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Fórmulas Básicas: BINOMIO DE NEWTON

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION POTENCIACION RADICACIÓN LOGARITMOS

C

PROGRESIÓN

ARITMÉTICA TRIGONOMETRIA

naa

s n

n .2

1

+=

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

José Arturo Barreto, M.A. Universidad de Texas. E-mail: josearturobarreto@gmail.com Tels. 0424-170-00-32 Internacional: 58-424-170-00-32 Caracas. Venezuela

Centro Académico de Asesoría Docente Consulte las páginas Web: miprofe.com.ve abaco.com.ve

(a + b)n = an + nan-1b + 2

)1( −nnan-2b2 +

32

)2)(1(

x

nnn −−an-3b3 + … + bn

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 – b3

a(x + y) = ax + ay a(x – y) = ax – ay (x + y) (x – y) = x2 – y2 (x + y) (x2 - xy + y2) = x3 + y3 (x - y) (x2 + xy + y2) = x3 - y3

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd ( )( ) 212121

2 ,, nnbnnanxnxbaxx =+=++=++

(xy)n = xnyn

(xm)n = xmn

n

nn

y

x

y

x=

nmnmxxx

+=

nm

n

m

xx

x −=

n

m

x = n mx

0,1

≠=−x

xx

n

n

0,11 ≠=−

xx

x

x

y

y

x=

−1

10 =x

sia

,00

= 0≠a

=0

ano definido

0

0= indeterminado

nnn abba =

n

n

n

b

a

b

a=

mnm n aa = mn nmmn baba =

( ) m npp

m naa =

m

n

m naa =

( )rnaan 11 −+=

11

−= n

n raa

1.1

1a

r

rs

n

n −−

=

Log a x = y ⇔ x = a y

Log a 0 = 1

Log a a = 1

Log a 0 no existe

Log ( ) =ba. log a. log b

Log

b

a= log a - log b

log ( )na = n. Log a

log n a = n

1log a

Sen h

c1=α

α Cosh

c2=α

c2 Tan =α2

1

c

c

Cot =α12

c

c Sec

2c

h=α

Csc

1c

h=α

h c1

2

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GEOMETRIA 1) Angulos y rectas La suma de los ángulos situados a un mismo lado de una recta es 180° α β α + β = 180°.

Angulos formados por rectas que se intersectan: Angulos opuestos por el vértice son congruentes (iguales): α = β

α β

Rectas paralelas cortadas por una secante:

E F B D G A C H

∠ CAB = ∠ DBE Angulos correspondientes son congruentes (iguales) ∠ GAB = ∠ FBE Angulos correspondientes son congruentes (iguales) ∠ CAB = ∠ ABF Angulos alternos internos son congruentes (iguales) ∠ GAB = ∠ ABF Angulos alternos internos son congruentes (iguales) ∠ HAC = ∠ FBE Angulos alternos externos son congruentes (iguales) ∠ HAG = ∠ DBE Angulos alternos externos son congruentes (iguales)

Angulos con lados mutuamente perpendiculares α = β o α + β = 180

β β β = α α α α

2) Triángulos semejantes: Aquellos cuyos ángulos correspondientes son congruentes (iguales) y sus lados correspondientes son proporcionales. Cualquiera de las dos condiciones implica la otra y es condición necesaria y suficiente.

C C´ D E A B A´ B´

∠ CAB = ∠ CDE = ∠ C´A´B´ ∠ ABC = ∠ DEC = ∠ A´B´C´ AC / DC = AB / DE = BC / EC AC / A´C´ = AB / A´B´ = BC / B´C

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FORMULAS DE GEOMETRIA – Prof. José Barreto. Tel 0424-170-00-32

Triángulo h = a sen θ Area = ½ bh (teorema del coseno) c2 = a2 + b2 – 2ab cos θ

c a h θ b

Triángulo rectángulo (Teorema de Pitágoras) c

a c2 = a2 + b2 b

Triángulo equilátero p'= semiperímetro= c a

= 2

cba ++

b

Area = )')(')(´(' cpbpapp −−−

Paralelogramo Rectángulo h a b b Area = bh Area = ba

Trapecio b

Area = )(2

bah

+ h

a

Círculo

Area = 2rπ r

Longitud de la Circunferencia = rπ2

Sector circular (θ en radianes) r r s

Area = 2

θ 2r s = rθ θ

Cono A = área de la base h

V = 3

Ah=

3

2hrπ

r

Cilindro V = hr

2π h

Area lateral = rhπ2

r

Esfera r

V = 3

4 3rπ

Area (superficie): 4 2rπ

Ley de los senos c β a

α γ

b

αsen

a=

βsen

b=

γsen

c

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Caracas- Venezuela ARITMÉTICA. (La ciencia de los números)

PRINCIPIOS DE ARITMETICA

EL CONJUNTO “N” DE LOS NUMEROS ENTEROS NUMEROS ENTEROS NEGATIVOS NUMEROS ENTEROS POSITIVOS

0 NUMEROS NATURALES … …. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ENTEROS POSITIVOS O NUMEROS “NATURALES”: 1,2,3,4,5,6, . . . etc. EL CERO: 0 ENTEROS NEGATIVOS: -1,-2,-3,-4,-5,. . ., etc

INTRODUCCIÓN A LA ARITMETICA DE NUMEROS ENTEROS

EL CONJUNTO “Z” DE LOS NUMEROS ENTEROS … -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7, . . .

Propiedades del 0: • Es el “módulo” o elemento neutro de la suma: 5 + 0 = 5, -3 + 0 = -3, 4

+ 0 = 4 Es decir: a + 0 = a, para todo número entero a.

• Tiene además la propiedad 2 x 0 = 0, -2 x 0 = 0, 0 x 0 = 0, es decir a x 0 = 0 para todo número entero a.

Propiedades del 1: • Es el módulo o elemento neutro de la multiplicación: 3 x 1 = 3, -2 x 1 = -2

0 x 1 = 0

Es decir a x 1 = a, para todo número entero a

LA “RESTA” DE NUMEROS ENTEROS:

5

3 – 1 = 2, 7 – 3 = 4 16 – 10 = 6 1 – 3 = -2 3 – 7 = - 4 10 – 16 = -6 Observe con cuidado la similitud (salvo el signo de 3 – 1 y 1-3, 7 – 3 y 3 – 4, etc…)

Conclusión: La resta de a – b, es sencilla si a ≥≥≥≥ b, como en los casos 3 –1, 7 – 3, 16 – 10. Mas si a < b, es necesario restar b – a ( Ej. 7 – 3 = 4 en lugar de 3 – 7 y al resultado que dé ( 4 ), anteponerle el signo negativo -: es decir 3 – 7 = -4) Ejemplo: 7 – 16 = - ( 16 – 7) = - 9 Caso especial: resta del 0: 5 – 0 = 5, - 5 – 0 = -5 0 – 0 = 0 La suma de números enteros: 3 + 5 = 8 5 + (-3) = 5 – 3 = 2 - 3 + 5 = 5 – 3 = 2 - 3 + 2 = 2 – 3 = - 1

Diferentes maneras de interpretar la suma de números enteros de diferente signo

• Por la ley de los signos + x + = +, + x - = -, - x - = + Ejemplo: 2 + (-1) = 2 – 1 = 1 - 2 + (-3) = 2 – 3 = -1

El ejemplo 2 + (-1) nos servirá para introducir el siguiente método

• Pensando que los números enteros son fuerzas de diferente signo: los números positivos corresponderán a fuerzas hacia la derecha y los negativos a fuerzas hacia la izquierda.

Ejemplo: 2 + (-1) Magnitud de la fuerza 1 2

- 1 2 Gana la fuerza de magnitud 2 hacia la derecha (representación del 2) a la fuerza de magnitud 1 (representación del –1) hacia la izquierda, por lo tanto el resultado es 2 – 1 = 1 (resta de las magnitudes) con signo + (positivo), ya que gana la fuerza hacia la derecha. Ejemplo: 2 + ( - 7 ) • Por la ley de los signos: 2 + (-7) = 2 – 7 = - 5 • Como fuerzas

6

2 + (-7)

- 7 0 2 Gana la fuerza de 7 por 5 unidades: ya que 7 – 2 = 5. Como es mayor la fuerza negativa (-7), hacia la izquierda, el resultado es a favor de esta: - 5.

Luego : 2 + (-7) = - 5 Ejercicios: Efectue 4 + (-8), 4 + (-4), 7 – 2, 2 – 7, 5 – 0, 0 – 5, 8 – 16, 7 + (-14), 40 – 36, 40 + (-36) 36 – 50, -50 + 36, 50 – 36 Resta de números enteros: La resta de números enteros, se puede efectuar de manera similar: • Utilizando la ley de los signos o generalizando los procedimientos anteriores:

2 – 3 = -1 (ya se sabía) 3 – 2 = 1 (ya se sabía) 2 – (-3) = 2 + 3 = 5 - 3 – (-2) = -3 + 2 = -3

-3 – 2 = - 3 + ( -2 ) = -5. Las fuerzas –3 (de magnitud 3 ) y –2 (de magnitud 2) son hacia la izquierda (ambas) y por lo tanto se suman y el resultado es una fuerza de magnitud 5 hacia la izquierda, la cual representa al – 5.

Multiplicación de números enteros Recuerde las reglas de los signos en la multiplicación + x + = + + x - = -

- x + = - - x - = +

Ejemplo: 5 x (-2) = - 10 -3 x –1 = 3 -2 x –1 = 2 -2 x 1 = -2 1 x – 2 = -2

4 x 0 = 0 0 x 4 = 0 -4 x 0 = 0 Cualquier número multiplicado por 0 da 0

7

Ojo: No confunda la multiplicación con la suma o la resta o viceversa. 5 + (-2) = 3 5 x (-2) = -10 2 + (-4) = -2 2 x (-4) = -8 -4 + (-5) = -9 -4 x (-5) = 20

La regla de los signos es una regla de la “multiplicación”

División de números enteros La suma y la resta son operaciones recíprocas,, en el sentido que nos muestra el siguiente ejemplo: 7 + 5 – 5 = 7 o sea que al sumar un número y restar el mismo número ( a 7 o a cualquier número) , obtenemos el número original (7 ) Quien no sabe sumar tampoco puede restar. Lo mismo sucede con la multiplicación y la división. La multiplicación y la división son operaciones recíprocas, como se ve en el siguiente ejemplo 7 x 5 ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7 Si un número se multiplica y se divide, en secuencia, por el mismo número, el resultado es el número original. Por una razón similar, a la señalada para las operaciones recíprocas, suma y resta, quien no sabe multiplicar, tampoco puede dividir. División de números enteros (continuación)

¿ Por qué 4 / 2 = 2 ? ¿ por qué es falso que 4 / 2 = 5 ?

Respuesta 4 32

= 2 porque 2 x 2 = 4 = 4 ya que 8 x 4 = 32 2 8 Consecuencia. Hay que saber multiplicar para poder dividir

8

Es evidente que es falso que 62

4= ya que esto equivaldría a afirmar que 4 = 6 x 2 (o que

2=6 ), lo cual es falso La validez de una división se chequea por multiplicación. Ejemplo: Será verdad que

Respuesta: Sí, ya que 8 x 32 = 256

Ejercicio Señale si las siguientes afirmaciones son verdaderas, sin dividir: utilice la multiplicación: (1) (2)

Solución: 6 x 15 = 90. Luego (1) es verdadera 3 x 41 = 123 ≠ 120, luego (2) es falsa

Ejercicios

Señale con si la proposición es verdadera y con si es falsa

División por el número 0 Sabemos que 5 x 0 = 0 7 x 0 = 0 - 2 x 0 = 0

Cual será el resultado de

256 = 32 ? 8

90 = 15 6

120 = 41 3

V F

72 = 4 18

423 = 9 47

522 = 8 12

5 = ? 0

7 = ? 0

-2 = ? 0

9

Solución: Ensayemos con algunos números si

tendríamos que 7 x 0 = 5 (falso) Si

Tendríamos que 200 x 0 = 5 (falso) Existirá un número k tal que

Respuesta: Nó. Por lo tanto: La división de un número entre 0 no tiene sentido…..No se puede efectuar….No está definida. Caso especial (y curioso) Es

Respuesta: 7 x 0 = 0……… Quisieramos decir que sí,….pero Sería también cierto que Conclusión: cualquier número serviría como resultado de esta extraña operación……El resultado no estaría claramente definido. Algunos dicen que sería indeterminado Esta es una razón más para que la matemática prohíba dividir entre 0.

522 = 7 0

5 = 200 0

5 = k ? 0

0 = 7 ? 0

0 = 4 ya que 4 x 0 = 0 0

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Este material es producido por José Arturo Barreto, M,A, , en Caracas, Venezuela, josearturobarreto@gmail.com

Fracciones

4/4 = = 1

= 3/4 = 2/4

= 1/2

Problema: Calcule las siguientes cantidades: 3/4 de 1.200, 4/5 de 600 y 3/7 de 1.000, Solución: El cálculo de 3/4 de 1,000 se puede aprovechar para que mejores tu comprensión de la división , ya que se procedió así: Procedimiento 3/7 de 1.000 Dividendo --� 3.000 7 ----- Divisor 20 428,57 ----- Cociente 60 40 50 1 - Residuo La división no dio exacta ya que el residuo es 0,01 (no es 0), Si examinas la relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo, encontrarás que: 3.000 = 428,57 x 7 + 0,01 (*)

Verifica esta igualdad realizando las operaciones de la derecha,

Problema Cálculo Respuesta 3/4 de 1.200 3/4 x 1.200 = 300*3 900 4/5 de 600 4/5 x 600 = 4 x 120 480 3/7 de 1.000 3/7 x 1.000 = 3.000 / 7 ≈ 428, 57

1/4

1/4 1/4

1/4

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O sea: Dividendo = cociente x divisor + residuo La división es exacta cuando el residuo es 0, Problema: Jorge repartió US$ 1,250 entre sus dos hijos Pedro y Amanda, utilizando billetes de a dólar (US$ 1), La repartición se efectuó así: 1/8 para pedro y 7/8 para Amanda, a) Cuánto recibió cada uno de ellos? b) Repartió Jorge la totalidad de los US$1,250?, Si no, cuánto le quedó por repartir?, Solución: Al calcular 1/8 de 1,250 podríamos proceder así:

Problema Solución

Pedro 1/8 de 1.250 1/8 x 1.250 = 156,25 Amanda 7/8 de 1.250 7/8 x 1.250 = 8,750/8 = 1.093,75

Pedro Amanda Total repartido Quedó 156 1.093 156 + 1.093 = 1.249 US$ 1

Otra solución, Efectuemos la división 1.250 / 8 sólo en aritmética entera, sin utilizar cifras decimales, Pedro 1250 8 Pedro recibe US$ 156 y quedan 2/8 o sea 1/4 de dólar,

45 156 o lo que es lo mismo 25 centavos, 50 2

Amanda 7 x 1250 / 8 ≡ 8750 8 075 1093 30

El dinero que no se pudo repartir fue: A Pedro a Amanda Total 25 centavos 75 centavos US$ 1

Conclusión: La solución es la misma cuando se efectúa en aritmética con dos decimales a cuando se efectúa en aritmética entera, Problema: Jorge repartió US$ 1.250 entre sus hijos Pedro, Amanda y Diego, así: Aproximadamente 1/8 para Pedro, 7/8 para Amanda y el resto para Diego, Jorge no tenía moneda fraccionaria, Si observamos cualquiera de las soluciones del problema anterior, el dinero queda repartido así:

Pedro Por repartir Amanda Por repartir Diego (1/8) 156 0,25 (7/8) 1.093 0,75 0,25 + 0,75 = US$ 1,

Amanda recibe 1093 y quedan 6/8 de dólar . es decir 6/8 de 100 centavos, En consecuencia queda por repartir 6 x 100/8 = 600/8 = 300/4 = 150/2, Sobran 75 centavos,

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Conclusión 1

Conclusión 2

Problema:

Pedro repartió US$ 1.200 entre sus tres hijos Antonio, Alfonso, Arquímedes y Diego así: 1/4 para Antonio, 2/4 para Alfonso, El resto lo repartió entre Arquímedes y Diego así: 1/4 para Arquímedes y el resto para Diego,

Solución: Antonio Alfonso Reciben 1/4 x 1.200 = 300 2/4 x 1.200 = ½ x 1.200 = 600 La solución con respecto a Arquímedes y Diego se puede encontrar de varias maneras, Propuesta de solución 1: El total del dinero a repartir es US$ 1.200, Antonio y Alfonso recibieron en conjunto US$ 300 + US$ 600 = US$ 900, Quedan US$ 300, para repartir así: Arquímedes Diego Reciben 1/4 x 300 = 150/2 = US$ 75 300 – 75 = US$ 225 Propuesta de solución 2: Antonio y Alfonso han recibido 1/4 + 2/4 = 3/4 del total a repartir, Mirando el problema en forma de fracción queda, y pensando en la totalidad (4/4) (la unidad en forma de fracción) queda por repartir 4/4 – 3/4 = 1/4, De esta manera recibirán el remanente así:

Arquímedes 1/4 x 1/4 = 1/16 del total, Diego 3/4 x 1/4 = 3/16 del total, Arquímedes 1/16 x 1200 = 1/8 x 600 = 1/4 x 300 = 1/2 x 150 = US$ 75 Diego 3/16 x 1200 = 3/8 x 600 = 3/4 x 300 = 3/2 x 150 = 3 x 75 = US$ 225, Fracciones, decimales y porcentajes: El 30% de 1.200 se puede de otra manera, calcular así:

(30/100) x 1.200 = (3/10) x 1.200 = 0,30 x 1200 = 360

Las soluciones, en cualesquiera de los métodos, coinciden, (Por supuesto: He ahí la particularidad de las ciencias, Los métodos de solución difieren, pero los resultados finales son similares),

El mismo problema se puede resolver de una, dos, o más maneras diferentes,

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El 120% de 1200 se puede de otra manera, calcular así:

(120/100) x 1.200 = 1,20 x 1.200 = 1440.

Conclusión: Pensando en el 100% como la unidad (1 ), el 30% es el decimal 0,30 y el 120% está representado por 1,20 Utilización de la representación decimal de los porcentajes en la solución rápida de problemas Nota: Con este método, cuando un artículo sube un 20%, su nuevo costo en porcentaje es el 120 % = 1,20. Calcularemos el nuevo valor de un artículo que costaba 1.200 cuando se aumenta en un 20% así: 1,20 x 1.200 = 1.440 (Subió el 20% a partir de un valor de 1.200) Un descuento del 30% equivale en la notación decimal de los porcentajes al factor 0,30, el cual debe restarse, Por lo tanto el factor decimal a utilizar para hallar el nuevo precio cuando hay rebaja es : 1,00 – 0,30 = 0,70 Ejemplo: Un producto tiene un valor de 1.500 y se le rebaja el 30%, Cuál es el nuevo precio?, El nuevo precio con la expresión decimal de porcentajes es: 0,70 x 1.500 = 1.050 Problema:

Un artículo que cuesta 1.200 sube el 30%. Luego sobre este nuevo precio nos dan un descuento del 10%. Cuál es el precio final?

Solución rápida:

Precio inicial Sube el 30% Baja el 10% 1.200 1,30 x 1.200 = 1.560 0,90 x 1.560 = 1.404

Calculo de nuevos costos porcentuales sin conocer el precio del producto (solución rápida) Problema: Un producto sube el 30%, luego baja el 10% y una semana después aumenta en un 20%. Cual es el aumento porcentual?. Solución: Sube 30% Baja 10% Sube 20% Nuevo factor porcentual 1,30 x 0,90 x 1,20 = 1,404 ≈ 1,40 = 140%

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El aumento neto porcentual respecto al valor inicial es del 40%. Problema: La relación peso B/peso A es la relación porcentual del peso B con respecto al peso A y la relación peso A/peso B, es la relación porcentual del peso A con respecto al peso B. Problema: Hallar la relación porcentual de un peso A de 120 Kg con respecto a un peso B de 300 Kg y viceversa. Solucion rápida: La relación porcentual del peso A con respecto al peso B es: Peso A/ peso B = 120/300 = 12/30 = 6/15 = 2/5 = 0,40 ≡ 40% Y la del peso B con respecto al peso A: Peso B/ peso A = 300/120 = 30/12 = 10/4 = 2,5 ≡ 250%

Este material es producido por José Arturo Barreto, M,A, , en Barquisimeto, Venezuela, Relación entre dos o más valores. Problema: Las edades de un hijo y su padre están en la relación 1:3. Si la edad del hijo es 12. Cuál es la edad del padre?. Solución: Sea P la edad del padre y H la edad del hijo. Por lo tanto

H/P = 1/3.

Al sustituir H por 12 (la edad del hijo), obtenemos

12/P = 1/3.

Invirtiendo ambas fracciones: P/12 = 3. Luego

P = 36 (Edad del padre). Problema: La edad de un hijo, su madre y su padre, están en la relación 1:2:4. Si la edad de la madre es 20 años, calcule las edades del hijo y del padre. Solución: De la relación

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1:2 sabemos que

H/M = 1/2. Sustituyendo M por 20, obtenemos:

H/20 = 1/2.

Por lo tanto

H = 20/2 = 10 (edad del hijo). Como

M:P::2:4, obtenemos:

M/P = 2/4 = 1/2. Luego, sustituyendo M por 20, e invirtiendo las fracciones, obtenemos:

P/20 = 2. Por lo tanto P = 40 (edad del padre).

TEORÍA DE DIVISIBILIDAD Como

16 = 4x4, se dice que 4 es un factor o divisor de 16, o que 4 divide a 16. La lista de los divisores de 16 es la siguiente:

1,2,4,8,16. Los divisores triviales u obvios, son 1 y 16.

NÚMEROS PRIMOS Un número entero positivo, diferente de 1, es un número primo si sus únicos divisores son los triviales, es decir 1 y el mismo número. El número 8 no es primo ya que la lista de sus divisores está dada por: 1,2,4,8.

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De donde se concluye que tiene más divisores además de los triviales ( el 1 y el 8). El número 5 es un número primo ya que la lista de sus divisores está dada por 1,5 o sea que sus únicos divisores son los triviales. Problema: Determine si los números 26, 21, y 13 son números primos. Solución:

26 no es primo ya que a lo menos es divisible por 2. 21 no es primo ya que a lo menos es divisible por 3. 13 es primo ya que sus únicos divisores son 1 y 13.

Tabla o criba de Eratóstenes En esta tabla se van escribiendo números en orden ascendente empezando por el 2, escribiendo sólo los números primos. Para saber si un número N es primo se divide por cada uno de los números primos anteriores. Si es divisible por algún número primo, el número no es primo y no se incorpora a la tabla. Si el número N a estudiar es muy grande, el siguiente criterio es de gran ayuda.

a) Sea N el número. Halle dos números enteros positivos k y k+1 que cumplan la propiedad

k≤SQR(N) ≤ k+1 Ejemplo: N = 127. Como 112 = 121 y 122 = 144, entonces

11≤SQR(127) ≤12 b) Divida al número sólo por los números primos menores o iguales a k. En el caso de N = 127, como k = 11, trate de dividirlo por los números primos inferiores o iguales a 11. O sea por

2,3,5,7,11 Si el número no es divisible por ninguno de los números primos del numeral b) , el número es primo, de lo contrario, no lo es.

Como 127 no es divisible por ninguno de los números anteriores. Concluimos que el número es primo. Criba de eratostenes (continuación)

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Mostraremos la criba de Eratostenes hasta el número 59. Criba de Eratostenes 2 3 5 7 11 13 15 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53

59 Recuerde que para determinar si el número 59 es un número primo fue de gran ayuda saber que

72 = 49 ≤ 59 ≤ 82 = 64

Sólo intentamos dividir por 2,3,5, y 7. La conclusión fue que 59 es un número primo.

Máximo Común Divisor (o Divisor común máximo) M.C.D. Problema : Halle M.C.D (48, 51)

Solución: Haremos una lista de los divisores de los números incluyendo a los triviales 1 y 48 para el 48 y 1 y 51 para el 51.

Divisores de 48 1 2 3 4 6 8 12 24 48

Divisores de 51 1 3 17 51

Los divisores comunes son el 1 y el 3. El Máximo común Divisor (o divisor común máximo) es por supuesto el 3. Luego

M.C.D(48,51) = 3

Problema: Halle el M.C.D. de (64,120,144)

Solución:

Divisores de 64 1 2 4 8 16 32 64

Divisores de 120 1 2 4 6 8 10 12 15 20 24 30 40 120

Divisores de 144: 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 48 72 144

Los divisores o factores comunes a 64,120 y 144, están resaltados en negrilla. Son 1 (siempre), 2 y 8. Luego

M.C.D(64,120,144) = 8

18

Método rápido para calcular el M.C.D.

Problema: Calcular el M.C.D. de 120 y 16.

Solución: 120 16 16 8 M.C.D. 8 7 0 2 Residuo 0 Luego MCD(120,16) = 8 Método: Se dividen los dos números. Luego se divide el divisor entre el residuo de la primera división. Este procedimiento se continúa hasta que el residuo sea 0. El último divisor es el MCD.

Problema: Calcular el M.C.D. de 64 y 120.

Si revisa en el ejercicio previo (de MCD(64, 120, 144) ) las dos primeras filas que contienen los divisores de 64 y 120, concluirá que MCD(64,120) = 8.

Solución:

120 64 64 56 56 8 56 1 8 1 0 7

Por lo tanto: MCD(120,64) = 8

Problema: Hallar

MCD(72,120,250)

Solución rápida:

120 72 72 48 48 24

48 1 24 1 0 2

Luego MCD(72,48) = 24

Ahora calcule MCD (250,24) así :

250 24 24 10 10 4 4 2

10 10 4 2 2 2 0 2

Luego MCD(72,120,250) = 2

19

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Caracas- Venezuela Minimo común múltiplo (Mínimo múltiplo común) Los primeros 8 múltiplos de 12 y 16 son: De 12 :12 24 36 48 60 72 84 96 De 16: 16 32 48 64 80 96 112 118 De la lista anterior concluimos que el mínimo común múltiplo de 12 y 16 es 48. Cálculo del mínimo común múltiplo

Hallemos el mínimo común múltiplo de 12 y 96.

