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Bienvenidos al mundo de la factorizacion…

FACTORIZACION

Algo de historia:

Los primeros vestigios del desarrollo de la ciencia matemática se encuentran 5000-500 AC en Egipto. Pitágoras, Tales de Mileto, Euclides son algunos de los matemáticos que fueron dando realce al estudio de la matemática. Establecieron un método riguroso para la demostración geométrica e hicieron del número el principio universal por excelencia.

Métodos para factorizar un polinomio

Antes de comenzar debes tener en claro que la factorización lo que se busca es expresar una o varias cantidades como el producto de dos o más factores, dando la posibilidad de factorizar de diferentes formas expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorización.

Pero … ¿Qué es factorizar?En pocas palabras, la factorización de expresiones

algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas.

Casos de Factorización Subsecciones :1.- Factor Común 2.- Factor Común por agrupación de términos 3.- Casos para Trinomios 4.- Diferencia de cuadrados 5.- Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción6.- Trinomio cuadrado de la forma 7.- Trinomio cuadrado de la forma 8.- Cubo perfecto de Binomios 9.- Suma o Diferencia de Cubos perfectos 10.- Suma o Diferencia de dos potencias iguales 11.- Casos para Polinomios 12.- Relación con la Geometría.12.- Prueba de diagnostico: I parte13.- Prueba diagnostico: II parte

Factor Común

Explicación: Este es el primer caso y se emplea para

factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

Factor común monomio: Es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo:

Casos de factorización.

Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

Ejemplos: 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = 2a(m - 2n) - b (m - 2n )

= (m - 2n )( 2a - b )

3x(2z - 5z) + x (2z – 5z) = 3x(2z – 5z) + x(2z – 5z) = (2z – 5z) (3x + x)

mnx + mny - mnz = mnx + mny – mnz = mn (x + y – z)

Veamos algunos ejercicios amigo …

Presiona sobre mi y te aparecerán …

A trabajar !!

Algunos Ejercicios:Factor común monomio:

12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4=

22

98

43

xyyx

24524332

161

81

41

21 babababa

babaabba 3322

2516

158

512

354

53433223

3521

149

2827

2115 yxyxyxyx

Factor común polinomio:

x2( p + q ) + y2( p + q )=a(2 + x ) - ( 2 + x )=

(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 )=

(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 )=

Factor Común.

Factor Común por agrupación de términos

Explicación:Aquí utilizaremos el caso anterior:

adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor común.

Ejemplos:


3a + 5a + 3b + 5b = (3a + 5a) + (3b + 5b) = a (3 + 5) + b (3 + 5) = (a + b)(3 + 5)

2m – 5m + 2n – 5n = (2m – 5m) + (2n – 5n) = m (2 – 5) + n (2 - 5) = (m + n) (2 – 5)



A trabajar !!

Algunos Ejercicios:

6ab + 4a - 15b - 10 =

ac - a - bc + b + c2 - c = a3 + a2 + a + 1 =

18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

154

214

103

1433

5 72x xz xy yz x z

Factor Común por agrupación de términos.

Casos para Trinomios

Explicación:Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado

a los trinomios que cumplen con las siguientes características:

El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.

El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza así:


Ejemplos:

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

9x2 + 42x + 49 = (3x + 7)2

4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2

Aquí tienes algunos ejemplos aclaratorios!!



A trabajar !!

Algunos ejercicios:

25x2 + 55x + 121/4 = x2 + x + ¼ = a2 + 8a + 16 = 4b2 – 4b + 1 = z2 + 12z + 36 = 25m2 + 18m + 81 = n2 + 14n + 49 =

Casos para Trinomios.

Vamos amigo trabaja con todas las ganas!

Diferencia de cuadrados

Explicación: Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es

una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta.

Ejemplo:


Suma o diferencia de potencias iguales: Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

si n es par :

si n es impar :

y

se factoriza así: si n pertenece a z

si n es par :

si n es impar :

Ejemplos:

25 - 9 = (5 – 3) (5 + 3)

a2 – b2 = (a – b) (a + b)

(7x – 9) (7x + 9) = 49x – 81



A trabajar !!

Algunos Ejercicios:

36m2n2 - 25 =

121x2 - 144k2 = 3x2 - 12 = 925

4936

2 2a b

125

916

4 4x y

5 - 180f2 =

Diferencia de cuadrados.

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción

Explicación: En este caso se intenta transformar una expresión

(binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Ejercicio:


Resolviéndolo nos queda:

Aplicamos diferencia de cuadrados:

Ejemplos:

16m2 – 40mn + 25n2 = (4m – 5n)2

(4m )( 2) ( 5n) = 40 mn

4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2

(2b) (2) ( 1) = 4b

1 + 6x + 9x2 = (1 + 3x)2

(1) ( 2 ) (3x) = 6x



A trabajar !!

Algunos ejercicios:

1. x2 + 6x + 9 =2. 16x2 + 8x + 1 =3. y2 + 10y + 25 =4. 81y2 - 180y + 100 =5. 81z2+ 108zw + 36w2 =6. 49x2 + 112x + 64 =7. 4y2 - 24y + 36 =

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.

