propuesta factorizacion

Propuesta para la enseanza de la factorizacin en el curso de lgebra Ing. Ignacio Morales G. UMSNH.

[email protected]. Armando Seplveda L. UMSNH.

[email protected]

Introduccin. Los estudiantes de secundaria y bachillerato regularmente manifiestan dificultades de aprendizaje en el lgebra; el nivel de competencia alcanzado por muchos de ellos les impide resolver satisfactoriamente los problemas algebraicos que se les presentan. La factorizacin es un proceso inverso al de la multiplicacin y tiene como finalidad descomponer una expresin algebraica en un producto de otras expresiones algebraicas, cuyos procedimientos provienen, necesariamente, de las propiedades de campo de los nmeros reales. Existe consenso de que la factorizacin es uno de los temas del curso de lgebra que ms se dificultan a los alumnos: primero, porque el reconocimiento del tipo de expresin algebraica ya implica dificultades asociadas con la utilizacin de nmeros, letras y signos de operacin para conformarlas, as como por la nocin de variable; y segundo, porque an conociendo los diferentes mtodos no saben cul de ellos utilizar en un determinado momento. El lgebra geomtrica es una alternativa que puede proporcionar ideas para factorizar cierta clase de polinomios que aparecen en el contexto escolar; sin duda, es una opcin didctica que debemos explorar ya que los estudiantes estn familiarizados con situaciones de adicin y sustraccin reas, permite la visualizacin y manipulacin de estos elementos, lo cual puede contribuir a un mejor entendimiento de los procedimientos algebraicos de factorizacin. En esta ponencia presentamos una propuesta de enseanza basada en el lgebra geomtrica que, esperamos, tenga repercusiones en el aprendizaje de los estudiantes sobre el tema de factorizacin.

Marco conceptual. Esta propuesta sobre la enseanza de la factorizacin se basa en el lgebra geomtrica, cuyos orgenes se remontan a la poca de oro de los griegos, mediante el mtodo de la geometra de cortar y pegar (Radford, 1996), el cual fue utilizado por Hyrup en 1987 durante el estudio de problemas encontrados en tablillas babilnicas (citado por Radford, 1996, p. 40), logrando resolver algunos de estos. El mtodo de la geometra de cortar y pegar consiste en dividir las reas de una figura rectangular rectilnea (que ser definida ms adelante) en rectngulos o cuadrados y adjuntarlas de tal manera que formen un solo rectngulo o cuadrado.

En este campo existen diversos materiales para impulsar la enseanza del lgebra: Los bloques de Dienes y Algeblocks, por mencionar algunos de ellos. Cabe mencionar que en estos materiales se presentan los temas con ejercicios muy simples y son ms recomendados para la enseanza el nivel de secundaria.

Por su parte, Duval (1999) argumenta que los conceptos se van construyendo mediante acciones que impliquen el uso de diferentes representaciones ya sea de los conceptos mismos, de los elementos asociados a ellos o de los objetos matemticos, as como la manipulacin de de estas para promover una articulacin coherente entre ellos y sus representaciones. De acuerdo con esta teora, el libre trnsito entre las diferentes representaciones de los objetos matemticos, es fundamental en la construccin de los conceptos. Aqu se presentan reas de figuras rectangulares, de manera que el alumno pueda pensar y razonar en cmo dividirlas de tal forma que al adjuntarlas siempre formen un rectngulo o un cuadrado. Esto permite el desarrollo de cierta creatividad para resolver los ejercicios.

Objetivo. El objetivo de la propuesta es que los estudiantes de primer ao de bachillerato logren construir ideas algebraicas a partir de construcciones de figuras geomtricas rectangulares y, posteriormente, se desprendan de estas construcciones para generalizar y

XIV Encuentro de Profesores de Matemticas

establecer el mtodo de factorizacin propuesto y lo aplique al tipo de polinomios que usualmente aparecen en el contexto escolar del bachillerato. Se recomienda introducir este tema despus de haber estudiado los contenidos de lenguaje algebraico y valor numrico de expresiones algebraicas.

Metodologa. Por su naturaleza, en esta seccin se explica la propuesta metodolgica del uso del lgebra geomtrica para factorizar, y en qu consiste el mtodo de cortar y pegar.

lgebra Geomtrica Las expresiones algebraicas son combinaciones de nmeros (cantidades determinadas) y letras (que pueden representar cantidades desconocidas) relacionadas por medio de las operaciones bsicas. Cuando operamos con ellas estamos realizando operaciones con operaciones; en el caso de la multiplicacin de polinomios el desarrollo es directo a travs de la aplicacin de las propiedades campo de los reales, para la factorizacin realizamos el proceso inverso. Las literales representan cantidades desconocidas que pueden ser sustituidas por otras o pueden variar; este uso generalizado de las expresiones proporciona al lgebra la potencia necesaria que permite resolver una gran variedad de problemas.

Los nmeros o literales pueden representarse mediante figuras geomtricas: segmentos o reas. Por ejemplo: el nmero 2 puede representar un segmento de dos unidades de longitud, el 4 un rea de un cuadrado de 2 por 2, el 6 un rea de un rectngulo de base 1 y altura 6 o de altura 2 y de base 3, etc.

6

4

2 1 1 6

2 1 2 6 3 1 + 1 = 2 2 1 6 = 6 3 2 = 6

2 2 = 4 Las literales cuyos valores sean positivos representan segmentos o reas de cualquier magnitud o cantidad desconocida.

1a = a y1 = y x1= x

1 1

x x a y

Los coeficientes numricos representan mltiplos o submltiplos de la magnitud geomtrica (segmento o rea de un rectngulo o cuadrado). As por ejemplo: 2x puede representar dos veces la longitud del segmento x o el rea de un rectngulo de altura 2 y de base x; o bien de base 2 y altura x.

