12 factorizacion

26
INTRODUCCIÓN Las técnicas de factorización juegan un papel muy importante en el álgebra, porque permiten descomponer o reescribir una expresión algebraica, como el producto de dos o más factores. Ello resulta muy útil en situaciones donde se requiera simplificar una fracción, la cual posea expresiones algebraicas, entre otras situaciones. El manejo y comprensión adecuada de las técnicas de factorización es fundamental en temas concernientes del Cálculo Diferencial e Integral, como Límites, Derivadas e Integrales. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al finalizar el objetivo el estudiante estará en capacidad de: 1. Identificar una expresión algebraica factorizada. 2. Identificar las diversas causas de factorización. 3. Resolver ejercicios donde se empleen las técnicas de factorización. CONOCIMIENTOS PREVIOS Se requiere por parte de estudiante el manejo de los siguientes tópicos: Expresiones Algebraicas: nomenclatura, clasificación, reducción de términos semejantes. Polinomios: elementos, clasificación, operaciones. Productos Notables: reglas, tipos. Propiedades de la Potenciación: potencia de un producto, potencia de un producto de la misma base, potencia de una potencia. Propiedades de la Radicación. DEFINICIÓN DE FACTORES: Se denomina factores de una expresión algebraica, a las expresiones que multiplicadas entre sí generan la expresión algebraica original. ´ ´

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Page 1: 12 Factorizacion

INTRODUCCIÓN

Las técnicas de factorización juegan un papel muy importante en el álgebra, porque

permiten descomponer o reescribir una expresión algebraica, como el producto de dos

o más factores.

Ello resulta muy útil en situaciones donde se requiera simplificar una fracción, la cual

posea expresiones algebraicas, entre otras situaciones.

El manejo y comprensión adecuada de las técnicas de factorización es fundamental en

temas concernientes del Cálculo Diferencial e Integral, como Límites, Derivadas e

Integrales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Al finalizar el objetivo el estudiante estará en capacidad de:

1. Identificar una expresión algebraica factorizada.

2. Identificar las diversas causas de factorización.

3. Resolver ejercicios donde se empleen las técnicas de factorización.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Se requiere por parte de estudiante el manejo de los siguientes tópicos:

Expresiones Algebraicas: nomenclatura, clasificación, reducción de términos

semejantes.

Polinomios: elementos, clasificación, operaciones.

Productos Notables: reglas, tipos.

Propiedades de la Potenciación: potencia de un producto, potencia de un

producto de la misma base, potencia de una potencia.

Propiedades de la Radicación.

DEFINICIÓN DE FACTORES:

Se denomina factores de una expresión algebraica, a las expresiones que

multipl icadas entre sí generan la expresión algebraica original.

´ ´

Page 2: 12 Factorizacion

Ejemplo:

Expresión Algebraica Factores Número de

Factores

x x+ 2 x 3 x, x + 2, x - 3 3

3 4 7a a +2 a +1 4 7a, a, a, a +2, a +1 5

2 32 2y y +1 y-7

2 2y, y, y +1,y 1, y-7, y-7, y-7 7

2z , 2z 2

Los factores de una expresión algebraica pueden estar repetidos. Es así, como y – 7, es un

factor repetido en la tercera expresión algebraica de la tabla anterior.

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

Es descomponer un pol inomio en dos o más factores distintos de 1.

Importante resaltar, que no todo pol inomio admite factorización. Este

tipo de pol inomio se denomina pol inomio primo. Los pol inomios que se

pueden reescribir como el producto de dos o más factores se l laman

compuestos.

Ejemplo:

Polinomio Factores Primo Compuesto

1 2 3w w w 3 No Si

2p 1 Si No

Los siguientes casos de factorización tienen relación con polinomios compuestos o

expresiones algebraicas que es el producto de dos o más factores distintos de 1.

IMPORTANTE:

Todo polinomio es una expresión algebraica pero no toda expresión algebraica es un

polinomio.

Page 3: 12 Factorizacion

CONTENIDOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS CON LA

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El proceso de factorizar una expresión algebraica es el inverso al proceso de aplicar

una regla o fórmula de un producto notable.

2 2 22( ) x xx

CASOS DE FACTORIZACIÓN

1. FACTOR COMÚN

Si una expresión algebraica o polinomio tiene un factor común, éste factor

común está contenido o aparece en cada uno de los términos de la expresión

algebraica.

