probabilidad y estadística unidad iv

Probabilidad y estadística MEC 1023

Unidad IVTécnicas de muestreoTécnicas de muestreo

4.1. Muestreo aleatorio simple4.1. Muestreo aleatorio simple

• Muestreo es la acción de recolectar unMuestreo es la acción de recolectar un conjunto de datos de una población mediante una selección de éstauna selección de ésta.

• Para poder usar una muestra en una inferencia es necesario que sea aleatoria estoinferencia es necesario que sea aleatoria, esto es, que el azar intervenga en la selección de los elementos de la muestralos elementos de la muestra.

Muestreo aleatorio simpleMuestreo aleatorio simple

Muestra 1

Muestra 2

PoblaciónPoblación

Muestra n

Estadístico

• Establecer contacto con toda la población requeriría mucho

R

población requeriría mucho tiempo.

• El costo de estudiar a laRazones para

• El costo de estudiar a la población es demasiado alto.E i ibl ifimuestreo • Es imposible verificar físicamente a toda la población

• Si son pruebas destructivas

• Muestreo aleatorio

Tipos de

Muestreo aleatorio• Muestra aleatoria

t tifi dTipos de muestreo

estratificada• Muestra por clusterp• Muestra aleatoria sistemáticasistemática

Muestreo aleatorio simpleMuestreo aleatorio simple

• Muestra de tamaño n con la mismaMuestra de tamaño n con la misma probabilidad de ser seleccionada, entonces se dice que el muestreo es aleatorio El procesodice que el muestreo es aleatorio. El proceso se realiza sin devolución.

Muestra aleatoria estratificadaMuestra aleatoria estratificada

• Se requiere seleccionar una muestra aleatoriaSe requiere seleccionar una muestra aleatoria simple de cada una de varias subpoblacioneso estratoso estratos

Muestra por cluster (conglomerados)Muestra por cluster (conglomerados)

• Es una muestra aleatoria simple de unaEs una muestra aleatoria simple de una colección de elementos, de los racimos o clusters disponibles en la población Se usanclusters disponibles en la población. Se usan límites naturales geográficos o de otra clase, y estos son los seleccionados aleatoriamenteestos son los seleccionados aleatoriamente.

Ejercicio

• Se tiene un par de dados, los cuales se lanzan d l i d l d l i iy todo el universo de resultados es el siguiente

dado 1dado 2 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

Distribución muestral de la media

• Calculando la media para todos los resultadosCalculando la media para todos los resultados posibles, resulta

Dado 1Dado 2 1 1 5 2 2 5 3 3 5Dado 2 1 1.5 2 2.5 3 3.5

1.5 2 2.5 3 3.5 42 2.5 3 3.5 4 4.52.5 3 3.5 4 4.5 53 3.5 4 4.5 5 5.53.5 4 4.5 5 5.5 6

Datos de la distribución de medias

n= 36Moda= 3 5Moda= 3.5

Mediana= 3.5Media= 3.5

Pos 1er Q= 9.25Pos 3er Q= 27.751er Q= 2.53er Q= 4.5

Distribución muestral de la media

La gráfica anterior muestra un histograma con forma de di ib ió ldistribución normal.

Diagrama de caja del ejercicioDiagrama de caja del ejercicio

EstadísticoEstadístico

• Es una medida (de tendencia central oEs una medida (de tendencia central o dispersión) calculada de una muestra.

• El estadístico tiene variación dependiendo de l id i blla muestra y se considera una variable aleatoria.

4.2 Estimación puntual

• Definición Mendenhall et al (2006) páginaDefinición. Mendenhall, et. al. (2006) página 302. La distancia entre una estimación y el parámetro estimado se llama error deparámetro estimado se llama error de estimación.


1 − α1 − αα/2α/2 α/2α/2

α α

μμx

z xα σ/2z xα σ/2

Margen de error


• Error estándar (SE). Es la medición de laError estándar (SE). Es la medición de la variabilidad del estimador.

Para estimar la media poblacional μ de una población cuantitativa, el estimador puntual pob ac ó cua t tat a, e est ado pu tuaes no sesgado con error estándar estimado como


• El margen de error de 5% para un intervalo deEl margen de error de 5% para un intervalo de confianza de 95% cuando n ≥ 30 es estimado comocomo

4.3. Introducción a las distribuciones lmuestrales

• Distribuciones de muestreo SonDistribuciones de muestreo. Son distribuciones de probabilidad asociadas al estadístico analizadoestadístico analizado.

