guia factorizacion 8

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  • Colegio La Salle Envigado FORMANDO EN VALORES PARA LA VIDA

    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 1 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    GUIA FACTORIZACION

    Esta gua tiene como objetivo afianzar los conocimientos terico-prcticos en los diferentes casos de factorizacin, para ello se darn en esta gua algunos ejercicios de factorizacin para complementar lo trabajado y explicado en clase, para cada caso de factorizacin se debern realizar 10 ejercicios de prctica en casa. Esta gua ser evaluada como trabajo de practica (actitudinal) y ser considerado como trabajo de clase (20%).

    Antes de iniciar con el proceso de factorizacin es importante revisar algunos elementos importantes que se han estudiado en periodos y grados anteriores.

    Propiedades de la Potenciacin:

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 2 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    Exponente radical: Como se indica con la igualdad , la radicacin es en realidad otra forma de expresar una potenciacin: la raz de un cierto orden de un nmero es equivalente a elevar a dicho nmero a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciacin se cumplen tambin con la radicacin.

    Ejemplo: =

    Propiedades que no cumple la potenciacin: No es distributiva con respecto a la adicin y sustraccin, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del parntesis es suma o resta:

    No cumple la propiedad conmutativa: exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el

    mismo valor o son equivalentes. En general

    Tampoco cumple la propiedad asociativa:

    Potencia de base 10: Para las potencias con base 10, el efecto ser desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

    Ejemplos (derecha):

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 3 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    Propiedades de la radicacin:

    Las leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las races indicadas; es decir, siempre que las races sean nmeros reales.

    Es frecuente cometer errores cuando se trabaja con radicales, el ms comn de estos es:

    PRODUCTOS NOTABLES

    Producto notable Expresin algebraica Nombre ( + ) 2 + 2 + 2 Binomio cuadrado ( + ) 3 + 32 + 32 + 3 Binomio al cubo ( + )( ) Diferencia de cuadrados ( )(2 + + 2) Diferencia de cubos + ( + )(2 + 2) Suma de cubos ( + )( )(2 + 2) Diferencia cuarta ( + + ) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Trinomio al cuadrado

    COCIENTES NOTABLES

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 4 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    FACTOR COMN Sacar factor comn consiste en encontrar el elemento comn a un conjunto de sumandos, una operacin numrica a veces se simplifica sacando factor comn para realizar la operacin. Ten presente la propiedad distributiva y observa los ejemplos para ver cmo se usa el factor comn.

    EJEMPLO:

    + = ( + ) El factor comn es a; es el factor que est incluido en los dos trminos; luego multiplicamos el factor comn por lo que queda de los dos trminos, es decir, al aplicar la propiedad distributiva de la multiplicacin nos debe dar como resultado de esta operacin los dos trminos iniciales, por tanto el trmino a no debe ser incluido dentro de los parntesis.

    EJEMPLO: 9 33 + 12 = (3 13 + 4) Buscamos inicialmente el factor comn entre los nmeros, para ello buscamos el Mximo Divisor Comn entre los nmeros, el menor nmero por el que podemos dividir el 9, 3, 12; este nmero es el 3, todos los nmeros se pueden dividir por 3. Luego busco el factor comn entre las letras (parte literal), es decir los factores que se repiten con su menor exponente en cada uno de los trminos, estas son y , los tres trminos tienen a la vez y , la z solo la encontramos en el tercer trmino y la b solo en el primero y segundo por lo tanto no son factores comunes. Es importante aclarar que cuando uno de los trminos (en este caso el numero 3) es parte del factor comn, se debe colocar entonces 1, para que al aplicar propiedad distributiva, se obtengo como resultado el mismo nmero que es factor comn.

    EJEMPLO:

    4554 + 60453 1536 + 30345 = Paso 1: Se extra el factor comn. Para ello se halla el MCD (Mximo Comn Divisor) de las cantidades y de los factores literales.

