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FACTORIZACION DE PRODUCTOS NOTABLES RESENDIZ CASTRO

M. en C. FERNANDO

PRODUCTOS NOTABLES Se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicacin que tienen caractersticas especiales, como veremos a continuacin: PRODUCTOS NOTABLES: a) Cuadrado de un Binomio b) Productos de Binomios que tienen un trmino comn c) Suma por su Diferencia d) Cubo de un Binomio a) Cuadrado de un Binomio: (a b )2

Para encontrar la frmula resolveremos el cuadrado del binomio como un producto de factores iguales. EJEMPLO : 1. (a + b)2

= (a +b)(a +b) = a + ab + ab + b = a + 2ab + b2 2 2

2

2

2

2

2. (m + n) = (m+ n)(m+ n) = m + m n + m n +n = m + 2mn + n 3. (c + d) = (c+ d)(c+ d) = c + c d + c d + d = c + 2cd + d Qu sucede cuando tenemos signo menos? 2 2 2 2 2 1. (a b) = (a b)(a b) = a ab ab + b = a 2ab +b 2. (m n) = (m - n)(m n) = m m n m n +n = m 2mn +n2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

3. (c d) = (c d )(c d) = c c d - c d + d = c 2cd + d

2

Despus de los ejemplos anteriores analiza cada uno de ellos, fijndote en los trminos que dan como resultados, para que luego contestes las siguientes preguntas: 1. Qu tienen en comn los tres primeros ejemplos? ______________________________ 2. Qu tienen en comn los tres segundos ejemplos? 3. S te fijas en el resultado de los 6 ejemplos que tienen en comn el primer y tercer trmino.1

FACTORIZACION DE PRODUCTOS NOTABLES RESENDIZ CASTRO

M. en C. FERNANDO

4. Qu diferencia hay entre los primeros ejemplos y los segundos? 5. Por qu crees t, a que se debe est diferencia? 6. Cmo obtenemos el segundo trmino en el resultado? Despus de haber contestado las preguntas anteriores podras deducir cul sera la frmula para calcular un Cuadrado de Binomio:

(x y) = Por lo tanto el cuadrado de un binomio es igual: Al cuadrado del primer trmino (siempre positivo) ms o (menos) el doble del producto del primer trmino por el segundo trmino, ms el cuadrado del segundo trmino (siempre positivo).

2

EJERCICIOS : Aplicando la frmula encuentra el resultado de los siguientes Cuadrados de Binomios: 1. (x + 3) = 3. (2x+5) = 5. (x 11) = 7. (5x 7) = 9. ( x + 0,3) = 11. (5mn + 3) = 13. (x 1 2 ) = 522 2 2 2 2 2 2

2. (m + 12) = 4. (7x + 9) = 6. (8 y) = 8. (4x 13y) = 10. (0,2x 0,9y)2 3 5 2 2 2 2 2

2

12. (a b + c ) =

14.

2 3 x+ y 5 4

2

=2

1 0,5 x 15. 2

=

3 7 16. x+ y = 3 5

2

Analizaremos geomtricamente el Cuadrado de Consideremos que (x + a) es el lado de un cuadrado. x2

un

Binomio,

a

El rea del cuadrado de lado (x + a) corresponde a las suma de las reas que se forman: (x + a) = x + a x + a x + a 2 2 = x + 2ax + a2 2 2

x

x

ax

a

ax2

a2 = ? 6 6x (x + 6 ) = x + 6x + 6x + 36 = x2 2 2

EJEMPLO : (x + 6 ) x x x X2

+ 12x + 36

6

6x

36

Qu sucede cuando tenemos: (x a ) ? a x-a a x a2

2

ax-a

2

El rea del cuadrado sombreado 2 corresponde a (x-a) , que es equivalente a: (x-a) = x -[ a + (ax-a ) + (ax a )] 2 2 2 2 x - [a +ax a +ax- a ] 2 2 2 2 x a - ax + a ax + a 2 2 x - 2ax + a2 2 2 2 2

x-a

ax-a

2

(x- a)

2

EJERCICIO : Resolver los siguientes cuadrados de un binomio geomtricamente. 2 2 2 1. (x + 1 ) = 2. (x-4) = 3. ( a + 3) =

4. (a - 8) =

2

5. (x +y) =

2

6. (m + 7) =

2

Piensa y responde: Es (a - b) = (b a ) ? Por qu?

