unidad 3 probabilidad 2014

8/17/2019 Unidad 3 Probabilidad 2014

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Unidad 3. Variable Aleatoria Discreta


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VARIABLE

VARIABLE: Adj. que varia o puede variar. f. Mat. Magnitud que puede tener un valor cualquiera delos comprendidos en un conjunto.

Número que resulta de una medida u operación.

VARIABLE CONTINUA: La que consta de unidades o partes que noestán separadas unas de otras, como la longitud de unalínea, el área de una superficie, el volumen de un sólido, lacabida de un vaso, etc.

VARIABLE DISCRETA: La que consta de unidades o partesseparadas unas de otras, como los árboles de un monte,los soldados de un ejército, los granos de una espiga, etc.

* Real Academia de la Lengua Española


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VARIABLE ALEATORIA

Variable Aleatoria: f. Mat. Magnitud cuyos valores están determinadospor las leyes de probabilidad, como los puntos

resultantes de la tirada de un dado.

Variable Aleatoria:Continua

DiscretaAlgunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas probables que otros,lo que da origen al concepto de distribución de probabilidad de una VA.


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Ejemplos variable aleatoria continua

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Funcionamiento de un

banco

Tiempo en minuto, entre

llegadas de clientes

X>=0

Llenar una lata debebida

(máx =12.1 onzas)

Cantidad de onzas 0


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Ejemplos variable aleatoria discreta

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0, 1,2,3,4,5

Inspeccionar unembarque de 40 chips

Cantidad de chipsdefectuosos

0,1,2,….,40

Funcionamiento de un

restaurante durante un

día

Cantidad de clientes 0,1,2,3…….

Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es

mujer


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Variable aleatoria

Una variable aleatoria X es una función que asocia acada suceso del espacio muestral E de un experimentoaleatorio un valor numérico real:

)(:

w X w E X

Llamar variable a una función resulta algo confuso,por ello hay que insistir en que es una función.

La variable aleatoria puede ser discreta o continua.

Veremos en este capítulo el caso discreto.


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Función de probabilidad

Una vez definida una variable aleatoria X , podemos

definir una función de probabilidad asociada a X , dela siguiente forma:

)()(

]1,0[:

x X P x p x

p

La función de probabilidad debe cumplir:

x

x pii

x x pi

1)()(

0)()( (Suma sobre todos los posibles valoresque puede tomar la variable aleatoria).


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Una variable x es variable aleatoria si el valor que toma,correspondiente al resultado de un experimento, es una probabilidado evento aleatorio.

p.e. Suponga que tira un dado y se mide x, el número observado en lacara superior . La variable x puede tomar cual quiera de seis valores:1,2,3,4,5,6 , dependiendo del resultado aleatorio del experimento. Poresta razón, la variable x se conoce como variable aleatoria.

Algunos ejemplos: X = Número de defectos en una pieza de mueble seleccionada al

azar

X = Calificación de examen de aptitud escolar (SAT) para unsolicitado universitario seleccionado al azar .

Al arrojar una moneda y observar el lado que queda hacia arriba:X={ x1 = 1 (águila), x2 = 0 (sol) }


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Distribución de probabilidad : para una variable discreta es una fórmula ,tabla o gráfica que da los posibles valores de X es equivalente al sumar lasprobabilidades de todos los eventos simples y por lo tanto es igual a 1. Los

valores de X representan eventos numéricos M. E.

Requisitos para una distribución de probabilidad discreta

0 ≤ p(x) ≤ 1

∑p(x) = 1

Eventosimple

Moneda 1 Moneda 2 P(E1) x

E1 H H 1/4 2E2 H T 1/4 1

E3 T H 1/4 1

E4 T T 1/4 0

En la Tabla 1 se muestraun evento simple como

E1= HH resulta dos caras,este evento simple resultaen el valor x = 2. delmismo modo, el valor x =1 se asigna a E2 , y asísucesivamente.