    El MCD de los nmeros es: = En la parte literal: MCD de las letras comunes con menor exponente es

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 5 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    Por tanto, el factor comn de la expresin algebraica es

    Paso 2: Una forma de factorizar es dividir cada uno de los trminos por el factor comn (simplificar)

    4554 + 60453 1536 + 30345 =

    +

    +

    = + + Recuerda que en cocientes de potencias de igual base se restan los exponentes. Al resolver producto se debe obtener la expresin inicial.

    FACTOR COMN DE UN POLINOMIO (CASO ESPECIAL)

    Esto sucede cuando el factor comn no es un monomio, sino que puede ser un binomio, trinomio o polinomio. Para factorizar se utiliza el mismo procedimiento que en el caso anterior.

    Para resolverlo de manera sencilla basta con tomar el factor comn (a b), este es el trmino que se repite en los trminos dados se procede como en el caso anterior, es decir dividir los dos trminos por el factor comn, recuerda que cosas iguales en una divisin se cancelan, de cancelar los factores (a b), queda m y n, los que se agrupan independientemente y este trmino multiplicado por el factor comn (verificando la factorizacin) con seguridad nos da los trminos iniciales.

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 6 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    FACTOR COMN POR AGRUPACIN DE TRMINOS

    Se llama factor comn por agrupacin de trminos, si los trminos de un polinomio pueden reunirse en grupos de trminos con un factor comn diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual nmero de trminos se encuentra a cada uno de ellos el factor comn. Si queda la misma expresin en cada uno de los grupos entre parntesis, se saca este grupo como factor comn, quedando as una multiplicacin de polinomios, tratar desde el principio que nos queden iguales los trminos de los parntesis nos har ms sencillo el resolver estos problemas.

    EJEMPLO 1:

    + + + Ahora hay que agrupar estos trminos en factores comunes ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) Saco el factor comn a cada de los trminos agrupados Observemos que los trminos entre parntesis son iguales, por tanto se convierten en factor comn y la a y la b se agrupan por separado, as: ( + )( + ) Luego: + + + = ( + )( + ) EJEMPLO 2:

    b)y)(a(x b)y(ab)x(aby)(aybx)(ax

    byaybxax

    ++

    +++

    +++

    +++

    Agrupar en dos parntesis

    En cada parntesis hacer factor comn monomio luego factor comn polinomio

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 7 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    EJERCICIOS DE PRCTICA FACTOR COMUN

    Recuerda que estos son los primeros ejercicios que debes resolver, cuando los tengas listos debes entregarlos, en una hoja bien ordenada y marcada con tu nombre, fecha y grupo, adems debes conservar esta hoja en una carpeta para entregar todo los ejercicios de practica al final del periodo y calificarla (20% del periodo)

    1. + + =

    2. =

    3. + =

    4. + =

    5. + =

    6. + +

    7. + + =

    8. ( + ) + ( + ) =

    9. + + + =

    10.

    +

    =

    Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=XvRwXCvZ-Lc&feature=related

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 8 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    DIFERENCIA DE CUADRADOS Son llamados cuadrados perfectos aquellas expresiones algebraicas que tienen raz cuadrada exacta, en este caso hablamos entonces de dos trminos que se restan entre s pero que adems son cuadrados perfectos. Esta diferencia que caracteriza por tener la siguiente estructura: . La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de los trminos, uno como suma y otro como resta, en este tipo de expresiones de debe inicialmente encontrar las races cuadradas de los trminos (expresiones algebraicas) as: = ( + )( ) Buscamos las races cuadradas de los trminos Races cuadradas de los dos trminos ( + )( ) Escribo las races de los trminos como producto factorizado