2

2

EJERCICIOS : Complete los siguientes espacios que faltan en el cuadrado de binomio: 1. ( x + ) =2

+ 4xy +

2. ( 6 -

) =

2

- 12x + x

2

3. (

-

) = 9x -

2

2

+ 16

4. (

+ 5x)

2

=

+ 40x +

5. ( 6x-7) =

2

-

+

6. (

-

) =

2

- 30x + 9

2

7. (

+

) =x

2

4

- 16x +

2

8. (

-

) =

2

- 42m n + 49 n

6 4

8

Como te has dado cuenta en un cuadrado de binomio tenemos como respuesta tres trminos a este resultado se le llama TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

En los ejercicios siguientes te daremos el trinomio cuadrado perfecto y tu encontraras el cuadrado de binomio seo el proceso inverso nosotros te damos la respuestas y tu encontraras el binomio al cuadrado. A esto se le llama factorizacin. EJEMPLO: 2 2 1) x + 4x + 4 = ( x + 2 )

2) 9x 6x + 1 = (3x 1 )

2

2

DE DONDE CREES TU QUE SALE EL SIGNO QUE SEPARA LOS TERMINOS DEL BINOMIO? Piensa y da tu respuesta.

CMO OBTIENES EL PRIMER Y SEGUNDO TERMINO DE BINOMIO?

EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfecto: 2 2 1. x + 12x + 36 = 2. x + 14x + 49 = 3. 4m 12m + 9 = 5. 64x + 144xy + 81y = 7. m 2mn + n = 9. 25x + 36 60x = 11. 36m + 84m n + 49n =4 2 3 6 2 2 2 2 2 2

4. 25m + 10m + 1 = 6. 81 36ab + 4a b = 8. 100 20x + x = 10. 49x +m + 14 mx= 12. 16x + 25y - 40x y =8 6 4 3 2 2 2 2 2

2

Resumiendo podemos decir que para factorizar un trinomio cuadrado perfecto: Se extrae la raz cuadrada al primer y tercer trmino del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo trmino del trinomio. El binomio as formado, se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado.

b) Productos de binomios con un trmino comn :

( x + m) (x + n) Para encontrar la frmula lo multiplicaremos como un producto de binomios: EJEMPLO : 1. (x + 7 )(x + 3 ) = x + 3x + 7x + 21 = x + 10x + 212 2 2 2

2. (x + 2 )(x + 5 ) = x + 5x + 2x + 10 = x + 7x + 10 3. (x + 4)(x + 12 ) = x +12x + 4x + 48 = x + 16x + 48 Contesta las siguientes preguntas : 1. Cmo obtienes el primer trmino del resultado? 2. Qu hacemos para obtener el segundo trmino del resultado? 3. De qu manera obtenemos el tercer trmino del resultado?2 2

Ahora aplica lo mismo para los siguientes ejercicios y saca tus conclusiones: 1. (x - 3)( x- 6) = 2. (x 7 )(x 9) = 3. (x 12)(x 8 ) = A continuacin analizaremos que sucede cuando los productos tienen distintos signos: EJEMPLO : 1. (x + 5)(x 2 ) = x 2x +5x 10 = x + 3x 10 2. (x 8)(x + 7 ) = x +7x 8x 562 2 2 2

