factorizacion lu

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LU PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES METODOS NUMERICOS O2 - 5 CYNDY ARGOTE JONATHAN CELIS JONATHAN PEREZ JHONATAN QUINTERO LINA MARGARITA GOMEZ

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  • 1. LU PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES METODOS NUMERICOS O2 - 5 CYNDY ARGOTE JONATHAN CELIS JONATHAN PEREZ JHONATAN QUINTERO LINA MARGARITA GOMEZ

2. 3. DESCOMPOSICION LU

  • Su nombre se deriva de las palabras inglesas Lower" y Upper.
  • Estudiando el proceso que se sigue en la descomposicin LU es posible comprender el por qu de este nombre, analizando cmo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

4. PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MTODO DE DESCOMPOSICIN LU

  • Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
  • Resolver Ly = b (para encontrar y).
  • El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre y.
  • Realizar Ux = y (para encontrar x).
  • El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada x, la cual brinda los valores correspondientes a las incgnitas de la ecuacin.

5. 6. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])

  • Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
  • Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote.
  • Dicho factor es igual al nmero que se desea convertir en cero entre el nmero pivote.
  • Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posicin a cambiar (el valor en la posicin que se convertir en cero).

7. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])

  • Construir una matriz de igual orden que la matriz original con unos en la diagonal principal y ceros para los elementos que cumplan j > i.
  • Como los elementos debajo de la diagonal principal se ubican el mltiplo de Gauss usado en la descomposicin para conseguir el cero en la posicin correspondiente.

8. FACTORIZACION LU EJEMPLO N1

  • Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:
  • 4X1 -2X2 -X3 = 9
  • 5X1 +X2 -X3 = 7
  • X1 +2X2 -X3 = 12
  • 4 -2 -1 9
  • A = 5 1 -1 b =7
  • 1 2 -1 12

9. FACTORIZACION LU EJEMPLO N1

  • SOLUCION
  • 1.Se halla U:
  • 4 -2 -1
  • 51 -1 R2R2 (5/4)*R1
  • 12 -1 R3 R3 (1/4)*R1
  • 4 -2 -1
  • 0 7/2
  • 0 5/2 -3/4R3 R3 (5/2)/(7/2)*R2

10. FACTORIZACION LU EJEMPLO N1

  • SOLUCION
  • 1. Se halla U:
  • 4 -2 -1
  • U = 07/2
  • 0 0 -13/14
  • 2.Se halla L:
  • 1 0 0 1 0 0
  • L= ? 1 0 L =5/4 1 0
  • ? ? 1 5/7 1

11. FACTORIZACION LU EJEMPLO N1

  • 3. Se verifica L*U = A
  • 1 0 0 4 -2-1
  • 5/4 1 0x 07/2 =
  • 5/7 1 00-13/14
  • 4+0+0-2+0+0-1+0+0 4 -2 -1
  • 5+0+0-5/2+7/2+0-5/4+1/4+0=5 1 -1
  • 1+0+0-1/2 +5/2+0 -1/4+5/28-13/14 1 2 -1

12. FACTORIZACION LU EJEMPLO N1

  • 4.Se despeja Y de L*Y = b
  • 1 0 0Y1 9
  • 5/4 1 0 *Y2= 7
  • 5/7 1Y3 12
  • Y1= 9 Y1 = 9
  • 5/4Y1 + Y2 = 7 Y2 = -17/4
  • 1/4Y1 + 5/7Y2 +Y3 = 12 Y3 = 179/14

13. FACTORIZACION LU EJEMPLO N1

  • 5.Se despeja X de U*X = Y
  • 4 -2 -1X1 9
  • 0 14/4*X2=-17/4
  • 0 0 -13/14X3 179/14
  • 4X1-2X2 -X3 = 9 X1 = -17/13
  • 14/4X2+1/4X3 =-17/4 X2 = -3/13
  • -13/14X3 = 179/14 X3 = -179/13