Trinomio cuadrado de la forma

Explicación: Este trinomio debe cumplir con las siguientes

características: Debe estar organizado de forma

correspondiente (es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.


Existen dos números que :

es decir:

Ejemplos:

1.x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2) 4 x 2 = 8 Multiplicados dan 8 4 + 2 = 6 Sumados dan 6

1.x2 – 11x – 26 = (x – 13) (x + 2) -13 x 2 = -26 Multiplicados dan -26 -13 + 2= -11 Sumados dan -11

1.x2 -17x + 30 = (x – 15) (x – 2) -15 x -2 = 30 Multiplicados dan 301. -15 + -2 = -17 Sumados dan -17



A trabajar !!

Algunos Ejercicios:

1. x2 + 12x + 6 =

2. a2 – 24a + 15 =

3. f2 – 15f + 18=

4. x2 + 6x +5=

5. r2 – 12r +27=

6. m2 + 19m + 48=

7. w2 + 20w – 6=

Trinomio cuadrado de la forma:

Trinomio cuadrado de la forma

Explicación: Debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente (es decir, debe coincidir con la fórmula).

El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.


Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

De la siguiente forma:

luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

y se opera, dando como resultado:

y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior.

Ejemplo:

(12x2 + 16x – 3) = 12 (12x2 + 16x – 3) = (12x)2 + 16(12x) – 36 = (12x + 18) (12x

– 2)18 x -2 = -36 multiplicados dan -3618 + -2 = 16 sumados dan 16

(12x + 18)(12x – 2) 6(2x + 3) 2(6x – 1) ______________ = ______________ = (2x + 3)(6x – 1) 12 12



A trabajar !!

Algunos Ejercicios:

1. 4x2 + 7x + 3 =2. 4h2 + 5h + 1 =3. 2x2 + 5x -12 =4. 6x2 + 7x – 5 =5. 8x2 – 14x + 3 =6. 6a2 + 23ab – 4b2 =

Trinomio cuadrado de la forma:

Que divertido es factorizar!! Hagamos una ronda por ello… Heeeeeee!!!!!!!

Cubo perfecto de Binomios

Explicación:Teniendo en cuenta que los productos notables

nos dicen que:

y


Es decir que debe cumplir con las siguientes características:

•Debe tener cuatro términos. •Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos •Que el segundo término sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. •Que el tercer término sea más que el triple de la raíz cúbica del último .

Raíz cúbica de un monomio: Esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio:

Ejemplos:

• x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = / se saca raíz cúbica del 1º termino = x se saca raíz cúbica del 4to. término = z

x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = (x + z)3

• 8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 =

Raíz cúbica 1º término = 2m2n

Raíz cúbica 4to término = 4mn2

8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 = (2m2n + 4mn2)3

(x + z)3 = x3 + 3x2z + 3ab2 + b3



A trabajar !!

Algunos ejercicios:

1. (2x – 3z)3 =2. (5y + 1)3 =3. (2 + a2)3 =4. (1 – a)3 =5. m3 + 3m2n + 3mn2 + n3=6. 27 – 27x + 9x2 – x3 =7. c2 + 3c2 +3c + 1 =

Cubo perfecto de Binomios.

Aquí tienes ejercicios para trabajar!! Haz tu mayor esfuerzo!!

Suma o Diferencia de Cubos perfectos Explicación:

Para esto debemos recordar que:

y


Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

• La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. • La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplos:

• x3 + z3 = (x + z)(x2 – xz + z2) x3 – z3 = (x – z)(x2 + xz + z2) • 8m3 + z3 = (2m + z)(2m2 - 2mz + z2) 8m3 – z3 = (2m – z)(2m2 + 2mz + z2) • (b + 3)(b2 – 3b + 9) = b3 + 27(b - 3)(b2 + 3b + 9) = b3 - 27



A trabajar !!

Algunos Ejercicios:

n 9x3 + 27 =n 16m3 + 25n3 =n 4b3 – 1 =n 1 + 9x3 =n 9m3 – 3n3 =n 4w3 + 64z3 =n 25f3 + g3 =

Suma o Diferencia de Cubos perfectos.

Suma o Diferencia de dos potencias iguales

Explicación: Debemos tener en cuenta una pequeña

recapitulación de:

• es divisible por siendo n un número par o impar • es divisible por siendo n impar • es divisible por siendo n par • nunca es divisible por


Demostración:

se divide por:

y tenemos:

y obtenemos como respuesta:

)

Ejemplos:

x4 + z4 = x4 + z4/x + z = x3 – x2z + xz2 – z3

x4 + z4 = (x + z)(x3 –x2z + xz2 –z3) m6 + n6 = m6 + n6/m + n = m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5

m6 + n6 = (m + n)(m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5) b3 + c3 = b3 + c3/b+c = b2 – bc + c2

b3 + c3 = (b + c)(b2 – bc + c2)



A trabajar !!

