos etapas, al formar los pares de número mostrado en las dos caras, el número total de eventos simples en S en número mostrados en las dos caras, el número total de eventos simples en S es

mn=(6 ) (6 )=36

Podemos extender la regla de mn para un experimento que se realiza en más de dos etapas.

LA REGLA DE mn EXTENDIDA

Si un experimento se lleva a cabo en k etapas, con n1 maneras para llevar a cabo la primera etapa, n2 maneras para realizar la segunda,…, y nk maneras de lograr la k-ésima etapa, entonces el número de maneras para completar el experimento es la k-ésima etapa, entonces el número para completar el experimento es la k-ésima etapa, entonces el número de maneras para completar el experimento es:

n1n2n3…nk

EJEMPLO

Un camionero tiene tres rutas para ir a la ciudad A a la ciudad B, cuatro de la ciudad B a la ciudad C y tres de la ciudad C a la ciudad D. Si, al viajar de la A a D, el conductor debe ir de A a B a C a D, ¿cuántas rutas posibles de A a D tiene disponibles?

Solución sea

n1= número de rutas de A a B = 3

n2= número de rutas de B a C = 4

n3= número de rutas de C a D = 3

Entonces el número total de maneras de tener una ruta completa, tomando una subruta de cada uno de los tres grupos, (A a B), (B a C), (C a D), es

n1n2n3=(3 ) ( 4 ) (3 )=36

Una segunda regla de conteo útil se deduce de la regla de mn y tiene que ver con permutaciones. Por ejemplo, suponga que tiene tres libros, A, B y C, pero en su estante sólo tiene espacio para dos. ¿De cuántas maneras selecciona y coloca los dos libros? Hay tres opciones de los libros, A y B, A y C ó B y C pero cada uno de los pares se puede colocar de dos maneras en el estante. Las permutaciones de los dos libros, escogidos de tres, se listan en la tabla 4.3. Según la regla de mn hay seis maneras, porque el primer libro se escoge entre m=3 maneras y el segundo entre n=2 maneras, de modo que el resultado es mn=6.

Tabla

Permutaciones de dos libros escogidos entre tres

Combinaciones de dos

Reacomodo de combinaciones

AB BA

AC CA

BC CB

¿De cuántas maneras es posible colocar los tres libros en su estante? Éstas son las seis permutaciones

ABC ACB BAC

BCA CAB CBA

Puesto que el primer libro se escoge entre n1=3 maneras, el segundo entre n2=2 maneras y el tercero entre n3=1maneras, el número total de arreglos es n1n2n3=(3 ) (2 ) (1 )=6

El lugar de aplicar cada vez la regla de mn, encuentre el número de arreglos por medio de una formula general relacionada con la notación factorial.

RELACIONES DE EVENTOS Y REGLAS DE PROBABILIDAD

Aveces el evento de interés está formado por una combinación de otros eventos. Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S. Aquí tiene tres relaciones importantes entre eventos.

Definición: La unión de eventos A y B, denotada por A ᴖ B, es el evento de que ocurra A o B, o ambos.

Definición: la intersección de los eventos A y B, denotada por A ᴗ B, es el evento de que ocurra A y Bᶧ

Definición: El complemento de un evento A, denotado por Aᶜ, es el evento de que A no ocurra.

EJEMPLO

Se lanzan dos monedas no cargadas y se registran el resultado. Éstos son los eventos de interés:

A: observar por lo menos una cara (C)

B: observar por lo menos una cruz (X)

Defina los eventos de A, B, A ᴖ B, A ᴗ B, B y Aᶜ

Solución recuerde que los eventos simples para este experimento son:

E1: CC (cara en la primera moneda, cara en la segunda moneda)

E2: CX

E3: XC

E4: XX

Y que cada evento simple tiene probabilidad de ¼. El evento A, por lo menos una cara, ocurre si

E1, E2 o E3 ocurre, así que

A=E1, E2, E3

P (A )=34

Y

Aᶜ=E4 P (Aᶜ )= 14

De manera similar

B=E2, E3, E4 P (B )=34

A∩B=E2, E3 P (A ∩B )=12

A∪B=E1, E2, E3 , E4 P (A∪B )=44=1

Observe que (A∪B) = S, el espacio muestral y, por tanto, es seguro que ocurra

Calculo de probabilidad para uniones y complementos

Cuando se escribe el evento de interés en la forma de una unión, un complemento o una intersección, hay reglas de probabilidad espaciales que simplifican los calculo.