E l i ió d l ñ l• En la repetición del muestreo nos señalan que valores del estadístico puede ocurrir y la f i l dfrecuencia con la que esto sucede.

Distribución de muestreo para un díestadístico

• Mendenhall et al (2009) Es la distribución deMendenhall et. al. (2009). Es la distribución de probabilidad para los posibles valores del estadístico que resultan cuando sonestadístico que resultan cuando son seleccionadas repetidamente muestras aleatorias de tamaño n de la poblaciónaleatorias de tamaño n de la población.

Teorema de límite central para una mediamedia

• Walpole [9] Se tiene la media de una muestraWalpole [9].Se tiene la media de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población con media μ y varianza finita σ2p μ yentonces la forma límite de la distribución de

• Cuando n‐>∞, es la distribución normalCuando n > , es la distribución normal estándard

EjemploEjemplo

• Lind et al Página 299 De acuerdo con unLind et. al. Página 299. De acuerdo con un estudio del Internal Revenue Service, los contribuyentes tardan 330 minutos encontribuyentes tardan 330 minutos en promedio en preparar, copiar y archivar en un medio electrónico la forma fiscal 1040 Estamedio electrónico la forma fiscal 1040. Esta distribución de tiempos se rige por una distribución normal y la desviación estándardistribución normal, y la desviación estándar es de 80 minutos.

EjemploEjemplo

• Un organismo de control selecciona unaUn organismo de control selecciona una muestra aleatoria de 40 contribuyentes.1 ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la1. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la

muestra sea mayor que 320 minutos?2 ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la

muestra este entre 320 y 350 minutos?3. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la3. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la

muestra sea superior a 350 minutos?

EjercicioEjercicio

• Un horno de tratamientos térmicos entregaUn horno de tratamientos térmicos entrega engranes de acero SAE 8620 con una dureza superficial promedio de 57 en la escalasuperficial promedio de 57 en la escala Rockwell C. La desviación estándar es σ=1.45

EjemploEjemplo

– ¿Cuál es la probabilidad de que una¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 de estos engranes tenga una dureza superficial promediotenga una dureza superficial promedio mayor a 59? ¿La probabilidad de tener una dureza– ¿La probabilidad de tener una dureza superficial promedio entre 56 y 60? L b bilid d d d fi i l– ¿La probabilidad de una dureza superficial promedio menor a 54?

Distribución χ2Distribución χ

• Teorema,Walpole [9]. Si s2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal que tiene la varianza σ2, entonces el estadístico:

tiene una distribución χ2 con ν = n − 1tiene una distribución χ con ν n 1 grados de libertad.

Distribución χ2

• La distribución χ2 posee las siguientesLa distribución χ posee las siguientes propiedades, Bowerman [1]:

• 1) La curva es sesgada a la derecha• 1) La curva es sesgada a la derecha..• 2) La curva solo tiene valores positivos.• 3) Depende de los grados de libertad ν.

Distribución χ2

• Ejemplo Walpole ejercicio propuesto 1Ejemplo. Walpole, ejercicio propuesto 1, página 237. Para una distribución χ2

encuentreencuentre.– χ 0.025

2 cuando ν=15;χ 2 Cuando ν=7;– χ 0.01

2 Cuando ν=7;– χ 0.05

2 Cuando ν=24; 2 C d 9– χ 0.995

2 Cuando ν=9;– χ 0.99

2 Cuando ν=3;

En ExcelEn Excel

Usar comando prueba.chi(valorα, grados de libertad ν)

Ejemplo

• Walpole ejercicio propuesto 5 página 237Walpole, ejercicio propuesto 5, página 237. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones de unaaleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza σ2=6, tenga una varianza s2una varianza s– mayor a 9.1;Entre 3 462 y 10 745– Entre 3.462 y 10.745.

Encontrando la probabilidad αEncontrando la probabilidad α

Usar comando distr.chi(valor χ2, grados de libertad)

Distribución t (Student)

• La distribución t posee las siguientesLa distribución t posee las siguientes propiedades, Bowerman [1]:

1) La curva es simétrica y en forma de campana1) La curva es simétrica y en forma de campana x = μ.

2) L i é i l di2) La curva es simétrica con respecto a la media μ = 0.

3) La desviación estándar siempre es σ > 1, y depende de los grados de libertad ν.

Distribución t

4) Si los grados de libertad ν→∞ ( enden a infinito) la di t ib ió t i 1 d á i ldistribución t se aproxima a 1 y además se aproxima a la curva normal.Se tiene un estadístico con la siguiente formaSe tiene un estadístico con la siguiente forma

Distribución t

dividiendo entre

Distribución t

DesarrollandoDesarrollando

Distribución t

de la distribución χ2de la distribución χ

y por el teorema del límite central

Distribución t

Resulta enResulta en

Distribución t

• Ejemplo Walpole ejercicio propuesto 8Ejemplo. Walpole, ejercicio propuesto 8, página 238. Para una distribución t encuentre.

– t0.025 cuando ν=14;

– ‐t0.01 cuando ν=10;

– t0.05 cuando ν=7.

Ejemplo

• Walpole ejercicio propuesto 12 página 238Walpole, ejercicio propuesto 12, página 238. Una compañía manufacturera asegura que las baterías utilizadas en sus juegos electrónicosbaterías utilizadas en sus juegos electrónicos duran un promedio de 30 horas. Para conservar este promedio se prueban 16conservar este promedio se prueban 16 baterías mensualmente. Si el valor calculado de t cae entre –t0 025 y t0 025 la compañía estade t cae entre t0.025 y t0.025, la compañía esta satisfecha con la afirmación.

Ejemplo

• ¿Qué conclusión sacaría la empresa con una¿Qué conclusión sacaría la empresa con una muestra que tiene una media muestral de 27 5 horas y una desviación estándar s=527.5 horas y una desviación estándar s=5 horas? Suponga que la distribución de las duraciones de la batería es aproximadamenteduraciones de la batería es aproximadamente normal.

Distribución F

• La distrib ción F se define como la relación de• La distribución F se define como la relación de dos variables aleatorias χ2 independientes (U y V) cada una dividida por su número dey V), cada una dividida por su número de grados de libertad, esto se puede escribir

Distribución F

• donde U y V son variables aleatoriasdonde U y V son variables aleatorias independientes que tienen una distribución χ2

con ν1 y ν2 grados de libertadcon ν1 y ν2 grados de libertad, respectivamente

Distribución F

• La distribución F posee las siguientesLa distribución F posee las siguientes propiedades, Bowerman [1]:

1) La curva es sesgada a la derecha.2) La curva solo tiene valores positivos.3) Depende de los grados de libertad ν1 y ν2) p g 1 y 2

Distribución F

• Teorema Walpole[9] Si se escribe f (ν ν2 )Teorema. Walpole[9]. Si se escribe fα (ν1 , ν2 ) para fα con ν1 y ν2 grados de libertad, se obtiene:obtiene:

Distribución F

• Teorema Walpole[9] Si s21 y s22 son las varianzasTeorema. Walpole[9]. Si s 1 y s 2 son las varianzas de variables aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 que se sacan de poblaciones 1 y 2 q pnormales con varianzas, respectivamente entonces

ti di t ib ió F 1tiene una distribución F con ν1 = n1 − 1 y ν2 = n2 − 1.

Distribución F

• Ejemplo Walpole ejercicio propuesto 15Ejemplo. Walpole, ejercicio propuesto 15, página 238. Para una distribución F encuentre:

f con ν =7 y ν =5;– f0.05 con ν1=7 y ν2=5;– f0.05 con ν1=15 y ν2=7;f con ν 24 y ν 19;– f0.01 con ν1=24 y ν2=19;

– f0.95 con ν1=19 y ν2=24;f 28 12– f0.99 con ν1=28 y ν2=12.

4.4 Distribución muestral de la media4.4 Distribución muestral de la media

• En este tema se tratará la distribuciónEn este tema se tratará la distribución muestral de la media y la prueba de hipótesis relacionada con estarelacionada con esta.

Prueba de hipótesis con alternativa l l ( b d l )unilateral (o prueba de 1 cola)

Zona de h

Valor críticoZ d

rechazo

Zona de aceptación

z0.05=1.650.05

Prueba de hipótesis con alternativa l l ( b d l )unilateral (o prueba de 1 cola)

Prueba de hipótesis con alternativa b l l ( b d l )bilateral (o prueba de 2 colas)

Formulación de hipótesis estadísticasFormulación de hipótesis estadísticas

A continuación se establece un procedimiento para laA continuación se establece un procedimiento para la prueba de hipótesis.

1.‐ Se hace el planteamiento de una hipótesis nula.

2.‐ Establecer una hipótesis alterna.

3.‐ Agrupar los datos disponibles y realizar un análisis de los parámetros suministrados por la muestra.de los parámetros suministrados por la muestra.