Algunos ejercicios:

1. m3 + n3 =2. x4 – z4 =3. b2 + c2 =4. f6 – g6 =5. 27x3 + z3 =6. 4m2 – 2n2 =7. 6x3 + 12n3 =

Suma o Diferencia de dos potencias iguales.

Casos para Polinomios

Explicación: Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los

diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos.


Demostración:

resolviéndolo nos queda:

Ejemplos:

• Factorizar: ax + bx + aw + bw Agrupamos: (ax + bx) + (aw + bw) Factor común en cada binomio: x (a + b) + w (a + b) Factor común polinomio: (a + b) Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)

• Factorizar: 2x2 - 4xy + 4x - 8y Agrupamos: ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y ) Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y) Factor común polinomio: (x - 2y) Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)

• Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n ) Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n ) Factor común polinomio: ( 2n + 8m ) Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)



A trabajar !!

Algunos ejercicios:

mx + nx + mw + nw =af + bf + ag + bg =3x2 - 6xy + 3xy - 2y =2m2 – 7my + 3m - 9y =4x2 - 8xn + 2x – 6n =4x+y + 10x+y + 4x8x + 4y8y =2b+c + 8b+c + 3b8b + 3c8c =

Casos para Polinomios.

Ya estamos casi en el final sigue esforzándote por aprender queda muy poco!!…

Relación con la Geometría

El cuadrado: Polígono de 4 lados iguales. Sus segmentos se sacan ocupando la factorizacion de

cuadrados perfectos. Es decir, si el área de un cuadrado es:A2 + 2ab + b2. ¿Cuánto será el valor de sus lados?Área del cuadrado = lado2a2 + 2ab + b = (a + b)(a + b) / factorizacion. = (a + b)2

(a + b)

(a + b)


El rectángulo: Polígono de 4 lados. 2 y 2 lados iguales.Sus segmentos se sacan factorizando su área por una

diferencia de cuadrados.

Área rectángulo = base x altura(a2 – b2) = (a + b)(a – b) / factorizacion.Segmento 1= (a + b)Segmento 2= (a – b)

(a – b)

(a + b)

Vamos amigo.. Ahora es turno de que pongas tus conocimientos a prueba.. Ilumínate conmigo.. Buena suerte!! En tu I parte de la prueba..

Prueba Diagnostico: I parte.

Factorizar completamente cada polinomio:1. 2x2 - 12x + 102. 3x3 - 27x2 + 54x3. 4x2 - 32x + 604. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3

5. 4x2 - 30x + 146. 9y3 + 3y2 - 6y7. 20x3 - 5x8. 3x2 - 279. 2x3 - 1610. 24x3 + 3

Ver RespuestasCasos de factorización.

Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:

1. 2x2 - 12x + 10 = 2(x - 5)(x - 1)2. 3x3 - 27x2 + 54x = 3x(x - 3)(x - 6)3. 4x2 - 32x + 60 = 4(x - 5)(x - 3)4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3 = 2xy(x + 3y)(x - y)5. 4x2 - 30x + 14 = 2(2x - 1)(x - 7)6. 9y3 + 3y2 - 6y = 3y(3y - 2)(y + 1)7. 20x3 - 5x = 5x(2x + 1)(2x - 1)8. 3x2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3)9. 2x3 - 16 = 2(x - 2)(x2 + 2x + 4)10. 24x3 + 3 = 3(2x + 1)(4x2 - 2x + 1)

Atrás.

Vamos amigo.. Ahora es turno de que pongas tus conocimientos a prueba.. Ilumínate conmigo.. Buena suerte!! En tu II parte de la prueba..

Prueba diagnostico: II parte.Factorizar completamente cada polinomio1. 2x2 - 12x + 102. 3x3 - 27x2 + 54x3. 4x2 - 32x + 604. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3

5. 4x2 - 30x + 146. 9y3 + 3y2 - 6y7. 20x3 - 5x8. 3x2 - 279. 2x3 - 1610. 24x3 + 3

Ver RespuestasCasos de factorización.

Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:

1. 2x2 - 12x + 10 = 2(x - 5)(x - 1)2. 3x3 - 27x2 + 54x = 3x(x - 3)(x - 6)3. 4x2 - 32x + 60 = 4(x - 5)(x - 3)4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3 = 2xy(x + 3y)(x - y)5. 4x2 - 30x + 14 = 2(2x - 1)(x - 7)6. 9y3 + 3y2 - 6y = 3y(3y - 2)(y + 1)7. 20x3 - 5x = 5x(2x + 1)(2x - 1)8. 3x2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3)9. 2x3 - 16 = 2(x - 2)(x2 + 2x + 4)10. 24x3 + 3 = 3(2x + 1)(4x2 - 2x + 1)

Atrás.

Integrantes: - Daniel Belmar. (3ºmA) - Germán Soto. (3ºmA) Corregido por Carlos Ramos Fecha: Abril del 2009 Puedes personalizar tu propia presentación del tema de

factorización

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