factorizacion de polinomios

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APUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA FACTORIZACION DE POLINOMIOS. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común. a) Factor Común Monomio: Para factorizar monomios se realizara el siguiente procedimiento. 1) Factorizar los coeficientes por m.cd. 2) Factorizar la parte literal. Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones. 1) Factorización de los coeficientes: En este caso los coeficientes no tienen un término común y el m.c.d (1,2) es 1 Factorización de la parte literal: En este caso el único factor común es a. La solución entonces viene dada por: 2) Factorización de los coeficientes: En este caso se tiene que hallar el m.c.d (10,30), descomponiendo en factores Prof. Francisco J Araujo R

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APUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICAFACTORIZACION DE POLINOMIOS.CASO I: Cuando todos los trminos de un polinomio tienen un factor comn.Cuando se tiene una expresin de dos o ms trminos algebraicos y si se presenta algn trmino comn, entonces se puede sacar este trmino como factor comn.a) Factor Comn Monomio:Para factorizar monomios se realizara el siguiente procedimiento.1) Factorizar los coeficientes por m.cd.2) Factorizar la parte literal.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.1) 2a 2a + Factorizacin de los coeficientes:En este caso los coeficientes no tienen un trmino comn y el m.c.d (1,2) es 1Factorizacin de laparte literal: En este caso el nico factor comn es a.La solucin entonces viene dada por:2a 2a a(a 2a) + +2) 210b 30ab Factorizacin delos coeficientes:En este caso se tiene que hallar el m.c.d (10,30), descomponiendoenfactoresprimosytomandolosfactorescomuneselevadosala menor potencia se obtiene que m.c.d (10,30)=10Factorizacin de laparte literal: En este caso el nico factor comn es b.La solucin entonces viene dada por: 210b 30ab 10b(1 3ab) 3) 2 2 2 32bx 2b x 3b x + Factorizacin de los coeficientes:En este caso los coeficientes no tienen un trmino comn y el m.c.d (3,2) es 1Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICAFactorizacindelaparteliteral:Enestecasotenemos comofactor comnel trmino bx.La solucin entonces viene dada por: 2 2 2 3 22bx 2b x 3b x bx(2x 2b 3bx + + 4) 3 2 2 3 2 293a x y 62a x y 124a x + Factorizacin de los coeficientes:En este caso se tiene que hallar el m.c.d (93, 62, 124), descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia se obtiene que m.c.d (93, 62, 124)=31Factorizacindelaparteliteral:Enestecasotenemos comofactor comnel trmino2a xLa solucin entonces viene dada por: 3 2 2 3 2 2 2 293a x y 62a x y 124a x 31a x(3axy 2axy 4) + + 5) 24 15 12 21 16 9a y a y a y + Factorizacin de los coeficientes: En este caso el factor comn es 1 Factorizacindelaparteliteral:Paraobtener factor comndelaparteliteral primerosedebehallarelm.c.d de los exponentes de cada trmino. Para el caso del trmino a se tiene m.c.d (24, 12, 16) = 4 y para el trmino y m.c.d (15, 21, 9) = 3, por lo tanto el factor comn de la parte literal es 4 3a yLa solucin entonces viene dada por: 24 15 12 21 16 9 4 3 20 12 8 18 12 6a y a y a y a y (a y a y a y ) + + Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICAb)FactorComnPolinomio:Para factorizar polinomiosse deber hallar el binomioo polinomio de la expresin dada que es comn para los dems trminos.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.1) a(x y) b(x y) ++ En esta expresin los trminos a y b tienen como factor comn el binomio (x y) +, por lo tanto la solucin viene dada por: a(x y) b(x y) (x y)(a b) ++ + 2) a(x 2) x 2 + Para poder factorizar la expresin dada primero debemos hacer una manipulacin, factorizando el signo menosque acompaa a x ya 2, nos queda entonces:a(x 2) (x 2) ++