= x x - 562

2

3. (x 10)(x + 3) = x + 3x 10x 30 = x 7x -30 Contesta las siguientes preguntas: 1. Cmo obtienes el primer trmino? 2. El segundo trmino del trinomio se obtiene : 3. El tercer trmino lo obtuviste:

En General se puede decir que:

(x + m )(x + n) =

Por lo tanto podemos decir que para multiplicar productos de binomios con un trmino comn debemos: 1. Se eleva al cuadrado el trmino comn 2. Se suman (o restan) los trminos no comunes multiplicado por el trmino comn 3. Se multiplican los trminos no comunes. EJERCICIOS :Resuelve aplicando frmula: 1. (x+2)(x+5) = 3. (x-15)(x-7) = 5. (x-4)(x+5) = 7. (x+ 1,2)(x+3) = 9. (7-x)(9-x) = 1 ) 4 2 13. (x 7y)(x-3y) = 11. ( x )( x + 15. (x +6)(x +4) = 17. (x +8y )(x 9y )=3 5 3 5 2 2

2. (x+12)(x+7) = 4. (x-3)(x-20) = 6. (x+2)(x-9) = 8. (x-5,3)(x-1,5) = 10. (x-0,9)(x+4,2) = 3 5 )( x + ) = 4 6 2 2 14. ( x+8y )(x 3y ) = 12. (x + 16. (x 4)(x + 10) = 18. (x + 3y )(x + 7y ) =c u c u 7 7

3

Mi Diario de lgebra

Pgina 14 de 26 Analicemos una interpretacin geomtrica de este producto, consideremos que (x+a) es el largo de un rectngulo y que (a+b) es su ancho El rea del rectngulo de lados (x+a) y (x+b) corresponde a la Suma de las reas que se forman:

X

a

x x

2

ax

b

bx

ab

(x+a)(x+b) = x + ax + ab + ab = x + (a+b)x + ab2

2

EJEMPLOS : X 1. X2 x

7

(x+7)(x+5) = x +7x + 5x +35 = x +12x +352

2

5

5x

2. m 4

m

9

(m+9)(m+4) = m +9m +4m +36 = m + 13m +362

2

EJERCICIOS : Encuentra el producto de las siguientes multiplicaciones, geomtricamente (con ayuda de un rectngulo y pinta cada rea con un color diferente): 1. (x+2)(x+3) = 2. (m+6)(m+4) =

3. (x+7)(x+6) =

4. (a+9)(a+24) =

5. (y+1)(y+5) =

6. (n+2)(n+8) =

El resultado de un producto de binomio con un trmino comn es un trinomio y se llama 2 TRINOMIO DE LA FORMA x + bx + c EJERCICIOS : Completa los espacios que faltan en los siguientes ejercicios: 1. (x+5)( 3. ( + )( +2) = + + 7x + ) = x + 11x + 24 - 12x +2 2

2. (x+ 4. (x 6. ( 8. ( 10. ( + +

)(x +

)=

+ 8x + 15 - 2x 992

)(x + 9) = )( )( )( +

5. (x- 7)(x - ) = 7. (x+ 9. ( )( )( + +

) = m 11m + 30 ) = x + x 72 ) = x + 17x + 602 2

) = x + 15x + 54 ) = x - 10x -752

En los ejercicios siguientes te daremos un trinomio de la forma x +bx + c y tu encontrars el producto de binomios con un trmino comn, sea factorizaras el trinomio: EJEMPOS :

2

1) x + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2) a+b=7 a b=10 2 3) x 4x - 21 = (x - 7)(x + 3) a-b=4 a b= 21

2

2) x + x 6 = (x+ 3)(x 2) a-b=1 a b=6 2 4) x 5x + 6 = (x- 3)(x 2) a+b=5 a b=6

2

Con los ejemplos anteriores podras decir como s Factoriza un trinomio de la forma 2 x +bx+c (cuales son los pasos a seguir)

EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios de la forma x + bx +c : 1) x +4x-12 = 3) x +4x +3 = 5) m -m 6 = 7) x +17x +70 = 9) x + 9x 90 = 11) x y +19xy +78 = 13)x 2x - 99 =6 3 2 2 2 2 2 2 2

2

2) x 11x +28 = 4) y + y 302 2

2

=

6) x +11x +28 = 8) x +12x 160 = 10)x 29x +120 = 12)y + 8y 9 = 14) m +18m + 80 =8 4 2 2 2

Resumiendo podemos decir que para factorizar un trinomio de la forma x +bx +c: Se extrae la raz cuadrada del primer trmino y esta se ubica en cada uno de los factores a continuacin se buscan dos nmeros que sumados (o restados, dependiendo de los signos que estn dentro del parntesis) nos del segundo coeficiente del trinomio y por ultimo estos mismos nmeros multiplicados nos tiene que dar el tercer trmino del trinomio

2

Qu haras t si el producto de binomios con un trmino comn, el trmino que se repite tiene un coeficiente numrico distinto a 1? Ejemplo (5x+2)(5x-9).Escribe tu conclusin:

EJERCICIO S : Aplica la frmula para resolver los ejercicios siguientes: 1. (2x-6)(2x+7) = 2. (7x-1)(7x+5) = 3. (8x-3)(8x-5) = 5. (9x-4)(9x+13)= 7. (5x-12)(5x-1) = 9. (2x1 5 )( 2x + ) = 3 4 4. (6x+7)(6x-11) = 6. (3x-4)(3x+8) = 8. (3x- 1,2)(3x 7) = 10. (4x + 1 3 )(4x + ) = 3 4

a) Suma por su diferencia:

(x + a ) ( x a )

Para encontrar la frmula lo multiplicaremos como un producto de binomios: EJEMPLO : 1. (x + m) (x m ) = x - mx + mx m = x + ax ax a = x xy + xy y2 2 2 2 2

=

x m2 2

2

2

2. (x a) (x + a ) 3. (x + y ) (x y )

= x a2

2

= x y

2

Contesta las siguientes preguntas: 1. Cuntos trminos dio el resultado final? 2. Cmo son los trminos que obtuvimos en el resultado?

3. Qu signo los separa a estos trminos?

En general podramos decir que: (m+n)(mn)=

Por lo tanto podemos decir que la suma por su diferencia es igual al Cuadrado de los trminos que tienen el mismo signo, menos el cuadrado de los trminos que tienen distinto signo EJERCICIOS : Resuelve las siguientes suma por su diferencia aplicando frmula: 1. ( x + 4 )( x 4) = 2. (x 15) ( x + 15 ) = 3. (9 + a ) ( 9 a ) = 5. (a 20)( a + 20 ) = 7. (mn + 5 )( 5 mn ) = 4. (a + 7) ( 7 a ) = 6. (-12- m)(m 12 ) = 8. (x y - 8)( 8 + x y ) =2 3 2 3

1 1 )( x + )= 11 11 11. (5x- 6)(6 + 5x) = 9. (x -

5 5 2 )( m )= 9 9 2 2 12. (2xy + 15z )( 15z 2xy )= 10. (m +2

Analizaremos geomtricamente la suma por su diferencia, consideremos que (x+a) es un lado del rectngulo y (x-a) el otro lado. x x-a x ax2

a ax-a2

(x + a )(x a) = x ax + ax a = x a2 2

2

2

EJEMPLOS : 1. (x +3 )(x 3) = ? x x-3 x 3x2

2. 3 3x-9

(x 2 )(x + 2 ) = ? x x-2 x 2x2

2 2x-4

Sumando sus reas tenemos: 2 (x + 3 )(x 3 ) = x 3x +3x 92

(x 2 )(x + 2) = x 2x + 2x 42

2

= x -9 = x -4 EJERCICIOS : Encuentra el producto de las siguientes multiplicaciones, geomtricamente (con ayuda de un rectngulo y pinta cada rea de un color diferente) 1. (x - 7)( x + 7) = 2. (x - 4)(x + 4) =

