FACTORIZACION

1.- FACTOR COMÚN

2xy+4y+2yz=2y(x+2+z)

Ejercicios:

*a^2+ab=a(a+b)

*a^3+a+a=a(a^2+2)

*〖24a〗^2 xy^2-〖36x〗^2 y^4=12xy^2 (2a^2-3xy^2 )

*a^20-a^16+a^12-a^8+a^4-a^2=a^2 (a^18-a^14+a^10-a^6+a^2-1)

2.- FACTOR COMÚN POR AGRUPACION

ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b)

Ejercicios:

*〖3m〗^2+6mn+4m-8n=3m(m-2n)+4(m-2n)=(3m+4)(m-2n)

*〖2x〗^2-3xy-4x+6y=x(2x-3y)-2(2x-3y)=(x-2)(2x-3y)

*3ax-3x+4y-4ay=3x(a-1)-4y(-1+a)=(3x-4y)(a-1)

*ax-ay+az+x-y+z=a(x-y+z)+(x-y+z)=(a+1)(x-y+z)

3.- FACTOR COMÚN POR AGRUPACION

a^2+ab+a^2 =〖(a+b)〗^2

Ejercicios:

*〖4x〗^2+25y^2-20xy =〖4x〗^2-20xy+25y^2=〖(2x-5y)〗^2

* 〖 y〗^2+bx+b^2/4=〖(x+b/2)〗^2

* 〖 a〗^2+2a(a-b)+〖(a-b)〗^2=[a+(a-b)]^2=〖(2a-b)〗^2

*1/4-b/3+b^2/9=b^2/9-b/3+1/4=〖(b/3+1/2)〗^2

4.- DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

(a-b)^2=(a-b)(a+b)

Ejercicios:

* 〖 a〗^10-〖49 b〗^12=(a^2-7b^6 )(a^2+7b^6)

* 〖 100m〗^2 〖 n〗^4-〖169 y〗^6=(10mn^2-7y^3 )(10mn^2+13y^3 )

*x^2/100-(y^2 z^4)/81=(x/10-(yz^2)/9)(x/10+(yz^2)/9)

* 〖 100m〗^2 〖 n〗^4-〖1/16 x〗^8=(10mn^2-1/4 x^4 )(10mn^2+1/4 x^4 )

5.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTOR POR ADICION Y SUSTRACCION:

(x^4+x^2 y^2+y^4+x^2 y^2)-x^2 y^2

(x^4+〖2x〗^2 y^2+y^4)-x^2 y^2

〖(x^2+y^2)〗^2-x^2 y^2

〖(x^2+y^2)〗^2-〖(xy)〗^2

[(x^2+y^2 )-(xy)] [(x^2+y^2 )+(xy)]

Ejercicios:

*4a^4+8a^2 b^2+9b^4=(4a^4+8a^2 b^2+9b^4+16a^2 b^2)-〖16a〗^2 b^2

(2a^2+3b^2 )-〖(4ab)〗^2

(2a^2+3b^2-4ab)(2a^2+3b^2+4ab)

*a^4-16a^2 b^2+36b^4=〖(a〗^4-16a^2 b^2+36b^4++4a^2 b^2)-〖4a〗^2 b^2

〖〖(a〗^4+6b^4)〗^2-〖4a〗^2 b^2

〖〖(a〗^4+6b^4)〗^2-〖(2ab)〗^2

(a^4+6b^4-2ab)(a^4+6b^4+2ab)

*49m^4-151m^2 n^2+81n^8=(49m^4-151m^2 n^2+81n^8+25m^2 n^2)-25m^2 n^2

(7m^2-9n^4 )-〖(5mn)〗^2

(7m^2-9n^4-5mn)(7m^2-9n^4+5mn)

6.- TRINOMIO DE LA FORMA x^2+bx+c:

x^2+5x+6=0

(x+3)(x+2)

Ejercicios:

*x^2-7x+6=(x+1)(x+6)

*a^2-13a+40=(a-8)(a-5)

*m^2-11m-12=(m-12)(m+1)

*n^2+28m-29=(n+29)(n-1)

*a^2-2a-15=(a-5)(a+3)

7.- TRINOMIO DE LA FORMA ax^2+bx+c:

〖15x〗^4-11x-12=0

(15x^2+20)(15x^2+9)/15=5(3x^2+4)3(5x^2+3)/15=(3x^2+4)(5x^2+3)

8.- CUBO DE UN BINOMIO

(a+b)^3=(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3)

(a-b)^3=(a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3)

Ejercicios:

(1+4a)^3=(1+12a+48a^2+64a^3)

