instituto tecnológico superior del sur oxkutzcab, yucatán, méxico unidad 2: fundamentos de...

Instituto Tecnológico Superior del Sur

Oxkutzcab, Yucatán, MéxicoUnidad 2: Fundamentos de

Probabilidad. 1

FUNDAMENTOS DEPROBABILIDAD

Unidad 2

OBJETIVO DE LA UNIDAD 2 El estudiante resolverá problemas que incluya el cálculo de probabilidades de diferentes tipos de eventos

PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EVENTOS INDEPENDIENTES

SUBTEMAS

Arturo A. Alvarado S. [email protected]

http://mx.geocities.com/a_alvaseg

Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad. Subtema: Probabilidad

condicional 2

PROBABILIDAD CONDICIONAL

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

Que el estudiante resuelva problemas que involucre el cálculo de probabilidades condicionales (a posteriori).

SUBTEMA




3

La probabilidad condicional que ocurra un evento A, dado que ha sucedido un evento B, puede ser calculada con:

“La probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido, es igual a la probabilidad de la intersección de ambos eventos entre la probabilidad del evento que ha ocurrido”. Con la restricción de que la probabilidad del evento que ha ocurrido debe ser diferente de cero.

Concepto

La probabilidad condicional es una probabilidad a posteriori, esto es, se obtiene a la luz de nueva información.

S: espacio muestral

BA

0)(con,)(

)(

BP

BP

BAPBAP



condicional



4

“La probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de AB entre la probabilidad del evento B.

En corto se dice La probabilidad de A dado B:

S: espacio muestral

BA

Nota: Obseve que el evento dado, B, se convierte en el espacio muestral reducido

0)(con,)(

)(

BP

BP

BAPBAP



condicional



5

A continuación tenemos algunos casos de la vida diaria donde un evento depende de la ocurrencia de otro:

•Una alta humedad relativa aumenta las posibilidades de que llueva en un lugar: P (llueva | humedad relativa de 80% o más)

•Un fumador tiene mayores posibilidades de contraer enfisema pulmonar: P (contraiga enfisema | la persona fuma 5 cigarros o más al día)

•Manejar en estado de embriaguez, aumenta la probabilidad de sufrir accidentes. P (la persona se accidente | ha ingerido alcohol)

En la vida real (¡lo que sea que entendamos por vida real !)



condicional



6

B

A

P(A) = 0.25P(B) = 0.10P(A∩B) = 0.10

B

A

¿Cuál es la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0.8

P(A) = 0.25P(B) = 0.10P(A∩B) = 0.08

Por intuición



condicional


http://mx.geocities.com/a_alvaseg/

7

A

B

A

B

¿Cuál es la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?

P(A|B)=0.05 P(A|B)=0

P(A) = 0.25P(B) = 0.10P(A∩B) = 0.005

P(A) = 0.25P(B) = 0.10P(A∩B) = 0

Por intuición



condicional



8

La producción diaria de 850 partes electrónicas contiene 50 que no satisfacen los requerimientos del cliente. Del lote se eligen “al azar” dos partes en sucesión sin reemplazo.

¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dado que la primera fue defectuosa?

Solución. Sean A el evento donde la segunda parte seleccionada es defectuosa y B el evento donde la primera parte es defectuosa. La probabilidad pedida puede expresarse como P(A|B). Si la primera parte es defectuosa, entonces antes de tomar la segunda, el lote contiene 849 partes, de las cuales 49 son defectuosas, por tanto:

P(A|B) = 49/849 = 0.0577

EJEMPLO



condicional



9

* Ahora, escogiendo dos partes, en sucesión sin reemplazo,

• ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras partes sean defectuosas?

Actividad de aprendizaje 1.

P(D D) =?

* Siguiendo con el ejemplo anterior,

• ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dado que la primera no lo fue?

La solución es: ???…

La solución es: ???…

Observe que nos pide la probabilidad de la intersección de los sig eventos: que salga defectuosa la primera pieza (D) y que salga defectuosa la segunda pieza (D), es decir, P(DD)=(50/850) x (49/849)



condicional



10

Actividad de aprendizaje 2.

Hombre (H) Mujer (M) TOTAL

Con empleo (E) 90 60 150

Sin empleo (D) 25 15 40

TOTAL 115 75 190

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea desempleada dado que es varón?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea mujer dado que sí tiene empleo?

