factorizacion

FACTORIZACION 1

FACTOR ALGEBRAICOUn polinomio “F” no constante será factor algebraico

de “P” si y sólo si “P” es divisible por “F.

Ejemplos:

P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2

Son factores algebraicos de P(x):

FACTOR PRIMOUn polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si

“F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.

Ejemplos:

P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2 (x + 5)6

Son factores primos de P(x):

P(x) = (x) (x + 2)6 (x – 1)2

Son factores primos de P(x):

FACTORIZACIÓNEs el proceso de transformación de un polinomio en

una multiplicación indicada de sus factores primos o sus

potencias.Multiplicación

P(x) = x2 + 3x + 2 º (x + 1) (x + 2)

Factorización

CRITERIOS PARA FACTORIZAR

POLINOMIOS

Factor Común

Consiste en buscar factores comunes a todos los

términos de un polinomio para luego extraerlos a su

menor exponente.

Ejemplos:

1. Factorizar:

P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + xy

2. Factorizar:

A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

AGRUPACIÓNConsiste en agrupar términos convenientemente

tratando que aparezca algún factor común.

Ejemplos:

1. Factorizar:x2 + x + xy + y – xz – z

2. Factorizar:x2 + ax + x + xy + ay + y

ASPA SIMPLEForma general de polinomio a factorizar: m, n ÎN

P(x,y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m

P(x) = Ax2n + Bxn + C

Ejemplos:

1. Factorizar:2x2 + 7xy + 6y2

2. Factorizar:(x + y)2 – 2 (x + y) + 1

M A T E M Á T I C A

TEOREMA

Sean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre sí, tal

que:

P(x) = f ( x )n . g( x )

p

i) Números factores primos = 2

ii) Números factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) – 1

Ejemplo: Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4)

i) Números factores primos =

ii) Números factores algebraicos =

Método: Agrupación de Términos

Factorizar:

1. a + a2b + ab2 + b

2. ab – bx + ay – xy

3. xw + y – x – yw – z + zw

Luego de factorizar indicar el número de factores primos:

4. 1 + mn + x(m + n) – (mn + 1) x – m – n

5. abx3 + b2x2 – a2x2 – a2bx – abx + a3

Método: Identidades algebraicas

Factorizar:

1. a6 – b6

Indicar el número de factores primos lineales

2. x5 – 4x3 + x2 – 4

El número de factores primos:

3. a7 + m3a4 – a3m4 – m7

Factorizar y dar como respuesta la suma de los factores

primos:

4. (1 + ax)2 – (a + x)2

Indicar el número de factores binomios:

5. a2x2 – b2x2 – a2y2 + b2y2

Hallar la mayor suma de coeficientes de uno de los

factores primos.

6. (a + b) (a – b) + (c + d) (c – d) + 2(ac – bd)


Método: Aspa simple

Factorizar e indicar la suma de los factores primos:

1. a4 – 25a2 + 144

2. 18x4 + 19x2y2 – 12y4

3. abx2 + (a – 2b)x – 2

4. a(a – 1)x2 + (3a – 5)x – 10

1. Factorizar: x2y + x2z

A) x(y + z) D) x2(y2 + z)

B) x2(y + z) E) z(y2 – z3)

C) x2(y – z)

2. Factorizar: P(x) = x2 y – x2 + y – 1

A) (y + 1) (x2 + 1) D) (y – 1) (x + 1)

B) (y – 1) (x2 + 1) E) (y – 1) (x2 – 1)

C) (y + 1) (x + 1)

3. Factorizar: – m – n + x(m + n)

A) (m + n)(x + 1) D) (m + n)(2 – x)

B) (m + n)(x – 1) E) (m + n)(x – 2)

C) (m + n)(x + 2)

4. Factorizar: a2 – 10a + 25

A) (a + 5)(a – 5) D) (a + 5)(a – 5)

B) (a + 5)2 E) N.A.

C) (a – 5)2

5. Factorizar:

116 – 25m2; e indicar uno de los factores

A) (

116 + 5m2) D) (

14 + 5m)

B) (

14 + 5m2) E) Más de una

C) (

14 – 5m2)

6. Hallar el número de factores primos y el número de

factores algebraicos de:

R = 2a3(a – b)3(b + 1)2

A) 4, 95 C) 5, 24 E) N.A.

