probabilidad y estadistica unidad 1,2

INSTITUTO TECNOLOGICO DE PACHUCADEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

Probabilidad y Estadística

CONTENIDO POR UNIDAD DE LA MATERIA:

Unidad 1 Teoría de la probabilidad

1.1 Conjuntos, sus operaciones, leyes y su representación.

1.2 Introducción a la probabilidad

1.2.1 Probabilidad de eventos aleatorios.

1.2.2 Diagramas de árbol

1.2.3Permutaciones y combinaciones.

1.2.4 espacio muestral y eventos

1.3 Definiciones de probabilidad.

1.3.1 Definición clásica.

1.3.2 Con base en la frecuencia relativa.

1.3.3 Axiomática.

1.4 Probabilidad condicional e independencia

1.5 Teorema de Bayes

Unidad 2 Variables aleatorias y distribuciones

2.1 Variable aleatoria y funciones de densidad de probabilidad y de distribución acumulativa.

2.2 Valor esperado y momentos.

2.3 Distribuciones discretas.

2.3.1 Bernoulli

2.3.2 Binomial

2.3.3 Poisson.

2.3.4 Geométrica.

2.4 Distribuciones contínuas.

2.4.1 Uniforme

2.4.2 Exponencial.

2.4.3 Normal y normal estándar

2.4.4 Aproximaciones con la normal.

Unidad 3 Estadística descriptiva y la teoría del muestreo, Inferencia estadística

3.1 Distribuciones de frecuencia, de frecuencia relativa y acumulada.

3.2 Medidas de tendencia central: media, mediana, moda, promedio (ponderado, móvil), media geométrica, media armónica, cuantiles (cuarteles, deciles y percentiles).

3.3 Medidas de dispersión: rango o amplitud de variación, desviación media, varianza, desviación estándar, momentos y kurtosis.

3.4 Muestreo aleatorio: simple, sistemático, estratificado, por conglomerados.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

ING. LUIS ALONSO ÁLVAREZ 1

Texto adaptado para la carrera de Ingeniería Civil


3.5 Muestreo no aleatorio: dirigido, por cuotas, deliberado.

Unidad 4 Inferencia estadística

4.1 Estimación puntual y por intervalos de confianza.

4.2 Estimación de la media, de la diferencia de medias, de la proporción y de la diferencia de proporciones.

4.3 Determinación del tamaño de la muestra.

4.4 Prueba de hipótesis

4.4.1 Pruebas unilaterales y bilaterales.

4.4.2 Pruebas para media y para diferencia de medias.

4.4.3 pruebas para proporción y diferencia de proporciones.

4.5 Muestras pequeñas.

4.5.1 Distribución t de Student.

4.5.2 Distribución de ji-cuadrada. Cuadros de contingencia, limitaciones de la prueba.

Unidad 5 Análisis de regresión y correlación

5.1 Regresión lineal simple, curvilínea y múltiple.

5.2 Correlación.

5.3 Regresión y correlación para datos agrupados.

5.4 Correlación por rangos.

5.5 Coeficiente de correlación para datos nominales.

UNIDAD 1

INTRODUCCION

La ciencia y la tecnología siempre se desarrollan con algún grado de incertidumbre ocasionados por los errores inherentes al humano, errores que pueden ser accidentales, sistemáticos o producto de la casualidad, o bien por variabilidad (despreciable o no) en los resultados obtenidos de algún proceso de producción; dichos resultados pueden considerarse iguales a la mejor estimación disponible, gracias a una fórmula de diseño o al promedio de algún número de valores observados; Por otra parte, existen también diferentes factores con los que debemos relacionarnos en nuestras actividades diarias de producción: capacidades individuales de los obreros, condiciones de rendimiento y eficiencia de máquinas y/o instrumentos, manejo de materiales heterogéneos producidos o utilizados, condiciones climáticas, propiedades de elasticidad o plasticidad de los materiales, destreza del operador, etc.

¿Es posible encontrar siempre un valor confiable en los diseños? ¿Puede predecirse con certeza el comportamiento de una instalación con solo una estimación conservadora?

La incertidumbre y variabilidad deben ser manejadas adecuadamente por los Ingenieros Civiles, por medio de mejorar las estimaciones o realizar cálculos más conservadores, que permitan tomar decisiones para elaborar mejores diseños, proyecciones o realización de las construcciones. Si la variabilidad es pequeña y sus consecuencias no son significativas se pueden ignorar, de lo contrario, el diseño o la proyección, deben ser modificados.




Cuando la incertidumbre es considerable, el Ingeniero puede hacer estimaciones prudentes, que muchas ocasiones sucede fijando un mínimo especificado, como la resistencia a la compresión del concreto o de la mampostería, volúmenes de transporte diario u horario, altura de precipitaciones pluviales, coeficientes de rugosidad, coeficientes de evapotranportación, coeficiente de rugosidad, coeficiente de escurrimiento, etc.

La Probabilidad, tiene como objetivo medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado evento o suceso. La probabilidad se basa en el estudio de la combinación.

La Estadística, tienen como objetivo reunir, organizar y analizar datos numéricos, que ayudan a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

Francamente no es variado ni versátil el material desarrollado para el estudio de la Probabilidad y la Estadística aplicada a la Ingeniería Civil, es por eso que el estudiante de Ing. Civil queda con una limitada apreciación práctica de los conceptos teóricos, razón por la que (en la medida de lo posible), los ejemplos en el presente documento se aplican al campo de la Ingeniería Civil.

Un Ingeniero Civil resuelve problemas de interés aplicando eficientemente principios científicos; La Ingeniería Civil se relaciona con eventos que dependen de clases de operadores humanos, materiales heterogéneos, actitud de los trabajadores, condiciones climatológicas, etc.; Los resultados esperados muchas veces pueden ser de gran variabilidad en la ocurrencia sucesiva de dichos fenómenos o sistemas los cuales no producen el mismo resultado; debe estudiarse cuándo representan mayor impacto. Para esta tarea se perfeccionan productos o procesos ya existentes o se diseñan otros que sean nuevos para satisfacer las necesidades de los consumidores;

Debemos tener un concepto de qué son los errores; Existen dos clases de errores: Sistemáticos y AccidentalesLos errores sistemáticos son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos (defecto en un instrumento repetidamente utilizado, arrastre de malas graduaciones, equivocaciones en puntos de inicio); Los errores accidentales se cometen indiferentemente en un sentido u otro, por lo que tienen la misma probabilidad de ocurrir en sentido positivo o negativo (lecturas de graduaciones, ángulos de visualizaciones incorrectas, colocación de marcas).El origen de los errores:

a) Instrumentales: mala calibración, desgaste por uso, mala calidad, inapropiados para ciertas ocasiones.

b) Personales: falta de pericia, falta de interés, mala actitudc) Naturales: influencias climátológicas, casos fortuitos.

Para estudiar un fenómeno de interés, un proceso constructivo o de investigación, necesitamos establecer una metodología que nos oriente cómo estudiar de manera sistemática nuestro objeto de análisis; Algunos pasos lógicos de esta metodología son:

1. Descripción clara y concisa del problema

2. Identifica los factores importantes que afectan el problema o la solución

3. Proponer un modelo para resolver el problema, fijando las limitaciones y/o

Las suposiciones del modelo.

4. Realizar experimentos o pruebas con el modelo propuesto, recolectando datos que

validan el modelo propuesto o las conclusiones planteadas en los pasos 2 y 3.

5. Refinar el modelo en base a los datos planteados

6. Manipula el modelo para contribuir a desarrollar una solución del problema

7. Realizar experimentos para verificar que la solución planteada es efectiva y DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



eficiente.

8. Realizar conclusiones y recomendaciones en base a la solución del problema.

Gráficamente podríamos hacer el siguiente esquema:

Entonces resulta evidente la importancia de adquirir y dominar ciertos conocimientos de Estadística y Probabilidad que permitan conocer y manejar técnicas adecuadas para diseñar y mejorar productos, sistemas y procesos de producción.Una relación sencilla de la Estadística sobre el problema es la siguiente:

La Probabilidad utiliza mucho la variabilidad, que es un fenómeno que ocurre por observaciones sucesivas de un fenómeno o sistema que no produce exactamente el mismo resultado; por ejemplo, el rendimiento de un tanque de gasolina de un auto (depende de muchos factores: trafico, desgaste del motor, clima, condiciones de la carretera); Los factores representan la fuente de variabilidad y podemos determinar cuáles representan mayor impacto.



#1 recolecta

datos

#2 presenta

datos

#3 analiza datos

# 4 utiliza datos para

toma de desiciones

#5 soluciona

problemas

# 6 diseña productos

# 7 diseña procesos

Descripción clara del problema

Identificar factores importantes

Realizar experimentosProponer o refinar un modelo

Manipular el modelo

Confirmar la solución

Conclusiones y recomendaciones


1.1 Conjuntos, operaciones de conjuntos leyes y sus representaciones

Conjunto es una colección de objetos, elementos o miembros, se designan con mayúsculas, los elementos de un conjunto se designan con letras minúsculasA, es un conjunto a, es un elemento de conjunto.p ϵ A = “p es un elemento del conjunto A”, “p pertenece al conjunto A”p∉ A = “p no es un elemento del conjunto A”Principio de extensión, este es el hecho de que en un conjunto se determine completamente cuando se dan especificados sus elementos.A = B, los conjuntos son iguales A ≠ B, los conjuntos son diferentes < Dos formas para especificar un conjunto:

A= { a, e, i, o, u }, se anotan los elementos ente corchetes y comas B= {x:x, es un entero, x > o }, se enuncia la propiedad que caracteriza los elementos del conjunto. A = { x | x es una letra del alfabeto español, x es una vocal }

b ∉ A; e ϵ A; p ∉ A B = { 1, 2, 3, 4, …. }

8 ϵ B; - 6 ∉ B E = { X| X2 – 3 X + 2 = 0 }

Es el conjunto que son la solución de X2 – 3 X + 2 = 0, las raíces de la ecuación son 1 y 2, podríamos escribir E = { 1, 2 }.

E = { X : X2 – 3 X + 2 = 0 }, F = { 1, 2 }, G = { 1, 2, 2, 1, 6/3 }E = F = G , un conjunto no depende de la manera como se escriban los elementos; un conjunto permanece igual si se repiten o reordenan los elementos.

Cuando un conjunto tiene pocos elementos, los elementos se escriben; cuando son muchos, se escribe la propiedad que los caracteriza.

Principio de abstracción: dado cualquier conjunto ∪ y cualquier propiedad P, hay un conjunto A, tal que los elementos de A, son exactamente aquellos miembros de ∪ que tienen la propiedad P.

Conjunto universal ∪: generalmente todos los conjuntos que se investigan pertenecen a algún conjunto grande fijo, llamado conjunto universal o universo de discurso.

Ejemplos: En geometría del plano, el conjunto ∪ son todos los puntos del plano;En estudios de población humana, el conjunto ∪ es toda la gente del mundo.

Puede existir un conjunto fijo ∪ y una propiedad P, y puede suceder que ningún elemento de ∪ tenga a la propiedad P; ejemplo,S = { X | X es un entero positivo, X2 = 3 } este conjunto no tiene elementos, ningún entero la positivo la cumple.∅ = conjunto vacío, conjunto sin elementos.Por el principio de extensión se concluye que solamente existe un conjunto vacío; si S y T son ambos conjuntos vacíos, entonces S = T, ya que ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos, es decir, ninguno.

Subconjuntos: si cada elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B, entonces A se denomina subconjunto de B y decimos que A esta contenido en B, ó que B contiene a A.A ⊂ B, A está contenido en B, A es un subconjunto de B




B ⊃ A, B contiene a AA ⊄ B, A no es un subconjunto de B ( por lo menos un elemento de A no pertenece a B )B ⊅ A, B no contiene a A ( por lo menos un elemento de A no pertenece a B ).

Ejemplo, A = { 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B = { 1, 2, 3, 5, 7 } C = { 1, 5 } C ⊂ A;C ⊂ B 1 y 5 son elementos de A, B y C.B ⊄ A, 2 y 7 no pertenecen a AA, B y C tienen que pertenecer al conjunto universal U; por tanto U tiene que tener por lo menos los elementos { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 }-

Existen conjuntos de números que ocurren con mucha frecuencia, se adopta la siguiente convención:N = conjunto de los enteros positivos: 1, 2, 3, ……Z = es el conjunto de los números enteros: - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ……Q = es el conjunto de los números racionales,

Enteros positivos, negativos y el cero Fracciones positivas y negativas: 2/7, - 4/ 5, 87/9 Decimales positivos y negativos con número infinito de dígitos: 2.36, 236/1000 Decimales periódicos positivos y negativos con un número infinito de dígitos: 1/3 =

0.333333.R = es el conjunto de los números reales

Ejemplo: E = { 2, 4, 6 } F = { 6, 2, 4 }E es un subconjunto de F, ya que cada número 2, 4 y 6 que pertenece a E, también pertenece a F.De hecho E = F, cada conjunto es subconjunto de sí mismo.Cada conjunto A es un subconjunto de U ( todos los miembros de A pertenecen a U ).∅ es un subconjunto de AA es un subconjunto de A, cada elemento de A pertenece a ASi A ⊂ B, y B ⊂ C, entonces A ⊂ C Si A ⊂ B, y B ⊂ A, entonces A = B, es decir, tienen los mismos elementos.Recíprocamente, si A = B, entonces A ⊂ B, y B ⊂ C, ya que todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Teorema 1a) Para todo conjunto, se tiene que Ø ⊂ A ⊂ Ub) Para todo conjunto A, se tiene que A ⊂Ac) Si A ⊂ B, y B ⊂ C, entonces A ⊂ Cd) A = B, si y sólo si, A ⊂ B, y B ⊂ A

Diagramas de Venn Es una representación gráfica de conjuntos por conjuntos de puntos en el plano; el conjunto Universal U se representan por el interior de un rectángulo; Los otros conjuntos se representan por discos dentro del rectángulo.

A ⊂ B, el disco A está completamente dentro del disco B




A y B son disjuntos, no tienen elementos en común.

A y B son conjuntos arbitrarios, es posible que: Algunos elementos estén en A pero no en B Algunos elementos estén en B pero no en A Algunos elementos estén en ambos conjuntos Algunos elementos no estén ni en A ni en B

Algunos enunciados verbales pueden traducirse en enunciados equivalentes sobre conjuntos por medio de diagramas de Venn, éstos se utilizan a veces para determinar si un argumento es válido.

Ejemplos. ( 1 ) 1) Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son iguales.2) Haga una lista de los elementos que pertenecen a cada uno de los siguientes conjuntos, donde N

= { 1, 2, 3, ….. }3) Considere los siguientes conjuntos:

ϕ, A = { 1 }; B = { 1, 3 }; C = { 1, 5, 9 }; D = { 1, 2, 3, 4, 5 }E = {1, 3 5, 7, 9 }

Ahora coloque el símbolo ⊂ ó ⊄, según corresponda en las siguientes parejas de conjuntos:a) ϕ, Ab) A, Bc) B, Cd) B, Ee) C, D, f) C, Eg) D, Eh) D, U

Operaciones con conjuntos:

Unión: la unión de dos conjuntos A y B, A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B.A ∪ B = { x : x ∈ A ó x∈B }

Intersección de dos conjuntos A y B: A ∩ B, es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B.DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



A ∩ B = { x | x ∈ A, x ∈ B }

A ∪ B A ∩ B

Ejemplos: (2)

Complementos:

En cierto momento todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto uiniversal U; El complemento absoluto o simplemente el complemento de un conjunto A, es Ac, es el conjunto de los elementos que pertenecen a U, pero que no pertenecen a A.

Ac = { x : x ∈ U, x ∉ A }

Ac = A’ = Ã

Ac

Complemento relativo de un conjunto B con

respecto a un conjunto A, o sencillamente la

diferencia de A y B, denotada por A\ B, es

el conjunto de los elementos que pertenecen a

A pero no a B

Ejemplos: ( 3 ) A \ B




LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

Leyes de Idempotencia

1a) A ∪ A = A 1b) A ∩ A = A

Leyes asociativas

2 a) ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) 2b) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

Leyes conmutativas

3 a) A ∪ B = B ∪ A 3b) A ∩ B = B ∩ A

Leyes distributivas

4 a) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 4b) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

Leyes de Identidad

5 a) A ∪ ∅ = A 5b) A ∩ U = A

6 a) A ∪ U = A 6b) A ∩ ∅ = ∅

Leyes de Involución

( AC )C = A

Leyes de Complemento

8 a) A ∪ AC = U 8b) A ∩ AC = ∅

9 a) UC = ∅ 9b) ∅C = U

Leyes de De Morgan

10 a) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC 10b) ( A ∩ B)C = AC ∪ BC

CONJUNTOS FINITOS, PRINCIPIOS DE CONTEO

Un conjunto es finito si contiene exactamente m elementos diferentes donde m es un entero no negativo, en caso contrario es un conjunto infinito. Ejemplos:

El conjunto vacío es un conjunto finito El conjunto de letras del alfabeto es finito El conjunto de los enteros positivos pares { 2, 4, 6, ….} es infinito

Si A es un conjunto finito, n (A) es el número de elementos de A.