1er Método: Descomposición en factores primos

12 2 96 2 6 2 48 2 3 3 24 2 1 12 2 6 2 12 = 22 x 3 3 3 1 96 = 25 x 3

Se observan las factorizaciones y se multiplican los valores comunes y no comunes con su mayor exponente.

mcm(12,96) = 25 x 3 = 96

Problema: Calcule mcm(96,360) Solución: Sabemos que 96 = 25 x 3. Además :

Luego mcm( 96,360) = 25 x 3 2 x 5 = 32 x 9 x 5 = 288 x 5 = 1440

360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 360 = 23 x 3 2 x 5

20

2|do. Método:

a) Hallemos de MCD(96,360)

360 96 96 72 72 24 72 3 24 1 6 1 0 3 Luego MCD(130,12) = 24

Por lo tanto 96 = 24 x 4 360 = 24 x 15 Luego mcm(96,360) = 24 x 4 x 15 = 96 x 15 = 1440 Operaciones con fracciones Suma y resta de fracciones con igual denominador Problema: Efectúe 2/16 – 4/16 + 3/16 Solución: 2/16 – 4/16 + 3/16 = (2 – 4 + 3)/16 = 1/16 Simplemente: Se coloca el denominador común y en el numerador se suman y/o restan los numeradores. Reducción a común denominador Problema: Reduzca a un denominador común a las fracciones 3/4 , -8/12, 5/32 Solución:

A) Encuentre, por inspección un múltiplo de los denominadores. Preferiblemente el mínimo común múltiplo. El número así obtenido será el denominador común.

Escojamos a 96 que es el m.c.m. de 4, 12 y 32.

Calculo de mcm( 4,12,32)

4 2 12 2 32 2 2 2 6 2 16 2 1 3 3 8 2 1 4 2 2 2 4 = 22 12 = 22 x 3 1 32 = 25

21

Luego mcm(4,12,32) = 25 x 3 = 32 x 3 = 96

B) Amplifique cada una de las fracciones (multiplicando al numerador y al denominador por el mismo número) de tal manera que el denominador de todos sea 96, así:

3/4 x 24/24 = 72/96 - 8/12 x 8/8 = -64/96 5/32 x 3/3 = 15/96

C) Efectúe las operaciones así:

3/4 - 8/12 + 5/32 = 72/96 – 64/96 + 15/96 = (72 – 64 + 15)/96 = 23/96

Problema: Exprese en “quintos” al número mixto 3 ¾

3 ¾ es igual a 3 “unidades” + 3/4 = 12/4 + 3/4 = 15/4

Problema: Efectúe –14/3 – 4 2/7 + 1/8 = -14/3 – (4 + 2/7) + 1/4 =

(14 X 28 – (4 x 84 + 2 x 12) + 21)/ 84 =

(392 – (336 + 24) + 21) / 84 =

(392 – 336 – 24 + 21)/84 =

(392 – 360 + 21)/84 =

= 53/84

Como MCD(53,84) = 1. No hay simplificación posible.

22

APLICACIONES DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Suma y resta de fracciones La siguiente operación es sencilla ya que todas las fracciones tienen igual denominador.

6

1

6

153

6

1

6

5

6

3−=

+−=+−

Reducción a común denominador

Si las fracciones no tienen igual denominador, basta con hallar un denominador común que sea “múltiplo” de todos los denominadores. El múltiplo mas conveniente es el “mínimo común múltiplo”.

Ejemplo 1

Para efectuar 12

7

6

3− , procedemos así:

m.c.m.(6,12)=12. Por lo tanto el común denominador entero mas pequeño de tales fracciones es 12.

Como 2612 =÷ , tenemos que 12

7

6

3− =

12

1

12

76

12

723−=

−=

−•

Para reducir a común denominador se calculó cual tipo de amplificación transforma el 6 en 12 (por 2), luego el numerador 3 se amplificó por 2. En el caso general hay que calcular varios valores de amplificación. Ejemplo 2

Si tuviésemos que calcular 4

5

12

7

6

3+− , procederíamos así:

mcm(6,12,4)=12. Como 2612 =÷ y 3412 =÷ , los factores de amplificación serían en su orden (2,1,3). El 2 corresponde al denominador 6 (6x2=12), el 1 al denominador 12 (12x1=12) y el 3 al denominador 4.

Por lo tanto: 6

7

2

2

12

14

12

14

12

1576

12

351723

4

5

12

7

6

3=÷==

+−=

•+•−•=+−

Aplicaremos el generalmente utilizado y “mecánico” método “tradicional” para tratar de demostrar sus inconvenientes, tanto en el ejemplo 1 como en el ejemplo 2.

23

Este método utiliza en el ejemplo 1 al múltiplo 6x12 en lugar del sencillo 12 (que es el mínimo común múltiplo de los denominadores). Por lo tanto:

12

7

6

3− =

72

6

72

4236

126

67123−=

−=

••−•

esta respuesta es una fracción amplificada

equivalente a la fracción 12

1− , calculada en el ejemplo 1. Para llegar a ella, debemos

simplificar

12

1

6

6

72

61

72

6

72

6−=÷−=÷−=−

Aplicando el método tradicional al ejemplo 2, daremos los siguientes “terribles” pasos, válidos pero aún así “terribles”.

288

336

288

168504

288

360168144

4126

61254674123

4

5

12

7

6

3=

−=

+−=

••••+••−••

=+−

6

7

48

48

288

336=÷= . En el último paso de simplificación hemos tenido que calcular

MCD(336,288)=48 para llegar con la máxima simplificación posible entre los valores enteros de la fracción al resultado final, que de manera más rápida se calculó en el ejemplo 2. Ejemplo 3

Efectuar 125

4

75

3+

Solución: Es claro que mcm(75,125)=375, el cual se puede hallar por inspección o calculándolo por él método usual de factorización enseñado en la escuela secundaria. Como

575375 =÷ y 3125375 =÷ , estos serán en su orden los factores de amplificación de los numeradores.

Por lo tanto 375

27

375

1215

375

3453

125

4

75

3=

+=

•+•=+

125

9

3

3

375

27=÷=

La última simplificación se apoyó en el hecho que MCD(27,375)=3. Ejemplo 4

12

31

12

56342

12

5

2

3

3

2=

+•+•=++

Al efectuar la suma anterior, nos hemos basado en que: mcm(3,2,12)=12

24

Los factores de amplificación de los numeradores son en su orden 4, 6 y 1 ya que

4312 =÷ , 6212 =÷ y 11212 =÷

Introducción al Álgebra de Expresiones Racionales

Expresiones racionales. Sumas y restas mixtas de expresiones racionales.

Una expresión racional es una fracción algebraica que involucra una o mas divisiones en una o varias incógnita, tales como:

xy / x + y., ( x 2 - y 2 ) / (x + y 2), (x + xy)/ x, etc.

Problema: Efectúe

x / ( x 2 - y 2 ) + y/(x + y)

Solución: ( x 2 - y 2 ) = (x + y) (x – y). Luego

mcm( x 2 - y 2 , x + y) = ( x 2 - y 2 )

Por lo tanto x/( x 2 - y 2 ) + y/ (x + y) = (( x + (x-y) y)/ ( x 2 - y 2 ) = (x + xy - y 2 )/ ( x 2 - y 2 )

Problema: Efectúe 1/x + 1/y + 2/(xy)

Solución: mcm( x,y,xy) = xy. Por lo tanto

1/x + 1/y + 2/(xy) = (y + x + 2) / xy

EJERCICIOS SELECTOS (Para resolver)

Divisibilidad y números enteros

25

Exponentes Fracciones

Fracciones , relaciones, porcentajes

26

Estadística

Progresiones aritméticas Progresiones geométricas

Progresiones geométricas Ecuaciones

27

Ecuaciones

Ecuaciones Inecuaciones

Funciones

28

Interpretación de gráficos

Interpretación de gráficos Geometría: ángulos

En el gráfico se representa la distribución de los graduados de una universidad en los últimos 6 años. De acuerdo con este, el porcentaje de graduados en los 2 primeros años, con relación al total es: a)66,66% b)40% c)38,46% d)33% e)50%

En el gráfico se representa la distribución de los graduados de una universidad en los últimos 6 años. De acuerdo con este, el porcentaje de graduados en los 2 primeros años, con relación al total es: a) Boss es segundo en preferencia b) Levis el Estadus es el preferido c) “Yaya” gusta más que “Yeye” d) “Lee Bien” gusta menos que “Yaya”

29

Este material es producido por José Arturo Barreto, M,A, , en Barquisimeto, Venezuela, mailto:josearturobarreto@yahoo,com Tel: (0251)8084880

Geometría: ángulos

Geometría: ángulos Geometría: Perímetros

30

Geometría: Áreas Geometría: Volúmenes

Geometría: Áreas

OPERACIONES CON RADICALES

Ejercicios resueltos

A

31

=

32

Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:

Ejercicios de aplicación.

Sumar los siguientes radicales indicados:

33

Ejercicios de aplicación.

Dividir los siguientes radicales indicados:

Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.

Ejercicios de aplicación.

Dividir los siguientes radicales indicados:

- Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador. 1

er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz

cuadrada. Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador, en éste caso por sí mismo. 2

do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er, 4to,

5to y más grado.

34

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.

3er

Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.

Ejemplos:

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador. Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.

Ejercicios de aplicación. Racionalizar el denominador (1

er Caso) de los siguientes cocientes:

35

Racionalizar el denominador (2do

Caso) de los siguientes cocientes:

Racionalizar el denominador (3er

Caso) de los siguientes cocientes:

36

SUCESIONES Una sucesión es un conjunto (o colección) infinito(a) de términos, denominados a1

, a2, a3

, a4, a5

, ..., an, an+1

,..., . Las sucesiones que se estudian siguen por lo general una regla de formación. Problema: Hallar los primeros 4 términos de la sucesión { an }, donde an = 3n2. Solución: a1

= 3 x 12 = 3 a2 = 3 x 22 = 12 a3

= 3 x 32 = 27 a4 = 3 x

42 = 48 Los primeros 4 términos de la sucesión son: 3,12, 27, 48. Problema: Halle a10 , a5.

Solución: a10 = 3 x 102 = 300 a5 = 3 x 52 = 75

Problema: Dada la sucesión {an }, en donde an

= n/(n + 1), halle a1 , a2 , a3 , a4, a20,

a250.

Solución: a1 = 1 / (1+1), a2 = 2/(2+1), a3 = 3/(3+1), a4 = 4/(4+1), a20 = 20/(20+1),

a250 = 250/(250+1). Por lo tanto: a1

= 1/2 a2 = 2/3 a3 = 3/4 a4 = 4/5 a20 = 20/(21) a250

= 250/(251). Un problema que se plantea comunmente es: Problema: Dada la sucesión

a1 = 1/2 a2

= 1/4 a3 = 1/8 a4

= 1/16 a5 = 1/ 32 .....

Halle la expresión general ( o término general ) an.

Solución: a1 = 1/2 a2 = 1/ 2 2 a3

= 1/2 3 a4 = 1/24 a5

= 1 x 25 a20 = 1/ 220

Luego : an = 1/ 2 n

. Problema: Halle el término general de la sucesión 1, 3, 4, 7, 11, 18 Notese que a1 = 1, a2 = 3. Para calcular los siguientes términos, observe que a partir del tercero, cada término es la suma de los dos anteriores. En consecuencia an = an-1 + an-2, para n ≥ 3.

37

Problema: Cuál es el término general de la sucesión -1, 2, 7, 14, 23, … Solución: Estudiemos las diferencias entre cada dos términos así 5 9 -1, 2, 7, 14, 23

3 7 De donde concluimos que a1 = -1 y an = n

2 – 2 Progresiones Una progresión aritmética es una sucesión en donde la diferencia de cada término con el anterior es una constante r, denominada la razón. Es decir, los términos de la sucesión son:

a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, …

Es decir: an = an-1 + r.

Vemos que en una progresión aritmética: an = a1 + (n-1) r.

Suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

La suma Sn de los primeros n términos de una progresión aritmética está dada por: Sn = ((a1 + an )/2).n Problema: En una progresión aritmética, el primer término es 2 y la razón 1/2. Solucion: El valor del cuarto término es : a4 = a1 + (n-1) r. Luego: a4 = a2 + (4 -1) (1/2) = 2 + 3 x ½ = 7/2 Problema: Calcular la suma de los 20 primeros números pares. Solución: La suma de los 20 primeros números pares

(2 + 4 + 6 + ... + 38 + 40) Sn = ((a1 + an )/2). n = ((2 + 40) 20)/2 = 840/2 = 420 Problema: Si el primer término de una progresión aritmética es 12, el último es 18 y la suma de sus términos es 75, calcular el número de términos de la progresión.

38

Solución: a1 = 12, an = 18, Sn = 75, Sn = (a1 + an )n/2 Luego: 75 = (12 + 18) n/2 ∴ 75 = 30n /2 ∴ 75 = 15n∴n = 5

Progresión geométrica

Es una sucesión en la cual la r no suma sino que multiplica. La fórmula an = an-1 + r, se transforma en

an = r an-1,

derivando en la fórmula

an = a1 r n-1.

En este caso, la suma de los primeros n términos está dada por

Sn = a1 ((1 - r n )/(1-r)) Problema: Hallar el cuarto término de la progresión geométrica 7, 14, 28, ... Solución: r = 2, luego a4 = a1 r

n-1∴ a4 = 7 x 23 = 56.

Problema: Hallar el primer término de una progresión geométrica, si el tercer término es 10 –3 y la razón es 10-1. Solución: an = a1 r

n-1 ∴ a1 = an / r n-1 ∴ a1 = a3 /r

n-1 = 10 -3 /(10-1) 3-1

Luego a1 = 10 -3 /(10 –1)2 ∴ a1 = 10-3/10 –2 = 10 -3 102 = 10 –1

Problema: Si en una progresión geométrica a1 = 1/4 y la razón vale 2, calcular la suma de los 5 primeros términos. Solución: Sn = a1 (1 - r n)/(1-r) = (1/4) (1- 2 5)/(1-2) = = (1/4)(1- 32)/(-1) = (1/4)(-31)/(-1) = 31/4.

Logaritmos

Primer ejemplo: logaritmos en base 2

Como 2 3 = 8, se dice que log2 8 = 3 2 2 = 4, se dice que log2 4 = 2 2 4 = 16, se dice que log2 16 = 4

Segundo ejemplo: logaritmos en base 10

39

De manera semejante: Decir que log10 1000 = 3, equivale a decir 10 3 = 1000. El número 2 en los primeros ejemplos y el 10 en el último Se denominan “la base”

Como 10 2 = 100, se dice que log10 100 = 2 Como 10 3 = 100, se dice que log10 1000 = 3

Problema: Halle log 10000. Como se ha omitido la base, debe entenderse que es 10. Como 10000 = 10 4, se concluye que log 10000 = 4 Problema: Halle log3 27 y log3 81 Solución: Como 3 3 = 27, y 3 4 = 81, concluimos que Log3 27 = 3 y log 3 81 = 4. Problema: De dos números x e y , se sabe que: Log4 x = 2 y log4 y = 5 Calcule el producto y/x

Propiedades del logaritmo

Sea z = log b x y w = log b y. Probaremos que: a)Log b (xy) = log b x + log b y b)Log b (x/y) = log b x - log b y c)Log b (x

z) = z log b x d)Log b (x 1/z) = (1/z) log b x e)Log b

n x = (1/n) log b x Demostración: Sea u = log b x y v = log b y.

a) es consecuencia del hecho que si x = bu , y = bv entonces xy = bu bv = bu+v

b) es consecuencia del hecho que si x = bu , y = bv entonces x/y = bu /bv = bu-v

c) es consecuencia del hecho que si x = bu , y = bv entonces x z = (bu)z = buz

d) es consecuencia de c)

40

e) Log b

n x = log b x 1/n = (1/n) log b x (por d y/o c) Problema: En una cierta base b, se sabe que log b 5 = a y log b 12 = c. 4

Calcule log b 60, log b 12/5, log b 5/12, log b 144 Solución: log b 60 = log b (12 x 5) = log b 12 + log b 5 = a + b log b 12/5 = log b 12 - log b 5 = a - b log b 5/12 = log b 5 - log b 12 = b-a Log b

4 144 = (1/4) log b 12 2 = (1/4) (2) log b 12 = (1/2) c.

Valor absoluto

Para un número x, se define el valor absoluto de x o x así: x si x≥ 0 x = -x si x <0 Ejemplo: Si x = 5 entonces x = x = 5 Si x = -5 entonces x = -x = -(-5) = 5 Luego, el valor absoluto de un número es siempre positivo. Note que entonces 5 = -5 = 5 y 3 = -3 = 3

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Caracas- Venezuela

PRUEBA DE APTITUD ACADEMICA

METODOS PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS

I. METODO ANALÍTICO El método analítico es el método tradicional. A partir de los datos, por medio del análisis y

de las reglas de la arimética, el álgebra, la geometría, la trigonometría, etc., se concluye la

respuesta correcta.

Problema: La ecuación de la recta que pasa por P(1,1) y Q(3,5) es:

a) y = 2x – 3 b) y = 3x + 4 c) y = 3x – 2 d) y = 2x - 1 e) y = -2x + 1 Método 1. Solución analítica. Solución: La ecuación general de la recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el parámetro. Hay que determinar m y b. Y Q(3,5)

∆y = 4 m = tan ϕ = ∆y/∆x = (5 – 1) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2 ϕ

P(1,1) ∆x x =2

El valor de b podría determinarse así: Como la recta y = 2x + b (m = 2, fue calculado arriba), pasa por (1,1), sustituyendo x = 1, y = 1 en y = 2x + b, tenemos que 1 = 2 x 1 – 3. Concluimos que b = - 1. Luego, la ecuación de la recta buscada es y = 2x – 1. La respuesta correcta es d).

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Método 2. Sustitución de las respuestas en los datos del problema. Este método no siempre es fácil de aplicar. Podría ser largo y tedioso, pero en algunos problemas funciona increíblemente bien. Se parte de las respuestas para determinar la respuesta correcta, desechando algunas de ellas. En el problema anterior, por sus datos, sabemos que la recta pasa por P(1,1). Analicemos la respuesta a) y = 2x - 3 respecto a los datos del problema. Si esta recta pasara por P(1,1), los valores x = 1, y = 1, deben satisfacer la ecuación y = 2x – 3. Sustituyendo x = 1, y =1 en la respuesta a), tenemos que 1 = 2x1 – 3. En este caso concluiríamos que 1 = -1. Lo cual es imposible. Por lo tanto desechamos a) como respuesta correcta. Compararemos ahora la respuesta b) y = 3x + 4. De nuevo sustituimos x =1, y = 1, concluyendo que 1= 3 + 4, en tal caso concluiríamos que 1 = 7, lo cual es imposible. Por lo tanto desechamos b) y = 3x + 4 como posible respuesta correcta. Compararemos ahora la respuesta c) y = 3x – 2. Sustituyendo de nuevo x = 1, y = 1, obtenemos que 1 = 3-2 , o sea que 1 = 1. Por lo tanto tal ecuación sí pasa por P(1,1). Será esta la respuesta correcta ?. Verifiquemos si también pasa por Q(3,5). Sustituyendo x=2, y = 5 en c), y = 3x – 2. Concluiríamos que 5 = 6 – 2 = 4, contradicción. Por lo tanto desechamos la opción c) Examinaremos ahora la opción d) y = 2x – 1.

Sustituyendo x=1, y = 1 (Asumimos que pasa por P(1,1)) , concluiríamos que 1 = 2 – 1 =1. Por lo tanto tal recta pasa o posee a P(1,1). Pasará también por Q(3,5)?. Es decir, será esta la respuesta correcta?.

Sustituyendo x = 3, y = 5, en la respuesta d) y = 2x – 1, obtenemos: 5 = 2x3 –1, lo cual es correcto. Concluimos entonces que tal recta cumple también la condición de pasar o poseer a Q(3,5). Por lo tanto d es la respuesta correcta. El método 2 consiste por lo tanto en sustituir las respuestas en los datos del problema, desechando algunas, hasta desechar 4 y concluir que la que queda es la correcta o hasta encontrar sorpresivamente la respuesta correcta que es la que satisfaga las condiciones del problema.

Método 3. Eliminar 3 respuestas de las 5 y escoger entre las dos restantes la que

parezca más adecuada.

43

Ejemplo: El logaritmo en base 4 de 66 es: a) 1 b) 2 c) 3,02 d) 3 e) 3,9 Solución: El método analítico nos obligaría a calcular log 4 66, lo cual es prácticamente imposible sin el auxilio de una calculadora u otro instrumento como una tabla de logaritmos ahora en desuso. Utilizando el método 2 ensayemos la primera respuesta, a). Si a) fuese la respuesta correcta debería cumplirse que 41 = 66 ( a) log 4 66 = 1 ). Como 41 ≠ 66, a) es desechada. Como 42 ≠ 66, b) también es desechada, lo mismo que d) ya que 43 ≠ 66. Veamos cual es la respuesta más probable entre c) y e). Como 43 = 64 ≈ 66 y 44 = 256, número bastante lejano de 66, concluimos que probablemente la respuesta es c) 3,02 valor cercano a 3 en lugar de e) 3,9 valor cercano a 4. Escogemos a c) como la respuesta correcta. El método 3 consiste en:

a) a) desechar 3 respuestas b) escoger la respuesta acertada entre las dos restantes.

Método 4. Utilizar la probabilidad y el azar probabilístico a nuestro favor. El 4° método es el apaga fuegos de todos los métodos cuando no nos queda más opción que no contestar, por falta de datos o falta de otros recursos. Puede utilizarce en aquellos problemas, en los cuales después de haber desechado tres respuestas sólo nos quedan dos, para nosotros igualmente probables. No es aplicable a todo tipo de problemas ya que en algunos puede ser difícil desechar 3 respuestas, no funciona si sólo se han desechado 2 o menos. El método consiste en

a) a) Desechar 3 respuestas b) b) Lanzar una moneda y tomar la siguiente decisión: si sale cara, señalar como

verdadera la respuesta (de las dos que quedan), situada en la posición superior de la lista de respuestas. Si sale sello, escoger como respuesta, la que esté (entre las dos que quedan), que esté en la posición inferior de la lista.

Supongamos que vamos a aplicar este método (el del azar) a la pregunta anterior, después de haber desechado como se hizo las respuestas a) , b) y d). Esto significaría que hemos decidido

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eliminarlas porque tenemos certeza de que ninguna de ellas es la respuesta correcta. Denotaremos esto señalando con x la respuesta desechada, así:

a) x b) x c) ? d) x e) ?

La respuesta correcta es una de las dos c) o e). Como no hay un criterio que nos permita escoger las respuestas mas probable (en cuanto a la más probable), entre c) y e) , lanzaremos una moneda. Si sale cara, escogeremos c), si cae sello, escogeremos e). Es claro que el azar no nos garantiza que la respuesta así escogida, es la correcta. Sin embargo las probabilidades de ganar puntaje en la prueba de aptitud académica están a nuestro favor, ya que:

a) Si no contestamos la pregunta, esta valdrá 0 puntos. b) Si no acertamos la respuesta correcta con la moneda, hemos perdido sólo 1/3 de punto

( 3 respuestas malas anulan una buena) c) Si acertamos la respuesta correcta, esta nos aportará un punto que no conseguiríamos

de otra manera. d) La probabilidad de acertar la respuesta correcta con el lanzamiento de la moneda es ½,

es decir que aun cuando no está la probabilidad a nuestro favor, tampoco está en contra.

Como se demuestra en la discusión sobre probabilidad anexa, este método probabilisticamente está a nuestro favor.

Es el método del azar permitido por el reglamento de la prueba de aptitud académica?.

Según la razón natural debe ser lícito ya que: a) a) Requiere conocimientos y destrezas básicas, ya que primero se requiere desechar

con certeza tres respuestas entre las cinco. Inconveniente sería tal vez utilizar un dado de 5 caras para escoger la respuesta correcta lo cual iría desde el punto de vista probabilístico en nuestra contra, ya que en este caso la probabilidad de acertar sería sólo de 1/5, en lugar de 1/2 que es la probabilidad en el método propuesto.

b) b) No existe ninguna regla previa establecida por el CNU que prohiba tal práctica. El método del azar propuesto ha demostrado su eficacia en pruebas efectuadas en mis prácticas de clase en el curso de preparación para la prueba de aptitud académica.

Observación: Si teme utilizar una moneda en la prueba, lleve un dado pequeño y confiable (bien balanceado). Reemplace “cara” por número “par” y sello por número “impar”. Nota: Muchos ejercicios se pueden desarrollar “a pie” sin utilizar ecuaciones sofisticadas como lo muestra el siguiente ejemplo tomado del libro “Boletín de Información General: Prueba de Aptitud Académica 2006. Consejo Nacional de Universidades. Venezuela”.

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Ejemplo Se contrató a un carpintero para fabricar 60 sillas de madera. El primer día fabricó 5 sillas y después, cada día hizo 2 días más que el día anterior. El número de días que tardó en hacer el trabajo fue:

a) 5 b) 7 c) 6 d) 9 e) 11

Solución tomada de la página 48 del libro citado arriba.

“Analizando los datos del problema observamos que se trata de una situación que

se resuelve aplicando la los términos de una progresión geométrica de razón 2.

Sabemos que 2

)( 1 naaS n

n

+= y rnaan )1(1 −+=

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera se obtiene:

2

))1(2( 1 nrnaSn

−+= . Reemplazando los valores conocidos, dados en el problema,

tenemos: 60,2,51 === nSra . Luego 24)4(

2

)2)1(52(60 nnnn

nn+=+=

−+•= .

Y resulta la siguiente ecuación de 2º grado: 06042 =−+ nn . Y al resolverla nos

dan los valores: 61 =n y 102 −=n .Como -10 es negativo se rechaza como

solución, pues no es un número natural. Luego la solución es 6.

Sin mayor comentario, preferimos hallar la solución “a pie”, sin ni siquiera referirnos al tema de las progresiones y sin aplicar tales fórmulas.

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Haremos una tabla teniendo en cuenta el número de mesas que produce cada día. Día Mesas

Producidas Total hasta

el día 1 5 5 2 7 12 3 9 21 4 11 32 5 13 45 6 15 60

Es evidente que las 60 mesas se producen en 6 días.

No te lo garantizo niño “precoz”…..pero muchas veces funciona y otras veces no!. Tu

tienes que escoger el método…..En todo caso aplica tu juicio y tu “larga” experiencia.

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47

Demostración, basada en la teoría de la probabilidad, de que el método al azar, propuesto para responder preguntas con 5 opciones, utilizando un dado o una moneda es “probabilisticamente” acertado.