La primera regla trata con las uniones de eventos.

Regla de adición

Dados dos eventos, A y B, la probabilidad de su unión, A∪B, es igual a P (A∪B )=P (A )+P (B )−P(A∩B)

Cuando dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, significa que cuando ocurre A, B no es posible, y viceversa. Esto significa que la probabilidad de que ambos ocurra, P(A∩B), debe ser cero. La figura es una representación en diagrama de Venn de dos eventos de este tipo sin ningún evento en común.

Cuando dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P (A ∩B )=0 y la regla de adición se simplifica a P (A∪B )=P (A )+P (B )

La segunda regla trata con los complementos de eventos. En el diagrama de Venn de la figura se ve que A Y Aᶜ son mutuamente excluyentes y que A∪ Aᶜ=S

En el espacio muestral completo se deduce que

P (A )+P (Aᶜ )=1 y P (Aᶜ )=1−P(A)

REGLA PARA COMPLEMENTO

P (Aᶜ )=1−P(A)

EJEMPLO

Una empresa que busca petróleo planea perforara dos pozos exploratorios. La evidencia pasada se usa para evaluar los posibles resultados listados en la siguiente tabla.

Resultados para el experimento de perforación de pozos

eventos

descripción probabilidad

A Ningún pozo produce bien petróleo o gas

80

B Exactamente un pozo produce petróleo o gas

18

C Ambos pozo produce petróleo o gas 02

Encuentra P (A∪B ) y P (B∪C )

Solución por su definición, los eventos A,B y C en conjunto son mutuamente excluyentes porque la ocurrencia de un evento evita la ocurrencia de cualquiera de los otros dos. Por consiguiente,

P (A∪B )=P (A )+P (B )=.80+.18=.98

Y

P (B∪C )=P (B )+P (C )=.18+.02=.20

El evento A∪B se describe como aquel en el que a lo más un pozo produce petróleo o gas, y B∪C describe el evento en el que por lo menos un pozo produce gas o petróleo.

EJEMPLO

En una encuesta telefónica de 1000 adultos, se preguntó a los encuestados acerca del gasto de una educación universitaria y la necesidad de alguna forma de ayuda financiera. Los encuestados fueron clasificados de acuerdo con si en la actualidad tenían un hijo en la universidad o si pensaban que la carga del préstamo para la mayor parte de los alumnos universitarios es demasiado alta, correcta o muy baja. Las proporciones de respuesta en cada categoría se muestran en la siguiente tabla de probabilidad. Suponga que se elige al azar un encuestado de este grupo.

Tabla de probabilidad

Demasiado alta(A)

Correcta(B)

Muy baja(C)

Hijo en la universidad (D) 35 08 01

Ningún hijo en la universidad (E)

25 20 11

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el encuestado tenga un hijo en la universidad?

2. ¿De que el encuestado tenga un hijo en la universidad?3. ¿De que el encuestado tenga un hijo en la universidad o piense que la

carga del préstamo es demasiado alta?

Solución

En la tabla se dan las probabilidades para los seis eventos simples de las celdas de la tabla. Por ejemplo el elemento de la esquina superior izquierda de la tabla es la probabilidad de que el encuestado tenga un hijo en la universidad y considere que la carga del préstamo es demasiado alta (A∩D).

1. El evento de que un encuestado tenga un hijo en la universidad ocurrirá sin importar si responde a la pregunta acerca de la carga del préstamo. Es decir, el evento D consta de los eventos simples del primer renglón:

P (D )=.35+.08+.01=.44

En general, las probabilidades de eventos marginales como D y A se encuentran sumando las probabilidades del renglón o columnas apropiadas.

2. El evento del que el encuestado no tenga un hijo en la universidad es de complemento del evento D denotado por Dᶜ . La probabilidad de Dᶜ se determina como

P (Dᶜ )=1−P(D)

Mediante el resultado del inciso 1, se tiene

P (Dᶜ )=1−.44=.56

3. El evento de interés es P (A∪D ) si se usa la regla de adición

P (A∪D )=P (A )+P (D )−P(A∩D)= .60 + .40 - .35 = .69

INDEPENDENCIA, PROBABILIDAD CONDICIONAL Y REGLA DE MULTIPLICACION

Hay una regla de probabilidad útil para calcular la probabilidad de la intersección de varios eventos. Sin embargo, esta regla depende del importante concepto estadístico de eventos independientes o dependientes.