Tabla .1 Evento simple de dos monedas,H(cara), T (cruz).

Continua …….


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Para cada valor de x , se puede calcular p(x) al sumar las probabilidadesde los eventos simples es ese evento.p.e.

Cuando X=0p(0) = P(E4) = 1/4

Y cuando X = 1p(1) = P(E2) + P(E3) = 1/2

x Eventos simples en x p(x)

0 E4 ¼

1 E2, E3 ½

2 E1 ¼

∑p(x) = 1

Tres valores de la variable aleatoria x

El ancho de cada barra es 1 , elárea bajo la barra es la

probabilidad de observar elvalor particular de x y el áreatotal es igual a 1.

0.00

0.25

0.50

1 2 3

p ( x )

X1 320


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Ejemplo: Dibuja la función de distribución de probabilidad f(x) y lafunción de distribución acumulada F(x) de una variable discretadefinida como:

X = Número en la cara de un dado.

X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cadauno con probabilidad 1/6

0

6

1

1 x

f(x)

1

0.5

10

F(x)

x6 6

Función de distribución de probabilidad f(x) Función de distribución acumulada F(x)


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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADDE UNA VARIABLE ALEATORIA

Y1 Y2 X=Y1+Y2 Y1 Y2 X=Y1+Y2

1 1 2 4 1 5 1 2 3 4 2 6

1 3 4 4 3 7

1 4 5 4 4 8

1 5 6 4 5 9

1 6 7 4 6 10

2 1 3 5 1 6 2 2 4 5 2 7

2 3 5 5 3 8

2 4 6 5 4 9

2 5 7 5 5 10

2 6 8 5 6 11

3 1 4 6 1 7

3 2 5 6 2 8

3 3 6 6 3 9

3 4 7 6 4 10

3 5 8 6 5 11

3 6 9 6 6 12

Experimento: Arrojar dosdados y observar la VA X :la suma de los puntos delas caras que quedan haciaarriba.

Las formas en que puedeocurrir cada uno de losvalores que toma la VA X semuestran en la tabla.

Observemos que hay 1posibilidad en 36 de que X=2 ,mientras que hay 2 posibilidadesen 36 de que X=3

Ejemplo: Caso de una VA discreta:

Dado 1 Dado 2 Dado 1 Dado 2


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0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

P(X)

Las probabilidades para cada valor de la VA X se muestran en la tabla. Eneste ejemplo la tabla representa la función de distribución de probabilidad

(fdp) de la VA X.

X P(X=x)

2 1/36

3 2/364 3/36

5 4/36

6 5/36

7 6/36

8 5/36

9 4/36

10 3/36

11 2/36

12 1/36

Representación gráfica de la función de distribución de probabilidad de la VA X

X

P(x)

Frecuencia relativa


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Distribución de probabilidad de una VA X: f ( x ) = P( X = x )

En nuestro ejemplo de la suma de dos dados: f (3) = P( X =3 ); f (3) = 2/36

Propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta (también conocida como función masa de probabilidad, fmp) :

a) f ( x ) 0 Para toda x que pertenece a X

b)

x

x f 1)(

Para toda x


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Las probabilidades acumuladas para cada valor de la VA X se muestran en lasiguiente tabla que representa la función de distribución acumulativa ( FDA ) dela VA X.

X P(X

x)

2 1/36

3 3/36 4 6/36

5 10/36

6 15/36

7 21/36

8 26/36 9 30/36

10 33/36

11 35/36

12 36/36

En nuestro ejemplo: F (3) = P( X


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Algunos problemas de probabilidad están relacionados con laprobabilidad P (a


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Esperanza matemática o mediade un distribución discreta

)()( ii iii i x p x x X P x X E

Varianza y desviación estándar o típica de unadistribución discreta

Varianza

i

ii x X P x X E )()(])[( 222

Desviación estándar o típica

)( X Var

Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación

típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.