(a^3-6b^5 )^3=(a^9-18a^6 b^5+108a^3 b^10-216b^15)

9.- CUBO PERFECTO

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Ejercicios:

*a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)

*1-8x^3=(1-2x)(1+2x+4x^2)

*[(a+b)^3+1]=[(a+b)+1][(a+b)^2-(a+b)+1]

10.- SUMA Y DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES

a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3 b+a^2 b^2-ab^3+b^4)

a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^5 b+a^4 b^2-a^3 b^3+a^2 b^4-ab^5+b^6)

Ejercicios:

* (x^7-1)/(x-1)=((x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1))/(x-1)=(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)

* (m^5+n^5)/(m^(2+) n^2 )=((m+n)(m^4-m^3 n+m^2 n^2-mn^3+n^4))/(x-1)=(m^4-m^3 n+m^2

n^2-mn^3+n^4)

EJERCICIOS GENERALES:

*a^2+ab=a(a+b)

* (2xy-2x+3-3)/(18x^3+15x^2-63x)=(2x(y-1)-3(y-1))/(3x(6x^2+5x-21))=((2x-3y)(y-1))/(3x(6x+14)(7x-

9))=((2x-3y)(y-1))/(3x(3x+7)(2x-3))=(y-1)/(3x(3x+7))

* (3x^2-12x-x^2 y+4y)/(18x^3+15x^2-63x)=(3x(x^2-4)-y(x^2-4))/(3x-(6x^2+5x-21)

)=(3x-y)(x^2-4)/( 3x(3x+7)(2x-3) )=((3x-y)(x-2)(x+2))/(3x(3x+7)(2x-3))

* ((x^2-y^2 )[x^4 y-(x^5 (x^2 y^6 )^(1⁄2) )^(1⁄3) ] )/((x-y)(x^3+x^2 y)-(x-y)/(x+y))^(-1) )= (x^2-y^2 )

[x^4 y×-(x^5 (xy^3 ) )^(1⁄3) ]/((x-y)(x^3+x^2 y)-(x-y)/(1/((x+y))))=((x^2-y^2 )[x^4 y-(x^6

y^3 )^(1⁄3) ] )/((x-y) x^2 (x+y)-(x-y)(x+y))=((x^2-y^2 )[x^4 y-x^2 y] )/((x-y)(x+y)(x^2-1))=((x+y)(x-y)

(x^2 y)(x^2-1))/((x+y)(x-y)(x^2-1))=x^2 y

* (((1+x)/(1-x)-(1-x)/(1+x)) x^2)/((1+x)/(1-x)-1)(1-1/(1+x)) =((((1+x)(1+x)-(1-x)(1-x))/((1-x)(1+x)))

x^2)/(((1+x)-(1-x))/(1-x))(((1+x)-1)/(1+x)) =((((1+2x+x^2)-(1-2x+x^2 ))/((1-x)(1+x)))

x^2)/((1+x-1+x)/(1-x))(x/(1+x)) =(((1+2x+x^2-1+2x-x^2)/((1-x)(1+x))) x^2)/(2x/(1-x))(x/(1+x))

=((4x/((1-x)(1+x))) x^2)/(((2x^2)/((1+x)(1-x))) )=((4x^3)/((1-x)(1+x)))/((2x^2)/((1+x)(1-x)))=(4x^3

(1+x)(1-x))/(2x^(2(1-x)(1+x)) )=(4x^3 (1+x)(1-x))/(2x^2 (1+x)(1-x))=2x

* ((x^2+x-6)/(x^2+4x+3))/((x^2-3x+2)/(x^2-1))=(((x+3)(x-2))/((x+3)(x+1)))/(((x-2)(x-1))/((x+1)(x-

1)))=(((x-2))/((x+1)))/(((x-2))/((x+1) ))=((x-2)(x+1))/(x-2)(x+1) =((x-2)(x+1))/(x-2)(x+1) =1

* (x-2)/((x^2-x) )-(x+3)/((x^2+3x-4) )+(x^2+12x+16)/((x^4+3x^3-4x^2 ) )=(x-2)/x(x-1) -(x+3)/(x+4)(x-

1) +(x^2+12x+16)/(x^2 (x+4)(x-1) )=(x(x-2)(x+4)-[(x+3) x^2 ]+x^2+12x+16)/(x^2 (x+4)(x-1) )=(x^2-

2x(x+4)-[x^3+3x^2 ]+x^2+12x+16)/(x^2 (x+4)(x-1) )=(x^3+〖4x〗^2-2x^2-8x-x^3-

3x^2+x^2+12x+16)/(x^2 (x+4)(x-1) )=(4x+16)/(x^2 (x+4)(x-1) )=(4(x+4))/(x^2 (x+4)(x-1) )=4/(x^2 (x-