Si A y B son conjuntos finitos disjuntos, entonces A ∪ B es finito y n (A ∪ B ) = n (A) + n (B).

DEMOSTRACION: Al contar los elementos de la A ∪ B, primero contamos los elementos que están en el conjunto A; los otros elementos de la union A ∪ B, son los elementos que están en el conjunto B (pero




no están en A), como A y B son disjuntos ningún elemento de B esta en A, por tanto existen n(B) elementos que están en B pero que no están en A y se comprueba que

n (A ∪ B ) = n (A) + n (B).

TEOREMA: Si A y B son conjuntos finitos entonces A ∪ B y A ∩ B son finitos, y entonces tenemos n (A ∪ B ) = n (A) + n (B). – n ( A ∩ B )

Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces A ∪ B ∪ C, también es un conjunto finito, y tenemos.

n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n (A ∩ B) – n ( A ∩ C) – n (B ∩ C ) + n ( A∩ B∩ C)

Ejemplo : En la escuela de Ing. Civil existen 120 alumnos, 100 de ellos estudian por lomenos un idioma entre francés, alemán, e italiano suponga además que:

65 estudian francés 45 estudian alemán 42 estudian italiano

20 estudian francés y alemán 25 estudian francés e italiano 15 estudian alemán e italiano

a) Encuentre el número de estudiantes que estudian los 3 idiomas simultáneamente.b) Encuentre el número exacto de estudiantes en cada una de las 8 regiones del diagrama de Venn.

Definamos: F = { conjunto de los estudiantes de francés }

A = { conjunto de los estudiantes de alemán }

I = { conjunto de los estudiantes de Italiano }

Entonces:

n( F ∪ A∪ I ) = n( F ) + n( A ) + n( I ) – n ( F ∩ A ) – n ( F ∩ I ) – n ( A ∩ I ) + n ( F ∩ A ∩ I )

n ( F ∪ A∪ I ) = 100, por lo menos 100 alumnos estudian un idioma)

n ( F ) = 65; n ( A ) = 45; n ( I ) = 42; n ( F ∩ A ) = 20

n ( F ∩ I ) = 25; n ( A ∩ I ) = 15

100 = 65 + 45 + 42 – 20 – 25 – 15 + n ( F ∩ A ∩ I )

100 – 92 = n ( F ∩ A ∩ I ); por tanto, 8 estudian los 3 idiomas simultáneamente, luego,

20 – 8 = 12, estudian francés y alemán pero no italiano

25 – 8 = 17, estudian francés e italiano pero no alemán

15 – 8 = 7, estudian alemán e italiano pero no francés

65 – 12 – 8 – 17 = 28, estudian solamente francés

45 – 12 – 8 – 7 = 18, estudian solamente alemán

42 – 17 – 8 – 7 = 10, estudian solamente italiano

120 – 100 = 20, no estudian ningún idioma




HISTOGRAMASSirven para representar datos con diagramas de barra; se deben organizar los datos disponibles para apreciar la naturaleza y el grado de incertidumbre en los datos existentes del evento.Ejemplo: precipitación pluvial del río papagayo, Gro.Mes: Junio 2005.

0

2

4

6

8

10

12

Serie 1Serie 2Serie 3Serie 4



Semana hp

1 32 53 114 7

Mes hp

Enero 4

Febrero 3.5

Marzo 4.1

Abril 6

Mayo 10

Junio 25

Julio 32

Agosto 44

Septiembre 40

Octubre 31


Categoría 10

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Columna11Columna10Columna9Columna2Columna125Columna8Columna7Columna6Columna5Columna4Columna3

1.2 Introducción a la probabilidad

Los siguientes dos ejemplos muestran las formas posibles de representar los datos de un experimento y el grado de variabilidad que se presenta en el registro de datos; Dichos ejemplos muestran la necesidad de desarrollar técnicas que nos permiten una organización estructurada de los datos del experimento que permitan un análisis matemático del mismo.

Valor promedio o Media Aritmética X : Es el número más simple y útil asociado a un conjunto de datos.

X1, X2, …..Xn, es la sucesión de valores observados, con un número finito de observaciones. Se llama Media Muestral porque los datos se consideran como una muestra Es el valor típico o central de los datos

DEFINICION: Si las n observaciones de una muestra se denotan por X1, X2, …….Xn, entonces la Media Muestral es:

X= X1+X2+ .… Xnn = ∑

i=0

n

Xi

N

Ejemplo: Se requiere diseñar un conector de nylon para un motor de automóvil, se considera que el espesor ideal puede ser 3/32”; si la fuerza de desconexión es muy débil puede causar averías al motor, se fabrican 8 unidades prototipo y se miden las fuerzas de desconexión que son: 12.6, 12.9, 13.4, 12.3, 13.6, 13.5, 12.6, 13.1El diagrama de puntos de los datos es el siguiente:

• puede apreciarse fácilmente la localiza-- • • • • • • • ción y dispersión de los datos; Un núme-

ro corto de pruebas reduce el análisis. 12 13 14 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL


Mes hp

Enero 4

Febrero 3.5

Marzo 4.1

Abril 6

Mayo 10

Junio 25

Julio 32

Agosto 44

Septiembre 40

Octubre 31


Estos datos se pueden describir también numéricamente; por ejemplo, la localización o tendencia central de los datos .puede caracterizarse con el promedio aritmético ordinario o media; En este caso, ya que los datos se consideran como una muestra, la media aritmética se refiere como la media muestral.

Aplicando esta fórmula al problema de los conectores de nylon, la Media Muestral es:

X= X1+X2+ .… Xnn

= ∑i=0

8

Xi = 12.6 + 12.9 + 13.4 + 12.3 + 13.6 + 13.5 + 12.6 + 13.1

8 8

• • • • • • • • X = 13.0 La Media Muestral es el punto de 12 13 14 equilibrio de un sistema de peso.

DIAGRAMA DE DISPERSION

Si existe un número finito de observaciones en la población, entonces la Media Poblacional es

μ=∑i=0

n

Xi; La Media Muestral X es una estimación razonable de la Media Poblacionalμ; La Media

Muestral no proporciona toda la información acerca de una muestra de datos; La Variabilidad o dispersión de los datos puede medirse con la varianza muestral o desviación estándar muestral.

Definición: Si X1, X2, ……. Xn es una muestra de N observaciones, entonces la varianza muestral es:

S2 = ∑i=0

n

(Xi−X )2 La desviación estándar muestral S es la raíz cua--

drada positiva de la varianza muestral. Estas uni-- N – 1 dades se miden en las unidades originales de la va--

riable de interés X.

• • • • • • • •

12 13 14 X2 X8

X1 X3

X7 X6

X4 X5



Entre mayor sea la variabilidad en los datos de la fuerza de desconexión, más grande será la magnitud absoluta de algunas de las desviaciones Xi – X.

Esta es la forma en que la varianza muestral mide la variabilidad por medio de las desviaciones Xi – X.


DIAGRAMA DE DISPERSION

Ejemplo: se construyen 15 trabes de concreto reforzado los cuales se ensayan a flexión simple, todas se construyen con las mismas especificaciones y la misma resistencia a compresión; los resultados a la primera grieta y a la carga final se aproximaron a 50 lb.

X = 49.81

15 = 3.32 Ton. ( de la primera carga )

X= X1+X2+ .… Xnn = ∑

i=0

15

Xi = 67.29 = 4.486 Ton. ( Carga última )

15 15

4.48 Ton.

• • • • • • • • • • • • • • • Ton.

4.0 4.25 4.5 4.75 5.0

DIAGRAMA DE DISPERSION PARA LA CARGA FINAL

D1

D3 D2



Todas las trabes de construyeron con las mismas especificaciones

Con el mismo tipo de concreto Los resultados a la primera grieta y a la carga

final se aproximaron a 50 kgs. La dispersión de los datos puede deberse a:

Diferencias de construcción Diferencias de ensayo Mano de obra deficiente Errores humanos Heterogeneidad del material Errores en las mediciones y

observaciones.

La media muestral es el punto de equilibrio de un sistema de peso.

D1 = la carga última observada fue de 4.81 Ton., es un evento simple (existe una carga específica)

D2 = la carga es mayor de 4.81 Ton, evento compuesto

D3 = la carga es mayor de 4.0 Ton, pero menos de 4.81 Ton., evento compuesto.

No. Trabe

Carga en la cual aparece la

primera grieta (Ton)

Carga final (ton.)

1 4.7 4.702 3.88 4.223 3.27 4.354 2.31 4.675 2.95 4.266 4.81 4.817 2.72 4.588 2.72 4.499 4.31 4.3110 2.95 4.6311 4.22 4.2212 2.72 4.3313 2.72 4.3314 2.63 4.7615 2.45 4.63∑ 49.81 67.29


4.0 4.81

P R O B A B I L I D A D

Se refiere al estudio de sucesos que ocurren con mucha aleatoriedad y con cierto grado de incertidumbre de los fenómenos que ocurren en la ingeniería; La probabilidad proporciona métodos para cuantificar oportunidades o probabilidades asociados con varios tipos de resultados.La probabilidad trata de construir modelos matemáticos que describan sucesos de situaciones reales en forma simple e idealizada, esos modelos deben ser adecuados para el cálculo y predicción de dichos sucesos. Cuando aparece un factor de incertidumbre en el estudio de un evento o suceso, originado por causas naturales o por conocimiento parcial del fenómeno, se utilizan modelos probabilísticos para su análisis.

Experimento: Es cualquier acción o suceso que genera observaciones y que puede tener distintos resultados posibles, y cuyos resultados se conocen hasta que se ha llevado a cabo.

Espacio muestral de un experimento S : Es el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento. Es un evento seguro, porque es seguro que ocurre, su probabilidad es 1.

Puntos muestrales o evento simple: Son los elementos del conjunto S, cada uno de ellos asociado con uno, y solo un resultado muestral, distinto de un experimento.

Evento: es un subconjunto del espacio muestral

Evento compuesto es aquél que consta de 2 ó más puntos muestrales.

Ac, complemento de A, son todos los puntos muestrales del espacio muestral del experimento que no pertenecen a A; el complemento de un suceso es también un suceso.

Variable Aleatoria: es una variable cuyo valor será el resultado de un determinado evento si lo hiciéramos.Ejemplo:

Tirar un dado, la variable aleatoria X sería el número que salga. El conjunto de valores posibles de X es el espacio muestral S

Evento Aleatorio: es el evento que ocurre dependiendo del azar

El grado de probabilidad que un evento ocurra es su PROBABILIDAD

Conjunto vacío ∅ , es un evento imposible, no tiene ningún evento elemental, es imposible que ocurra, su probabilidad es cero.

Ejemplos de espacio muestrales de eventos aleatorios, si los eventos fueran:a) Tirar un dado, s = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }




b) “las letras del alfabeto” = { a, b, c, d, e, f, g, …….z }c) “lanzar una moneda al aire” = { sol, águila }d) “Los meses del año” = { E;F, M, A, M, J, J, A, S, O, N, D }

Adecuamos el espacio muestral a lo que consideramos posible o no posible.En un experimento el espacio muestral no es único ni inapelable, por tanto se deben definir características importantes del espacio muestral:

1. ¿Cuáles son los resultados posibles y cuáles los imposibles?2. ¿Cómo se anotan los resultados?3. ¿Qué es un resultado?

a. Tiramos al aire una moneda de $ 1.0, existen dos resultados { sol, águila }b. Tiramos al aire dos monedas de $ 1.0, existen 3 resultados posibles:

i. Sol – solii. Sol – águilaiii. Águila – águila

c. Tiramos al aire una moneda de $ 1.0 y una de $ 1.0, existen 4 resultados posibles:i. Sol – caraii. Sol – cruziii. Águila – caraiv. Águila – cruz

¿porqué el número de resultados del experimento b y c son distintos, Si en ambos casos fueron dos monedas de 1.0? porque en el experimento b las monedas son iguales y los resultados son distinguibles y en el experimento c las monedas son diferentes y los resultados no distinguibles.Por tanto en un espacio muestral es básico tener claro cuáles son los resultados distinguibles y cuáles son no distinguibles.Por ejemplo, al tirar un dado los diferentes resultados pueden anotarse como conjuntos numéricos o conjuntos por comprensión:{ 1 }, { 2 }, { 1, 3 }, { 2, 4, 6 }, { 1, 2, 3 }, { 4, 5 }{ que salga un número par }{ que salga un número impar }{ Que salga un número mayor que 3 }S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }A = { 1 }, un evento A ⊂ SB = { 5 }, un evento B ⊂ S

Ejemplo: Experimento: se tira un dadoA = { que salga menos de 4 } A = { 1, 2, 3 }B = { que salga mayor que 2 } B = { 3 }

A ∩ B = { 3 }, es el evento que ocurre cuando ocurren simultáneamente A y B.C = { que salga 1 ó 2 } C = { 1, 2 }D = { que salga más de 4 } D = { 5, 6 }C ∩ D = ϕ , tienen intersección nula, no pueden ocurrir simultáneamente; C y D son disjuntos o mutuamente excluyentes.E = { que salga menos de 4 } E = { 1, 2, 3 }F = { que salga 2 ó 6 } F = { 2, 6 }E ∪ F = { 1, 2, 3, 6 }, es el suceso que ocurre cuando ocurre E, F, o los dos simultáneamente.Evento G = { sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6 }H = { sale 4 }Hc = { sale 1, sale 2, sale 3, sale 5, sale 6 }DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



H y Hc son subconjuntos de GH ∪ Hc = GH ∩ Hc = ϕ, un evento y su complemento son disjuntos, no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Partición del espacio muestral

Ejemplo: se lanza un dado,El espacio muestral es S E = resultados posibles = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }N es el número de eventos N : A1 = { 1 }; A2 = { 2 }; A3 = { 3 }

A 4 = { 4 }; A5 = { 5 }; A6 = { 6 }E = es la unión de los eventos del espacio muestral = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6

A1 ∩ A2 = ϕ ; A1 ∩ A3 = ϕ ……….. A5 ∩ A6 = ϕ Ai ∩ Aj = ϕ, todos los posibles pares tienen intersección nula. Se dice entonces que A1 ,A2 ,A3 ,A4 ,A5 y A6 son una partición de E.A ∪ Ac = E y A ∩ Ac = ϕ

Ejemplo: una persona es propietario de dos gasolinerías las que se encuentran ubicadas una enfrente de la otra en un bulevar de la ciudad; cada gasolinería tiene 6 bombas; ¿ cuántas bombas están funcionando de manera simultánea en un día cualquiera?(# de bombas gasolinería 1, # de bombas gasolinería 2) existen 49 probabilidades diferentes.( 0, 0 ) ( 0, 1 ) ( 0, 2 ) ( 0, 3 ) ( 0, 4 ) ( 0, 5 ) ( 0, 6 )( 1, 0 ) ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 )( 2, 0 ) ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 )( 3, 0 ) ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 )( 4, 0 ) ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 )( 5, 0 ) ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 )( 6, 0 ) ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 )

Ejemplo: Una empresa constructora tiene 3 casas por vender, en la bodega del proyecto solamente existen 2 colores de pintura (amarillo y verde); encuentre la probabilidad de secuencia de resultado cuando las casas se pinten.

V = verdeA = amarillo 2³ = 8 (2 = # opciones, 3 = # de casas, 8 = # de probabilidades )

Si dos eventos no tienen puntos en común son mutuamente excluyentes o disjuntos Los sucesos simples son mutuamente excluyentes por definición A ∩ B, son los puntos comunes a los sucesos A y B D1 ⊂ D2, si la intersección de dos sucesos es igual a uno de ellos, se dice que éste está

contenido en el otro.

La media muestral no proporciona toda la información acerca de una muestra de datos. Para una mejor información, se utiliza la varianza muestral.

Varianza muestral = es la variabilidad o dispersión de los datos.

S2 = ∑i=0

n

(Xi−X )2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



N – 1

Desviación estándar muestral = S = √S2 = raíz cuadrada positiva de la varianza muestral

Mientras más pequeña es la desviación estándar, los datos se concentrarán más alrededor de la media muestral y las desviaciones grandes respecto al valor promedio serán menos frecuentes.