Considere los datos censales de la Comisaría de Xaya en 2005:



condicional



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Bosquejo de solución de la actividad de aprendizaje 2

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea desempleada dado que es varón?

Este ejercicio nos pide calcular P(D|H)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea mujer dado que sí tiene empleo?

Este ejercicio nos pide obtener P(M|E)



condicional



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EJEMPLOS

a) Si debe cambiarse el aceite ¿cuál es la probabilidad de que necesite un filtro nuevo?

Para obtener la solución. Sean los eventos A: que necesite cambio de aceite; B: que requiere un nuevo filtro de aceite. Entonces, de acuerdo a los datos del problema, P(A)=0.25; P(B)=0.40 y P(AB)=0.14. Por lo tanto lo que se nos pide es la probabilidad condicional P(B|A). Use la fórmula para obtenerla.

b) Si necesita un filtro nuevo ¿cuál es la probabilidad de que requiera que se le cambie el aceite?

Para obtener la solución. Con el mismo planteamiento de la solución del inciso a), se pide ahora obtener la probabilidad condicional P(A|B). Use la fórmula para obtenerla.

1. La probabilidad de que a un automóvil al que se llena el tanque de gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0.25; de que requiera un nuevo filtro de aceite, de 0.40; y de que le haga falta tanto cambio de aceite como

de filtro, de 0.14.

Respuesta=0.56

Respuesta=0.35



condicional



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EJEMPLOS

a) una pareja de casados vea el programa.

Solución. Sean los eventos A: que un hombre casado vea “Alma de acero”; B: que una mujer casada vea “Alma de acero”. Entonces, de acuerdo a los datos del problema, P(A)=0.4; P(B)=0.5, P(A|B)=0.7. En el inciso a) se nos pide calcular la probabilidad de que en un matrimonio, tanto el hombre como la mujer vean “Alma de acero”, esto es, se nos pide P(AB). De la fórmula de probabilidad condicional, podemos obtener por despeje que P(AB) = P(B) P(A|B) = 0.5 x 0.7 = 0.35.

b) una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace.

Solución. Se pide P(B|A) =[P(AB)]/ P(A)= 0.35/0.4 =0.875.

c) al menos un integrante de un matrimonio vea el programa.

Solución. “Al menos un integrante” significa que “o lo ve el marido o la esposa o ambos” y ésta es la definición de unión de eventos. Esto es, nos piden P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) = 0.4 + 0.5 0.35 = 0.55

2. En México, la probabilidad de que un hombre casado vea el programa “Alma de acero” es de 0.4 y la de que una mujer casada lo vea, de 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa, dado que su esposa lo hace, es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que:

Respuesta: P(AB)=0.35

Resp: P(AB) =0.55

Respuesta: P(B|A)=0.875



condicional



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Actividad de aprendizaje extraclase• Resuelva los ejercicios 1 al 6, páginas 35 y 36 del libro de

Walpole & Myers (4ta edición de McGrawHill, ya está la 8va edición de Pearson educación en la biblioteca del ITSY aunque esencialmente es lo mismo)

• Revise el ejercicio 11 de la pág 36 de Walpole. Sean A: que el vehículo tenga placas de Canadá y el evento B: que el vehículo sea para acampar. Entonces, los datos que nos dan son P(A)=0.12, P(B)=0.28 y P(AB) = 0.09. En el inciso a) hay que calcular P(A|B), en el inciso b) se calculará P(B|A) y en el inciso c) se pide P(AcBc). Observe que en el inciso c) puede aplicar la regla de De Morgan para el calculo de la probabilidad. Respuestas a) 0.321429, b) 0.75, c) 0.91

• Resuelva los ejercicios 2-58, 2-59, 2-60 y 2-61 del libro de Montgomery & Runger (vale $405 el libro en Mérida), páginas 80 y 81.



condicional



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EVENTOS INDEPENDIENTES

SUBTEMA

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

Que el estudiante resuelva problemas utilizando la regla multiplicativa para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos, tanto independientes como dependientes.


Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad. Subtema: Eventos

independientes



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¿Qué significa la expresión ? Significa que la ocurrencia de B no afecta la ocurrencia de A.

