Clases de Factorizacin Mara Esperanza BenavidesCdigo :201410005317 Asignatura:CB1121 Calculo diferencial Grupo: 650

TECNOLOGA EN PROCESOS INDUSTRIALESFACTORIZACIN Es la descomposicin de una expresin matemtica su objetivo es simplificar una expresin o reescribirla en trminos de bloques fundamentales, que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un nmero en nmeros primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.FACTORES: Se llama factores o divisores de una expresin algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre s dan como producto la primera expresin.a(a+b)=a2+ab Tipos de factorizacin.Factor de monomioFactor comn monomio.Factor comn polinomio.Factor comn por agrupamiento.Trinomio cuadrado perfecto.Diferencia de cuadrados perfectos.Caso especial de cuadrados perfectos.Trinomio de la forma x2+ bx + cTrinomio de la forma ax2+bx + cSuma de cubos perfectos.Diferencia de cubos perfectos.

Factor Comn Sacar el factor comn es aadir al literal comn de unpolinomio,binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor comn de sus coeficientes.

Ejemplo N115ab = 3.5 ab

Ejemplo N29ba = 3.3 baEjemplo N320ab = 4a.5b

Ejemplo N425ba = 5b.5a Factor comn de un monomio:Es el factor que est presente en cada trmino del polinomio.a2+2a=a(a+2)

Ejemplo N1: cul es el factor comn monomio en 12x + 18y - 24z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 62x + 63y - 64z = 6(2x + 3y - 4z )6.2x= 12x , 6.3y =18y , 6.4z= 24z es decir, 6 es el factor comn de 12x,18y,24z

Ejemplo N 2 : Cul es el factor comn monomio en : 5a2- 15ab - 10 ac El factor comn entre los coeficientes es 5 y entre los factores de letra comn es a, por lo tanto: 5a2- 15ab - 10 ac = 5aa - 5a3b - 5a 2c = 5a(a - 3b - 2c )

Factor comn de un polinomio:Es el polinomio que aparece en cada trmino de la expresin.x(a+b)+m(a+b)EJEMPLO N 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) = Existe un factor comn que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) = ( a + b )( x + y )EJEMPLO N 2. factorizar 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )

Factor Comn por Agrupacin de TrminosLa agrupacin puede hacerse generalmente de ms de un modo con tal que los dos trminos que se agrupan tengan algn factor comn y siempre que las cantidades que queden dentro de los parntesis despus de sacar el factor comn en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresin dada no se puede descomponer por este mtodo. Ejemplo 1 :ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by) =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)7 EJEMPLO 2 : Factoriza: ap + bp + aq + bq Se extrae factor comn p de los dos primeros trminos y q de los dos ltimos , es decir: p(a + b ) + q( a + b ) Luego se saca factor comn polinomio ( a + b ) ( p + q )

Trinomio Cuadrado Perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales. Es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Es un polinomio de tres trminos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Ejemplo 1: a2+2ab+b2=(a+o-b)2Regla: Se extrae la raz cuadrada al primero y tercer trminos del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio as formado, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por s mismo p se, eleva al cuadrado.Ejemplo N2 a 2ab + b = (a + b) Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

El Cuadrado del 1er Termino 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino.

Ejemplo N3 Factorar: m + 6m + 9m + 6m + 9..m..............3Sacamos la Raz Cuadrada del 1er y 3er Trmino[ m ] y [ 3 ]= (m + 3) Ahora aplica la regla del (TCP), el cuadrado del 1er termino = m[ + ] 2 veces el 1er termino por el 2do; [2m].[3] = 6m [+] el cuadrado del 2do termino; [3] =9

= m + 6m + 9; si es un (TCP), ya que cumple la Regla.Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto.