Para el ejemplo de las Trabes:a) Para la carga de falla:

Varianza muestral = S2 = 0.6008

15 = 0.0401

Desviación estándar = S = √0.0401 = 0.20 Ton.

Coeficiente de variación muestral = V =SX

= 0.20

4.486 = 0.0446 Ton.

b) Para la 1ª carga:

Varianza muestral = S2 = 0.6349 Ton.Desviación estándar = 0.7968Coeficiente de variación muestral = V = 0.24 Ton.

Conclusión: cuando se forma la primera grieta “las cargas son más variables” o más difíciles de predecir, que

las cargas de ruptura. Esto es muy importante cuando la resistencia es el criterio de diseño.

Probabilidad de Eventos Aleatorios

Definición de Probabilidad: Es el grado de certeza de que ocurrirá un determinado experimento al realizar un determinado evento aleatorio.

Mientras más alta sea la probabilidad de un evento, mayor es el grado de certeza de que ocurrirá al hacer el evento.

P (A) es la probabilidad de un evento.

Definición informal: La Probabilidad de un evento es un número entre 1 y 0. Si la probabilidad es cero, se sabe que el evento no ocurrirá, probabilidad cercana a cero es baja. Si la probabilidad es 1, se sabe que el evento ocurrirá, probabilidad cercana a 1 es alta.

Ejemplo: E = evento que consiste en lanzar una moneda al aire.S = sol; A = águilaP (E) = P (A) + P (S) = 0.5 + 0.5 = 1.0

Definición Empírica: consiste en asociar las probabilidades de los resultados con sus frecuencias relativas, luego de repetir el experimento una determinada cantidad de veces.




P * A ≅ Fr.relativa * A = Fr. absoluta * A * nFr. absoluta = cantidad de veces que ocurrió A en las n veces que se llevó a cabo el experimento.Cuanto más grande sea n, mejor será la aproximación de P (A) por Frrelativa(A).Ejemplo: Si se elige un estudiante de la clase de Probabilidad ¿cuál es la probabilidad que el elegido sea mujer?Suponiendo que en el grupo de estudiantes de Probabilidad existen 41 personas de las cuales 6 son mujeres, entonces P(m) 6/41 = 0.1463

Definición Axiomática: La probabilidad consiste en asignar a cada evento A, un número P (A ) (probabilidad del evento A, que frecuentemente se llama suceso aleatorio) que proporciona una medida precisa de la probabilidad de que el evento suceda, dado un experimento y un espacio muestral S. Se deben cumplir las tres condiciones para las probabilidades asignadas a los sucesos del espacio muestral:Axioma I:

Para cualquier evento A, 0 ≤ P ( A )≤1, no existen probabilidades negativas

Axioma II:La probabilidad de un suceso seguro A, es la unidad P ( A ) = 1Axioma III:

a) La probabilidad de un suceso que sea la unión de eventos mutuamente excluyentes, es la suma de las probabilidades individuales de cada evento:

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) = ∑i

N

P (Ai)

b) Si A1, A2, A3,……..An es un conjunto infinito de eventos mutuamente excluyentes, entonces

P ( A1, A2, A3,……..An ) = ∑i

∞

P (Ai)

Luego deducimos que:

a) P(A)≤ 1 la probabilidad no puede ser mayor que 1b) P(A) + P(Ac) = 1 P ( A ) = 1 – P ( Ac )c) p (∅ ) = 0d) A ⊂ B = P(A) ≤ P(B)e) P ( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P ( A ∩ B )

El espacio muestral es el evento que debe ocurrir cuando el experimento se realiza ( S tiene todos los resultados posibles ).Ejemplo: se lanza una moneda al aire Espacio muestral S = { sol, águila }P ( S ) = 1 se debe determinar P ( S = sol ) y P ( A = águila )a y s son eventos disjuntos s ∪ a = SPor el axioma 3 1 = P ( S ) = P ( s ) + P ( a )1 = P ( s ) + P ( a ) P ( s ) = 1 – P ( a )Si P ( a ) = 0.5, luego P ( s ) = 0.5 P ( a ) = 0.75, entonces P ( s ) = 0.25Si P es cualquier número fijo entre 0 y 1, entonces P ( S ) = P y P ( a ) = 1 – P ( s )

Frecuencia relativaPara cualquier evento, n ( A ) = número de repeticiones donde ocurre el evento A de un experimento.




n ( A ) = frecuencia relativa de ocurrencia del evento A en la secuencia de repeticiones nCuando crece n , se estabiliza [ n ( A ) ] / n ( porque se aproxima a un valor límite conocido como frecuencia relativa )

frecuencia x xrelativa x x x x x

x …… x………

n

P (A) = frecuencia relativa limitanteLas probabilidades se asignan a eventos con frecuencias relativas limitantes, entonces en el caso de las monedas es águila = 0.5, sol = 0.5.Esta es la interpretación objetiva de probabilidad porque se apoya en una propiedad del experimento; pero en la práctica no se conoce la frecuencia relativa limitante; por tanto, debemos asignar probabilidades basadas en nuestras creencias del experimento en estudio.Por ejemplo,

consideramos en el caso de la moneda P ( a ) = P( s ) = 0.5 ;

P (águila) =12

; P( sol ) = 12

En el caso de un dado P = { {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6{ } = 1/6 En el caso de la letra con la cual inicia el título de cualquier libro

s={las letras del alfabeto} p(letras)=1

27

los Meses del año s={E,F,M,A,M,J,J,A,S,O,N,D} p(M)=1

12

Estos son ejemplos en los que adecuamos el espacio muestral a lo que consideramos posible o no posible; En un experimento el espacio muestral no es único ni inapelable, por lo tanto deben definirse las características importantes del espacio muestral:

1) Cuáles son los resultados posibles e imposibles?2) Como se anotan los resultados?3) Que es un resultado?

Propiedades de la Probabilidad

1) Ley # 1 Para cualquier evento A, P(A) = 1 – P(Ac)Aplicando el axioma 3 de la probabilidadSea K = 2, A1 = A y A2 = Ac

Por definición de Ac tenemos que mientras A y Ac sean disjuntos, S = A ∪ Ac Luego 1 = P (S) = P (A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac)Ejemplo: existen al menos 5 procesos para la fabricación de una mezcla de concreto

1. Agregar pétreos2. Mezclar pétreos3. Agregar el cemento




4. Revolver pétreos + cemento5. Agregar agua según diseño y mezclar

Sean: F = proceso que falla dos probabilidades de resultadosX = proceso bien hecho

Definimos A = evento en el que por lo menos un proceso fallaAc = evento donde todo el proceso de fabricación es bueno = X X X X X

Existen solamente 2 eventos, debemos calcular 2 probabilidades.Probabilidad = 25 = ( 2 probabilidades )5 (procesos) = 32 – 1 = 31Para un 90 % de eficiencia P ( Ac ) = X X X X X = (0.9)5 = 0.5905 (90% es la probabilidad que el proceso de fabricación es bueno).Luego P ( A ) = 1 – 0.59 = 0.41 % del proceso de fabricación de la mezcla fallará

2) Ley # 2 Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P ( A ∩ B ) = 0Como A ∩ B no tiene resultados, entonces S = P (A ∩ B )c

Por tanto, 1 = P ( A ∩ B )c = 1 – P ( A ∩ B ) esto implica que P (A ∩ B ) = 1 – 1 = 0 Cuando A y B son mutuamente excluyentes, el axioma 3 genera como resultado:

P ( A ∩ B ) = P (A) + P(B)

Cuando A y B no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión se obtiene de la siguiente ley:

3) Ley # 3 Para cualquiera de los dos eventos A y BP ( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P ( A ∩ B ) esto también es válido cuando A y B son mutuamente excluyentes porque en ese caso P ( A ∩ B ) = 0

Principios Básicos de Conteo: (Adición y Multiplicación)

Principio de Adición: Suponga que un evento E puede ocurrir de m formas y otro evento F puede ocurriren n formas, además suponga que ambos eventos no pueden ocurrir simultáneamente; Entonces

E ó F pueden ocurrir en m + n formas.Suponga que A y B son disjuntos, entonces n (A ∪ B ) = n (A) + n (B)

Ejemplo: Suponga que existen 6 ingenieros y 4 arquitectos para diseñar el edificio de una bodega; El propietario puede escoger el profesionista que va a diseñar de 6 + 4 = 10 formas.

Ejemplo: Suponga que en el Instituto de Ingeniería de la UNAM, existen 3 maestrías diferentes en Mecánica de Suelos, 5 maestrías en Ingeniería Estructural y 4 maestrías diferentes en Hidráulica; Entonces existen n = 3 + 5 + 4 = 12 formas diferentes para que un estudiantes de Ingeniería Civil pueda especializarse en una maestría.

Ejemplo:

= +DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



A ∪ B A ( B ∩ AC)

A ∪ B = A ∪ ( B ∩ AC) A y ( B ∩ AC) son mutuamente disjuntosP ( A ∪ B ) = P (A) + P (B ∩ Ac )………… (1)Pero B = ( B ∩ A ) ∪ ( B ∩ AC)Por tanto P (B) = P ( B ∩ A ) + P ( B ∩ AC), despejando P ( B ∩ AC) = P (B) – P ( B ∩ A )Sustituyendo P ( B ∩ AC) en (1)

P (A ∪ B) = P(A) + [ P (B) – P (B∩A)] = P(A) + P (B) – P (B ∩ A)

Ejemplo: En cierta población del estado de Hidalgo 60% de familias tiene servicio de agua potable A = 60 % = 0.6 = P (A)80% de familias tiene servicio de electricidad B = 80 % = 0.80 = P (B)50% de familias tienen ambos servicios A ∩ B = 50 % = 0.50 = P ( A ∩ B )

Al seleccionar una familia al azar:1) ¿Cuál es la probabilidad que reciba al menos un servicio?2) ¿Cuál es la probabilidad que reciba exactamente uno de los servicios?

A) Tienen servicios de agua potable = 60% = P(A) = 0.6B) Tienen servicio de electricidad = 80% = P(B) = 0.8

P (A ∩ B) = 50% = 0.5P ( familias que reciben por lo menos un servicio ) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B )

= 0.6 + 0.8 – 0.5= 0.90

( Ac ∪ B ) = familias que no reciben Agua potable pero sí reciben electricidad

P ( A ∪ B ) = P (A) + P ( Ac ∩ B )0.90 = 0.60 + P ( Ac ∩ B ) despejando P ( Ac ∩ B ) = 0.90 – 0.60 = 0.30( A ∩ Bc ) = familias que sí reciben Agua potable pero no reciben electricidadP ( A ∪ B ) = P ( B ) + P ( A ∩ Bc )

0.90 = 0.80 + P ( A ∩ Bc ) despejando P ( A ∩ Bc ) = 0.90 – 0.80 = 0. 10Probabilidad que las familias que reciben solamente un servicio exactamente:P ( uno exactamente ) = P ( Ac ∪ B ) + P ( A ∩ Bc ) = 0.10 + 0.30 = 0.40

0.5

P (A ∩ Bc ) P ( Ac ∩ B ) ∑ = 0.50 + 0.30 + 0.1 = 0.90



A=0.1 B=0.3


Principio de multiplicación:

Suponga que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente a este evento un evento F puede ocurrir en n formas; entonces las combinaciones de ambos eventos pueden ocurrir en m*n formas.

En notación de conjunto: suponga que A y B son conjuntos finitos, entonces

n(A*B) = n(A) * n(B);

Si existiera un tercer evento entonces podría ocurrir de n1* n2 * n3 formas.

Ejemplo:Se debe dar el acabado final decorativo a la columna central del lobby de un hotel; en la bodega del proyecto existen 3 tipos de pasta stuco, y 4 colores diferentes de pintura, entonces existen n = 3 * 4 = 12 formas diferentes de dar el acabado final a la columna.

Ejemplo:Una empresa constructora debe enviar al gerente a una licitación en la ciudad de Mexicali; la compañía A tiene 3 vuelos diarios del DF. hacia Mexicalila compañía B tiene 2 vuelos diarios (ida y vuelta) a Mexicali.

A) ¿Cuántas formas de volar existen del DF., a Mexicali en la línea A y volar de regreso en la aerolínea B?

B) ¿Cuántas formas existen para volar del DF., a Mexicali? M = 3 + 2 = 5 formas

A3 vuelos diarias del DF., a MexicaliB2 vuelos diarias del DF., a Mexicali

a) (A1 B1), (A1 B2) , (A2 B1), (A2 B2), (A3 B1), (A3 B2) = n = 3 (2) = 6b) A A A B B = 5c) N = 5 (5) = 25

A1 A2 A3 B1 B2 ( la misma posibilidad para los demás vuelos de ida )

AR1 AR2 AR3 BR1 BR2

Ejemplo:El ITP tiene entre sus actividades extracurriculares 3 deportes diferentes, 4 tipos de danzas típicas, 2 tipos de otras actividades culturales.

a) Si un alumno debe escoger una de entre cada tipo de actividad, el número de formas de hacerlo es n = (3)(4)(2) = 24 formas

b) Si necesita escoger solamente una de cada actividad entonces tiene:M = 3+4+2 = 9 formas de escoger

Número factorial ( N! )




N ! = 1 x 2 x 3 x….(n-1) n

0 ! = 1 por definición8 !6 !

=8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗16∗5∗4∗3∗2∗1

=¿ 8 * 7 = 56

1 ! = 12 ! = 1 x 2 = 2

3 ! = 1 x 2 x 3 = 618!16 !

=18∗17∗16 !16 !

=¿ 306

4 ! = 1 x 2 x 3 x 4 = 245 ! = 5 * 4 ! = 120

12!8!

=12∗11∗10∗9∗8 !8 !

=¿ 11,880

Aproximación de Stirling a N! Se utiliza cuando n es muy grande

n !≅ √2πnnne−n Cuando n es muy grande la relación entre ambos miembros tienden a 1

Coeficiente binomial

(nr ) donde n y

r son enteros positivos, se lee “n tomado de r en r”r ≤ n

(nr )=n (n−1 ) (n−2 )… (n−r+1 )

n (r−1 )…3∗2∗1= n !r ! (n−r ) !

De otra forma n(n-1)…(n – r +1) ¿1r !

= n!

(n−r ) !∗1

r !=

n !r ! (n−r )!

( nn−r )=(nr ) equivalentemente (na)=(nb)donde a + b = n …… ecuación ( 2 )

(n0)= n!0 ! (n−0 ) !

= n!0 !n !

=1 (solo hay una forma de seleccionar 0 elementos)

(nn) = 1 (solo hay una forma de seleccionar todos los elementos)

(n1) = n (hay un subconjunto de tamaño 1)




(00)= 0 !0 !0 !

=1

(82)= 8 !2 ! (8−2 )!

= 8 !2 !6 !

=562

=¿ 28

(94)= 9 !

4 ! (9−4 ) != 9 !

4 !5!=9∗8∗7∗6

4∗3∗2∗1=¿ 126

(125 )= 12!

5! (12−5 ) != 12 !

5!7 !=12∗11∗10∗9∗8

5∗4∗3∗2∗1=¿ 792

(103 )= 10 !

3 ! (10−3 )!= 10!

3 !7 !=10∗9∗8

3∗2∗1=¿ 120

(131 )= 13 !

1 ! (13−1 ) != 13 !

1!12 !=13

1=¿ 13

(107 )=10 (10−1 ) (10−2 )… ..(10−7+1)

7 (7−1 ) (7−2 ) (7−3 )∗3∗2∗1=

10 !7 !3 !

=10∗9∗8∗7 !

7 !3 !=¿ 120 calculando de otra forma por

medio de la ecuación ( 2 ); 10 – 7 = 3

(107 )=(10

3 )=¿ 10∗9∗83 !

= 120 ( 1010−7)=(10

7 )( nn−r )=(nr )

Ya que 7 + 3 = 10 entonces (107 )=(10

3 )

Luego (107 )se resuelve como(10

3 ) = 10∗9∗8∗7 !

3∗2∗1 = 120

Permutaciones:

Es el ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado (tomados todos al mismo tiempo). Cualquier ordenamiento de r≤n de estos objetos en un orden determinado se llama una

permutación r o una permutación de n objetos tomados r a la vez.

Ejemplo

Conjunto de letras del alfabeto




a b c d, b c d a, c a b d, son permutaciones de las 4 primeras letras del alfabeto (tomadas todas a la vez).

a b d, c b a, b c d son permutaciones de las primeras 4 letras (tomadas en grupos de 3). a c, c b, b a, b d, son permutaciones de las primeras 4 letras (tomadas en grupos de 2)

P ( n, r ) es el número de permutaciones de n objetos, tomados r a la vez

Ejemplo:Encuentre las permutaciones del conjunto A, B, C, D, E, F, tomados en grupos de 3 cada vez sin repeticiones.