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Distribución de Bernoulli Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados:

éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoriadiscreta X tal que:éxito 1fracaso 0

Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:

1,0)( 1 xq p x X P x x

Evidentemente:

1

0

1)1()0()( x

q p X P X P x X P


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Distribuciones de probabilidad discretas

Distribución Binomial

Distribución de Poisson

Distribución Hipergeométrica


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Distribución Binomial de Probabilidad

La distribución binomial de probabilidad es una distribución discreta de

probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Se relaciona con una

experimento de etapas múltiples que llamamos binomial.

Se aplica para poblaciones grandes N>50 y n= 0.1.

El muestreo binomial es con reemplazo

La binomial es una aproximación de la hipergeométrica

La distribución normal se aproxima a la binomial cuando np > 5


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Experimento Binomial (Propiedades)

El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos.

En cada intento o ensayo son posibles dosresultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro

fracaso. La probabilidad de un éxito, se representa por p y

no cambia de un intento o ensayo. Por lo tanto laprobabilidad de un fracaso se representa por (1-p),

que tampoco cambia de un intento a otro. Los intentos o ensayos son independientes.


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DIAGRAMA DE UN EXPERIMENTO BINOMIALCON OCHO INTENTOS

Propiedad 1: El experimento consiste en n=8 intentos idénticos de lanzar una

moneda.

Propiedad 2 : Cada intento da como resultado un éxito (S) o un fracaso (F).

Intentos 1 2 3 4 5 6 7 8

Resultados S F F S S F S S


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Distribución binomialLa distribución binomial aparece cuando estamos interesados en elnúmero de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentosindependientes de un experimento.

P. ej.: número de caras en n lanzamientosde una moneda.

Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces

q = 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

En nuestro ejemplo de la moneda, p = 0.5 es la probabilidad de que salga cara y q = 1-p =1 - 0.5 = 0.5

es la probabilidad de que no salga cara.


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Supongamos que el experimento consta de n intentos y

definamos la variable aleatoria:

X = Número de veces que ocurre A.

En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara.

Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.

Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los

n intentos ocurre A y en n-x no. Entonces la probabilidad de cada posibleordenación es p xqn-x y existen idénticas ordenaciones.

k

x


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La distribución de probabilidad P ( X = k ) será:

xn x xn x p p

xn x

n p p

x

n x p pn B

)1(

)!(!

!)1()(),(

Distribución binomial para n = 5 y

distintos valores de p, B(5, p)

k nk k nk p p xn x

n p p

k

nC k X P

)1(

)!(!

!)1()(


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Características de la distribuciónbinomial

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5

Media= E(X) = n p

= 5 · 0.1 = 0.5

= 5 · 0.5 = 0.25

Desviación estándar

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

.2.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

0

1.1)5.01(5.05

67.0)1.01(1.05

)1(

pnp


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Distribución Binomial Acumulativa

Calcular probabilidades puede sertedioso incluso incluso para

valores relativamente pequeñosde n. En este caso se utiliza n lastablas de probabilidadesbinomiales acumulativas.

n = 6

P = 0.05

X = K = 2


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P.E Usando la tabla binomial acumulativa para n=5 y p=0.6 para hallar las

probabilidades de estos dos eventos :

1. Exactamente tres éxitos

2. Tres o más éxitos

Solución

1. Si se encuentra K=3 en la tabla, el valor o valores en tabla

P(x≤ 3)=p(0) + p(1) + p(2) + p(3)

Como se desea sólo p(x=3)= p(x), debe restar la probabilidad no deseada:

P(x≤ 2)= p(0) + p(1) + p(2) . Se encuentra en la tabla con K= 2. EntoncesP(x= 3)= p(x ≤ 3) – p(x ≤ 2)= 0.663 – 0.317= 0.346


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2. Para hallar P(tres o más éxitos) = P(x ≥ 3) usando la tabla anterior, se debe

usar el complemento del evento de interés.