4.‐ Escoger el nivel de significancia α, además de4. Escoger el nivel de significancia α, además de identificar una región crítica en base a la hipótesis alterna establecida.

5.‐ Evaluar los datos obtenidos con el estadístico5. Evaluar los datos obtenidos con el estadístico de prueba apropiado y obtener un valor P.

6.‐ Comparar parámetro evaluado vs la región crítica y de aceptación.crítica y de aceptación.


7 ‐Rechazar o aceptar la hipótesis nula en base7. Rechazar o aceptar la hipótesis nula en base a la comparación y el valor P.

8.‐ Determinar el intervalo de confianza dicorrespondiente.

9.‐ Probar la normalidad de los datos.

Prueba de hipótesis para la mediaPrueba de hipótesis para la media

• Se tienen el siguiente caso para la prueba deSe tienen el siguiente caso para la prueba de hipótesis para la media con σ conocida o muestra grande n>30muestra grande n>30.


• Se tienen el siguiente caso para la prueba deSe tienen el siguiente caso para la prueba de hipótesis para la media con σ desconocida o muestra pequeña n<30muestra pequeña n<30.

Ejemplo 1Ejemplo 1

• Ejemplo, Lind [3]. Una encuesta nacional recientej p , [ ]determinó que los estudiantes de secundariaveían en promedio 6.8 películas en DVD al mes.Una muestra aleatoria de 36 estudiantesUna muestra aleatoria de 36 estudiantesuniversitarios reveló que la cantidad media depelículas en DVD que vieron el mes pasado fue de6 2 d i ió tá d bl i l d6.2, con una desviación estándar poblacional de0.5. Con un nivel de significancia de 0.05 ¿Puedeconcluir que los estudiantes universitarios venqmenos películas en DVD que los estudiantes desecundaria?

Ejemplo 1Ejemplo 1

1) Plantear hipótesis1) Plantear hipótesis

Ejemplo 1Ejemplo 1

z0.05=‐1.65

Ejemplo 1Ejemplo 1

Ejemplo 1Ejemplo 1

Gráficamente esto esGráficamente, esto es

z0.05=‐1.65z=‐7 2z=‐7.2

Ejemplo 1Ejemplo 1

5) Comparar z vs valor crítico‐7.2<‐1.65

6) Conclusión:Los estudiantes universitarios ven menos películas en DVD que los estudiantes de secundaria.

7) Valor PP(z=‐7.2)=3.01x10‐13

Ejemplo 2Ejemplo 2

• Ejemplo Lind [3] El gerente de ventas delEjemplo, Lind [3]. El gerente de ventas del distrito de las montañas Rocallosas de RathPublishing Inc editorial de textosPublishing, Inc., editorial de textos universitarios, afirma que los representantes de ventas realizan en promedio 40 llamadasde ventas realizan en promedio 40 llamadas de ventas a la semana a profesores. Varios representantes señalan que el cálculo es muyrepresentantes señalan que el cálculo es muy bajo.

Ejemplo 2Ejemplo 2

• Una muestra aleatoria de 36 representantesUna muestra aleatoria de 36 representantes de ventas revela que la cantidad medias de llamadas realizadas la semana pasada fue dellamadas realizadas la semana pasada fue de 42. La desviación estándar de la muestra es de 2 1 llamadas Con el nivel de significancia de2.1 llamadas. Con el nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluir que la cantidad media de llamadas semanales por vendedor es dede llamadas semanales por vendedor es de más de 40?

Ejemplo 3Ejemplo 3

• Navidi (2011) Cierto tipo de polvo de aceroNavidi (2011). Cierto tipo de polvo de acero inoxidable debe tener partículas con un diámetro de μ=15 μm Una muestra aleatoriadiámetro de μ=15 μm. Una muestra aleatoria de 87 partículas tiene un diámetro de 15.2 μm con una desviación estándar de 1 8 μmμm, con una desviación estándar de 1.8 μm. ¿el diámetro medio de las partículas difiere de 15 μm?15 μm?

Ejemplo 4Ejemplo 4

• Navidi (2011) Un experimento mide la vidaNavidi (2011). Un experimento mide la vida útil de partes fabricadas con una cierta aleación de aluminio 73 elementos fueronaleación de aluminio, 73 elementos fueron cargados ciclicamente hasta la falla. El promedio de kilociclos de falla fueron 733 y lapromedio de kilociclos de falla fueron 733, y la desviación estándar fue 120. ¿La media de kilociclos de carga es inferior a 750?kilociclos de carga es inferior a 750?

