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FACTORIZACION DE PRODUCTOS NOTABLES RESENDIZ CASTRO

M. en C. FERNANDO

PRODUCTOS NOTABLES Se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicacin que tienen caractersticas especiales, como veremos a continuacin: PRODUCTOS NOTABLES: a) Cuadrado de un Binomio b) Productos de Binomios que tienen un trmino comn c) Suma por su Diferencia d) Cubo de un Binomio a) Cuadrado de un Binomio: (a b )2

Para encontrar la frmula resolveremos el cuadrado del binomio como un producto de factores iguales. EJEMPLO : 1. (a + b)2

= (a +b)(a +b) = a + ab + ab + b = a + 2ab + b2 2 2

2

2

2

2

2. (m + n) = (m+ n)(m+ n) = m + m n + m n +n = m + 2mn + n 3. (c + d) = (c+ d)(c+ d) = c + c d + c d + d = c + 2cd + d Qu sucede cuando tenemos signo menos? 2 2 2 2 2 1. (a b) = (a b)(a b) = a ab ab + b = a 2ab +b 2. (m n) = (m - n)(m n) = m m n m n +n = m 2mn +n2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

3. (c d) = (c d )(c d) = c c d - c d + d = c 2cd + d

2

Despus de los ejemplos anteriores analiza cada uno de ellos, fijndote en los trminos que dan como resultados, para que luego contestes las siguientes preguntas: 1. Qu tienen en comn los tres primeros ejemplos? ______________________________ 2. Qu tienen en comn los tres segundos ejemplos? 3. S te fijas en el resultado de los 6 ejemplos que tienen en comn el primer y tercer trmino.1

FACTORIZACION DE PRODUCTOS NOTABLES RESENDIZ CASTRO

M. en C. FERNANDO

4. Qu diferencia hay entre los primeros ejemplos y los segundos? 5. Por qu crees t, a que se debe est diferencia? 6. Cmo obtenemos el segundo trmino en el resultado? Despus de haber contestado las preguntas anteriores podras deducir cul sera la frmula para calcular un Cuadrado de Binomio:

(x y) = Por lo tanto el cuadrado de un binomio es igual: Al cuadrado del primer trmino (siempre positivo) ms o (menos) el doble del producto del primer trmino por el segundo trmino, ms el cuadrado del segundo trmino (siempre positivo).

2

EJERCICIOS : Aplicando la frmula encuentra el resultado de los siguientes Cuadrados de Binomios: 1. (x + 3) = 3. (2x+5) = 5. (x 11) = 7. (5x 7) = 9. ( x + 0,3) = 11. (5mn + 3) = 13. (x 1 2 ) = 522 2 2 2 2 2 2

2. (m + 12) = 4. (7x + 9) = 6. (8 y) = 8. (4x 13y) = 10. (0,2x 0,9y)2 3 5 2 2 2 2 2

2

12. (a b + c ) =

14.

2 3 x+ y 5 4

2

=2

1 0,5 x 15. 2

=

3 7 16. x+ y = 3 5

2

Analizaremos geomtricamente el Cuadrado de Consideremos que (x + a) es el lado de un cuadrado. x2

un

Binomio,

a

El rea del cuadrado de lado (x + a) corresponde a las suma de las reas que se forman: (x + a) = x + a x + a x + a 2 2 = x + 2ax + a2 2 2

x

x

ax

a

ax2

a2 = ? 6 6x (x + 6 ) = x + 6x + 6x + 36 = x2 2 2

EJEMPLO : (x + 6 ) x x x X2

+ 12x + 36

6

6x

36

Qu sucede cuando tenemos: (x a ) ? a x-a a x a2

2

ax-a

2

El rea del cuadrado sombreado 2 corresponde a (x-a) , que es equivalente a: (x-a) = x -[ a + (ax-a ) + (ax a )] 2 2 2 2 x - [a +ax a +ax- a ] 2 2 2 2 x a - ax + a ax + a 2 2 x - 2ax + a2 2 2 2 2

x-a

ax-a

2

(x- a)

2

EJERCICIO : Resolver los siguientes cuadrados de un binomio geomtricamente. 2 2 2 1. (x + 1 ) = 2. (x-4) = 3. ( a + 3) =

4. (a - 8) =

2

5. (x +y) =

2

6. (m + 7) =

2

Piensa y responde: Es (a - b) = (b a ) ? Por qu?

