productos notables y factorizacion

20
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

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Page 1: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

PRODUCTOS NOTABLESY

FACTORIZACIÓN

Page 2: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

2

¿Cómo se puede desarrollar el siguiente binomio?

47 3x

Page 3: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

3

n = 0

¿Cómo se puede desarrollar el siguiente binomio?

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = 1a + 1b

(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal1

47 3x

1 Traité du triangle arithmétique

Page 4: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

4

LOGROS

Utiliza el método de completar cuadrados para expresar un polinomio de segundo grado como suma de cuadrados.

Reconoce cuando un polinomio está factorizado o no.

Factoriza un polinomio.

El alumno, al término de la clase: Reconoce cuando un polinomio está factorizado o no.

Factoriza un polinomio.

Page 5: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

5

Los productos notables son un grupo de multiplicaciones algebraicas muy frecuentes, que se han identificado como fórmulas, y que nos permiten escribir directamente el resultado abreviando así los cálculos.

Productos Notables

2a b Ejemplos

2a b

( )( )a b a b

2 22a ab b

2 22a ab b2 2a b

Page 6: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

6

254 3x

Ejemplo

Expandir las siguientes expresiones:

5 54 7 4 7x x

a.

b.

c.

d.

23 52 3x y

5 53 33 3x xy y

¿ ( 4 𝑥5 )2

−2 ( 4 𝑥5 ) (3 )

+(3 )2

¿ ( 4 𝑥5 )2

−2 ( 4 𝑥5 ) (3 )

+(3 )2

¿ ( 4 𝑥5 )2+(3 )2

¿ ( 4 𝑥5 )2+(3 )2

Page 7: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

7

Una las siguientes expresiones

2( ) 14 49P x x x

27 4x

24 3 1x

2( ) 14 45Q x x x

2( ) 4 24 36R x x x

27x

22 6x

2( ) 4 24 37S x x x

Practiquemos un poco….

Page 8: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

8

2 2 22( )( ) ( ) ( ) 38

Método de completar cuadradosUtilizando el método de completar cuadrados exprese el polinomio P en la forma y determine los valores de a, h y k.

2( ) ( ) ,P x a x h k

2( ) 14 38P x x x 2( ) 14 38P x x x

Solución

Trinomio cuadrado perfecto

27x 2 37 8 2( ) ( 7) 11P x x

x x 7 7 7

Donde: a = 1, h = – 7 y k = –11

Por lo tanto, 2( ) ,a hx k

Page 9: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

9

Ejemplo 47. Utilizando el método de completar cuadrados

exprese el polinomio P definido por en la

forma y determine los valores de a, h y k.2( ) ( ) ,P x a x h k

2( ) 10 9P x x x

Ejemplo 48. Utilizando el método de completar cuadrados

exprese el polinomio P definido por en la

forma y determine los valores de a, h y k.2( ) ( ) ,P x a x h k

2( ) 3 15 2P x x x

Page 10: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

FACTORIZACIÓN

( 3)( 3)x x 2 9x

Una idea intuitiva del significado de factorizar una expresión

MULTIPLICACIÓN

10

¿qué entiendes por factorizar? ¿es cierto que una expresión esta factorizada si es el producto de dos o más factores? O ¿es necesario establecer una condición adicional?

Page 11: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

FACTORIZACIÓN

11

Entenderemos por factorización el expresar un polinomio como producto de otros polinomios de menor grado y que además deben ser primos (es decir que a su vez no se podrían expresar en otros polinomios de menor grado).

Nota: Un polinomio primo es aquel polinomio que no se puede expresar como un producto indicado de polinomios de grados menores que el suyo. Ejemplo: Los polinomios de primer grado, y polinomios de la forma , , etc.2 7x 2 5x

Page 12: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

( 2)( 2) 5x x

¿Cuál de las siguientes expresiones está factorizada?

Ejemplo 1

No está factorizada por la adición en el término final.

Debería obtenerse sólo productos.

(2 3)( 5)( 4)x x x

2 4x

b.

c.

d.No está factorizada porque se puede

expresar como producto de (x+2) y (x-2)

a. 2 5x

12

Page 13: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

Ejemplo. Factorice:

a. P(x) = 15x2 +25xy+20yx3

= 5x(3x +5y+4yx2)

b. P(x;y)=2x(3x – 1) + y(1–3x)+2(3x – 1) = (3x – 1)(2x – y +2)

Factor común

Factor común

13

Técnicas de factorización

Page 14: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

Ejemplo. Factorice:

a. P(x) = 12ax2 + 3bx2 – 20ay – 5by

= (4a + b)

= 12ax2 + 3bx2

= 3x2 (

Factor común binomio

+ b)

– 20ay – 5by

4a + b) – 5y ( 4a

(3x2 – 5y)

14

Page 15: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

2( ) 4 3P x x x 4x

( ) (4 3)( 1)P x x x

x31

Ejemplo 54. Factorice:

3x4xx

15

Page 16: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

2 2( ) 3 7 2Q x x y xy 3xy

( ) (3 1)( 2)Q x xy xy

xy12

Ejemplo 55. Factorice:

xy 6xy 7xy

16

Page 17: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

17

a. 16x4 – y2 = (4x2) 2 – y2 = (4x2 – y) (4x2 + y)

b. 81x6–y4 = (9x3) 2 – (y 2)2 = (9x3 – y2) (9x3 +y2)

Ejemplo. Factorice:

Polinomio primo Polinomio primo

Polinomio primo Polinomio primo

c. q3–36qp2 = q[q2 – 36p2] = q(q – 6p)(q + 6p)

= q[(q)2 – (6p)2]

Page 18: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

Teorema del factor

Si P(x) es un polinomio y a es un número tal que P(a) = 0

entonces decimos que a es un cero de P(x). También

podemos decir que (x – a) es un factor de P(x).

El teorema del factor nos da a entender que podemos reescribir al polinomio P(x) así: P(x) = (x – a).Q(x)

G. Factorización usando la división de polinomios

18

Page 19: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

UTILICEMOS EL MÉTODO DE RUFFINI PARA ENCONTRAR UN DIVISOR DE . VERIFIQUEMOS SI ES UN DIVISOR:

19

1 2 -1 -2 1

1

1

3

3

2

2

0

Luego

3 22 2x x x 1x

3 2Para ello, dividamos en2 1tre2 .x x x x

2Cociente: ( ) 3 2q x x x

Resto: ( ) (1) 0r x P

3 22 2x x x 1x 2 3 2x x

Ejemplo. Factorice:

2 1x x 1x

Page 20: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

1 -5 -2 24 3

13

-2

-6

-8

-24 0

Luego

3 2( ) 5 2 24P x x x x

Probamos y tomamos 3x

2( ) 2 8q x x x

3 22 2x x x

1; 2;Lo 3; 4; 6; 8; 1s divisores de 44 22 2;:

( 3)x 2( 2 8)x x ( 3)x ( 4)x ( 2)x

aspa simple

20

Ejemplo. Factorice: