Productos notablesSabemos que se llama producto al resultado de una multiplicacin. Tambin sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (tambin productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuacin veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadradoa2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, ms el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad.Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2 Nota:Se recomienda volver al tema factorizacin para reforzar su comprensin. Cuadrado de la diferencia de dos cantidadesa2 2ab + b2 = (a b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a b) = a2 b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segundaDemostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma (a + b) (a b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 b2 Otros casos de productos notable (o especiales):Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostracin:

Veamos un ejemplo explicativo:Tenemos la expresin algebraicax2 + 9 x + 14 obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )Cmo llegamos a la expresin?a) El cuadrado del trmino comn es (x)(x) = x2b) La suma de trminos no comunes multiplicada por el trmino comn es (2 + 7)x = 9xc) El producto de los trminos no comunes es (2)(7) = 14

As, tenemos:x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2 + (a b)x ab = (x + a) (x b)

Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 + (a b)x ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x b).Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2 (a + b)x + ab = (x a) (x b)

Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x a) (x b).Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formamnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el trmino comn (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).Cubo de una sumaa3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3. Cubo de una diferenciaa3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 3a2b + 3ab2 b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)3. A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresin algebraica que lo representa:Producto notable Expresin algebraica Nombre

(a + b)2=a2 + 2ab + b2Binomio al cuadrado

(a + b)3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Binomio al cubo

a2 b2=(a + b) (a b)Diferencia de cuadrados

a3 b3=(a b) (a2 + b2 + ab)Diferencia de cubos

a3 + b3=(a + b) (a2 + b2 ab)Suma de cubos

a4 b4=(a + b) (a b) (a2 + b2)Diferencia cuarta

(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bcTrinomio al cuadrado

FactorizacinPara entender la operacin algebraica llamada factorizacin es preciso repasar los siguientes conceptos: Cualquier expresin que incluya la relacin de igualdad (=) se llama ecuacin.Una ecuacin se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuacin se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuacin es condicional.Un trmino es una expresin algebraica que slo contiene productos de constantes y variables; 2x, a, 3x son algunos ejemplos de trminos. La parte numrica de un trmino se denomina coeficiente.Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, 1, y 3.Una expresin que contiene un solo trmino se denomina monomio; si contiene dos trminos se llama binomio y si contiene tres trminos, es un trinomio.Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de trminos. En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado. Una ecuacin lineal en una variable es una ecuacin polinmica de primer grado; es decir, una ecuacin de la forma ax + b = 0. Se les llama ecuaciones lineales porque representan la frmula de una lnea recta en la geometra analtica.Una ecuacin cuadrtica en una variable es una ecuacin polinmica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.Un nmero primo es un entero (nmero natural) que slo se puede dividir exactamente por s mismo y por 1. As, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos nmeros primos.Las potencias de un nmero se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del nmero por s mismo. El trmino a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como aaa o a3Los factores primos de un cierto nmero son aquellos factores en los que ste se puede descomponer de manera que el nmero se puede expresar slo como el producto de nmeros primos y sus potencias.Descomposicin de nmeros naturales en sus factores primos Por ejemplo, un nmero natural como 20 puede expresarse como un producto de nmeros de diferentes formas: 20 = 2 10 = 1 20 = 4 5En cada uno de estos casos, los nmeros que forman el producto son los factores. Es decir, cuando expresamos el nmero 20 como el producto 2 10, a cada uno de los nmeros (2 y 10) se les denomina factor. En el caso de 1 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 5, los factores son 4 y 5. Cada uno de los nmeros 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20. Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 3 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.Debe recordarse, adems, que cuando un nmero es divisible nicamente por s mismo y por la unidad el nmero se denomina primo.Factorizacin y productos notables As como los nmeros naturales pueden ser expresados como producto de dos o ms nmeros, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o ms factores algebraicos.Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresin es irreducible, solo puede expresarse como el producto del nmero 1 por la expresin original. Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorizacin.El proceso de factorizacin puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los trminos y agruparlos.Los factores comunes son aquellos nmeros que aparecen multiplicando a todos los trminos de una expresin algebraica. Estos nmeros pueden estar dados explcitamente o representados por letras. As, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o ms polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre s se obtenga el polinomio original.En otras palabras, dada una expresin algebraica complicada, resulta til, por lo general, el descomponerla en un producto de varios trminos ms sencillos. Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).Algunos ejemplos: De la expresin ab2 + 3cb b3 podemos factorizar by obtenemos la expresin: b(ab + 3c b2) (1)

Veamos paso a paso cmo se obtuvo la expresin:

ahora podramos reacomodar la expresin que queda dentro del parntesis:

Finalmente si sustituimos este ltimo resultado en (1), obtenemos: ab2 + 3cb b3 = b (b (a b) + 3c)ab2 + 3cb b3 = b (ab b2 + 3c)ab2 + 3cb b3 = b (ab +3c b2)Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables. En general los casos de factorizacin corresponden a los casos de productos notables.Antes de mostrar ejercicios de aplicacin de factorizacin y productos notables, es necesario recordar la forma de hallar el mximo comn divisor (mcd) de un conjunto de nmeros dados. Ejemplo: Determinar el mximo comn divisor (mcd) de los nmeros 56, 42 y 28. El mximo comn divisor de un conjunto de nmeros dados corresponde al mayor nmero natural que los divide simultneamente, con residuo cero. Para hallar el mcd de un conjunto determinado de nmeros, estos se dividen simultneamente por los diferentes nmeros primos (tomados en orden ascendente, y desechando los nmeros primos por los cuales no se pueda hacer la divisin con residuo cero de todos los nmeros de la fila) segn el arreglo mostrado a continuacin. El proceso termina, cuando los nmeros que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la ltima divisin simultnea, no pueden dividirse simultneamente por algn nmero primo.El mcd buscado es el producto de los nmeros primos que aparecen a la derecha: 5642282

2821147

432

Los nmeros originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia la derecha. A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer nmero primo de la lista) y se divide cada uno de estos nmeros por 2, escribiendo el resultado obtenido en la misma columna del nmero original. La segunda fila muestra estos resultados. Como los nmeros 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultneamente por 3, este nmero primo se desecha. De forma similar se desecha el 5. El siguiente nmero primo en la lista es 7.En este caso se puede hacer la divisin simultneamente obtenindose los nmeros 4, 3 y 2. Esta ltima fila no puede dividirse simultneamente ni por 2 ni por 3. Como el siguiente nmero primo (5) es mayor que 4, el proceso termina. Por lo tanto, el mcd de los nmeros 56, 42 y 28 es el producto de los nmeros primos de la derecha: 2 7 = 14Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14 (el mximo comn divisor de los nmeros 56, 42 y 28 es igual a 14)Ejemplo: Factorizar 9x + 6y - 12zEste es un ejemplo sencillo de la factorizacin por factor comn. Dada una expresin algebraica se encuentra el mximo comn divisor (mcd) de los coeficientes de los trminos de la expresin algebraica. Este mcd corresponde al coeficiente del factor comn. Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los trminos con el menor exponente que aparezca. Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; adems como no hay variables comunes en los tres trminos tenemos: 9x + 6y 12z = 3(3x + 2y 4z)es decir 9x + 6y 12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y 4z. Ejemplo: Factorizar 9xy2 + 6y4 12 y3zEn este caso adems del factor comn 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es comn a los tres trminos. La menor potencia comn es y2 por lo tanto la factorizacin queda: 9xy2 + 6y4 12y3z = 3y2(3x + 2y2 4yz)Los factores en este caso son 3x + 2y2 4yz y 3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se obtiene la expresin original: 3y2(3x + 2y2 4yz) = (3y2 * 3x) + (3y2 * 2y2) (3y2 * 4yz)= 9xy2 + 6y4 12y3zNtese que se ha aplicado la propiedad distributiva del producto. En general no es necesario hacer la verificacin de la factorizacin, pero es conveniente cuando existan dudas sobre el resultado obtenido.

lgebra bsicaPara trabajar en lgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Nmeros Enteros y Nmeros Racionales. Tambin deben conocerse las propiedades de las potencias.Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. Se pueden restar o sumar trminos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas.Smbolos y trminos especficos Entre los smbolos algebraicos se encuentran nmeros, letras y signos que representan las diversas operaciones aritmticas. Los nmeros son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las ltimas para variables.Operaciones y agrupacin de smbolos La agrupacin de los smbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritmticas se basa en los smbolos o signos de agrupacin, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. Entre los smbolos de agrupacin se encuentran los parntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales tambin llamadas vnculos que suelen usarse para representar la divisin y las races, como en el siguiente ejemplo:

Los smbolos de las operaciones bsicas son bien conocidos de la aritmtica: adicin (+), sustraccin (-), multiplicacin () y divisin (:). En el caso de la multiplicacin, el signo normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en ab. Un grupo de smbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c. La divisin se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, tambin se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.Hay que tener cuidado de agrupar los trminos apropiadamente.Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son trminos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c dy) representa la fraccin:

Prioridad de las operaciones Cada expresin algebrica (y matemtica) posee una estructura estrictamente jerarquizada.Esto significa que para resolver una expresin algebraica es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los clculos tengan slo un resultado. Ese orden es el siguiente:1) Cuando no hay signos de agrupacin (parntesis, corchetes, llaves) hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios nmeros positivos y negativos los agrupamos y despus los sumamos. 2) Si hay signos de agrupacin (parntesis, corchetes, llaves) se realizan en primer lugar todas las operaciones que se encuentren dentro de ellos, respetando la secuencia general.Los smbolos de agrupacin indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el ms interno. Cuando hay parntesis y corchetes, hacemos primero los parntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos. Despus hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones). 3) Luego se efectan las elevaciones a potencia y las races (potencias y races tienen la misma jerarqua)4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarqua)5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarqua)Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarqua, las operaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha.Por ejemplo:

Ver en Youtube:http://ticvictoriaalba.blogspot.com/2011/01/secundaria-algebra.htmlUn importante error conceptual relacionado con el significado del signo igualEs comn que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una invitacin al clculo y no como una relacin de equivalencia.As, por ejemplo, interpretan la expresin 5 + 8 = x + 3en trminos similares a los siguientes: A 5 se le suma 8 y al resultado (x) se le suma 3.Por tal razn, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresin debera completarse as:5 + 8 = x + 3 = 16Como dijimos, este es un error muy comn. Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que est a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que est a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe valer 10.Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su origen en este error conceptual.Nmeros RealesLos nmeros que se utilizan en el lgebra son los nmeros reales. Hay un nmero real en cada punto de la recta numrica. Los nmeros reales se dividen en nmeros racionales, nmeros irracionales y nmeros enteros los cuales a su vez se dividen en nmeros negativos, nmeros positivos y cero (0).

Podemos verlo en esta tabla:

Un nmero real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los nmeros racionales pueden escribirse en forma decimal. Existen dos maneras para hacerlo: 1) como decimales finitos 2) como decimales que se repiten infinitamente Los nmeros reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman nmeros irracionales. Los nmeros irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente. Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmtica numrica. En aritmtica, los nmeros usados son slo del conjunto de los nmeros racionales. La aritmtica, por s sola, no puede ir ms lejos, pero el lgebra y la geometra pueden incluir nmeros irracionales, como la raz cuadrada de 2 y nmeros complejos. Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los nmeros racionales e irracionales constituye el conjunto de los nmeros reales.Propiedades de los nmeros realesPropiedades de la adicin La suma de dos nmeros reales a y b cualesquiera dar como resultado otro nmero real que se escribe a + b. Los nmeros reales son uniformes para las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con nmeros reales el resultado es otro nmero real.Propiedad Asociativa de la adicin:Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los trminos de la adicin, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a+b)+c=a+(b+c). Tambin Es la llamada propiedad asociativa de la adicin.Un ejemplo aritmtico:(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) Elemento neutro de la adicinDado un nmero real a cualquiera, existe el nmero real cero (0) conocido como elemento neutro de la adicin, tal que a+0=0+a=a.Elemento simtrico de la adicinDado un nmero real a cualquiera, existe otro nmero real (-a), llamado elemento simtrico de a (o elemento recproco de la suma), tal que a+(-a)=0.Propiedad Conmutativa de la adicinCualquiera que sea el orden en que se realiza la operacin, la suma es siempre la misma: a+b=b+ a.TambinEs la llamada propiedad conmutativa de la adicin.

Un ejemplo aritmtico: 4 + 2 = 2 + 4 Propiedades de la multiplicacin Para la multiplicacin se cumplen propiedades similares a las de la adicin. Sin embargo, en la multiplicacin hay que prestar especial atencin al elemento neutro y al elemento recproco o inverso.El producto de dos nmeros reales a y b es otro nmero real, que se escribe ab o ab.Propiedad Asociativa de la multiplicacinCualquiera que sea la forma de agrupar los trminos de la multiplicacin, el producto es siempre el mismo: (ab)c=a(bc). Tambin Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicacin.Un ejemplo aritmtico:Elemento neutroDado un nmero real a cualquiera, existe el nmero real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicacin, tal que a(1)=1(a)=a.Elemento recproco o inversoDado un nmero real a distinto de cero, existe otro nmero (a1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recproco de la multiplicacin), para el que a(a1)=(a1)a=1.Propiedad Conmutativa de la multiplicacinCualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicacin, el producto es siempre el mismo: ab = ba. TambinEs la llamada propiedad conmutativa de la multiplicacin.Un ejemplo aritmtico:Propiedad distributiva de multiplicacin sobre adicin:Otra propiedad importante del conjunto de los nmeros reales relaciona la adicin y la multiplicacin de la forma siguiente:a(b+c)=ab+ac tambin (b+c)a=ba+ca Tambin Un ejemplo aritmtico:

Regla de los Signos para sumar y restar: 1. En una suma de nmeros con signos iguales, se suman los nmeros y el resultado lleva el mismo signo. Si los nmeros tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.Ejemplo: 5 + 8 = 13 5 + 8 = 3 2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los nmeros y el resultado lleva el signo del mayor.Ejemplo: 5 8 = 3 5 (8) = 13 Regla de los signos en la multiplicacin y la divisinEn multiplicacin y divisin de nmeros con signos iguales el resultado es positivo. Si los nmeros son de signos opuestos, el resultado es negativo.Ejemplos: 5 x 8 = 40 5 x 8 = 40Multiplicacin de polinomios El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:(ax + b) (cx2) = acx3 + bcx2Este mismo principio multiplicar cada trmino del primer polinomio por cada uno del segundo se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier nmero de trminos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:(ax3 + bx2 cx) (dx + e) = adx4 +aex3 + bdx3 + bex2 cdx2 - cexUna vez hechas estas operaciones, todos los trminos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresin:= adx4 + (ae + bd)x3 + (be cd) x2 cexRecta NumricaPara construir una recta numrica, primero se escoge un punto en la recta que ser un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numrica.El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen est el lado positivo y el negativo est a la izquierda. En el lado derecho van nmeros enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los nmeros enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Es importante recordar que para cualesquiera dos nmeros reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro. Si a b es positivo, entonces a > b. Si b a es positivo, entonces a < b.Valor AbsolutoLa distancia de un nmero en la recta numrica desde cero (0) se llama valor absoluto. Se representa con el smbolo |x|. El valor absoluto de un nmero se calcula de la siguiente manera: si el nmero es negativo, lo convertimos a positivo. si el nmero es cero o positivo, se queda igual.Ejemplos: |7| = 7|7| = 7

Notacin Exponencial La notacin exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo nmero. Es la elevacin a la ensima potencia (n) de una base (X).

Ejemplos: x2 = x x22 = 2 234 = 3 3 3 3Trmino algebraicoTrmino algebraico es el producto de una o ms variables y una constante numrica o literal.Ej: 7xy3 2mnp2 r2

En todo trmino algebraico hay:Signo: positivo o negativoCoeficiente numrico: es el nmero que va al comienzo del trmino algebraicoFactor literal: son las letras y sus exponentesGrado: corresponde al mayor exponente dentro de los trminosTrmino algebraicoSignoCoeficiente numricoFactor literalGrado

2m2n5Positivo2m2n55

5 a3b6c8Positivo5a3b6c88

- 1/3 zhk5Negativo1/3zhk55

Expresiones AlgebraicasExpresin algebraica es el resultado de combinar, mediante la operacin de adicin, uno o ms trminos algebraicos.Las expresiones algebraicas se clasifican segn su nmero de trminos. monomio = un solo trmino.

Por ejemplo: 3x2binomio = suma o resta de dos monomios.Por ejemplo: 3x2 + 2x trinomio = suma o resta de tres monomios.Por ejemplo: 3x2 + 2x 5 polinomio = suma o resta de cualquier nmero de monomios. MonomioBinomioTrinomioPolinomio

8 x3y43 a2b3 + 8za b9 + a3b62/3 a2 + bc + a2b4c6 2

x2z5 +32 x39a b2 + c3ab a6b3c + 8 26a

Reglas de los Exponentes: Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes.

Ejemplo: x2 . x4 = x2+4 = x6 Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual. Ejemplo: (x2)4 = x2+4 = x6 En divisin, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos, m > n.

Ejemplo: (xy)2 = x2 y2 En suma y resta, solo se procede si son trminos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numrico. Productos Notables1.

Por ejemplo:

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Expresiones fraccionalesUna fraccin es una expresin en la forma:

Una expresin fraccional esta simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Por ejemplo:

Multiplicacin de expresiones algebraicas Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.

Por ejemplo:

Divisin de expresiones algebraicasPara dividir se multiplica por el recproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado.

Por ejemplo:

Suma y resta de expresiones algebraicas En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

Por ejemplo:

Exponentes enteros Reglas bsicas para trabajar los exponentes: Regla:Ejemplo:

Radicales (Races) Un radical es una expresin en la forma: que se lee "raz n de b" Cada parte de un radical lleva su nombre,

El ndice debe ser un entero positivo. Para una raz cuadrada, el ndice 2 es usualmente omitido.

Propiedades de los Radicales (de las races)

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Suma y Resta de Radicales (de races) Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los trminos semejantes. Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando. Ejemplos:

Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta slo puede ser indicada. Se puede agrupar los trminos semejantes del radical. Ejemplo:

1