2

2

EJERCICIOS : Complete los siguientes espacios que faltan en el cuadrado de binomio: 1. ( x + ) =2

+ 4xy +

2. ( 6 -

) =

2

- 12x + x

2

3. (

-

) = 9x -

2

2

+ 16

4. (

+ 5x)

2

=

+ 40x +

5. ( 6x-7) =

2

-

+

6. (

-

) =

2

- 30x + 9

2

7. (

+

) =x

2

4

- 16x +

2

8. (

-

) =

2

- 42m n + 49 n

6 4

8

Como te has dado cuenta en un cuadrado de binomio tenemos como respuesta tres trminos a este resultado se le llama TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

En los ejercicios siguientes te daremos el trinomio cuadrado perfecto y tu encontraras el cuadrado de binomio seo el proceso inverso nosotros te damos la respuestas y tu encontraras el binomio al cuadrado. A esto se le llama factorizacin. EJEMPLO: 2 2 1) x + 4x + 4 = ( x + 2 )

2) 9x 6x + 1 = (3x 1 )

2

2

DE DONDE CREES TU QUE SALE EL SIGNO QUE SEPARA LOS TERMINOS DEL BINOMIO? Piensa y da tu respuesta.

CMO OBTIENES EL PRIMER Y SEGUNDO TERMINO DE BINOMIO?

EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfecto: 2 2 1. x + 12x + 36 = 2. x + 14x + 49 = 3. 4m 12m + 9 = 5. 64x + 144xy + 81y = 7. m 2mn + n = 9. 25x + 36 60x = 11. 36m + 84m n + 49n =4 2 3 6 2 2 2 2 2 2

4. 25m + 10m + 1 = 6. 81 36ab + 4a b = 8. 100 20x + x = 10. 49x +m + 14 mx= 12. 16x + 25y - 40x y =8 6 4 3 2 2 2 2 2

2

Resumiendo podemos decir que para factorizar un trinomio cuadrado perfecto: Se extrae la raz cuadrada al primer y tercer trmino del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo trmino del trinomio. El binomio as formado, se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado.

b) Productos de binomios con un trmino comn :

( x + m) (x + n) Para encontrar la frmula lo multiplicaremos como un producto de binomios: EJEMPLO : 1. (x + 7 )(x + 3 ) = x + 3x + 7x + 21 = x + 10x + 212 2 2 2

2. (x + 2 )(x + 5 ) = x + 5x + 2x + 10 = x + 7x + 10 3. (x + 4)(x + 12 ) = x +12x + 4x + 48 = x + 16x + 48 Contesta las siguientes preguntas : 1. Cmo obtienes el primer trmino del resultado? 2. Qu hacemos para obtener el segundo trmino del resultado? 3. De qu manera obtenemos el tercer trmino del resultado?2 2

Ahora aplica lo mismo para los siguientes ejercicios y saca tus conclusiones: 1. (x - 3)( x- 6) = 2. (x 7 )(x 9) = 3. (x 12)(x 8 ) = A continuacin analizaremos que sucede cuando los productos tienen distintos signos: EJEMPLO : 1. (x + 5)(x 2 ) = x 2x +5x 10 = x + 3x 10 2. (x 8)(x + 7 ) = x +7x 8x 562 2 2 2

= x x - 562

2

3. (x 10)(x + 3) = x + 3x 10x 30 = x 7x -30 Contesta las siguientes preguntas: 1. Cmo obtienes el primer trmino? 2. El segundo trmino del trinomio se obtiene : 3. El tercer trmino lo obtuviste:

En General se puede decir que:

(x + m )(x + n) =

Por lo tanto podemos decir que para multiplicar productos de binomios con un trmino comn debemos: 1. Se eleva al cuadrado el trmino comn 2. Se suman (o restan) los trminos no comunes multiplicado por el trmino comn 3. Se multiplican los trminos no comunes. EJERCICIOS :Resuelve aplicando frmula: 1. (x+2)(x+5) = 3. (x-15)(x-7) = 5. (x-4)(x+5) = 7. (x+ 1,2)(x+3) = 9. (7-x)(9-x) = 1 ) 4 2 13. (x 7y)(x-3y) = 11. ( x )( x + 15. (x +6)(x +4) = 17. (x +8y )(x 9y )=3 5 3 5 2 2

2. (x+12)(x+7) = 4. (x-3)(x-20) = 6. (x+2)(x-9) = 8. (x-5,3)(x-1,5) = 10. (x-0,9)(x+4,2) = 3 5 )( x + ) = 4 6 2 2 14. ( x+8y )(x 3y ) = 12. (x + 16. (x 4)(x + 10) = 18. (x + 3y )(x + 7y ) =c u c u 7 7

3

Mi Diario de lgebra

Pgina 14 de 26 Analicemos una interpretacin geomtrica de este producto, consideremos que (x+a) es el largo de un rectngulo y que (a+b) es su ancho El rea del rectngulo de lados (x+a) y (x+b) corresponde a la Suma de las reas que se forman:

X

a

x x

2

ax

b

bx

ab

(x+a)(x+b) = x + ax + ab + ab = x + (a+b)x + ab2

2

EJEMPLOS : X 1. X2 x

7

(x+7)(x+5) = x +7x + 5x +35 = x +12x +352

2

5

5x

2. m 4

m

9

(m+9)(m+4) = m +9m +4m +36 = m + 13m +362

2

EJERCICIOS : Encuentra el producto de las siguientes multiplicaciones, geomtricamente (con ayuda de un rectngulo y pinta cada rea con un color diferente): 1. (x+2)(x+3) = 2. (m+6)(m+4) =

3. (x+7)(x+6) =

4. (a+9)(a+24) =

5. (y+1)(y+5) =

6. (n+2)(n+8) =

El resultado de un producto de binomio con un trmino comn es un trinomio y se llama 2 TRINOMIO DE LA FORMA x + bx + c EJERCICIOS : Completa los espacios que faltan en los siguientes ejercicios: 1. (x+5)( 3. ( + )( +2) = + + 7x + ) = x + 11x + 24 - 12x +2 2

2. (x+ 4. (x 6. ( 8. ( 10. ( + +

)(x +

)=

+ 8x + 15 - 2x 992

)(x + 9) = )( )( )( +

5. (x- 7)(x - ) = 7. (x+ 9. ( )( )( + +

) = m 11m + 30 ) = x + x 72 ) = x + 17x + 602 2

) = x + 15x + 54 ) = x - 10x -752

En los ejercicios siguientes te daremos un trinomio de la forma x +bx + c y tu encontrars el producto de binomios con un trmino comn, sea factorizaras el trinomio: EJEMPOS :

2

1) x + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2) a+b=7 a b=10 2 3) x 4x - 21 = (x - 7)(x + 3) a-b=4 a b= 21

2

2) x + x 6 = (x+ 3)(x 2) a-b=1 a b=6 2 4) x 5x + 6 = (x- 3)(x 2) a+b=5 a b=6

2

Con los ejemplos anteriores podras decir como s Factoriza un trinomio de la forma 2 x +bx+c (cuales son los pasos a seguir)

EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios de la forma x + bx +c : 1) x +4x-12 = 3) x +4x +3 = 5) m -m 6 = 7) x +17x +70 = 9) x + 9x 90 = 11) x y +19xy +78 = 13)x 2x - 99 =6 3 2 2 2 2 2 2 2

2

2) x 11x +28 = 4) y + y 302 2

2

=

6) x +11x +28 = 8) x +12x 160 = 10)x 29x +120 = 12)y + 8y 9 = 14) m +18m + 80 =8 4 2 2 2

Resumiendo podemos decir que para factorizar un trinomio de la forma x +bx +c: Se