productos notables y factorizacion
TRANSCRIPT
PRODUCTOS NOTABLESY
FACTORIZACIÓN
2
¿Cómo se puede desarrollar el siguiente binomio?
47 3x
3
n = 0
¿Cómo se puede desarrollar el siguiente binomio?
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal1
47 3x
1 Traité du triangle arithmétique
4
LOGROS
Utiliza el método de completar cuadrados para expresar un polinomio de segundo grado como suma de cuadrados.
Reconoce cuando un polinomio está factorizado o no.
Factoriza un polinomio.
El alumno, al término de la clase: Reconoce cuando un polinomio está factorizado o no.
Factoriza un polinomio.
5
Los productos notables son un grupo de multiplicaciones algebraicas muy frecuentes, que se han identificado como fórmulas, y que nos permiten escribir directamente el resultado abreviando así los cálculos.
Productos Notables
2a b Ejemplos
2a b
( )( )a b a b
2 22a ab b
2 22a ab b2 2a b
6
254 3x
Ejemplo
Expandir las siguientes expresiones:
5 54 7 4 7x x
a.
b.
c.
d.
23 52 3x y
5 53 33 3x xy y
¿ ( 4 𝑥5 )2
−2 ( 4 𝑥5 ) (3 )
+(3 )2
¿ ( 4 𝑥5 )2
−2 ( 4 𝑥5 ) (3 )
+(3 )2
¿ ( 4 𝑥5 )2+(3 )2
¿ ( 4 𝑥5 )2+(3 )2
7
Una las siguientes expresiones
2( ) 14 49P x x x
27 4x
24 3 1x
2( ) 14 45Q x x x
2( ) 4 24 36R x x x
27x
22 6x
2( ) 4 24 37S x x x
Practiquemos un poco….
8
2 2 22( )( ) ( ) ( ) 38
Método de completar cuadradosUtilizando el método de completar cuadrados exprese el polinomio P en la forma y determine los valores de a, h y k.
2( ) ( ) ,P x a x h k
2( ) 14 38P x x x 2( ) 14 38P x x x
Solución
Trinomio cuadrado perfecto
27x 2 37 8 2( ) ( 7) 11P x x
x x 7 7 7
Donde: a = 1, h = – 7 y k = –11
Por lo tanto, 2( ) ,a hx k
9
Ejemplo 47. Utilizando el método de completar cuadrados
exprese el polinomio P definido por en la
forma y determine los valores de a, h y k.2( ) ( ) ,P x a x h k
2( ) 10 9P x x x
Ejemplo 48. Utilizando el método de completar cuadrados
exprese el polinomio P definido por en la
forma y determine los valores de a, h y k.2( ) ( ) ,P x a x h k
2( ) 3 15 2P x x x
FACTORIZACIÓN
( 3)( 3)x x 2 9x
Una idea intuitiva del significado de factorizar una expresión
MULTIPLICACIÓN
10
¿qué entiendes por factorizar? ¿es cierto que una expresión esta factorizada si es el producto de dos o más factores? O ¿es necesario establecer una condición adicional?
FACTORIZACIÓN
11
Entenderemos por factorización el expresar un polinomio como producto de otros polinomios de menor grado y que además deben ser primos (es decir que a su vez no se podrían expresar en otros polinomios de menor grado).
Nota: Un polinomio primo es aquel polinomio que no se puede expresar como un producto indicado de polinomios de grados menores que el suyo. Ejemplo: Los polinomios de primer grado, y polinomios de la forma , , etc.2 7x 2 5x
( 2)( 2) 5x x
¿Cuál de las siguientes expresiones está factorizada?
Ejemplo 1
No está factorizada por la adición en el término final.
Debería obtenerse sólo productos.
(2 3)( 5)( 4)x x x
2 4x
b.
c.
d.No está factorizada porque se puede
expresar como producto de (x+2) y (x-2)
a. 2 5x
12
Ejemplo. Factorice:
a. P(x) = 15x2 +25xy+20yx3
= 5x(3x +5y+4yx2)
b. P(x;y)=2x(3x – 1) + y(1–3x)+2(3x – 1) = (3x – 1)(2x – y +2)
Factor común
Factor común
13
Técnicas de factorización
Ejemplo. Factorice:
a. P(x) = 12ax2 + 3bx2 – 20ay – 5by
= (4a + b)
= 12ax2 + 3bx2
= 3x2 (
Factor común binomio
+ b)
– 20ay – 5by
4a + b) – 5y ( 4a
(3x2 – 5y)
14
2( ) 4 3P x x x 4x
( ) (4 3)( 1)P x x x
x31
Ejemplo 54. Factorice:
3x4xx
15
2 2( ) 3 7 2Q x x y xy 3xy
( ) (3 1)( 2)Q x xy xy
xy12
Ejemplo 55. Factorice:
xy 6xy 7xy
16
17
a. 16x4 – y2 = (4x2) 2 – y2 = (4x2 – y) (4x2 + y)
b. 81x6–y4 = (9x3) 2 – (y 2)2 = (9x3 – y2) (9x3 +y2)
Ejemplo. Factorice:
Polinomio primo Polinomio primo
Polinomio primo Polinomio primo
c. q3–36qp2 = q[q2 – 36p2] = q(q – 6p)(q + 6p)
= q[(q)2 – (6p)2]
Teorema del factor
Si P(x) es un polinomio y a es un número tal que P(a) = 0
entonces decimos que a es un cero de P(x). También
podemos decir que (x – a) es un factor de P(x).
El teorema del factor nos da a entender que podemos reescribir al polinomio P(x) así: P(x) = (x – a).Q(x)
G. Factorización usando la división de polinomios
18
UTILICEMOS EL MÉTODO DE RUFFINI PARA ENCONTRAR UN DIVISOR DE . VERIFIQUEMOS SI ES UN DIVISOR:
19
1 2 -1 -2 1
1
1
3
3
2
2
0
Luego
3 22 2x x x 1x
3 2Para ello, dividamos en2 1tre2 .x x x x
2Cociente: ( ) 3 2q x x x
Resto: ( ) (1) 0r x P
3 22 2x x x 1x 2 3 2x x
Ejemplo. Factorice:
2 1x x 1x
1 -5 -2 24 3
13
-2
-6
-8
-24 0
Luego
3 2( ) 5 2 24P x x x x
Probamos y tomamos 3x
2( ) 2 8q x x x
3 22 2x x x
1; 2;Lo 3; 4; 6; 8; 1s divisores de 44 22 2;:
( 3)x 2( 2 8)x x ( 3)x ( 4)x ( 2)x
aspa simple
20
Ejemplo. Factorice: