unidad 1 probabilidad

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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PROF.: Dra. Sonia Salvo Garrido

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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PROF.: Dra. Sonia Salvo Garrido Unidad I: Probabilidad 1.0 Introduccin Los primeros estudios sobre probabilidad tuvieron su origen en los juegos de azar. Por muchos aos las ideas de probabilidades estuvieron asociadas a los juegos de azar, hasta que en el siglo XVIII los matemticos Laplace y Gauss muestran que las probabilidades son tambin aplicables a otras actividades. La teora de probabilidades conocida hoy en da fue desarrollada por el matemtico Kolmogorov quien en su paper titulado Foundations of Theory of Probability, desarroll la teora axiomtica de la probabilidad. En esta unidad se presentar un modelo matemtico que recoja la idea vaga de probabilidad que se tiene y le de un contexto preciso. 1.1 Conceptos Importantes - Experimento Aleatorio: Un experimento es aleatorio si satisface las siguientes condiciones: i) No se conoce un resultado particular del experimento antes de ejecutarlo. ii) Se conocen todos los posibles resultados del experimento. iii) El experimento se repite en idnticas condiciones. Espacio Muestral (): Conjunto de resultados posibles al desarrollar un experimento. Experimento: es la ejecucin de algo en el cual se obtiene un resultado. Ejemplos: 1.- Lanzar una moneda honesta y observar su cara superior. 2.- Lanzamiento de un dado honesto y observar su cara superior. 3.- Contar el nmero de partculas radioactivas que emite una fuente en un minuto. 4.- Medir el tiempo de vida til de una ampolleta. Si tiene un nmero finito o infinito numerable de elementos, se dir que es Discreto. Si tiene como elementos todos los puntos de algn intervalo de la recta real, se dir que es Continuo. = {c, s} = {1,2,, 6} { } 0 : > 9 e t t = Nmero finito de elementos = {0,1,2,} Nmero infinito numerable Nmero infinito no numerable espacio muestral E espacio muestral A A SUCESO SUCESO COMPLEMENTO E espacio muestral A B INTERSECIN E espacio muestral A B UNIN Evento o Suceso: Subconjunto cualquiera del espacio muestral. Ejemplo: Observar las caras de dos dados al ser lanzados al aire. El experimento consiste en lanzar dos dados al aire, por lo que el espacio muestral es: } 6 , 1 ; 6 , 1 ); , {( = = = O j i j iEste experimento tiene 36 eventos elementales. Se definen los siguientes eventos: A1: La suma de los dos nmeros es divisible por tres. A2: Los dos dados muestran el mismo nmero. A3: El segundo nmero es el cuadrado del primero. Evidentemente estos eventos son compuestos y se pueden describir: etc. )}, 4 , 2 {()} 4 , 2 ( ), 6 , 6 ( ), 5 , 5 ( ), 4 , 4 ( ), 3 , 3 ( ), 2 , 2 ( ), 1 , 1 {(} : ) , {(} : ) , {(} 4 , 1 ; 3 : ) , {(3 13 22321== = O e = = O e = = = + O e =A A A A i j j i Aj i j i A n n j i j i A Probabilidad: Es una funcin de conjunto, definida sobre una clase Ade subconjuntos del espacio muestral , tal que a un subconjunto cualquiera A de A le asocia un nmero P(A), llamado probabilidad de A, y que debe satisfacer los siguientes axiomas: = = = |.|

\| >= Oi j i i ii j i A A A P A PA PP. , ), (0 ) (1 ) ( | Ax.3Ax.2Ax.1Definicin de probabilidad A es una clase especfica, una -lgebra, que incluye al conjunto , al espacio muestral y es cerrada bajo uniones e intersecciones numerables de sus conjuntos. La formulacin de los axiomas de probabilidad completa la descripcin matemtica de un experimento aleatorio, que consta de tres elementos fundamentales: un espacio muestral , una -lgebra de eventos A, y la funcin de probabilidad P. La terna ordenada (, A, P) constituye un espacio de probabilidad asociado a un experimento aleatorio. En todo experimento aleatorio, el espacio muestral juega el papel de conjunto universal de manera que todos los complementos son tomados con respecto a . 1.3 Axiomas de Probabilidad Teorema 1.2 : Sean A y B dos eventos arbitrarios ( ) ( ) ( ) B A P B P A P B A P + = ) ( Teorema 1.1: Sean A y B dos eventos arbitrarios ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) B P A P B AB A P A P B A P B AA P A P APCCs _ = O _ = O _= entonces , Si d) entonces , y Sean c)1 entonces , Si b)0 a) |Teorema 1. 