1

2x = 2x

2x = 2x x 2

2x x 2

Los nmeros negativos se pueden representar mediante segmentos punteados o reas con lneas punteadas, al ser sumadas se restan de las reas con lneas continuas, las cuales representan los nmeros positivos; o bien, si se suman reas de lneas punteadas se obtienen regiones de lneas punteadas de mayor magnitud. Esto nos permite factorizar polinomios y obtener soluciones negativas de ecuaciones cuadrticas.

x

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x x 2x

2y = 2y y y 2

El producto de nmeros negativos por positivos representa segmentos o reas negativas y el producto de nmeros negativos representa reas positivas.

2

La adicin o sustraccin de segmentos o reas comparten el principio de homogeneidad, que podemos enunciar como la adicin y sustraccin se realiza con figuras de la misma especie; slo se pueden sumar o restar segmentos con segmentos, o reas con reas; pues carece de sentido geomtrico y algebraico sumar segmentos con reas. Una figura rectangular rectilnea se define la figura geomtrica que se obtiene de adicionar o sustraer reas de rectngulos o cuadrados de cualquier altura y cuyas bases estn sobre una misma recta y la suma de sus bases es igual a su base. Adicin y sustraccin de segmentos. Dados los segmentos a, b y x, obtener 3/2 x , x , b+a y a-b.

x b a

2x x = 3/2 x b + a x 2x = x a b

Suma y resta de reas: Dadas las reas: x2, 5x y 2 , obtener x2 + 5x + 4 y x2 4. RectngulCuadrado Figura rectangular rectilnea Rectngulo

x2 + 5x + 4 x x2 x 5x

x 4

4 x 4 4

x 5 1

Remarcamos que no hay restricciones de x con respecto a un nmero; por ejemplo para x2 4: x + 6

Figura rectangular rectilnea Si x > 2: Cuadrado Cuadrado

x2 4

4 x

x2

x 2 x x

2 4 2

x x 2 -2 2Si x < 2: Cuadrado Cuadrado Figura rectangular rectilnea 2

2

4 x2 4

x 2 x

x2

x2 x x 22 2

x x

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En el primer caso x2 4 representa un rea positiva (figura con lneas continuas) y en el segundo x2 4 es un rea negativa (figura con lneas punteadas). Multiplicacin o producto de magnitudes geomtricas: se representa grficamente por una figura rectangular y la llamaremos operacin rectangular, porque como resultado de la multiplicacin de dos segmentos se obtiene un rectngulo o un cuadrado.

Ejemplo 1: El producto ab es un rectngulo de base a y altura b o de base b y altura a. baab = ba

ab b

a a

b

12xy12xy

Ejemplo 2: El monomio 12xy 3xpuede ser representado por etc.xy cualquiera de los siguientes

rectngulos: 4y 12 Potencias: Las potencias son tambin segmentos o reas, dado que las literales con exponentes 2, 3, 4 etc., son un nmero cualquiera y representarn tambin segmentos o reas.

Ejemplo 1: El monomio 5x2 puede ser representado por cualquiera de los segmentos: x2x2x2x2x2 3x22x2

x2 5x2 5x2

Ejemplo 2: Las potencias a2 , y3 , x2 y x4 se pueden representar por los siguientes rectngulos y cuadrados:

x2x2 = x4yy2 = y3

aa = a2xx = x2

a x2xy

a x y2 x2

6a2b3

Ejemplo 3: El monomio

6a2b36a2b3 puede representarse

6a2b3por cualquiera de los ab2 3ab b3siguientes rectngulos: 6a2

etc. 6a 2ab2

Figuras geomtricas rectilneas: Los polinomios pueden ser representados mediante este tipo de figuras; es decir, una figura geomtrica rectilnea es un polinomio cuyos trminos son representados por cuadrados o rectngulos y su rea es igual al valor numrico del polinomio.

88


Ejemplo 1: El polinomio

aba2a2 + ab se representa por la rea = (a + b) a = a2 + ab a figura rectangular rectilnea: a b Ejemplo 2: El polinomio

x2 + 3x + 2 2

x + 3

x 2x2 + 3x + 2 puede

1

x2x 3x

22

representarse por la figura rectangular rectilnea: x

x 3 x + 5 x

16

x2 16

Ejemplo 3: El polinomio x2 16 puede representarse por la figura rectangular rectilnea: x 4

x 4

4x 4 Geometra de cortar y pegar. Este mtodo se usa para construir figuras geomtricas y en cortar y mover las figuras recortadas a cualquier otra posicin y adherirla o pegarla a la figura, para formar otra figura, este procedimiento no altera el rea el rea de la figura original aunque esta cambie de forma. Este mtodo es muy antiguo y como sabemos fue usado por (los babilonios) civilizaciones antiguas para resolver problemas relacionados con reas. Representar geomtricamente un problema en el que su solucin es un rea, es una forma ms comprensiva para encontrar su solucin, ya que el origen del lgebra tiene sus races en la geometra (Hyrup, 1987; citado por Radford, 1996, p. 40), aunque el significado de la solucin del problema no tenga que ver nada con el concepto rea.

bx x2Ejemplificaremos este mtodo con el ejemplo:

xx2 + bx = c, supongamos b y c son positivos. El polinomio x2 + bx se representa por medio de una

x b figura rectangular rectilnea de base x + b y de altura x. Se corta la mitad del rectngulo bx, cuya rea es

b

bxx2

b

bx

x

bx, y se pega en la parte inferior del rectngulo de rea x2, de tal manera que coincidan los lados xde igual longitud.

b

bx

bxx2

x

x2 + bx = c

x + b

x + b

Al pegar en la parte inferior se obtiene

x la siguiente figura x x cuya rea es la misma.

b x x

89


Si completamos el cuadrado agregando el cuadrado de lado b2

1 y cuya rea es 24

12

2

1bb =

,

se obtiene el cuadrado de lado bx2

1+ y cuya rea es 24

1bc + .

