probabilidad 2da unidad

7/24/2019 Probabilidad 2da Unidad

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Unidad II

PROBABILIDAD.

En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra,

se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestin, pero es posible tener sie!pre

la certe"a total en todo pro#ecto o actividad que se desea reali"ar$, es !u# di%&cil

tenerla, debido a que el llevar a e%ecto un pro#ecto cualquiera por !'s si!ple que este

sea, (ste est' su)eto a una *ran diversidad de %actores que a%ectan su ocurrencia,

entonces qu( es lo !'s aconse)able para predecir su ocurrencia$, la probabilidad es la

que nos a#uda en estos casos, #a que bas'ndose en estad&sticas, pode!os cuanti+car

la posibilidad de ocurrencia de los eventos # por consi*uiente to!ar una buena

decisin basados en esta in%or!acin.

DEFINICIONES:

Probabilidad:Es un n!ero real que !ide la posibilidad de que ocurra un resultado

del espacio !uestral, cuando un e-peri!ento se lleva a cabo.

Probabilidad subjetiva: e basan en la creencia e ideas en que se reali"a la

evaluacin de las probabilidades # se de+ne co!o en aquella que un evento asi*na el

individuo bas'ndose en la evidencia disponible /el individuo asi*na la probabilidad en

base a su e-periencia0.

La probabilidad sub)etiva puede tener %or!a de %recuencia relativa de ocurrencia

anterior o si!ple!ente puede consistir en una con)etura inteli*ente 1.

Para clari+car lo antes dicho un e)e!plo !u# co!n es el pronstico del tie!po,

!uchos individuos co!o nosotros reali"a!os una prediccin personal de c!o ser'n

las condiciones cli!'ticas para el d&a, basadas !'s en nuestra e-periencia personal

pero que !uchas veces sustenta!os en e-periencia de eventos pasados. La asi*nacin

de probabilidad sub)etiva se dan *eneral!ente cuando los eventos ocurren solo 2 ve" #

a lo !'-i!o unas cuantas veces !'s.


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in e!bar*o en las or*ani"aciones a pesar de que es co!n to!ar decisiones en base

a la probabilidad sub)etiva la !a#or&a de las veces esta se respalda con datos %uturos

estad&sticos.

PROPIEDADES BSICAS:

1. La probabilidad es positiva # !enor o i*ual que 2.

0 !"A# 1

$. La probabilidad del suceso se*uro es 2.

!"E# % 1

&. i A # B son inco!patibles, es decir A B 3 entonces4

!"A B# % !"A# ' !"B#

(. La su!a de las probabilidades de un suceso # su contrario

vale 2, por tanto la probabilidad del suceso contrario es4

). Probabilidad del suceso i!posible es cero.

*. La probabilidad de la unin de dos sucesos es la su!a de sus

probabilidades rest'ndole la probabilidad de su interseccin.

+. i un suceso est' incluido en otro, su probabilidad es !enor o

i*ual a la de (ste.


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RE,-AS DE -A ADICIN.

La re*la de la adicin o re*la de la su!a establece que la probabilidad de ocurrencia decualquier evento en particular es i*ual a la su!a de las probabilidades individuales, si

es que los eventos son !utua!ente e-clu#entes, es decir, que dos no pueden ocurrir

al !is!o tie!po.

P/A o B0 3 P/A0 U P /B0 3 P/A0 5 P /B0 si A # B son !utua!ente e-clu#ente. P/A o B0 3

P/A0 5 P /B0 6 P/A # B0 si A # B son no e-clu#entes. iendo4 P/A0 3 probabilidad de


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ocurrencia del evento A. P /B0 3 probabilidad de ocurrencia del evento B. P/A # B0 3

probabilidad de ocurrencia si!ultanea de los eventos A # B.

