La factorizaciónes el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de dos o más

factores. La factorización deshace lo que la

multiplicación hace, convirtiendo una expresión que podría ser

complicada, en el producto de dos o más expresiones (factores) que son típicamente

más sencillas

 

Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los

términos y agruparlos.Los factores comunes son aquellos números que

aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.

Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.

Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores,

de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.

 

En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada,

resulta útil, por lo general,el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.

Por ejemplo, 2x³ + 8x²y se puede factorizar, o reescribir,

como 2x ²(x + 4y).Algunos ejemplos: Dada la expresión 

   ab² + 3cb - b³ podemos factorizar  b

y obtenemos la expresión:   b(ab + 3c - b³)

Si multiplicamos (2x + 5)(x + 3) el resultado es 2x² +11x + 15, lo cual

tiene más términos que cualquiera de los dos factores que multiplicamos y es de mayor grado (2) que ambos

factores (que son de grado 1). En este caso decimos que

2x² +11x + 15

puede ser factorizado como

(2x + 5)(x + 3)

La factorización será útil para simplificar algunas expresiones como la suma de fracciones y la

división de polinomios. También puede usarse para determinar las soluciones de una ecuación. Ahora estudiaremos algunas técnicas que nos

facilitan hallar una factorización de unaexpresión algebraica dada. Para aprovechar mejor

este material es necesario dominar la destrezade multiplicar expresiones.

Es preferible factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de la siguiente manera:

Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores

obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más).

Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las

factorizaciones delpaso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0si hay una factorización en la que el factor

no aparezca.

Primero: Factorizamos los términos:

15a3b5c6 = 3 ×5 × a3 × b5 ×c6

25ab2c2 = 52a × b2 × c2

10a2b4c3 = 2 ×5 ×a2 ×b4 ×c3

Hallar el FCM de (15a3b5c6, 25ab2c2 , 10a2b4c3)

Segundo: Formar el FCM.

Los factores presentes son 2, 3, 5, a, b, & c. Lamenor potencia de 2 que aparece es 20 (pues el 2 no aparece entodas las factorizaciones), la de 5 es 51, la de 3 es 30, la de a es

a1, la de b es b2, y la de c es c3. Entonces el FCM es

20 × 51 ×30 × a1 × b2 × c3 = 5ab2c3

Factoriza completamente los siguientes polinomios:

1) 18a3b + 9abc2 - 27ab4c3

2) -4x 3y2 +14xy3 z + 8xy 4 z2

3) 9xy + 3y 2w

4) 15a - 25b

Hay algunas multiplicaciones de polinomios cuyos resultados son productos sencillos. Si recordamos estas multiplicaciones, al ver uno de tales productos podremos dar su factorización.

Algunos de estos productos son:

1) (x + y)(x - y) = x 2 - y2

2) (x + y)(x + y) = x 2 + 2xy + y2

(Productos Notables)

DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES (Factorización)    

1) Factor común monomio ac + ad = a(c + d)

2) Trinomio cuadrado perfectoa2 + 2ab + b2 = (a + b)2   a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

3) Forma an  _  bn

a2 – b2 = (a + b)(a – b)   a2 + b2 = Irreductible en IR

4) Trinomio cuadrado perfecto x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)  

 

Factorizar las siguientes expresiones:

a)  6x – 3y = 2(3)x – (3)y = 3(2x – y)

b)  –4xy + 8x = –(4x)y + 2(4x) = 4x(–y + 2)

c)  9a2 + 27ab = (9a)a + (9a)3b = 9a(a + 3b)

d)  5x3y – 10x2y2 + 15xy3 = (5xy)x2 – (5xy)2xy + (5xy)3y2

                                            = 5xy(x2 – 2xy + 3y2)

FACTOR COMUN MONOMIO

ac + ad = a(c + d)

 

Ejemplos:

a)  x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3x) +(3)2 = (x + 3)2

b)  x2 + 8x + 16 = x2 + 2(4x) + (4)2 = (x + 4)2

c)  x2 – 6x + 9 = x2 – 2(3x) +(3)2 = (x – 3)2

d)  x2 – 8x + 16 = x2 – 2(4x) + (4)2 = (x – 4)2  

Trinomio cuadrado perfecto

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2   a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

 

TIPO a2 – b2

a)  x2 – 1 = x2 – 12 = (x – 1)(x + 1)

b)  4x2 – 16 = (2x)2 – 42 = (2x – 4)(2x + 4)   TIPO a2 + b2

a) x2 + 1      No se puede factorizar en IR

b) x2 + 25      No se puede factorizar en IR

Forma an  _  bn

a2 – b2 = (a + b)(a – b)   a2 + b2 = Irreductible en IR

 