Definición dos eventos, A y B son independientes si y sólo la probabilidad del evento B no es afectada o cambiada por la ocurrencia del evento A, o viceversa.

Daltonismo Supongamos que un investigador anota el género de una persona o si la persona es ciega a los colores rojo y verde o no. ¿La probabilidad de que una persona sea daltónica cambia dependiendo de si la persona es varón o no? Defina dos eventos:

A: la persona es un varón

B: la persona es daltónica

En este caso, puesto que el daltonismo es una característica relacionada con el sexo masculino, la probabilidad de que un varón sea daltónico será mayor que la de que una persona elegida de la población general sea daltónica. La probabilidad de que el evento B, de que una persona sea daltónica, depende de si ha ocurrido

o no el evento A, que la persona sea varón. Se dice que A y B son eventos dependientes.

Lanzamiento de dados por otro lado considere lanzar un solo dado dos veces, y defina dos eventos:

A: observar un dos en el primer lanzamiento

B: observar un dos en el segundo lanzamiento

Si el dado no está cargado, la probabilidad del evento A es P (A )=16

. Considere la

probabilidad del evento B. sim importar el evento A ha ocurrido o no, la

probabilidad de observar un 2 en el segundo lanzamiento es aún 16

. Se podría

escribir

P(B) dado que A ocurrió = 16

P(B) dado que A no ocurrió = 16

Puesto que la probabilidad del evento B no cambia por la ocurrencia del evento A, se dice que A y B son eventos independientes.

La probabilidad de un evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se llama probabilidad condicional de A, dado B, y se denota por P(AIB). La barra vertical se lee “dado” y los eventos que aparecen a la derecha de la barra son los que usted sabe que han ocurrido. Se usarán estas probabilidades para calcular la probabilidad de que tanto A como B ocurran cuando se lleve a cabo el experimento.

REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIÓN

La probabilidad de que ocurra tanto A como B cuando se efectúa el experimento menos es

P (A ∩B )=P(A)P (B|A )

O bien

P (A ∩D )=P(B)P ( A|B )

En un experimento sobre preferencias de color, se colocaron ocho juguetes en un recipiente. Los juguetes son idénticos excepto por el color, dos son rojos y seis verdes. Se pide a un niño elegir dos juguetes al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el niño elija los dos juguetes rojos?

Solución defina los siguientes eventos

R: se elige el juguete rojo

V: se elige el juguete verde

El evento A (ambos juguetes son rojos) se construye como la intersección de dos eventos:

A=(Ren la primeraelección )∩(Ren la segundaelección)

Puesto que hay juguetes rojos en el recipiente, la probabilidad de elegir rojo en la primera elección es 2/8. Sim embargo, una vez que ha sido elegido este juguete rojo, la probabilidad de rojo en la segunda elección es dependiente del resultado de la primera elección. Si en la primera elección salió rojo es 1/7 porque hay un juguete rojo entre los seis restantes. Si la primera elección fue verde, la probabilidad de elegir rojo en la segunda elección es 2/7, porque hay dos juguetes rojos entre siete restantes. Con esta información y la regla de multiplicación, se puede encontrar la probabilidad del evento A.

P (A )=P (Ren la primera elcción∩Ren lasegunda elección )

¿ P ¿

¿( 28 )( 1

7 )= 256

= 128

Algunas veces podría ser necesario usar la regla de multiplicación de manera un poco diferente, de tal modo que se calcule la probabilidad condicional, P (A|B ). Sólo reacomode los términos en la regla de la multiplicación.

PROBABILIDADES CONDICIONALES

La probabilidad condicional del evento A, dado que ha ocurrido el evento B es

P (A|B )= P(A∩B)P(B)

si P(B)≠0

La probabilidad condicional del evento B, dado que ha ocurrido el evento A es

P(A)=P(A∩B)P(A)

si P(A)≠0

Daltonismo, continuación Supongamos que en la población hay 51% de varones y 49% de mujeres, y que las proporciones de varones y mujeres daltónicas se muestran en la tabla de probabilidad siguiente:

Varones (B) Mujeres (Bᶜ) totalDaltónico (A) 04 002 042

No daltónico (Aᶜ) 47 488 958

Total 51 49 1.00

Si se escoge una persona al azar de esta población y se encuentra que es un varón (evento B), ¿Cuál es la probabilidad de que el varón sea daltónico (evento A)? si se sabe que ha ocurrido el evento B se debe restringir la atención a 51% de la población que es varón. La probabilidad de se daltónico, dado que la persona es un varón, es 4 del 51%, o bien

P (A|B )= P(A∩B)P(B)

= .04.51

=.078

Observe que la probabilidad del evento A cambió, lo que depende de si ocurrió el evento B. esto indica que son dos eventos dependientes.