P (X ≥ 3) = 1 – P(x ≤ 2) = 1 – 0.317 = 0.683

Instrucciones para el caculo de probabilidad binomial en tablas1. Encuentre los valores necesarios de n y p. Separe la columna apropiadade la tabla.

2. La tabla da P(X ≤ K) en la fila marcada k . Rescriba la probabilidad quenecesite para que esté en esta forma.

Haga una lista de los valores de x en su evento De la lista, escriba el evento como la diferencia de dos probabilidades

P(X ≤ a) – P(X ≤ b) para a > b.

o el complemento del evento: 1- P(X ≤ a)

o sólo el evento en sí: P(X≤ a) o P(X < a) = P(X ≤ a – 1)


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Distribución de Poisson

Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n )

es grande y la probabilidad de éxito (p ) es pequeña y np (lamedia de la distribución binomial) es finito y tiende a entoncesla distribución binomial converge a la distribución de Poisson:

0 210 ,!

)(

... , , , x x

e x pk

Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.

• Se utiliza para modelar datos discretos

• Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño

de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6


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Características de la distribución de Poisson

= 0.5

= 6

1 2 3 4 5

X

2 4 6 8 10

X

Media

Desviación estándar

E X ( )

0.2.4.6

0

P(X)

0.2.4

.6

0

P(X)

Nota: el máximo de la distribución

se encuentra en x


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Distribución de Poisson para varios valores de .

La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de

una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’

(n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un

único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).

µ = n p =


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Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100televisores contenga más de 2 televisores defectuosos?

El suceso complementario A

c

: No más de 2 televisoresdefectuosos puede aproximarse con una distribución de

Poisson con = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).

9197.0)11()(2

11 e A P c ,....)1,0( !

μ)( μ

x

xe x

x p

La distribución binomial nos daría el resultado exacto:

9206.0

100

1

100

99

2

100

100

1

100

99

1

100

100

99

0

100)(

29899100

c AP

),....1,0( )( n xq p x

n x p xn x


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Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos

discretos que son independientes en el espacio y/o en el

tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector.

Si el número de eventos esperados, el número medio de

eventos en un intervalo de extensión h es m. Por ejemplo

el detector nos informa de la llegada en promedio de 20

fotones cada 5 segundos.

Entonces λ = h/ m, será la tasa de eventos por unidad de

h. En nuestro caso 4 fotones por segundo.

La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo h vendrá dada por la distribución de Poisson. En nuestro

ejemplo la probabilidad de que lleguen x fotones en 5

segundos.


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La señal promedio recibida en un telescopio de una fuenteceleste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad derecibir 7 fotones en un segundo dado.

P(7) = 107

e−10

/ 7! = 0.09, es decir 9%Parece muy baja. Comparemos con el valor de máximaprobabilidad que ocurrirá para x = 10:

μ = 10 P(10)=1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5%

Las probabilidades poissonianas para un número de eventosdado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de ladistribución de probabilidad.

,....)1,0( !

μ)( μ

x

xe x

x pUna distribución de Poissoncon μ = 10.

Si di t 2 h i t j ál


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36

Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuáles la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o máscoches?

Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos

intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad

de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para

un intervalo pequeño será también pequeño –

podemosaproximar la distribución a una Poisson con = np = 2.

y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143

El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene

probabilidad:857.0)()3()2()1()0()(

!32

!22

!12

!022 3210 e p p p p A P c

,....)1,0(

!

μ)( μ

x

xe x

x p


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Distribución hipergeométrica

Se aplica cuando n > 0.1N

El muestreo se hace sin reemplazo

P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x éxitos

en una muestra de n elementos tomados de una

población de tamaño N que contiene D éxitos. Lafunción de densidad de distribución hipergeométrica:

N

n

D N xn

D x

C

C C x P

)(

)!(!

!

xn x

nC n x


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Distribución Hipergeométrica

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica

son:

N

nD

11

2

N

n N

N

D

N

nD


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unidad 3 probabilidad 2014

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