x2 + bx = c

+ bx

b2

x + b

x + b (x + b)2 = c + b2

x + b

x + bx

b

bx x + b Actividad de enseanza sobre factorizacin. El contenido de esta propuesta didctica est relacionado con la parte simblica del lgebra y consiste en construir ideas algebraicas a partir de figuras geomtricas, en el que sus reas son representadas por expresiones algebraicas. En la primera parte factorizan algunos polinomios y en la segunda se resuelven ecuaciones cuadrticas. Esta propuesta, solo se pretende exponer una alternativa para la enseanza del lgebra. La factorizacin es un mtodo algebraico que consiste de ciertos algoritmos para expresar un polinomio como un producto de dos o ms polinomios de grado menor, que el polinomio dado. Factorizar una expresin algebraica geomtricamente significa transformar una figura lineal rectilnea utilizando el mtodo de la geometra de cortar y pegar, en un rectngulo de la misma altura o bien de igual base o cuadrado, cuya rea o producto de sus lados es la factorizacin de la expresin algebraica. Si no es posible construir dicho rectngulo o cuadrado, significa que la expresin no es factorizable en el campo de los nmeros racionales.

Factorizacin por factor comn:

1) 24323 1263 yxyxyx ++

12x4y33x3y 6x2y3

)42(31263 22224323 yxyxyxyxyxyx ++=++3x2y

2y2 4x2yx

2) 2243232524 5551525 npmrnpmtnpmpnm +

5m2np255m3np4r 15m2np3t225m4n2p5 5m2np2

5m2np3 3pt2 11mp2r 1

)11135(55551525 2232222243232524 +=+ rmpptnpmnpmnpmrnpmtnpmpnm

90


Factorizacin de diferencia de cuadrados: a2 b2 1) x2 4 :

2x

4

x2 4 x 2

2

x x + 2 x2 4

x 2 x 2 x

2 2 x 2

x2 4 = (x + 2) (x 2) Factorizacin de trinomios de la forma: ax2 + bx + c 1) x2 + 5x + 4 x + 4

x2 + 5x + 4

x 4

x2 4x

x 4

4 x

4 4x x2x x x + 1

1x 1 4 1 x2 + 5x + 4 = (x + 1) (x + 4) 2) 276 2 ++ xx

3x 2

2x 4x

3x

6x2

2 3x

23x4x 6x2

2x

1 1

3x 2 3x 2 3x 2 3x + 2

)23)(12(276 2 ++=++ xxxx6x2 + 7x + 22x + 1

Referencias Artigue, M., Douady, R., Moreno, L., Gmez P. (1995). Ingeniera Didctica en Educacin

Matemtica. Mxico. Grupo Editrial Iberoamrica. Dreyfous, R., Ortiz, E., Villafae, W. (1996). Manual de lecciones Algeblocks. San Juan PR. Dreyfous

& Assoc. Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Traduccin de Myriam Vega Restrepo. Cali

Colombia. Peter Lang S.A. National Council of Teacher of Mathematics. Algebraic Thinking, Grades K 12. Reston Va:. National

Council of Teacher of Mathematics. Mancera, M. E. (1998). Matebloquemtica. Mxico. Grupo Editrial Iberoamrica. Radford, L. (1998). The roles of geometry and arthmetic in the development of algebra: Historical

remarks from a didactic perspective. En N. Berdnarz, C. Kieran, L. Lee (Eds.) Approaches to Algebra (pp 39-53). The Netherlands. Kluwer Academic Publisher Dordrecht.

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La calculadora Voyage 200 y el CBL en la solucin de una ecuacin diferencial: el caso de la ley de enfriamiento de Newton. Un trabajo experimental

M.C. Ren Saucedo Silva. Instituto Tecnolgico de Cd. Jurez.

Resumen. El siguiente trabajo se presenta como una alternativa de enseanza y de motivacin para el aprendizaje de una ecuacin diferencial de variables separables y su aplicacin, especficamente, en el tema de la ley de enfriamiento de Newton; con la ayuda de la calculadora VOYAGE 200 y el CBL ( calculador based laboratory). En esta ponencia se muestran datos que fueron recopilados en forma real, en espera de que el estudiante los relacione con la solucin analtica del problema.

En el proceso de implementacin, primero tomamos los datos reales y se comparan con la solucin analtica para ver si de esta forma, el alumno logra visualizar la solucin al problema, pues los datos recopilados con el sensor y la solucin analtica son la misma funcin. Se pretende llevar al alumno a manipular diferentes imgenes y representaciones de este objeto matemtico, en donde l es participe de su construccin.

Las actividades aqu desarrolladas tienen como principal fin mostrar a los alumnos diferentes estrategias para la solucin a problemas de aplicacin de ecuaciones diferenciales de variables separables; y que al desarrollar cada una de las actividades le permita explorar varios conceptos. Introduccin. Por mucho tiempo una preocupacin natural de cmo los alumnos abordan los problemas matemticos para su solucin ha sido un tema recurrente en las reuniones de educadores, matemticos y todo aquel profesional dedicado a la investigacin del proceso de enseanza-aprendizaje de las matemticas, el cmo? y el cul es el desempeo de los estudiantes en diversas situaciones para la solucin de problemas en matemticas?, es una pregunta constante en estas reuniones, un servidor considera que el desempeo que los alumnos muestran o que deberan mostrar es un proceso sumamente complejo de manera que, el alumno y el profesor juegan un papel de suma importancia.