3. (x - 9)(x + 9) =

4. (m +10 )(m 10) =

5. (3x + 7)(3x 7) =

6. (5m 2 )(5m +2) =

Podras Nombrar algunas caractersticas de este producto notable que lo diferencien de los otros dos productos anteriormente visto? 1) 2) 3) 4) EJERCICIOS : Completa los siguientes espacios que faltan para que sea una suma por su diferencia: 1. 25 = ( + 7y)( - 7y) 2. - 49m = ( 2n + )(2n ) 3. 36x 121 = ( 5. - a b = (m +8 2 4 2

-

)(

+

) ) ) )

4. 64 2

=(6

+ 3y)( )(

- 3y) + )( ) ) )

)( m + )( )( + -

6. 81a 25b = ( 8. 25x 10.2

7. 100- 169x = ( 9. 4 2 x - 16 9 =(

=(

+ 8y)( +

9 2 81 6 x y =( 16 25

Como te has dado cuenta en una suma por su diferencia tenemos como resultado dos trminos a este se le llama DIFERENCIA DE CUADRADOS En los ejercicios siguientes te daremos la diferencia de cuadrados y t encontraras los factores (la suma por su diferencia) sea nuevamente factorizaremos este nuevo caso.

EJEMPLOS : 2 1) x 4 = (x + 2)(x 2 )

2) x 25y = (x 5y)(x + 5y)

2

2

Cmo obtienes el primer trmino de cada binomio?

Cmo obtienes el segundo trmino de cada binomio?

Cmo obtienes los signos que separan los trminos de cada binomio?

EJERCICIOS : Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados. 2 6 1. x 16 = 2. m 36 = 3. 49 - n = 5. 81m n 1 = 7. 64x 121y = 9. 4 x y z = 11. 1 8 x = 42 2 6 2 2 2 2 2 4

4. 144x 25 = 6. 9m 100n = 8. m n x y = 10. 9x 4y = 12. 36x 2 2 2 2 2 6 8 10 2 2

2

25 = 49

13. x 0,25 =

14. 1,44x 0,49 = para factorizar una diferencia de en dos factores, el primer trmino es la raz cuadrada del sustraendo signos + y en cada uno de los

Resumiendo podemos decir que cuadrado debemos descomponerlo segundo trmino de cada factor separando estas races con los factores

,

d) Cubo de un Binomio : (a b )3

Para encontrar la frmula resolveremos el cubo del binomio como un producto de factores iguales. EJEMPLO : 3 2 2 2 1. ( a +b) = (a+b)(a+b)(a+b) = (a+b) (a+b)= (a +2ab+b )(a+b) = a + 2a b+ ab + a b+ 2ab + b = a + 3a b+ 3ab + b3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3

2. (m + n) = (m+n)(m+n)(m+n) = (m+n) (m+n)= (m +2mn+n )(m+n) = m +2m n +mn +m n +2mn +n = m +3m n +3mn +n Qu sucede cuando tenemos signo menos? 3 2 2 2 1. (a-b) = (a-b)(a-b)(a-b) = (a-b) (a-b) = (a 2ab +b )(a-b) = a 2a b +ab a b +2ab b3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3

= a 3a b + 3ab b2 2

3

2

2

3

2. (m-n) = (m-n)(m-n )(m-n)= (m-n) (m-n) = (m -2mn +n )(m-n) = m 2m n +mn m n +2mn n = m 3m n +3mn n3 2 2 2 2 3 3 2 2 3

Despus de los ejemplos anteriores analiza cada uno de ellos, fijndote en los trminos que dan como resultado, para contestar las siguientes preguntas: 1. Cmo se obtiene el primer y cuarto trmino del resultado? 2. Para escribir el signo del cuarto trmino En que me debo fijar? 3. En los cuatro ejemplos anteriores Cmo son los signos del primer y tercer trmino del resultado? 4. Cmo obtienes el segundo trmino del resultado? 5. Cmo obtienes el tercer trmino del resultado?

