probabilidad y estadistica unidad 1. domingo melo m

8/17/2019 Probabilidad y Estadistica Unidad 1. Domingo Melo m.

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Probabilidad y estadística

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA MONTAÑA

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

ASIGNATURA: “PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

DOCENTE: ING. ULISES LÓPEZ MILLÁN

TEMA: UNIDAD I. TÉCNICAS DE CONTEO

PRESENTA:

MELO MONTALVO DOMINGO

2°A

TLAPA DE COMONFORT, GRO., A 01 DE ABRIL DE 2016.


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UNIDAD I. TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos

difíciles de cuantificar. Utilizando combinaciones, permutaciones y diagrama de

árbol, que proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre

un evento determinado.

1.1 PRINCIPIO ADITIVO

Este principio establece que si un evento se puede llevar a cabo en n o m lugaresdistintos, además de no ser posible que se lleve a cabo el mismo evento en doslugares distintos al mismo tiempo, entonces el evento se puede realizar de m + nmaneras diferentes.

EjemploUna persona puede pagar el servicio de agua potable en cualquiera de las 7 oficinasmunicipales o bien en cualquiera de los 30 bancos de la ciudad. ¿En cuántoslugares diferentes se puede pagar el servicio de agua potable?

Lugares en donde se puede pagar = n + m = 7 +30 = 37

Dependiendo del problema, algunas veces es necesario combinar la adiciónPor el producto como se muestra a continuación.

EjemploSupóngase que se desea etiquetar las gavetas de los alumnos de la Universidad, yque la etiqueta puede estar marcada con un solo digito, una sola letra o lacombinación de una sola letra con un solo digito (sin importar si primero se pone la

letra y después el digito o al contrario). Bajo estas condiciones, el número deetiquetas distintas que se pueden formar son:

Etiquetas = dígitos + letras + letras x dígitos + dígitos x letras = 10 + 27 + 27 x 10 +10 x 27 = 577

1.2 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Este principio establece que si una operación se puede hacer de n formas y cadauna de estas puede llevarse a cabo de m maneras distintas en una segundaoperación, se dice que juntas las operaciones pueden realizarse de n x m formas

distintas.

EjemploUn algoritmo tiene 3 procedimientos (A, B, C) y cada procedimiento tiene 4 ciclos(1, 2, 3, 4). ¿Cuantos ciclos tiene el algoritmo? Aplicando el principio fundamentaldel producto se tiene que total de ciclos = 3 x4 = 12


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El conjunto E de resul tados pos ibles es:

E = {Al, A2, A3, A4, Bl, B2, B3, B4, Cl, C2, C3, C4}

1.3 NOTACIÓN FACTORIAL

Se usa la notacion n! , “n factorial”, para denotar el producto de los enteros positivosde 1 a n , inclusive:

1.4 PERMUTACIONES

Las permutaciones son el número de formas distintas en que uno o varios objetospueden colocarse, intercambiando sus lugares y siguiendo ciertas reglasespecíficas para guardar un orden. También se puede considerar como todo arregloen el que es importante la posición que ocupa cada uno de los elementos queintegran dicho arreglo.

Ejemplo 2.6 Supóngase que la academia de sistemas y computación está integradaúnicamente por 3 maestros (Ignacio, Miriam y Jorge), y que con ellos es necesariointegrar un comité que estará conformado por un presidente, un secretario y unvocal. Supóngase que primero se selecciona a la persona que ocupara el puestode presidente, después a la que tendrá la función de secretario y finalmente a la quefungirá como vocal. ¿Cuantos tipos de arreglos se pueden formar?

Permu tacion es (P) = 3 x 2 x l = 6


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Como se ve, el presidente se puede seleccionar de 8 formas distintas, el secretariode 7 y el vocal de 6.Si n es el número de elementos del conjunto (n = 8 en este caso) y r es el númerode elementos que forman el comité (en este caso r = 3). La expresión anterior sepuede representar en función de n y r de la siguiente manera:

Sustituyendo n = 8 y r = 3, se tiene que:

En general, el número de permutaciones de n objetos diferentes, tomando se a lavez, se indica de la siguiente manera:

se ve que cuando r = n el número de permutaciones es n! :

Si se permiten repeticiones, entonces el número de permutaciones de objetos enbloques de tamaño r está dado por:

Ejemplo¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de la palabra “sal”?

a) Sin repetición y r = n. b) Con repetición y r = n. c) Sin repetición y r = 2. d) Con repetición y r = 2.

La respuesta en cada caso es la siguiente:


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a) 3! =6:

b) P(3, 3) = 33 = 27:

Algunas veces el tamaño del bloque es mayor que el número de objetos(r > n), y en este caso el número de permutaciones es

P(n, r ) = nr

P (2, 3) = 23 = 8

Ejemplo

En el sistema trinario son válidos los dígitos 0,1 y 2 de tal forma que:

a) El número de permutaciones en trinario en grupos de 2 sin que se repitanlos dígitos es:

b) El número de permutaciones en trinario en grupos de 2 con repetición es:

Algunas veces no todos los objetos son distintos, sino que parte de ellos se repiten.En este caso el número de permutaciones de n objetos de los cuales t1 son de untipo, t2 son de otro tipo distinto y tk son del k-ésimo tipo, está dado por


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en donde t 1+ t 2 +...+ t k = n.

n= número de objetosk= diferentes tipos de objetos

Ejemplo 2.11 Obtener las permutaciones de la palabra BEBE.Primero hay que observar que n = 4, ya que es el número de letras de la palabraBEBE, y que los tipos involucrados son

Por tanto se tiene que

Por medio de un árbol se obtiene que:

La lista de las permutaciones es

Permutaciones = {BEBE, BEEB, BBEE, EBEB, EBBE, EEBB}

Tipos de letras Letra

t1=2 B

t2=2 E


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CombinacionesCombinación es todo arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, endonde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo,esto es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de en medio o elque está al final del arreglo.

El número de combinaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, seencuentra dado por la expresión:

EjemploSupóngase que la academia de sistemas y computación está integradaúnicamente por 3 maestros (Ignacio, Miriam y Jorge), y que con ellos es necesarioformar un comité que estará integrado por un presidente, un secretario y un vocal.Suponiendo que no es importante quien ocupe cualquiera de los puestos,¿Cuantos tipos de arreglos se pueden formar?

En este caso r = n = 3 ya que se está tomando el total de los elementos paraformar el arreglo, por lo tanto:

Teorema del binomio


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Ejemplo

Obtener los factores del binomio (-3x + 2y2)2.


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FORMULAS

Principio aditivito1) (n + m + p)

Principio multiplicativo

2) (n × m)

Notación factorial

3) Para un entero > 0, n factorial (que se denota con n!) se define como

Permutaciones

4) Arreglos

n: número de objetos diferentesr: grupo o agrupación del objetos

Sin repeticiones

con repeticones

numero de permutaciones

n= número de objetos


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K= diferentes tipos de objetos

Combinación

Teorema del binomio


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