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    PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los trminos de un polinomio tienen un factor comn CASO II factor comun por agrupacin de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto

    CASO IV Diferencia de cuadrados perfectos CASO V Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion CASO VI Trinomio de la forma x2 + bx + c

    Algebra Baldor

    Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected]

    [email protected] [email protected]

    Erving Quintero Gil Ing. Electromecnico

    Bucaramanga Colombia 2010

  • 2

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    FACTORIZACION CASO 1 (Pg. 144 Baldor). CUANDO TODOS LOS TRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMN

    a) Factor comn monomio Problema 1. Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor comn que es a. Escribimos el factor comn a como coeficiente de un parntesis. Dentro del parntesis escribimos los cocientes de dividir; a2 a = a y 2a a = 2 y tendremos:

    a2 + 2 = a (a + 2) Problema 2. Descomponer 10b 30 ab2 Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 por que siempre se saca el mayor factor comn. De las letras, el nico factor comn es b por que esta en los dos trminos de la expresin dada y la tomamos con su menor exponente b. El factor comn es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un parntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

    10b 10b = 1 y -30ab2 10b = - 3ab y tendremos:

    10b 30 ab2 = 10 (1 - 3ab) Problema 3. Descomponer m (x + 2) + x + 2 Esta expresin podemos escribirla; m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1 (x + 2) Factor comn (x + 2). Tendremos; m (x + 2) + 1 (x + 2) = (x + 2) (m+1) Problema 4. Descomponer a (x + 1) x 1 Introduciendo los dos ltimos trminos en un parntesis precedido del signo (-) se tiene: a (x + 1) x 1 = a (x + 1) (x + 1) a (x + 1) x 1 = a (x + 1) 1(x + 1) Factor comn (x + 1). Tendremos; a (x + 1) x 1 = (x + 1) (a - 1) Problema 5. Factorar 2x (x + y + z) x y z Introduciendo los tres ltimos trminos en un parntesis precedido del signo (-) se tiene: 2x (x + y + z) x y z = 2x (x + y + z) (x + y + z) 2x (x + y + z) x y z = 2x (x + y + z) 1(x + y + z) Factor comn (x + y + z). Tendremos;

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    2x (x + y + z) x y z = (x + y + z) (2x - 1) Problema 6. Factorar (x - a) (y + 2) + b(y + 2) Factor comn (y + 2). Dividiendo los dos trminos de la expresin dada entre (y + 2) tenemos: ( )( )

    ( ) a)-(x 2y 2ya -x =+

    + y

    ( )( ) b 2y

    2y b =++

    Luego: (x - a) (y + 2) + b(y + 2) = (y + 2) (x a + b) Problema 7. Descomponer (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) Factor comn (x - 1). Dividiendo los dos trminos de la expresin dada entre (x - 1) tenemos: ( )( )

    ( ) 2)(x 1-x1-x2x +=+ y ( ) ( )( ) ( )3-x- 1-x

    3-x 1-x - = Luego: (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = (x 1) [ (x + 2) (x 3)] (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = (x 1) [ x + 2 x + 3] (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = (x 1) [ 2 + 3] (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = (x 1) [ 5] (x+ 2) (x 1) (x 1) (x 3) = 5 (x 1) Problema 8. Factorar x (a 1) + y (a 1) a + 1 Introduciendo los dos ltimos trminos en un parntesis precedido del signo (-) se tiene: x (a 1) + y (a 1) a + 1 = x (a 1) + y (a 1) (a 1) x (a 1) + y (a 1) a + 1 = x (a 1) + y (a 1) 1(a 1) Factor comn (a - 1). Tendremos; x (a 1) + y (a 1) a + 1 = (a 1) (x + y - 1)

    CUANDO TODOS LOS TRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMN

    EJERCICIO # 89 Pagina 145 Problema 89.1 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer a2 + ab a2 y ab contienen el factor comn que es a.

    Escribimos el factor comn a como coeficiente de un parntesis. Dentro del parntesis escribimos los cocientes de dividir;

    a2 a = a y ab a = b y tendremos:

    a2 + ab = a (a + b) Problema 89.3 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x2 + x x2 y x contienen el factor comn que es x.

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    Escribimos el factor comn x como coeficiente de un parntesis. Dentro del parntesis escribimos los cocientes de dividir;

    x2 x = x y x x = 1 y tendremos:

    x2 + x = x (x + 1) Problema 89.5 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x3 + 4x4 x3 y 4x4 contienen el factor comn que es x3.

    Escribimos el factor comn x3 como coeficiente de un parntesis. Dentro del parntesis escribimos los cocientes de dividir;

    x3 x3 = 1 y 4x4 x3 = 4x y tendremos: x3 + 4x4 = x3 (1 + 4x) Problema 89.7 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer ab - bc ab y bc contienen el factor comn que es b.