3 : Dado un espacio muestral O y cualquier evento O c A ( ) ( ) = = k i i A P A P 1 donde k i A i ,... 1 , = son eventos elementales distintos y k i i A A 1 = = Conclusiones Los Axiomas Ax1, Ax2 y Ax3 y sus resultados obtenidos, definen las propiedades de una medida de probabilidad, las cuales son consistentes con nuestra nocin intuitiva. El Teorema 1.3 da una caracterizacin de los eventos compuestos mediante eventos elementales, lo que facilita en gran medida el clculo de probabilidades, sobre todo en aquellos casos en que es finito. muestral. espacio del elementos de nmero el es y de elementos de nmero el es donde : es evento cualquier para ad probabilid La ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( O O = O c - n A A n n A n A P A Ejemplo: En una ciudad se publican tres peridicos A, B, C. El 30% de la poblacin lee A, el 20% lee B y el 15% lee C; el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% lee los tres peridicos. Se pide: a)Porcentaje de personas que leen al menos uno de los tres peridicos. b) Porcentaje que lee slo A. c) Porcentaje que leen B o C, pero no A. d) Porcentaje de personas que leen A o bien, no leen ni B ni C. 1.4 Probabilidad Condicional, Independencia. A veces se sabe que un evento determinado ocurre y basndose en esta informacin, se quiere averiguar cul es la probabilidad de otro evento. Probabilidad Condicional: Sean dos eventos A y B, la probabilidad condicional de que A ocurra, dado que ha ocurrido B, es: 0 ) ( , 0 ) / (0 ) ( ,) () () / (= => =B P B A PB PB P B A PB A P si si Las probabilidades Condicionales satisfacen los axiomas de probabilidad. ) () () | (B PAB PB A P =E espacio muestral A B Intuir la probabilidad condicionada B A P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,10 B A Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,08 Intuir la probabilidad condicionada A B A B Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0 Ejemplo: Un circuito electrnico consta de dos subsistemas, A y B. A partir de una serie de pruebas se supone las siguientes probabilidades: P (A falle) = 0.2; P (B falle slo) = 0.15; P (A y B fallen) = 0.12. Calcular: a) P (A falle/B ha fallado) b) P (A falle slo) c) P (A falle/ B no ha fallado) d) P (A no falle/ B no ha fallado) Probabilidad de la interseccin: Esta probabilidad es frecuentemente ms utilizada, ya que generalmente la probabilidad condicional aparece como dato, por lo tanto para cualquier par de eventos A1 y A2: ) ( ) / ( ) (1 1 2 2 1 A P A A P A A P = segunda. la de resultado el y primerala de resultado el describe condiciona que evento El etapas. dos eneventos de sucesin una como do interpreta ser puede donde212 1A AA A Ejemplo En Temuco, la probabilidad de que llueva el primero de Julio es 0.5. Si llueve el da 1 de Julio, la probabilidad que llueva al da siguiente es 0.8. Cul es la probabilidad que llueva los dos primeros das de Julio? 4 . 0 5 . 0 8 . 0 ) ( ) / ( ) (:::1 1 2 2 12 121= = = J P J J P J J PJ JJJ ad probabilid tiene Julio". de 2 y 1 da el Llueve " evento el EntoncesJulio" de 2 da el llueve " Julio" de 1 da el llueve " : eventos los SeanEjemplo: Una caja contiene dos bolas blancas y tres negras. Una bola se selecciona al azar y enseguida se extrae la otra de las restantes. Cul es la probabilidad que la primera sea negra y la segunda blanca?. Cul es la probabilidad que la segunda sea blanca? Definimos los siguientes eventos: A: la primera bola es negra B: la segunda bola es blanca Tenemos entonces que P(A)=3/5 y la segunda extraccin depende de lo que haya sucedido en la primera extraccin. Si la primera fue negra, restan dos blancas y dos negras para la segunda extraccin. As, de acuerdo a nuestra notacin P(B/A)=2/4 y luego P(AB) = P(B/A)P(A) = 2/4 x 3/5 = 3/10 Para la segunda pregunta, notemos que B = (AB) U (AcB) y por Ax.3 P(B) = P(AB) + P(AcB) = 2/4 x 3/5 + 1/4 x 2/5 = 2/5 Ejemplo: Tarea Una caja de fusibles contiene 20 unidades, de los cuales 5 son defectuosas. Si