Factorización

Producto Notable

Productos

Notables

Potenciación

Factorización

Radicación

Polinomios

Expresiones Algebraicas

Page 4: 12 Factorizacion

Para identificar o determinar este factor común, se considera el dígito que es

divisor común de menor exponente de todos los términos y la variable o

variables de menor exponente.

Es decir:

En este caso en particular, el factor común es un término, el cual se denomina

monomio si es un polinomio.

De esta forma, la expresión algebraica factorizada es descompuesta en término

de dos factores, el primero de ellos el factor común y el segundo es una

expresión algebraica que multiplicada por el factor común es igual a la

expresión algebraica original.

EJEMPLOS ILUSTRADOS

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

4 3 8 614 16x y x y

Por lo cual:

4 3 8 6 4 3 4 314 16 2 7 8x y x y x y x y

15 10 57 3 9p p p

Por lo cual;

15 10 5 5 10 57 3 9 7 3 9p p p p p p

Factor

Común

Máximo

Común

Divisor

Factores Comunes

de

Menor Exponente

es es

decir

Divisor común de

menor exponente: 2

Variables de

menor exponente:

Factor

Común:

Variable de

menor exponente: 5p

Page 5: 12 Factorizacion

EJEMPLOS ILUSTRADOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

Respuestas

1. 3 2 315 60q v qv 2 215 4qv q v

2. 3 2 2 3 2 211 33 99a b c a b c a b 2 2 211 3 9a b abc b c

3. 13101 303w wz 12101 3w w z

4. 50 41 17 1340 36 18 12m m m m 13 37 28 42 20 18 9 6m m m m

5. 11 182 43 5 7x y x y x y

31 18 8 83 2 5x y x x y y

6. 2 1 1n n a na a a 1 1n na a a

7. 2 4 3 25 7m n m n n 3 2 35 7 1n n m nm

8. 3 4 4 6 5 34 8m n m n m n 3 3 3 24 8m n n n m m

2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Es un caso particular de la factorización por factor común. En el agrupamiento

de términos el factor común no es un monomio sino un binomio o una

expresión algebraica que contiene dos términos.

Como primer caso se agrupan términos semejantes y luego se extrae el factor

común que puede contener dos términos o más.

Factorizar las siguientes operaciones algebraicas:

a) py q qy p

py q qy p py qy p q Se agrupan términos semejantes

y p q p q

1p q y Se extrae el factor binomio común

Se extrae el factor común en cada término respectivamente

Page 6: 12 Factorizacion

b) 4 3 3 2 3 2m m n m mn n n

4 3 3 2 3 2 4 3 3 2 3 2m m n m mn n n m m n m mn n n

3 21 1m m n n m n

3 21 1m m n n m n

3 21m n m n Se extrae el factor trinomio

común

EJERCICIOS PROPUESTOS

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

Respuestas

1. 2 2 2l l lp p 21l l p

2. 3 2 1j j j 21 1j j

3. 2 2 2w w w 21w w

4. 2 3 6 1y e ey 1 3 2 1e y

5. 1 3 3q qk k 1 1 3q k

6. 6 4 3 2am ac bm bc 3 2 2m c a b

3. DIFERENCIA DE CUADRADO

El caso de factorización de diferencia de cuadrados es el proceso inverso de la regla

de producto notable del mismo nombre.

Esto es:

2 2x y x y x y

Como se observa la factorización contiene dos factores donde los términos

correspondientes son iguales, sin embargo, el signo de la mitad se intercala.

Se asocian los tres primeros

y los tres últimos términos

Se extrae el factor común

en cada paréntesis

Se extrae el “factor común” del

signo en el segundo paréntesis

Factorización

Producto Notable

Page 7: 12 Factorizacion

EJEMPLOS ILUSTRADOS

Los dos términos que aparecen en la expresión algebraica original son cuadrados

perfectos. Una cantidad es cuadrado perfecto, cuando es el cuadrado de otra

cantidad o si se le puede extraer la raíz cuadrada exacta.

Por ejemplo: 2 2yx y son cuadrados perfectos, porque son los cuadrados de “x” y

de “y” respectivamente. Además:

2 si x 0x x

2 si y 0y y

Recordando que 2 si x<0x x , es decir, si x es negativo; por la definición de valor

absoluto.