Ejemplo 5Ejemplo 5

• Ross (2009) La resistencia media a la rupturaRoss (2009). La resistencia media a la ruptura de cierto tipo de fibra debe ser al menos 200 psi Experiencias anteriores indican que σ= 5psi. Experiencias anteriores indican que σ= 5 psi. Si una muestra de 8 fibras tienen los siguientes resultados: 210 198 195 202siguientes resultados: 210, 198, 195, 202, 197.4, 196, 199, 195.5.

• ¿Puede concluir a un nivel de significancia de• ¿Puede concluir, a un nivel de significancia de 0.05, si la fibra es inaceptable?

Ejemplo 6Ejemplo 6

• Navidi (2011) Como parte de un programa deNavidi (2011). Como parte de un programa de control de calidad para una línea de manufactura de catalizadores (alúmina y unmanufactura de catalizadores (alúmina y un espesante) son probados para su pureza. El proceso requiere que la pureza de la alúminaproceso requiere que la pureza de la alúmina sea más grande de 85%. Una muestra aleatoria de un embarque reciente de alúminaaleatoria de un embarque reciente de alúmina entrega los siguientes resultados (en porcentaje):porcentaje):

Ejemplo 6Ejemplo 6

• Se hace una prueba de hipótesis paraSe hace una prueba de hipótesis para determinar si se acepta el embarque.

93.2 87 92.1 90.1 87.3 93.6

Ejemplo 7Ejemplo 7

• Ross (2009) La publicidad de una marca deRoss (2009). La publicidad de una marca de automóvil dice que tiene un rendimiento promedio de combustible de 30 millas/galónpromedio de combustible de 30 millas/galón en autopista. Si las millas por galón obtenidas en 10 experimentos independientes son 26en 10 experimentos independientes son 26, 24, 20, 25, 27, 25, 28, 30, 26, 33. ¿Se debe creer la publicidad?creer la publicidad?

Ejemplo 8Ejemplo 8

• Navidi (2011) Se tiene que la especificaciónNavidi (2011). Se tiene que la especificación para el espesor de la pared una botella de 2 litros de policarbonato debe tener 4 milésimaslitros de policarbonato debe tener 4 milésimas de pulgada. Un ingeniero de control de calidad toma una muestra de 7 botellas de 2 litros detoma una muestra de 7 botellas de 2 litros de policarbonato provenientes de un lote grande y mide el espesor de la pared (en milésimas)y mide el espesor de la pared (en milésimas) en cada uno.

Ejemplo 8Ejemplo 8

• Los resultados son: 3 999 4 037 4 116 4 063Los resultados son: 3.999, 4.037, 4.116, 4.063, 3.969, 3.995 y 4.091. Probar si el diámetro promedio del espesor de la pared de la botellapromedio del espesor de la pared de la botella es 4 milésimas.

Ejemplo 9Ejemplo 9

• Navidi (2011) Una nueva mezcla de concretoNavidi (2011). Una nueva mezcla de concreto es diseñada para proveer la resistencia a la compresión adecuada para bloques decompresión adecuada para bloques de concreto. La especificación para una aplicación particular pide para los bloques unaaplicación particular pide para los bloques una resistencia a la compresión media supere 1350 kPa Una muestra de 100 bloques es1350 kPa. Una muestra de 100 bloques es producida y probada.

Ejemplo 9Ejemplo 9

• La resistencia a la compresión media obtenidaLa resistencia a la compresión media obtenida de la muestra es 1356 kPa con una desviación estándar de 70 kPa ¿Los bloques cumplen conestándar de 70 kPa. ¿Los bloques cumplen con la especificación? Usar α=0.10

4.5. Distribución muestral de p̃4.5. Distribución muestral de p

• En este tema se analizará la distribuciónEn este tema se analizará la distribución muestral de la proporción y la inferencia estadística para este parámetroestadística para este parámetro.

Prueba de hipótesis para la proporciónPrueba de hipótesis para la proporción

Ejemplo 1Ejemplo 1

• Lind. El National Safety Council informó queLind. El National Safety Council informó que 52% de los conductores estadounidenses que viajan por autopista de cuota es de género masculino. Una muestra de 300 automóviles que viajaron el día de ayer por la autopista de N J ló 170 l j bNew Jersey reveló que a 170 los manejaban hombres. Con un nivel de significancia de 0 010.01.