Despus de haber contestados las preguntas anteriores podras deducir la frmula para calcular el Cubo de un Binomio

(m n )

3

=

EJERCICIOS :Aplique la frmula para resolver el cubo de binomio: 3 3 1. (x+2) = 2. (x-1) = 3. (x-5) = 5. (2x-1) = 7. (x-2y) = 9. (4x+5) =3 3 3 3

4. (x+3) = 6. (5x+2) = 8. (2x-3y ) 10. (x-10) =3 2 3= 3

3

EJERCICIOS :Completa los siguientes espacios que faltan en el cubo de binomio 1. (x3. ( ) =3 3

3

+2

-272 3

2. (5x + 4. ( 6. (4x8. ( -

) =3

3

+

+2

+ 64y3

3

) = x 3x y + 3xy y ) =3 3

) = 125-75x+15x -x ) =3 3

5. (2x + 7. ( +

+3

+2

+27y +

3

3 3

+ +

-125 -1

) = 8m + 12m +

) = 8m n -

Si te das cuenta el cubo de un binomio tiene como resultado cuatro trminos, ahora haremos lo inverso yo te dar los cuatro trminos y buscaras el cubo del binomio, sea factorizaremos, para esto debemos tener presente que el polinomio debe estar ordenado

EJEMPLO : 3 2 2 3 3 1) x + 3x y + 3xy +y = (x + y )

2) 8x 12x + 6x 1 = (2x 1 )

3

2

3

Contesta las siguientes preguntas: En que te fijas para sacar el primer y segundo trmino del binomio?

Qu signo va entre estos dos trminos? En que me fijo para ponerlo?

EJERCICIOS :Factoriza las siguientes expresiones 2 3 3 2 1. 27-27x+9x -x = 2. 27x +54x +36x+8 = 3. 1 + 6x + 12x +8x = 5. 1+ 12x y 6xy 8x y = 7. 125 +150b+60b +8b = 9. 27- 27x + 9x - x =2 3 2 3 2 2 3 3 2 3

4. 1 - 3x + 3x - x = 6. 8 + 12x +6x + x = 8. 3x +1 + 3x +x3 2 12 6 18 2 4 6

2

3

=

10. m - 3m + 3m - 1 =

Resumiendo podemos decir que para factorizar una expresin que es el cubo de binomio debemos tener presente: 1) El polinomio debe estar ordenado 2) Se extrae la raz cubica del primero y cuarto trmino 3) Estas races estarn separadas con el mismo signo que tiene el segundo trmino del polinomio. 4) Este binomio formado se eleva al cubo 5) Se recomienda comprobar sea resolver el cubo del binomio

RESUMEN

PRODUCTOS NOTABLES :

1. Cuadrado de binomio

(a b )

2

a 2ab + b

2

2

2. Producto de binomios con un trmino comn 3. Suma por su diferencia

(x + a)(x + b)

X + (a+b)x + ab2 2

2

(x + a )(x a)

X

- a

4. Cubo de Binomio FACTORIZACION

(a b )

3

a 3a b + 3ab b

3

2

2

3

1. Trinomio perfecto 2. Trinomio 2 x +bx+c de

cuadrado

X 2xy + y

2

2

(x y )2

la

forma

X bx c

2

(x + m)(x + n ) b=m+n c= mn (x y )(x + y)

3. Diferencia de cuadrados

X

2

- y

2

4. Una expresin que es el cubo del binomio

X 3x y +3xy y

3

2

2

3

(x y )3

EJERCICIOS : Calcula el permetro de los rectngulos que se puedan formar si cada uno de ellos debe 2 tener un rea de 16cm .Completa la tabla.

Permetro = P = 2a + 2b a Area =A= a b

b