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

a) 2 4 6 6 4 1036 25x y z a b c

Se extrae la raíz cuadrada de cada término

2 4 6 2 4 6 2 336 36 6x y z x y z xy z

6 4 10 6 4 10 3 2 525 25 5a b c a b c a b c

Por lo cual 2 4 6 6 4 10 2 3 3 2 5 2 3 3 2 536 25 6 5 6 5x y x a b c xy z a b c xy z a b c

b)

4 10

6 8 4 2

16 100

49 9

p m

q r n k

Se extrae la raíz cuadrada de cada término para verificar que son cuadrados

perfectos

44 2

6 8 3 46 8

1616 4

49 749

pp p

q r q rq r

10 10 5

4 2 24 2

100 100 10

9 39

m m m

n k n kn k

En consecuencia:

4 10 2 5 2 5

6 8 4 2 3 4 2 3 4 2

16 100 4 10 4 10

49 9 7 3 7 3

p m p m p m

q r n k q r n k q r n k

Page 8: 12 Factorizacion

EJERCICIOS PROPUESTOS

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

Respuestas

1.

4 62 425

4

a bx y

2 3 2 32 25 5

2 2

a b a bxy xy

2.

2

4 42

4 62 2

169

100

w m

zx y

4 4 4 4

2 23 32 2 2 2

13 13

10 10

w m w m

z zx y x y

3. 4 2121 n nx a 2 211 11n n n nx a x a

4. 10 1025 13n mm n 5 5 5 55 13 5 13n m n mm n m n

5.

6 100

14 14

x y z a b c

x y

3 50 3 50

7 7 7 7

x y z a b c x y z a b c

x y x y

6. 50 666u 25 25666 666u u

7. 22 4a b m n 2 2ab m n ab m n

4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Es uno de los casos de factorización de mayor uso e importancia en el Álgebra y el

Cálculo.

Para identificar un trinomio cuadrado perfecto, dos términos son cuadrados

perfectos, generalmente el primer y tercer término; y segundo término es el doble

producto de las raíces cuadradas de los dos términos anteriores.

Una expresión es cuadrado perfecto, cuando es el cuadrado de otra cantidad.

Por ejemplo:

a) 29y es cuadrado perfecto, porque es el cuadrado de 3y

2 2

2 2

3 9 además

9 9 3 ; 0

y y

y y y y

b) 25x es cuadrado perfecto, porque es el cuadrado de 5x

Page 9: 12 Factorizacion

22

2 2

5 5 además

5 5 5 ; 0

x x

x x x x

El trinomio cuadrado perfecto está relacionado con los productos notables llamados

cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia. Esto es,

22 22a ab b a b

22 22a ab b a b

Es decir, el caso de factorización del trinomio cuadrado perfecto, es el proceso inverso

del desarrollo de los productos notables cuadrado de una suma y cuadrado de una

diferencia.

La factorización contiene dos factores, en este caso, un factor repetido

22 22a ab b a b a b a b

IMPORTANTE

Todo Trinomio Cuadrado Perfecto es un Trinomio, pero no todo Trinomio es Trinomio

Cuadrado Perfecto

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

a) 6 34 12 9x x

Se extraen las raíces cuadradas del primer y tercer término

626 6 34 4 2 2

9 3

x x x x

Factorización

Producto notable

Producto notable

Factorizar

Page 10: 12 Factorizacion

PROBLEMAS PROPUESTOS

Luego, como el segundo término es el doble producto de los resultados

anteriores

3 32 2 3 12x x

El trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto. Como todos los términos

son positivos el signo de la mitad en la factorización es positivo. Considerando

(*) y (**) se tiene

26 3 3

2 3

4 12 9 2 3

2 3 2 3

x x x

x x

b) 4 2 225 40 16a a b b

Se extraen las raíces cuadradas del primer y tercer término:

424 4 2

2 2

25 25 5 5

16 16 4 ; 0

a a a a

b b b b

El término de la mitad, es el doble producto de los resultados anteriores

2 22 5 4 40a b a b

Por tanto, el término dado es un trinomio cuadrado perfecto. Considerando (*)

y (**) se tiene:

2

4 2 2 2 2 225 40 16 5 4 5 4 5 4a a b b a b a b a b

El signo del medio es negativo, porque el signo del segundo término del

trinomio es negativo.

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

Respuestas

1. 6 32 1m m 3 1m

2. 10 5 5 10100 180 81x x y y

25 510 9x y

Page 11: 12 Factorizacion

3. 2 2

1 1 1

9 3 4x xy y

2

1 1

3 2x y

4. 2 2 4

1 2 1 2 2e e 2

21 2e

5.