Probabilidad La teoría de la probabilidad recibió un gran impulso en el siglo XVII por la inquietud de jugadores o apostadores profesionales que querían conocer la probabilidad de ganar perder o empatar (sus perdidas o ganancias) en los juegos de azar o en los juegos de casino. En 1654, el noble Francés Chevalier de Mere le pidió a Blaise Pascal, célebre matemático y filósofo, que le ayudara a estudiar las probabilidades de éxito o fracaso en ciertos juegos de azar. Pascal y el famoso matemático Pierre Fermat y otros, comenzaron a desarrollar la entonces novedosa teoría de la probabilidad. El más sencillo ejemplo de su aplicación, se ilustra con el juego del “cara” y “sello”. Cuál es la probabilidad de obtener una “cara” o un “sello” al lanzar una moneda?. Respuesta: La moneda puede caer en cara o sello. El espacio muestral o conjunto de todas las posibilidades o resultados del lanzamiento de una moneda se puede describir como el conjunto c,s, que contiene todos los eventos o resultados posibles al lanzar la moneda. Nuestro espacio muestral tiene dos elementos o se dice que es de cardinal 2. Si estudiamos el evento cara (obtener una cara) y lo describimos por c, vemos que es de cardinal 1 , es decir que tiene un solo elemento. La probabilidad de cara se define como la división de el número de elementos del espacio muestral c,s, que aseguran el éxito (cara), en este caso 1 (aparece sólo una cara en el espacio muestral c,s) entre el número total de elementos o cardinal del espacio muestral (en este caso 2). Definida de esta forma, la probabilidad de cara sería : P(c) = ½ = 0,5. La probabilidad de sello es por supuesto: P(s) = 1/2 = 0,5 (hay la misma probabilidad de obtener cara que de obtener sello). Todo esto se justifica porque hay una sola cara y un solo sello en el espacio muestral c,s, el cual como espacio total tiene dos elementos. Al lanzar la moneda, una sola vez, puede haber “éxito” (sacar cara) o fracaso (sacar sello) y no hay otra posibilidad. Note que P(c) + P(s) = 1, lo cual siempre sucederá en teoría de probabilidad. Por ello si llamamos “éxitp” a obtener “cara” y “fracaso” a obtener sello, como no hay otra posibilidad, entonces P(éxito) + P(fracaso) = 1.

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Problema: En la final de un reinado internacional de belleza hay siete candidatas: 3 Europeas, 1 Africana, 2 Latinoamericanas y 1 Asiática. Suponiendo que la elección de cada una es igualmente probable, estudiaremos

A) La probabilidad de que la reina sea Europea B) La probabilidad de que la reina sea Africana C) La probabilidad de que la reina sea Latinoamericana D) La probabilidad de que la reina sea Asiática.

Solución: El espacio muestral sería la colección o conjunto de reinas, denom,inando por a a las Africanas, por e a las Europeas, por l a las Latinoamericanas y as a las Asiáticas, es decir:

S = e,e,e,a,l,l, as

En S, las cualidades que caracterizan a nuestras reinas respecto a la probabilidad de ser europea, africana, latinoamericana o asiática, nos obligan a no distinguir entre las finalistas Europeas (3), o entre las Africanas (1), o entre las Latinoamericanas (2) o entre las asiáticas (1), puesto que además no se ha dicho que algunas de ellas tienen mayor probabilidad de ser elegidas Reina. El espacio muestral S tiene cardinal 7 ( 7 finalistas). Las Europeas son 3, las Africanas 1, las Latinoamericanas 2 y las Asiáticas (1). Sean P(e) : Probabilidad de que la reina sea Europea P(a) : Probabilidad de que la reina sea Africana P(l ) : Probabilidad de que la reina sea Latinoamericana P(as): Probabilidad de que la reina sea Asiática Entonces: P(e) = ( # finalistas europeas ) / ( # total de finalistas) = 3/7 P(a) = ( # finalistas africanas ) / ( # total de finalistas) = 1/7 P( l ) = ( # finalistas latinoamericanas ) / ( # total de finalistas) = 2/7 P(as) = ( # finalistas asiaticas ) / ( # total de finalistas) = 1/7 De nuevo: P(e) + P(a) + P( l ) + P(as) = 3/7 + 1/7 + 2/7 + 1/7 = 1, ya que estas son todas las posibilidades disyuntas (sin intersección) del espacio muestral y los eventos son excluyentes: las europeas no son ni africanas, ni asiáticas , ni latinas y así para todas las demás. La suma de las probabilidades de la unión (U) de subconjuntos disyuntos que “agoten” el espacio

muestral es 1. Este principio lo verificaremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Se tiene una urna con 20 bolas de la misma textura y forma (para que no se diferencien al extraerlas), en diferentes colores, así: 5 amarillas, 8 negras, y 7 rojas. Cuál es la probabilidad de que al extraer una sóla bola de las 20, la bola sea:

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a) negra b) no sea amarilla c) sea roja d) sea amarilla o negra Solución: El espacio muestral sería descrito como: S = A,A,A,A,A,N,N,N,N,N,N,N,N,R,R,R,R,R,R,R Como hay ocho bolas negras, la probabilidad de que la bola sea negra

P(N) = (# bolas negras) / (# total de bolas) = 8 / 20 = 4/10 = 0,4 Del mismo modo se calcula, la probabilidad de que la bola sea roja c) P(R) = 7 / 20 = 0,35 Auncuando no lo preguntan, podría ya inferir la probabilidad P(A) de que la bola sea de color amarillo, ya que S = A,A,A,A,A U N,N,N,N,N,N,N,N U R,R,R,R,R,R,R y dichos conjuntos son disyuntos. Por lo tanto: P(A) + P(N) + P(R)= 1. Luego P(A) = 1 – P(N) – P(R) = 1 – 0,4 – 0,35 = 0,25 En este caso, por cálculo directo se inferiría que P(A) = 5/20 = 1/4 = 0,25 Las preguntas b) y d) ameritan un poco de reflexión: b) El evento: Para que la bola no sea amarilla, debe ser roja o negra, por lo tanto, tal evento corresponde al conjunto: N,N,N,N,N,N,N,N U R,R,R,R,R,R,R = N,N,N,N,N,N,N,N,R,R,R,R,R,R,R de cardinal 15, luego, la probabilidad de que la bola no sea amarilla sería: P(∼A) = 15 / 20 = 3/4 = 0,75 Otra manera de calcularla, es considerando que el evento bola no amarilla es el

complemento en el espacio muestral de bola amarilla y por lo tanto: P(∼ A) = 1 – P(A) = 1

– 0,25 = 0,75

d) Sea amarilla o negra. Se podría calcular al menos de dos maneras.

i) El complemento en el espacio muestral de amarilla o negra, es roja. P(R) = 0,35. Luego P(∼ R) = 1 – 0,35 = 0,65

ii) El total de bolas contando sólo las amarillas y las negras es 13. Luego la probabilidad de que la bola sea amarilla o negra P(A U N ) = 13 / 20 = 0,65

Problema: Calculemos la probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces obtengamos:

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a) 3 caras b) dos caras c)una cara d)solo sellos e) un sello f) dos caras y un sello g)dos sellos. h) ninguna cara

Solución: El espacio muestral o conjunto de todos los posibles resultados es: C,C,C tres caras C,C,S Dos caras y un sello (cara en los primeros dos lanzamientos) C,S,C “ “ “ (cara en el primero y el tercer intentos) S,C,C “ “ “ (cara en el segundo y tercer lanzamientos) C,S,S Una cara y dos sellos (cara sólo en el primer lanzamiento) S,C,S “ “ “ (cara solo en el Segundo lanzamiento) S,S,C “ “ “ (cara solo en el tercer lanzamiento) S,S,S Ninguna cara Luego, el cardinal o número de elementos del espacio muestral es 8. Note que 8 = 23, este resultado proviene de la teoría combinatoria la cual no es tema de esta guía. a) El suceso o evento 3 caras sólo aparece una vez. Luego P(3 caras) = 1/8 = 0,125 b) El evento 2 caras aparece 3 veces, luego: P(2 caras) = 3/8 = 0,375 c) El evento una cara aparece 3 veces, luego P(1 cara) = 3/8 = 0,375 d) El evento sólo sellos es equivalente a ninguna cara, luego P(sólo sellos) = 1/8 = 0,125 e) El evento un sello es equivalente a dos caras, ya calculado, luego su probabilidad es 0,375 f) El evento dos caras y un sello es equivalente a dos caras, luego su probabilidad es también 0,375 g) El evento dos sellos es equivalente a una cara, luego su probabilidad, ya calculada, es 0,375 h) El evento,ninguna cara, es equivalente a 3 sellos, luego su probabilidad es 1/8 = 0,125 Podríamos verificar que: P(1 cara) + P(2 caras) + P(3 caras) + P(ninguna cara) = 1 Si A es un evento y ∼A es su negación, teniendo en cuenta la igualdad anterior, afirmamos que

P(A) + P(∼A) = 1, por lo tanto: P(∼A) = 1 – P(A).

En base a esta regla podemos contestar la siguiente pregunta: Cuál es la probabilidad de que salga al menos una cara en los tres lanzamientos: La probabilidad de sólo sellos se calculó en d) como 0,125, su negación es que salga al menos una cara (una cara, dos caras, tres caras), luego P(al menos una cara) = 1 – P(sólo sellos) = 1 – 0,125 = 0,875 También P(al menos una cara) = P(una cara) + P(dos caras) + P(3 caras)

= 0,375 + 0,375 + 0,125 = 0,875 Luego la probabilidad de que salga al menos una cara en 3 lanzamientos es alta (0,875),

mientras que la probabilidad de que no salga ninguna, sólo sellos es baja (0,125).

51

Es por ello que la probabilidad de acertar al menos una pregunta cuando se contestan tres preguntas por el método del azar propuesto en la guía # 8 es alta. Por lo tanto en este caso la probabilidad de contestar al menos una pregunta acertada, utilizando el método del azar en tres preguntas es 0,875, mientras la posibilidad de no acertar ninguna es relativamente baja (0,125). Observación: Si en la prueba de aptitud académica, una pregunta mala anulara una buena, yo no aconsejaría utilizar el método del azar, pues auncuando no sería tan peligroso como jugar a la ruleta Rusa (colocar una sola bala en el tambor de un revolver, girar el tambor al azar, y disparar a la cabeza), sería en parte un juego, no tan desventajoso al fín pero al menos demasiado “azaroso”. (cara solo en el Segundo lanzamiento) S,S,C “ “ “ (cara solo en el tercer lanzamiento) S,S,S Ninguna cara Luego, el cardinal o número de elementos del espacio muestral es 8. Note que 8 = 23, este resultado proviene de la teoría combinatoria la cual no es tema de esta guía. a) El suceso o evento 3 caras sólo aparece una vez. Luego P(3 caras) = 1/8 = 0,125 b) El evento 2 caras aparece 3 veces, luego: P(2 caras) = 3/8 = 0,375 c) El evento una cara aparece 3 veces, luego P(1 cara) = 3/8 = 0,375 d) El evento sólo sellos es equivalente a ninguna cara, luego P(sólo sellos) = 1/8 = 0,125 e) El evento un sello es equivalente a dos caras, ya calculado, luego su probabilidad es 0,375 f) El evento dos caras y un sello es equivalente a dos caras, luego su probabilidad es también 0,375 g) El evento dos sellos es equivalente a una cara, luego su probabilidad, ya calculada, es 0,375 h) El evento,ninguna cara, es equivalente a 3 sellos, luego su probabilidad es 1/8 = 0,125 Podríamos verificar que: P(1 cara) + P(2 caras) + P(3 caras) + P(ninguna cara) = 1 Si A es un evento y ∼A es su negación, teniendo en cuenta la igualdad anterior, afirmamos que

P(A) + P(∼A) = 1, por lo tanto: P(∼A) = 1 – P(A).

En base a esta regla podemos contestar la siguiente pregunta: Cuál es la probabilidad de que salga al menos una cara en los tres lanzamientos: La probabilidad de sólo sellos se calculó en d) como 0,125, su negación es que salga al menos una cara (una cara, dos caras, tres caras), luego P(al menos una cara) = 1 – P(sólo sellos) = 1 – 0,125 = 0,875 También P(al menos una cara) = P(una cara) + P(dos caras) + P(3 caras)

= 0,375 + 0,375 + 0,125 = 0,875

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Luego la probabilidad de que salga al menos una cara en 3 lanzamientos es alta (0,875),

mientras que la probabilidad de que no salga ninguna, sólo sellos es baja (0,125).

Es por ello que la probabilidad de acertar al menos una pregunta cuando se contestan tres preguntas por el método del azar propuesto en la guía # 8 es alta. Por lo tanto en este caso la probabilidad de contestar al menos una pregunta acertada, utilizando el método del azar en tres preguntas es 0,875, mientras la posibilidad de no acertar ninguna es relativamente baja (0,125). Observación: Si en la prueba de aptitud académica, una pregunta mala anulara una buena,

yo no aconsejaría utilizar el método del azar, pues aun cuando no sería tan peligroso como

jugar a la ruleta Rusa (colocar una sola bala en el tambor de un revolver, girar el tambor al

azar, y disparar a la cabeza), sería en parte un juego, no tan desventajoso al fín pero al

menos demasiado “azaroso”.

Este material es producido por José Arturo Barreto, M,A, , en Barquisimeto, Venezuela, mailto:josearturobarreto@yahoo,com Tel: (0251)8084880 ECUACIONES E INECUACIONES(DESIGUALDADES ALGEBRAICAS) Una ecuación en x es una expresión algebraica en x igualada a cero. Ejemplo: x3 - 3x2 + 2 = 0, (x + 1)/(x – 1) + 3x = 0, etc.

Ceros o raíces de una ecuación Un cero o una raíz de una ecuación en x es un valor de x que satisface la ecuación.

Problema: Halle un cero o una raíz de la ecuación x + 2 = 5 Solución: x = 3. Problema: Halle un cero o raíz de (x + 1) / ( x – 1) + 3x = 0 Solución: Es claro que x ≠ 1 ya que x – 1 ≠ 0 Reduciendo a común denominador la expresión de la izquierda tenemos:

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(x + 1 + 3x(x – 1) )/(x – 1) = 0 Luego: x + 1 + 3x(x – 1) = 0 x + 1 + 3 x2 – 3x = 0 3 x2 –2x + 1 = 0 x = ( 2 +/- √(4-12) ) / 6 = (2 +/- √ (-8))/ 6 Por consiguiente la ecuación planteada no tiene solución ya que 8− no es un número real. Problema: Halle un cero o raíz de (x + 1) / (x – 1) - 3x = 0 Solución: x≠ 1. Luego (x + 1 – 3x(x – 1))/(x – 1) = 0 (x + 1 - 3 x2 + 3x) / (x – 1) = 0. Por lo tanto: (-3 x2 + 4x + 1)/(x – 1) = 0 En consecuencia: -3 x2 + 4x + 1 = 0. Concluyéndose que x = (-4 +/- √ (16 + 12))/(-6) = ( -4 +/- √28 )/(-6) =

= (-4 +/- 2√7) / -6

Por lo tanto: x1 = ((2√7 – 4))/-6 = (4 - 2√7)/6 = (2 - √7) / 3 X2 = (2 + 2√7) / 3 Por sustitución verifiquemos que

(2 - √7) / 3 es un cero o raíz de la ecuación (x + 1)/(x – 1)+3x = 0 Si lo és, ya que ((2- √7) /3 + 1)/ ((2 - √7)/3) – 1) - 3(2 - √7)/3 = 0. De modo semejante se puede comprobar que x2 = (2 + √7)/3 es la otra raíz.

CEROS O RAÍCES DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Los ceros o raíces de la ecuación de segundo grado a x2 + b x + c = 0 se pueden hallar por las fórmulas: x1 = (-b + √ (b 2 – 4 a c) ) / 2a y x2 = (-b + √ (b 2 – 4 a c) ) / 2a, donde el discriminante (b 2 – 4 a c) no puede ser negativo.

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Ceros o raíces de expresiones factorizadas Problema: Halle los ceros o raíces de (x – 3) ( 2x + 1) Solución: Resolver (x-3)(2x+1) = 0. Es evidente que las dos raíces son x = 3 y x = -1/2 Problema: Halle los ceros o raíces de x((x+1)/3) Solución: Resolvemos x((x+1)/3) = 0. Un cero o raíz es x = 0. El otro se halla resolviendo (x+1)/3 = 0. Por consiguiente x = -1. Las raíces son por lo tanto x1 = 0 y x2 = - 1.

Problema: Halle las raíces de (x – 2) 2 Solución: Resolvemos (x-2) 2 = 0. La única raiz es x = 2. Se dice que la raíz x = 2 es doble.

Ceros y raíces de ecuaciones de tercer grado y su relación con la

factorización Problema: Hallar los ceros de 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 sabiendo que x=1 es una raíz.

a) Verifiquemos que x = 1 es una raíz, sustituyendo la x por el número 1.,así 3( 13 ) – 7 (12) + 5 – 1 = 3 –7 + 5 – 1= 8-8 = 0. Verificado.

b) Como x= 1 es una raíz, entonces x – 1 es un divisor o factor de

3 x3 – 7 x2 + 5x –1

Efectuando: 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 x – 1 3 x3 + 3 x2 3 x2 - 4x +1

-4 x2 + 5x 4 x2 - 4x x – 1

Luego 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 = (x – 1) (3 x2 4 x +1) (x = 1 es una raíz) Hallemos ahora las raíces de 3 x2 - 4x +1 x = ( 4 +/- √ (16 – 12) ) / 6 = ( 4 +/- √4 ) / 6 = (4 +/- 2) / 6 = 1/3

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En consecuencia, las raíces son x1 = 1 y x2 = 1/3 Problema: Factorice 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 Solución: Conociendo las raíces x = 1 ( raíz doble) y x2 = 1/3 Diremos que 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 = 3 (x – 1) 2 (x – 1/3). De dónde salió el 3 del lado derecho? Respuesta: tomando el coeficiente 3 de 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 (Aquí hay que hacer, como en química, una especie de balanceo de ecuaciones) Problema: Cómo hallar las raíces racionales de un polinomio de grado 3 o mayor y cómo factorizarlo? Solución: Los ceros o raíces racionales (de la forma p/q, q≠ 0, p y q, números enteros)) , del polinomio

a3 x3 + a2 x

2 + a1x + a0

deben cumplir las siguientes condiciones:

p debe dividir o ser un factor de a0

q debe dividir o ser un factor de a3

Problema: Determine si 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 tiene raíces racionales y factorícelo en lo posible. Solución: Las raíces racionales (de la forma p/q, p y q números enteros, p ≠ 0), deben cumplir que: p -1 y q 3 (Leáse “” como divide a). Como p y q deben de ser enteros, tenemos las siguientes posibilidades, para los valores de p y q. p = +/- 1 q = +/-1, +/-3 Los posibles valores de p/q serían: 1, -1, 1/3, -1/3

56

Sustituyendo estos números en 3 x3 – 7 x2 + 5x –1, encontramos que X = 1 y x = 1/3 son raíces racionales. Luego si 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 = 3 (x –1) ( x – 1/3) h(x). Cómo hallar h(x)?. Solucion Efectuemos 3 (x – 1) (x – 1/3) = 3 ( x2 – (4/3)x + 1/3 ) = si 3 x2 - 4x +1 Efectuemos ahora: 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 3 x2 - 4x +1

- 3 x2 + 4 x2 – x -3 x2 + 4x –1 x – 1 3 x2 – 4x + 1 0

Luego: 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 = 3 (x – 1) (x – 1/3) (x – 1) De nuevo vemos que las raíces son x = 1 (raíz doble) y x = 1/3 Inecuaciones (desigualdades): Problema: Resolver 3x < 1 Solución: Dividiendo a ambos lados de la inecuación por 3 (o pasando el 3 a dividir), obtenemos x < 1/3 Problema: Resolver - 3x < 1 Solución:(primer método) Sumando 3x a ambos lados ( o pasando 3x a sumar), obtenemos 0 < 1 + 3x Sumando –1 a ambos lados (o pasando el 1 a restar) -1 < 3x Luego -1/3 < x (2do. Método) Partiendo de - 3x < 1

57

Multiplicamos por (-1) Ambos lados de la ecuación 3x > -1 Note que al multiplicar o dividir ambos términos de una inecuación por un número negativo, debe cambiarse el sentido de la inecuación. Por lo tanto

x > -1/3 Problema: Resolver 3x3 – 7 x2 + 5x -1 < 0 Solución: Paso 1. Factorizamos 3 x3 – 7 x2 + 5x –1 = 3(x-1)2 (x –1/3) Esta expresión es negativa sólo en el caso en que

x – 1/3 < 0, ya que el número 3 es un número positivo y (x – 1)2 ≥ 0, para todo valor de x. De x – 1/3 < 0, deducimos que x <1/3

Trigonometría

La trigonometría es la parte de las matemáticas que se ocupa del estudio de las funciones Trigonométricas. Este estudio se inicia con el estudio de las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos. Dado un triángulo rectángulo como el de la figura siguiente Donde, por supuesto, 0 < α < 90°, es un ángulo agudo.

Se definen: hipotenusa

stocatetoopue

hi

cosen ==α

hipotenusa

centecatetoadya

hi

ca==αcos

centecatetoadya

stocatetoopue

ca

co==αtan

stocatetoopue

centecatetoadya

co

cactg ==α

centecatetoadya

hipotenusa

ca

hi==αsec

stocatetoopue

hipotenusa

co

hi==αcsc

hi co α ca

58

Ejercicio: Dado el triangulo rectángulo cuyos catetos se dan en la figura:

a) Calcule la hipotenusa b) Calcule todas las funciones trigonométricas para los ángulos α y β .

a) La hipotenusa h se puede calcular, aplicando el teorema de Pitágoras así: 2516943 222 =+=+=h . Por lo tanto h= 5.

El triángulo será por lo tanto

Por lo tanto, utilizando las definiciones anteriores, concluiremos:

b)

5

3=αsen

5

4cos =α

4

3tan =α

3

4=αctg

4

5sec =α

3

5csc =α

5

4=βsen

5

3cos =β

3

4tan =β

4

3=βctg

3

5sec =β

4

5csc =β

A veces, se dan como datos un cateto y la hipotenusa y se pide contestar las mismas preguntas planteadas anteriormente.

Problema:

Dado el triangulo rectángulo del cual se dan un cateto y la hipotenusa:

a) Calcule el otro cateto b) Calcule todas las funciones trigonométricas para los ángulos α y β .

h β 3 α 4

5 β 3 α 4

5 β 3 α c

59

a) El cateto c se puede calcular, aplicando el teorema de Pitágoras así: 1692535 222 =−=−=c . Por lo tanto c=4..

El triángulo será por lo tanto

Las funmciones trigonometricas, de los ángulos α y β se calculan siguiendo

el modelo de dichos cálculos en el ejercicio anterior.

Aplicación Un pájaro es visto por un observador, siguiendo una línea visual que pasa por un árbol de 6 metros de altura, como muestra el gráfico adjunto. El observador se encuentra a 2 metros del árbol, y la sombra del pájaro se proyecta a 4 metros del árbol, como se muestra en la figura. Calcular la altura a del pájaro .

Solución: Para el ángulo α , 32

6tan ==α . Además,

6tan

a=α . Por lo tanto,

36

=a

. En consecuencia, la altura a del pájaro es 18 metros.

Las relaciones entre los lados de un triángulo y los ángulos agudos determinan los funciones trigonométricas de dichos ángulos. Es importante relacionar las siguientes figuras que nos permiten recordar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 60° y 45°, los cuales son nuestros ángulos agudos notables.

5 β 3 α 4

a 6 m α 2 m 4m

60

Por lo tanto: 2

130 =°sen ,

2

330cos =° ,

3

130tan =° =

3

3, etc.

2

360 =°sen ,

2

160cos =° , 360tan =° , etc.

2

2

2

145 ==°sen ,

2

2

2

145cos ==° , 1

1

145tan ==° , etc.

A partir de sus definiciones, se concluye que α

αcos

1sec = ,

αα

sen

1csc = ,

αα

tan

1=ctg

Para recordar estas relaciones, asociémolas con el siguiente gráfico:

αsen αcos αtan αctg αsec αcsc Donde las funciones unidas por las curvas son inversas multiplicativas, una de la otra.

60°

2 1 2 1 30° 45°

3 1

61

Funciones Trigonométricas de ángulos entre 0 y 360° Generalizaremos las funciones trigonómetricas basándonos en el siguiente ejemplo: C´ C 5 3 6 α A B B´ 4 8

Para el ángulo α , 5

3=αsen . Según el teorema de Thales, los triángulos ABC y AB´C´ son

semejantes y además la relación entre los lados del triángulo ABC y los lados

correspondientes del triángulo AB´C´ se conserva, es decir que CB

BC

CA

AC

BA

AB

′′=

′=

′ . No

es por ello extraño que si AB´ fuese 8, entonces B´C´ sería 6 y AC’=10.

De ahí que el seno de α , calculado como 5

3, utilizando el triángulo ABC, es

8

6 utilizando

el triángulo AB´C´. Afortunadamente, el teorema de Thales se cumple ya que 4

3

8

6= .

Si utlizamos un círculo de radio r , las funciones trigonométricas de los ángulos α ,

0 < α < 2

π , en el primer cuadrante, en donde el ángulo α está expresado en radianes y

no en grados y 1416,3≈π , se definen a partir de la figura siguiente, tomando como referencia las coordenadas del punto P(x,y), como se ve en la figura: P(x,y) r 1 y x

62

Siguiendo las ideas del ejemplo anterior, el cual se basó en el teorema de Thales, las funciones trigonométricas podrían calcularse bien utilizando el círculo de radio r, o el círculo de radio 1. En el círculo de radio r tendríamos:

r

ysen =α ,

r

x=αcos ,

x

y=αtan ,

y

xctg =α , sec =α

x

r,

y

r=αcsc

P(x,y) 1 y x Mas si trasladamos el punto P al círculo de radio 1, vease la figura:

(*) yy

sen ==1

α , xx

==1

cosα , x

y=αtan ,

y

xctg =α ,

x

1sec =α ,

y

1csc =α

lo cual simplifica nuestro nuevo acercamiento a las funciones trigonométricas. Por ello, la generalización de las funciones trigonométricas, restringidas antes a ángulos

entre 0 y 2

π (en radianes) , ya que no existen ángulos mayores de 90° en los triángulos, ni

ángulos negativos en los mismos, se basa en el círculo trigonométrico o círculo de radio 1. Las nuevas definiciones, son las dadas arriba en (*). Como en el círculo trigonométrico 122 =+ yx , concluímos que 1cos22 =+ ααsen . He aquí nuestra primera identidad (se cumple para todo valor de α ) trigonométrica .

La conocida identidad αα 22 tan1sec += , se deriva del hecho 22

11

+=

x

y

x, puesto

que 2

22

22

2

2211

11

==+

=+=

+xxx

yx

x

y

x

y

63

Una lista de identidades trigonométricas se puede conseguir en un texto de trigonometría.

Funciones trigonométricas ángulos notables Expresando los ángulos en radianes, estudiaremos a partir del círculo trigonométrico las

funciones trigonométricas de los ángulos 0, 2

π, π , ππ

2,2

3.