tres de estos fusibles son tomados al azar, en sucesin y sin reemplazo. a)Cul es la probabilidad de que los tres sean defectuosos? b) Si en cada uno de las dos primeras se extrajo un defectuoso, cul es la probabilidad de que el tercero extrado sea bueno?. c)Si los dos primeros estaban buenos, Cul es la probabilidad de que el tercero extrado sea defectuoso? d)Cul es la probabilidad que los dos primeros sean buenos y el tercero defectuoso? Considerando los siguientes eventos: A = El primer fusible extrado es defectuoso. B = El segundo fusible extrado es defectuoso. C = El tercer fusible extrado es defectuoso. Del enunciado tenemos P(A) = 5/20, P(B/A) = 4/19 y P(C /AB) = 3/18 Para (a) notemos que la probabilidad que los tres sean defectuosos corresponde a la probabilidad de la interseccin de los sucesos recin definidos; esto es. P(ABC), aplicando la regla del producto y reemplazando los valores correspondientes tenemos P(ABC) = P(C /AB) P(B/A) P(A) = 3/18 x 4/19 x 5/20 = 0.0087 La pregunta (b) es una probabilidad condicional y corresponde a: P(Cc /AB) = 1 P(C /AB) = 1 3/18 = 15/18 = 0.83 Para la parte (c) tenemos que: P(C / Ac Bc) = 5/18 = 0.277 Finalmente, la probabilidad de que los primeros sean buenos y el tercero defectuoso est dada por P(Ac Bc Cc) = P(C / Ac Bc) P(Bc /Ac) P(Ac) = 0.15 Divide y vencers A1 A2 A3 A4 B Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (BA1) U (BA2 ) U ( BA3 ) U ( BA4 ) Nos permite descomponer el problema B en subproblemas ms simples. Teorema de la probabilidad total A1 A2 A3 A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B. P(B) = P(BA1) + P(BA2 ) + P( BA3 ) + ( BA4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + k iA E P A PA E P A PE A PA E P A P E PEj i A A AA A Akj j ji iiki i ij i ikik, 1 ,) / ( ) () / ( ) () / () / ( ) ( ) (., , ,1112 1= === = O =O=== tiene se 1.4 Teorema del s condicione mismas las BajoBayes) (de : tiene seevento cualquier para Entonces y decir, es, de particin una forman eventos los que Supongamostotal). ad probabilid la (de1.5. Teorema1.4. Teorema| Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son varones. De ellos el 10% son fumadores. De las mujeres, son fumadoras el 20%. Qu porcentaje de fumadores hay en total? P(F) = P(FH) + P(FM) = P(F|M) P(M) + P(F|H) P(H) =0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 = 0,13 =13% Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. Cul es la probabilidad de que sea un hombre? P(H|F) = P(F H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0,1 x 0,7 / 0,13 = 0,54 = 54% Mujeres Varones fumadores T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman Un Sist. Exh. Excl. De sucesos T. Bayes Expresin del problema en forma de rbol Estudiante Mujer No fuma Hombre Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2 P(H | F) = 0,1x0,7/P(F) Los caminos a travs de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. Podis resolver los problemas usando la tcnica de vuestra preferencia. Teorema de Bayes A1 A2 A3 A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(BA1) + P(BA2 ) + P( BA3 ) + ( BA4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B)Ai) P(B B) | P(Ai =A E P A P A E P A P E A P k j j j i i i ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( 1 = = tiene se 1.4 Teorema del condiciones mismas las Bajo Bayes) (de 1.5. Teorema Ejemplo El gerente de una empresa regional dispone de dos autos; uno proporcionado por la empresa y el otro de su propiedad. La probabilidad que utilice su auto es 2/5 y la probabilidad que utilice el auto de la empresa es 3/5. Adems se sabe que el gerente llega a tiempo a las reuniones de la empresa con probabilidad de 1/5 y que se utiliza el auto de la empresa, la probabilidad de llegar a tiempo a esas reuniones es 1/4. Cul es la probabilidad que llegue a tiempo a una reunin dado que utiliz su propio auto?. Dado que el gerente lleg a tiempo a la reunin, Cul es la probabilidad que haya utilizado el auto de la empresa? Definamos los siguientes eventos: A: el gerente utiliza auto propio. B: el gerente utiliza auto proporcionado por la empresa. C: el gerente llega a tiempo