4 2 4 8

100 50 100

z z w w

22 4

10 10

z w

6. 2 214 49x xy y

27x y

5. TRINOMIO DE LA FORMA 2x bx c

En este caso de factorización el coeficiente principal del trinomio es 1.

Recordando que el coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente

correspondiente a la variable de mayor exponente.

Esto es:

2 3 111x x

1 es el coeficiente de 2x

Es importante destacar que no todo trinomio de la forma 2x bx c admite

factorización o descomposición factorial.

La razón es porque las soluciones o raíces del polinomio son números

irracionales (expresiones decimales no periódicas infinitas) o son números imaginarios

(no son números reales).

Por ejemplo:

Polinomio Soluciones Tipo de Solución Comentario

2 11 17x x 1

2

1,859

9,14

x

x

Irracional

El Polinomio no

admite

Factorización

2 2 2x x 1

2

1

1

x i

x i

Imaginaria

: Unidad imaginariai

El Polinomio no

admite

Factorización

El trinomio de la forma 2x b c , es una de las cosas más emblemáticas de la

factorización de polinomios.

Page 12: 12 Factorizacion

EJEMPLOS ILUSTRATIVAS

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1) 2 78 77x x

En este trinomio el coeficiente principal es 1.

Paso 1:

El trinomio se escribe como el producto de dos factores

2 78 77x x x x

El primer término de cada factor es x.

Factorización del Trinomio de la forma

Es igual a factorizar el trinomio de la forma

Por determinar los números

Es decir, por determinar dos números cuya

suma algebraica sea igual al coeficiente de x

y que el producto de ambos sea igual al

termino independiente del trinomio

Page 13: 12 Factorizacion

Paso 2:

Se determinan dos números, cuya suma algebraica sea igual a 78 y que el

producto de ambas sea igual a 77.

Estos números se ubican por separado como el segundo término en los factores

de la descomposición. Entonces:

77 1 78

77 1 77

En consecuencia la factorización del polinomio es:

77 . 1 77

2 78 77 77 1x x x x

77 1 78

El orden de los factores es indistinto.

Los números a determinar se obtienen por tanteo numérico o en algunas

situaciones efectuando la descomposición en factores primos del término

independiente del trinomio 2x bx c (si es posible).

2) 2 7 1

6 2x x

Paso 1:

El trinomio se expresa como el producto de dos factores, donde el primer

término de cada factor es x

2 7 1

6 2x x x x

Paso 2:

Se determina en este caso, dos números racionales (fracciones) cuya suma

algebraica sea igual a 7

6 y que el producto de ambos sea igual a

1

2

3 1 7

2 3 6

3 1 3 1

2 3 6 2

Page 14: 12 Factorizacion

EJERCICIOS PROPUESTOS

En consecuencia: 3 1 1

2 3 2

2 7 1 3 1

6 2 2 3x x x x

3 1 7

2 3 6

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

Respuestas

1. 2 14 13x x 13 1x x

2. 2 16 80x x 4 20x x

3. 2 1 1

2 2y y

11

2y y

4. 2

1 5 1 36z z 1 9 1 4z x

5. 2 35 250p p 10 25p p

6. 2 99 100m m 1 100m m

7. 2 667 666k k 1 666k k

6. TRINOMIO DE LA FORMA 2ax bx c

Es un caso particular del trinomio de la forma 2x bx c . Se caracterizan

porque el coeficiente principal a es distinto de la unidad. Esto es:

2ax bx c

1a

Si se maneja adecuadamente la descomposición factorial de un trinomio de la

forma 2x bx c , no resulta una tarea complicada factorizar un trinomio de la forma

2ax bx c .

Recuerda: el coeficiente principal

de un polinomio es el coeficiente de

la variable de mayor exponente

Page 15: 12 Factorizacion

IMPORTANTE

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Cualquier trinomio de la forma 2ax bx c , con 1a no siempre admite

factorización, porque las soluciones del polinomio pueden ser números irracionales

(expresiones decimales no periódicas infinitas) o números imaginarios.

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1) 213 10 3x x

En este trinomio cuadrático, el coeficiente principal es 13 1a

Paso 1:

Se multiplica cada término por el coeficiente de 2x en este caso es 13.