(0,1) ππππ rad ππππ/2 rads (-1,0) (1,0) 0 rads rad ≡ radian 3ππππ/2 rad (0,-1) 2ππππ rad A partir de las definiciones dadas en (*) y observando la figura anterior, concluímos:

sen 0 = 0=y , 10cos == x , 01

00tan ===

x

y,

0tan

10 =ctg = )(

0

1noexiste

11

1

0cos

10sec === , )(

0

1

0

10csc noexiste

sen==

..........

sen2

π = 1=y , 0

2cos == x

π, )(

0

1

2tan noexiste

x

y==

π, 0

1

0

2===

y

xctg

π

)(0

1

2cos

1

2sec noexiste== π

π, 1

1

1

2

1

2csc === π

π

sen

.......

sen π = 0=y , 1cos −== xπ , 01

0tan =

−==

x

yπ , )(0

1noexiste

y

xctg

−==π

11

1

cos

1sec −=

−==

ππ , )(

0

11csc noexiste

sen==

ππ

.......

sen2

3π= -1, 0

2

3cos == x

π, )(

0

1

2

3tan noexiste

x

y −==

π, 0

1

0

2

3=

−==

y

xctg

π

64

)(0

1

2

3cos

1

2

3sec noexiste== π

π, 1

1

1

2

31

2

3csc −=

−== π

π

sen

Todas las funciones de 2π son las mismas que las de 0 radianes, por lo tanto

sen π2 = 0, cos π2 = 1, tan π2 = 0, ctg π2 (no existe), sec π2 = 1, csc π2 (no existe)

Vectores

Los vectores se utilizan para resolver muchos problemas, teniendo aplicación común en la Física.

Problema: Dos fuerzas, 1Fr

y 2Fr

, de 2 y 3 Newtons, tal como se dibujan en el gráfico, se

aplican a un cuerpo. Hallar la fuerza resultante 21 FFrr

+ determinando su magnitud 21 FFrr

+

y su dirección.

Las fuerzas se dibujan como flechas, que tienen dirección (ángulo con el eje X) y sentido

( 1Fr

va de O a B y no de B a O). Se suman o bien trasladando paralelamente uno de los vectores de tal manera que su origen coincida con el extremo del otro tal como lo

ilustramos arriba con 1Fr

y 2Fr

, o utilizando la conocida regla del paralelogramo. Si el ángulo α es de o15 ( o15=α ) y o45=β se describe “geométricamente” a la fuerza

1Fr

como un vector en dirección o15 Noreste de magnitud o longitud 2 y a la fuerza 2Fr

como un vector de magnitud 3 y de dirección o45 Noreste. Para determinar la magnitud y

dirección del vector suma (suma de las fuerzas o resultante) 21 FFrr

+ , es decir, para calcular

21 FFrr

+ ( : magnitud) y su dirección θ podría procederse como lo sugiere el gráfico:

El ángulo entre los vectores 1Fr

y 2Fr

es ooo 301545 =−=−= αβδ . En el rectángulo

OBCA se tiene: o36022 =+ δϕ (La suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es o360 . Por lo tanto 3603022 =×+ϕ . En consecuencia o150=ϕ .

65

Utilizando la ley de los cosenos, tenemos que: ( 21 FF + )2 = o150cos6232 22 ××−+ =

= 392,23150cos1213 ≈×− o . En consecuencia 21 FF + 837,4392,23 ≈≈ .

La dirección θ de 21 FFrr

+ , es una poco mas difícil de determinar, ya que según la figura

anterior BOCBOC ∠+=∠+= o15αθ .

Utilizando la ley de los senos en el triángulo BOC, tenemos que: OC

sen

BC

BOCseno150

=∠

o lo que es lo mismo 212

2

1

FFF

BOCsen

+=

∠. Por lo tanto

837,42

1

3=

∠BOCsen. En

consecuencia 3101,0673,9

3≈=∠BOCsen . De donde o07,18)3101,0(1 ≈≈∠ −senBOC .

Como BOC∠+= o15θ , obtenemos: o07,33≈θ

Por lo tanto la fuerza resultante 21 FFrr

+ , es una fuerza de aproximadamente 4,837

Newtons, en dirección o07,33 Noreste.

Hemos logrado, determinar la magnitud y dirección de 21 FFrr

+ utilizando argumentos geométricos y principios de trigonometría.

Por supuesto…niño precoz!

A partir de argumentos “geométricos” te enseñaremos el “algebra” de vectores. Principios de algebra vectorial

Geométricamente un “vector” se representa por una flecha. Es usual referirlos a un sistema de coordenadas como se muestra en la figura.

66

El vector v

r con origen en el punto O y extremo en el punto P se denomina .

Si el extremo del vector v

r = es el punto P(a,b), como en la figura se dice que v

r=

(a,b). Los números a y b se denominan, la primera y la segunda componentes

respectivamente. Si vr

= (a,b) es un vector con dirección α , se tiene que tan α =a

b y

por lo tanto α = a

b1tan− (*) (Definición algebraica del ángulo dirección).

Magnitud de un vector Aplicando el teorema de Pitágoras a partir del gráfico anterior, tenemos que v

r, la longitud

o magnitud de vr

, la cual es la misma que la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos a y b es

(**) vr

= 22 ba + . (Definición algebraica de la magnitud del vector)

Además (***) αcosva

r= y αsenvb

r= .

Si sumamos geométricamente los vectores v

r= (a,b) y ),( dcw =

r, obtenemos el vector

wvrr

+ , como se ve en la figura.

Y b P(a,b)

vr

b α O a X

OP

OP ,

d

c

vr

wvrr

+ b w

r b+d

d

• a

• c

a+c

67

En consecuencia: (****) Si ),( bav =

r y ),( dcw =

r, tenemos que ),( dbcawv ++=+

rr.

Basándonos en la figura geométrica hemos hallado la definición “algebraica” de la suma

de vectores.

De acuerdo niño “precoz”. Veamos:

Por lo expresado en (***) y dado que 21 =Fr

, o15=α , 32 =Fr

, o45=β , Tenemos que

)152,15cos2(1oo

rsenF = )518,0;932,1(≈

y )453,45cos3(2oo

rsenF = )121,2;121,2(≈

Luego 21 FFrr

+ )639,2;053,4()121,2;121,2()518,0;932,1( =+=

Según (**) 21 FFrr

+ = 836,4)639,2()053,4( 22 =+

Y eso no es nada. Observa:

68

Por (*) el ángulo que forma el vector suma con el eje X es:

α = a

b1tan− . Luego tanto α = o069,33053,4

639,2tan 1 =− .

Cuanto hemos logrado con sólo utilizar la definición “algebraica” de la “suma” de vectores……..!

69

CUESTIONARIO CON CLAVES PARTE MATEMATICAS

1. 1 ÷÷÷÷ 1 = 22 2–2 A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 8 2 16 4 32 Solución: 1 ÷÷÷÷ 1 = 1 x 2–2 = 1/ 22 x 1/ 22 = 1 / 24 = 1/ 16. Respuesta c)

22 2–2 22

2. En el ∆ ABC, ángulo ABC = 34°. AE y CD son bisectrices de los ángulos interiores, entonces , ángulo AFD =? C

A) 136,5° E B) 73° C) 43,5° F D) 34° E) Falta Información A D B

Solución: C y E F

? x

A D B

En el triángulo ABC (1) 2x + 2y + 34 = 180° (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°)

En el triángulo AFC (2) x + (180 - ? ) + y = 180° (∠∠∠∠ DAF = ∠∠∠∠ FAC = x , ∠∠∠∠ ACD = ∠∠∠∠ BCD = y, por bisectrices)

Luego, de (2) x + y = ?. Reemplazando en (1) 2(x+y) = 146 ∴ 2 x ? = 146. De donde ? = 73 R / B)

3. Si x = 0,1 entonces es o son verdaderas: I) x2 = 0,001 II) 1 = 10 x III) x + x2 = 0,11 A) I y II B) II y III C) Sólo III D) Todas E) Ninguna de las anteriores

70

Solución: Como x = 0,1 entonces x2 = 0,01, luego 1/x = 10 y x + x2 = 0,1 + 0,01 = 0,11. Luego ii) y iii) son verdaderas, la respuesta correcta es B). 4. En la circunferencia de centro “O” y diámetro 12 cm. ¿Cuál es la longitud del arco AB ? C

A) 2 π cm. 60° B B) 4 π cm. .O C) 6 π cm. D) 12 π cm E) Falta información A

Solución: Por un teorema de la geometría , el angulo inscrito ACB es la mitad del ángulo central AOB, por subtender el mismo arco AB. Luego ∠∠∠∠ AOB = 120°. Como la medida completa de la circunferencia en radianes es 2π r = 2πx6= 12π., correspondiendo a un ángulo central de 360°, el arco AB por regla de 3 se saca de: 360° / 12π = 120°/ ∠∠∠∠ AOB. De donde ∠∠∠∠ AOB = 4 ππππ. La respuesta correcta es B. 5. 5 + 3 + 4 =

10 1000

A) 12 1000 B) 5,34 C) 5,304 D) 0,012 E) 5,3004

Solución: 5 + 3/10 + 4/1000 = 5000/1000 + 300/1000 + 4/1000 = 5304/1000 = 0,5304. Respuesta C).

6. En la figura , si AC = 6 cm, AB = BC y AD = 2 BE = 8 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura? D

24 cm 26 cm 28 cm E 36 cm Ninguna de las anteriores A C

B

71

Solución: D Completemos la figura anterior de acuerdo a Los datos, teniendo en cuenta además que 2 Como AB = AC, el triángulo ABC es isósceles Y por ello BE es mediatriz, por lo tanto AE = EC

3 = (1/2)AC = 3. A E C 8 Por Pitágoras AB =√( 32+82) = √ 25 = 5 Como AB = BC, concluimos que BC = 5 DC = √ (AD2+AC2 ) = √ (22+62) = √40 = √(4 x 10) = 2√10 B Por lo tanto el perímetro de la figura ABCD es 2+5+5+2√10 = 12 + 2√10. La respuesta correcta es ninguna de las anteriores. 7. El perímetro de la figura dada es:

A) 8 + 4 √ 2 B) 8 + 2 √ 2 2 C) 6 + 4 √ 2 D) 32 √ 2 2 E) 12 √ 2

2 2

8. ?002,0

05,0=

Solución: 0,05 / 0,002 = 50 / 2 = 25 = 2,5 x 10 La respuesta correcta es E)

A) 2,5 B) 2,5 ⋅ 103 C) 2,5 ⋅ 102 D) 2,5 ⋅ 10 –1 E) 2,5 ⋅ 10

8. En la figura “B” es punto de tangencia, “0” es

centro de la circunferencia,

¿cuál es la medida del ángulo x ?

B

A) 45 B) 90 C) 60 D) 30 E) 120

X O C o30

A

Solución: El triángulo AOC es isósceles ya que OA=OC = r = radio de la circunferencia. Como el ángulo

OAC es de o30 concluimos que el

ángulo AOC es de o120

( o30 + o30 + o180=∠AOC , por suma de ángulos interiores del triángulo isósceles AOC). Luego

∠+o120 BOC = 180º (suma de ángulos de un mismo lado de una

recta). Por lo tanto o60=∠BOC . Como El triángulo BOC también es isósceles (dos lados iguales de longitud r = radio del círculo),

Solución: Las hipotenusas, por Pitágoras, miden √8 =2√2. Luego el perímetro es 8 + 2√2. .La respuesta correcta es B)

72

concluímos que oo 180260 =∠×+ OBC . Por lo tanto o60=∠OBC . Como la recta es tangente

en B, forma un ángulo de º90 con AB. Luego o30=∠X . La respuesta es D. 10. Se define Ο = se multiplica por – ½ ∆ = se cuadruplica

� = se divide por – 4 Sea p = - 2, entonces p → Ο→ ∆ → �

A) 1 B) –1 C) 22 D) 0 E) Otro valor

11. En el triángulo PQR, ST // PR , ángulo P = 70° y ángulo Q = 60° . Cuánto mide el ángulo x? R

A) 50° T B) 60° x C) 65° D) 70° E) 130° P S Q

12. ∆ ABC es equilátero y ∆ OPQ se forma con la unión de sus puntos medios. Entonces α mide: C A) 90° B) 70° Q P C) 60° D) 45° α E) No se puede determinar A O B

13. En la figura dada, si L1 // L2 y L5 // L6 y L3 ⊥ L4 . ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)? L5 I) α = γ δ II) β + γ = 90° L4 III) α = δ γ IV) γ + δ = 180° L6 α A) Sólo II y III B) Sólo III L1 β C) Sólo I y IV D) I, II y IV L2

E) Todas L3

73

14. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 8 cm . Si E, G y H son puntos medios de sus lados, entonces el área del triángulo EGH es:

D H C A) 16 cm2 B) 32 cm2 C) 48 cm2 D) 64 cm2 E G E) Ninguna de las anteriores

A B 15. Un taxista cobra $ x por los primeros 1.000 metros y $ p, por cada 100 metros adicionales.

¿Cuánto cobra por una “ carrera” de 3.500 metros? A) $ (x + 25p) B) $ (3x + 5p) C) $ (x + 250p) D) $ (x + 35p) E) $ (4x –5p)

16. Si n ∈ |Ν diga ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es o son correctas?

I) ( 2n + 1 ) ( 2n –1 ) es siempre impar II) n ( n+1 ) + n es par III) 4 n –1 es divisible por 3 A) I y III B) II y III C) I y II D) Todas E) Ninguna de las anteriores

17. El sueldo A es $ m, el sueldo B es $ 2m y el sueldo C es $ 3m. Si estos sueldos se

reajustaran en un 50%, 20% y 30% respectivamente, el sueldo promedio reajustado es $ 26.000. ¿Cuál es el valor de m?

A) $ 13.000 D) $ 4.333,33 B) $ 12.000 E) $ 10.000 C) $ 8.666,66

18. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la figura?

A) 30 cm2 y (cm) B) 28 cm2 C) 35 cm2 D) 47 cm2 4 E) 48 cm2

2

1

x (cm) 2 4 6 8 10 12

74

19. Para que un cuadrado tenga igual área que un triángulo equilátero de lado “ x ”, el lado del

cuadrado debe medir:

A) x √ 2 2

B) x 4 3 2

C) 2x √ 2 D) x √ 5 E) Es imposible que ello suceda

20. Se reparte una herencia de $ b entre Juan, Rodrigo y Marta; Juan recibe el 25% de la

herencia, Rodrigo el 33 1/3% del resto y Marta recibe el 50% de lo que aún queda. ¿Cuánto dinero queda sin repartir?

A) 0,5 b D) 0,25% b B) 0,2 b E) 0,25 b C) 0,4 b

21. Tres amigos se toman 2 bebidas. Uno se toma 2/3 de una; el segundo se toma 3/5 de la otra y el tercero se toma los restos. ¿Quién tomó más bebidas? A) El primero D) El segundo y el tercero bebieron lo mismo B) El segundo E) El segundo y el primero bebieron lo mismo C) El tercero

22. ABCD es un paralelógramo. Si AB = 8 cm. BC = √ 13 cm. y AE = 2 cm. Entonces el área de

ABCD es: D C

A) 8 √ 17 cm2 B) 16 + 2√ 17 cm2 C) 12 cm2 D) 24 cm2 E) √ 104 cm2 A E B

23. Si p = 70 y q = 28; “p” se reduce a un 20% y q se reduce en un 25%; entonces el nuevo

producto de “p” por “q” es: A) 98 B) 294 C) 1.176 D) 1.960 E) Otro Valor

75

24. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son correctas?

I) 6 es un divisor de 12 y múltiplo de 3 II) 0 es un múltiplo de todo entero III) El máximo común divisor entre dos números primos es siempre 1. A) I y II B) II y III C) I y III D) Todas E) Ninguna de las anteriores

25. Una dueña de casa muy económica con el gas, posee una tetera de 4,5 lts. de capacidad y en la hora de onces, debe servir 12 tazas de café de un ¼ de litro de capacidad. Entonces para que alcance justo, debe hervir :

I) 3 litros de agua II) Agua hasta los 2/3 de la capacidad de la tetera. III) Agua hasta el 60% de la capacidad de la tetera. A) Sólo I B)Sólo III C)Sólo I y II D) Sólo II E)I y III

26. Sean O y O’ centro de la circunferencias respectivas y PQ es radio de la circunferencia de centro O, entonces ángulo OQP

A) 45° B) 135° C) 60° S O Q D) 22,5° E) Falta Información

O’ P R 27. En el ∆ ABC, α = 1 β y β = 1 γ, entonces el valor mas cercano al del ángulo x =?

2 2

A) 54° C B) 108° γ C) 136° D) 162° E) 126° x α β

A B

76

28. En el cuadrilátero ABCD; γ = 2x y δ = 3x + 30°, luego δ mide: C

A) 60° D γ B) 30° δ C) 120° D) 20° E) Faltan datos

A B 29. Una dueña de casa compró un paquete de té de ¼ kg. Ocupó 1/3 del paquete, y de lo que

quedó ocupó la mitad ¿Entonces lo que quedó equivale a?:

I) 1/3 de kg. II) 1/3 del paquete III) 1/12 de Kg. IV) 1/6 de kg. A) Sólo I y II D) III y IV B) Sólo II y III E)II, III y IV C) I y IV

30. Con los 3/5 de un tarro de pintura se pintan el 66 2/3 % de un muro. ¿Con cuanta pintura se termina el trabajo?

A) 3 B) 4 C) 1 D) 3 E) 9

4 9 3 10 16 31. La superficie sombreada de la figura es el 30% del círculo. ¿Cuánto mide el ángulo OAC?

A) 108° O B) 72° B A C) 54° D) 36° C E) 46°

32. Un obrero pinta un muro en 3 días, el primer día pinta 12,5% del muro; el segundo día el 50%

del resto, si para el tercer día aún le quedan 49 m2. ¿Entonces el primer día pintó? A) 49 m2 D) 21 m2 B) 7 m2 E) 2 m2 C) 14 m2 16

33. El triángulo ABC es rectángulo isósceles. El área sombreada mide:

C A) 4,5 π cm2 B) 3,6 π cm2 C) 2,7 π cm2 O D) 9 π cm2 E) 1,8 π cm2

A 6 cm B

77

34. En cuántos cuartos sobrepasa 4 a la fracción 0,5? A) 16 D) 12 B) 13 E) 8 C) 14

35. Dos personas se reparten $ 4.800 de modo que sus partes están en la razón de 6 : 4 ¿Cuál es

la diferencia entre las cantidades recibidas? A) 960 B) 660 C) 860 D) 750 E) 1.200

36. ¿Cuál(es) expresiones es(son) equivalentes al 20% de “p”? I) p II) 200 milésimos de “p” 5 III) 2 dividido por 10p IV) la vigésima parte de 4p

A) I, II, IV B) II, III, IV C) I, II D) III, IV E) Todas

37. x = x + y x A) x2 B) x C) 1 D) 1 E) y2 x2 + y 1 + y x2 + y x + y y2 + x 38. Roberto es 5 años mayor que Juan. ¿Si Roberto tuviera un 20% menos de edad, tendría la misma edad que Juan.

¿Cuántos años tiene Juan?.

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

39. En el rectángulo de la figura, se forman los triángulos AED : ABE y BEC con las medidas que se indican, entonces las razones entre sus áreas es :

D 8 cm E 12 cm C

A) 2 : 5 : 3 B) 3 : 4 : 5 C) 5 : 6 : 7 16 cm D) 3 : 2 : 1 E) 2 : 7 : 9 A B

78

40. En el triángulo equilátero ABC de lado 8 cm. ¿Cuánto mide el área sombreada si DE = ½ AB ? C

C

A) 16 √ 3 cm2 B) 14 √ 3 cm2 D E

C) 12 √ 3 cm2 D) 10 √ 3 cm2 E) 8 √ 3 cm2 A B

41. En un curso aprobó la asignatura de Matemáticas el 40% de los hombres y el 60% de las mujeres, si el número de hombres es igual al de mujeres, ¿qué % del curso reprobó?

A) 40% B) 60% C) 70% D) 10% E) 50%

42. En la figura, si ángulo a : ángulo b = 5 : 3, entonces ¿cuánto mide ángulo z?

C

A) 78° a b B) 80° C) 82° D) 98° A z B E) 102°

52° D 48°

43. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes expresiones representa(n) el 25% de ( 1 + 1)

I) 0,25 ⋅ 2 II) 2-1 III) 1 de 2

4

A) I y II B) II y III C) I y III D) I, II , III E) Ninguna de las anteriores

44. 0,0004 equivale a :

A) 0,1% de 4 B) 0,01% de 4 C) 0,001% de 4

D) 1% de 4

E) 0,0001% de 4

79

45. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la figura? cm

A) 4 cm2 B) 5 cm2 5 C) 6 cm2 D) 8 cm2 E) 10 cm2 1

0 2 4 cm

46. En una sociedad de tres personas, uno aportó $ p que corresponde a los 2/5 del capital, otro aportó $ 200.000 y el tercero aportó un tercio del capital. ¿Cuál es el valor de p?

A) $ 250.000 B) $ 300.000 C) $ 200.000 D) $ 350.000 E) $ 285.000

47. En la figura el área del triángulo de base c y altura h es la cuarta parte del área del rectángulo de lados a y b entonces (ab)2 =

A) 1 c2 h2 D) 4 c2 h2

16 h b

B) 1 c2 h2 E) 16 c2 h2 a

4 c

C) c2 h2

48. Se cancelan $ 2.400 que corresponden a las 3/8 partes de una deuda, al mes siguiente se paga el 80% del resto de la deuda, entonces por cancelar quedan aún?

A) $ 3.200 B) $ 800 C) $ 4.000 D) $ 2.400 E) $ 8.000

49. ¿Qué número sumado con 1,011 da como resultado 1,101 ?

A) – 0,09 B) 0,09 C) 1,101 D) 0,9 E) 0,101

80

50. En la figura AB es tangente en B a la circunferencia de centro “0” y de diámetro 10 cm. Si AB = 12 cm., entonces 2 AC mide :

B

A) 5 cm B) 10 cm C) 12 cm 0 D) 13 cm C E) 16 cm A

51. En un colegio de 600 alumnos, “p” de ellos son mujeres, si los 2/5 de los varones son internos. ¿Cuántos alumnos varones externos hay en el colegio?

A) 600 - 2 p D) 240 - 3 p 5 5

B) 240 - 2 p E) 360 - 3 p

5 5

C) 360 - 2 p

5

52. Una botella está llena en un 25% de su volumen, si se agrega el 50% de lo que le falta y en un tercer proceso se aumenta el líquido, en la mitad de lo que hay, entonces:

A) Se llena a plena capacidad. B) Le falta un 25% para llenarse. C) Le falta un octavo para llenarse D) Se llena y se derrama un cuarto de su capacidad. E) Le falta un dieciséis avo de su capacidad para llenarse.

53. En club de 240 socios, los 12 ½ % son ingenieros, un 1/12 son médicos, un 10% arquitectos, y el resto otras profesiones. A una comida del Club asisten 100 personas de las cuales había 25 arquitectos, 20 ingenieros, 20 médicos y el resto de otras profesiones.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Por lo menos 1 arquitecto no era socio. II) No asistieron todos los socios ingenieros III) Todos los que asistieron eran socios.

A) Sólo I B) Sólo II C) II y III D) I y II E) Todas

54. En una caja hay bolitas verdes, rojas y azulas. El número de bolitas azules equivalen a los 2/3 de las verdes. Se sabe además que el total de bolitas es 90, de las cuales 1/3 son verdes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?: I) El número de bolitas rojas es el doble que de azules.

81

II) Las bolitas verdes son las de menor cantidad. III) Las rojas son 3/9 del total.

A) Sólo I D) Sólo II y III B) Sólo II E) Sólo I y III C) Sólo III

55. Juan corrió 100 mts. en 16 1/3 segundos y Matías recorrió la mitad de esta distancia en 3/7 del tiempo que empleo Juan . ¿En cuánto tiempo Matías recorrió los 100 metros?

A) 14 segundos B) 12 segundos C) 4 minutos 40 segundos D) 7 segundos E) Ninguna de las Anteriores

56. ¿Cuál es el área de la parte sombreada del rectángulo PQRS ?

(1) Perímetro de rectángulos es 60 cm (2) PT = TQ = QR = 10 cm S R

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional P T Q

57. Un automóvil tiene rendimiento promedio 10 km/litro de bencina. ¿Cuál es la velocidad promedio en un viaje entre las ciudades A y B?

(1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina. (2) Demoró 30 minutos.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

58. ¿Cuál es el área del rombo ? D C (1) AB = 8 cm (2) AC = 14 cm

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) A B D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

59. Para determinar si “ m ” es o no un número par, se requiere saber que :

82

(1) m2 es un número par. (2) (m + 1)2 es un número impar.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

60. En el ∆ ABC, D es punto medio de AB, entonces α y β miden respectivamente: (1) AD = CD = DB (2) α - β = 50° C

Este problema no parece tener sentido A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) α β E) Se requiere información adicional. A D B Por ello no se terminó…..

83

1. C 31. D Claves de Respuestas 2. B 32. C 3. B 33. A 4. B 34. C 5. C 35. A 6. C 36. A 7. A 37. A 8. E 38. A 9. D 39. A 10. B 40. C 11. A 41. E 12. C 42. E 13. C 43. D 14. A 44. B B- M/4 * 8,1 +330 15. A 45. C 16. A 46. B 17. E 47. D 18. B 48. B 19. B 49. B 20. E 50. E 21. C 51. E 22. D 52. E 23. B 53. D 24. D 54. A 25. C 55. A 26. D 56. B 27. D 57. C 28. C 58. C 29. B 59. D 30. D 60 C

84

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Al sumar cuatro tercios y quince dieciochoavos, y simplificar el resultado obtenido, tiene como denominador:

A) 3 B) 6 C) 13 D) 18 E) 54

Solución: 6

13

18

39

18

15

18

24

18

15

3

4==+=+ . La respuesta es B)

Ver métodos para responder la prueba de aptitud académica en abaco.com.ve o solicite tal guía gratuitamente a josearturobarreto@gmail.com 2. Dos números a y b se encuentran en razón directa, entonces deben cumplir siempre

que:

I. a·b = k , k > 0

II. ab

k= , k > 0

III. a·k = b , k > 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

Solución: Los números a y b, se encuentran en relación directa, cuando uno de ellos es múltiplo del otro por una constante k > 0. Es decir bka ⋅= , donde k es una constante mayor que 0 (positiva). Ello garantiza que si a crece o decrece, b crecerá o decrecerá en la

misma proporción. A menudo tal relación se describe como )(IIkb

a= . La respuesta III es

equivalente ya que kb

abka =⇔=⋅ . Por lo tanto la respuesta es E)

85

3. Calcular el valor (o valores) de x en la expresión siguiente: (36 - x2) = 48 - 8x

A) 1 o 6 B) 1 o 5 C) 2 o 6 D) 2 o 5 E) Ninguna de las anteriores

Solución: 012884836 22 =+−⇔−=− xxxx . Esta ecuación de 2do. Grado se puede

resolver por la conocida fórmula a

acbbx

2

42 −±−= , en donde 8,1 == ba .