La primera letra se puede seleccionar en 6 formas diferentes La segunda letra se puede seleccionar en 5 formas diferentes La tercera letra se puede seleccionar en 4 formas diferentes Se pueden formar palabras de 3 letras A B C

A C DA D EA E FA FA

Por el principio de conteo (6) (5) (4) = 120

Por el principio de multiplicación existen (6)(5)(4)=120 posibles palabras de 3 letras, sin repetición de las 6 letras

Existen 120 permutaciones de 6 objetos tomados 3 a la vez; entonces P ( 6, 3 ) = 120 El primer elemento en una permutación r de n objetos pueden seleccionarse de n formas

diferentes El segundo elemento de una permutación se puede seleccionar de n – 1 formas. El tercer elemento de una permutación se puede seleccionar de n – 2 formas. El último elemento de una permutación se puede seleccionar de n – (r – 1) formas.

P ( n, r ) = P ( 6, 3 ) = (63)=6∗5∗4∗3 !3 !

=¿ 120

Por el principio de conteo tenemos:

P ( n, r ) = n ( n – 1 ) ( n – 2 )…( n – r + 1)

n ( n – 1 ) ( n – 2 )… (n – r + 1 )= n (n−1 ) (n−2 )… (n−r+1 ) (n−r ) !

(n−r )! =

n !(n−r )!

P( n – r ) = n !

(n−r )!

Cuando n = r P ( n , n ) = n ! existen n! permutaciones de n objetos tomados todos al mismo tiempo

Ejemplo:




Existen 3 ! Permutaciones de las letras a b c

a b c b a c c a b a c b b c a c b a

Permutaciones con repeticiones

P (n; n1, n2, n3,…,nr ) = n !

n1!n2 !n3 !…nr !

Ejemplo:¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar utilizando las letras de la palabra BABBY?Solución:

P ( 5, 3) = 5!3!

= cinco letras3 veces serepite B

=1206

=¿ 20

BBBAY BBBYA BABBY BYBAB ABBBY YABBB ABYBBBBAYB BBABY BYBBA BAYBB YBBBA ABBYB YBABBBBYAB BBYBA BABYB BYABB AYBBB YBBAB

Ejemplo:Encuentre el número de m palabras que pueden formarse con la letras BENZENE

Núm. Letras = 7 Num. Rep. De E = 3Num. Rep. de N = 2

m = P ( 7, 3, 2 ) = 7 !

3! 2!=7∗6∗5∗4∗3

3 !2 !=7∗6∗5∗4

2∗1=840

2=¿ 420

Muestreos con reposición:

Se toma un elemento del conjunto y se reemplaza en el conjunto antes de seleccionar el próximo elemento, por tanto existe n formas diferentes de seleccionar cada elemento.

n * n * n * n *…n = nr diferentes muestras ordenadas con reposición de tamaño r.

r veces

Muestreo sin reposición

El elemento escogido no se reemplaza antes de tomar el próximo elemento, no existen repeticiones en la muestra ordenada.

P ( n, r ) = n !

(n−r )!

Ejemplo:




En una baraja existen 52 cartas, se escogen 3 sucesivamente; encuentre el número de formas en que esto puede hacerse

A) Con reposición nr=(52)3=¿ 140,608

B) Sin reposición= P(52,3) = 52 !

(52−3 ) !=52 !

49 !=¿ 132,600

Combinaciones

Si se tiene una colección de n objetos, la combinación de éstos n objetos tomados r a la vez, es cualquier selección de r objetos, en donde el orden no cuenta; es decir, una combinación r de un conjunto de n objetos es cualquier subconjunto de r elementos.

Ejemplo:Combinaciones de las letras a, b, c, d, tomados en grupos de 3 son:

a b c a b d a c d b c d

Ejemplo:

Las siguientes combinaciones son iguales { a b c, a c b, b a c, b c a, c a b }, es decir, cada uno representa el mismo conjunto a b c.

C ( n, r ) Es el número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez.

Ejemplo:

Encuentre el número de combinaciones de 4 objetos a, b, c, d, tomados en grupos de 3; Cada combinación que contiene 3 objetos, produce 3 ! = 6 permutaciones de los objetos en cada combinación que se realice.

Combinaciones

Permutaciones

a b c a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a.

a d b a b d, a d b, b a d, b d a, d a b, d b a.

a c d a c b, a d c, c a d, c d a, d a c, d c a .

b c d b c d, b d c, c b d, c d b, d b c, d c b.

Esto indica que el número de combinaciones multiplicado por 3 ! es igual al número de permutaciones, es decir:




C ( 4, 3 ) * 3 ! = P ( 4, 3 ) = P (4∗3)

3 !

Las permutaciones P ( 4, 3 ) = 4 * 3 * 2 = 24 C(4,3)= P (4∗3)

3 !=¿ 4

Ya que una combinación de n objetos tomados r a la vez determina r ! permutaciones de los objetos en la combinación, entonces la permutación es igual a:

P ( n, r ) = r ! C ( n , r ) despejando C ( n, r ) se tiene:

C ( n, r ) = p (n ,r )r !

= n !r ! (n−r )!

, lo cual es igual al coeficiente binomial, por tanto

C ( n, r ) = (nr )Ejemplo:

Encuentre el número de Q equipos de trabajo de obreros que pueden formarse en grupo de 3 de un total de 8 obreros.

Q = C ( 8, 3 ) = (83)=8∗7∗63∗2∗1

=¿ 56 equipos

Ejemplo:

Un contratista de pintura compra en un almacén 3 cubetas de pintura vinílica, 2 rodillos y 4 galones de pintura de aceite; las existencias en el almacén, son 6 cubetas de pintura vinílica, 5 rodillos y 8 galones de pintura de aceite ¿Cuántas formas de escoger tiene el contratista si cada galón es de color diferente?

Existencias: 6 cubetas de p. v. Compra: 3 cubetas de p. v. 5 rodillos 2 rodillos8 galones de p. a 4 gal de p. a

Puede escoger: .

(63)= 6 !3 !3 !

=¿ 20 cubetas de pintura vinílica

(52)= 5 !2 !3!

=¿ 10 rodillos

(84)= 8 !

4 ! 4 != 70 galones de pintura de aceite




En total, los insumos los puede escoger de (63)(52)(34)=¿ 20 * 10 * 70 = 14,000 formas

Diagramas de árbol

Es un mecanismo para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos, donde cada uno puede ocurrir en un numero finito de formas (se utilizan en problemas donde aplica la regla del producto); sirve para tomar decisiones con información conocida.

Ejemplo: Encuentre el conjunto de productos A x B x C donde A, B y C son

A = { 1, 2 }; B = { a, b, c }; C = { 3, 4 }

3

a43

1 b43

c43

a 4

2 b 3

4 C 3

4

Ejemplo:

Una empresa constructora de cimentación debe hincar 54 pilotes de acero para la fundación de un edificio; el programa de obra indica que hasta este momento cuenta con 8 días hábiles para retirar su equipo y trasladarlo a otro proyecto, si no cumple con los tiempos enfrentará una multa por día en ambos proyectos. En el proyecto actual, la profundidad de la roca es incierta, las opciones son: hincar pilotes de 10 a 15 mts. estudien las consecuencias acción-estado y realice el diagrama de árbol.

AcciónEstado Pilote hincado hasta 10 mts. Pilote hincado hasta 15 mts.

AProfundidad lecho rocoso es 15 mts

Los pilotes deben empalmarse para alargarse; mientras se hace esto, el personal y equipo para perforar permanecerán ociosos.

Decisión correcta no hay perdida

Profundidad Se deberá recortar 5 mts. de cada DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



B lecho rocoso es 10 mts.

Decisión correcta, no hay perdida pilote y desecharse; se perderán 270 ml. de pilote.

Realice el diagrama de árbol correspondiente

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

Se ilustra conforme se desarrolla el siguiente ejemplo:

Existe un parque industrial que tiene 6 naves construidas; las acometidas de agua y electricidad son subterráneas, las construcciones son para arrendamiento, se desconoce las necesidades de cada una de ellas, para cualquier industria en particular.

Si se suministra agua potable y electricidad en exceso a la demanda efectiva, habrá un desperdicio de capital.

Si las instalaciones son inadecuadas habrá de hacerse cambios costosos

Para simplificar el problema, se supone que una construcción particular necesita : potencia eléctrica de 5 ó 10 unidades. Capacidad de agua 1 o 2 unidades

El espacio muestral asociado con una nave es: (5,1), (5,2), (10,1), (10,2)

En una entrevista el cliente expone al ingeniero varios planteamientos sobre las posibilidades y peso relativos a partir de los cuales el ingeniero calcula el siguiente conjunto de probabilidades.

Punto muestral Suceso simple Probabilidad estimada por el cliente

( 5, 1 ) E5 A1 0.1( 5, 2 ) E5 A2 0.2

( 10, 1 ) E10 A1 0.1( 10, 1 ) E10 A1 0.6

∑ 1.00

Recordando:

Un suceso está asociado con una o más puntos muestrales o sucesos simples. Dichos sucesos simples son mutuamente excluyentes por la construcción del espacio

muestral. Entonces la probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades asignadas a los

puntos muestrales con las que el suceso está asociado.




La probabilidad de un suceso asociado con todos sus puntos muestrales es 1. La probabilidad de un suceso imposible es 0.

P ( A2 ) = P ( E5 A2 ) + P ( E10 A2 ) = 0.2 + 0.6 = 0.8P ( E10 ) = P ( E10 A1 ) + P ( E10 A2 ) = 0.1 + 0.6 = 0.7P ( A2 ∪ E10 ) = P ( A2 ) + P ( E10 ) – P ( A2 ∩ E10 ) = 0.8 + 0.7 - 0.6 = 0.90

Calculando de otra forma

P ( A2 U E10 ) = P ( E10 A2 ) + P ( E5 A1 ) + P ( E10 A1 ) = 0.1 + 0.2 + 0.6 = 0.90

Probabilidad condicional P ( A | B ):

La probabilidad condicional de un suceso A, dado que un suceso el suceso B ha ocurrido, es la relación entre la probabilidad de la intersección de A y B, y la probabilidad del suceso B.

P ( A | B ) = P(A∩B)P ( B )

Si la probabilidad de B es 0, entonces la P ( A ∩ B ) no está definida.

La probabilidad condicional de A es la probabilidad que A haya ocurrido sabiendo que B ocurrió.

Como B ha ocurrido el espacio muestral ya no es S, ahora está formado por los resultados de B; el evento A, sucede solo si uno de los resultados de la intersección suceden; por lo tanto la P ( A | B ) es proporcional a P ( A ∩ B ).

La constante de proporcionalidad 1

P (B) se utiliza para asegurar que la probabilidad de P ( B ) / P ( B )

del nuevo espacio muestral B sea 1.

En el ejemplo anterior el Ingeniero puede necesitar que una nave tenga demanda A2 y E10, entonces:

P ( A 2 / E10 ) = P (E10 A 2)P (E10)

= 0.60.7

=¿0.86;

En términos generales P ( B ) y P ( A / B ) se deducen del análisis de cada problema en particular; Si se requiere obtener la probabilidad de P ( A ∩ B ):P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) P ( B ) = P ( B | A ) P ( A )

Para 3 sucesos:




P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A | B ∩ C ) P ( B | C ) P ( C )

Independencia

Si 2 sucesos no están relacionados de manera alguna, sus probabilidades particulares no se alteran, se mantienen independientes aun si el otro ha ocurrido.

Dos eventos A y B son independientes si y solo si P ( A | B ) = P ( A )

Esto implica que: P ( A ) = P (AnB)P(B)

P(A)P(B)=P(AnB)

P(A/B)=P(B)

La independencia de sucesos se prueba obteniendo P(A) P(B) y P(AnB), y demostrando que se verifica una de dichas ecuaciones.

Los sucesos A, B, C, …, N son mutuamente independientes si y solo si

P(AnBnC…nN)=P(A)P(B)P(C)…P(N)Regla de multiplicacion

Si los sucesos son independientes, la probabilidad de que ocurra simultáneamente es simple el producto de sus probabilidades.

En el ejemplo de las naves industriales, puede ser que el ing. tenga un criterio dif. Al expresado por el cliente, y que en base a la inv., de otro tipo de demandas en partes ind., similares, puede establecer otra forma de fijar las probabilidades (por ejemplo una demanda alta de energía parece que no esta relacionada con una demanda alta de agua)

En base a la inf., de empresas de serv., publico el ing., asigna las sig., probabilidades.

Evento Prob asignada por el ingenieroE5E10

0.20.81.00

A1A2

0.30.71.00




El ing. adopta el supuesto de independencia entre las demandas, de electricidad y agua, y calcula las prob. de frecuencia conjunto de los sucesos simples.

P(E5A1)=P(E5)(A1)=0.2*0.3=0.6P(E5A2)=P(E5)(A2)=0.2*0.7=0.14P(E10A1)=P(E10)(A1)=0.3*0.3=0.24

P(E10A2)=P(E10)(A2)=0.3*0.7=0.561.00

En la ecuación de probabilidad condicional donde, un conjunto de evento B1, B2,…, Bn mutuamente disjuntos y exclusivos, se pueden desarrollar la prob., de otro suceso A de la sig., forma.

P(A)=P(AnB1)+P(AnB2)+…+P(AnBn)

¿∑i=1

n

p(AnBi) teorema de las probabilidades totales

Esta es la probabilidad de un suceso en términos de sus probabilidades condicionales; la probabilidad de A está condicionada a un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos; esto es útil porque en algunas ocasiones los sumandos pueden obtenerse mas fácilmente que la prob. de A.

Una colección de conjuntos es exhaustivo si.

B1uB2u……uBn=S

Una constructora necesita elegir una estrategia para finalizar la construcción de un proyecto, las últimas dos op., para concluir son pintura de paredes y limp. Gral. Y cada op., pueda realizarse días. El espacio muestral es el siguiente:

El ing. residente considera que cada op. Puede ejecutarse en 3 velocidades dif., cada uno con costo dif., lo que conduce a prob., de tiempo requerido; si el proyecto no se concluye en 10 dias el contratista pagara un amulta de $2,000 por dia; para cada combinación de los tiempos de las actividades por ejemplo:

P4nL5=9




En base que su experiencia el ing., residente realiza la sig., tabla de probabilidades.

Actividad Num. De obreros

Costo por dia

Probabilidades de tiempo necesario para terminar

Costo operador de construcción

Pintura 10 200 0.2 0.5 0.3 1.0 1020Pintura 12 240 0.3 0.6 0.1 1.0 1152Pintura 14 280 0.6 0.4 - 1.0 1232Limpieza 10 200 0.1 0.4 0.5 1.0 1080Limpieza 15 300 0.3 0.4 0.3 1.0 1500Limpieza 20 400 0.6 0.3 0.1 1.0 1800

Esta tabla refleja que acelera la obra implica mayores costos económicos; el análisis del ing., residente supone que las actividades, de pintura y limp., son independientes entre si.

Los costos minimos de construccion son para esta estrategia

P10=$1020L19=$1080

Esta estrategia debe incluir un posibilidad de multa para todas las posibilidades.

P10 y L10 requieren 8 dias de trabajo, ya que las prob., son independientes entonces las porb., de 8 dias es:

P8dias=(P10(4)nL10(4))=0.2(0.1)=0.002

P9dias=(P10(4)nL10(5))+(P10(5)nL10(4))=0.2(0.4)

P10dias=(P10(4)nL10(6))+(P10(5)nL10(5))+(P10(6)nL10(4))=0.2(0.5)+0.5(0.4)+0.3(0.1)=0.33

Si el proyecto se concluye en 11 o 12 días habrá pérdidas económicas:

P11dias=0.5(0.5)+0.3(0.4)=0.37

P12dias=0.3(0.5)=0.015

La multa esperada es

Multa= 0.37($2000)+0.5($2000)(2 días)= $1340

estrategia Probabilidad de 11 días

Probabilidad de 12 días

Multa 11 días

Multa 12 días

P10L10 0.37 0.15 740 600 1340P10L15 0.27 0.09 540 360 900P10L20 0.19 0.03 220 120 460DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



P12L10 0.34 0.05 680 200 380P12L15 0.22 0.03 440 120 560P12L20 0.09 0.01 130 40 220P14L10 0.20 0 400 0 400P14L15 0.12 0 240 0 240P14L20 0.14 0 80 0 80

COSTOS TOTALES ESPERADOS E($)

MULTAS ESPECIALES

COSTO TOTAL

P10L10 1020+1080=2100 1340 3440P10L15 1020+1500=2520 900 3420P10L20 1020+1300=2820 900 3220P12L10 1152+1080=2232 880 3112P12L15 1152+1500=2652 560 3212P12L20 1152+1800=2952 820 3172P14L10 1232+1080=2312 400 2712P14L15 1232+1500=2732 240 2972P14L20 1232+1800=3032 80 3112

Este análisis muestra una técnica de selección entre las diferentes estrategias; la mas económica es P14L10; los costos diarios de esta estrategia seria:

P14L10 4 dias $280.00(4dias)+$200.00(4dias)=$1920

5 dias $280.00(5dias)+$200.00(5dias)=$2400

6 dias $280.00(6dias)+$200.00(6dias)=$6880

TEOREMA DE BAYES

Si E1, E2,……, Ek son eventos exclusivos mutuamente excluyentes y B es cualquier evento,

P (E1|B ) P (B|E1 )P(E1)P (B|E1 ) P (E1 )+P (B|E2 )P (E2 )+…+P (B|Ek ) P(Ek)




En esta ecuación si los eventos E se consideran causa posible del evento D, entonces se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento Ei dado que B no ocurre.