    Por propiedades de los radicales recuerda que decir = = = , la expresin

    (exponente e ndice de la raz) se divide y el resultado es 1, es decir y tener esta expresin () es lo mismo que tener solo , pues aunque esta siempre tiene como exponente 1 no es necesario escribirlo. De la misma forma procedemos para hallar la raz de ; Por propiedades de los radicales recuerda que

    decir = = = , la expresin (exponente e ndice de la raz) se divide y el

    resultado es 1, es decir y tener esta expresin () es lo mismo que tener solo , pues aunque esta siempre tiene como exponente 1 no es necesario escribirlo. Para verificar que nos haya quedado bien factorizado aplicamos propiedad uniforme sobre el producto factorizado:

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 9 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de A)

    ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    EJEMPLO:

    Factorizar: = ( + )( )

    Buscamos las races cuadradas de los trminos = y para el segundo = = =

    Races cuadradas de los dos trminos ( + )( ) Escribo las races de los trminos como producto factorizado.

    Para verificar si esta expresin si cumple con ser producto de la factorizacin del trmino , debemos aplicar propiedad uniforme, como se explic en el ejemplo anterior, as: ( + )( ) = + , en esta expresin resultante se cancelan los trminos + , por ser trminos iguales con signos diferentes, al hacer esto me queda como resultado: EJEMPLO:

    Factorizar: = ( + )( ) Buscamos las races cuadradas de los trminos = y para el segundo;

    en el numero = , y para las letras = = ; toda la expresin = = Races cuadradas de los dos trminos ( + )( ) Escribo las races de los trminos como producto factorizado una con ms

    y otra con menos. Al verificar me debe dar la expresin inicial, para hacerlo aplico propiedad uniforme sobre el producto

    factorizado: ( + )( ) = + , se cancelan los trminos azules por ser iguales con signos diferentes, luego el resultado es

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 10 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de

    A) ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    EJERCICIO DE PRACTICA DIFERENCIA DE CUADRADOS

    Factorizar las siguientes expresiones y verificar los resultados obtenidos:

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

    9.

    10.

    Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=PaT2DdRhkMo&feature=related Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=tABhBMtBmSY

    Factorizar 4a2 9 49x2b4 225 1 4 49

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 11 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de

    A) ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

    Un cubo perfecto es aquella expresin cuya raz cubica es exacta, para este caso hablamos de dos trminos cbicos dispuestos en forma de una suma o una resta + respectivamente.

    Suma de cubos: Este producto notable al factorizarlo se obtiene del producto de los dos factores: el primero formado por la suma de las bases y el segundo factor formado por el cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases ms el cuadrado de la segunda base.

    Resta de cubos: Es equivalente al producto de dos factores: donde el primer factor lo forma la diferencia de las bases; y el segundo factor por la suma del cuadrado de la primera base por el producto de las dos bases, ms el cuadrado de la segunda base.

    + = ( + )( + ) = ( )( + + ) Para factorizar esta expresin debemos recordar los cocientes notables:

    + + = + = + +

    Para el caso de la suma y teniendo en cuenta el resultado de la divisin anterior se verifica que:

    + = ( + )( + ) Y en el caso de la resta y basndonos en el resultado de la divisin anterior se verifica que:

    = ( )( + + )

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 12 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de

    A) ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    EJEMPLO:

    Factorizar: = ( )( + )

    buscamos las raices cubicas de y , en el caso de la = = = para el caso de la = = = Recuerda que se busca un termino que multiplicado tres veces por si mismo de como resultado los terminos, estas raices son respectivamente y , los exponentes 1 no se colocan.

    Ya hemos encontrado las raices de los terminos , ahora debemos factorizar la diferencia de cubos, para ello hallamos un termino corto que esta conformado por las raices encontradas ( ) y otro largo, constituido por un trinomio que se arma de la siguiente manera; el primer termino del trinomio la forma la primera raiz al cuadrado , el segundo termino del trinomio lo constituye el producto de las dos raices ()() y el tercer termino lo constituye la segnda raiz encontrada =al cuadrado , ahora el trinomio quedaria asi ( + ). Con respecto a los signos el termino corto corserva el mismo signo menos () para la diferencia de cubos, y los terminos del trinomio todos son positivos, para el caso de la suma de cubos el termino corto conserva su signo (+) y los signos de los terminos son intercalados empezando con +. Ahora todo el termino factorizado nos quedaria as: = ( )( + ) EJEMPLO:

    Factorizar: + + = ( + )( + )

    Buscamos las races cubicas de los trminos y , es decir la = , iniciemos buscando la raz cubica de 27 ( ) es encontrar un nmero que multiplicado tres veces por s mismo d como resultado , este nmero es , tambin podemos realizar la descomposicin del termino en factores primos, es decir = ()( )( )= .