En estos ltimos aos, el inters de la enseanza se ha centrado principalmente en el aprendizaje significativo, que es cuando los temas o contenidos a ser aprendidos son relacionados de modo un tanto sustancial y no arbitrarios con lo que el alumno ya sabe. Por relacin sustancial y no arbitraria debemos de entender que las ideas se relacionan con algn aspecto existente y especialmente relevante de la estructura cognitiva del aprendiz, como lo son, una imagen, un smbolo ya con significado, un concepto o una proposicin. Esto es, que en el proceso de trabajo de la enseanza de temas especficos, es importante considerar lo que el individuo ya sabe, de tal manera que establezca una relacin con aquello que debe de aprender, de tal forma que se logre en los estudiantes un avance que lo lleve al conocimiento de nuevos objetos matemticos.

Aprender significativamente supone pues, modificar los esquemas de conocimiento del sujeto reestructurando, revisando, ampliando y enriqueciendo las estructuras del conocimiento ya organizado existente (Ausubel, et al. 1978).

Actualmente con el desarrollo que ha tenido la tecnologa, a permitido que se abra una puerta de grandes proporciones al uso de computadoras y calculadoras y el uso de esta tecnologa en el saln de clases ha llegado a convertirse en una poderosa herramienta para llevar a cabo el trabajo diario de ensear matemticas. Bajo este nuevo modelo de ensear, los maestros ya empezamos a llevar al saln de clases nuevas formas de ver la matemtica, por supuesto que me estoy refiriendo a la incorporacin de las nuevas tecnologas en la enseanza de las matemticas.

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As, los maestros se ven motivados a disear, preparar y experimentar actividades con nuevas formas de trabajo; la calculadora y la computadora abren espacios para que esto se pueda llevar a cabo.

Ahora bien en los ltimos aos salieron al mercado calculadoras que tienen la posibilidad de realizar operaciones algebraicas o tambin llamadas (por sus siglas en ingles) CAS (Computer Algebra Systems), Sistemas de Cmputo Algebraico.

El usar tecnologa que permita al alumno visualizar e interactuar con los objetos de estudio, y de esta forma se le permita llegar a la solucin de un problema en especifico, en este momento consideraremos que es el punto medular en el que damos oportunidad al alumno de construir su propia estrategia de solucin y/o de crearle un ambiente de libertad para que el proponga formas y ejemplos de solucin para el problema planteado.

En el entendido que el desarrollo de las actividades de aprendizaje, el estudiante deber poner en juego el mximo de sus potencialidades intelectuales.

La visualizacin y el uso de las mltiples representaciones de un objeto matemtico son considerados como un fuerte soporte para la formacin de conceptos. La visualizacin matemtica es el proceso de formar imgenes y usarlas efectivamente para el descubrimiento y el entendimiento matemtico, y considerar lo visual como un preludio hacia la abstraccin de conceptos y as permitir al estudiante formar varios modelos de una situacin de aprendizaje. (Hitt, 1998).

Entonces, por todo lo anterior es importante disear formas de trabajo antes de ir al aula, planear estratgicamente que es lo que se quiere que los alumnos hagan y por cual camino los vamos guiando para que lo hagan. Pues no por el simple hecho de que se tenga acceso a la tecnologa se da por sentado de que solo con el uso de ella se logre incidir en los alumnos para lograr un conocimiento determinado.

En los cursos de ecuaciones diferenciales especficamente en el tema de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden se trata el tema de la ley de enfriamiento de Newton, y los problemas que ah se abordan son principalmente de un objeto que pierde o adquiere temperatura.

El siguiente trabajo esta diseado par que con el uso del dispositivo CBL(Calculador-based Laboraty) y la calculadora VOYAGE 200 se registre en forma real el enfriamiento de un material.

PROBLEMA: Se registra la temperatura de una taza con caf y se obtienen los siguientes datos con la ayuda del dispositivo CBL, los datos son tomados con intervalos de tiempo de 120 seg. cada uno.

Se muestra la temperatura y el tiempo 120 seg. Le corresponde 76.42 C y veamos estos datos en una tabla. Los datos de la tabla de abajo y los datos graficados son los datos que se obtuvieron en el experimento

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Veremos ahora la funcin que representa a estos datos, con la opcin en la calculadora F5 hacemos una regresin de los valores a una funcin exponencial.

Se observa que la funcin exponencial de regresin de los datos es y = (a) (bx) donde a = 69.910825 y b = .999807, la funcin resulta ser:

y = (69.910825)(.999807x) 1.1

donde ys representa la temperatura y xs representa el tiempo

ln (y) = ln (69.910825)(.999807 )x :

y = (69.910825) ( .000193 )xe

Nota: se usa el modelo si y = (a) ( bx ) entonces y = ln( )x bae

1.2

Podemos ahora consultar valores particulares de la funcin y ver que estos valores que los escribiremos en las funciones 1.1 y 1.2.

Observemos ahora las graficas de las funciones antes mencionadas y compararemos con la grafica de los datos reales.

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En la pantalla de las graficas de las funciones de regresin y de los datos tomados en el experimento y tambin se pueden consultar valores particulares, observando que la grafica de los datos reales es muy prxima a la grafica de los datos de la funcin de regresin.

Solucin analtica del problema. Ahora resolveremos el problema en forma analtica es la solucin que comnmente trabajamos con los alumnos en el saln de clase.

Tomando en cuenta la temperatura promedio del medio ambiente de donde fueron tomados los datos del experimento es: Tm = 20.11 C; se recomienda que este dato sea obtenido con el mismo dispositivo y en el mismo tiempo que son tomados los datos.

LA LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Esta ley dice que la rapidez con la que un cuerpo se enfra es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio ambiente, de tal forma que, si T(t) es la temperatura del cuerpo en cualquier instante t y Tm es la temperatura constante del medio ambiente se obtiene:

( mdT k T Tdt

= ) la solucin es: ( ) ktmT t T ce= +

Si consideramos que: Tm = 20.11 C

t = 120 T = 76.42 76.42 = 20.11 + 120kce

t = 2400 T = 41.99 41.99 = 20.11 + 2400kce

La solucin para esta parte problema con los datos anteriores es:

T(t) = 20.11 + 59.1824 2.1 .000415te

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Es importante sealar que la funcin solucin 2.1 la graficaremos y la comparamos con la grafica de los datos reales y encontraremos valores particulares para esta funcin solucin.