Cuando dos eventos son independientes, si la probabilidad del evento B es la misma, si el evento A ha ocurrido o no, entonces A no afecta el evento B y

P(A∨B)=P(B)

Ahora se puede simplificar la regla de multiplicación

REGLA DE MULTIPLICACIÓN PARA EVENTOS INDEPENDIENTES

Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ocurra tanto A como B es

P(A∩B)=P(A)P(B)

De manera similar, si A,B y C son eventos mutuamente independientes (todos los pares de eventos son independientes), entonces la probabilidad de que ocurra A, B y C es

P(A∩B∩C)=P(A )P(B)P(C)

Lanzamiento de monedas en juegos de futbol. Un equipo de futbol tiene que jugar dos tiempos extra al terminar el partido así que hay tres lanzamientos de moneda. Si no está cargada, ¿Cuál es la probabilidad de que pierda los tres lanzamientos el capitán del equipo?

Solución. Si la moneda no está cargada, el evento se describe en tres pasos:

A: pierde el primer lanzamiento

B: pierde el segundo lanzamiento

C: pierde el tercer lanzamiento

Puesto que los lanzamientos son independientes, como P (ganar) = P (perder) =.5 para cualquiera de los tres lanzamientos,

P(A Ω B Ω C) = P(A)P(B)P(C)= (.5) (.5) (.5)=.125

¿cómo probar si dos eventos son independientes o dependiente? La solución más fácil es volver a definir el concepto de independencia de una manera más formal.

COMPROBACIÓN DE INDEPENDENCIA.

Dos eventos A y B son independientes si y solo si

P( A Ω B ) = P(A)P(B)

O

P(B|A)=P(B)

De lo contrario, se dice que son dependientes

Ejemplo --- Lance dos monedas y observé el resultado. Defina estos eventos:

A: cara en la primera moneda

B: cruz en la segunda moneda

¿Son independientes los eventos A y B?

Solución. De los dos ejemplos previos, que saben que S=CC,CX,XC,XX. Use estos cuatro eventos simples para encontrar.

P(A) =1/2, P(B)=1/2 Y P( A Ω B) =1/4

Puesto que P(A)P(B) =(1/2)(1/2) = ¼ y P(A Ω B )= ¼, se tiene P(A)P(B)= P( A Ω B )

Instructor personal

¿Cuál es la diferencia entre los eventos mutuamente excluyentes e independientes?

Muchos estudiantes encuentran difícil indicar la diferencia entre eventos mutuamente excluyentes e independientes

Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, no pueden suceder ambos cuando se realiza el experimento. Una vez que ha ocurrido el evento B, el evento A no es posible, así que P(A|B) =0, o viceversa. La ocurrencia del evento B afecta la probabilidad de que ocurra el evento A.

Por tanto, los eventos mutuamente excluyentes deben ser dependientes. Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, P(A Ω B)=0

y P(A U B)= P(A) + P(B) Cuando dos eventos son independientes. P(A Ω B)= P(A)P(B) y P(A U B)=

P(A) + P(B) – P(A)P(B)

Usar las reglas de probabilidad para calcular la probabilidad de un evento requiere alguna experiencia e inventiva. Necesita expresar el suceso de interés como una unión o intersección. Necesita expresar el suceso de interés como una unión o intersección (o la combinación de ambas) de dos o más eventos cuyas probabilidades se conocen o calcular fácilmente. Es frecuente hacer estos de diferentes maneras; la clave es encontrar la combinación correcta.

Se extraen dos cartas de un mazo de 52. Calcule la probabilidad de que en las cartas extraídas esté en un as y 10.

Solución. Considera el evento de interés:

A: obtener un as y un 10

Luego A= B U C, donde

B: obtener el as de la primera extracción y luego el diez de la segunda.

C: obtener el diez de la primera extracción y luego el as de la segunda.