    Para la raz de , se procede igual que en la diferencia de cuadrados, recuerda que el exponente de la letra se puede dividir con el ndice de la raz, as:

    = = por la tanto la raz de = , porque = , y el exponente uno no se coloca.

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    PROFESOR: NELSON RUEDA ~ 13 ~ LIC.EDUCACION BASICA MATEMATICAS (U de

    A) ESTUDIANTE DE MAESTRIA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES (UN)

    Ahora para encontrar la raz cubica de ocho procedemos de la misma forma que para encontrar la raz cubica de 27, es decir buscamos un nmero que multiplicado tres veces por s mismo d como resultado 8, tal como lo muestra la descomposicin del

    nmero en sus factores primos, tal nmero es , es decir: = ()()() = Resumamos: ya encontramos las races de los trminos

    = ; = , la factorizacin de una suma de cubos perfectos est compuesta por un trmino corto, las races encontradas ( + ) y un trmino largo que est constituido por un trinomio, el primer trmino es la primera raz al cuadrado () = , el segundo lo forma el producto de las dos races ()( = , y )el tercer trmino la segunda raz al cuadrado = luego el trinomio queda constituido as: , ( + ) Todo el cubo factorizado nos quedara as: + = ( + )( + )

    EJERCICIOS DE PRACTICA CUBOS PERFECTOS

    1. 1 + 3

    2. 1 3

    3. 3 + 3

    4. 1000 3

    5. 216 12

    6. 273 + 1253

    7. 83 643

    8. 6436 + 2169

    9. 5126 7293

    10. 33 6

    Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=LZE5eWFeAo4&feature=relmfu

    Ayuda: http://www.youtube.com/watch?v=yEeYghrUWa4&feature=related

    Esta gua tiene como objetivo afianzar los conocimientos terico-prcticos en los diferentes casos de factorizacin, para ello se darn en esta gua algunos ejercicios de factorizacin para complementar lo trabajado y explicado en clase, para cada cas...Propiedades de la Potenciacin:

    Exponente radical: Como se indica con la igualdad , la radicacin es en realidad otra forma de expresar una potenciacin: la raz de un cierto orden de un nmero es equivalente a elevar a dicho nmero a la potencia inversa. Por esto, las propiedades ...Ejemplo: =Propiedades que no cumple la potenciacin: No es distributiva con respecto a la adicin y sustraccin, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del parntesis es suma o resta:No cumple la propiedad conmutativa: exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En generalTampoco cumple la propiedad asociativa:Potencia de base 10: Para las potencias con base 10, el efecto ser desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.Ejemplos (derecha):Propiedades de la radicacin:PRODUCTOS NOTABLESCOCIENTES NOTABLESFACTOR COMNFACTOR COMN DE UN POLINOMIO (CASO ESPECIAL)FACTOR COMN POR AGRUPACIN DE TRMINOS

    Se llama factor comn por agrupacin de trminos, si los trminos de un polinomio pueden reunirse en grupos de trminos con un factor comn diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual nmero de trminos se encuentra a cada uno d...EJEMPLO 1:+++ Ahora hay que agrupar estos trminos en factores comunesEJERCICIOS DE PRCTICA FACTOR COMUNDIFERENCIA DE CUADRADOS

    EJERCICIO DE PRACTICA DIFERENCIA DE CUADRADOSSUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

    EJERCICIOS DE PRACTICA CUBOS PERFECTOS