Conclusiones. Las actividades anteriormente expuestas con el uso de la VOYAGE 200 y del dispositivo CBL han mostrado el potencial didctico de uso de estos recursos tecnolgicos y se plantea la ventaja considerable que adquiere el uso de estas herramientas en la solucin del problema, pues el alumno logra involucrarse en la obtencin de los datos reales, la calculadora nos proporciona magnificas ventajas, pues el alumno tiene en cuenta en el proceso, que los datos reales recolectados en el experimento se pueden visualizar matemticamente a travs de una funcin y por supuesto con el tema de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

Esto le proporciona posibilidades de una mejor comprensin y vinculacin con este tipo de problemas y no lo asociara como un problema ms que viene en un libro y que hay que resolverlo.

En las actividades de aprendizaje los alumnos muestran un gran inters en la resolucin de los problemas a razn de que observan que los datos reales cumplen con la ley que en la escuela y por lo regular se da solo en forma verbal.

Referencias Ausubel-Novak-Hanesian. Psicologa educativa. Un punto de vista cognitivo. 2da. Edicin, editorial

Trillas. Mxico, (1978). Douglas, Child. Exploraciones. Aplicaciones de clculo y matemticas previas al clculo para TI 92 y

la TI 92 Plus. Editorial Oxford. Hitt, Fernando: agosto de 1998. Visualizacin matemtica, representaciones, nuevas tecnologas y

currculo. Revista Educacin matemtica vol. 10. No. 2. P. 23-43. Grupo editorial Iberoamrica. Hughes-Hallett, Deborah. Clculo. Segunda edicin. Editorial CECSA.

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Introduccin al clculo diferencial en el bachillerato Una propuesta alternativa

Ing. Hctor Surez Alfaro. UMSNH. [email protected]

Resumen. Lo expuesto en el presente trabajo, forma parte de una propuesta mas amplia para modificar el Plan de estudios en el rea de Matemticas, particularmente en lo que se refiere al Clculo diferencial en el Bachillerato. Esta propuesta consiste bsicamente en disear un Programa de estudios que se caracterice por dar prioridad a los conceptos, privilegiando un aprendizaje centrado en el alumno, basado en la resolucin de problemas y que motive el uso de la tecnologa que actualmente se tiene al alcance.

El Programa de estudios vigente para el Clculo diferencial del Bachillerato en la Universidad Michoacana propone inicialmente, una serie de requisitos supuestamente indispensables para el posterior aprendizaje del Clculo, algunos de ellos son: Estudio de los Nmeros reales, resolucin de desigualdades, estudio de las sucesiones, definicin de lmite y el clculo de lmites; Sin embargo, en la mayora de los casos, los cursos se desarrollan sin hacer referencia a estos requisitos, se propone la derivada como una transformacin de funciones que se lleva a cabo segn una serie de reglas que deben ser aceptadas sin demostracin o siquiera una justificacin; En el mejor de los casos se considera la derivada, como una herramienta que permite resolver algn tipo de problema

Como una propuesta alternativa, se propone una introduccin al Clculo mediante la resolucin de problemas que se puedan plantear a partir de diferentes contextos y tratar de construir una herramienta comn para resolverlos. En la medida de lo posible, deducir sus propiedades y tratar que el alumno le domine desde un punto de vista conceptual.

Como todos sabemos, la Derivada es una transformacin de funciones que se puede utilizar en situaciones relacionadas con la Optimizacin, la obtencin de Velocidades y Aceleraciones instantneas o en general, con las Razones de cambio respecto del tiempo; Contrariamente a la generalizada opinin en contra, se propone el diseo de un curso de Clculo diferencial en el que, de inicio, se proponga la resolucin de problemas, tratndolos desde el punto de vista de distintas representaciones

En particular, en esta ocasin se presenta un ejemplo de Optimizacin, resuelto en el contexto de una representacin numrica y de una representacin simblica. La nocin bsica detrs de las propuestas de resolucin se constituye a partir del concepto de aproximacin

PROBLEMA: Cules son las dimensiones del cilindro inscrito en una esfera de 10cm. de radio, que tiene el mximo volumen?

Si el radio de la base del cilindro es x y su altura es y, entonces el volumen del cilindro est expresado por:

2V x y=

Pero como se cumple que: 2

2 1004yx + =

Entonces: 2

1004yV y =

Si a la expresin que nos da el volumen se multiplica por:

4

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Tenemos la funcin a maximizar: 3( ) 400f y y y= Con el fin de obtener un valor de y para el cual f(y) tenga un valor mximo, efectuamos una aproximacin numrica, como el dominio de la funcin es 0 y 20 , construimos de inicio, una tabla de valores con intervalos unitarios:

y f(y) y f(y)

0 0 11 3069 1 399 12 3072 2 792 13 3003 3 1173 14 2856 4 1536 15 2625 5 1875 16 2304 6 2184 17 1887 7 2457 18 1368 8 2688 19 741 9 2871 20 0 10 3000

Observamos que un valor mximo de la funcin, corresponde al intervalo 11 , por lo que calculamos ahora, el valor de la funcin entre 11 y 12

12y

y f(y) 11 3069 11.1 3072.37 11.2 3075.07 11.3 3077.1 11.4 3078.46 11.5 3079.13 11.6 3079.1 11.7 3078.39 11.8 3076.97 11.9 3074.84 12 3072

Las siguientes aproximaciones se muestran a continuacin

y f(y) y f(y) 11.5 3079.125 11.54 3079.199736 11.51 3079.154049 11.541 3079.200186579 11.52 3079.176192 11.542 3079.200567912 11.53 3079.191423 11.543 3079.200879993 11.54 3079.199736 11.544 3079.201122816 11.55 3079.201125 11.545 3079.201296375 11.56 3079.195584 11.546 3079.201400664 11.57 3079.183107 11.547 3079.201435677 11.58 3079.163688 11.548 3079.201401408 11.59 3079.137321 11.549 3079.201297851 11.6 3079.104 11.55 3079.201125

100


Se puede asegurar entonces, que el valor de y que maximiza el volumen del cilindro, con una aproximacin de tres cifras decimales, es y=11.547. De acuerdo con los datos del enunciado del problema, lo anterior es aceptable; sin embargo, no resulta fcil sistematizar el proceso, lo que dificulta a su vez, transferirlo a una representacin simblica.