1) )

* a/(ab-b^2 )-1/b=a/(b(a-b))-1/b=(a-(a-b))/(b(a-b))=b/(b(a-b))=1/(a-b)

* 1/(a^2+ab)+1/ab-(a^2+b^2)/(a^3 b+〖ab〗^3 )=1/a(a-b) +1/ab-(a^2+b^2)/a(a-b)(a+b)

=(〖b(a+b)+[(a+b)(a-b) ]-( a〗^2+b^2))/ab(a-b)(a+b) =(ab+b^2+ a^2-b^2-[a^2+b^2 ])/ab(a-b)(a+b)

=(ab+b^2+a^2-b^2-a^2-b^2)/ab(a-b)(a+b) =(ab+b^2+a^2-b^2-a^2-b^2)/ab(a-b)(a+b)

=(ab-b^2)/ab(a-b)(a+b) =b(a-b)/ab(a-b)(a+b) =b(a-b)/ab(a+b)(a-b) =1/a(a+b)

* (a^2-1 )/(a^2+2a) × (a^2-a-6)/(3a^2+7a+4) × (3a+4)/(a^2-4a+3)=(a-1)(a+1)/a(a+2) ×(a-3)

(a+2)/(3a+4)(a+1) ×(3a+4)/(a-3)(a-1) =((a+2))/a(a+2) =1/a

DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS

Dividir 〖3x〗^2-8+2x entre (x+2)

3x^2+2x-8 x+2

-3x^2-6x 3x-4 Respuesta= 3x-4

-4x-8

+4x+8

0

Dividir 3a^5-21a^4 b+10a^3 b^2+64a^2 b^3+32ab^4 entre a^3-5a^2 b-4ab^2

3a^5-21a^4 b+10a^3 b^2+64a^2 b^3+32ab^4 a^3-5a^2 b-4ab^2

-3a^5+15a^4 b+12a^3 b^2 3a^2-6ab-8b^2

-6a^4 b+22a^3 b^2+64a^2 b^3

6a^4 b-30a^3 b^2-24a^2 b^3

-8a^3 b^2+40a^2 b^3+32ab^4

8a^3 b^2-40a^2 b^3-32ab^4

0

* x^12+x^6 y^6-x^8 y^4-x^2 y^10 /x^8+x^6 y^2-x^4 y^4-x^2 y^6

x^12+0x^10 y^2-x^8 y^4+x^6 y^6+0x^4 y^8-x^2 y^10 /x^8+x^6 y^2-x^4 y^4-x^2 y^6

x^12-x^10 y^2+x^8 y^4+x^6 y^6 x^4-x^2 y^2+y^4

-x^10 y^2+0x^8 y^4+2x^6 y^6+0x^4 y^8

x^10 y^2+x^8 y^4-x^6 y^6-x^4 y^8

x^8 y^4+x^6 y^6-x^4 y^8-x^2 y^10

-x^8 y^4-x^6 y^6+x^4 y^8+x^2 y^10

0

* 11a^3-3a^5-46a^2+32 /8-6a-3a^2

-3a^5+0a^4+11a^3-46a^2+0a+32 /8-6a-3a^2

-3a^5+6a^4-8a^3 a^3-2a^2+3a+4

6a^3+3a^2-46a^2

-6a^3-12a^2+16a^2

-9a^2-30a^2+0a

9a^2+18a^2-24a

12a^2-24a+32

-12a^2+24a-32

0

SISTEMA DE ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS DE PRIMER GRADO

7x+4y=13

5x-2y=19

IGUALACIÓN

7x+4y=13 5x-2y=19

x=(13-4y)/7 x=(2y+19)/5

(13-4y)/7=(2y+19)/5

5(13-4y)=7(2y+19)

65-20y=14y+133

-20y-14y=133-65

-34y=68

y=-2

x=(13-4(-2))/7=3

REDUCCIÓN

1 (7x+4y=13) 7x+4y=13 7(3)+4y=13

2 (5x-2y=19) 10x-4y=38 4y=13-21

17x=51 y=(-8)/4=-2

x=51/17=3

SUSTITUCIÓN

7x=13-4y 5x-2y=19

x=(13-4y)/7 5((13-4y)/7)-2y=19

(65-20y-14y)/7=19

65-34y=19(7)

-34y=133-65

y=-68/34=-2

ECUACIONES CUADRÁTICAS

z^2-3z-7=0 x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(3±√(9+28))/2

x=(3±√37)/2

z^2+z-6=0 (z+3)(z-2)

z_1=-3 z_2=2

PROBLEMAS

Un hombre tiene 7 años más que su esposa, hace 10 años tenía el doble de edad que ella.