RE,-A ,ENERA-.

i A # B son dos eventos no !utua!ente e-clu#entes /eventos intersecantes0, es decir,

de !odo que ocurra A o bien B o a!bos a la ve" /al !is!o tie!po0, entonces se aplica

la si*uiente re*la para calcular dicha probabilidad4

El espacio !uestral /0 corresponde al con)unto universo en la teor&a de con)untos

Eje/!lo:


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20 ea A el suceso de sacar un As de una bara)a est'ndar de 78 cartas # B sacar

una carta con cora"n ro)o. 9alcular la probabilidad de sacar un As o un cora"n ro)o o

a!bos en una sola e-traccin.

olucin4

A # B son sucesos no !utua!ente e-clu#entes porque puede sacarse el as de cora"n

ro)o.

Las probabilidades son4

Ree!pla"ando los anteriores valores en la re*la *eneral de la adicin de probabilidades

para eventos no !utua!ente e-clu#entes se obtiene4

80 En una urna e-iste 2: bolas nu!eradas del 2 al 2:. ;u( probabilidad e-iste de

sacar en una sola e-traccin una bola enu!erada con un n!ero par o con un n!ero

pri!o$


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Solui2:

O ta!bi(n, reali"ando un dia*ra!a de


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RE,-A ESPECIA-

i A # B son dos eventos !utua!ente e-clu#entes /eventos no intersecantes0, es decir,

si la ocurrencia de cualquiera de ellos e-clu#e la del otro, no pueden ocurrir a la ve", o

cuando no tienen nin*n punto !uestral en co!n entonces se aplica

la si*uiente re*la para calcular dicha probabilidad4


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Eje/!los

20 ea A el suceso de sacar un As de una bara)a est'ndar de 78 cartas # B sacar un Re#

de cora"n ro)o. 9alcular la probabilidad de sacar un As o un Re# de cora"n ro)o en

una sola e-traccin.

olucin4

A # B son sucesos !utua!ente e-clu#entes porque no es posible obtener a!bos a la

ve".

Las probabilidades son4

Ree!pla"ando los anteriores valores en la re*la particular de la adicin de

probabilidades para eventos !utua!ente e-clu#entes se obtiene4


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80 En una urna e-iste 2: bolas nu!eradas del 2 al 2:. ;u( probabilidad e-iste de

sacar en una sola e-traccin una bola enu!erada con un n!ero i!par o con un

n!ero !ltiplo de =$

olucin4

RE>LA DE LA ?UL@IPLI9A9I1.

a# ocasiones en las cuales es necesario obtener probabilidades de eventos que se

interceptan # son dependientes entre s&, es decir, el se*undo evento puede ocurrir tan

solo si el pri!ero ha ocurrido, el tercero ocurre con probabilidad que depende de la de

los dos pri!eros, # as& sucesiva!ente.


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RE,-A ,ENERA-.

i A # B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A a%ecta

la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad se calcula e!pleando

la si*uiente re*la4

Nota:

La probabilidad del evento B, calculada ba)o la suposicin de que el evento A ha

ocurrido, se deno!inaprobabilidad condicional de B, dado A, # se denota por P /BCA0.


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Eje/!lo

20 De una bara)a est'ndar de 78 cartassea A el suceso de sacar un As en la pri!era

e-traccin # B sacar un As en la se*unda e-traccin. 9alcular la probabilidad de sacar

dos Ases en dos e-tracciones sin devolver la cartae-tra&da.

olucin4

A # B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A a%ecta la probabilidad deocurrencia de B.

La probabilidad de que la pri!era carta sea un As es4

Ree!pla"ando los anteriores valores en la re*la *eneral de la !ultiplicacin de

probabilidades para eventos dependientes se obtiene4

80 ea A el suceso de sacar un As de una bara)a est'ndar de 78 cartas # B sacar un Re#

de cora"n ro)o. 9alcular la probabilidad de sacar un As # un Re# de cora"n ro)o en

dos e-tracciones sin devolver la carta e-tra&da.

olucin4
http://www.monografias.com/trabajos14/comer/comer.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/comer/comer.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/comer/comer.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/comer/comer.shtml


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A # B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A a%ecta la probabilidad de

ocurrencia de B.