Combinando la teoría de probabilidad totales y el teorema de Bayes se tiene

P (B|A1 )B

P (B|A 2 )B

P (B|A 3 )B

Si deseamos obtener la probabilidad del evento B, a partir del diagrama de árbol tenemos

P(B)=P(A1)P (B|A1 )P (B|A 1 )+P ( A2 ) P (B|A2 )+P(A3)P (B|A3 )

Para obtener la probabilidad del evento A2(por ejemplo) tenemos

P (A 2|B )=P ( A2nB )P (B)

=P (A2 )P (B|A 2 )

P(B)=

P (A 2 )P (B|A 2 )P (A 1 )P (B|A 1 )+P (A2 )P (B|A 2 )+P ( A3 ) P (B|A3 )

Ejemplo:

Un proyecto de construcción se tiene:

A)30% de los trabajadores son peones, 10% tienen IMSS

B)40% de los trabajadores son albañiles, 20% tienen IMSS

C)20% de los trabajadores son carpinteros 40% tiene IMSS

D)10% de los trabajadores son mecánicos 60% tiene IMSS

1.- encuentre la probabilidad que un trabajador del proyecto (cualquiera tenga IMSS

2.- si un trabajador cualquiera posee IMSS, que probabilidad existe que sea carpintero

1 P(E)= 0.3(0.1-0.4(0.2)+0.2(0.4)=0.25




por teorema de bayes se busca

P(C)=P (C )P (E|C1 )

P (E)=

0.2 (0.4)0.25

=0.32=32%

Unidad 2

VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES

Variable aleatoria: una variable aleatoria X de un espacio muestral S es una función de S en el conjunto {R} de # reales. Tales que la imagen inversa de cualquier intervalo de R es un evento de S.

La variable discreta asigna a cada uno de los elementos del espacio muestral un número real finito contable (Fx).

Variable aleatoria discreta: es aquella en la cual se asignan datos numéricos (valores cuantitativos).

X= variable aleatoria; x = valor de uno de los eventos

Cada valor posible de X representa un evento que es un subconjunto del espacio muestral S para el experimento dado.

Espacio muestral discreto: contiene un número finito de posibilidades a una serie infinita con tantos elementos enteros que existan.

Espacio muestral continuo: contiene un número infinito de posibilidades.

Variable aleatoria continua: son los valores que toma una variable en una escala continua; en la mayoría de los casos representan datos medidos como pesos, alturas, temperaturas, distancias.

Para todo evento o suceso simple existe un valor numérico de la variable aleatoria definida dentro del espacio muestral; a todo evento o suceso compuesto le corresponde uno o un conjunto de valores de la variable aleatoria.




El comportamiento de una variable aleatoria se describe por su ley de probabilidades, la que puede caracterizarse de varias maneras, la más común es la distribución de probabilidades que generalmente es una lista con los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria junto con los resultados posibles del experimento y las respectivas probabilidades.

Función masa de probabilidades (FMP): es un conjunto innumerable y restringido de valores que puede tomar una variable aleatoria discreta; su probabilidad es una función masa de probabilidades (FMP); esta función se llama Px (X) de la variable aleatoria discreta X.

Ejemplo: X= variable aleatoria que representa el numero observado de vehículos que se detienen en un semáforo.

El ing. Elige porcentajes de probabilidades.

px (X )={0.10.20.30.20.10.1

para {x=0x=1x=2x=3x=4x=5

∑ = 1.0

∝

= directamente proporcional

Cada barra es ∝ a la probabilidad que la variable toma en ese valor.

Para que se cumplan las leyes de probabilidad se requieren las siguientes condiciones.

a)0≤ f (xi)≤1

b)∑i=0

n

f ( xi )=1

C) f ¿

Función de distribución acumulada (FDA): el valor de esta función fx (X) es la probabilidad del suceso que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a x, entonces

Fx (X) = P[X ≤ x]=∑Xi=≤

k

Px(X )∑

Para variables aleatorias discretas o sea aquellas que poseen (FMP)DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



Es la suma de los valores de la función masa de probabilidades sobre los valores menores o iguales a x que la variable aleatoria X puede tomar.

La ingeniería civil trabaja generalmente con variables aleatorias continuas (masa, tiempo etc.); Si se dividen los intervalos de las magnitudes en magnitudes infinitesimales dx, entonces fx(X) es la probabilidad de que x se encuentre en el intervalo (x, x + dx ) su probabilidad será fx(X)dx , la cual se llama función de densidad de probabilidades FDP de una variable aleatoria continua ; el área bajo de FDP en un intervalo es la probabilidad de que la variable aleatoria en ese intervalo tenga una probabilidad igual a:

P [ x1 ≤ X ≤ x2 ]= ∫X 1

X ₂

Fx(x)dx

Esperanza de una variable aleatoria discreta (E(x)) es el valor esperado o media de un evento en un experimento.

E(x) = M(x) = X1 f (x1) + X ₂ f (x2) +……..Xn f (n) = media = ∑i=1

n

xf (x) Si x es discreta



F x (x)

Para

0 X< 0

0.1

0 ≤ x ≤ 1

0.3

1≤x≤2

0.6

2≤x≤3

0.8

3≤x≤4

0.9

4≤x≤5

1.0

x≤


E(x)= ∫−∞

∞

x f(x) dx si x es continua

La media o valor esperado de una variable se obtiene multiplicando cada uno de los valores x1,x2…...xn por su probabilidad correspondiente y sumando sus productos.

Varianza de una variable aleatoria discreta

E (x²) =∑ x ²f (xi) = Esperanza

Varianza = E (x²) - M²x = (Esperanza)² - (Media)²

Desviación estándar o típica = σ x=2√varianza

Por la naturaleza de las variables aleatorias no se puede predecir el valor exacto que tendrá la variable en un experimento; la descripción completa de su comportamiento lo aporta FDA, FDP ó FMP; Sin embargo a veces no se tiene esta información, por lo que se utilizan uno o más números que son promedios ponderados de ciertas funciones de las variables aleatorias, las ponderaciones usadas son FDP ó FMP de la variable, el promedio se denomina Esperanza de la función.

Operar con esperanza facilita el uso de la leyes de probabilidad y se obtiene estimaciones con más facilidad a partir de datos disponibles; es preferible tener promedios y Esperanza que no poseer datos de ninguna especie.

La media muestral describe concisamente el valor central de la variable La varianza muestral describe su dispersión, lo que ayuda a predecir su comportamiento.

La media y valor medio resume en un numero la información contenida en FDP a través de la suma de todos los valores de x, del producto del valor de x y su probabilidad.

En la unidad 1 se estudió la media como:

X=1n∑i=0

n

xi

Si se tienen varias observaciones de cada valor xi :

M=μx=∑i=0

r¿nxi=∑

i=0

r

xi fi r = número total de valores distintos observados

ni = número total de observaciones xi

fi=¿n {es lafrecuencia observadadel valor .xi en lamuestra




Esta es la media de una variable aleatoria ( en la unidad 1 se estudió la media muestral ); Esta Media representa observaciones repetidas de la variable aleatoria.

La media muestral (unidad1) se calcula a partir de observaciones dadas; la Media o la Esperanza se calcula a partir de las leyes de probabilidades (FDA, FDP y FMP) y a veces se denomina Media de la población.

La varianza es una medida de dispersión del valor central, de una variable aleatoria, La cual muestra la dispersión o aleatoriedad de una variable.

Las gráficas a y b tienen medias diferentes

Las gráficas b y c tienen las mismas medias pero diferentes varianzas.

Entre más pequeña es una varianza, la gráfica presenta menor dispersión y por lo tanto la media es más concentrada.

Por otro lado la desviación estándar tiene la ventaja que permite comparación más fácil y más rápida con la media y nos da la idea del grado y de la gravedad de la incertidumbre asociada con la variable aleatoria.

El coeficiente de correlación facilita la comparación entre desviación estándar y la media, y entre variables aleatorias de diferentes unidades.

Ejemplo: Una moneda se lanza al aire 2 veces. La variable aleatoria la llamamos x y representa el número de soles obtenidos, calcular:

a) la función de distribuciónb) Mediac) Varianzad) Desviación estándar

Probabilidad de función: f(x):1/4

punto muestra x f(x)

ss 2 1/4

as 1 1/4

sa 1 1/4

aa 0 1/4DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



∑=1

X= número de soles obtenidos

x 0 1 2

f(X) 1/4 1/2 1/4

a) FDP: 14 +

12+

14 = 1.0

b) Mx = 0 (14 ) + 1 (

12) + 2 (

14 ) = 1

c) Se requiere calcular E(x2)

E( x2) = (0) (14 ) +(1)2 1

2+(2)3(14 ) = 1.5

V = E (x2) =M 2x = 1.5 -(1)2= 0.5

x=√V= √0.5=0.7071

Ejemplo: Una empresa constructora participa licitación de proyectos a nivel estatal; los costos administrativos de la empresa han sido fijados de tal forma que la empresa tendrá una ganancia del 5% si ejecuta 3 proyectos en la misma plaza;Y tendrá 3% de perdida si ejecuta 3 proyectos en más de una plaza ¿Cuál es su ganancia esperada?

G = 1 plaza

P = 2 o 3 plazas

S={GGG.GGP,GPG,GPP,PGG,PPG,PGP,PPP}

E (1) = { GGG, PPP } →5% p1 = 18

(2) = 14

la empresa genera ganancias

E(2) = { GGP,GPG,GPP,PGG,PPG,PGP }→P2 =6( 18 ) =

34

la empresa pierde

M= E(x) = = (5%) (14 ) + (-3%) (

34 ) =

54−9

4=−4

4=−1




La empresa perderá 1 % de los costos administrativos si construye en más de 2 plazas.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

A) BernoulliB) BinomialC) PoissonD) Geométrica

A veces los experimentos consisten en pruebas repetidas con 2 resultados posibles éxito o fracaso; este proceso se llama proceso de Bernoulli y tiene las siguientes propiedades.

1.- El expresión consiste en n ensayos que se repiten.

2.- Cada ensayo tiene dos resultados posibles éxito o fracaso.

3.- La probabilidad de éxito P es constante de un ensayo a otro.

4.-los ensayos que se repiten son independientes entre si.

Se define la variable aleatoria de Bernoulli x y se le asignan valores, por ejemplo:

{esunaasignacion devalores arbitrarios .X=0 si se tiene fracaso

X=1 si se tiene éxito

Entonces FMP de x es P x (X) { P , si x=11−P , si x=0

p es la probabilidad de éxito

La media de la varianza aleatoria es: E(x) = (1) P + 0 (1-P) = 0

La Varianza = Var(x) = (1 - P)² p + (0-P)² (1-P) = ( 1 - P) P

Pruebas de Bernoulli

Es una sucesión de experimentos simples de Bernoulli, cuando los resultados de los experimentos son mutuamente independientes y cuando la probabilidad de éxito no cambia (las probabilidades permanecen inalteradas).

Distribución binomial

B(x; n, p ) = (nx ) pxqn−x x = 0,1,2……n

Se consideran 2 ensayos independientes entre sí solo hay 2 resultados posibles, éxito o fracaso en cada ensayo, la probabilidad de éxito es constante.




(nx )=combinacion :C (n , x )

P = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso n = número de pruebas

x = número de éxitos

Ejemplo: el equipo A tiene P = 2/3 de probabilidad de ganar cuando juega. Si A juega 4 partidos, hallar la probabilidad que gane:

a) 2 partidosb) 1 partido por lo menosc) Más de la mitad de los juegos

b = (nk) pk qn – k

si p = 2/3, entonces q = 1/3; n = 4

a) K = 2; b = (42) (2/3)2 ( 1/3 )4 – 2 = 0.29 = 29 %

= 4 !

2! ( 4−2 )! (2/3)2 ( 1/3 )4 – 2 = 0.29 = 29 %

b) K = 0 (40) (2/3)0 ( 1/3 )4 =

4 !0 ! (4−0 )! (2/3)0 ( 1/3 )4 – 0 = 0.012 = 1.23 %;

Luego 100 – 1.23 = 98.8 %Las probabilidades de k son 0, 1, 2, 3, 4A cada probabilidad le corresponde un porcentaje, el porcentaje que le corresponde a 0 es 98.8 %

c) K = 3 (43) (2/3)3 ( 1/3 )4 – 3 = 39.5 %

K = 4 (44) (2/3)4 ( 1/3 )4 – 4 = 19.75 %

∑ = 59.25 %

Resumen: probabilidades de 0 : 1.23 %

1: 9.88 %

2: 29.63 %

3: 39.5 %

4: 19. 75 %

La distribución binomial viene del hecho que los ( n+1 ) de términos de la expresión binomial de (q+ p)n corresponde a los diversos valores de b (x ; n, p ) para x = 0,1,2,3…n lo cual significa.

(q+ p)n= (n0)qn+ (n1) pqn−1

+(n2) p2qn−2…..(nn) pn

= b (0;n, p) + b (1;n,p) + b (2; n, p) +……….b (n; n, p) +




Como p + q = 1, entonces ∑x=0

n

b(x ;n , p) = 1

Esto es válido para cualquier distribución de probabilidad

Con frecuencia nos interesa saber la probabilidad de la variable p ( x < r ) o de la variable p ( a≤x ≤ b ).

Ejemplo: una empresa constructora de viviendas compra directamente al fabricante los muebles para el W.C.; el fabricante le informa que la taza de defectos es 3% en la fabricación.

a) El supervisor de proyectos elije 20 artículos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que exista al menos un producto defectuoso entre los 20?

b) Suponga que la empresa constructora recibe 10 cargamentos en un mes y que el supervisor prueba aleatoriamente 20 productos por cada cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que existan 3 cargamentos que contengan al menos un WC defectuosos.

Solución: a) x = número de dispositivos defectuosos entre los 20.

La distribución es b = ( x, 20, 0.03 )

P (x ≥1) = 1 – p ( x – 0 ) = 1 – b (0;20,0.03) = 1 - (0 .03)0(1−0 .03)20−0 = 0.4562

b) suponemos que :*cada cargamento puede contener al menos un WC defectuoso o no.*probar el resultado de cada cargamento sería un experimento de Bernoulli con p = 0.4502*suponiendo que Y = # de cargamentos que contiene al menos un artefacto defectuoso.*suponga que cada cargamento es independiente uno al otro.Y sigue una distribución binomial:

b=(nx ) pnqn−x 1 = p – q q = 1 – p

P ( y = 3 ) ¿(103 ) ( .4562 )3[1−(0 .4562 )¿¿7 ]=0.1602¿

Ejemplo: El ingeniero Pérez tiene una probabilidad P = 23

de ganar un partido de ajedrez cada vez

que juega; si juega 4 partidos encuentre la probabilidad que gane:a) Dos partidosb) Un partido por lo menosc) Más de la mitad de los juegos.

Solución: si p = 2/3, entonces q = 1/3, n = 4a) 2 partidos X=2

b=(42)¿ = 0.29 = 29 %

b) X = 0 1 partido por lo menos, las probabilidades de x es: 0, 1, 2, 3,4

b=(40)¿=0.0123 por 100% = 1.23% el porcentaje que le corresponde a cero es

100 - 1.23 = 98.77%




c) x=3 b = (43)( 2

3)

3

( 13) = 0.395 = 39.5%

x=4 b = (44)( 2

3)

4

( 13)

0

= 0.1975 = 19.75% ∑ = 59. 25 %

Probabilidades {01 .23 %19 .88 %

229 .63 %339 .5%

419 .75 %

∑ = 99.99% Distribución de Poisson

Experimento de poisson; son los valores numéricos que resultan del experimento de una variable aleatoria x, donde x misma representa, el número de resultados durante un intervalo de tiempo dado o en una región especifica. El intervalo de tiempo puede ser minutos, hora día, semana, mes o año.