Concluyéndose que 2

48

2

168

2

48648 ±=

±=

−±=x . De donde

22

48,6

2

4821 =

−==

+= xx

Podría también resolverse por factorización asi: 0)6)(2(1282 =−−=+− xxxx . Por lo tanto 2=x o .6=x La respuesta es C) 4. En la figura, el triángulo AED y el triángulo BEC isósceles de bases AD y

BC respectivamente. Son siempre verdaderas: I. ∆ AEB ≅ ∆DEC II. ABCD es un trapecio isósceles III. L1 // L2 IV. ∆AED y ∆BEC son semejantes

A) Sólo I, II y IV B) Sólo I, III y IV C) Sólo II, III y IV D) Sólo I, II y III E) Todas las anteriores

Solución: Por estar a un mismo lado de la recta 120 + 180=∠BEC . Por lo tanto

60=∠BEC . Como el triángulo BEC es isósceles, con lados iguales BE y EC, los otros dos ángulos que deben sumar o180 , junto con BEC∠ , por ser la suma de los ángulos interiores, serán iguales y cada uno de o60 . Por lo tanto el triángulo BEC será equilátero. Por un razonamiento similar se concluye que el triángulo AED, también es equilátero, con ángulos interiores también de o60 .

D

A

B

C

E

120

L1

L2

86

5. ¿Qué valor debe tomar la incógnita x para que se cumpla la siguiente igualdad?

13

13−

=−x x

A) x = 3 B) x = -3 C) x = -1 D) x = 0 E) No existe tal valor de x en los reales

Solución: La respuesta a) está descartada ya que en tal caso el denominador de cada una de las fracciones sería 0. Por lo tanto 3≠x . Invirtiendo cada una de las fracciones obtenemos

33 −=− xx . Por lo tanto 62 =x . De donde se concluiría que 3=x . Como este valor no es aceptable (división entre 0), concluímos que la respuesta es E) 6. Los dos dígitos de un número xy están en la razón 1 : 3. El triple del primer dígito

más el segundo es igual al número original menos 21. ¿Cuál es el número?

A) 21 B) 23 C) 39 D) 93 E) Ninguna de las anteriores

Solución: Como los dígitos están en la razón 1 : 3, tenemos 3

1=

y

x (1). La hipótesis dada

garantiza la ecuación 21103 −+=+ yxyx (2). La ecuación (2) se ha obtenido al separar el número en sus decenas y unidades, ya que cada decena es 10 unidades. Esta última ecuación es equivalente a 217 =x . Por lo tanto 3=x . De la ecuación (1) concluimos

xy 3= . En consecuencia 9=y : Por lo tanto el número xy es 39. La respuesta es C) Ver métodos para responder la prueba de aptitud académica en abaco.com.ve o solicite tal guía gratuitamente a josearturobarreto@gmail.com

87

7. En una pista circular de atletismo, 3 corredores entrenan. Si el primero de ellos debe dar 200 pasos para recorrer toda la pista, el segundo corredor da 2 pasos por cada uno que da el primero y el tercero da 3 pasos por cada 2 que da el corredor 2. Si parten los 3 desde la meta, ¿cuántos pasos deberá dar el tercer corredor para que se encuentren los tres corredores en la meta nuevamente?

A) 100 B) 200 C) 400 D) 600 E) No se puede calcular

Solución: Cuando el primer corredor corredor recorre la pista en 200 pasos, el segundo ha

dado 400 pasos y el tercero pasos6004002

3=⋅ . En consecuencia, cuando el primero da

una vuelta, el segundo ha dado 2 y el tercero 3. Allí se encuentran. La respuesta es D) 8. Al resolver el sistema de ecuaciones siguiente, el producto de las soluciones es:

7 2 13

2 1

x y

x y

+ =− = −

A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) Otro valor

Solución: Resolveremos el sistema de ecuaciones simultáneas por el método de adición-sustracción (suma-resta). Sumando la primera con el doble de la segunda así: =x11 11 Por lo tanto 1=x . Sustituyendo 1=x en cualquiera de las dos ecuaciones, encontramos que 3=y . Por lo tanto el producto de las soluciones es 3. La respuesta es B)

−−−−−−−−−=−

=+224

1327

yx

yx

88

9. Sea A(-7,5) y B(2,1). Si M es el punto medio entre A y B sus coordenadas son:

A) (-5, 6) B) (-10, 4) C) (-5, 2) D) (-2. 5, 3) E) Ninguna de las anteriores

Solución: El punto medio entre ),( 11 yx y ),( 22 yx es )2

,2

( 2121 yyxx ++. Luego el

punto medio es )2

15,

2

27(

++−= )3,

2

5(−

. La respuesta es D)

10. 22,5°°°°, ¿a cuántos radianes corresponde si ππππ radianes equivale a 180°°°°?

A) π2

B) π4

C) π8

D) π16

E) π32

Solución: Por regla de tres. x:5,22

:180 πo

. Por lo tanto 8720

90

180

5,22 πππ===x . Se amplió la

primera fracción (multiplicando numerador y denominador por 4) y luego se simplificó. La respuesta es C) 11. ¿Cuánto vale el 1% de 1 hectárea, sabiendo que 1 hectárea es un cuadrado de lado

100 m?

A) 100 m B) 100 m2 C) 1 m D) 1 m2 E) Ninguna de las anteriores

Solución: Como una hectárea es un cuadrado de 100 mts. De lado, se concluye que una

hectárea es 2100100 mtsx = 2000.10 mts . Por lo tanto el 1% será 2100000.10100

1mtsx = . La

respuesta es B) Ver métodos para responder la prueba de aptitud académica en abaco.com.ve o solicite tal guía gratuitamente a josearturobarreto@gmail.com

89

12. Un cuadrado tiene como lado el radio de una circunferencia de perímetro igual a π.

¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) Ninguna de las anteriores

Solución: La fórmula del perímetro de la circunferencia es C = 2 rπ . Por lo tanto 2 ππ =r .

De donde 2

1=r .

El cuadrado tiene por lo tanto 2

1de lado. Su perímetro o suma de las longitudes de sus

lados, será 4x 22

1= . La respuesta es D)

13. ¿Cuál(es) expresión(es) es(son) equivalente(s) al cuociente entre 2a y 8b, multiplicado por el cuociente entre 3a2b y 2ab2?

I. 38

3

3⋅

a b

ab

II. 616

2

2⋅a

b

III. 1232

5 2

3 4⋅a b

a b

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Todas E) Ninguna

Solución: Se pide calcular 2

2

2

2

8

3

2

3

8

2

b

a

ab

ba

b

a=⋅ . Cada una de las respuestas al simplificarlas son

equivalentes con este resultado. La respuesta es D) 14. Sean N, Z, Q, Q*, R, los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales,

irracionales y reales, respectivamente. Dos tercios menos siete quintos pertenece a: Dos tercios menos siete quintos pertenece a:

I. IR - IN II. Q - Z III. Z U Q*

90

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

Solución: Los números 3

2 y

5

7 se catalogan como “racionales”, ya que son la razón

o cociente de dos números enteros. Su diferencia será por lo tanto un número racional (La suma o resta de dos números racionales, es un número racional). Veamos:

15

11

5

7

3

2 −=− , el cual es un número racional que no es un número entero ya que la

división no dá exacta. Es por lo tanto un número real (todos lo son, salvo los complejos) que no es un número entero positivo (o natural), por lo tanto pertenece al conjunto señalado en I. Además es por supuesto un número racional que no es un entero y pertenece también al conjunto señalado en II. Como no es un número entero ni es un número irracional (ya que es racional), no pertenece al conjunto señalado en III. La respuesta es D)

15. Si a y b son números pares, entonces es falso que:

A) a·b = par B) a - b es entero C) a : b es par D) A, B Y C son verdaderas E) Sólo C)

A) es verdadera, B) es verdadera (par se refiere a números enteros). C es falsa: basta con

estudiar 8

4=

2

1que no es un número par. La respuesta es E)

16. Un número entero cualquiera tiene siempre un antecesor y sucesor; luego, si tenemos

el número par P, el sucesor par de este número es:

A) P + 1 B) P - 1 C) 2P + 2 D) P + 2 E) 2P – 2

Solución: Claramente, la respuesta es D) 17. Sea A = {a, e, i, o, u}; son siempre verdaderas

91

I. a ⊂ A II. o,u ∈ A III. A ⊂ A IV. {e} ∈ A

A) Sólo I y II B) Sólo II y IV C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Ninguna de las anteriores

Solución: I. Es Falsa. II. Es Verdadera. III. Es Verdadera. IV. Es falsa. La respuesta es D) 18. Dada la siguiente expresión (x - 3)2 = (x + 8)2, ¿qué características debe tener los x

que satisfacen esta igualdad? I. x es entero II. x > 0 III. x < 0 IV. x es racional

A) Sólo I y II B) Sólo II y IV C) Sólo I y III D) Sólo III y IV E) Otras características

Solución: (x - 3)2 = (x + 8)2

2

5)52()83()8(3()83(

−=⇔−=∨=−⇔+−=−∨+=−⇔ xxxxxx

Luego: I es falsa. II es falsa. III es verdadera. IV es verdadera. La respuesta es D) 19. Dos ángulos son iguales si se cumple que : I. Son opuestos por el vértice. II. Poseen el mismo complemento. III. Son alternos externos entre rectas . IV. La diferencia entre sus suplementos es 0°

A) I ó II ó III B) I ó II ó IV C) I ó III ó IV D) II ó III ó IV E) Todas

Solución: Las siguientes condiciones implican tal igualdad: I, II, IV. La proposición III no se puede considerar ya que no habla de recta secante a rectas paralelas. La respuesta es B)

92

20. Calcular el área sombreada si P es punto medio de OD , el radio de la circunferencia de centro O es a y ángulo BOD = 60° OD AC/ /

A) a2 3

B) a 36

−

π

C) a2 2 36

−

π

D) a2

232 3

−

π

E) Otro valor

Solución: No hay que confiarse de la figura, ya que P no parece ser el punto medio de OD (lo és, según la hipótesis). Luego OD = 2a. Como o60=∠BOD , concluimos

a

BD

260tan =o . Por lo tanto BD = a2 o60tan = 2a 3 . Luego, el área del triángulo OBD es

2322

322a

aa=

⋅

El área del pequeño sector que hay que restar es 6

2aπ

, ya que o60 es la sexta parte de o360 .

En consecuencia el área sombreada es (6

312

632 2

2222

aaaa

a =−

=−ππ

2√3 - π/6). La

respuesta es C) 21. La suma de los dígitos de un número de 2 cifras es 10 y su diferencia positiva

es 4. Entonces, el número es: I. Par II. Impar III. Primo

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Ninguna de las anteriores

Solución Sea xy el número. La suma de las cifras (dígitos) x , y , es 10 y su diferencia positiva 4. Asumiendo sin perder generalidad que yx > , tenemos que:

O

B

D

CP

93

En consecuencia 7=x . Por lo tanto como 10=+ yx , tenemos que 3=y . El

número es 73, el cual es un número primo. Por lo tanto sólo son verdaderas II y III. La respuesta es D) 22. La edad de 2 personas están en relación 1 : 2 y en 5 años más estarán en la razón 2 : 3. ¿Cuál era la suma de las edades de las personas hace 2 años?

A) 5 B) 10 C) 11 D) 15 E) Otro valor

Solución. Sean x, y las edades actuales. De la descripción del problema

(hipótesis) obtenemos: (1) 2

1=

y

x , (2)

3

2

5

5=

++

y

x.

Por lo tanto de (1) xy 2= y de (2) 102153 +=+ yx . Reemplazando xy 2=

en 102153 +=+ yx , tenemos: )2(253 xx =+ . O sea xx 453 =+ . Por lo tanto x=5 ,

es decir 5=x . En consecuencia, como xy 2= , 10=y .

Hace 2 años tenían 3 años y 8 años respectivamente. Su suma era 11 años. La respuesta es C). 23. El punto más alto de una antena ubicada sobre un edificio se encuentra a 60 m del suelo del subterráneo. Si la distancia desde el suelo del subterráneo a la base de la antena es 4 veces el tamaño de la antena si todos los pisos tienen la misma altura (2 metros) incluso el subterráneo, ¿cuántos pisos tiene el edificio desde el suelo?

A) 12 B) 23 C) 6 D) 46 E) Otro valor

4

10

=−=+

yx

yx

------------- sumando las dos ecuaciones, para eliminar la y , obtenemos:

142 =x

94

Solución: Sea a la altura de la antena. La figura siguiente se ha efectuado en base a las condiciones dadas por el problema.

Llamando a a la altura de la antena, tendremos que la altura del edificio respecto del subterraneo (4 veces el tamaño de la antena) será a4 . Por lo tanto, la altura del edificio respecto al piso o planta baja será 24 −a . Además 605 =a , por lo tanto 12=a . En consecuencia la altura del edificio respecto al piso o planta baja ( 24 −a ) será 46 metros. Como cada piso tiene dos metros de altura, el edificio tendrá 23 pisos. La respuesta es B) 24. El 15% del área de un rectángulo es 20. Si uno de los lados es un

tercio del otro, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?.

A) 403

40+

B) 20

C) 20203

+

D) 10103

+

E) Otro valor Solución: Si el 15% del área es 20, el 100% será :

3

40020

3

2020

15

100=∗=∗

Describiremos las condiciones del problema en la figura siguiente

95

Como el área del rectángulo es 3

400, tenemos que

3

400

3. =x

x . Luego

3

400

3

2

=x

.

Por lo tanto, 4002 =x . En consecuencia 20=x . Por lo tanto, el perímetro del rectángulo (suma de las longitudes

de sus lados) será xx

23

2+ = 40

3

40+ . La respuesta es A)

25. Una grapadora requiere para cargarla completamente 2,5 barras de

grapas. Esta carga alcanza para 1 semana. ¿Para cuántas semanas alcanzan una caja de corchetes si ésta contiene 75 barras y siempre se ocupan 2,5 barras?

A) 180 semanas B) 187 semanas C) 25 semanas D) 30 semanas E) Otro valor

Solución: Cada semana se gastan 2,5 barras de grapas. Luego las 75 barras durarán 305,275 =÷ semanas. La respuesta es D)

26. En el triángulo ABC de la figura dada, el trazo CG es altura, DF // AB

y E punto medio de CG. Los ángulos x, y, z miden respectivamente:

A) 60°, 90°, 40° B) 40°, 90°, 60° C) 60°, 90°, 50° D) 60°, 50°, 40° E) 90°, 40°, 60°

Los datos en la siguiente figura se han llenado en base a los cálculos hechos en el siguiente párrafo.

o40

o90

GA B

C

D FE

50o x

y z

30o

GA B

C

D FE

50o x

y

z30o

96

1. DE = EF ( ya que CE = EG y los triángulos CEF y CGB son semejantes por ser sus bases paralelas, manteniéndose así la proporcionalidad entre lados correspondientes)

2. Como CG es altura ∠CGB = o90 3. Por suma de ángulos interiores, en el triángulo CGB:

1805090 =++z .Por lo tanto o40=z

4. En el triángulo ABC, 1807050 =++x . Luego o60=x . Como DF //

AB, tenemos que o90=∠=∠ CGAy . La respuesta es A)

27. En un curso hay 30 alumnos, de éstos el 20% son buenos alumnos y del

resto la mitad tiene un promedio de notas igual a 5 y de los que quedan el 50% está repitiendo el examen. Si al final del año repitieron 3 alumnos, ¿qué porcentaje de los que dieron el examen repetido son los repitientes?

A) 20% B) 25% C) 30% D) 50% E) Otro valor

Solución: Como señalan las hipótesis del problema los estudiantes son 30, de los cuales el 20%, es decir, una quinta parte son buenos alumnos, por lo tanto serán 6. De los 24 restantes la mitad 12, tiene un promedio de notas igual a 5 y de los que quedan ( )121830 =− , el 50%, la mitad están repitiendo el examen, es

decir 6. En consecuencia estos 6 fueron los que repitieron el examen. Como los repitientes al final del año fueron 3 , el porcentaje de 3, que repitieron el año,

respecto a los 6 que repitieron el examen es 5,06

3= . Esta representación decimal

equivale al 50% (vea la guía de “Fracciones y Porcentajes” en abaco.com.ve). La respuesta es D)

28. La diferencia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de una edad es seis. Si en 10 años más, la suma de las cifras es 9, ¿cuál es la edad original?.

A) 17 años B) 71 años C) 81 años D) 18 años E) Otro valor

Solución: Sea du la edad original, denominando las decenas por d y las unidades por u . Como la diferencia de estas cifras es 6, tenemos que (1)

97

6=− ud . El número du en unidades es ud +10 ya que cada decena equivale a 10 unidades. Por lo tanto 10 años después la edad sera

udud ++=++ )1(101010 . La cifra de las decenas en la edad diez años

después será 1+d y u la cifra de las unidades . De los datos del problema como la suma de estas cifras es 9, concluimos que 9)1( =++ ud . Es decir (2)

8=+ ud Concluimos con el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

8)2(

6)1(

=+=−

ud

ud

Sumando miembro a miembro, para eliminar la u , obtenemos: 142 =d . Por lo tanto 7=d . Sustituyendo el valor de d en la ecuación (1), concluimos que

1=u . De aquí que la edad original du es 71 años. La respuesta es B) 29. Sea un triángulo cuyos lados miden 30 m cada uno. Entonces, es correcto

decir que: I. Es equilátero II. Es acutángulo III. Es obtusángulo

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

Solución: I y II son verdaderas y III es falsa. La respuesta es D)

30. Al contar las hojas de un libro se obtuvo un número par. Si el número es múltiplo de 25 y además de ese número, cuando se eleva al cuadrado y se le resta uno nos da 2.499, ¿cuántas hojas tiene la mitad del libro?

A) 50 B) 25 C) 20 D) 10 E) Otro valor Solución: El número de hojas es par y múltiplo de 25, luego debe ser divisible por 2 y por 25, como estos números no tienen “factores” o “divisores” comunes, tal número de hojas debe ser de la forma

kk 50)252( =⋅ . Cuando este número se eleva al cuadrado y se le resta uno,

98

da 2.499, por lo tanto 499.21)50( 2 =−k . En consecuencia 500.2)50( 2 =k . Por

lo tanto 5050 =k . En consecuencia 1=k . Como el número de hojas es k50 , concluimos que tiene 50 hojas. Su mitad es 25. La respuesta es B)

31. Tres sobrinos Gaspar, Carlos y Humberto deben repartirse una herencia de

15.400 dólares, repartidos en una casa de 6.930 dólares, un auto de 2.310 dólares y un departamento de 6.160 dólares. Si Gaspar debe recibir un 45%, Carlos un 15% y Humberto el 40% de la herencia, ¿cuál de los herederos se queda con la casa?

A) Carlos B) Humberto C) Gaspar D) Se debe dividir entre Carlos y Humberto E) Ninguno de ellos

Solución: Como Gaspar debe recibir un 45%, recibirá 930.6400.15100

45=⋅

dólares. Como es el que mas recibe y esto vale la casa, es el único que puede quedarse con ella. La respuesta es C)

32. Si un bus tarda 30 minutos en recorrer 15 paraderos y los restantes 7 lo hace en 20 minutos, ¿cuánto tarda en recorrer los primeros 19 paraderos?

A) 30 minutos B) 290/7 minutos C) 210/20 minutos D) 19 minutos E) Otro tiempo

Solución: Como los restantes 7 los recorre en 20 minutos, se tarda 7

20

minutos para cada paradero a partir del 15. Como recorrió 15 paraderos en los primeros 30 minutos, falta calcular el tiempo que le tomó recorrer los 4 paraderos siguientes, para calcular el tiempo consumido en los primeros 19

paraderos. Estos 4 los recorrió en 7

204 ⋅ minutos. El tiempo para los 19

primeros paraderos será 7

290

7

8030 =+ minutos. La respuesta es B)

33. Para el triángulo de la figura, determinar el área del triángulo formado por los puntos medios de los lados respectivos

A) Al área del triángulo ABC

A

B C

6

8

10

99

B) La mitad del triángulo ABC C) La tercera parte del triángulo ABC D) No se puede calcular E) Un cuarto del área del triángulo ABC

34. Si los dos quintos de un número se le resta el cuadrado de 2 y luego se le

suma el cubo de menos uno, se obtiene como resultado menos cinco. Entonces, el triple del número es:

A) 15 B) 12 C) 45 D) 24 E) Ninguna de las anteriores

35. Si se requiere sumar 3x + 3x + 3x y el resultado se divide por 3x, el resultado

de la suma es: I. Un número entero II. Un número natural III. Un número racional

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Todas E) Ninguna

36. Sea b b+

⋅13

12

3

es verdadera:

A) Su suma es b b24

24+

B) Su suma es b b14

16+

C) Su suma es 24 b D) No se pueden sumar E) Ninguna de las anteriores

37. ¿Cuál de las siguientes relaciones que se presentan a continuación es(son)

falsa(s)? I. Q ∩ Q* = ∅ (conjunto vacío) II. IR ∪ I = C (complejos) III. IN ∪ {0} = IN* (cardinales) IV. Universo = C (complejos)

100

A) Sólo I y II B) Sólo III y IV C) Sólo I, II y III D) Todas E) Ninguna

38. En la figura, el punto A(0,3) es el centro de la circunferencia con B (- 3 , 0) y

C ( 3 , 0) entonces, el área negra CABDC vale:

A) 7510

π

B) 32π

C) 9π

D) 93π

E) Ninguna de las anteriores

39. El resultado de la siguiente expresión a ab b

a ab b

2 2

2 22

2

+ +

− +

queda indefinida sólo

cuando a y b cumplen una condición muy particular. Dado esto, determinar el resultado de 5·(a + b) + 3a.

A) 10a B) -13b C) 13a D) 8a + b E) Ninguna de las anteriores

40. El cuadrado de la suma de dos números menos el cuadrado de la resta de los

mismos números tiene como resultado:

A) El doble producto de los números B) El triple de uno de ellos C) La suma de los cuadrados de los números D) El cuádruple del producto entre los números E) El doble de la suma de los cuadrados de los números

41. En un polígono regular, cuando “n” es un número par, siendo n el número de

lados, al unir los vértices opuestos por una línea recta, el número de triángulos que se forma es:

I. Un número par de ellos II. Igual al número de lados del polígono

B C

A

x

y D

101

III. Nunca impar

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I, II y III

42. Si el lado de un cuadrado vale (x - 5), entonces el cuadrado del área

resultante expresado en términos de x es:

A) x4 - 2(x - 5) + 25 B) (x - 5)3 ·x C) x(x·5)2 D) (x - 5)2 (x - 5)2 E) Ninguna de las anteriores

43. Un agricultor con conocimientos de Algebra sabe que de pueden cosechar (p

- q) quintales de trigo por cada hectárea sembrada. ¿Cuántos quintales obtendrá si siembra 2 terrenos, uno de 5.000 m2 y otro de 35.000 m2?. Recuerde que una hectárea equivale a 104 m2.

A) 4(p - q) B) p - 4q C) 104(p - q) D) 4(2p - q) E) Otro valor

44. Si un artículo se vende a $100, IVA incluido, lleva un descuento de un 6%

sobre el precio de compra y no fue gravado con ningún porcentaje de ganancia, entonces su precio de compra original (sin IVA) es:

Indicación: IVA = 18% del precio del producto.

A) 100/1,24 B) 100/1,12 C) 100/1,06 D) 100/1,18 E) No se puede calcular

45. Si las áreas de un cuadrado de un cuadrado, un rectángulo y un círculo son

congruentes a 18 cm2 y los lados del rectángulo están en la razón 2 : 1, ¿cuánto mide el lado del cuadrado, los lados del rectángulo y el radio de la circunferencia, respectivamente? Considere π = 3

102

A) 18 2 9 6; ;y

B) 18; 3 y 6; 6 C) 18; 2 y 9; 6

D) 18 ; 3 y 6; 6

E) 18 ; 2 y 9; 6 46. Un artículo de una gran tienda comercial se ve sometido:

I. A un reajuste positivo en un 10% (sube el precio) con respecto del precio original P.

II. A un segundo reajuste negativo en un 15% (baja el precio) con respecto al precio original.

III. Luego, se hace un descuento del 5% del precio original

Con respecto al precio original, el artículo sufrió:

A) Una subida en un 10% B) Una bajada en un 15% C) Una bajada en un 10% D) Una subida en un 15% E) Queda al mismo precio

47. Sea ABCD cuadrado y el triángulo CDE equilátero. El ángulo x mide:

A) 75° B) 90° C) 120° D) 150° E) Ninguna de las anteriores

48. ¿Qué porcentaje es 8 de 40?

A) 10% B) 12,5% C) 20% D) 25% E) 30%

49. Calcule el doble del complemento de α más 30 grados si L1 // L2.

A) α + 30° B) α - 30° C) 2α -30° D) α

A B

CD

E

xR

α

α

α40o

L1

L2

L3 L4

103

E) Otro valor 50. Calcular el área del trapezoide AECD, si AE = 3, AD = 14 y L1 // L2.

A) 36 B) 54 C) 57 D) Falta información E) Ninguna de las anteriores

51. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es la menos correcta?

A) En los cuadriláteros las sumas de los ángulos interiores y exteriores son iguales.

B) En un rombo, que es un cuadrilátero, se pueden trazar sólo 2 diagonales.

C) Un rectángulo es un paralelogramo regular. D) Un cuadrilátero regular tiene todos sus lados iguales. E) Un paralelogramo es un cuadrilátero con 2 pares de lados iguales.

52. Se construye un triángulo dentro de un cuadrado de manera que su base sea un lado del cuadrado. ¿En qué razón se encuentra el área del triángulo formado por las medianas del triángulo inscrito original y el área del cuadrado?

A) 8 : 1 B) 1 : 8 C) 4 : 1 D) 1 : 4 E) Otra razón

53. Sea P1(-2,2) y P2(4,10). La distancia entre P1 y P2 es:

A) 14 B) 7 C) 10 D) 100 E) Otro valor

54. En la circunferencia, el ∠AOB =∠COD = 13

15

∠ =AOC Arco BD( ) , Arco(AE) :

Arco(ED) =1:3; entonces, ∠BOE = ?

A

C

E

DL1

L2

12

6

O

A

B

E

D

C

104

A) 36° B) 72° C) 18° D) 24° E) Ninguna de las anteriores

55. En la figura, O es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y

OD = 3 . ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC?