Igualmente se divide por este coeficiente para que no se altere el trinomio original

213 13 13 10 13 3

13

x x

2 2

213 13 10 39

13 13.1313

x x

2

22 213 13 10 39

13 1313

x xx x

213 10 13 39

13 10 10 1313

x xx x

El primer y segundo término del numerador se expresa en términos de 13x

Paso 2:

El trinomio que aparece en el numerador de la última expresión se descompone

en dos factores, donde en cada factor el primer término es 13x , es decir:

2

13 10 13 39 13 13

13 13

x x x x

Paso 3:

Page 16: 12 Factorizacion

Para determinar los segundos términos de cada factor, se hallan dos números

cuya suma algebraica sea igual a -10 y que el producto de ambos sea igual a -39; los

cuales son -13 y 3, es decir:

2

13 10 13 39 13 13 13 3

13 13

x x x x

Paso 4:

Se extrae el factor común en el primer factor del numerador que es 13

13 13 13 3 13 1 13 3

13 13

x x x x

Paso 5:

Existe un factor de cancelación que es 13, el cual se simplifica, en consecuencia

213 10 3 1 13 3x x x x

2) 4 23 4 1p p

Es un caso particular o especial de la factorización de un trinomio de la forma

2ax bx c , con 0a .

En virtud, que 2

4 2p p , por lo cual el trinomio se puede expresar como:

2

4 2 2 23 4 1 3 4 1p p p p

Sin embargo la técnica de factorización sigue el mismo esquema del ejemplo

ilustrativo anterior.

Paso 1:

Se multiplica cada término del trinomio por el coeficiente de 4p que es 3.

También se divide por 3, para que la expresión no se altere algebraicamente.

4 23 3 3 4 3 1

3

p p

2 4 2

23 3 4 3

3.3 33

p p

13 3 10

13 3 39

13 3 se

obtienen por tanteo

y

Page 17: 12 Factorizacion

22 2

22 4 2

22 4

3 3 4 33 . 3

3

p pp p

p p

22 2

2 23 4 3 3

3 4 4 33

p pp p

El primer y segundo término del numerador se expresan en términos de 23p

Paso 2:

El término que aparece en el numerador de la última expresión se descompone

en dos factores, donde en cada factor es 23p , es decir:

2

2 2 2 23 4 3 3 3 3

3 3

p p p p

Paso 3:

Para determinar los siguientes términos de cada factor se hallan dos números

cuya suma algebraica sea igual a -4 y el producto de ambos números sea igual a 3, es

decir:

2

2 2 2 23 4 3 3 3 1 3 3

3 3

p p p p

1 3 4

1 3 3

Paso 4:

Se extrae el factor común en el segundo factor del numerador, el cual es 3

2 2 2 23 1 3 3 3 1 3 1

3 3

p p p p

Paso 5:

Existe un factor de cancelación que es 3, el cual se simplifica, en consecuencia

4 2 2 23 4 1 3 1 1p p p p

Por último, el factor 2 1p admite factorización, por ser una diferencia de

cuadrados, por tanto

4 2 23 4 1 3 1 1 1p p p p p

Page 18: 12 Factorizacion

EJEMPLOS PROPUESTOS

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

Respuestas

1. 25 2 13x x 5 3 1x x

2. 24 3 1x x 4 1 1x x

3. 2

1 10 1 1x x 2 9 10x x

4. 212 14 6y y 2 3 1 2 3y y

5. 215 6n np p 5 3 3 2n np p

6. 5 4 320m m m 3 4 1 5 1m m m

7. 22 3 2x x 2 2 1x x

8. 4 210 11 3u u 2 22 1 5 3u u

7. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

La expresión algebraica a factorizar es un binomio que es una suma o diferencia

de cubos perfectos.

Una expresión algebraica es cubo perfecto, si es el cubo de otra expresión

algebraica.