Ree!pla"ando los anteriores valores en la re*la *eneral de la !ultiplicacin de

probabilidades para eventos dependientes se obtiene4

RE,-A ESPECIA-.

i A # B son dos eventos independientes, es decir, si el conoci!iento de la incidenciade uno de ellos no tiene e%ecto en la probabilidad de ocurrencia del otro, entonces,

para calcular la probabilidad de dichos eventos se aplica la si*uiente re*la4

1ota4 Dos eventos A # B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no a%ecta

la probabilidad de ocurrencia del otro, esto es, si

E)e!plo


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20 De una bara)a est'ndar de 78 cartas sea A el suceso de sacar un As en la pri!era

e-traccin # B sacar un Re# en la se*unda e-traccin. 9alcular la probabilidad de sacar

un As # un Re# en dos e-tracciones devolviendo la carta e-tra&da.

olucin4

A # B son sucesos independientes porque la ocurrencia de A a%ecta la probabilidad de

ocurrencia de B.


Ree!pla"ando los anteriores valores en la re*la particular de la !ultiplicacin se

obtiene4

3AB-AS DE CON3IN,ENCIA.

A !enudo los resultados de una encuesta son re*istrados en una tabla de dosdirecciones # utili"ados para deter!inar diversas probabilidades. Las tablas decontin*encia son tablas para clasi+car observaciones de una !uestra, de acuerdo condos o !'s caracter&sticas identi+cables, consiste en una tabulacin cru"ada que

resu!e si!ult'nea!ente dos variables de inter(s, as& con la relacin entre estas, elnivel de !edicin puede ser no!inal.

Eje/!lo:

En un via)e or*ani"ado por Europa para 28: personas, = de los que van saben hablarin*l(s, F saben hablar %ranc(s, # 28 de ellos hablan los dos idio!as.

Esco*e!os uno de los via)eros al a"ar.


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E4P-EO DE 3AB-AS DE CON3IN,ENCIA EN -AS RE,-AS DE -A ADICIN 5

46-3IP-ICACIN.

En el si*uiente e)e!plo !uestra la %or!a en la que las re*las de la adicin #

!ultiplicacin se e!plean en las tablas de contin*encia.

e reali"a un estudio de !ercado con respecto a la apertura de un nuevo ne*ocio /ca%(

internet0 en un 'rea deter!inada # !u# concurrida por diversas personas, por lo quese reali" una encuesta cu#a pre*unta principal era la si*uientes 9on que %recuencia

visita un ca%( internet en un d&a$ A partir de la in%or!acin obtenida de 8:: personas

que pasaron por el 'rea en el transcurso de 2 hora # participaron en la encuesta se

reali" una clasi+cacin cru"ada, es decir, se vaci la in%or!acin en una tabla de

contin*encia se*n la %recuencia # los ran*os de edad de dichas personas.

e hace una encuesta en un *rupo de 28: personas, pre*untando si les *usta leer #ver la televisin. Los resultados son4

G A 8 personas les *usta leer # ver la tele.

G A H8 personas les *usta leer.

G A = personas les *usta ver la tele.

i ele*i!os al a"ar una de esas personas4

a0 9u'l es la probabilidad de que no le *uste ver la tele$


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b0 9u'l es la probabilidad de que le *uste leer, sabiendo que le *usta ver la tele$

c0 9u'l es la probabilidad de que le *uste leer$

Solucin:


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la padecen da ne*ativa. i ele*i!os al a"ar un individuo de esa poblacin4

a0 9u'l es la probabilidad de que el individuo d( positivo # pade"ca la en%er!edad$

b0 i sabe!os que ha dado positiva, cu'l es la probabilidad de que pade"ca laen%er!edad$

Solucin:

ace!os un dia*ra!a en 'rbol4

NProble!a4 una e!presa de autotransporte urbano tiene l&neas distribuidas en "onas de la ciudad. La l&nea 2 tiene el 7: de las unidades, la l&nea 8 tiene el7 de las unidades # la l&nea tiene el 27 restante. La probabilidad de queuna unidad se aver&e es de para la l&nea dos 7 para la l&nea dos # para lal&nea .9on estos datos elabore un dia*ra!a de 'rbol que !uestre las probabilidades deaveriarse # no averiarse. 9alcule las probabilidades de que en un d&a una unidadse aver&e o que nin*una se aver&e.