    Escribimos el factor comn b como coeficiente de un parntesis. Dentro del parntesis escribimos los cocientes de dividir;

    ab b = a y -bc b = - c y tendremos:

    ab - bc = b (a c) Problema 89.9 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 2a2 x + 6ax2 Los coeficientes 2 y 6 tienen como factor comun 2. De las letras, el nico factor comn es ax por que esta en los dos trminos de la expresin dada. El factor comn es 2ax. Lo escribimos como coeficiente de un parntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

    2a2 x 2ax = a y + 6ax2 2ax = 3x y tendremos:

    2a2 x + 6ax2 = 2ax (a + 3x) Problema 89.11 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 9a3x2 - 18ax3 Los coeficientes 9 y 18 tienen como factor comn 9. De las letras, el nico factor comn es ax2 por que esta en los dos trminos de la expresin dada. El factor comn es 9ax2 . Lo escribimos como coeficiente de un parntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

    9a3x2 9ax2 = a2 y - 18ax3 9ax2 = - 2x y tendremos:

    9a3x2 - 18ax3 = 9ax2 (a2 2x) Problema 89.13 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 35m2n3 - 70m3 Los coeficientes 35 y 70 tienen como factor comn 35. De las letras, el nico factor comn es m2 por que esta en los dos trminos de la expresin dada. El factor comn es 35m2 . Lo escribimos como coeficiente de un parntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

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    35m2n3 35m2 = n3 y - 70m3 35m2 = - 2m y tendremos:

    35m2n3 - 70m3 = 35m2 (n3 2m) Problema 89.15 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 24a2xy2 - 36x2y4 Los coeficientes 24 y 36 tienen como factor comn 12. De las letras, el nico factor comn es xy2 por que esta en los dos trminos de la expresin dada. El factor comn es 12xy2 . Lo escribimos como coeficiente de un parntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

    24a2xy2 12xy2 = 2a2 y - 36x2y4 12xy2 = - 3xy2 y tendremos:

    24a2xy2 - 36x2y4 = 12xy2 (2a2 - 3xy2) Problema 89.17 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 4x2 - 8x + 2 Los coeficientes 4, 8 y 2 tienen como factor comn 2. Las letras NO TIENEN factor comn. El factor comn es 2 . Lo escribimos como coeficiente de un parntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

    4x2 2 = 2x2 - 8x 2 = - 4x y 2 2 = 1 y tendremos:

    4x2 - 8x + 2 = 2 (2x2 - 4 + 1) Problema 89.19 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer a3 - a2x + ax2 a3 , a2x y ax2 contienen el factor comn que es a.

    Escribimos el factor comn a como coeficiente de un parntesis. Dentro del parntesis escribimos los cocientes de dividir;

    a3 a = a2 - a2x a = - ax y ax2 a = x2 y tendremos:

    a3 - a2x + ax2 = a (a2 ax + x2) Problema 89.21 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x3 + x5 - x7 x3 , x5 y x7 contienen el factor comn que es x3 .

    Escribimos el factor comn x3 como coeficiente de un parntesis. Dentro del parntesis escribimos los cocientes de dividir;

    x3 x3 = 1 x5 x3 = x2 y - x7 x3 = - x4 y tendremos:

    x3 + x5 - x7 = x3 (1 + x2 x4) Problema 89.23 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 34ax2 + 51a2y - 68ay2 Los coeficientes 34, 51 y 68 tienen como factor comn 17. De las letras, el nico factor comn es a por que esta en los tres trminos de la expresin dada.

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    El factor comn es 17a. Lo escribimos como coeficiente de un parntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

    34ax2 17a = 2x2 51a2y 17a = 3ay y - 68ay2 17a = - 4y2 y tendremos:

    34ax2 + 51a2y - 68ay2 = 17a (2x2 + 3ay - 4y2) Problema 89.25 Algebra Baldor (Pagina 145) a2b2c2 - a2c2x2 + a2c2y2 = a2c2 (b2 - x2 + y2) Problema 89.27 Algebra Baldor (Pagina 145) 93a3x2y - 62a2x3y2 - 124a2x = 31a2x (3axy - 2x2y2 - 4) 29) a6 - 3a4 + 8a3 - 4a2 = a2 (a4 - 3a2 + 8a - 4) 31) x15 - x12 + 2x9 - 3x6 = x6 (x9 - x6 + 2x3 - 3) 33) 16x3y2 - 8x2y - 24x4y2 - 40x2y3 = 8x2y (2xy - 1 - 3x2y - 5y2) 35) 100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 = 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c) 37) a2 - 2a3 + 3a4 - 4a5 + 6a6 = a2 (1 - 2a + 3a2 - 4a3 + 6a4) 39) a20 - a16 + a12 - a8 + a4 - a2 = a2 (a18 - a14 + a10 - a6 + a2 - 1)

    Ejercicio # 90 pag. 146

    Ejercicio # 90.2 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores x (a + 1) - 3 (a + 1) = (a + 1) (x 3) Ejercicio # 90.4 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores m (a - b) + (a b) n = (a b) (m + n) Ejercicio # 90.6 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores a (n + 2) + n + 2 = (n + 2) (a +1) 8) a2 + 1 - b (a2 + 1) = 1 (a2 + 1) - b (a2 + 1) (a2 + 1) (1 b) Ejercicio # 90.10 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 1 x + 2a (1 x) = 1(1 x) + 2a (1 x) (1 x) (1 + 2a)

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    12) - m n + x (m + n) = -1 (m + n) + x (m + n) (m + n) (-1 + x) = (m + n) (x - 1) Ejercicio # 90.14 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 4m ( a2 +