14. FACTORIZACION LU EJEMPLO N2

  • Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:
  • 11X1 -3X2 -2X3 = 18
  • 5X1 -2X2 -8X3 = 13
  • 4X1 -7X2 +2X3 = 2
  • 11 -3 -2 18
  • A = 5 -2 -8 b =13
  • 4 -7 2 2

15. FACTORIZACION LU EJEMPLO N2

  • SOLUCION
  • 1.Se halla U:
  • 11 -3 -2
  • 5-2 -8 R2R2 (5/11)*R1
  • 4-7 2 R3 R3 (4/11)*R1
  • 11 -3 -2
  • 0 -7/11 -78/11
  • 0-65/1130/11R3R3 (-65/11)/(-7/11)*R2

16. FACTORIZACION LU EJEMPLO N2

  • SOLUCION
  • 1. Se halla U:
  • 11 -3 -2
  • U = 0-7/11-78/11
  • 0 0480/7
  • 2.Se halla L:
  • 1 0 0 10 0
  • L= ? 1 0 L =5/11 1 0
  • ? ? 1 4/11 65/7 1

17. FACTORIZACION LU EJEMPLO N2

  • SOLUCION
  • 3. Se verifica L*U = A
  • 1 0 0 11 -3-2
  • 5/11 1 0x 0-7/11 -78/11=
  • 4/11 65/7 1 00 480/7
  • 11+0+0-3+0+0-2+0+0 =11-3-2
  • 5+0+0-15/11-7/11+0-10/11-78/11+0=5-2-8
  • 4+0+0-12/11 -65/11+0-8/11+5070/77+480/7 = 4-72

18. FACTORIZACION LU EJEMPLO N2

  • SOLUCION
  • 4.Se despeja Y de L*Y = b
  • 1 0 0Y1 18
  • 5/11 1 0 *Y2= 13
  • 4/11 65/7 1Y3 2
  • Y1= 18 Y1 = 18
  • 5/11Y1+ Y2 = 13 Y2 = 53/11
  • 4/11Y1+ 65/7Y2 +Y3 = 2 Y3 = -345/7

19. FACTORIZACION LU EJEMPLO N2

  • SOLUCION
  • 5.Se despeja X de U*X = Y
  • 11 -3 -2X1 18
  • 0 -7/11-78/11 *X2=53/11
  • 0 0 480/7X3 -345/7
  • 11X1-3X2-2X3 = 18 X1 = 13/8
  • -7/11X2-78/11X3 =53/11 X2 = 7/16
  • 480/7X3= -345/7 X3 = -23/32

20. FACTORIZACION LU DIAGRAMA DE FLUJO factor = A i,k /A k,k A i,k= factor A i,j = A i,j- factor*A k,j 1 1 El numero de iteraciones se hacen de acuerdo al orden de la matriz. Para k = 1 Para k = 2 Inicio A, n, b2 Se almacenan los trminos de la matriz L K = 1, n-1 i = k+1, n j = k+1, n 21. FACTORIZACION LU DIAGRAMA DE FLUJO 2 Sustitucin hacia delante: L* Y= b sum = bi sum = sum A i,j *bi bi = sum 3 Se almacenan los nuevos b ( Y ) i = 2, n j = 1, i-1 22. FACTORIZACION LU DIAGRAMA DE FLUJO Sustitucin hacia atrs: U* X= Y 3 X n= b n /A n,n sum = 0 sum = sum + A i,j *X j X i= (b i sum)/A i,j Xi Fin! i = n-1, 1, -1 j = i+1, n i = 1, n 23. FACTORIZACION LU Referencias de consulta

  • http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matte20.pdf
  • http://www.ditutor.com/matrices/matriz_simetrica.html
  • http://www.cramster.com/reference/wii.aspx?wiki_name=Band_matrix
  • Chapra, Steven; Canale, Raymond. Mtodos nmericos para ingenieros. 3ra Edicin. Mc Graw Hill 2000.

24.

  • GRACIAS