Los eventos del B y C se eligieron por ser mutuamente excluyentes y también intersección de eventos con probabilidades conocidas; es decir,

B= B1 Ω B2 Y C= C1 Ω C2

B1: obtener un as en la primera extracción

B2: obtener 10 en la segunda extracción

C1: obtener 10 en la primera extracción

C2: o tener un as en la segunda extracción

Al aplicar la media de la multiplicación, se obtienen

P (B1 Ω B2) = P(B1 )P(B2|B1)

= (4/52)(4/51)

Y

P(C1 Ω C2) = (4/52)(4/51)

Luego, aplicar la regla de adición,

P(A) = P(B) + P(C)

= (4/52)(4/51) + (4/52)(4/51) = 8/663

LA REGLA DE BAYES (OPCIONAL)

Daltonismo considere de nuevo el experimento relacionado con el daltonismo. Observe que los dos eventos

B: la persona seleccionada es un varón

Bᶜ: la persona seleccionad es un mujer

Forma el espacio muestral S, que considere en varones y mujeres. Puesto que las personas daltónicas, consta de los eventos simples que están en A y en B y los eventos simples que están en A y en Bᶜ. Como están dos intersecciones son mutuamente excluyentes, se puede escribir el evento A como

A=(A ∩B )∪(A ∩Bᶜ )

Y

P (A )=P ( A∩B )+P (A∩Bᶜ )=.04+.002=.042

Supongamos ahora que el espacio muestral se divide en k subpoblaciones, S1, S2, S3,… Sk, que, como en el ejemplo del daltonismo, son mutuamente excluyentes y exhaustivas; es decir, juntas constituyen el espacio muestral entero. De una manera similar, usted expresa un evento A como

A=(A ∩S1 )∪ ( A∩S2 )∪ (A∩S3 )∪…∪(A ∩S k )

Por tanto,

P (A )=P ( A∩S1 )+P (A∩S2 )+P ( A∩S3 )+…+P ( A∩Sk )

Esto se ilustra para k = 3

IMAGEN

Puede ir mas allá y usar la regla de multiplicación para escribir P (A ∩s1 ) como P(si)(A|Si), para i=1,2,… k el resultado se le conoce como la ley de probabilidad total.

LEY DE PROBABILIDAD TOTAL

Dado un conjunto de eventos S1, S2, S3,…, Sk que son mutuamente excluyentes y exhaustivos y un evento A, la probabilidad del evento A se expresa como

P(A) = P(si) P(A|Si) + P(s2) P(A|S2) + P(s3) P(A|S3) + … + P(sk) P(A|Sk)

EJEMPLO

Los tenis ya no se son sólo para los jóvenes. Actualmente, la mayoría de los adultos poseen varios pares de tenis. En la tabla de abajo se da la fracción de adultos estadounidenses mayores de 20 años que posee cinco o más pares, junto a esta fracción aparece la fracción de la población correspondiente por un grupo de edad de la población en intervalos de cinco años y más posea pares de tenis.

Tabla de probabilidad

Grupos de edadesG1

20 - 24

G2

25 - 34

G3

35 - 49

G4

50 - 64

G5

≥ 65

Fracción con ≥ 5 pares

Fracción de adultos estadounidenses de 20 años y más

197 120 +77

Solución sea A el evento de que una persona elegida al azar de la población adulta estadounidense de 20 años y más posea cinco o más pares de tenis. Sean G1 , G2 , … , G5 los eventos en que la persona seleccionada pertenezca a cada uno de los cinco grupos de edad. Como los cinco grupos son exhaustivos, se escribe el evento A como

A=(A ∩G1 )∪ (A ∩G2 )∪ ( A∩G3 )∪ ( A∩G 4 )∪ ( A∩G5 )

Mediante la ley de la probabilidad total, se encuentra la probabilidad de A como

PA=P ( A∩G1 )+P ( A∩G2 )+P ( A∩G3 )+P ( A∩G4 )+P ( A∩G5 )

¿ P (G1 )P ( A|G1)+P (G2 ) P ( A|G2 )+P (G3 ) P (A|G3 )+P (G4 ) P ( A|G4 )+P (G5 )P ( A|G5 )

De las probabilidades en la tabla anterior

P (A )=( .09 ) .26¿+ (.20 ) ( .20 )+ (.31 ) ( .13 )+( .23 ) ( .18 )+( .17 ) ( .14 )=.0234+.0400+.0403+.0414+ .038+.038=.1689

La probabilidad incondicional de una persona seleccionada al azar de la población de adultos estadounidenses de 20 años y más posea por lo menos cinco pares de tenis es de alrededor de .17. observe que la ley de probabilidad total es un promedio ponderado de la probabilidades dentro de cada grupo, con pesos de .09, .02, .31, .23 y .17 que refleja los tamaños relativos de los grupos.