L2 3 7: 3 :.7:L8 3 7 3 :.7L 3 27 3 :.27 @otal4 2.:

PCAv L2 3 3 :.:PCAv L8 3 7 3 :.:7PCAv L 3 3 :.:

PC1av 2 3 H 3 :.HPC1av 8 3 H7 3 :.H7PC1av 3 H 3 :.H


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PER?U@A9IO1E.

Una per!utacin es cualquier distribucin de Nr ob)etos seleccionados de un solo

*rupo de Nn posibles ob)etos. En las per!utaciones el orden es i!portante, nos

interesa el lu*ar o posicin que ocupa cada uno de los ele!entos que constitu#en

dicho arre*lo.

SIN REPE3ICIN.

Permutaciones sin repeticin o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n)

son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que

dos grupos se diferencian nicamente en el orden de colocacin! Se representa por Pn!

Observe que las distribuciones a, b, c # a, b, c son per!utaciones di%erentes. La

%r!ula para contar el n!ero de di%erentes per!utaciones es4

nPr3 n C/nGr0

Dnde4

n3 representa el total de ob)etos.

r 3 representa el total de ob)etos seleccionados.

3 Qactorial.


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En las per!utaciones # las co!binaciones se e!plea la notacin Nn %actorial /n0 #

si*ni+ca el producto de n /nG20/nG80/nG0/20. Por e)e!plo4 7 3 7.=..8.2 3 28:.

La notacin %actorial se puede eli!inar cuando los !is!os n!eros aparecen tanto en

el nu!erador co!o en el deno!inador.

E)e!plo4 F C = 3 F.7.=..8.2/.8.20C =..8.2 3 2: dnde e-presa que los n!eros

!arcados con color ro)o se eli!inan # los de!'s se !ultiplican entre s&.

Por de+nicin : 3 2

Eje/!lo.

20 En una carrera ha# 8: atletas. De cuantas !aneras se pueden or*ani"ar en oro,

plata # bronce0

SEste es un e)e!plo de per!utacin, donde el orden en el cual los sucesos ocurren

i!portan, aplica!os lo que sabe!os de per!utaciones4

P/n,r03 nC/nGr0 3 8:-2H-2-2C2 3 8:S2HS23 F=: !aneras posibles deor*ani"arlos

CON REPE3ICIN.

Permutaciones con repeticin de n elementos en las que el primer elemento se repite

n" #eces, el segundo se repite n$ #eces!!! % el ltimo se repite n #eces son los

distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo,

cada elemento apare&ca el nmero de #eces indicado % que dos grupos se diferencian

nicamente en el orden de colocacin! Se representa por Pnn",n$ ,!!!,nr!


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Para conocer el nmero de permutaciones de un multicon'unto, es decir, un con'unto

de ob'etos alguno de los cuales son parecidos! Tiene como frmula:

P(nn",n$,n*!nr)+n-( n",n$,n*!nr)

Ejemplo.

Obten*a todas las seTales posibles que se pueden diseTar con seis banderines,dos de los cuales son ro)os, tres son verdes # uno !orado.

Solui2:

n 3 F banderines

-23 8 banderines ro)os

-8 3 banderines verdes

-3 2 bander&n !orado

FP8,,23 F C 82 3 F: seTales di%erentes

CO4BINACIONES.

.na combinacin es un arreglo donde el orden /0 es importante, cualquier seleccin

se denomina combinacin! La notacin para las combinaciones es n1r que es la

cantidad de combinaciones de 2n3 elementos seleccionados, 2r3 a la #e&!