Diferencia de cuadrados perfectos.Al estudiar losproductos notablestenamos que: En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el caso contrario:

Pasos:Se extrae la raz cuadrada de ambos trminos.Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raz del termino del binomio que es negativo).Ejemplo explicativo: Caso especial de cuadrados perfectosejemplo.Factorar: (a + b) - c(a + b) = (a + b) (a + b)-c [(a + b) + c] [(a + b) c] Quitamos los corchetes = (a + b + c) (a + b c)

Trinomio de la forma ax2+bx+cEste tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (x 2) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuacin:

Multiplicamos el coeficiente a de el factor a por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicacin indicada en el termino bx de la manera b(ax), y en el termino a de la manera .Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino ser la raz cuadrada del termino la que seria ax.al producto resultante lo dividimos entre el factor a, con el fin de no variar el valor del polinomio.El signo del primer binomio ser el mismo signo que tenga el termino bx, el signo del segundo binomio ser igual a la multiplicacin de los signos de bx y de c.Se buscaran los segundos trminos de los binomios segn los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplo de trinomio de la forma ax2+bx +c

Trinomio de la forma x2+bx+cCumplen las siguientes condiciones:El coeficiente del primer trmino es 1 El primer trmino es una letra cualquiera elevada al cuadrado.El segundo trmino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.El tercer trmino es independiente de la letra que aparece en el 1 y 2 trminos y es una cantidad cualquiera, positiva y negativa.x2+5x+6a2-2a-15

Trinomio de la forma =x2+ bx + cEjemplo: a2 -2a - 15Primero se buscan los factores del ultimo terminoSe necesita que sus factores sumados del el segundo termino-5+3= -22. Se pone 2 parntesis, en el primero va la letra de la incgnita y el signo del medio, en el segundo va la misma letra y la multiplicacin de los 2 signos .= (a 5) (a + 3)Los nmeros que se colocan son los de la descomposicin del 15.Cuando multiplican los signos, tiene que dar los mismo de resultado de la descomposicin.15 3 5 5 1 1

CUBO PERFECTO DE BINOMIOSPara que una expresin sea el cubo perfecto de un binomio debe:Tener cuatro trminos.Que el primer y cuarto trmino sean cubos perfectos.Que el segundo sea el triplo del cuadrado de la raz cubica del primer trmino por la raz cubica del cuarto termino.Que el tercer trmino sea el triplo de la raz cubica del primer trmino por el cuadrado de la raz cubica del ultimo termino.Si todos los trminos son positivos, la expresin dada es el cubo de las races cubicas del primer y ltimo trmino.Si los trminos son alternativamente negativos y positivos, la expresin dada es la diferencia de las races cubicas del primer y ltimo trmino.Ejemplos:

Suma de cubos perfectos.Esta factorizacin es igual a la de la diferencia de cuadrados, lo nico que cambia es el signo de la respuesta.Ejemplo: a + 8Se buscan las races cubicas.a 8a2=( a+2) Primer binomioEl primer termino se eleva al cuadrado, despus se resta la multiplicacin del primero por el segundo y luego se suma el segundo termino se eleva al cuadradoa(a) (2)=2a2=4Se multiplica el binomio con el trinomio, ese es el resultado= (a+2)(a-2a+4)

Diferencias de cubo perfectos. La factorizacin de la diferencia de los cubos es el factorizar 2 trminos los cuales son cubos perfectosEjemplo :X - 27Se buscan las races cubicas de los trminos :x 27x3= (x 3) primer binomioDe las races que sacamos, el primer termino se eleva al cuadrado, despus se suma la multiplicacin del primero por el segundo y luego se suma el segundo termino se eleva al cuadradoX(x) (3)=3x3=9- (x 3) (x + 3x + 9)Se expresa la multiplicacin del binomio y el trinomio, ese es el resultado

Bibliografa.http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3nhttp://answers.yahoo.com/question/index?qid=20090101172304AAcYhfbhttp://factorizaciondeexpresionesalgebraica.blogspot.com/2011/03/diferentes-tipos-de-factorizacion.htmlhttp://html.rincondelvago.com/factorizacion_3.htmlhttp://factori2zacion.blogspot.com/2013/04/factorizacion.html