Expresin en la cual se ve de manera ms clara que se tiene como factor comn elbinomio (x 2) +, por lo tanto la solucin viene dada por:a(x 2) (x 2) (x 2)(a 1) ++ + 3) 2 2(a b 1)(a 1) a 1 ++Para poder factorizar la expresin dada primero debemos hacer una manipulacin, factorizando el signo menos que acompaa2a 1, nos queda entonces 2 2(a b 1)(a 1) (a 1) +++Expresinenlacual sevedemaneramsclaraquesetienecomofactor comnel binomio 2(a 1) + , por lo tanto la solucin viene dada por:2 2 2 2(a b 1)(a 1) (a 1) (a 1)(a b 1 1) (a 1)(a b 2) +++ + + + + Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICACASO II: Factor comn por agrupacin de trminos. En una expresin de dos, cuatro, seis o un nmero par de trminos es posible asociar por medio de parntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al nmero de trminos de la expresin original. Se debe dar que cada uno de estos parntesis que contiene dos, o tres o mas trminos se le pueda sacar un factor comn y se debe dar que lo que queda en los parntesis sea lo mismo para todos los parntesis o el factor comn de todos los parntesis sea el mismo y este ser el factor comn.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.1) ax bx ay by + + + Al observar detalladamentelaexpresindadasepuedeapreciar quelos dos primeros trminos tienen a x como factor comn y los dos ltimos trminos tienen a y como factor comn, por lo tanto podemos reescribir la expresin como: x(a b) y(a b) + + +y en esta expresin el binomio (a b) + es factor comn del trminox y del trmino y por lo que la solucin viene dada por: ax bx ay by x(a b) y(a b) (a b)(x y) + + + + + + + +La expresin dada tambin puede ser factorizadaconsiderando el primer y tercer trmino tienen como factor comna a y el segundo y cuarto trmino tienen como factor comn a b , podemos entonces reescribir la expresin dada como: a(x y) b(x y) + + +y en esta expresin el binomio (x y) + es factor comn del trminoa y del trmino b por lo que la solucin viene dada por: ax bx ay by a(x y) b(x y) (a b)(x y) + + + + + + + +2) 22x 3xy 4x 6y +Observando la expresin dada podemos notar que el primer y el tercer trmino tienen como factor comna2x yel segundoycuartotrminotienencomofactor comna3y, reescribiendo se tiene:2x(x 2) 3y( x 2)++,factorizando signo menos en la Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA( x 2)+ se tiene: (x 2) por lo tanto nos queda: 2x(x 2) 3y(x 2) , expresin que tiene como factor comn el binomio (x 2) , por lo tanto la solucin es:22x 3xy 4x 6y (2x 3y)(x 2) + 3) 2 2 2 3 2a x ax 2a y 2axy x 2x y + + Enlaexpresindadasepuedenagrupar los trminosdevariasmaneras enestecaso agruparemos de la siguiente manera: primer y tercer termino, segundo y quinto termino y finalmente cuarto y sexto termino, tenemos entonces:Agrupacin de primer y tercer trmino: Tienen como factor comn el trmino 2a.Agrupacin de segundo y quinto trmino: Tienen como factor comn el trmino 2x. Agrupacin de cuarto y sexto trmino: Tienen como factor comn el trmino 2xy.Reescribiendo se tiene: 2 2 2 3 2 2 2a x ax 2a y 2axy x 2x y a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) + ++ Siobservamosdetalladamentetodava podemos seguirfactorizado,yaqueelsegundo y tercer trmino tienen como factor comn el binomio (a x) , por lo tanto:2 2 2 2a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) a (x 2y) (a x)( x 2xy)+++ +En esta ltima expresin aun podemos factorizar un poco ms ya que en 2( x 2xy)+se tiene axcomo factor comn, nos queda entonces:2 2 2a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) a (x 2y) (a x)x( x 2y)+++ + , y en esta expresin resultante factorizando el signo menos se tiene al binomio (x 2y) como factor comn, por lo que tiene:2 2 2a (x 2y) x (a x) 2xy(a x) (x 2y)(a (a x)x)++ El resultado final es:2 2 2 3 2 2 2a x ax 2a y 2axy x 2x y (x 2y)(a ax x ) + + +Nota: La forma enque se agruparonlos trminos noes nica, se le recomienda al estudiante que agrupe los trminos de manera diferente para verificar que se obtiene el mismo resultado.Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICACASO III: Trinomio Cuadrado Perfecto.Antes de entrar en detalle sobre este caso es recomendable que el estudiante tenga claro algunos conceptos bsicos necesarios para poder reconocer y factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Entre esos conceptos bsicos se tienen los siguientes:Cuadrado Perfecto: Se dice que una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad,es decir, cuando es el producto de dos factores iguales.Ejemplo: 29b Es cuadrado perfecto porquees el cuadrado de3b, es decir: ( )229b 3b Raz Cuadrada de un Monomio: Para extraer la ras cuadrada de un monomio se extrae la raz cuadrada de su coeficiente y el exponente de la parte literal se divide entre dos.Ejemplo: Extraer la raz cuadrada de 4 649a bSolucin: 4 64 6 2 3 2 249a b 7a b 7a b| ` | ` . , . , Trinomio Cuadrado Perfecto: Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomio iguales.Ejemplo: 2 2 2(x y) (x y)(x y) x 2xy y + + + + +Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.Untrinomioes cuadradoperfectocuandoel primeroytercer trminossoncuadrados perfectos y positivos, y el segundo es el doble producto desus races cuadradas.Ejemplo: Dado 2 225x 10xy y + +determine si es un Trinomio Cuadrado Perfecto.Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICAPara determinar si es un trinomio cuadrado perfecto debemos aplicar la regla anterior, para ellodebemosdeterminar si el primerytercer trminosoncuadradosperfectosysi el segundo trmino es el doble producto de las races cuadradas del primer y tercer monomio.2225x 5xy y2*5x * y 10xySecumplenlascondiciones por lotanto2 225x 10xy y + + es untrinomiocuadrado perfecto.Regla para factorizar un trinomio es cuadrado perfecto.La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raz cuadrada al primer y tercer trminos del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio as formado, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.1)2 2a 2ab b+ Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.Clculo de las races cuadradas del primer y tercer trmino.2 2a ab b Doble producto de las races:2*a *b 2ab Si es un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:2 2 2a 2ab b (a b)+ 2) 2 216a 40ab 25b + + Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.Clculo de las races cuadradas del primer y tercer trmino.Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA2 216a 4a25b 5b Doble producto de las races:2*4a *5b 40ab Si estamos en presencia de un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:2 2 216a 40ab 25b (4a 5b) + + +3)8 4a 18a b 81 + + Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.Clculo de las races cuadradas del primer y tercer trmino.88 4 2a a =a 81 9| ` . , Doble producto de las races: 4 42*a *9 18a Si estamos en presencia de un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:8 4 4 2a 18a b 81 (a 9) + + +4) 46 3 2y16x 2x y16 +Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.Clculo de las races cuadradas del primer y tercer trmino.464 4 2 26 3 2y y y y16x 4x =4x 16 4 4 16| ` | `. , . , Doble producto de las races: 23 3 2y2*4x * 2x y4Si estamos en presencia de un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:24 26 3 2 3y y16x 2x y 4x16 4| ` + . ,Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICACASO IV: Trinomio de la forma 2x bx c + +.Para poder factorizar un trinomio de la forma 2x bx c + + se