Con frecuencia es necesario determinar la probabilidad condicional de un evento B, dado que ha ocurrido un evento A. una situación de este tipo ocurre en la pruebas de detención, las cuales se relacionan con las pruebas de diagnóstico médico, aunque ya se aplican en diversos campos. El equipo automático de pruebas se usa en forma rutinaria para inspeccionar la piezas en los proceso de alto volumen de producción. Algunas otras aplicaciones son la prueba para detectar esteroides en atletas, la prueba casera de detección de embarazo y el examen para SIDA. En la pruebas de detección se evalúa la probabilidad de un negativo falso o de un positivo falso, y ambas son probabilidades condicionales.

Un falso positivo es el evento en que la prueba es positiva para una determinada condición saso que la persona no tiene la enfermedad. Un falso negativo es el evento en que la prueba es negativa para una determinada condición, cuando la persona sí tiene la enfermedad. Estas probabilidades condicionales se evalúan mediante una fórmula que dedujo el probabilista Thomas Bayes.

Para el experimento se requieres seleccionar una muestra entre k subpoblaciones, que son mutuamente excluyentes y exhaustas. Cada una de estas subpoblaciones, denotado por S1, S2,…, Sk, tiene una probabilidad de ser seleccionada P(S1), P(S2), P(S3), … , P(SK), llamada probabilidad a priori (inicial). Se observa un evento A en la selección. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra provenga de la subpoblación S1 , dado que ocurrió A?

Se sabe que P(S1∨A)=[P(A∩S1)] /P (A ) se reescribe como P(Sk |A)=[P(Si) P(A ᴖ Si)]/P(A). si se usa la ley de probabilidad total para reescribir P(A), se tiene

P (S i )=P(S i)P(A∨S i)

P (S1 )P ( A|S1 )+P (S2 )P ( A|S2 )+P (S3 )P ( A|S3 )+…+P(Sk)P(A∨Sk )

Estas nuevas probabilidades se llaman probabilidades a posteriori (después), es decir, las probabilidades de las subpoblaciones (conocidas también como estados de la naturaleza) que se han actualizado después de observar la información de la muestra contenida en el evento A. Bayes sugirió que se si desconocen las probabilidades a priori, se pueden tomar como 1/k, lo cual quiere decir que cada uno de los eventos S1 hasta Sk es igualmente probable.

REGLA DE BAYES

Sean S1 , S2 ,… , Sk el conjunto de k de subpoblaciones mutuamente excluyentes y exhaustivas con probabilidades a priori P(S1 ,), P(S2 ,), … , P(Sk ,). Si ocurre un evento A, la probabilidad a posteriori S1 dado A es la probabilidad condicional

P (S1 )=P (S1 ) P ( A∨S1 )

∑j=1

k

P (S j )P ( A∨S j )

Para i= 1, 2. … , k

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y SUS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Se define como características que cambian o se modifican con el tiempo, para individuos u objetos diferentes en consideración, o ambas situaciones. Las variables cuantitativas generan datos numéricos, mientras que las variables cualitativas generan los datos categóricos. Sin embargo, incluso las variables cualitativas generan datos numéricos sin las categorías se codifican numéricamente para formas la escala. Por ejemplo si lanzas, el resultado cualitativo se registraría como “0” si se obtiene una cara o “1” si resulta una cruz.

Variables aleatorias

Una variable x codificada en número variará o cambiará dependiendo del resultado del experimento que se mide. Por ejemplo suponga que arroja un dado y mide x, el número observado en la cara superior. La variable x toma cualquier de seis valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6 lo que depende del resultado aleatorio del experimento. Por esta razón a la variable x se le conoce como variable aleatoria

Definición una variable x es una variables aleatoria si el valor que consume, de acuerdo con el resultado de un experimento, es un evento aleatoria.

Usted puede pensar en muchos ejemplos de variable aleatoria:

X = cantidad de defectos en un mueble seccionado al azar X = calificación de SAT para un aspirante a la universidad seleccionado al

azar X = cantidad de llamadas telefónicas recibidas por una línea directa para

situaciones de crisis durante un periodo seleccionado al azar.

Las variables aleatorias cuantitativas se clasifican como discretas o continuas según los valores que suma x. Es importante distinguir entre variables aleatoria discretas y continuas porque se usan diferentes técnicas para representar sus distribuciones.

Distribuciones de probabilidad

En el capítulo 1 y 2 aprendió a construir la distribución de frecuencia relativas para un conjunto de mediciones numéricas en una variable x. la distribución dio esta información