Aquí la ocurrencia de A es independiente de la ocurrencia de B.

Ejemplo ilustrativo. Suponga los sig eventos, B: que Hillary Clinton gane la presidencia de EE.UU en 2008 y A: que Carlos Pérez termine su carrera en 2009 en el Tec; y que P(B)=0.49 y P(A)=0.67. Imagine que es ya 2009 y que Hillary es presidenta, ¿cuánto vale P(A|B)? Suponiendo que el entorno cercano de Carlos se mantuvo similar, la respuesta es P(A) = 0.67. ¿Por qué no le afectó la ocurrencia de B? Porque A y B son eventos independientes, esto es, la ocurrencia de uno, no alteró la probabilidad de ocurrencia del otro (ni para bien ni para mal!).

Independencia de eventos (Introducción) )()( APBAP

)()( APBAP



independientes



17

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno, no añade información sobre el otro.

Definición. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si:

P(A|B) = P(A)y P(B|A) = P(B)

De otro modo, A y B son eventos dependientes. La condición P(A|B) = P(A) implica P(B|A) = P(B) y

viceversa.

Independencia de eventos (definición)



independientes



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Proposición. Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces:

P(AB) = P(A|B) P(B) Como AB = BA, se sigue de la proposición anterior

(por un simple despeje de la fórmula de probabilidad condicional), que:

P(AB) = P(A) P(B|A) Proposición. Dos eventos A y B son independientes si

y sólo si:

P(AB) = P(A) P(B)En palabras, la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes es el producto de sus probabilidades individuales.

Reglas multiplicativas



independientes



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Ejemplos En el ejemplo de las dos urnas que contienen

pelotas de dos colores, resuelto en clases, se usa la regla multiplicativa. La solución se ve claro con el diagrama de árbol. Otra opción: resolverlo por teorema de Bayes, ¡ya verán en la sig sección!

Estudie los ejemplos 1.32, 1.33, 1.34 y 1.35 en las páginas 32 y 33 de Walpole & Myers (4ta ed).

Se lanza una moneda de tal forma que un sol tiene la posibilidad de ocurrir dos veces más que una águila. Si la moneda se lanza 3 veces al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 soles y una águila? Desarrollo de la solución en la pág 35 de Walpole

Otro ejemplo en http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/ejercicio8-2.html



independientes



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Prueba de conceptos

*Si A y B son eventos independientes, entonces P(A|B) =

*Si un evento no es afectado por el resultado de otro evento, se dice que ambos eventos son:a) Dependientes.b) Independientes.c) Mutuamente excluyentes.d) Todos los anteriores.e) Sólo b) y c).

*¿Por qué los eventos resultantes de lanzar una moneda balanceada al aire dos veces consecutivas son independientes?

a) Porque la probabilidad de obtener sol y la probabilidad de obtener águila son las mismas.b) Porque no se pueden presentar águila y sol en el mismo lanzamiento.c) Porque el resultado del primer lanzamiento no se ve afectado por el resultado del segundo.d) Porque el resultado del segundo lanzamiento no se ve afectado por el resultado del primero.e) a) y b), pero no c).

*Conteste las preguntas 2-75, 2-76 y 2-77 de Montgomery, pp. 89 y 90.

Para completar:

Para seleccionar mejor respuesta:



independientes



21

Actividad de aprendizaje

Del libro de Montgomery & Runger: ejercicio 2-69 incisos e) y f), páginas 85 y 86; ejercicio 2-82, pág 90.



independientes



Del libro de Walpole y Myers (4 ed de McGraw Hill): ejercicios 12, 13, 14 y 17, páginas 36 y 37. (En la 6ta edición de Prentice Hall vienen los mismos ejercicios pero no coincide el número de página ya está la 8va edición también)Sugerencia para resolver el ejercicio 17. Sea A: que esté disponible el vehículo 1; B: que esté disponible el vehículo 2; así P(A)=P(B)=0.96. Obviamente P(Ac)=P(Bc)=0.04. En el inciso a) se requiere P(AcBc) que se resuelve por la regla multiplicativa para eventos independientes y en el inciso b) se pide calcular P(AB)=1-P(AB)c=1-P(AcBc) Ésta última equivalencia deriva de las reglas de De Morgan

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