a las reuniones. Tenemos entonces de acuerdo al enunciado que: P(A) = 2/5, P(B)=3/5, P(C) = 1/5 y P(C/B) = 1/4 La primera pregunta corresponde a P(C/A). Del teorema de la probabilidad total tenemos P(C) = P(C /A) P(A) + P(C/B) P(B), de donde P(C /A) = [P(C) P(C/B)P(B)] / P(A) = [1/5 (1/4 x 3/5)] / (2/5) = 1/8 La segunda corresponde a P( B/C) y es una aplicacin directa del teorema de Bayes. En efecto: P(B/C) = [P(C/B) P(B)] / [P(C/B) P(B) + P(C/A) P(A) = [1/4 x 3/5] / [(1/4 x 3/5) + (1/8 x 2/5)] = 3/4 Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no aade informacin sobre el otro. En lenguaje probabilstico: A indep. B P(A|B) = P(A) Dicho de otra forma: A indep. B P(AB) = P(A) P(B) Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos A1 A2 A3 A4 Son una coleccin de sucesos A1, A2, A3, A4 Tales que la unin de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. Ejemplo Sean A y B dos sucesos independientes, entonces A y Bc son independientes. En efecto: ) ( ) ()] ( 1 )[ () ( ) ( ) () ( ) ( ) (ccB P A PB P A P B P A P A P B A P A P B A P= = = = As, de acuerdo a la definicin de independencia entre eventos, A y Bc son independientes. Ejemplo La probabilidad que un estudiante estudie para un examen final es 0.20. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es 0.80 en tanto que si no estudia, la probabilidad es de slo 0.50. Cul es la probabilidad que dicho estudiante apruebe su examen final?. Dado que aprob su examen, Cul es la probabilidad que l haya estudiado?. Consideremos los siguientes eventos: A: el estudiante estudia para el examen. B: el estudiante aprueba el examen. Del enunciado tenemos que: P(A) = 0.20, P(B/A)=0.80, P(B/Ac) = 0.50. La primera pregunta corresponde a la probabilidad de que B ocurra; esto es: P(B) = P(B /A) P(A) + P(B/Ac) P(Ac) = 0.56 reemplazando los valores correspondientes. Notemos que los eventos A y B no son independientes. Por otra parte, la probabilidad que el estudiante haya estudiado, dado que aprob su examen esta dada por: P(A/B) = P(AB) / P(B) = P(B/A)P(A) / P(B) = (0.8 x 0.2) / 0.56 = 0.286 Ejemplo Se extrae una carta al azar de un juego de naipes de 52 cartas. Dado que la carta extrada es un mono, nos interesa determinar la probabilidad que dicha carta sea de corazn. Consideremos los eventos: A: la carta extrada es de corazn B: la carta extrada es un mono En trminos probabilsticos, la pregunta corresponde a la probabilidad condicional de A dado B as: ntes. independie son mono" " y corazn" " eventos los y que lo por ) ( ) / ( , 25 . 0 52 / 13 ) (25 . 04152 / 1252 / 3) () () / (A P B A P A P B P B A PB A P= = == = = = Ejemplo Se usa un interruptor para cortar un flujo cuando este alcanza un cierto nivel de profundidad en un estanque. La confiabilidad del interruptor (probabilidad que trabaje cuando debe) se supone de 0.9. Un segundo tipo de interruptor es puesto en paralelo y su confiabilidad es 0.7. Los interruptores trabajan en forma independiente. a)Cul es la confiabilidad de la combinacin de los interruptores? b)Cul es la probabilidad, que cuando el flujo alcance el nivel de profundidad slo trabaje el primer interruptor? c)Cul es la probabilidad que cuando se alcance el nivel, slo uno de los interruptores trabaje? Considerando los siguientes eventos: A1 = Primer interruptor trabaja. A2 = Segundo interruptor trabaja. a) La confiabilidad del sistema est dada por la probabilidad del evento al menos uno de los dos interruptores trabaja, que corresponde a la probabilidad del evento A1 U A2 97 . 0 7 . 0 9 . 0 7 . 0 9 . 0) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (2 1 2 12 1 2 1 2 1= + = + + = + = A P A P A P A P A A P A P A P A A P b) Se debe determinar la probabilidad de A1 A2c, que corresponde al evento que el interruptor 1 trabaje y el 2 no. 27 . 0 )] ( 1 )[ ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 2 1 = = + = A P A P A P A P A A P c cc) Definamos los eventos: A: Slo trabaja el interruptor 1 = A1 A2c B: Slo trabaja el interruptor 2 = A1c A2 34 . 0 7 . 0 1 . 0 3 . 0 9 . 0) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1= + = + = + = A A P A A P B P A P B A P c c