A) 2

B) 3 C) 1 D) Falta información E) Otro valor

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 56 A LA Nº 60

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es:

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

56. En la figura, ¿qué tipo de cuadrilátero es ABCD si sus ángulos interiores son

iguales y E es punto medio de CD? (1) δ = 60º (2) α = β = δ

δ

α βA B

CD E

A B

C

D

O 60 o

105

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

57. Para que ABCD (en la figura) sea un rombo, se requiere: (1) ∠BEC = 90° (2) AD // BC

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

58. En la figura, L1 // L2. Será verdadero que: (1) triángulo DEC es isósceles de base DC. (2) triángulo ABC isósceles de base AC.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

59. ¿BD es perpendicular a AC? (1) BD bisectriz ∠ABC (2) ∠DBC es suplemento del ∠BCE

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

60. Se desea determinar el valor de la incógnita x de la siguiente expresión

algebraica 7x - 3(x -8) + 4(7 - x) (1) La expresión es igual a 52

AB

CD

E

A

B

CD

E120o

L1 L2

135ox45o

A D C

B

E

106

(2) La expresión es igual a cero.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

107

Aptitud Matemática Claves de Corrección

1. B 31. C

2. E 32. B

3. C 33. E

4. B 34. E

5. E 35. D

6. C 36. C

7. D 37. E

8. B 38. A

9. D 39. C

10. C 40. D

11. B 41. E

12. D 42. D

13. D 43. A

14. D 44. B

15. C 45. D

16. D 46. C

17. D 47. C

18. D 48. C

19. B 49. D

20. C 50. C

21. D 51. C

22. C 52. B

23. B 53. C

24. A 54. C

25. D 55. A

26. A 56. D

27. D 57. E

28. B 58. C

29. D 59. D

30. B 60. E

108

Prueba CNU Venezuela, Septiembre de 2004. Modelo 2. Soluciones.

1 Si x, y z son enteros positivos, tales que 1<

z

x

. Cuál de las siguientes expresiones es mayor que 1?

a) z

x

2 b) 2

1)(

z

x

c) 2)(

z

x

d) zx − e) x

z

Solución: Es claro que en este caso 1

2

1)(

2<=

z

x

z

x

. Además 2

22)( <=

z

x

z

x

pero

no necesariamente mayor que 1. Además zx < . Luego 0<− zx . Queda sólo x

z

como respuesta posible. La respuesta debe ser por lo tanto e). Además,

manipulando la hipótesis 1<

z

x

. Pasando la z “positiva” a multiplicar al lado derecho de la desigualdad, obtendríamos zx < . Pasando el x “positivo” a dividir, al

lado derecho, obtenemos x

z<1

. Esto corrobora nuestra respuesta. 2. En la figura adjunta, O es el centro del círculo más grande. Si el radio del círculo de centro O es r. ¿Cuál es la superficie de la región sombreada en términos de r? r

Solución: El área del círculo mayor es 2

rπ . Cada círculo menor es de radio 2

r

. Por

lo tanto, el área de cada círculo menor es

2)2

(rπ

= 4

2rπ

. En consecuencia, la suma

de las áreas de los dos círculos menores es 2

2rπ

. Por lo tanto el área de la figura

r

r

a) π b) π3 c) 2

rπ d) 2

2rπ

e) 23 rπ

109

sombreada es la diferencia 22

222 rr

rπππ =−

. La respuesta correcta es por lo tanto d)

3. Si 22 += qp y 22qr = , r es igual a:

a) 2)2( −p b) )2(2 −p c) 2

)2( −p

d) 4

2−p

e) 4

22−p

Solución: Como 22 += qp , entonces 422 2 += qp . Como se dijo que 22qr = ,

concluimos que 42 += rp . Por lo tanto 42 −= pr = )2(2 −p . La respuesta correcta es por lo tanto b) 4. ¿Cuántos melones pueden ser comprados con 80 centésimos, si 30 melones cuestan d bolívares?

a) d

24

melones b) d

240

melones c) d24 melones d) 8

3d

melones e) 3

8d

melones

Solución: Si 30 melones cuestan d bolívares, con un bolívar se comprará d

30

melones. Como 80 céntimos son 100

80

bolívares, concluimos que con dicha suma se

comprarán d

30

100

80

melones = d

24

melones. La respuesta correcta es por lo tanto a). 5. Cuántos minutos tardará un automóvil en recorrer k kilómetros si marcha a 40 kilómetros por hora?

a) k

3

2

minutos b) k

2

3

minutos c) k3

2

minutos d) k2

3

minutos e) k40 minutos

Solución: Como marcha a 40 kilómetros por hora, recorrerá un kilómetro en 40

60

minutos y por lo tanto k kilómetros en 2

3

40

60 kk =

minutos. En consecuencia, la respuesta correcta es b)

110

6. En la figura siguiente, ACB es un ángulo que mide 180° y DC es perpendicular a CE. Si el número de grados del ángulo ACD está representado por x, el número de grados del ángulo BCE está representado por:

Solución: Tenemos que x + 90 + BCE∠ = 180°. Por lo tanto xBCE −=∠ 90 La respuesta correcta es a)

7. Si 9=+ yx , entonces el valor de la expresión yx )

3

1()

3

1( +

es: a) 1 b) 3 c) 18 d) 27 e) 54

Solución: yx )

3

1()

3

1( +

= 39)

3

1()(

3

1==+ yx

. La respuesta correcta es b)

8. Si 20)()( 22 =−−+ yxyx , el valor numérico de yx • es igual a: a) 0 b) 1 c) –2 d) 5 e) –5 Solución: Utilizando la hipótesis y productos notables tenemos que

20 = 22 )()( yxyx −−+ = xyyxyxyxyx 4)2(2 2222 =+−−++ . Por lo tanto 5=xy .

La respuesta correcta es por lo tanto d) 9. En la figura siguiente y es igual a: Solución: De la figura se concluye que 2x + x = 3x = 180°, de donde x = 60°

a) x−90 b) 90−x

c) x+90 d) x−180

e) x+45

A D x C B E

a) a) 15° b) b) 30° c) c) 45° d) d) 60° e) e) 25°

x

2x

y y

111

También, a partir de la figura, tenemos 2x+y+y= 2x+2y= 120 + 2y= 180°. Por lo tanto y = 30°. La respuesta correcta es b) 10. En la figura anexa cada circunferencia pasa por el centro de la otra. El radio de cada círculo es igual a 2. El perímetro de la región rayada es: Solución. El perímetro es la suma de las longitudes de los dos arcos que constituyen la frontera de la región rayada Como OR = OS = PR = PS = OP = r (donde r es el radio de cada uno de los círculos iguales), tenemos que los triángulos OPR y OPS son congruentes (iguales) y equiláteros (de lados iguales).

Por lo tanto sus ángulos interiores son de 60°. Por ello ∠ ROS = ∠ RPS = 120°. Luego, como las longitudes de las semicircunferencias son proporcionales a los ángulos centrales

ROS y RPS, la longitud de cada semicircunferencia es 3

2120

360

2 rr ππ=•

. La suma de las

longitudes de las dos semicircunferencias (perímetro) será en consecuencia 3

4 rπ= 3

8π, ya que r =

2. La respuesta correcta es por lo tanto c)

11. ¿ Cual de las siguientes expresiones tiene el mismo valor que Q

P

?

a) π)

3

1(

b) π)

3

4(

c) π)

3

8(

d) π)

2

3(

e) π)

2

1(

R O r P S

O r

O’

112

a) 2

2

−−

Q

P

b) Q

P

++

1

1

c) 2

2

Q

P

d) Q

P

3

3

e) 3

3

++

Q

P

Solución: Evidentemente Q

P

3

3

. La Solución es d)

12. Si el volumen de un cubo es 64 centímetros cúbicos, la suma de sus aristas mide:

a) 12 cm b) 32 cm c) 24 cm d) 16 cm e) 48 cm

Solución: Como V = 3

a , donde a es la longitud de la arista del cubo, tenemos

que 643 =a , de donde a = 4 cms. Como el cubo tiene 12 aristas, entonces la suma de ellas da 12x4 = 48 cms. La respuesta correcta es e)

13. Se tiene un círculo de centro O y radio OA = OB = OC. Si CT es una tangente, y el ángulo OAC mide 30°. El valor del ángulo BCT es: a) 60° b) 40° c) 50° d) 30° e) 25°

Solución: Como el ángulo inscrito OAC que subtiende el arco BC, es de 30°, el

ángulo central BOC que subtiende dicho arco es de 60° (el doble). Como OB = OC = r, donde r es el radio del círculo, se concluye que el triángulo OBC es isósceles, con ángulos iguales en los vértices opuestos B y C. Como los ángulos

interiores suman 180°, se concluye que °=∠=∠ 60OBCOCB . Como °=∠ 90OCT , por ser CT una recta tangente al círculo en C, se concluye que

°=∠ 30BCT . La respuesta correcta es d)

a

a a

C T

°30 °60 A O B

113

14. Considere las siguientes igualdades:

i. 0

9

1

4

9)

3

2( 2 =•−−

ii. 0)

3

1()3( 22 =−− −

iii. 032)

3

42( 1 =•−− −

De ellas es (son) verdadera(s): a) Sólo i y ii b) Solo i y iii c) Sólo ii y iii d) i, ii, iii e) Sólo iii Sólo son correctas ii y iii. La respuesta correcta es c)

15. La operación x

xx

12

1224 23 −da como resultado:

a) xx −22 b) 324x c) 1 d) 124 3 −x e) x2

Utilizando la ley distributiva, dividiendo cada término del numerador por x12 ,

obtenemos xx −22 . La respuesta correcta es a) 16. La recta que corta al eje “Y” en el punto 3 y pasa por el punto (2,-2), tiene por ecuación:

a) 5

6

5

2−

−=

xy

b) 3

5

2+

−=

xy

c) 3

2

5+

−=

xy

d) 2

53 −= xy

e) 53 +−= xy Solución: La ecuación de la recta de pendiente “desconocida” m que corta al eje

“Y” en 3=y , es y = mx + 3. Por lo tanto, todas las respuestas diferentes a b) y c) quedan descartadas. La única que se satisface con los valores x=2, y = -2 o sea que pasa por (2,-2) es la respuesta c).

17. Según la figura adjunta, si 21,LL y 3L son rectas paralelas, entonces la longitud DF es igual a:

a) 7

15

b) 3

20

c) 3

35

d) 4

35

e) 4

15

2L 3L

1L 3 4 D 5 F

114

Solución: Trasladando la recta DF como se muestra en la figura, se forman triángulos semejantes con vértice

en D y con bases sobre 2L y 3L respectivamente. De dicha semejanza se concluye que

DF

7

5

4=

. Por lo tanto 4

35=DF

. La respuesta correcta es por lo tanto d)

18. De acuerdo con los datos de la figura, en donde °=∠ 60AOC , si la medida del diámetro es 12 cm. ¿Cuál es el área de la región blanca señalada, medida en cm2? Solución: El triángulo AOC, por tener 60° en O y ser isósceles, ya que OC=OA=6, radio del círculo, forma también ángulos de 60° en los otros dos vértices, ya que la suma de sus ángulos interiores es 180°, por lo tanto es equilátero. AOC tiene por lo tanto las siguientes medidas:

2L 3L

1L 4 3 D 5 F

a) 33624 −π

b) 23624 −π

c) 156 −π

d) 296 −π

e) 396 −π

A

OA OO O

°60 C

O

O 6 6 5 A C 3 H 3

115

En consecuencia OH = 3327936 ==− . Por lo tanto su área es 39)

2

33(6 =

cm2. El

área del sector circular completo es πππ

66

36

6

2

==r

. Luego el área de la región blanca señalada

será 396 −π La respuesta correcta es por lo tanto e)

19. ¿Cuál es el área lateral en 2

cm , de un cilindro circular recto si su altura es 18 cm. Y el diámetro de su base es 10 cm? a) 450π b) 230π c) 180π d) 50π e) 360π Solución: La base del cilindro es un círculo de radio 5. Por lo tanto, el área de la base es

ππ 252 =r . Como la altura del cilindro es 18 cm., su volumen será ππ 4501825 =• . La respuesta es en consecuencia a)

20. En la función 63)( 2 +−= mxxxf , el valor de m para que se cumpla que 16)2( =f es: a) 2 b)1 c) –1 d) 17 e) –17

Solución: Como 166)2()2(3)2( 2 =+−= mf , concluimos que: 16218 =− m . Por lo tanto

m22 = . Luego m=1. La respuesta correcta es b) 21. ¿Cuál es la diferencia aproximada entre las áreas de dos circulos, uno de 6 m. de diámetro y el otro de 4 m. de radio?

a) 221m b)

223m c) 222m d)

220m e) 224m

Solución: El área del círculo de mayor radio es 24•π y la del de menor radio es

23•π .

Tomando el valor aproximado de π , como 3,1 , el primer valor es aproximadamente 49,6 y el segundo 27,9. La diferencia aproximada es por lo tanto 21,7 , valor dercano a 22. La respuesta correcta es c) 22. Si al cuadrado de un número entero se le agregan 5 unidades, se obtiene el cuadrado del sucesor de dicho número. ¿Cuál es el número? a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 Solución: El sucesor de 1 es 2, el de 2 es 3, etc. En este problema es preferible “cotejar” las respuestas contra los datos del problema, en lugar de utilizar un método más complicado.

6512 =+ , que no es cuadrado de ningún número entero. 9522 =+ , que es precisamente el cuadrado de 3, número sucesor de 2. Obviamente, la respuesta correcta es b) 23. Las variables P y Q son directamente proporcionales. Si P=10, entonces Q=2. ¿Cuánto vale P si Q=5? a) 1 b) 4 c) 25 d) 50 e) 100 Solución: Que P y Q sean directamente proporcionales, significa que si P crece o decrece, entonces Q crece o decrece, manteniendo la misma proporción entre las dos variables, la cual es

52

10==

Q

P

. En consecuencia P será siempre 5 “veces” Q. Por lo tanto si Q=5, tendremos que P debe ser 25, para mantener la proporcionalidad. La respuesta correcta es c)

116

24. Un automóvil recorrió 120 kilómetros de 8 a 9 de la mañana, 80 kilómetros de 9 a 10 de la mañana y 200 km. De 10 a 12 de la mañana. ¿ Cuál fue su velocidad media en kilómetros por hora?. a) 100 b) 125 c) 133 d) 150 e) 120 Solución. La velocidad media, se obtiene dividiendo la distancia total recorrida entre el tiempo

transcurrido. Por lo tanto es =++++

hora

km

211

20080120

hora

km

4

400. Aproximadamente 100 km/h. La

respuesta correcta es a).

25. Si n9273 1015 =• . Entonces n es igual a:

a) 45/2 b) 23 c) 24 d) 47/2 e) 49/2

Solución: 3010310 3)3(27 == . Además

nnn 22 3)3(9 == . Luego, la hipótesis se transforma en

n23015 333 =• . En consecuencia n245 33 = . Por lo tanto 2n = 45. Luego 2

45=n

. La respuesta es a).

26. Al racionalizar la expresión2

1

2

1

ba

ba

+

−

, resulta:

a) 2

1

2

1

ba − b) a+b c) ))(( 2

1

2

1

baba −− d) 2

1

2

1

ba + e) ba − Solución: Racionalizar, si no se aclara de otro modo, significa “racionalizar el denominador”. Es

decir, eliminar radicales en el denominador. El denominador 2

1

2

1

ba + debe ser multiplicado por “su

conjugado” 2

1

2

1

ba − , para obtener ba − . Luego la expresión racionalizada es

2

1

2

1

ba

ba

+

−ba

baba

ba

ba

−−−

=−

− ))(( 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

= 2

1

2

1

ba − . La respuesta correcta es a). 27. En untriángulo, la recta que contiene un vértice y es perpendicular al lado opuesto se llama: a) altura b) mediana c) bisectriz d) mediatriz e) hipotenusa La respuesta correcta es a) 28, Considere el siguiente problema: “ Juan ha recorrido dos terceras partes de un camino y aun le quedan 120 m por recorrer. Se quiere obtener la longitud del camino.”. Si x representa la longitud del camino, una ecuación que permite resolver el problema correctamente es:

a) x

x=

+3

)120(2

b) x

x=+120

3

2

c) 120)2(3 =x d) 120

3

2=

x

e) 3)120(2 =+x La respuesta correcta es b).

29. El orden de los números ,23,6 +== NM y 23

2

−=P

, de menor a mayor es:

117

a) M, N y P b) P, N, M c) N, M, P d) M, N, P e) P, M, N

Es claro que )

23

2(

− .vs. 23 + , nos llevaría a

1.).)23)(23(

2( vs

+−

Y por lo tanto a 1..

23

2vs

− . Es decir a 2.vs.1. De donde concluímos que el símbolo “versus” (.vs.)

debe ser reemplazado por >. Por lo tanto )

23

2(

− > 23 + . Ahora estudiemos

2)23( + = 23252232322

+=++ . Es esta última expresión mayor que 6?. O lo

que es lo mismo, ¿ Es ?1232 >

Elevando al cuadrado 232 , obtenemos 4(3)2= 24. Concluimos que 1232 >

Y que en consecuencia 6)23( 2 >+ . Por lo tanto 6)23( >+ . El orden correcto es por lo tanto d) .

30. Sea 0≠u . Si 032

0

=+−=−−uyx

uyx

, entonces y

x

es igual a:

a) 2

3− b) 2

1

c) 5

2

d) 1

2− e) 4

5

Solución: Sustituyendo la segunda ecuación con su suma con 3 veces la primera, eliminamos la

incógnita u , en la segunda, así:

054

0

=−=−−

yx

uyx

.

De la segunda ecuación concluimos: yx 54 = . De donde se infiere que 4

5=

y

x

. La respuesta correcta es e) 31. Se desea fabricar una caja sin tapa, de base cuadrada, cortando cuadrados de 3 cm. De lado en las esquinas de una lámina cuadrada, y doblando hacia arriba los lados. Para que la caja tenga un volumen de 48 cm3, el lado de la lámina debe medir: a) 8 cm b) 9 cm c) 10 cm d) 12 cm. e) 16 cm. Solución:

3 3

3 3 x

El gráfico siguiente muestra el corte de la lámina

118

Al doblar las tapas punteadas para formar el volúmen de la caja, tenemos que:

V = 3x2

Ya que el área de la base es x2. y la altura de la caja será 3. El lado de la lámina cuadrada original debió ser por supuesto x + 6. Este es el valor que se debe calcular, después de calcular el valor de x. El valor de x se obtiene de la ecuación 3x2= 48, el cual debe ser el volumen de la caja a construir. De allí, obtenemos x= 4. Por lo tanto x + 6 = 10. La respuesta es por lo tanto c)

32. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes corresponde al gráfico de la parábola )(xfy = , de la figura?

a) )3)(1( −−= xxy b) 2)2(5,0 −= xy c)

2)2(5,0 −−= xy

d) )3)(1(5,0 −−= xxy e) )3)(1(5,0 −−−= xxy Solución: Las parábolas abren hacia arriba si el coeficiente del término de segundo grado es positivo y hacia abajo, si es negativo. En el caso del dibujo, la parábola abre hacia abajo, por lo cual descartamos las respuestas a, b, d, ya que endichos casos tales coeficientes son respectivamente 1; 0,5 y 0,5. Quedan como posibles sólo c y e. La respuesta c, se descarta ya que

de dicha ecuación se deduce que si 2=x , tendríamos que 0=y . En la gráfica, 0=y si y sólo si

1=x o 3=x y no precisamente en 2=x . La única respuesta posible es e). Se puede verificar a

partir de e) que cuando 0=x , entonces y = -1,5, satisfaciendo dicha condición adicional del gráfico. Respuesta: e)

33. Se tienen los vectores )2,2(−=a y )3,4(=b . El valor de ba 2+

es: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

Solución: )8,6()6,8()2,2()3,4(2)2,2(2 =+−=+−=+ ba

Por lo tanto, su módulo o longitud será 1010086 22 ==+ . La respuesta correcta es por lo tanto b).

Y 0,5 1 2 3 X

)(xfy = - 1,5

119

34. Cuál es el conjunto solución de la inecuación 0

1

42

2

≥+−

x

x

?

a) ( ] [ )∞−∞− ,22, U b) ( ) [ ]∞−∞− ,22, U c) ]( ( ]∞−∞− ,22, U

d) ( ]2,−∞− e) ( ]U2,−∞− ][ ∞,2

Solución: Como 012 >+x para todo valor de x , el estudio se reduce a estudiar 042 ≥−x . Es

evidente que tal condición se cumple si y sólo si 2≥x o 2−≤x . La respuesta correcta es en consecuencia a). La notación o nomenclatura utilizada en este problema en la prueba del CNU nos parece inconveniente, ya que no es usual denotar intervalos cerrados en ∞ .

Consideramos inconveniente notaciones tales como ( ) [ ]∞−∞− ,22, U y ( ]U2,−∞− ][ ∞,2 , las cuales fueron utilizadas, cerrando el intervalo en ∞ , como sital extremo existiera.

35. El valor numérico de la expresión )2000(2000 2000 es igual a:

a) 20012000 b)

20004000 c) 40002000 d)

2000000.000.4 e) 000.000.42000

Solución: La respuesta correcta es a) 36. La suma de los primeros 100 números naturales es: a) 10.010 b) 10.100 c) 5.050 d) 5.070 e) 4.040

Solución: Al estudiar la progresión aritmética 1, 2, 3, 4, 5, ... con término 11 =a y razón 1=r y

estudiar la suma n

aas n

n •+

=2

1

, donde rnaan )1(1 −+= , para los valores señalados antes,

con 100=n , tenemos 100991100 =+=a , lo cual es lógico, y

050.5501011002

1001100 =•=•

+=s

. Concluimos que la respuesta correcta es c) 37. Cuál es el volumen en centímetros cúbicos de un paralelepípedo rectangular cuya altura es de 7 cm. Y su base tiene 4 cm. de ancho por 5 cm. de largo? a) 140 b) 70 c) 120 d) 35 e) 20 Solución: En este caso el volumen está dado por el producto de las tres medidas. Por lo tanto

547 ••=V cm3 = 140 cm3. La respuesta correcta es a) 38. La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen de Física es de 0,75 y de que apruebe el exámen de Matemáticas es de 0,80. Si presenta los dos exámenes el mismo día, la probabilidad de que apruebe las dos asignaturas es: a) 0,6 b) 0,06 c) 0,05 d) 0,78 e) 0,5

120

Solución: Los eventos son independientes, es decir que el resultado del segundo, no depende del anterior. La probabilidad de su intersección es por lo tanto el producto de las probabilidades, es decir 0,75 • 0,80 = 0,60. La respuesta correcta es a) 39. Si se alínean 12 postes a 3 m. de distancia uno del otro, entonces el primero y el último están separados por: a) 30 m. b) 39 m. c) 33 m. d) 42 m. e) 36 m. Solución: Si se dibujan 3 postes, separados el uno de otro 3 m., la distancia entre el primero y el último es 3 x (número de postes – 1). Esta regla vale para 12 postes. Luego, la distancia entre el primero y el último será 3 x (11) = 33. la respuesta correcta es c) 40. En un triángulo rectángulo un cateto mide 12 cm. Y la hipotenusa es 25% mayor que dicho cateto. Entonces el área de dicho triángulo es : a) 27 cm2 b) 54 cm2 c) 108 cm2 d) 135 cm2 e) 90 cm2

Solución: El 25% de 12 es 3. Luego la hipotenusa medirá 15 cm. La medida del otro cateto,

utilizando el teorema de Pitágoras sería 9811442251215 22 ==−=− . El área del

triángulo rectángulo sería 54

2

129=

•

La respuesta correcta es b)

121

Modelo 3. PAA 2005. Presentada en el año 2004 Esta guía ha sido preparada por el profesor José A. Barreto. Master of Arts en Matemáticas y Computación de la Universidad de Texas en Austin. Comentarios pueden enviarse a josearturobarreto@gmail.comGuías adicionales se pueden buscar en abaco.com.ve 1. Dado 752)( 23 ++−= xxxP , el valor de )1(−P es: a) 14 b) 7 c) 9 d) -2 e) 10 Ayuda Un polinomio en x de grado n, donde n es un número entero no negativo es una expresión de la forma n

n xaxaxaxa ++++ ...221

00 . Siguiendo la convención 10 =x , un polinomio

en x de grado n, donde n es un número entero no negativo, es una expresión de la forma n

n xaxaxaa ++++ ...2210 ., donde los número ia son números reales denominados los

coeficientes. Ejemplo: 532 xx −+ , es un polinomio de grado 5

364

32 xx ++ , es un polinomio de grado 3.

El polinomio 05x , comúnmente escrito como 5 , es un polinomio de grado 0. Dado el polinomio 232)( xxxp −+= y una constante real, digamos 4, el valor )4(p se

calcula sustituyendo la “variable” x por el número 4. Así 24432)4( 2 −=−•+=p y

42232)2( 2 =−•+=p 2. La superficie de la parte sombreada del rectángulo, en cm2, mide: 4 cm 6 cm

a) 4/2 b) 12/2 c) 4 d) 8 e) 5

Ayuda El área del rectángulo de base b y altura h es hbA *=

El área del triángulo de base b y altura h es 2

hbA

•=

122

Coloquialmente, usualmente, no se diferencian los términos superficie y área, como en el problema que está resolviendo y se dice un área plana cuando lo correcto es decir una

superficie plana.

Sin embargo nadie dice “el barco navega sobre el área del mar” en lugar de “el barco navega sobre la superficie del mar”. Por ello es preferible distinguir entre la superficie y su medida el área. 3. El cuadrado del antecesor de M menos el doble del antecesor de (F-3), todo ello multiplicado por 3, se escribe como:

a) ( ) ( )[ ]2213 2 −−− FM b) ( ) ( )[ ]4213 2 −−− FM c) ( ) ( )4213 2 −−− FM

d) ( ) ( )2213 2 −−− FM e) ( ) ( )2213 2 −−− FM Ayuda El antecesor de un número entero N es el número N-1. Así: el antecesor de 3 es 2, el de 0 es -1 y el de -3 es -4. 4. Las distancias que caminan Ramón y Pedro están en la relación de 2:3, en una misma dirección y sentido. Si parten juntos y Pedro ha caminado 36 Km. ¿A qué distancia se encuentra Pedro de Ramón? a) 12 Km. b) 18 Km. c) 24 Km d) 48 Km. e) 54 Km. Ayuda

Dos números a y b están en la relación 2:3 si 3

2=

b

a. A veces se denomina a

b

a, una razón.

También se dice que la razón entre a y b es 3

2, o que a es a b como 2 es a 3, lo cual se

expresa como 3:2::: ba . Este tema se encuentra en los textos de matemáticas bajo la denominación razones y proporciones. 5. Un examen tiene una duración de 1 hora y 40 minutos. El 30% del tiempo está dedicado a leer los ejercicios y el 70% a resolver los mismos. El tiempo dedicado a la lectura en minutos, es de: a) 30 b) 12 c) 40 d) 60 e) 58

123

Ayuda

El 30% de un número se calcula por multiplicación. Así el 30% de 60 es 18100

3060 =• . A

veces en lugar de 100

30, se utiliza el número decimal 0,30 y en lugar de 35%, el número

0,35. Note que en dichos casos, el 30% de a se calcularía como 30,0×a , mientras que el 3% como 03,0×a . En este problema es conveniente convertir la hora y 40 minutos a minutos, para que haya consistencia en unidades. Así, 1 hora + 40 minutos = 60 minutos + 40 minutos = 100 minutos. 6. En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 38°. ¿ Cuántos grados mide cada uno de los ángulos iguales? a) 142 b) 45 c) 71 d) 90 e) 60 Ayuda Recuerde que un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y el tercero desigual. Por ello los dos ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. La siguiente figura le ayudará a resolver el problema.