Ejemplo 1Ejemplo 1

• ¿Puede concluir que por la autopista de cuota¿Puede concluir que por la autopista de cuota de New Jersey manejaba una proporción mayor de hombres que lo indicado por las estadísticas nacionales?

Solución ejemplo 1Solución ejemplo 1

1) Plantear hipótesis1) Plantear hipótesis

2) Datos:


3) identificar región críticapor la hipótesis alterna H1 : p > 0.52, la región crítica es de una colaen este caso es una proporción con una muestra, nq0 = 300(0.48) = 144 > 5, np0 = 300(0.52) = 156 > 5, se usa la distribución z, quepara un α = 0.01, tiene el valor z0.01 = 2.3263


4) Evaluación de datos:z=1.6179


5) comparar t vs valor crítico,5) comparar t vs valor crítico,

1.6179 < 2.32631.6179 < 2.32636) Conclusión:No hay un número mayor de hombres enNo hay un número mayor de hombres en proporción, circulando por la autopista de New JerseyJersey

7) Valor P7) Valor PP (z = 1.6179) = 1‐0.9472=0.0528

Ejemplo 2Ejemplo 2

• Navidi (2011) Una muestra de 500 residentesNavidi (2011). Una muestra de 500 residentes en cierto pueblo, 274 dicen que se oponen a la construcción de un nuevo centro comercialla construcción de un nuevo centro comercial. ¿Puede concluir que más de la mitad de los residentes en este pueblo son opuestos a laresidentes en este pueblo son opuestos a la construcción del nuevo centro comercial?

Ejemplo 3Ejemplo 3

• Navidi (2011) En una muestra de 150 usuariosNavidi (2011). En una muestra de 150 usuarios en cierta ciudad, 110 tienen acceso a internet de alta velocidad ¿Puede concluir que másde alta velocidad. ¿Puede concluir que más del 70%?

Ejemplo 4Ejemplo 4

• Navidi (2011) Una máquina pulverizadoraNavidi (2011). Una máquina pulverizadora esta calificada para una tarea particular si se demuestra que produce menos del 8% dedemuestra que produce menos del 8% de partes defectuosas. En una muestra aleatoria de 300 partes 12 son defectuosas ¿basadosde 300 partes, 12 son defectuosas. ¿basados en esta información, la máquina califica?

Prueba de hipótesis para la varianzaPrueba de hipótesis para la varianza

Ejemplo 1Ejemplo 1

• Mendenhall Un fabricante de cemento dice queMendenhall. Un fabricante de cemento dice que su producto tiene una resistencia a la compresión con una desviación estándar de 10 kg/cm2 o g/menor a ésta. Una muestra de 10 mediciones arrojó una media y una desviación estándar de 312 kg/cm2 y 13.96 kg/cm2, respectivamente.

• ¿Hay suficiente evidencia para rechazar la y pafirmación del fabricante?

• Usar α= 0.05 .


1)Plantear hipótesis1)Plantear hipótesis.

2)Datos.


• 3) identificar región crítica por la hipótesis3) identificar región crítica por la hipótesis alterna H1 : σ > 10, la región crítica es de una cola α = 0 05 se evalúa el parámetro σ por locola, α = 0.05 se evalúa el parámetro σ por lo cual χ2

α,ν = χ20.05,9 = 16.919


χ20.05,9 = 16.919

4)Evaluar datos.


5) comparar χ2 vs valores crítico,5) comparar χ vs valores crítico,17. 539 > 16.919

6) Conclusión:6) Conclusión:

La desviación estándar es mayor a 10 kg/cm2La desviación estándar es mayor a 10 kg/cm

7) Valor P

P(χ2 = 17. 539, ν = 9)= 0.041

Ejemplo 2Ejemplo 2

• Una empresa planea el presupuesto para unaUna empresa planea el presupuesto para una nueva planta asumiendo que el costo promedio semanal para reparaciones debepromedio semanal para reparaciones debe tener una media de 1200 dólares. Para ver si esto es realista se toma una muestra de 10esto es realista, se toma una muestra de 10 plantas similares del corporativo, los resultados son: 1210 1420 1185 1110 1090resultados son: 1210, 1420, 1185, 1110, 1090, 1240, 1310, 1170, 1230, 1285.

Ejemplo 2Ejemplo 2

• La varianza del costo semanal deben ser 9000La varianza del costo semanal deben ser 9000 dólares.

• ¿El costo promedio semanal de reparaciones• ¿El costo promedio semanal de reparaciones para la nueva planta es realista? α =0.05

BibliografíaBibliografía

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probabilidad y estadística unidad iv

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