Ejemplos de experimentos:

El experimento puede ser el número de bacterias en un cultivo.

Numero de varillas producidas en un día, en una semana etc.

Características del proceso de poisson.

1. El número de resultados en un espacio de tiempo o en una región son independientes de lo que ocurre en cualquier otro espacio de tiempo o región disjuntos; por eso si dice “el proceso de poisson no tiene memorias”.

2. La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un espacio de tiempo o región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende de los resultados que ocurran fuera de ese intervalo de tiempo o de esa región.

3. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo corto o región pequeña es despreciable.

X= variable de poisson, que es igual al número de resultados que ocurren en un experimento de poisson; su distribución de probabilidad de la variable aleatoria se llama distribución de poisson.

El número de resultados promedio es la media M = λ = n p

t = tiempo específico o región de interés.

Taza de ocurrencia es p ( x ; λt )

La distribución de probabilidades de la variable aleatoria de poisson x, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región específica indicada por t es:

P(x;λt)=¿¿

P = ¿¿ X= número de éxitos N=número de pruebas

P=probabilidad de éxito λ = media = n p




Ejemplo: En un sensor de moléculas radiactivas se detectan 4 partículas radiactivas por cada milisegundo ¿Cuál es la probabilidad que se detecten 6 partículas en el sensor radiactivo en un milisegundo determinado.

P ( 6; 4 ) = ¿¿ = .0.104195634 por 100% = 10.41% ( x = 6, λ = 4 )

Ejemplo: En un proyecto de construcción de una carretera se ha determinado que en el cadena miento 8+640 se requieren diariamente 10 camiones de volteo de 12 metros cúbicos de balasto; la dimensión del trabajo en ese cadenamiento es una necesidad de 15 camiones de volteo por día máximo; ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado día se tengan que regresar los camiones?.

X = número de camiones de volteo que llegan por día.

λ = número máximo de camiones por día

P = ¿¿ = 0.0486 por 100% = 4.8610%

Ejemplo:

Un cargamento de 500 losetas de piso contiene 300 imperfecciones de acabado distribuidos en las 500 losetas; Encuentre la probabilidad que cuando el piso esté ya instalado en 1 loseta:

a) Existan 2 imperfecciones exactamente.b) Existan 2 ó más imperfecciones.

Si existen 2 imperfecciones exactamente: n = 300 λ = 300500

= 0.6 p = 1

500

X = 2 P=¿¿= 0.0988 por 100% = 9.9%

b)

x = 0 P=¿¿ = 0.5488 por 100% = 54.8% probabilidad de cero imperfecciones

X=1 P=¿¿ = 0.3292 por 100% = 32.9% probabilidad de una imperfección

P1 + p2 + p3 = 100%

P2 = 100 - (54.8+32.9) = 12.3% probabilidad de más de dos imperfecciones en una loseta.

Distribución geométrica discreta

g ( x ; p )=p qx−1

P=probabilidad de éxito q = número de pruebas ( x = 1, 2, 3….)

Esta fórmula se utiliza cuando existen intentos repetidos, g es el número de intentos en el cual ocurre el primer éxito.

Ejemplo: En la colocación de losetas de cimbra para colar casas in-situ, una de cada 100 losetas está defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que se inspeccionen 5 piezas antes de encontrar una defectuosa?




P = 1

100 = 0.01 q = 1 - 0.01 = 0.99 g = (5;0.01) = 0.01 (0 .99)4= 0.009005 (100%)

=0.9605

Ejemplo: un estudiante de Ing. civil tiene 70% de probabilidad de aprobar la materia de algebra lineal; encuentre la probabilidad de que dicho estudiante apruebe el examen.

a) en el tercer intento

b) antes del cuarto intento

a) x = 3 p = 70% = 0.7 q = 30% = 0.3 g = (0.7)(0 .30 )2=0 .063=6 .3 %

b) x = 2 g = (0.7)(0 .3 )1=0 .21 (100 %)=21%

x = 1 g = (0.7)(0 .3)0= 0.7 (100%) = 70%

=∑ 6 .3 %+21%+70 % = 97.3%

Distribución contínua

Una variable aleatoria contínua describe un intervalo, en cambio la variables discretas son puntos aislados; la variable aleatoria contínua es una variable cuantitativa; puede adoptar una cantidad infinita de valores que correspondan a los puntos en un intervalo lineal.

Ejemplos de varianzas continuas: peso, distancia, tiempo etc. Puede adoptar cualquier valor en puntos a lo largo de un intervalo lineal.

f(x) es una función de los valores numéricos de la variable continua x.

Función de distribución acumulada. de una variable aleatoria continua x es:

Fx (X) = P (X≤x ) = ∫∞

x

f ( t )d t=1 , para−∞<x<∞

Función de densidad de probabilidad o probabilidad que varia con x.

Propiedades: a) F(x)≥0

b) ∫−∞

∞

F (X )dx=1

c) ∫a

b

f ( x )dx para p (a<x<b )

el área bajo la curva es igual a la Probabilidad Los límites para a y b son siempre números reales




Ejemplo: Existe un error en la temperatura de reacción (℃) para la reacción exotérmica del colado

de una losa, la cual está representada por la variable aleatoria continua x, que tiene una función de densidad de probabilidad =

f (x) = { x2

3, si−1<x<2

o , encualquier otro caso

a) Verifique ∫−∞

∞

f ( x )dx=1

=∫−1

2x2

3dx= x3

9=⌊2

1¿¿=¿ =

89+ 1

9 = 1

b) Encuentre P(0¿ x≤1)

=∫0

1x2

3dx= x3

9 |10=19

Como consecuencia de la definición de distribución acumulada, se puede escribir los dos resultados P (

a< x<b¿=F (b )−F (a)

Si la derivada existe f(x) = df (x )dx

Valor esperado para variable continúa.

Valor esperado (varianza): E(x ) = M¿∫R

❑

xf ( x )dx

Varianza: var. (x) =∫R

❑

x2 f ( x )dx−¿M 2¿

Desviación estándar: σ x=√var (x)

Ejemplo: Sea x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución.

F(x)={ 12si0≤x ≤8

0encualquier otra parte

a) Calcular P ( 1 ≤ x ≤ 1.5 )b) E(x)c) Var(x)

a) P (1≤ x≤1.5 )=∫1

1.5x2dx= x2

4⌈ 1.5

1=

(1.5 )2

4−1

4¿¿




b) E ( x )=∫0

2x2

2dx= x3

6 [20= (2 )3

6=8

6=4

3=1 .33 c) var (x )=∫

0

2x2

2dx= x4

8 |20=2−(1 .33)2=0 .311

d) σ ( x )=√0.31=0.556

Ejemplo: Sea x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución:

{ 18si0≤ x≤8

oenotra parteHallar: a¿P(2≤ x≤5)

b¿σx

a) P (2≤ x≤5 )=∫2

5x8dx= x

8|25=58−1

4=0.375 b) σ x=√var (x) var. (x) =

∫R

❑

x2 f ( x )dx−¿M 2¿

M=∫❑

❑

F (X )dx=¿∫0

8x8dx=¿ x2

16=4¿¿

Var x=∫0

8x2

8dx−16= x2

16 [80−16=5.33

σx = √5.33 = 2.3

Distribución normal (distribución gaussiana)

Es la más utilizada para modelar experimentos aleatorios; se obtiene al tomar el modelo básico de una variable aleatoria binomial cuando el número de ensayos es muy grande.

La fórmula de una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad es:

F(x) ( x; M ,σ ¿= 1

√2π σe−¿¿¿

; para −∞<x<∞ , tiene una Distribución normal con parámetros M, donde

−∞<M<∞ y σ > 0

De igual forma E(x) = M y V(x) = σ 2

La M y la σ determinan la forma de la función de densidad de probabilidad, esta grafica es en forma de campana; la M determina el centro de la función y la σ determina la dispersión; f(x) (x; M, σ) siempre es positiva, su área es 1 en el intervalo -∞<x<∞, su valor máximo es ¿.




Funciones para densidad de probabilidad normal para

distintos valore de los parámetros M yσ 2.

La distribución normal es una distribución probabilística para variables aleatorias contínuas, la cual tiene simetría perfecta en forma de campana unimodal.

La media, mediana y moda de la distribución normal son todas iguales y se localizan al centro de la distribución.

La marca normalizada t o marca z, es un número que mide “que tan cerca está” cualquier medición dada con respecto a la media de todas las mediciones; la marca t está expresada en unidades de desviación

stándar t = x−Mσ

.

Distribución normal stándar: Si estandarizamos todas las mediciones en una distribución normal que tiene una media M y σ ( desviación estándar ), se le llama distribución normal stándar, ésta tiene una media = 0 y una varianza y desviación stándar = 1

t = x−Mσ

. Que esta también normalmente distribuida

como una media = 0 y una varianza =1

Distribución normal estándar:

Cuando crece la desviación estándar la curva se aplana en caso contrario se hace puntiaguda o compacta alrededor de la media.

Para determinar la probabilidad de que x tome un valor entre a y b se determina el área bajo la curva en el intervalo a y b.

Una marca estandarizada t indica (en unidades de desviación estándar ) a que distancia se encuentra una marca particular de la media, a la izquierda o a la derecha de la media.

t = x−Mσ

nos dice a cuántas desviaciones estándar está x

con respecto a M; si t es positiva, entonces la media t es mayor que M ( y se ubica a la derecha ); Si t es negativa se ubica a la izquierda.

Con estas marcas se puede comparar diferentes mediciones.




Ejemplo de estandarización: Jorge tiene calificación 70 en un examen de matemáticas; el examen tiene M = 70 y σ = 10; Elena toma un examen mayor y obtiene 350 de calificación, dicho examen tiene M = 300 y σ = 20, ¿Cómo hacer para comparar las calificaciones?

Se deben estandarizar ambas calificaciones para hacer una comparación significativa.

Jorge t = x−Mσ =

70−5010 = 2 Elena t =

x−Mσ =

350−30010 = 2.5

Las marcas t nos indican cómo entrar en las tablas A.3 de distribución normal estándar, el cálculo consiste en encontrar el área bajo la curva de gauss; las probabilidades para distribuciones continuas son las áreas bajo la curva de una distribución normal estándar; esos cálculos se resumen en la tabla A.3 los que han sido calculados para todos los casos de una distribución normal.

Ejemplo: Dada una distribución normal estándar encuentre el área bajo la curva que existe en:

A ) a la derecha de t = 1.84

B ) entre t = -1.97 y t = 0.86

a) El área bajo la curva es 1 – el área en la tabla A.3 a la izquierda de z = 1.84; Según tablas el área es 0.9671Área a la izquierda es 1 - 0.9671 = 0.03229

b) Área entre t = - 1.97 y t = 0.86

T= - 1.97 = 0.0244

T = 0.86 = 0.8051

El área que se busca es

0.8051 - 0.0244 = 0.7807

Ejemplo: Dada una distribución normal estándar encuentre el valor de x de tal forma que:

a) P ( t > x ) = 0.3015b) P ( x < t < -0.18 ) = 0.4197

a) El área a la izquierda es 1 - 0.3015 = 0.6985

Entonces de la tabla A.3 se tiene x = 0.52




b) el área total a la izquierda de ( por tabla ) de - 0.8 = 0.4286

el área total entre x y - 0.18 es 0.4197

0.4287-0.4197=0.0089

Por tanto de la tabla A.3 tenemos que x = - 2.37

Ejemplo: En un examen de probabilidad la calificación media es 72 y la desviación típica es 15; determine en unidades estándar las calificaciones de los alumnos que obtuvieron 60, 93, y 72 de puntuación.

a) Calificación 60: Media es = 72 Desviación típica: 15

t=60−7215

=−0.80

b) Calificación 93 t=93−7215

=1.4

c) Calificación 72 t=72−7215

=0

d ) encontrar las calificaciones que obtuvieron correspondientes a las puntuaciones estándar siguientes.

d.1) -1 t= x−μσ

=¿ ×=σ t+M

X = ( - 1 ) ( 15 ) + ( 72 ) = 57

d.2) 1.6 X = ( 1.6 ) ( 15 ) + ( 72 ) = 96

Ejemplo Encuentre el área bajo la curva para cada uno de los siguientes casos.

a ) área entre t = 0 y t = 1.2 P(0≤ t ≤1.2¿

Por tablas

La probabilidad negativa es 0.5.

Por tablas 1.2=0.8849-0.5 =0.3849




0.3849 es la probabilidad de que t se encuentre entre 0 y 1.2

el área bajo la curva entre 1-0.68 y 0 P(-0.68≤t≤0)

Por tablas; 0.2483 0.5+0.2483=0.2517

c) el área entre t=-0.46 y t=2.21

1) Área entre t=-0.46 y t=0 =0.3225

2) Área entre t=0 y t=2.21 =0.4864

Área total=0.8092

d) área bajo la curva que esta entre t=0.81 y t =1.94

t=0.81⟶0.2910

t=1.94⟶0.4738

Área requerida es: 0.4738-0.2910=0.1828

e) Área que se encuentra a la izquierda de t=-0.6

t=-0.6 0.2743

f) Área que se encuentra a la derecha de t=-1.28

t= -1.28 0.1003DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



t ≥ μ= 0.50.6003

f)

g) El área que está a la derecha de t=2.05=0.4798

El área que está a la izquierda de t=-1.44=0.07490.5547

T=-1.44=0.0749

El área a la derecha es: 0.4251

El área total es 1.0

El área requerida es 1-.4251-0.4798=0.0951

Ejemplo: Una distribución normal tiene una media=100 y una desviación=10 ¿Cuál es la probabilidad de que una media escogida aleatoriamente puede estar entre 110y 100?

T=110−100

10=1.0

La probabilidad de que una observación este entre 100 y 110 es 0.3413 (100)=34.13%

b)

Encuentre la probabilidad con una media de 108.2 o más alta

t=108.2−10010

=0.8 0.2939

Luego P(x>108.2)=p(t>0.82)DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



=0.5-0.2939

=0.2061

Esta es la probabilidad de que la media sea mayor que 0.82

c)

¿Cuál es la probabilidad de obtener una observación entre 111 y 115

t=115−10010

1.5 0.4332

t 2=111−11010

=1.1 0.3643

P(111<x<115)=

P(1.1<x<1.5)=0.4332-0.3643=0.0689

Ejemplo 4

2000 sacos de arroz tienen un peso medio de media=155 Kg con una desviación 20Kg

a)

tienen un peso inferior a 100 kg

t=100−155

20=¿-2.75 .4970




p(x≤100¿ ∴0.5−0.4970=0.003

N=2000 sacos (0.003)=6 sacos pesan menos de 100 kg

b)

Cuantos sacos pesan entre 120kg y 130kg?

t 120120−155

20=−1.75 0.4599

t 130=130−15520

=−1.25 0.3944

0.4599-0.3944=0.0655=6.55%

2000 sacos (6.55%)=131 sacos pesan 120y 130kg

Cuantos sacos pesan más de 200 kg

t=200−15520

=2.25 0.4878

0.5 (0.4870)=0.0122

2000(0.0122)=24 pesan más de 200kg

Tarea para segunda unidad

UNIDAD 3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y TEORÍA DEL MUESTREODEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



3.1 FRECUENCIAS Y FRECUENCIAS RELATIVAS Y ACUMULADAS:

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA.

♦ Datos cualitativos son medidas de características de cualidades, asociados con la unidad de observación (sexo, filiación política, color de cabello, etc.…)

♦ Datos cuantitativos: son números obtenidos de mediciones hechos sobre unidades de observación, representan cantidades y valores (áreas, volúmenes, velocidades.)

Frecuencia: es el número de veces que ocurre un valor particular o fenómeno.

Frecuencia de intervalo: es el numero de valores que caen dentro del intervalo.

Frecuencia relativa de un intervalo es la proporción de todos los valores dados, que caen dentro del intervalo.

Tabla de frecuencias

Es un arreglo sistemático de valores agrupados en intervalos de clase; resume datos para presentar claramente la frecuencia de cada intervalo y calcular fácilmente la frecuencia relativa de cada intervalo.

Fi= frecuencia de una clase dada.

N= No. Total de mediciones en un conjunto

♦ Ejemplo para frecuencia de datos cuantitativos

Número anual de muertes en carretas de México.

Intervalo de clase = i Frecuencia = fi Frecuencia relativa = fiN

∗100 %

Entidad Numero de accidentes Porcentaje total de accidentes

D.F. 1200 2.0Monterrey 60 0.1Guadalajara 780 1.3Puebla 520 0.866. . .. . .Totales 60 000 100%♦ Ejemplo de frecuencia para datos cuantitativos de peso de bebes, nacidos en hospital central.