Cubos Perfectos Raíz Cúbica Comprobación

64 3 33 64 4 4

34 64

6125y 36 3 6 3 6 23 3 3125 5 5 5y y y y 3

2 65 125y y

Factorizar una suma o diferencia de cubos, es en la práctica aplicar fórmulas, esto es:

3 3 2 2a b a b a ab b

3 3 2 2a b a b a ab b

64 es un Cubo Perfecto

porque es el cubo de 4

Page 19: 12 Factorizacion

IMPORTANTE

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Los factores 2 2a ab b y

2 2a ab b no son trinomios cuadrados perfectos

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1) 6 9n nx y

La expresión se puede escribir como

3 3

6 9 2 3 1n n n nx y x y

De esta forma se tiene una diferencia de cubos, por lo cual, se emplea la fórmula

3 3 2 2 2a b a b a ab b

Particularizando, se tiene que

2 3n na x y b y

Esto último representa las bases respectivas de las potencias cúbicas en (1). De

esta forma, empleando (2) resulta

3 3

6 9 2 3n n n nx y x y

Recuerda: los signos son importantes

En la suma de cubos, en el primer factor el signo

de la mitad es positivo y el signo del segundo

término del segundo factor es negativo

En la diferencia de cubos, en el primer factor el

signo de la mitad es negativo y todos los

signos de los términos del segundo factor son

positivos

Page 20: 12 Factorizacion

EJERCICIOS PROPUESTOS

2 2

2 3 2 2 3 3n n n n n nx y x x y y

2 3 4 2 3 6n n n n n nx y x x y y

a) 3125 1000p

El binomio anterior se puede escribir como:

33 3125 1000 5 10 1p p

La expresión en (1) constituye una suma de cubos, por tanto, se emplea la

fórmula

3 3 2 2 2a b a b a ab b

Particularizando, se tiene que

35 10a y b p

De esta forma, empleando (2), resulta

33 3125 1000 5 10p p

225 10 5 5 10 10p p p

25 10 25 50 100p p p

25 1 2 25 1 2 4p p p

2125 1 2 1 2 4p p p

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

Respuestas

1. 9 1227m y 3 4 6 3 4 83 9 3m y m m y y

2. 4216x x 26 1 36 6 1x x x x

3. 3 3 6512x y x 2 2 2 2 48 64 8x yz x xyz y x

4. 6 6

a b c d 2 2 2 2 2 2 2 22 2 . 2 2a b c d ab cd a ab b ac ad bc bd c cd d

5. 3 6 9 12 15 18x y x u v z 2 3 4 5 6 2 2 6 2 3 4 5 6 8 10 12xy z u v z x y z xy z u v z u v z

Extrayendo el factor

común en ambos

factores

Page 21: 12 Factorizacion

8. CUBO DE UN BINOMIO

Este caso de factorización tiene una relación directa con los productos notables de

3

a b y 3

a b , esto es:

33 2 2 33 3 1a a b ab b a b a b a b a b

33 2 2 33 3 2a a b ab b a b a b a b a b

En (1) y (2), cada expresión factorizada contiene tres factores del mismo tipo.

La expresión a factorizar como el cubo de un binomio presenta las siguientes

características:

Factorización

Producto Notable

Factorización

Producto Notable

Cubo de

un

Binomio Cubo de una

Diferencia

Cubo de una Suma

Posee cuatro términos:

Dos términos son cubos perfectos, generalmente, el primer y cuarto

término:

Generalmente, el segundo término es el triple del cuadrado de la raíz

cúbica del primer término, multiplicado por la raíz cúbica del cuarto

término:

Page 22: 12 Factorizacion

EJEMPLOS ILUSTRADOS

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1) 3 2 2 38 36 54 27x x y xy y

Características:

i La expresión tiene cuatro términos

33 3 33 3 3 338 8 2 2 *ii x x x x

33 3 3 333 3 327 27 3 3 **y y y y

El primer y cuarto término son cubos perfectos

2 2 23 2 3 3 4 3 36iii x y x y x y

Lo que representa el segundo término de la expresión algebraica

2 2 23 2 3 3 2 9 54iv x y x y xy

Lo que representa el tercer término de la expresión algebraica.

Como todos los términos son positivas y al considerar (*) y (**), en la fórmula

3,a b resulta:

33 2 2 3

33 2 2 3

8 36 54 27 2 3

3 3

x x y xy y x y

a a b ab b a b

2) 3 6 9 2 4 6 4 5 6 2 3 8 10 12 12 15 183 3m p q m p q k l r mp q k l r k l r

Generalmente, el tercer término es el triple de la raíz cúbica del

primer término, multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del

cuarto término:

Si todos los términos son positivos es el cubo de una suma:

Si en signo de los términos son alternadamente positivas y negativas

es el cubo de una diferencia:

Page 23: 12 Factorizacion

EJERCICIOS PROPUESTOS

Características:

i La expresión algebraica tiene cuatro términos

33 6 9 3 6 9 2 33 3 3 *ii m p q m p q mp q

33 3 312 15 18 12 15 18 4 5 6 **k l r k l r k l r

Por tanto, el primer y cuarto término de la expresión algebraica son cubos

perfectos.