TIPO a3 – b3 a)  x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 9)

b)  x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)     TIPO a3 + b3 a)  x3 + 1 = x3 + 13 = (x +1)(x2 – x + 1)

b)  x3 + 125 = x3 + 53 = (x + 5)(x2 – 5x + 25)  

 

Estos ejercicios se desarrollan por Tanteo.

a)  x2 – 7x + 6 = x2 + (–1 – 6) x + (–1)( –6) = (x – 1)(x – 6) b)  x2 + 9x + 20 = x2 + (5 + 4)x + (5)(4) = (x + 5)(x + 4)

c)  x2 – x – 2 = x2 + (1 – 2)x + (1)( –2) = (x + 1)(x – 2)

d)  x2 – 6x + 8 = x2 + (–2 – 4)x + (–2)( –4) = (x – 2)(x – 4)  

Trinomio cuadrado perfecto

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

 

…y ahora a resolverAlgunos ejercicios, para Aplicar los contenidos aprendidos…

 

51

4

1

4

1

4) ma mb mc

61

5

1

10

1

153 2) x x x

1) a2b - ab2 = 2) 6p2q + 24pq2 = 3) 12x3y - 48x2y2 = 4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn=

FACTORIZAR

 

7) x2 - 8x + 16 = 8) 16y2 + 24y + 9 = 9) 36a2 - 12a + 1 = 10) 4x2 + 20xy + 25y2 = 11) 16x2 - 25y2 = 12) 144 - x2y2 = 13) 36 - 25a2 = 14) 25 - 4a2 = 15) 16m2n2 - 9p2 = 16) x2 - 4x + 3 = 17) x2 - 2x - 15 = 18) x2 - 7xy - 18y2 = 19) 12 - 4x - x2 = 20) 5x2 - 11x + 2 = 21) 6x2 - 7x - 5 =  

22) 12x2 + 17x - 5 = 23) 7u4 - 7u2v2 = 24) kx3 + 2kx2 - 63kx = 25) 5x3 - 55x2 + 140x = 26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 = 27) 7hkx2 + 21 hkx + 14hk = 28) wx2y - 9wxy + 14wy = 29) 2x3 + 10x2 + x + 5 = 30) px + py + qx + qy = 31) 3x3 + 12x2 – 2x – 8 = 32) 3x3 + 2x2 + 12x + 8 = 33) x3 – 27 = 34) 125x3 + y3 = 35) 8y3 + z3 = 36) 64 – y3 =

 

51

4

61

5

1

2

1

32

) ( )

) ( )

m a b c

x x x

  

Respuestas:  1) ab(a - b) 2) 6pq(p + 4q) 3) 12x2y(x - 4y) 4) 9mn(m + 2n - 3)

19) (6 + x)(2 - x) 20) (5x - 1)(x - 2) 21) (3x - 5)(2x + 1) 22) (4x -1)((3x + 5) 23) 7u2(u2 - v2) = 7u2(u + v)(u - v) 24) kx(x2 + 2x -63) = kx(x + 9)(x - 7) 25) 5x(x2 - 11x +28) = 5x(x - 4)(x - 7) 26) 4m2(n2 + 6n - 7) = 4m2(n + 7)(n - 1) 27) 7hk(x2 + 3x + 2) = 7hk(x + 1)(x +2) 28) wy(x2 - 9x + 14) = wy(x - 2)(x - 7) 29) (2x2 + 1)(x + 5) 30) (p + q)(x + y) 31) (3x2 – 2)(x + 4) 32) (x2 + 4)(3x + 2) 33) (x – 3)(x2 + 3x + 9) 34) (5x + y)(25x2 – 5xy + y2) 35) (2y + z)((4y2 – 2yz + z2) 36) (4 – y)(16 + 4y + y2)

7) (x - 4)2 8) (4y + 3)2 9) (6a - 1)2 10) (2x + 5y)2 11) (4x - 5y)(4x + 5y) 12) (12 + xy)(12 - xy) 13) (6 + 5a)(6 - 5a) 14) (5 + 2a)(5 - 2a) 15) (4mn + 3p)(4mn - 3p) 16) (x - 3)(x - 1) 17) (x - 5)(x + 3) 18) (x - 9y)(x + 2y

 

Y….¿COMO LES FUE?....