7. Un comerciante vendió los ¾ de una pieza de tela y regaló los 2/5 de la tela que le quedaba. ¿Cuántos 2

m medía la tela si al final sobraron 18 2m ?

a) 54/5 b) 36/5 c) 180/5 d) 120 e) 180 Ayuda La pieza total, en nuestro problema, la unidad de tela, es 4/4 de la tela o 5/5 0 7/7, etc. Al vender ¾ de la tela ( de los 4/4 que es el total) queda ¼ de la misma. Al regalar los 2/5

de lo que queda, ha regalado 10

1

5

2

4

1=× (un décimo de la tela). Hasta el momento ha

38 a a α α

Recuerde que la suma de los ángulos interiores de

un triángulo es 180°. Luego 2α + 38 = 180

124

sacado 20

17

20

2

20

15

10

1

4

3=+=+ de porción de tela, quedándole

20

3de la misma (respecto a

la unidad, el total de la tela). Ahora, si 20

3de la tela es 18 ¿Cuánto medía la tela?

8. Si 33

33=

+m, entonces

3

m es igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) ½ e) 2/3 9. Se define la operación @ para los números reales U y V de la siguiente manera

)3(2

@ VUUV

VU −= . ¿Qué puede afirmarse acerca de las soluciones x de la ecuación

)1@(32@ −=x ? a) No hay ninguna solución b) Existen infinitas soluciones c) Existen sólo 2 soluciones distintas d) La solución es x = 3 e) La solución es x=2. Ayuda Este problema abstracto nace del estudio matemático de problemas reales. Generalmente usted no dice 5@2 = 10 si no 1025 =× (o 1025 =• ) ya que el símbolo × (o • ) usualmente significa multiplicación. El símbolo × (o • ) es sin embargo arbitrario. Usted podría sustituir × por • o quizás por @ y decir 5@2 = 10 y 3@4 = 12. En la operación @ definida en este problema, tenemos que 2@4 =

40)10(4)432(2

42−=−×=×−

× .

Por lo tanto )6()23(2

22@ −=×−

×= xxx

xx

y 9))1(33(2

)1(3)1@(3 −=−−

−=− .

De donde )1@(32@ −=x , es equivalente a 9)6( −=−xx . Cuál o cuáles son los valores de x ? 10. Si F es una función tal que F(1) = 3 y F(n+2) = 2F(n), entonces F(5) es igual a : a) -7 b) -3 c) 7 d) 10 e) 12

125

Ayuda La función anterior se ha definido por “recurrencia” lo cual es normal en un área avanzada de las matemáticas denominada “Análisis Numérico”, la cual tiene gran importancia en Ciencia e Ingeniería. Las funciones generalmente se definen con el auxilio de fórmulas tales como F(x) = 2x (o quizás 13)( 2 ++= xxxF ). En el primer caso 1052)5( =×=F y en el segundo

411535)5( 2 =+×+=F . Veamos un problema sencillo y su definición equivalente por recurrencia. En un pueblo existían sólo dos “Picaledones” en el año 2001. Cada año la población de Picaledones se duplica, así: En el año 1 ( o 2001) había 2 Picaledones. En el año 2 (o 2002), al duplicarse, habrán 4 Picaledones. En el año 3 (o 2003), al duplicarse habrán 8 Picaledones. En el año 4 (o 2004) , 16 Picaledones. Exprese una fórmula que le permita calcular el número de Picaledones que habrá en el año n. Solución. Es claro que F(1) = 2, F(2) = 4, F(3) = 8, F(4) = 16, etc. 1er. Método. La función nnF 2)( = , resuelve el problema. Así, 22)1( 1 ==F ,

42)2( 2 ==F , 82)3( 3 ==F , 162)4( 4 ==F , etc. Definición por recurrencia

2)1( =F ; )(2)1( nFnF =+ , para 1fn De allí 2)1( =F , 4)1(2)2( == FF , 842)2(2)3( =×== FF y así sucesivamente.

Claro está que a este nivel parece mas conveniente la formulación directa nnF 2)( = , que la dada por recurrencia ya para calcular por este último método )50(F , tendríamos que calcular sucesivamente 2)1( =F , 422)1(2)2( =×== FF , 42)2(2)3( ×== FF =8 , hasta llegar a )50(F obteniendo los mismos resultados. Sin embargo en muchos problemas prácticos no es fácil hallar una fórmula que tipifique el problema real. Tal es el caso del ejemplo siguiente: Cuántos pares de Conejos se producirán en un año, comenzando por una sóla pareja, si cada mes, cada pareja produce una nueva pareja, la cual será productiva a partir del segundo mes?

126

Este problema fue propuesto por el Italiano Leonardo de Pisa (1170-1250) mejor conocido como Fibonacci en “El libro del Abaco”

"Tenemos una pareja de conejos, si, en cada parto obtenemos una nueva pareja y cada nueva pareja tarda un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un mes, ¿Cuantas parejas tendremos en 12 meses?"

La respuesta es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Cada número se obtiene sumando los dos anteriores. De allí podemos obtener una función, que genera los números de Fibonacci, definida así:

1)1( =F (Pareja inicial, en el mes 1) 1)2( =F (Pareja aún en maduración, en el segundo mes) 2)3( =F (Primer parto después de 2 meses, hay dos parejas en el 3er. mes) 3)4( =F (La primera pareja procrea de nuevo, la segunda está sólo en su primer mes) 5)5( =F (Recuerde que cada nueva pareja procrea continuamente a partir del 2do. Mes)

…etc… Como se ve en la figura A partir de 3≥n y definiendo por recurrencia, sabiendo que 1)1( =F y 1)2( =F F(n+1) = F(n-1) + F(n), De donde resulta que : F(1) = 1 F(2) = 1 F(3) = 211)2()1( =+=+ FF

127

F(4) = 321)3()2( =+=+ FF F(5) = 532)4()3( =+=+ FF …etc…. Los números siguientes serán 8, 13, 21, 34. Verifíquelo Claves: 1. a 2. b. 3. b 4. c 5. a 6. c 7. d 8. e 9. d 10. e Segundo conjunto de problemas resueltos tomados de la Prueba de Aptitud Académica, Modelo 3, PAA 2005, presentada en el año 2004, con ayudas. 1. El cuadrado de la figura se ha dividido en 4 cuadrados iguales. Uno de estos

cuadrados se ha dividido en 2 regiones Q y P. Si PQ3

1= . Qué parte del área del cuadrado

total corresponde al área Q?

Ayuda

De PQ3

1= se deduce que QP 3= . Como P y Q , constituyen un cuarto del area total,

tenemos que TQP4

1=+ , donde T es el área total del rectángulo mayor inicial,

sustituyendo en la igualdad anterior a P por Q3 , se obtiene la respuesta. 2. Después de presentar 4 exámenes, el promedio de un alumno es de 5 puntos. Para que su promedio suba un punto el alumno debe obtener en el siguiente examen: a) 6 b) 8 C) 9 d) 10 e) 7 Ayuda Si el promedio en los primeros 4 exámenes es 5, la suma de sus calificaciones hasta ese momento le debe dar 20, ya que 2054 =× . Para subir un punto, su promedio, es decir a 6, en 5 exámenes, deberá alcanzar 30 puntos ya que 3065 =× . De aquí puede usted concluir la respuesta.

a) 12

1

b) 15

1

c) 16

1

d) 20

1

e) 25

1

128

3. Célida mide a metros de altura y Gaby b centímetros menos que Célida. Entre las dos miden: a) ba +2 metros b) ba −2 metros c) ba −200 centímetros d) ba +200 centímetros e) ba −199 centímetros. Ayuda Convierta la edad de célida a centímetros 4. La respuesta de la expresión 2)7()7)(7( bababa −−−+ es igual a: a) 0 b) ab14 c) ab14− d) 22b− e) 2214 bab − 5. La figura está formada por seis cuadrados iguales. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I) Area REGH = Area CDFG II) Perímetro SEGH = Perím. ABHR III) HRFHSCBSAB +=++ a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I ,II y III Ayuda Los lados de todos los cuadrados pequeños son iguales entre sí (en longitud) y tambien sus diagonales. 6. La edad actual de un padre es el triple de la del hijo, pero dentro de 12 años será unicamente el doble. ¿Cuántos años tiene actualmente el hijo? a) 8 b) 36 c) 24 d) 12 e) 16

S

I H G F

R E

A B C D

129

Ayuda Ahora Después (12 años) Hijo: x x + 12 Padre: 3x 3x + 12 Luego 3x + 12 = 2(x + 12), ya que en 12 años, la edad del padre será el doble de la del hijo. Calcule x a partir de la ecuación anterior. 7. Si el doble de un número es 22 p . ¿Cuál es el triple del número? a) 23p b) 66 p c) 26 p d) 6p e) 212 p 8. Si teresa hace 5 años tenía x años de edad. ¿Qué edad tendrá Teresa dentro de 5 años? a) 5−x b) x10 c) 5+x d) x5 e) 10+x Ayuda Hace 5 años Dentro de 5 años Edad: x años Edad: ?

9. La expresión

•8,0

08,08 es igual a:

a) 800 b) 80 c) 0,008 d) 0,08 e) 0,8 Ayuda

=

=

××

=

10

1

80

8

1008,0

10008,0

8,0

08,0

10. Cómo se expresa el siguiente enunciado: “La suma del ángulo α con el suplemento del ángulo β es igual al triple de la medida de un ángulo recto”?

a) 3

90)180(

°=−+ ° βα b)

3

90)180(

°=−+ °βα c) °° •=−+ 903)180( βα

d) °° •=−+ 903)180(βα e) °° +=−+ 903)180( βα Ayuda El suplemento del ángulo β es lo que le falta para ser igual a °180 , es decir β−°180 Claves 1. c 2. d 3. c 4. b 5. e 6. d 7. a 8. e 9. e 10. c

130

Modelo 3. PAA 2005. Presentada en el año 2004 Esta guía ha sido preparada por el profesor José A. Barreto. Master of Arts en Matemáticas y Computación de la Universidad de Texas en Austin. Comentarios pueden enviarse ajosearturobarreto@gmail.com. Guías adicionales se pueden buscar enabaco.com.ve 1. Se afirma que Juan tiene como mínimo $100 en su bolsillo. Si x representa la cantidad de dinero que tiene Juan en su bolsillo. Cuál de las siguientes expresiones representa correctamente la afirmación? a. 0100$ =−x b. 100$<x c. 100$>x d. 100$≥x e. 100$≤x 2. Si cada cuadrado de la figura tiene un área de 4 2

cm . Cuál es la longitud de la línea continua de la figura?

a. 32 cm b. 32 2 cm c. (6 2 +10) cm d. (6 2 +20) cm e. (12 2 +20) cm Ayuda Si cada cuadrado de la figura tiene un área de 4 2

cm , el lado de cada uno de ellos será de 2 cm . Calcularemos la longitud de las líneas “diagonales” en las formas:

Por ser los triángulo de arriba “triángulos rectángulos, utilizando el teorema de Pitágoras:

22822 22 ==+=d

En la figura propuesta en este problema hay 6 “diagonales” de longitud 22 y 10 lados de longitud 2.

2 2 d d 2 2 d 2 2

131

3. Si 5

1de A es igual a

5

2 de B y a

5

3 de C. Cuáles de las afirmaciones siguientes son

verdaderas? I) A + 2B = 3C II) A = 2B III) C=3ª a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo I y II d. Sólo II y III Ayuda

De 5

1A =

5

2B =

5

3C, deducimos que: A = 2B, 3C = 2B C =

3

1A

Son válidas I y III ? 4. En el triángulo ABC de la figura, el perímetro es (3ª + 2b), con a ≠ b. Si AC = BC y AB = a. Cuál de las siguientes expresiones representa el área del cuadrado ACED ? E C D A a B

a. 2)( ba + b. 2)2( ba + c. 2)22( ba + d. 2

3

23

+ ba e.

2

4

23

+ ba

Ayuda El perímetro de un triángulo es por definición “la suma de las longitudes de sus lados” Como AC=BC, el triángulo ABC es isósceles con dos lados de longitud igual x. En tal triángulo baxa 232 +=+ . Luego bax 222 += . Por lo tanto bax += . En consecuencia, el lado del cuadrado ACED es de longitud ba +

5. Se tienen Bs. 510 en monedas de Bs. 5 y Bs. 10. Cuántas son las monedas de Bs. 5 ? a. 24 b. 16 c. 42 d. 38 e. 18 Ayuda

132

Si las monedas fuesen sólo de Bs. 10, se tendrían 51 monedas. Faltarían 9 monedas para las 60. Estas nueve monedas faltantes son causadas por la presencia de monedas de Bs. 5. Esto se logra separando 9 monedas de Bs. 10 en 18 monedas de Bs. 5. 6. La suma de tres números enteros pares consecutivos, sabiendo que 13 +x es el mayor número, es: a) 39 −x b) 39 +x c) x93 − d) x9 e) 1−x Ayuda Los números serán por lo tanto, en orden descendente 13 +x , 13 −x , 33 −x . Por lo tanto su suma sería …? 7. Una torta se divide en cuatro partes iguales. ¿Qué porcentaje del total representa la quinta parte de uno de los cuatro pedazos? a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 40% Ayuda Una cuarta parte de la torta (Torta completa ≡100%), es el 25%. Luego su quinta parte es …? 8. Tres jarros llenan 18 vasos. ¿Cuántos vasos de doble capacidad se llenan con 5 jarros iguales a los anteriores? a) 9 b) 12 c) 15 d) 30 e) 45 9. Cuál de las siguientes expresiones es la menor? a) 0,2 b) 0,0125 c) -2 d) -1 e) 0 10. Si a , b y c , son dígitos para los cuales 27a - b48 ; -------- 73c Entonces la suma cba ++ es igual a: a) 14 b) 17 c) 15 d) 18 e) 16 Ayuda

133

Evidentemente, de la columna

b

2, se concluye que b es igual a 9 . En este caso el 2 se

tomó como 12, lo cual hay que tener en cuenta al calcular a . Claves 1. d 2. e 3. b 4. a 5. e 6. a 7. a 8. c 9. c 10. b.

ÍTEM COMPRENSIÓN DE LECTURA

TEXTO Nº 1 (52 - 59)

1. “La Distrofia Simpática Refleja (DSR) es “uno de los síndromes más

desconcertantes de la medicina y uno de los más dolorosos y potencialmente debilitantes”, escribió Allison Bray en el periódico Winnipeg Fress. La DSR “muchas veces no se reconoce clínicamente porque no se comprende bien”, dijo la paciente Anna Alexander en la revista Bristish Medical Journal. Esta publicación afirmó que en los niños a menudo no se diagnostica correctamente. Por muchos años los médicos incluso pensaron que el dolor era psicológico, provocado por la propia persona.

2. Los que padecen este trastorno misterioso experimentan un dolor implacable

y en algunos casos no recuerdan haber hecho nada que lo causara. Sarah Arnold escribe en la revista Accent on Living: “La causa de la enfermedad es un traumatismo o lesión en una zona corporal abundante en terminaciones nerviosas, como la mano o el pie. La lesión puede ser tan simple como un pinchazo de alfiler o tan compleja como una operación quirúrgica. La primera indicación de la enfermedad es un dolor persistente más fuerte que el producido por la lesión. Los síntomas son dolor abrasador intenso en una zona localizada, hipersensibilidad a la temperatura y a la luz, y cambios en el vello, las uñas y el color de la piel”.

3. La enfermedad comprende varias fases. Al principio, la zona afectada se

inflama y se enrojece, y crece el vello donde antes no se percibía. Estos síntomas pueden durar de uno a tres meses. A continuación, la zona se torna azul y fría, y aumenta el dolor y la rigidez de los ligamentos y las articulaciones. En esta fase puede aparecer osteoporosis. Finalmente, los músculos lesionados se debilitan, los tendones se contraen y la extremidad afectada se atrofia.

4. Según el doctor Howard Intrater, director de la clínica del dolor situada en el

Centro de las Ciencias de la Salud de Winnipeg, es posible evitar el daño irreversible. Para ello, hay que impedir que los nervios simpáticos envíen señales de dolor. El periódico de Winnipeg menciona que “entre los

134

tratamientos están la estimulación eléctrica, los bloqueadores beta, los estimuladores epidulares (electrodos implantados en la médula espinal para estimular la zona afectada) y el bloqueo de los nervios simpáticos con inyecciones”. La fisioterapia se emplea junto con la acupuntura para reducir el dolor y mejorar la movilidad. La British Medical Journal dice que “para que el tratamiento sea efectivo debe incluir una combinación de estimulación eléctrica de los nervios, bloqueo químico de los nervios simpáticos, terapia psicológica y terapia física intensa”.

5. El diagnóstico precoz es, obviamente, ventajoso. No obstante, en The

American Journal of Sports Medicine unos médicos explican que los resultados del tratamiento en pacientes que presentaban síntomas de DSR desde hacía menos de seis meses, entre seis y doce meses y más de doce meses ”eran casi idénticos. Este hallazgo contradice la opinión actual de que cuando ha habido síntomas por más de un año antes de aplicar el tratamiento el pronóstico no es bueno”.

6. Se espera que con el progreso de la medicina se comprenda mejor la DSR y

sea posible ofrecer un tratamiento aún más eficaz a quienes la padecen”.

Fuente: Revista !Despertad! Ed. Watchtower Brooklyn U.S.A.

52. De acuerdo al texto, la D.S.R. es:

A) Una enfermedad de varias fases que termina en osteoporosis. B) Una enfermedad que daña irreversiblemente. C) Una enfermedad de la que últimamente se sabe mucho. D) Una de las enfermedades más desconcertante y dolorosa. E) Una enfermedad que afecta principalmente a los niños.

53. El título más apropiado para el texto es:

A) “Allison Bray y la D.S.R”. B) “El Síndrome más doloroso de todos”. C) “La Distrofia Simpática Refleja”. D) “D.S.R.: una enfermedad desconocida”. E) “Tratamientos para la D.S.R.”.

54. Sarah Arnold se cita en el texto con el propósito de:

A) explicar cómo se produce la D.S.R y cuáles son sus síntomas. B) explicar cuáles son las fases de la enfermedad y sus síntomas.

135

C) explicar que es posible evitar el daño distrófico. D) hacer referencia a la revista “Accent on Living” en la cual ella escribe. E) demostrar que es ella quien más sabe sobre la D.S.R.

55. Qué función cumple el párrafo sexto dentro del texto leído.

A) Plantea un punto de vista poco prometedor acerca del futuro de la D.S.R. B) A modo de conclusión, plantea una esperanza para el futuro de la

enfermedad. C) A modo de conclusión muestra lo incomprensible que es aún la

enfermedad. D) Como parte del desarrollo, deja el tema abierto. E) Entrega una solución concreta al problema de la enfermedad.

56. El autor del texto afirma que:

A) La D.S.R. no se reconoce clínicamente porque no se comprende bien. B) Algunos de los síntomas de la D.S.R. son dolor intenso, hipersensibilidad

a la luz y temperatura entre otros. C) Uno de los tratamiento de la enfermedad es la estimulación eléctrica. D) El diagnóstico precoz de la enfermedad resulta ventajoso. E) La causa de la enfermedad es un traumatismo en la zona afectada.

57. De acuerdo al texto, las fases del D.S.R. se dan de acuerdo al orden

siguiente:

I. inflamación y enrojecimiento. II. dolor, rigidez y posible osteoporosis. III. crecimiento del vello. IV. atrofia de la extremidad afectada. A) I, II, III y IV B) IV, III, II y I C) I, III, II y IV D) IV, I, III y II E) III, I, II y IV

58. En el párrafo cuatro se cita al doctor Howard Intrater con el propósito de:

A) corroborar que el diagnóstico precoz de la D.S.R. es favorable. B) plantear la posibilidad de evitar que el daño causado por la D.S.R. sea

irreversible. C) nombrar algunos de los tratamientos contra la enfermedad. D) nombrar a alguien que trabaje en la clínica del dolor situada en el Centro

de las Ciencias de la Salud de Winnipeg. E) afirmar que es necesario impedir que los nervios envíen señales de dolor.

136

59. De lo expuesto en el texto se puede concluir que:

A) El dolor producido por la D.S.R. es sólo psicológico. B) El tratamiento de la D.S.R., para que sea efectivo, debe ser integral. C) La D.S.R. no ataca nunca a los niños. D) El dolor del miembro enfermo puede solucionarse por medio de la

amputación. E) Sólo el diagnóstico precoz hace posible contrarrestar los efectos de la

D.R.S.

Texto Nº 2 (60-67)

1. Tanto los educadores como los estudiosos de las ciencias de la educación,

están hoy familiarizados con el término de personalización educativa o de educación personalizada, desde que este concepto de educación fue propuesto por el doctor García Hoz. Se sabe que personalización educativa y educación personalizada son dos formas de expresar lo mismo, y se entiende por tal, todo proceso educativo que pretenda el desarrollo del hombre como persona. Responde al intento de estimular a un sujeto para que vaya perfeccionando su capacidad de dirigir su propia vida, o dicho de otro modo, desarrollar su capacidad de hacer efectiva la libertad personal, participando, con sus características peculiares, en la vida comunitaria.

2. Su más profundo significado no estriba en ser una forma más de enseñanza,

o un nuevo sistema de enseñanza más eficaz, sino en considerar al educando como persona y convertir el trabajo escolar y toda la relación educativa en elementos para su desarrollo personal. De esta consideración del educando como persona, y no como mero objeto de una simple acción transformadora, nace el dinamismo intrínseco del proceso personalizante educativo. Porque el meollo de la personalización educativa es este saber tener presente que el educando es persona.

3. Como dice Martín Buber, “ el maestro debe verle -al educando- como

persona bien determinada en su potencialidad y en su actualidad; más exactamente, no debe conocerle como mera adición de propiedades, tendencias e inhibiciones, sino adquirir clara conciencia de su totalidad y afirmarle en ella”.

4. El alumno como persona debe ser considerado en su dimensión de “homo

viator”, hombre en camino, tanto de realización personal como, al mismo tiempo y precisamente por ello, en camino de alcanzar la satisfacción plena de deseos de infinito.

137

5. Al presentarse la personalización educativa como renovación educadora, no debe entenderse que haga tabla rasa de los principios fundamentales de la antigüedad clásica. Así, se la encuentra emparentada con la concepción que Tomás de Aquino tiene de la educación cuando dice que es “ conducción y promoción de la prole al estado perfecto del hombre en cuanto hombre, que es el estado de virtud”. Para Millán Puelles, esto significa que al educar se pretende “suministrar al hombre el estatuto por el que se halle habitualmente inclinado a la viviente y libre aceptación, con hechos, de esa naturaleza que, en tanto hombre, le conviene”. Incluso la misma etimología de educación, “educere”, se traduce por sacar, extraer, significando actualización de las posibilidades del hombre, desenvolvimiento personal. En este mismo sentido están las palabras de Maritain al tratar de la finalidad de la educación: “es formar al hombre, o más bien guiar el desenvolvimiento dinámico por el que el hombre se forma a sí mismo y llega a ser un hombre”.

Repetto, Elvira. La Personalización en la Relación Orientadora. Ed. Minón. 60. En el texto se cita a Martín Buber con el propósito de

A) mencionar a un gran maestro. B) comparar su postura con la de Tomás de Aquino. C) señalar el origen del concepto “homo viator”. D) argumentar la idea del párrafo anterior. E) ejemplificar el desconocimiento de la personalización educativa.

61. El título más apropiado para el texto es:

A) “Historia de la teoría educativa.” B) “Buber y su concepto de educación.” C) “Ideas de García Hoz y sus discípulos.” D) “Filosofía y educación.” E) “La personalización educativa.”

62. El concepto de educación personalizada fue propuesto por

A) El autor del texto B) Maritain C) Millán Puelles D) García Hoz E) Tomás de Aquino

63. De la lectura del texto se puede concluir que

138

I. un objetivo de la personalización educativa es la realización personal del alumno.

II. para una renovación educadora es necesario hacer tabla rasa de los principios fundamentales de la antigüedad clásica.

III. Millán Puelles se opone a las ideas de Tomás de Aquino.

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) II y III E) I, II y III

64. ¿Qué relación podría establecerse entre los párrafos primero y quinto? En el primero

A) se explica el concepto de educación personalizada y en el quinto, se hace referencia a definiciones de educación relacionadas con él.

B) se menciona a García Hoz y en el quinto, a los autores que discrepan con él.

C) se indica la equivalencia entre el concepto de personalización educativa y educación personalizada; en el quinto, se comparan sus diferencias.

D) se introduce el tema y en el quinto, se sintetiza. E) se establece la causa de un fenómeno y en el quinto, los efectos del

mismo. 65. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I. Según Maritain, educar es guiar al hombre en su autoformación. II. El proceso personalizante educativo es básicamente estático. III. El estado perfecto del hombre es el estado de virtud.

A) Sólo II B) Sólo III C) I y III D) II y III E) I, II y III

66. De acuerdo a lo leído ¿cuál de las siguientes alternativas es Verdadera?

A) Millán Puelles define el concepto de “homo viator”. B) Tomás de Aquino interpreta las palabras de Martín Buber. C) los educadores están familiarizados con el concepto de educación

personalizada. D) los conceptos de educación del quinto párrafo difieren entre sí. E) el maestro debe ver al alumno como una adición de propiedades,

tendencias e inhibiciones.

139

67. El fragmento leído corresponde a

A) historia de la educación. B) teoría y ciencias de la educación. C) filosofía. D) psicología. E) psiquiatría

TEXTO Nº 3 (68-75)

1. Una de las primeras preocupaciones de los filósofos griegos fue indagar

acerca de las sustancias “elementales” de cuya unión pudieran resultar todos los cuerpos.

2. Hasta el presente se han identificado 92 sustancias elementales o elementos

químicos de los cuales se componen todos los cuerpos en el Universo. Además, en los últimos años ha sido posible producir en el laboratorio algunos elementos más que no existen en la naturaleza, de modo que el número total de elementos identificados hasta 1977 alcanzó la cifra de 105. Cada elemento se designa por un símbolo y así, por ejemplo, tenemos que H es hidrógeno; O, oxígeno; C, carbono; Cl, cloro; Fe, hierro; Au, oro; U, uranio, etc.