deben cumplir las siguientes condiciones:1) El coeficiente del primer trminoes 1.2) El primer trmino es una letra cualquiera elevada al cuadrado.3) El segundo trmino tiene la misma letra que el primero pero con exponente uno y su coeficientees una cantidad cualquiera, positiva o negativa.4) El tercer trmino es independiente de la letra que aparece en elprimer y segundo trmino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.Regla para factorizar un trinomio de la forma 2x bx c + +.1) Sedescomponeendos factores binomios cuyoprimer trminoes x, osealaraz cuadrada del primer trmino del trinomio.2) En el primer factor, despus de x se escribe el signo del segundo trmino del trinomio, y en el segundo factor, despus de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo trmino por el signo del tercer trmino.3) Si los dos factores binomios tienen en medios signos iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio, mismos que sern los segundos trminos de los binomios.4) Si los dos factores binomios tienen en medios signos distintos, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICAel valor absoluto del tercer trmino del trinomio. El mayor de estos nmeros es el segundo trmino del primer binomio, y el menor es el segundo trmino del segundo binomio.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.1)2x 6x 9 + +Pasos:21 2x 6x 9 (x )(x ) o o + + + +1 26 o o + 1 2* 9 o o En este ejercicio es fcil ver que los valoresson:1 23 o o por lo tanto la solucin es:2x 6x 9 (x 3)(x 3) + + + +2)2x 3x 10 + Pasos:21 2x 3x 10 (x )(x ) o o + + 1 23 o o + 1 2* 10 o o Enesteejercicioesfcil ver quelosvaloresson:1 25y 2 o o por lotantola solucin es:2x 3x 10 (x 5)(x 2) + + 3)2x 6x 216 + Pasos:21 2x 6x 216 (x )(x ) o o + + 1 26 o o(I)1 2* 216 o o (II)Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICAEn este ejercicio no es tanfcil encontrar los valores de1 2 y o oque cumplan con las ecuaciones dadas anteriormente, una forma de hallarloses descomponer en factores primos el tercer trmino y variando los factores formar combinaciones al tanteo, hasta hallar los nmeros buscados.En nuestro caso aplicaremos la frmula para hallar las races de una ecuacin de segundo grado, es decir:2b b 4acx2a t Ennuestro ejercicio tenemos:26 6 4( 216) 6 900 6 302 2 2o ttt Obtenemos entonces dos valores para o, dichos valores son -18 y 12, tomamos los valores absolutos de estos nmeros, es decir,1 218y 12 o o por lo tanto la solucin es:2x 6x 216 (x 18)(x 12) + + CASO V: Trinomio de la forma 2ax bx c + +.Para factorizar este tipo de trinomios realizaremos lo siguientes pasos.1) Multiplicar el trinomio por el coeficiente del primer trmino, dejando indicado el producto de aporbx2 2 2a(ax bx c) (a x b(ax) ac) + + + +2) Reescribimos la expresincomo: 2(ax) b(ax) ac + +y aplicamos el procedimiento empleado para factorizar trinomios de la forma2x bx c + +Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.1) 26x 7x 2 + +Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICAPasos:2 2 26(6x 7(6x) 2) (6 x 7(6x) 12) + + + +2(6x) 7(6x) 12 + +A partir de este momento se trabaja con el procedimiento para factorizar trinomios de la forma2x bx c + +, es decir,21 2(6x) 7(6x) 12 (6x )(6x ) o o + + + +1 27 o o + (I)1 2* 12 o o (II)Enesteejercicioesfcil ver quelosvaloresson:1 24y 3 o o por lotantola solucin es:2(6x) 7(6x) 12 (6x 4)(6x 3) + + + +Pero como inicialmente multiplicamos por 6, se debe dividir por 6 para obtener la solucin final, tenemos entonces:2(6x 4)(6x 3)6x 7x 26+ ++ + Como ninguno de los binomios es divisible por 6, se descompone el 6 en 2 * 3, para tener:(6x 4)(6x 3) (6x 4)(6x 3) (6x 4) (6x 3)(3x 2)(2x 1)6 2*3 2 3+ + + + + + + +Finalmente el resultado buscado es:26x 7x 2 (3x 2)(2x 1) + + + +2) 