Intervalo de clase i Frecuencia fi Frecuencia relativa

fiN

Peso en Kg. Numero de bebes PorcentajeMenor de 2.2 2 4Mayor de 2.2 y menos que 3.1 25 51

Mayo que 3.1 y menor que 4.0 18 57Mayor que 4.1 4 8

Lo mas difícil es definir y crear los intervalos de clase; por el rango de valores siempre presentan fronteras naturales de clase.

Los intervalos se definen arbitrariamente, se pueden utilizar tres criterios:

Categoría 1 Categoría 2 Categoría 3 Categoría 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Serie 1Serie 2Serie 3

Hay demasiados intervalos




Categoría 1 Categoría 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Serie 3Serie 2Serie 1

Hay pocos

Formas básicas para distribución de frecuencias.




Tabla de Sturge

Numero de valores en el conjunto Numero apropiado de intervalos de clase

10 a 100100 a 10001000 a 10 000

4 a 88 a 1111 a 14

Ejemplo porciento de impurezas en agua, recolectada en pozos rurales.

Existen 40 mediciones

Amplitud de intervalos = 26−5

5 (claces )=21

5=4.2

Tabla de frecuencias.

Intervalo de clase i conteo Frecuencia fi Frecuencia relativafiN

∗100 %

4.5 - 9.59.51 – 14.514.51 – 19.519.51 – 24.2524.51 – 29.5

3141292

3141292

7.53530



22 8 15 14 13 23 23 1210 17 11 11 13 17 11 1519 26 17 23 14 24 21 1515 14 21 20 10 26 13 165 21 13 15 13 7 16 11


MEDIDAS DE TENDECIA CENTRAL

Medida de posición: es un numero de representa la medida central o la posición mas representativa en un conjunto.

Media (media aritmética): es el promedio aritmético de un conjunto de mediciones

M=∑i=1

N

Xi

Xi= Es el elemento individual en el conjunto

M= Media del conjunto de mediciones

N= Número total de mediciones en el conjunto

MEDIANA (Md)

Es el numero que se encuentra a la mitad ordenado, si el numero de mediciones es impar la mediana esta exactamente a la mitad; si el numero de mediciones es par, existen 2 números a la mitad en este caso la mediana es el promedio de ambos

Moda (Mo)

Es el numero que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de mediciones; un conjunto de mediciones podría tener más de una moda.

Las medidas de posición son clases diferentes de promedios que pueden servir como resúmenes numéricos de un conjunto de mediciones; dichos promedios definen el centro del conjunto o la posición del mismo.

La media es el centro físico del conjunto

Ejemplo:

Encontrar la media del conjunto numérico: 1,1,2,3,4,4

M=1+1+2+3+4+46

=156

=2.5 este es el punto de balance para estos valores




0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Graficamente es igual a 2.5

Ejemplo : encuentre la media de 1,3,4,7,8,9,9.

M=1+3+4+7+8+9+97

= 417

=5.857

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Serie 1Serie 2Serie 3Serie 4Serie 5Serie 6Serie 7

Si las medidas desvia en el punto de balance también pueden cambiar; la media es sensible a la magnitud de números en un conjunto dado, lo cual representa una desventaja en el uso de la media, en




el ejemplo anterior la media no representa la mayor parte de los números, la media esta para balancear el valor extremo de 20.

Cuando existen numero extremos al final de un conjunto, la sensibilidad de la media no permite que pueda considerársele representativa de la mayoría de las mediciones.

En estos casos es mejor que la mediana como mejor posición.

Md.

Existen las siguiente medias 4,1,6,20,3.

Encontrar la mediana ordenando los datos queda: 1,3,4,6,20.

N es impar, Md se toma exactamente a la mitad

20 es un valor extremo pero no afecta la Md.

Ej. Encontrar la media de 6,2,17,3,4,10,11,11.

En orden: 2,3,4,6,10,11,11,17.

N= 8

Md=6+102

=8 Md= 8

Moda (Mo)

Es el valor particular que ocurre más frecuentemente que cualquier otro en un conjunto de mediciones; si dos valores tienen la misma frecuencia o aproximadamente la misma el conjunto de bimodal, si tres tienen la misma frecuencia el conjunto es trimodal.

Ej. Conjunto de mediciones : 1,3,4,4,7,3,3,4,2,7,8,3,1

Organizándola en una tabla de frecuencia:

Media Conteo123478

214moda321




En un conjunto de mediciones 22,26,27,27,23,23,27,22,28,22,28,30,29,25.

Media Conteo2223252627282930

3moda21 bimodal13moda211

Aunque a veces no es una medición central Mo. Sirve significativamente como un número representativo.

Simetría Unimodal Mo M Mo Md

Simetría Bimodal

M Md Mo

Asimétrica ala izquierda unimodal

Mo Md Mo

Asimétrica a la derecha unimodal.

Promedio móvil



MMd

Mo


Es el promedio indicador mas utilizado en análisis técnico, en el valor para un cierto periodo de tiempo que muestra el sentido u la duración de una tendencia.

Una seri de tiempo es un conjunto de observaciones tomadas en momentos de tiempos específicos, generalmente en un intervalos iguales ejemplos(precio diario del euro, precio diario del petróleo).

Las características mas comunes del promedio móvil son:

1. Se calcula un cierto de tiempo2. Cuando el periodo de tiempo es muy corto, la probabilidad de un dato falso aumenta.3. Periodos de tiempos largos produce una menor sensibilidad al promedio.

El promedio móvil es un cuerpo de datos cambiante, a veces se llama móvil aritmético; existen 4 tipos de promedios móviles:

1. Simple2. Exponencial3. Suavización 4. Ponderado linealmente.

Un promedio móvil de orden n se define como la secuencia de medidas aritméticas

y1+ y 2+… ynN

+ y2+ y 3…+ ynN

+ y 3+ y 4+…+ ynN

Promedio móvil simple

Se promedia un periodo que contiene varios puntos, se promedia un periodo que contiene varios datos, dividiendo la sima de los valores de los puntos entre el numero de puntos, de esta forma cada punto tiene la misma influencia.

La serie de tiempos se define por medio de los valores de y1, y2…yn de una variable, para los tiempos de t1,t2,…,tn. Por tanto y es función de t.

y

t

Años meses

La grafica muestra un punto que se mueve con el paso del tiempo, los movimientos pueden ser el resultado de combinación de fuerzas económicas,sociológicas, fisiológicas, etc.



V

E

N

T

A

S


Tendencia a largo plazo Movimiento cíclico a largo plazo

Movimientos cíclicos estacionales y tendencia a largo plazo

Promedio móvil ponderado

Ciertos puntos se ponderan mas o menos que otros , según de considere conveniente a la experiencia.

Dados los números: 2,6,1,5,3,7,2.

Un promedio móvil de orden 3 está dado por la secuencia:

2+6+13

,6+1+5

3,1+5+3

3,5+3+7

3,3+7+2

3

O bien: 3,4,3,5,4.

Se localiza cada numero del promedio móvil en su posición apropiada, relacionada con los datos originales para N años (1, 2, 3,4,5) pueden existir promedios móviles para N meses(1,2,3,4,5).

El promedio móvil tiende a reducir la cantidad de variación presente en un conjunto de datos , esta propiedad se acostumbra a utilizarse para eliminar fluctuaciones en series de tiempos, este proceso se llama “suavización de las series de tiempo”.




Si se utilizan medias aritméticas ponderadas en la secuencia de la Ec. Con pesos especificados de antemano, entonces la secuencia resultantes conoce como promedio móvil ponderado de orden N, por ejemplo si lo pesos 1,4 y 1 se utilizan en el anterior , un promedio móvil ponderado de orden 3 está definido por la secuencia.

1 (2 )+4 (6 )+1 (1 )1+4+1

,1 (6 )+4 (1 )+1 (5 )

1+4+1,1 (1 )+4 (5 )+1 (3 )

1+4+1,

1 (5 )+4 (3 )+1 (7 )1+4+1

,1 (3 )+4 (7 )+1 (5 )

1+4+1

Media Armónica H

Es una cantidad finita de números que es igual al reciproco de la media aritmética, se utiliza para promediar tiempo, velocidades y rendimientos.

H=(N )/¿

Ejemplo

Calcule la media armónica de: 34,27,45,55,22,34.

H= 61

34+

127

+1

45+

155

+1

22+

134

=33.0818

Media geométrica G

De un conjunto de observaciones es la raíz n-esima de su producto, donde todas las observaciones deben ser positivas.

G= n√X 1∗X 2…∗Xn

Ejemplo

Calcular la media geométrico de 34,27,45,55,22,34

G= 6√34∗27∗45∗55∗22∗34 =34.545

Relación entre media Armónica, media geométrica y media

H≤G≤M

La igualdad sucede solo cuando los datos o letras son iguales.

Ejemplo: calcular HGM de 3,5,6,6,7,10,12.

M=3+5+6+6+7+10+127

=7.0




H= 713+

15+

16+

16+

17+

110

+1

12

=5.87

G= 7√3 (6 ) (6 ) (7 ) (10 ) (12 ) =6.43

No hay igualdad, no hay relación.

Una lista de datos mediana es el promedio de los valores de en medio, que divide al conjunto en dos partes iguales.

Cuantiles

Es el conjunto de formas que dividen lo datos en partes iguales.

Cuartiles

(Q1,Q2,Q3) divide el conjunto de datos en 4 partes iguales, que son el primero. Segundo y tercer cuatil respectivamente

Deciles

Divide los datos en 10 pares iguales. Y se denotan por D1, D2,…D9.

Percentiles

Divide al conjunto en 100 partes iguales. Y se denotan por P1,P2,…P99.

Ejemplo

Obtenga el Q1, Q2, Q3, D9 y P95.

88 45 5386 33 86 85 30 89 53 41 9671 51 86 68 29 28 47 33 37 25 36 3342 34 79 72 88 99 82 62 57 42 28 5596 61 57 75 93 34 75 53 22 28 73 51

56 38 6294 73 4667 62 6069 91 35




Solución ordenando datos de menor a mayor

25 28 28 28 29 30 32 33 33 33 34 34 35 36 3738 41 42 42 45 46 47 51 51 53 53 53 55 56 5757 60 61 62 62 62 67 68 69 71 72 73 73 75 7579 82 85 86 86 86 88 88 89 91 93 94 96 96 99

P25=Q 1=37+382

=37.5 Q 2=57+572

=57 Q 3=75+742

=77 i=nP100

=60∗90100

=54datos

D 9=P90=89 i=nP100

=60∗95100

=57 lecturas P95=94+962

=95

P93⤏ i=60 (93 )

100=55.8⤏56⤏ 43 lecturas

Rango de un conjunto de números

Es la diferencia entre el dato mayor y el menor del conjunto.

Ejemplo conjunto: 2,3,3,5,5,8,10,12.

Rango = 12-2 = 10

A veces el rango solo se indica: de 2 a 12 o 2-12

Desviación media

DM=(∑i=1

n

∣ xj− x ∣)n

=(∑

❑

❑

∣ x− x ∣)n

=∣ x− x ∣

x = media aritmética de los números

∣ xj− x ∣ = valor absoluto de la deviación de Xj respecto a x

Ejemplo

Encontrar la desviación media del conjunto: 2,3,6,8,11.

x=2+3+6+8+115

=6 x=∣2−6∣+∣3−6 ∣+ ∣8−6 ∣+∣6−6 ∣+∣11−6 ∣

5= 4+3+2+0+5

5=14

5=2.8




Desviación estándar(S) de un conjunto de datos x1, x2,…,xn

s=√¿¿¿=√¿¿¿

X= es la desviación de cada uno de los numero xj respecto a la media entonces s es la raíz cuadrada de la media las desviaciones, respecto a la media

En ocasiones se calcula s utilizando como denominador (n-1)en vez de N, esto es un dato con mejo aproximación para valores grandes (N>30); casi no existe entre los dos cálculos.

Varianza S²

S² = varianza muestral

δ² = varianza poblacional

S ²=√x2−x2

x2=¿ media de los cuadrado de los diversos valores de x

x2=¿ cuadrado de la media de los iversos valores de x

Si dj=xj-a=desviación de xj respecto a una constante arbitraria A

S=√d2−d2

Cuando exiten intervalos de clase de un mismo tamaño y existe una distribución de frecuencia en datos agrupados, se tiene dj = cuj o xj = A+cuj

Luego

S=√u2−u2

Ejemplo

Encuentre la desviación estándar de 12,6,7,3,15,10,18,5.

x=12+6+7+3+15+10+18+58

=9.5 √¿¿ s=√( (12−9 .5 )2+(6−9 .5 )2+(7−9 .5 )2+…+(5−9 .5 )2 )8

Momentos



Este método se recomienda para datos agrupados siempre que los intervalos de clase sean del mismo tamaño


Dados N valores X1, X2, X3…,Xn ya que forma la variable X, se define la cantidad.

x= =x1r+x2

r+…+xnr

N=∑

j=1

N

x jr=∑ ( x= )

n Ecuación 1

Es el r-enesimo momento respecto de cero.

El primer momento donde r=1 es la mediana aritmética x

El r-enesimo momento, respecto a la x media aritmética es:

mr=∑j=1

N

(x− x ) = =∑ ( x−x ) =N

=(x−x) Ecuación 2

Si r=1; m1=0

Si r=2; m2 es la varianza

El r-enesimo momento respecto a cualquier origen A es:

mr=∑j01

N(xj−A ) =

N=∑ ( x−A ) =

N=∑ d =

N=(x−A) Ecuación 3

D=x-a; son las desviaciones de las X respecto de Aj si a=0, la ec 3 se reduce a la ecuación 1

Momentos para datos agrupados

Si X1, X2,…, Xn presentan frecuencias f1, f2,…,fn respectivamente los momentos anteriores están dados por:

x= =f 1 x1r+ f 2 x2

r+…+f k xkr=∑

j=1

N

f j x jr=∑ ( f xr )

N

mr=∑j=1

Nfj ( xj−x ) =

N=∑ f ( x−A ) =

N=(x−x ) r

mr=∑j=1

Nfj ( xj−A ) =

N=∑ f ( x−A ) =

N=( x−A ) =

donde N=∑i=1

k

fj=¿∑ fj¿

Momentos en forma adiemcioal respecto a la media se utiliza para evitar unidades particulares.

∂ r= mrs =

= mr

(√m2 ) == mr

√m2r donde : s=√ m2 es la desviación estándar

Como m1=, m2=s² se tiene a1=0y a2=1




curtosis k: indica cuan puntiaguda es la curva de distribución normal:

una curva de distribución normal con pico alto se llama leptocurtica, curtosis (+). una curva de distribución normal con pico relativamente aplastado se llama platicurtica cortosis

(-). una curva de distribución normal no puntiaguda ni aplastada se llama mesocúrtica, curtosis (0).

en una medida de la curtosis se emplea el 4º momento respecto a la medida, en forma tridimensional.

coeficiente momento de curtosis =α4=m4

s4 =m4

s44 =b₂

para distribuciones normales b₂ = α₄=3

otra forma de calcular k

K= QP90 P10

donde q=12(q3−q1)

k= coeficiente percentil de curtosis ; para distribuciones normales k=0.263

Ejemplo dado el conjunto: 2,3,7,8,10

Calcular: m1, m2, m3, m4

A) M1= media aritmética 2+3+7+3+10

5=6

B) M2= x2=¿ 2 ²+3 ²+7 ²+3 ²+10 ²

5=226

5=45.2

C) M3 = x3

N=2 ³+3 ³+7 ³+3 ³+10 ³

5=1890

5

D) M4 = x4

N=2 ⁴+3 ⁴+7 ⁴+3 ⁴+10 ⁴

5=16594

5

Calcular m1, m2, m3, m4, con respecto a la media

A) M1= ( xj−x )

B) m2¿∑ ( xj−x )2

N=46

5

C) m3¿∑ ( xj−x )3

N=¿−18

5¿



Rango

Semi-intercuartil


D) M4¿∑ ( xj−x )4

N

Unidad 4 INFERENCIA ESTADISTICA

Estimación puntual y por intervalos de confianza Estimación de la media, de la diferencia de medias, de la proporción y de la diferencia de

proporciones Determinación del tamaño de la muestra Prueba de hipótesis Pruebas unilaterales y bilaterales pruebas para medias y diferencia de medias Distribución t de student Distribución de ji cuadrada

Estimación de intervalos de confianzaSean Ms: media de la distribución de muestreo.

σ : Desviación típica de la distribución de muestreo.

Si el número de muestreos es N≥30, entonces podemos confiar en encontrar Ms en los siguientes intervalos.