Si en lugar de aproximar considerando una divisin decimal, se propone el promedio de los valores de la variable independiente que producen los dos valores mas grandes de la funcin, se requiere comparar en cada caso, solamente tres valores de la funcin.

Apliquemos la aproximacin de punto medio para calcular el mximo de la funcin que se ha propuesto

( ) 3400f y y y= A partir de la primera tabla, deducimos que 11 12y< < , por lo tanto proponemos el nuevo valor , de tal manera que tenemos la siguiente tabla: 11.5y = y f(y) 11 3069 11.5 3079.13 12 3072

Considerando ahora 11.575y = , resulta y f(y) 11.5 3079.13 11.75 3077.77 12 3072

Procediendo de forma anloga, se tienen las aproximaciones siguientes

y f(y) y f(y) y f(y) 11.5 3079.13 11.5 3079.13 11.5 3079.125 11.625 3078.99 11.5625 3079.19 11.53125 3079.192840576 11.75 3077.77 11.625 3078.99 11.5625 3079.193115234 y f(y) y f(y) 11.53125 3079.192840576 11.546875 3079.201435089 11.546875 3079.201435089 11.5546875 3079.199390888 11.5625 3079.193115234 11.5625 3079.193115234 y f(y) y f(y) 11.546875 3079.201435089 11.546875 3079.201435089 11.55078125 3079.200941741 11.548828125 3079.201320581 11.5546875 3079.1993908881 11.55078125 3079.200941741 y f(y) y f(y) 11.546875 3079.201435089 11.546875 3079.201435089 11.5478515625 3079.201410874 11.54736328125 3079.201431241 11.548828125 3079.201320581 11.5478515625 3079.201410874 y f(y) y f(y) 11.546875 3079.201435089 11.546875 3079.201435089

101


11.54711914063 3079.20143523 11.54699707031 3079.201435676 11.54736328125 3079.201431241 11.54711914063 3079.20143523 y f(y) 11.54699707031 3079.201435676 11.54705810547 3079.201435582 11.54711914062 3079.20143523

Como se puede observar, se requieren mas intentos de aproximacin para lograr el mismo nmero de cifras correctas que con la aproximacin decimal directa; sin embargo se facilita una aproximacin simblica:

En cada una de las aproximaciones, el nuevo valor propuesto difiere cada vez menos de los dos valores de referencia, si denotamos por h a la diferencia, se tiene que es de la forma

12

n

h =

En donde n es el nmero de aproximaciones a partir de cierta etapa. Es claro que, a medida que se aumenta el nmero de aproximaciones, el valor de h se acerca a cero. A su vez , la diferencia entre los correspondientes valores de la funcin tambin son muy cercanos, de manera que las diferencias absolutas entre los valores de la variable independiente y las de los valores de la funcin, no nos proporcionan ninguna informacin respecto de un valor mximo de la funcin; sin embargo, la razn de dichas diferencias si tiene un comportamiento que permite caracterizar al mximo de la funcin: a medida que nos acercamos a las condiciones del mximo, el valor de dicho cociente se acerca a cero

Considerando lo anterior, se propone un proceso de aproximacin simblica basado en el cociente de las diferencias

( ) (2

)f y h f y hh

+ Si y es el valor para el cual se tiene el mximo de la funcin f(y), entonces el cociente de diferencias se aproxima a cero a medida que h se aproxima a cero, lo que representamos por

Si , 0h ( ) ( ) 02

f y h f y hh

+ Es posible entonces, aproximar el valor de y que corresponde al mximo de la funcin f(y), resolviendo la ecuacin que resulta de anular la expresin que se obtiene para el cociente de diferencias, si se aplican las transformaciones

, y h y y h y+ Aplicando lo anteriormente expuesto a la funcin que nos ocupa:

3( ) 400f y y y= Obtengamos una expresin para el cociente

( ) (2

)f y h f y hh

+

102


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2400 400 400 2 2( ) ( )2 2 2

y h y h y h y h h h y h y h y h y hf y h f y hh h h

2 + + + + + + + = =

( ) ( )( ) ( )2 2( ) ( ) 4002

f y h f y h y h y h y h y hh

+ = + + + + Si , , por lo tanto se tiene la aproximacin 0h , y h y y h y+

2( ) ( ) 400 32

f y h f y h yh

+ =

Igualando con cero: 2400 3 0y =

Es decir 20 3

3y =

O en expansin decimal 11.5470053837y = Lo que coincide con el valor obtenido en cada uno de los dos procesos de aproximacin numrica

Comprobemos ahora, que efectivamente, el valor de y que resulta de la aplicacin del proceso propuesto, produce el valor mximo de la funcin f(y) Sea h>0 un nmero cercano a cero, se debe demostrar que

320 3 20 3 20 3 20 3400

3 3 3f h f < = 3

Como 3 3

2 320 3 20 3 20 3 20 3 20 3400 400 400 400 20 33 3 3 3 3

f h h h h h h h + = + + = + + + +

Se tiene 3

2 320 3 20 3 20 3 20 3400 20 33 3 3

f h h h f + = +


Lo que demuestra que un valor mximo de la funcin f(y), es 20 33

f

Finalmente, se obtiene el valor del radio del cilindro. Se tiene e la relacin 2

2 1004yx + =

De modo que

2

2

20 33

1004

x

+ = De donde

10 63

x = Conclusin. Como se puede observar, una actividad como la que se propone, permite al alumno explorar los objetos de trabajo del Clculo desde el punto de vista de distintas representaciones, ganando con ello la habilidad para resolver problemas, as como para la manipulacin algebraica. Debe notarse adems, que no se hace ninguna referencia al concepto de lmite, el cual es sustituido por el concepto intuitivo de aproximacin.