3. La unidad de que se componen los elementos se denomina átomo, que

significa “indivisible” en griego. Por ejemplo, los elementos hidrógeno, cloro, hierro, etc., están compuestos por átomos de hidrógeno, de cloro, de hierro, etc. De acuerdo con la teoría atómica formulada por Dalton alrededor de 1840, todos los átomos de un mismo elemento son idénticos, aunque los átomos de un elemento difieren de los de otro. Esta teoría no es del todo correcta pues, como veremos después, los átomos de un mismo elemento pueden tener ciertas pequeñas diferencias. En la actualidad se conocen unas 1.300 variedades de átomos.

4. Los átomos de un mismo elemento o de elementos diferentes pueden combinarse entre sí formando moléculas, que son las unidades de que están hechas las diferentes sustancias que componen los cuerpos. Éstos, a su vez, son agregados de un gran número de moléculas. En realidad, sólo en contados casos los átomos de un elemento se encuentran libres sin combinarse con otros, como ocurre con los gases helio, neón, argón, etc. En otros casos, los átomos se encuentran agrupados en gran número formando estructuras con cierta regularidad geométrica, llamadas cristales. Así ocurre con el cloro y con el sodio en la sal común o cloruro de sodio. 5. Por supuesto que el llegar a esta concepción atómico-molecular de la

materia a través de un laborioso proceso de inducción, experimentación y

140

deducción ha representado un esfuerzo extraordinario para la humanidad, debido a que la noción de materia que obtenemos a través de nuestros sentidos no nos lleva a la conclusión de que la materia esté formada por átomos.

6. Para llegar a formular una hipótesis atómico-molecular satisfactoria es

necesario dar algunos pasos más. ¿Cuál es la estructura del átomo? ¿Cómo es que los átomos se juntan para formar moléculas y éstas a su vez se juntan para formar cuerpos? ¿Cómo es posible correlacionar las propiedades de un cuerpo con las de sus átomos o moléculas?

68. De la lectura del primer párrafo se puede inferir que

A) en la Grecia antigua había muchos científicos. B) los filósofos griegos se dedicaron exclusivamente a la química. C) los 92 elementos químicos fueron descubiertos por los griegos. D) todos los cuerpos resultan de la unión de los 92 elementos químicos. E) desde la antigüedad el hombre ha querido descubrir qué elementos

forman la materia. 69. De acuerdo a lo leído ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) Se han producido en el laboratorio elementos que no existen en la naturaleza.

B) En 1977 se descubrieron elementos químicos nuevos. C) El símbolo Fe corresponde al elemento hierro. D) Cada elemento se designa por un símbolo. E) Todos los cuerpos en el universo están compuestos por elementos

químicos. 70. En el cuarto párrafo se menciona el helio con el fin de

A) relacionar los conceptos de molécula, cuerpo, elemento y átomo. B) mencionar un tipo de gas conocido por personas que no son del área

científica. C) ejemplificar un caso donde los átomos de un elemento se encuentran

libres sin combinarse con otros. D) ilustrar un elemento en donde los átomos se combinan entre sí

formando moléculas. E) comparar este gas con el neón y el argón.

71. De la lectura del texto se puede deducir que el autor

A) piensa que hay todavía importantes interrogantes por resolver. B) cree que los científicos no se han esforzado lo suficiente

141

C) desconoce los primeros intentos por identificar los elementos químicos. D) es una eminencia en física y química. E) está en desacuerdo con la concepción atómico-molecular de la materia.

72. En el texto se define átomo como:

A) molécula B) indivisible C) elemento D) cuerpo E) cristal

73. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sintetiza mejor el penúltimo párrafo?

A) A pesar de sus múltiples esfuerzos, el hombre no ha podido llegar a la conclusión de que la materia está formada por átomos.

B) Los sentidos del hombre favorecen el pensamiento científico y fortalecen la noción de materia.

C) La concepción atómico- molecular de la materia se debe a un proceso inductivo.

D) El hombre ha logrado llegar a la concepción atómico-molecular, a pesar de sus limitaciones naturales, gracias a su extraordinario esfuerzo.

E) Los sentidos del hombre le impiden tener un espíritu científico desarrollado, debido a que lo que percibimos con los sentidos es erróneo.

74. Del cuarto párrafo se puede deducir que

A) los cuerpos están formados por átomos. B) todas las estructuras con cierta regularidad geométrica se denominan

cristales. C) los átomos de un elemento se encuentran siempre combinados. D) algunos gases pueden presentarse en forma de cristales. E) algunos cristales pueden presentarse en forma de gases.

75. ¿Qué relación existe entre el párrafo uno y el párrafo seis del texto leído?

A) En el primero se menciona un dato histórico y en el último, se hace referencia al mismo.

B) En ambos se refleja el escepticismo del autor en relación al tema. C) En el primero se introduce el tema y en el último, se da una conclusión. D) Hay una relación causa-consecuencia entre ambos. E) En el primero se plantea un problema; en el último se ejemplifica,

mediante diversas interrogantes.

142

Aptitud Verbal

Claves de Corrección

1. C 39. C 2. D 40. C 3. E 41. E 4. D 42. D 5. C 43. B 6. C 44. D 7. B 45. C 8. C 46. A 9. B 47. B 10 C 48. D 11. C 49. A 12. C 50. E 13. C 51. C 14. D 52. D 15. A 53. C 16. D 54. A 17. D 55. B 18. B 56. D 19. E 57. C 20. B 58. B 21. C 59. B 22. C 60. D 23. B 61. E 24. E 62. D 25. C 63. A 26. C 64. A 27. C 65. A 28. A 66. C 29. D 67. B 30. C 68. E 31. D 69. B 32. E 70. C 33. B 71. A 34. B 72. B 35. D 73. D 36. B 74. A 37. A 75. C 38. D

143

ÍTEM COMPRENSIÓN DE LECTURA TEXTO Nº 1

(52-59)

1. “Sabido es que el papel fue inventado en China unos cien años antes de nuestra era y que se difundió por todo el mundo durante la Edad Media. Los chinos emplearon por primera vez la técnica de la impresión con caracteres de madera en el siglo VII u VIII y los tipos móviles unos 400 años antes que Gutenberg. También el uso de la tinta china se remonta a la más antigua civilización de ese pueblo. Gracias a tales técnicas resultó posible producir múltiples ejemplares de un volumen paginado y dar a las obras escritas una amplia difusión.

2. Se ha dicho que la imprenta es la madre de la civilización y el papel el medio

que perpetúa las ideas y aspiraciones de los hombres y ensancha su capacidad de comunicación y de diálogo. Pues bien, el papel y la imprenta son dos de los cuatro grandes inventos chinos (junto con la brújula y la pólvora) que contribuyeron a la modernización de Occidente.

3. No hay ningún otro logro de los pueblos de la antigüedad que pueda

compararse en importancia con la invención del papel y el arte de la imprenta que de ella nació. Una y otro han tenido enormes repercusiones en la vida intelectual del hombre moderno. Piénsese en lo que ocurriría en la vida cotidiana de nuestra sociedad si se dejara de producir papel o no se conocieran las técnicas de impresión. Si bien es cierto que existen otros medios de información y comunicación, no pueden suplir la función del papel y de la imprenta, que es básica y permanente.

4. La fecha más antigua que puede señalarse al comienzo de la impresión en

China es aproximadamente el año 700 después de Jesucristo. En 1965 se descubrió en Corea un talismán búdico con inscripciones en chino, impreso en una fecha no posterior al año 751; y se conocía ya anteriormente otro talismán, también en chino, impreso en el Japón hacia el año 770, lo cual indica que en aquella época la imprenta era ya un arte conocido y desarrollado. Como Corea y el Japón estaban una y otro dominados por la cultura china mucho antes de la fecha en la cual se imprimieron esos textos, no cabe duda de que esta técnica fue introducida desde China.

5. El arte chino de la impresión progresó aún más gracias a la introducción de

los tipos móviles en el siglo IX y de la impresión policroma en el XIV. Según los anales de la época, un artesano llamado Pi Sheng utilizaba hacia 1041-1048 tipos móviles de barro. Recortaba los caracteres en arcilla blanda y los cocía en un horno. Colocaba luego los tipos en una placa impregnada con una mezcla de resina y de cera y oprimía la superficie con una tabla lisa con objeto de igualar los caracteres. Se empleaban varias placas sucesivamente y la impresión se efectuaba con toda rapidez.

144

6. Más tarde empezaron a emplearse otros materiales para fabricar los tipos móviles: la madera a principios del siglo XIII, el bronce a fines del XV. En las centurias siguientes se utilizaron intermitentemente tipos de madera, bronce, estaño, plomo y cerámica.

Fuente: Tsuen - Hsuin Tsien, China inventora del papel, la imprenta y los tipos móviles.

El Correo de la UNESCO. Diciembre 1972.

52.- Se menciona en el texto a la brújula y la pólvora, con el propósito de :

A) demostrar que fueron inventadas por los chinos. B) señalar que son dos inventos chinos, que unidos al papel y la imprenta

contribuyeron a la modernización de occidente. C) explicar que son utilizados por primera vez en el siglo VII y VIII. D) explicar que son dos inventos que posibilitaron y ensancharon la

capacidad de comunicación del hombre. E) señalar que son dos inventos que permitieron la perpetuidad de las

ideas y aspiraciones del hombre, junto con la imprenta y el papel. 53.- En el tercer párrafo, se afirma que:

A) Los pueblos antiguos tuvieron muchos logros, tan importantes como la invención del papel y de la imprenta.

B) La imprenta y el papel han tenido enormes efectos en la vida intelectual del hombre moderno.

C) Debido a la existencia de diversos medios de comunicación no resulta indispensable la existencia del papel y la imprenta.

D) El uso de la tinta china se remonta a la más antigua civilización del pueblo chino.

E) Si no existiera la imprenta y el papel, careceríamos de medios de comunicación escrito.

54.- En el texto se hace referencia al hallazgo de un talismán, porque:

A) éste demuestra que en el año 770 la imprenta era conocida y desarrollada.

B) se quiere plantear cómo Corea y Japón estaban dominadas por la cultura China.

C) el autor quiere aclarar que la técnica de la imprenta fue introducida desde China.

D) corresponde a la fecha más antigua que puede señalarse al comienzo de la impresión China.

E) se quiere demostrar que junto a él se encontró el talismán búdico. 55.- De acuerdo al texto, Pi Sheng es:

145

I. El inventor de los tipos móviles y de la impresión policroma. II. Un artista japonés. III. Un artesano que utilizaba tipos móviles de barro. IV. Un artesano que realizaba impresiones rápidas entre los años 1041 -

1048.

A) Sólo III B) Sólo I y III C) Sólo I y IV D) Sólo II y III E) Sólo III y IV

56.- Del último párrafo se puede inferir que:

A) el barro no era un elemento eficaz en la impresión. B) se necesitó muchos materiales para la fabricación de tipos móviles,

debido a su gran demanda comercial. C) la madera y el bronce eran materiales más económicos. D) la fabricación de tipos móviles fue una actividad que siguió creciendo a

través de los siglos. E) se utilizaron alternadamente madera, bronce, estaño, plomo o

cerámico, para no agotarlos. 57.- El mejor título para este texto es:

A) “Grandes inventos de la antigüedad”. B) “Cuatro grandes inventos chinos”. C) “Imprenta y papel: efectos en la filosofía del hombre antiguo”. D) “La imprenta y el papel, desde la antigüedad hasta hoy” E) “Orígenes de la imprenta y el papel”.

58.- El tercer párrafo podría sintetizarse de la siguiente forma:

A) La supremacía de los medios de comunicación escrita frente a los audiovisuales.

B) La función de la imprenta en el desarrollo del conocimiento del hombre contemporáneo.

C) Efectos de la inexistencia de la imprenta y el papel en la vida cotidiana. D) La importancia de la existencia de la imprenta y el papel, pese al

avance de los tiempos y el desarrollo de nuevos medios de comunicación.

E) Inventos chinos: triunfo sobre los demás pueblos de la antigüedad. 59.- Según lo expresado en el texto, es Verdadero que:

146

A) El hallazgo del talismán búdico demostró el dominio de Corea y Japón

sobre las culturas orientales B) Hacia el año 1041 se diversificaron los materiales de construcción de

tipos móviles. C) El papel es el medio que perpetúa las ideas. D) Los chinos emplearon por primera vez la técnica de la impresión en la

misma época que lo hiciera Gutenberg. E) Los chinos emplearon la técnica de impresión, por primera vez, con

caracteres de arcilla.

TEXTO Nº2 (60-67)

1 “Hasta 1914, la Europa moderna se caracterizó, tanto en su estructura

económica como en el equilibrio de sus operaciones financieras, por el predominio de los capitales personales o familiares sobre los capitales anónimos y colectivos. Las iniciativas, el trabajo y la riqueza extraían sus recursos del ahorro más que del crédito. Por lo menos, el crédito no tenía otra fuente que el ahorro.

2. La mayor parte de los capitales europeos permanecían dispersos, no

concentrados. Cada empresa, cada fortuna obedecía a una gestión relativamente independiente, con probabilidades y responsabilidades que en nada afectaban a la suerte de las otras empresas o fortunas.

3. El cuadro material y espiritual de la sociedad era anterior al progreso social;

aquél determinaba a éste, lo favorecía y sostenía proporcionalmente a los medios dejados disponibles por el esfuerzo de cada generación. El hombre adaptaba este cuadro espiritual o material a sus nuevas necesidades y conquistas. Pero el cuadro-educación, leyes, normas de vida, costumbres, ahorro y aun noción de trabajo y de la riqueza no era un producto de lo que llamamos el progreso. Era su causa.

4. El europeo se consideraba superior por la noción que tenía respecto a las

razones de su esfuerzo, aun antes de aplicar este esfuerzo a un determinado caso práctico.

5. Prioridad, preeminencia e independencia relativas de la tradición o de los

fines sociales respecto a las vicisitudes materiales; preexistencia de un ahorro adquirido, autóctono, personal o familiar, a toda iniciativa tendiente a un progreso; individualismo de las iniciativas, de las fortunas y de las responsabilidades económicas: tales eran, en resumen, los caracteres de la energía europea antes de la guerra.

147

6. Lo dicho quiere decir que en la ciega mecánica de los encadenamientos económicos se ejercía un control moral que encontraba su apoyo no sólo en la tradición colectiva sino también en la cultura y en los ideales individuales. La tradición proporcionaba a la vez el motor y el freno, mientras el sentido de la responsabilidad personal de cada actor daba la necesaria prudencia, fuente de la mesura.

7. De este modo, las principales y más viejas naciones de Europa parecían en

lo posible a resguardo de los dos naturales riesgos que amenazan constantemente a las civilizaciones: el riesgo de abandonarse, sin fuerzas morales para reaccionar, a los embates físicos y a los accidentes materiales del medio; el riesgo de no poder ya someter a normas, por falta de libertad o altura de miras, las transformaciones sociales que resultan inevitablemente de las transformaciones económicas. El capitalismo se estimaba por sí mismo fuerte. No lo era sino por el control espiritual que subsistía en él y en su ambiente.

8. La cuestión del momento -cuestión harto menos simple de lo que

ordinariamente se cree- es saber de qué modo ha llegado a desaparecer este control para ceder el paso a toda suerte de trastorno en la sociedad de los hombres.

Fuente: Romier, Lucien: Si el capitalismo desapareciera.

60. Para el autor, el problema actual es saber:

A) por qué motivos se descalabró económicamente Europa, causando un trastorno en la economía mundial.

B) las causas que desde una perspectiva económica originaron la guerra. C) de qué forma desapareció el control para dar paso a todo tipo de

trastornos en la sociedad. D) por qué desapareció la fuerza moral del capitalismo, afectando

naciones en desarrollo. E) los orígenes de los criterios marcadamente individualistas.

61. Según el autor, la fuerza del capitalismo radica en:

A) su bonanza económica permanente. B) poseer gran fuerza moral para reaccionar a los embates físicos y del

medio. C) el control espiritual que se mantenía en él y en su entorno. D) su capacidad para someter a normas las transformaciones sociales

resultantes de las económicas. E) el absoluto predominio de la libertad que genera.

148

62. ¿Cuál es el título más apropiado para el texto leído ?

A) El control moral y económico del europeo. B) Los capitales europeos. C) El capitalismo y su capacidad reguladora. D) Bases de la economía y sociedad europeas, antes de la guerra. E) Europa antes de la guerra.

63. De lo leído en el párrafo sexto se pude deducir que:

A) el europeo era ante todo un moralista que subordinaba el engranaje económico a su concepción ética.

B) para ejercer un control moral sobre la economía era necesario considerar tanto aspectos sociales como individuales.

C) la cultura y el individualismo eran los motores de vida del europeo. D) la tradición determinaba los afanes del hombre europeo. E) lo prudente del carácter del europeo se debe principalmente a su gran

sentido de la responsabilidad. 64. En relación al primer párrafo se puede afirmar que en Europa:

A) Hasta 1914, el ahorro se basaba fundamentalmente en la capacidad crediticia de ciertos estamentos.

B) Los capitales anónimos y colectivos fueron predominantes. C) Riqueza, trabajo e iniciativa: extraían sus recursos del crédito,

principalmente. D) Predominó el capital personal por sobre el colectivo. E) El crédito tenía otras fuentes además del ahorro.

65. Según el texto ¿cuáles son los riesgos que amenazan constantemente a las

civilizaciones ?

A) El no tener fuerza física ni moral para reaccionar. B) El no poseer infraestructura para enfrentar los embates naturales. C) El de abandonarse a los embates físicos y el de no poder someter a

normas las transformaciones sociales D) Perder la libertad o la altura de miras frente a los fenómenos

económicos. E) Tenerse demasiada confianza y por ello, transformarse en una entidad

absolutamente permisiva. 66. El tercer párrafo se refiere fundamentalmente a:

149

A) El esquema material y espiritual de la sociedad frente al progreso social.

B) La adaptación del cuadro espiritual y material frente a las nuevas necesidades.

C) Causas del denominado progreso. D) La sociedad como entidad variable en cuanto sus necesidades E) Los factores que conforman el cuadro material y espiritual.

67.- ¿Cuáles eran los caracteres de la energía europea antes de la guerra ?

I. Una relativa prioridad, preeminencia e independencia de la tradición respecto a las vicisitudes materiales.

II. Preexistencia de un ahorro adquirido, autóctono, personal o familiar. III. Individualismo de: iniciativas, fortunas y responsabilidades económicas.

A) Sólo III B) II y III C) I y II D) I y III E) I,II y III

TEXTO Nº 3

(68-75) 1. Cada uno de nosotros producimos 3.6 Kilogramos (cerca de 10 libras) de

basura y otros desechos sólidos, por día, cantidad que aumenta con rapidez. Hasta hace poco no se pensaba más allá de recoger los desechos sólidos de un lugar para colocarlos en otro. Pero los sitios para depositar basura se están agotando en forma muy rápida.

2. La eliminación de desechos sólidos es un problema más o menos reciente.

En los tiempos coloniales, la basura de los hogares se componía básicamente de excremento y desechos orgánicos y estos últimos, no eran muy abundantes. Los recipientes desechables no se conocían. Una botella o un cacharro sólo se desechaban al quebrarse o cuando estaban definitivamente inservibles. Los huesos se dejaban limpios, se hervían para preparar sopas, o ambas. Lo poco que salía de la casa lo consumían las comunidades primitivas tradicionales, eliminadoras de desechos: cerdos, perros y pollos. A su vez, estos animales se sacrificaban y comían: un buen ejemplo de reciclaje de desechos.

3. El consumidor americano de nuestros días desecha una gran cantidad de

papel (periódico, bolsas, vasos, platos, cartón y otros materiales de empaque) y cantidades importantes de sobras de alimento, así como envases de vidrio y plástico no retornables, latas de aluminio y desechos de madera y jardín, de lo cual muy poco se recicla. Además de estos desechos

150

municipales, las actividades agrícolas generan más de 1.800 billones de toneladas métricas (una tonelada métrica equivale a casi 999 Kg.) de desechos por año, en especial abono, el cual, de ninguna manera se recicla en forma completa. Los desechos industriales y mineros se suman al problema.

4. Aunque algunas comunidades rurales siguen depositando sus desechos

sólidos en vaciaderos abiertos y muchas ciudades costeras vacían sus desechos en el océano, en la actualidad, los dos mecanismos principales de eliminación de desechos sólidos son los rellenos sanitarios y la incineración. Los vaciaderos “pasados de moda”, con sus moscas, cucarachas y ratas, son una amenaza pública manifiesta. Además, si se incendian, pueden ser una peligrosa fuente de contaminación del aire, ya que una vez iniciado el fuego es difícil de extinguir. Por último, la basura que contiene representa una especie de subsidio de alimento que sostiene a una gran cantidad de carroñeros como las gaviotas. Las gaviotas y ratas que se asocian con los vaciaderos, pueden provocar un daño ecológico directo buscando presas en plantas y animales en varios kilómetros a la redonda.

5. En cierta forma, el vaciamiento en el océano puede ser peor que el que se

practica en la tierra. Muchos de los materiales vaciados lejos de nuestra vista del litoral, son sintéticos y muchos de éstos, en especial los plásticos, no se degradan con rapidez por la acción de los organismos desintegradores y, de hecho, algunos ni siquiera en forma parcial. Pero si persisten en el ambiente marino dañan a muchos organismos, por lo general complicándolos o alterando su sistema digestivo.

6. Los rellenos sanitarios representan una ligera mejoría respecto a los

vaciaderos. Su ventaja radica en el enterramiento diario de basura. Una vez que los desechos se vacían en estos rellenos, se compactan por medio de tractores. Cada día se vierte una capa de suelo sobre la basura para desalentar a moscas y ratas. Con este método se han rellenado viejas vetas mineras abandonadas que han podido, así, reutilizarse; además, de esta forma se han construido enormes montañas artificiales para esquiar en las planicies del Medio Oeste.

7. Sin embargo, no toda la tierra debe rellenarse. Lagos y marismas son zonas

ecológicas de importancia vital, aunque son unos de los sitios favoritos para relleno. Los rellenos, al igual que los vaciaderos, pueden contaminar el agua subterránea, ya que los contaminantes se filtran en la tierra. Este es un problema agudo especialmente en zonas donde se han enterrado desechos industriales muy tóxicos, pero aun los desechos municipales ordinarios son una fuente importante de contaminación subterránea. Otra desventaja de los rellenos sanitarios es el limitado potencial de tierras para “relleno”. Si se construyera un edificio sobre estos sitios, el asentamiento provocaría cuarteaduras en paredes y bases. El gas metano, formado por la descomposición anaeróbica en las zonas profundas, se filtraría en el edificio,

151

representando un riesgo de explosión. Por estos motivos, las tierras de relleno son más útiles para parques y otras zonas de recreo .

8. Muchas comunidades queman su basura en vez de vaciarla. En un

incinerador moderno, la basura se quema en hornos cuidadosamente elaborados, aunque aún se produce un poco de contaminación del aire. El calor producido por el fuego puede utilizarse para hervir agua y generar vapor que pude venderse para uso industrial.

68.- La idea principal planteada en el primer párrafo es que:

A) Las personas producen 3.6 kilogramos de basura por día B) Los sitios utilizados para depositar basura se están agotando. C) La cantidad de desechos sólidos generados aumenta con gran rapidez. D) La creencia de que la basura debe colocarse en lugares alejados de las

ciudades. E) La falta de sitios adecuados para depositar basura.

69.- Según el segundo párrafo, es Falso que:

A) La eliminación de desechos sólidos es un problema más o menos reciente.

B) En los tiempos de la Colonia la basura se componía esencialmente de excrementos y desechos orgánicos.

C) Antiguamente una botella se desechaba cuando ya estaba inservible. D) Los cerdos y pollos se sacrificaban y comían; lo cual constituye un buen

ejemplo de reciclaje. E) La cantidad de desechos orgánicos eliminados, en los tiempos

coloniales, ya constituía un problema. 70.- Los mecanismos principales de eliminación de desechos sólidos en la

actualidad, son:

I. Los vaciaderos abiertos. II. Los océanos III. Los rellenos sanitarios IV. La incineración.

A) Sólo I B) I y II C) I y III D) III y IV E) I; II, III y IV

71.- La idea que mejor sintetiza el quinto párrafo es:

152

A) Vaciamiento en el océano versus vaciamiento en la tierra. B) Vaciamiento en el océano. C) Sistemas de eliminación de desechos sólidos. D) Consecuencias nocivas del vaciamiento en el océano. E) Daños de los materiales sintéticos en el ambiente marino.

72.- La principal ventaja de los rellenos sanitarios frente a los vaciaderos es que:

A) se utilizan tractores. B) se entierra diariamente la basura. C) han permitido reutilizar vetas mineras abandonadas. D) se han construido montañas artificiales. E) no se daña el medio marino.

73.- La construcción de un edificio, en los sitios de relleno, tendría los siguientes

efectos:

I. Enfermedades respiratorias. II. Filtración de gas metano. III. Riesgo de explosión IV. Constante aparición de moscas, cucarachas. V. Enfermedades transmitidas por roedores.

A) I, II y III B) II y III C) III y IV D) I, IV y V E) I, II, III, IV y V

74.- ¿Qué relación puede establecerse entre el párrafo seis y siete?

A) En ambos se explican los mecanismos de eliminación de desechos. B) Se comparan los mecanismos de eliminación de desechos. C) El párrafo seis explica la utilidad de los rellenos sanitarios; y el siete,

las ventajas que tiene la construcción de edificios en estos sitios. D) El párrafo seis explica cómo se realiza el proceso de relleno sanitario; y

en el siete se señalan los sitios que no deben rellenarse. E) El párrafo seis explica las ventajas de los rellenos sanitarios; y en el

siete, se plantean las desventajas. 75.- El mejor título para este texto es:

A) ¿Cómo desechar la basura?

153

B) Eliminación de desechos sólidos. C) Los rellenos sanitarios y la incineración. D) Formas de eliminar la basura en la época colonial. E) La contaminación del mar y de la tierra.

154

Aptitud Verbal

Claves de Corrección Facsímil

1. E 39. B 2. A 40. E 3. D 41. B 4. E 42. A 5. A 43. D 6. E 44. D 7. D 45. C 8. C 46. D 9. E 47. B 10 D 48. C 11. D 49. E 12. E 50. C 13. C 51. D 14. A 52. B 15. C 53. B 16. B 54. A 17. B 55. E 18. A 56. D 19. D 57. E 20. B 58. D 21. C 59. C 22. C 60. C 23. D 61. C 24. D 62. D 25. D 63. B 26. B 64. D 27. D 65. C 28. B 66. A 29. B 67. E 30. C 68. C 31. E 69. E 32. A 70. D 33. C 71. D 34. B 72. B 35. D 73. B 36. B 74. E 37. E 75. B 38. E

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