¿Cuántos años tiene él?

H= ×+7=24 2×-10=×+7

M=×=17 2×-×= 10+7

×=17

Un maestro propone 16 problemas a una estudiante y le promete 3 puntos por cada uno

de los problemas que resuelva bien. A condición de que le quitara 1 punto por cada uno de los

problemas que resuelva mal. Si al final el maestro y el estudiante no se deben puntos. Entonces la

cantidad de problemas que el estudiante resolvió bien es :

M= 16-×=12 3×=1(16-×)

B=×=4 3×+×= 16

4×=16

×=4

Un propietario de una tienda vende uvas negras a $ 2.60 la libra y uvas verdes importadas

a $ 3.50 la libra. Al fin de semana descubre que las uvas verdes no se venden bien, y decide hacer

fundas con una mezcla de uvas negras y verdes de 3 libras, que se venderán en $ 2.9 la libra.

¿Cuántas libras de cada una deberá mezclar para mantener el mismo ingreso como si las vendiera

separadas?

3-x= uvas negras=2,60=2lb 2,6(3-x) +3,5x=8,70

x=uvas verdes=3,50=1lb 7,80-2,60x+3.5x=8,70

0,90x=0,90

×=1

En una clase de Informática hay 52 estudiantes. Si el número de hombres es 7 más que el

doble de mujeres. Determine el número de mujeres que hay.

H= ×=37 2(52-×)=×

M=52-×=15 104-2×+7= x

104+7=3x

111=3x

×=37

Un padre es 3 veces mayor que su hijo. En 12 años él tendrá el doble de la edad de su hijo.

¿Qué edad tienen?

P= 3×=36 2(×+12)=3×+12

H=×=12 2×+24= 3x+12

2×-3x=12-24

×=12

Susana tiene 3 monedas más de 5 centavos que de 10, y 5 monedas más de 10 centavos

que las de 25. En total tiene $ 2.10. ¿Cuántas monedas de cada una tiene?

5=×+3=11

10=×=8 0,05×+0.15+0,10x+0,25x-1,25=2,10

25=x-5=3 0,05×+0,10×+0,25x=2,10+1,25-0,15

0,40×=3,20

×=8

La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace 10 años la suma de las edades

era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una?

C= 2×=24 2x-10+x-10=2x

M=×=20 3×-20= 2x

3×-2x=20

×=20

La edad de A hace 5 años eran los 9/11 de la edad que tendrá dentro de 5 años. Hallar la

edad.

A=x x-5= 9/11(×+5)

11(×-5)= 9x+45

11×-55=9x+45

2×=100

×=50

Hace 10 años la edad de un padre era el doble que la de su hijo, y dentro de 10 años la

edad del padre será 3/2 de la edad de su hijo.

p= ×=50 ×-10=2(y-10)

H=y=30 x+10= 3/2(y+10)

x=2y-10 2x=3y+10

x=2(30)-10 2(2y-10)=3y+10

×=60-10 4y-20=3y+10

×=50 y=30

A tiene la mitad de lo que tiene B pero si B le da a A $ 24, ambos tendrán lo mismo.

¿Cuánto tiene cada uno?

B=×=96 x/2+24=x-24

A=×/2=48 ×+48= 2x-48

2×-x=48+48

×=96

A y B empiezan a jugar , teniendo B los 2/3 de lo que tiene A. Cuando B ha ganado $22

tiene los 7/5 de lo que le queda a A. ¿Con cuanto empezó a jugar cada uno?

A=×=72 2/3 x+22=7/5(x-22)

B=(2 )/3 x=48 5(2×+66)=3(7x-154)

10×-21x=-462-330

-11×=-792

×=72

La edad de B es 3/5 de la edad de A, y la de C es los 3/8 de la de B. Si las tres edades

suman 73 años ¿Cuál es la edad que tiene cada una?

A=×=40 ×+3/5 x+3/8(3/5 x)=73

B=(3 )/5 x=24 x+3/5 x+9x/40=73

B=3/8 { (3 )/5 x}=9 40×+24x+9x=73(40)

73×=2920

×=40

De un tanque lleno de agua con capacidad de 400 litros, se extrae 1/5 de agua el día lunes,

1/4 del agua restante el día martes y 9/30 del agua que queda del tanque el día miércoles.

Entonces ¿Cuánta cantidad de agua queda en el tanque para el día jueves?