Referencias Coordinacin general del Bachillerato, Programa de Clculo diferencial. (1990). Mxico, UMSNH. Granville, W. (1992). Clculo diferencial e integral. Mxico, Editorial Limusa. Goldstein, L., et al. (1990). Clculo y sus aplicaciones, Mxico, Prentice Hall. Grande, J. del y Duff, G. (1976). Introduccin al clculo elemental, Mxico, Harla.

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Concepto de derivada un acercamiento visual con GeoGebra Armando Lpez Zamudio. C.B.T.i.s. No.94.

Resumen: El modelo educativo de la Educacin Media Tecnolgica propuesto por el Consejo del Sistema Nacional de Educacin Tecnolgica en (2004) seala que los profesores deben: Despertar en los estudiantes el inters, la motivacin y el gusto por aprender, y estimular la curiosidad, la creatividad y el pensamiento complejo. Hacer un uso intensivo de las tecnologas de la informacin y de la comunicacin. En este tenor proponemos el uso del software de geometra dinmica GEOGEBRA como un espacio educativo que facilita los procesos de aprendizaje, en particular del concepto de derivada del cual tradicionalmente privilegiaba los procesos algortmicos y no el conceptual. Esta propuesta pretende revertir esta situacin. Antecedentes. En la Reforma Curricular propuesta en el ao 2004 para la Educacin Media Tecnolgica se dan lineamientos precisos en cuanto a los proceso de formacin lo cual permite tener una visin clara del papel que debe jugar el alumno y el profesor. Una de las tareas esenciales del docente es el diseo de estrategias de aprendizaje que incluya diferentes ambientes o espacios educativos, estas estrategias en matemticas deben incluir mtodos basados en la resolucin de problemas, la simulacin, el trabajo en equipo y el uso de las tecnologas. Para Arcavi, Abraham y Hadas, Nurit (2000) ...la herramienta tecnolgica en si misma es de poco valor si no es acompaada por situaciones problema que le dan significado. Vinner (1992) presenta un estudio acerca del uso de las consideraciones visuales en los cursos de clculo. Muestra con dos preguntas, una sobre un teorema relacionado con el valor medio del clculo integral y otra sobre el teorema del valor medio del clculo diferencial, los cuales son susceptibles de verificarse geomtricamente-resaltando que precisamente que a esta verificacin debiera considerar como una demostracin matemtica en la enseanza a estudiantes-, la preferencia de los estudiantes por el aspecto algebraico de las demostraciones y su evitacin de las consideraciones visuales. Sugiere el autor de este artculo basndose en los resultados obtenidos en este experimento llevado acabo con estudiantes de primer ao universitario- que debiera enfatizarse el acercamiento visual en las demostraciones y resolucin de problemas y que debiera considerarse a tales interpretaciones geomtricas, como demostraciones matemticas. Y siempre que sea posible, ensear las interpretaciones visuales de nociones algebraicas.

En otro artculo Vinner y Amit (1991), intentan ser bastante especficos acerca de porqu muchos estudiantes que han llevado un curso universitario de clculo adquieren un conocimiento conceptual deficiente del curso. Sobre un estudio amplio con ciento treinta estudiantes a quienes se les aplico un cuestionario con once preguntas, presentan una muestra detallada del tipo de anlisis cualitativo que realizan. Observaron que aunque hay elementos que indican una buena comprensin sobre clculo diferencial por parte del estudiante, en cuestiones algortmicas rutinarias, encontraron otros elementos en la resolucin de problemas conceptuales no rutinarios que muestran seras conceptualizaciones errneas.

De la propuesta. Existen obstculos para la comprensin del concepto de derivada, con la palabra tangente como el nombre de una lnea recta que toca en un punto a una curva, en contraste con su significado como funcin trigonomtrica usada para definir la pendiente de una lnea recta. El presente trabajo propone un acercamiento visual del concepto fundamental de la derivada que se estudia en clculo de bachillerato. No se pretende tratar cuestiones como la definicin de lmite, o profundizar en el Anlisis Real completo con psilons, deltas y supremos. Las complicaciones de la continuidad, compactibilidad,

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convergencia, etc., y el estudio de sus interrelaciones slo puede ser disfrutado despus de que se sabe de dnde provienen estos conceptos y para qu sirven. Para llegar a comprender este concepto y salvar los obstculos mencionados, haremos una revisin de la construccin de la recta tangente a una curva. Estamos ya familiarizados con el concepto de tangente por nuestros estudios de geometra en la escuela secundaria en donde investigamos las tangentes a crculos. Una tangente a un crculo es una recta que toca al crculo exactamente en un punto, conocido como punto de tangencia.

El problema de encontrar tangentes a curvas ha ocupado el inters de muchas personas a lo largo de la historia matemtica. Los Griegos inventaron un procedimiento muy simple para construir una tangente a un crculo usando regla y comps, despus del crculo la parbola es una de las curvas ms simples y ellos tambin conocan un mtodo para construir tangentes a parbolas Cuando consideramos otro tipo de curvas, comprendemos rpidamente que es ms difcil saber que es una tangente y como construirla. Por largo tiempo la teora de las tangentes permaneci como una mezcolanza de procedimientos para construir tangentes a curvas especiales sin relacin entre s. Individualmente estos procedimientos son muy interesantes, ya que sirven como ejercicios extraordinarios de razonamiento geomtrico. Colectivamente arrojan poca luz sobre las cuestiones generales acerca de la naturaleza de las tangentes, puesto que cada procedimiento se aplica nicamente a un tipo de curvas.