SIN REPETICIN.

1ombinaciones sin repeticin o combinaciones ordinarias de n elementos tomados de r

en n r (de orden r) son los distintos grupos de r elementos distintos que se pueden

hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en

algn elemento % no en el orden de colocacin! Se representa:

4rmula:

n1r+ n-r/nGr0V

Dnde4

n3 representa el total de ob)etos.


3 Qactorial.


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E)e!plo.

Los organi&adores de un partido de fut bol colegial, est5n escogiendo a los 5rbitros de

los partidos, entre "$ 5rbitros elegibles se seleccionaron 6!

71u5ntos equipos de 6 5rbitros se pueden formar8

n+"$

r+6

n1r + n-r/nGr0V

"$16+"$-7/28G70V

"$16+"$-/70

"$16+("$!""!"9!!;)-(6!

CON REPETICIN.

1ombinaciones con repeticin de n elementos tomados de r en n r son los distintos

grupos de r elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los n elementos

que tenemos, de forma que los grupos se diferencian en algn elemento % no en el

orden de colocacin! Las combinaciones con repeticin es igual que construir las

combinaciones sin repeticin con un elemento m5s, considerando la misma frmula,

pero con el siguiente cambio:

n1>r+ n-r/nGr0V

Dnde4

n3 representa el total de ob)etos que se repiten 5 r G 2



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3 Qactorial.

E)e!plo.

Tenemos en una bolsa < bolas blancas % < bolas #erdes! Sacamos tres bolas a la #e&!

71u5ntas formas habr?an de sacarlas8

Al sacar las bolas a la #e& % no anotar el orden en el que salen, no in@u%e el orden!

Puede haber repeticiones porque ha% dos colores % tenemos que sacar tres bolas!

n+$

r+

n1>r + n-r/nGr0V

($")1+($")-//85G20G0V

posibilidades son tres blancas, dos blancas # una verde, dos verdes # una blanca, tres

verdes.


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DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADListado de todos los resultados de un eCperimento % la probabilidad asociada con cadaresultado!

Cmo gene! un! "i#$i%ucin "e po%!%ili"!"&

Ejemplo:

Suponga que le interesa el nmero de caras que aparecen en tres lan&amientos de unamoneda! Tal es el eCperimento! Los posibles resultados son: cero caras, una cara, doscaras % tres caras! 71u5l es la distribucin de probabilidad del nmero de caras8Solucin:

Da% ocho posibles resultados! En el primer lan&amiento puede aparecer una cara, unacru& en el segundo lan&amiento % otra cru& en el tercer lan&amiento de la moneda! 0

puede obtener cru&, cru& % cara, en ese orden! Para obtener los resultados del conteo(6!;), aplique la frmula de la multiplicacin: ($)($)($), es decir, ; posibles resultados!Estos resultados se listan enseguida!

0bser#e que el resultadocero carasocurre slo una #e&una caraocurre tres#ecesdos caras, tres #eces, % el resultadotres carasocurre una sola #e&! Esdecir,cero carasse present una de ocho #eces! Por consiguiente, la probabilidad decero caras es de un octa#o la probabilidad de una cara es de tres octa#os, etc! 1omouno de estos resultados debe suceder, el total de probabilidades de todos los e#entos

posibles es "!999! Esto siempre se cumple!


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Presentacin gr5Fca del nmero de caras que resultan de tres lan&amientos de unamoneda % la probabilidad correspondiente

Gistribucin de probabilidad de los e#entos relati#os a cero, una, dos % tres caras entres lan&amientos de una moneda


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CARACTER'STICAS DE UNA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD"! La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 9 % ",inclusi#e!$! Los resultados son e#entos mutuamente eCclu%entes!! La lista es eChausti#a! As?, la suma de las probabilidades de los di#ersose#entos es igual a "!