220x 7x 6 + Pasos:2 2 220(20x 7x 6) (20 x 7(20x) 120) + + Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA2((20x) 7(20x) 120) + A partir de este momento se trabaja con el procedimiento para factorizar trinomios de la forma2x bx c + +, es decir,21 2((20x) 7(20x) 120) (20x )(20x ) o o + + +1 27 o o(I)1 2* 120 o o (II)En este ejercicio no es tanfcil encontrar los valores de1 2 y o oque cumplan con las ecuaciones dadas anteriormente, una forma de hallarloses descomponer en factores primos el tercer trmino y variando los factores formar combinaciones al tanteo, hasta hallar los nmeros buscados.En nuestro caso aplicaremos la frmula para hallar las races de una ecuacin de segundo grado, es decir:2b b 4acx2a t Ennuestro ejercicio tenemos:27 7 4( 120) 7 529 7 232 2 2o ttt Obtenemos entonces dos valores para o, dichos valores son -15 y 8, tomamos los valores absolutos de estos nmeros, es decir,1 215y 8 o o por lo tanto la solucin es:2((20x) 7(20x) 120) (20x 15)(20x 8) + + Perocomoinicialmentemultiplicamospor 20, sedebedividir por 20paraobtener la solucin final, tenemos entonces:2(20x 15)(20x 8)20x 7x 620+ + Como ninguno de los binomios es divisible por 20, se descompone el 20 en 4 * 5, para tener:2(20x 15)(20x 8) (20x 15) (20x 8)20x 7x 6 (4x 3)(5x 2)4*5 5 4++ + + Finalmente el resultado buscado es:Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA220x 7x 6 (5x 3)(4x 2) + + CASO VI: Factorizacin por Completacin de cuadrados.Se dice que enuntrinomiocuadradode la forma2ax bx c + +con a 0 > , se ha completadocuadrados, sisehanencontradotresnmerosreales ,o, yi talquese cumpla:( )22ax bx c x o i + + + +Donde: ( )22 2 2x x 2 x o o o + + +por lo tanto:2 2 2 2ax bx c x 2 x o o i + + + + + Igualando los coeficientes de los trminos semejantes se tiene;2a a bb 2 2 a2 ao o 222b bc c4a 2 ao i i i| ` + + . ,Ejemplo: Completar cuadrados en el siguiente trinomio24x 8x 5 + Si aplicamos las frmulas anteriores se tiene:Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA4 2 8 822*2 4o 28 645 5 5 4 94*4 16i Por lo tanto el resultado de completar cuadrados en la expresin dada es:( )224x 8x 5 2x 2 9 + + Procedimientoparacompletarcuadrados en un trinomio de la forma2ax bx c + +sin hacer uso de las frmulas anteriores:1) Obtener factor comn del coeficiente del trmino 2x2 2b cax bx c a x xa a| `+ + + + . ,2) Multiplicar y dividir por 2 el trmino bxa2 2b cax bx c a x 2 x2a a| ` | `+ + + + . ,. ,3) Elevar al cuadradoal coeficiente b2a y sumarlo y restarlo a la expresin2 22 2b c b bax bx c a x 2 x2a a 2a 2a| `| ` | ` | `+ + + + + . , . , . ,. ,4) Seleccionar de la expresinresultante los trminos correspondiente a unproducto notable de la forma 2 2 2(a b) a 2ab b + + +Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA2 22 2b b b cax bx c a x 2 x2a 2a 2a a| `| `| ` | ` | `+ + + ++ . , . , . ,. ,. ,222b b cax bx c a x2a 2a a| `| `| ` | `+ + ++ . , . ,. ,. ,Ejemplo: Completar cuadrados en el siguiente trinomio24x 8x 5 + Siguiendo los pasospara completar cuadrado se tiene:1) 2 2 28 5 54x 8x 5 4 x x 4 x 2x4 4 4| ` | `+ + + . , . ,2) 2 2 22 5 54x 8x 5 4 x 2 x 4 x 2x2 4 4| ` | ` | `+ + + . , . ,. ,3) 2 254x 8x 5 4 x 2x 1 14| `+ ++ . ,4)( ) ( )22 25 94x 8x 5 4 x 2x 1 1 4 x 14 4| ` | `+ + + + . , . ,Si queremos verificar que el resultado es el mismo que obtuvimos por frmula realizamos las operaciones algebraicas necesarias:( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 9 94 x 1 4 x 1 4 4 x 1 9 2 x 1 2 x 1 94 4| `+ + + + + . ,Prof. Francisco J Araujo RAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 94 x 1 2 x 1 2 x 1 9 2x 2 2x 2 9 2x 2 94| `+ + + + + + . ,Por lo tanto el resultado de completar cuadrados en la expresin dada es:( )224x 8x 5 2x 2 9 + + Prof. Francisco J Araujo R