Intervalos intervalo de confianza límite de confianza para s

Intervalos Intervalo de confianza Límite de confianza para s

Ms –σaMs + σ

68,27%

Ms -2σaMs +2σ

95.45% 5+1.95 σs

Ms -3σaMs + 3σ

99.73% 5+2.58 σs

Nivel de confianza

99.73%

99% 98% 96% 95.45%

95% 90% 80% 68.27% 50%

Zc 3.0 2.58 2.33 2.05 2.00 1.96 1.645 1.28 1.00 0.6745

Los límites extremos de cada intervalo se denominan “Límites de confianza” o fiduciales. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



Zc = coeficiente de confianza o valores críticos.

Limites de confianza para proporciones.

P± ZC √ pqn

=¿¿ P ±Zc √P(1−p)N

PARA MUESTRA DE POBLACIÓN INFINITA Ó FINITA CON REPOSICIÓN

p= probabilidad de éxitos.

Q= probabilidad de fracasos.

P= proporción de éxitos.

N=tamaño de la muestra.

PARA POBLACIÓN FINITA Y SIN REPOSICIÓN.

P ±Zc √ pqn

√ Np−NN−1

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA SUMAS.

S1 y S₂= estadísticas muéstrales con distribución de muestreos aproximadamente normales.

LIMITES DE CONFIANZA PARA DIFERENCIAS DE LOS PARÁMETROS DE LA POBLACIÓN. CORRESPONDIENTES A S₁ Y S₂ s₁ - s₂ ± Zcσs₁ - s₂=s₁ - s₂ ± Zc √σ ²+σ ²

LIMITES DE CONFIANZA PARA SUMAS.

s₁ - s₂ ± Zc σ s₁ + σs₂= s₁ + s₂ ± Zc √σ s₁2+σ s₂2

Limites de confianza para la diferencia de Z proporciones poblacionales con poblaciones infinitas.

P₁ -P₂ ± Zcσ P₁ -P₂= P₁ -P₂+Zc √P₁+1−P₁N ₁

+P2¿¿

P₁, P2 = 2 proporciones muéstrales.

N₁, N₂= Tamaño de las 2 muestras.

p₂ y p2 = Proporciones en la 2 poblaciones.

Ejemplo 1.En una muestra existen 5 medidas: 6.33, 6.37, 6.36, 6.32 y 6.37 cm.




Determina la media y la varianza.

a) Media X = 6.33+6.32+6.36+6.32+6.37

5=6.35cm .

b) La estimación sin sesgo y coeficiente de la media verdadera (de la población) es:

ŝ²= N

N−1 s² =

Σ (x−X ) ²N−1

ŝ²=(6.33−6.35 )2+ (6.37−6.35 )2+(6.36−6.35 )2+(6.32−6.35 )2+(6.37−6.35) ²

5−1 = 0.00055

Estimación sin sesgo e ineficiente para la verdadera media.La mediana en una buena medida; ordenando por magnitud Md= 6.36

EJEMPLO DEL CALCULO PARA INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS Las medias de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamiento (balines) producidas por una maquina en una semana dieron una medida de 0.824 cm. Con una desviación típica de σ=¿ 0.042 cm. Hallar el limite confianza para el limite medio, para todas las bolas.a) 95%b) 99%

a) Los límites de confianza para 95% son:

X ±= 1.96σs√ N

=x ±1.96s

√ N

a) = 0.824± 1.96∗0.042

√200= 0.824± 0.0058 cm

b) = 0.824± 2.58∗0.042

√200= 0.824± 0.0077 cm

c) Limite por 98%, 90%, 99.73%

0.824± 2.33∗0.042

√200= 0.820± 0.0069 cm

0.824± 1.645∗0.042

√200= 0.824± 0.0048 cm

0.824± 3.0∗0.042

√200= 0.824± 0.0089 cm

EJEMPLO PARA INTERVALO DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES.




Un sondeo de 100 votantes elegidos al azar indican que el 55% de ellos estaba a favor de cierto candidato. Encuentre los limites de confianza para la proporción de todos los votantes para ese candidato con 95%, 99%, 99.73%

a) 95% de la población p son

P ± 1.96 σ =p = p±1.96√ p(1−p)N

= 0.55±1.96√0.55∗0.45100

= 0.55 ±0.10

se utiliza la población maestral P para encontrar p.

b) 99%→0.55±2.58 √0.55∗0.45100

= 0.55±0.13

c) 99.73%→0.55±3√0.55∗0.45100

= 0.55±0.15

EJEMPLO INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA Y SUMAS.En una muestra de 150 lámparas tipo A Con una Media de 1,400 hrs. y desviación típica de 120 hrs.Otra muestra de 200 lámparas tipo B con una Media 1,200 hrs. y desviación típica de 80 hrs.Encuentra los límites de confianza para.

a) 95%b) 99%

Para la diferencia de las vidas medias de la población de ambos tipos.

Limites de confianza para la diferencia entre medias tipo A y B

XA-XB ± Zc√ σ2

NA+ σB ²NB

a) Para 95%

1400-1200±1.96 √ 1202

150+ 80²

200 = 200 ± 24.8

Existe un límite de confianza de que la diferencia de medidas de las poblaciones está entre 175 y 225 horas.

b) Para 99%

1400-1200±2.58 √ 1202

150+ 80²

200 = 200± 32.6. Existe un 99% de confianza de que la

diferencia de las medias de las poblaciones esté entre 169 y 233 horas.




Tamaño de la muestra:La teoría de la muestra estudia la relación existente entre una población y las muestras tomadas de ellas; se obtienen magnitudes (media y varianza) y/o las diferencias entre muestras (significativas o fortuitas).Para que las conclusiones de la teoría de muestreo sean válidas y la inferencia estadística sea verdadera, se necesita que las muestras sean representativas.

Diseño del experimento: Es el análisis de los métodos del muestreo, las muestras representativas de obtienen por muestreo aleatorio con o sin reposición.

Muestreo aleatorio: Cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser incluido en la muestra.

Muestra con o sin reposición: Se hace extracción de un elemento de la población y se devuelve o no antes de la segunda extracción.

Población finita: Cuando existe un número de elementos.

Población infinita: Cuando no existe un número de elementos.

Prueba de hipótesis: En la práctica tomamos decisiones sobre poblaciones basadas en el conocimiento en que se tiene la muestra; estas son decisiones estadísticas, para ello se realizan hipótesis estadísticas (conjeturas) que pueden ser ciertas o no.

H0 Hipótesis nula: Son hipótesis que se formulan para ser rechazadas o invalidarlas; por ejemplo “no hay diferencia entre los métodos A y B”, “las monedas son buenas”.

H1 Hipótesis alternativas:

Es la que difiere de la hipótesis nula, por ejemplo, si existe una probabilidad 0.5 la hipótesis alternativa seria de H1= 0.75 o p= 0.4

Si se asume una hipótesis y los resultados obtenidos muestran una diferencia muy grande, entonces las diferencias observadas son significativas y la hipótesis debe ser rechazada.

Contraste de hipótesis Procedimientos que ayudan a determinar si

Contrastes de significación las muestras observadas difieren significativamente

Reglas de decisión de los resultados esperados.

H0 es verdadero H0 es falsoNo rechace H0 Decisión correcta Error tipo IIRechace H0 Error tipo I Decisión correcta




Error tipo I: Rechaza una hipótesis cuando debió ser aceptada.

Error tipo II: Acepta una hipótesis que debió ser aceptada.

Nivel de significancia: Es la probabilidad de cometer un error tipo I ∝

Toda buena decisión minimiza los errores; siempre que disminuye un error, existe otro que aumenta el tamaño de la muestra y esto no siempre es posible.

NIVEL DE SIGNIFICACIÓN DE SIGNIFICACIÓN DEL CONTRASTE ∝

En cuando damos la máxima probabilidad a una hipótesis y estamos dispuestos a correr el riesgo de cometer un error tipo I; este nivel se especifica antes de tomar la muestra (los resultados no influyen nuestra decisión) en la práctica se usa entre el 5% y el 1%.

Por ejemplo si se elige el 5% del nivel de significación entonces hay 5 oportunidades entre 100 de rechazar la hipótesis cuando debía ser aceptada, es decir 95% de confianza que se adoptó la decisión correcta.

Hipótesis con nivel de significancia 5%- 95% de confianza que se adoptó la decisión correcta.

Existe 5% de oportunidades de rechazar la hipótesis.

CONTRASTES CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Supongamos que cierta hipótesis tiene una distribución de muestreo S con distribución normal,

con una media Ms y una desviación σ . Entonces distribución de la variable tipificada. Z =S−MSσS

Si Z esta fuera de 1.96 el estadístico estaría afuera del rango y diferiría significativamente y la hipótesis debería ser rechazada en este caso; el área sombreada 0.025 es el nivel de significancia del contraste, es la posibilidad de equivocarnos al rechazar la hipótesis, decimos que la hipótesis se realiza a un nivel de significación del 5%; o que el valor z de estadística muestral dado es significativo al nivel de 0.05.



0.025


Z dentro del rango menor -1.96 a 1.96= región de la aceptación de la hipótesis o región de no significancia.

Z fuera del rango -1.96 a 1.96= región critica de hipótesis, región de rechazo de hipótesis, región de significancia.

Basados en esto se formula la regla de decisión:1. Rechazar la hipótesis al nivel de significancia 0.05 si el valor de Z para el estadístico S,

esta fuera del rango -1.96 a 1.96; Equivale a decir que el estadístico muestral es significativo al nivel 0.05.

2. Aceptar la hipótesis en caso contrario (o no tomar una decisión)Z es un estadístico de contraste; se puede utilizar niveles de significación. Cuando el nivel de interés del contraste está a ambos lados de la curva se llama prueba bilateral o de dos colas.Cuando el nivel de contraste a un lado se llama prueba unilateral o de una cola.

Nivel de significancia

0.10 0.05 0.01 0.005 0.002

Valores críticos de Z para test unilateral

-1.28ó1.28

-1.645ó1.645

-2.33ó2.33

-2.58ó2.58

-2.88ó2.88

Valores críticos de Z para test bilateral

-1.645 ó1.645

-1.96 ó1.96

-2.58ó2.58

-2.81ó2.81

-3.08ó3.08

Todos los casos son para poblaciones infinitas o por muestreo con repetición.

PRUEBA PARA MEDIASS= X = Media muestralM X = M= Media de la población

σs=σ x= σN

σ= Desviación típica de la poblaciónN= Tamaño de la muestra

Z= X−MσN

Cuando sea necesario se usa la desviación muestral S ó SDEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL



PRUEBA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS

X 1 y X 2 = medias muestrales obtenidos en grandes muestras de tamaño N1 y N2

tomados de poblaciones con respectivas medias M1 y M2 y desviaciones típicas σ 1 y σ 2

Se considera la hipótesis que “No hay diferencia entre las medias” M1 = M2

DISTRIBUCION DE MUESTREO DE DIFERENCIA DE MUESTRAS

MX 1 - M X 2= 0 y σ

X 1−X2=√ σ12

N1

+ σ22

N2

con esto se puede contrastar la hipótesis nula frente a la hipótesis alternativa.

Z= X 1−X 2σ X 1−σ X 2

PRUEBA PARA PROPORCIONESS=P Proporción de éxitos en una muestraMS= MP= P P es la proporción de éxitos en una poblaciónN= Tamaño de la muestra

σ s=σ p =√ pqn

q= 1-p

Z=

P−p

√ pqN

Cuando P= XN

, donde X es el número real de éxitos en una muestra

Z se calcula así Z=X−N p

√N pq

Esto es:Mx=M =Npσx=σ =√N pqS=X




DIFERENCIA DE PROPORCIONESP1, P2 = Proporciones muestrales obtenidas en grandes muestral de tamaño N1 y N2 tomadas de respectivas poblaciones que tienen proporciones P1, P2 Se considera la hipótesis nula Ho = “No hay diferencia entre los parámetros de las poblaciones” (P1= P2) muestras tonadas de la misma población. MP1-P2= =0

Se usa como estimación para la proporción poblacional

Ejemplo: Un laboratorio afirma que uno de sus productos es 90% efectivo para reducir una alergia en 8 horas. En una muestra de 200 personas con esa alergia el medicamento da buen resultado en 160 personas; determine si la afirmación del laboratorio es legítima.

P= probabilidad de curación del fármaco H0= p=0.9 “la afirmación es correcta”H1=p<0.9 “la afirmación es falsa

Se elige el contraste de una cola tomando el nivel de significación de 0.10 Zc= -1.28 Se adopta como regla de decisión Si Z<-1.28, no es legitima la hipótesis

200----180 personas 160 personas si fue efectivo Si H0 es verdadero



X 2=N

s2

σ2 =(X1−X )2+( X2− X )2+. .. . ..+( Xn− X )2

σ2donde

p=N 1P1+N2 P2

N 1+N2

dondeq=1−p; y

z=P 1−P2

σP1−P2

M=NP=200 (0 .9 )=180 personas

σ=√Npq=√(200 )(0 .9)(0 .1)=4 .24




−4 .72<−1 . 28 {laafirmacionesfalsa

}σ=4 .24


El estándar para 160 personas es

Ejemplo 2. La tensión de ruptura de los cables fabricados por una empresa tiene una M de 1800 lbs y una ; Se desea comprobar si un nuevo proceso de fabricación aumenta la tensión media de ruptura; para este objetivo se da una muestra de 50 cables y la tensión media de ruptura es de 1850 lbs. ¿Se puede afirmar la mejoría del proceso a un nivel de significancia de 0.10?2 Hipótesis H0=M=1800 lbs, “no hay cambios en la tensión de ruptura”H1=M>1800 lbs, “hay un cambio real en la tensión de ruptura”

Para un nivel de significancia de 0.1 la regla de decisión es Si Z observando es mayor a 1.28el resultado es significativo y se rechaza H0

En caso contrario se acepta H0

El resultado es altamente significativo y la hipótesis puede mantenerse

MUESTRAS PEQUEÑAS Distribución t de student

Para muestras N<30 las aproximaciones no son buenas y empeoran al decrecer N por eso se realizan algunas modificaciones en los cálculos; un tipo de modificación es conocida como distribución t de student

Para muestras pequeñas con población normal se calcula t utilizando la media de x y S ó Ŝ; puede obtenerse la distribución de muestreo para t, esta distribución viene dada por student.

Y0= constante que depende de N de tal forma que el área de la curva sea 1rados de libertad V=(N-1)= Numero de grados de libertad

Fórmula para ajustar las curvas cuando V o N> 30



160−1804 .24

=−4 . 72σ=100 lbs

Z =¿X−Mσ

√N

=1850−1800100

√50

=3 .54 ¿3 .54>1 .28

t= X−Ms

⋅√N−1= X−Mσ

√N

t= x−MS

⋅√N−1= x−Mσ

√N

y=Y 0

[1+ t2N−1 ]N2

=Y 0

[1+t2

V ](V +1 )2

y=12π

e−t2

2


Distribución t de student para valores de V

Los valores de t se obtienen por tabla (apéndice 3, libro Schawm)

Por ejemplo Si –t 0.975, t 0.975, los valores de t para los que el 2.5% del área está en cada cola de la distribución t entonces, el intervalo de confianza de 95% de t es

Contraste de hipótesisH0 proceso de verificación H1

NOMASHTO 95% compact. Z0=95%5%

X

σ σ

DISTRIBUCIÓN JI – CUADRADO

Se aplica cuando: Se considera muestras N de población normal σ desviación típica X2 para cada muestra

La distribución de muestras Ji – cuadrada está dada por DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL


Región Crítica o de rechazo

Región de aceptación

Región Crítica o de rechazo

-t 0. 975< x -MS

∗√N−1< t 0 . 975

X 2=N

s2

σ2 =(X1−X )2+( X2− X )2+. .. . ..+( Xn− X )2

σ2


Y0 depende de V1 tal que el área bajo la curva es 1

Distribución Ji cuadrada para varios valores de V el máximo Y ocurre cuando X2=V-2 para V>2.

BIBLIOGRAFIA

Probabilidad y Estadística en Ingeniería Civil, Jack R Benjamin , ed. MacGraw Hill, 1981 Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Montgomer, Mc Graw Hill Probabilidad y Estadística para Ingeniería, Walpole and Meyers

UNIDAD 5 ANALISIS DE REGRESION y CORRELACION

5.1 Regresión lineal simple, curvilínea y múltiple.

5.2 Correlación.

5.3 Regresión y correlación para datos agrupados.

5.4 Correlación por rangos.

5.5 Coeficiente de correlación para datos nominales.



y=Y 0(x2)

12

(v−2 )e− 1

2x2

=Y 0 xv−2 e

−12x2

____ V=N−1=¿ degradosde libertad

probabilidad y estadistica unidad 1,2

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