(!i!%le# !le!$oi!#

En cualquier eCperimento aleatorio, los resultados se presentan al a&ar as?, a Hste sele denomina#ariable aleatoria!Por e'emplo, lan&ar un dado constitu%e uneCperimento: puede ocurrir cualquiera de los seis posibles resultados! AlgunoseCperimentos dan origen a resultados de ?ndole cuantitati#a (como dlares, peso onmero de niIos) otros dan origen a resultados de naturale&a cualitati#a (como elcolor o la aFliacin religiosa)! 1ada #alor de la #ariable aleatoria se relaciona con unaprobabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado!

Si cuenta el nmero de empleados ausentes en el turno matutino del lunes, elnmero puede ser 9, ", $, ,* El nmero de ausencias es una #ariablealeatoria!

Si pesa cuatro lingotes de acero, los pesos pueden ser de $

(!i!%le !le!$oi! con$inu!

Por otra parte, si la #ariable aleatoria es continua, es una distribucin de probabilidadcontinua! Si mide algo, como la anchura de una rec5mara, la estatura de una personao la presin de la llanta de un autom#il, se trata de una#ariable aleatoriacontinua!Se puede suponer una inFnidad de #alores, con ciertas limitaciones! Pore'emplo: Los tiempos de los #uelos comerciales entre Atlanta % Los Mngeles son de


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Por lgica, si organi&a un con'unto de posibles #alores de una #ariable aleatoria en unadistribucin de probabilidad, el resultado es una "i#$i%ucin "e po%!%ili"!"! As?,7cu5l es la diferencia entre una distribucin de probabilidad % una #ariable aleatoria8.na #ariable aleatoria representa el resultado particular de un eCperimento! .nadistribucin de probabilidad representa todos los posibles resultados, as? como lacorrespondiente probabilidad!

71u5l dir?a que es la diferencia entre los dos tipos de distribuciones8 Por lo general,una distribucin discreta es el resultado de contar algo, como: El nmero de caras que se presentan en tres lan&amientos de una moneda! El nmero de estudiantes que obtienen A en clase!

Las distribuciones continuas son el resultado de algn tipo de medicin, como: La duracin de cada cancin en el ltimo 5lbum de Tim NcOra! El peso de cada estudiante de esta clase!

Nedia, #arian&a % des#iacin est5ndar de una distribucin de probabilidad

)EDIA DE UNA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

(ARIAN*A DE UNA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

E'emploQohn >agsdale #ende autom#iles nue#os en Pelican 4ord! Por lo general, Qohn #ende lama%or cantidad de autom#iles el s5bado! Rde la siguiente distribucin de

probabilidades de la cantidad de autom#iles que espera #ender un s5badodeterminado!


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7Ge quH tipo de distribucin se trata8$! 71u5ntos autom#iles espera #ender Qohn un s5bado normal8! 71u5l es la #arian&a de la distribucin8

Se trata de una distribucin de probabilidad discreta para la #ariable aleatoriadenominadanmero de autom#iles #endidos!0bser#e que Qohn slo espera #ender

cierto margen de autom#iles no espera #ender 6 autom#iles ni 69! Adem5s, nopuede #ender medio autom#il! Slo puede #ender 9, ", $, o < autom#iles!Asimismo, los resultados son mutuamente eCclu%entes: no puede #ender un total de % < autom#iles el mismo s5bado!

71mo interpretar una media de $!"8 Este #alor indica que, a lo largo de una grancantidad de s5bados, Qohn >agsdale espera #ender un promedio de $!" autom#ilespor d?a!

>ecuerde que la des#iacin est5ndar, , es la ra?& cuadrada positi#a de la #arian&a!


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En este e'emplo es:

71mo interpretar una des#iacin est5ndar de "!"J autom#iles8 Si la #endedora >itairsch tambiHn #endi un promedio de $!" autom#iles los s5bados % la des#iacinest5ndar en sus #entas fue de "!" autom#iles, concluir?a que ha% m5s #ariabilidaden las #entas sabatinas de irsch que en las de >agsdale (pues "!" U "!"J)!

probabilidad 2da unidad

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