2

2 3 4 5 6 2 4 6 4 5 63 3iii mp q k l r m p q k l r

2

2 3 4 5 6 2 3 8 10 123 3iv mp q k l r mp q k l r

Como en la expresión algebraica a factorizar los signos positivos y negativos se

alternan y al considerar (*) y (**) en la fórmula de 3

a b resulta

3 6 9 2 4 6 4 5 6 2 3 8 10 12 12 15 18 2 3 4 5 63 3m p q m p q k l r mp q k l r k l r mp q k l r

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

Respuestas

1. 2 4 6216 756 882 343a a a

326 7a

2. 2 3 4 6 6 91 18 108 216a b a b a b

32 31 6a b

3. 9 6 5 3 10 1518 108 216a a b a b b

33 56a b

4. 6 4 2 2 38 12 6x x y x y y

322x y

5. 2 3 427 27 9x x x x

33x x

6.

3 2 1 1 2 3

3 3 ; , 0n n m n m mx x y x y y m n

31 1

n mx y

9. SUMA DE CUADRADOS PERFECTOS

Es un caso de factorización muy particular. No toda expresión algebraica que sea

una suma de cuadrados admite factorización o una descomposición factorial.

Page 24: 12 Factorizacion

EJEMPLOS ILUSTRADOS

Si la expresión es una suma de cuadrados perfectos, es posible descomponerla,

generalmente como el producto de dos factores, que contienen un trinomio (el cual no

es cuadrado perfecto).

La suma de cuadrados perfectos involucra:

y

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1) 2 416x y

Los dos términos del binomio son cuadrados perfectos, por lo cual:

2 216 16 4 * ; 0x x x x

41

4 4 222 **y y y y

Recuerda: 2 0x x si x

Luego, se genera un nuevo término que es el doble producto de (*) y (**):

2 22 4 8x y xy

De esta forma:

2 4 2 4 2 216 16 8 8x y x y xy xy

2 2 4 216 8 8x xy y xy

2

2 24 8x y xy

Para factorizar una Suma de Cuadrados Perfectos se suma

y resta una misma cantidad a la expresión original Clave:

Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto

Factorizar una Diferencia de Cuadrados

Se suma y resta 8xy2

Se asocian términos para crear una

diferencia

Trinomio Cuadrado Perfecto

Page 25: 12 Factorizacion

2 4 216 4x x y y y

22

24 8x y x y

2 24 8 4 8x y x y x y x y

2 24 8 4 8x y x y x y x y

Nota: los términos en cada factor no son trinomios cuadrados perfectos

2) 836 4u

Los dos términos del binomio son cuadrados perfectos, por lo cual:

36 6 *

81

8 5 8 4224 4 2 2 2 *u u u u u

Ahora bien, se genera un nuevo término, que es el doble producto de (*) y (**):

4 42 6 2 24u u

De esta forma:

8 8 4 236 4 36 4 24 24u u u u

4 8 436 24 4 24u u u

2

4 46 2 24u u

22

4 26 2 24u u

4 2 4 26 2 24 6 2 24u u u u

4 2 4 26 2 4 6 6 2 4 6 24 4 6u u u u

4 2 4 26 2 4 6 6 2 4 6 4 6 4 6u u u u

Se factoriza el Trinomio Cuadrado

Perfecto

Se crea una diferencia de Cuadrados

Se factoriza la diferencia de

Cuadrados

Por propiedad de los radicales

Se suma y resta

Se asocian términos para crear una diferencia

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto

Se crea una diferencia de cuadrados

Se factoriza la diferencia de cuadrados

Page 26: 12 Factorizacion

EJERCICIOS PROPUERSTOS

4 2 4 26 2 2 6 6 2 2 6 4 2u u u u

4 2 4 22 3 6 2 3 6u u u u

4 2 4 24 3 6 3 6u u u u

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

Respuestas

1. 44 1x 2 22 2 1 2 2 1x x x x

2. 1364m m 3 6 3 68 4 8 4m m m m m

3. 2 2x y 2 2x y xy x y xy

4. 4 4x y 2 2 2 22 2x y xy x y xy

5. 2 2

1 1x y 2 2 1 1 2 2 1 1x y x y x y x y

Se extrae el factor común en ambos

factores