400-80= 1/4 320=80

320-80= 240 3/10=72

240-72=168

×=168

Dalton tiene ahorrado $40 en monedas de 0.10 y 0.50 centavos. El sabe que en su alcancía

hay en total 160 monedas. ¿Cuántas de 10 y de 50 centavos hay?

D=×=100 0,10×+0.50(160-x)=40

C=160-x=60 0,10×+80-0,50x=40

-0,50×+0,10x=40-80

0,40x=40

x=100

Si un joven ha ganado $84 por haber trabajado x días, y si el joven hubiera cobrado 1 dólar

menos debería haber trabajado 2 días más para ganar $84. ¿Cuántos días trabajó y cuanto ganó?

×y=84

y-1(x+2)= 84}

y-1( 84/y+2)= 84

y-1(84+2y)=84y

84y-84+2y^2-84=84y

2y^2-2y-84=0

y^2-y-42=0

(y-7)(y+6)=0

y=7

PLANOS CARTESIANOS

RECTAS: ECUACION DE LA RECTA y=mx+b

PENDIENTE: M_(1=) M_(1 ) paralela M_2=1/M_(1 ) perpendicular

Encuentre la pendiente de la recta perpendicular a la recta=3x-2y-6

2y=3x-6

y=3/2 x-6/2

M_1=3/2 M_2=(-2)/3

Encuentre la pendiente de la recta perpendicular a la recta = 4x+5y-20=0

5y=20-4x

y=-4/5 x+4

M_1=(-4)/5 M_2=5/4

Encuentre la pendiente de la recta perpendicular a la rectax/3+y/4=1

4x+3y=12

3y=12-4x

y=-4/3 x+4

M_1=(-4)/3 M_2=3/4

ECUACION DEL PUNTO Y PENDIENTE

y-y_1=m(x-x_1)

ECUACION PARA HALLAR LA PENDIENTE CON DOS PUNTOS

M=(Y_2-Y_1)/(X_2-X_1 )

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,1) y tiene m=5

y-1=5(x-2)

y-1=5x-

y=5x-9

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,-1) y (4,5)

y-y_1=(Y_2-Y_1)/(X_2-X_1 )(x-x_1)

y+1=(5+1)/(4-3)(x-3)

y+1=(6(x+3))/1

y+1=6x-18

y=6x-19

Una recta pasa por los puntos (1,2) y (2,1). Determine las coordenadas de los puntos en

donde esta recta corta a los seres coordenados.

M=(Y_2-Y_1)/(X_2-X_1 )

M=(1-2)/(2-1)=(-1)/1=1

y-y_1=m(x-x_1)

y-2=-1(x-1)

y=-x+3 b=3

x=3-y (0,3) (3,0)

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y es paralela a la recta 4x-y-

1=0

4x-y=1 y-y_1=m(x-x_1)

y=4x-1 y+1=4(x-1)

m=4 y=4x-4-1

y=4x-5

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y es perpendicular a la recta

-5x+y-6=0

-5x+y-6=0 y-y_1=m(x-x_1)

y=5x+6 y+1=-1/5(x-1)

m=5 y=-1/5 x+1/5-1

m_2=-1/5 y=-1/5 x-4/5

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (-1,4)

M=(Y_2-Y_1)/(X_2-X_1 ) y-y_1=m(x-x_1)

M=(4-1)/(-1+0)=3/(-1)=-3 y-1=-3(x-0)

y=-3x+1

Sea la recta 7x-5y=5, determinar los valores de A y de B para que los puntos (a,2) y (0,b)

pertenezcan a esta recta.

5y=7x-5

y=7/5 x-1 7x=5+5y

x=5/7+5/7 y

a=15/7 x=5/7+5/7(2)

b=-1 x=15/7

DISTANCIA DE DOS PUNTOS

d=√((x_2-x_1 )^2+(〖y_2-y_1)〗^2 )

Encuentre la distancia entre los puntos (1,2) y (2,1)

d=√((2-1)^2+(〖1-2)〗^2 )

d=√((1)^2+(〖-1)〗^2 ) des x=x_2-x_1 elev y=y_2-y_1

d=√2 des x=2-1 elev y=2-1

d=1,41 des x=1 elev y=1

Si p es el punto (1,a) y su distancia al punto (6,7) es de 13. Determine el valor de A.

P_1=(1,a) d=√((x_2-x_1 )^2+(〖y_2-y_1)〗^2 )

P_2=(6,7) d^2=(√((x_2-x_1 )^2+(〖y_2-y_1)〗^2 ) )^2

(7-a)^2=169-25

(7-a)^2=√144

7-a=12

a=7-12

a=-5