El primer gran progreso para unificar la teora de las tangentes ocurri al principio del siglo diecisiete, con la invencin maravillosa de Ren Descartes de la Geometra Analtica. Descartes se esforz por crear un procedimiento uniforme por el que se pudieran encontrar las tangentes sin importar el tipo de curva en cuestin. Sin embargo pudo resolver el problema de las tangentes (el mtodo de las races iguales) de manera general solo para curvas cuya ecuacin sea de segundo grado. Es decir en la la funcin y=x3 el mtodo de Descartes falla. Por fortuna un contemporneo Pierre Fermat encontr una forma de determinar las ecuaciones de las tangentes a cualquier tipo de curva que se presente. Este matemtico bas su mtodo para encontrar las tangentes en la siguiente idea. Supongamos que se nos da una curva y que Q denota un punto por el que deseamos trazar una tangente. Indiquemos por P a un punto cercano a l, sobre la misma curva, a la derecha o a la izquierda de Q y consideremos la recta que pasa por esos dos puntos Q y P.

Tal recta se llama una recta secante, siguiendo la misma terminologa usada en geometra elemental para una recta que atraviesa un crculo en dos lugares distintos. Supongamos que el punto P se mueve al punto Q, a lo largo de la curva. Qu sucede a la secante PQ? Fermat se dio cuenta que de que cuando el punto P se aproxima al punto Q ya sea por la derecha o por la izquierda, la secante PQ se mova hacia la posicin tangente. La idea de Fermat no es especialmente til por s misma, pero combinada con las herramientas de la geometra analtica, proporciona la llave para el problema de las tangentes. Dnde esta la propuesta didctica si el mtodo es tan antiguo? Un obstculo que se tena en el aula para la comprensin del mtodo de Fermat era la idea de que P se mueve hacia Q, Del Software GeoGebra

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Para vencer este obstculo recurriremos al software GeoGebra, es un software gratuito de matemticas que rene geometra, lgebra y clculo. Lo ha desarrollado Markus Hohenwarter en la Universidad de Salzburgo para la enseanza de matemtica escolar, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. As, GeoGebra tiene la potencia de manejar con variables vinculadas a nmeros, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del anlisis matemtico, para identificar puntos singulares de una funcin, como Races o Extremos.

Un ejemplo:

Consideremos la curva y=x3, y veamos como determinar la tangente a esta curva en el punto Q(2,8), Primero visualmente con GeoGebra para comprender la idea de Fermat y luego siguiendo el mtodo de Fermat.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Estamos buscando la tangente a esta curva a travs de Q, y sabemos que su ecuacin puede ser escrita en la forma y-8=m(x-2),

107


donde la letra m representa la pendiente de la tangente. Todo lo que necesitamos es determinar la pendiente m. Por lo tanto, consideremos la secante QP y tratemos de ver qu sucede con su pendiente cuando el punto P se mueve hacia el punto Q a lo largo de la curva .

Pendiente (PQ) = m =28

wv

Ya que el punto P pertenece a la curva sus coordenadas (w,v) tienen que satisfacer la ecuacin y=x3 . Esto significa que v=w3 y as podemos escribir la formula de la pendiente como sigue, eliminando la variable v y simplificando la expresin resultante:

Pendiente (PQ)=m= 422

)42)(2(28 223 ++=

++= ww

wwww

ww

Cuando el punto P se mueve a lo largo de la curva, hacia el punto Q, entonces su primer coordenada w, se aproxima al valor 2. Por lo tanto concluimos que la pendiente m de nuestra tangente debe 12, ya que 12 el valor lmite de la frmula para la pendiente de la secante cuando w se aproxima a 2.

Para expresar en forma las ideas incluidas una en este ejemplo, los matemticos usan a menudo la siguiente notacin al referirse al valor del lmite la de una frmula:

124222

lim =++ www Nosotros interpretamos como:

LimiteQP

de la pendiente de la recta secante(PQ) = Pendiente de la recta tangente

= m = 124222

lim =++ wwwFinalmente obtenemos la ecuacin de la recta tangente buscada:

y-8=12(x-2) En realidad el mtodo de Fermat nos es til para predecir pendientes de rectas tangentes a curvas, un acercamiento bastante plausible al concepto de derivada en el bachillerato.

Referencias Abraham Arcavi and Nurit Hadas. (2002). Computer medianted learnig: An exaple of an approach;

Representations and Mathematics Visualization, Editado por Fernando Hitt,

Amit, Miriam Y Vinner, Shlomo. (1991). Some Misconceptions in Calculus- Anecdotes or the Tipo f an Icerberg? . Proccedings of the Fourteenth PME Conference. Vol 1. pp. 3.10. Mxico.

Consejo del Sistema Nacional de Educacin Tecnolgica. (2004). Modelo de la Educacin Media Superior Tecnolgica, Ed. Editores e impresores FOC S. A. De C. V. Mxico.

Subsecretaria de Educacin e Investigacin Tecnolgicas. SEP. (2004). Reforma Curricular del Bachillerato Tecnolgico Programa de Estudios.

Vinner, Shlomo. (1992). The Avoidance of Visual Considerations in Calculus students Focus on Learning Problemas in Mathematics 11(1989)149-156.

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Marco conceptual. Esta propuesta sobre lalgebra GeomtricaActividad de enseanza sobre factorizacin. El contenido de Concepto de derivada un acercamiento visual con GeoGebraArmando Lpez Zamudio. C.B.T.i.s. No.94.

propuesta factorizacion

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