B) 3, 47 D) 4, 26

7. Hallar el número de factores algebraicos de:

M = (a4 – b4)2


A) 26 B) 54 C) 81 D) 243 E) N.A.

8. ¿Cuántos factores primos tiene x7 – 2x?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

9. El número de factores primos de:

(x–3) (x–2) (x–1) + (x–2) (x–1) – (x–1)

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10. Uno de los factores de: zy + xy – x – z es:

A) x + 1 C) xy + xz + zy E) N.A.

B) x + z + zy D) x + z

11. Al factorizar el polinomio:

x2 – y2 + 2yz – z2 – 8x + 16

la suma algebraica de los términos independientes

de los factores primos es:

A) –8 B) 8 C) 4 D) –4 E) 0

12. Al factorizar: a2 + 2ab – m2 + b2,

uno de sus factores es:

A) a + b C) a – b – m E) N.A.

B) a + b – m D) b – m

13. En cuántos factores primos se puede descomponer:

x12 – 1

A) 3 B) 2 C) 5 D) 4 E) 6

14. ¿Cuántos factores primos presenta el polinomio P(x)?

P(x) = 1 + x + x2 + x3

A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5

15. Factorizar: 4am3 – 12amn – m2 + 3n


A) (4am – 1)(m2 + 3n)

B) (4am + 1)(m2 + 3n)

C) (4am + 1)(m2 – 3n)

D) (4am – 1)(m2 – 3n)

E) N.A.

16. Factorizar: 27a3 – b3, e indicar un factor primo.

A) 3a – b

B) 9a2+3ab+b2

C) 3a + b

D) 9a2–3ab+b2

E) Más de una

17. Factorizar: 8x6 + 7x3 – 1; e indicar el número de

factores primos que son trinomios.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

18. Cuántos factores en total posee al factorizar:

m2 (m2 + 3n2)2 – n2 (n2 + 3m2)2

A) 3 B) 8 C) 7 D) 9 E) 15

19. Factorizar: 1 + 14x2y + 49x4y2; e indicar el número

de factores primos.

A) 2 B) 4 C) 1 D) 3 E) N.A.

20. El número de factores de: (b2 + 4m2)2 – 16b2m2 ;es

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

21. Factorizar: E = a5 + a2b3 – a3b2 – b5 e indicar el

número de factores primos.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

22. Factorizar: mn x2 + mx + nx + 1, e indicar un factor:


A) x + m C) n + n E) N.A.

B) x + n D) mx + 1

23. Factorizar: (mx + n)2 – (nx + m)2, e indicar el

número de factores algebraicos en total:

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

24. Luego defactorizar: a3 – x2 (a – 1) + a2 (b – 1) – bx2,

indicar un factor primo.

A) b + x C) x + 1 E) x + a

B) a + b D) b + 1

25. Indicar el factor primo de segundo grado de:

P = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

A) x2 C) 2x2 E) x2 + 2

B) x2 + 1 D) x2 – 1

26. Luego defactorizar: (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4, indicar la

suma de sus factores primos.

A) 4(x + 1) C) 2(x + 1) E) N.A.

B) 3(x + 1) D) 4x

27. Factorizar:

a2b + a2 + a + 2ab + b + b2 + ab2,

e indicar un factor primo

A) a + b C) a + b2E) Más de una

B) b + 1 D) a + b + 1

28. Al factorizar: (mx – ny)2 – (my – nx)2 se obtienen

cuatro factores primos lineales, indicar uno de ellos.

A) m + 1 C) y + 1 E) Más de una

B) m + y D) x + y

29. Señale un factor primo de: 3nx2 – 4(n–3)x + n – 4

A) x + n C) nx + 1 E) 3x – n

B) 3x + n D) 3x – 1

30. Factorizar:


A(x,y) = (x + y) (x – y) + 2x + 1, e indicar la suma de

factores primos.

A) 2x + 1 C) 2x + 3 E) 2x + 4

B) 2x – 1 D) 2x + 2

31. Indicar un factor primo de:

E = ap2x – apx2 + ap – bx + bp – ax + bp2x– bpx2

A) p + x C) px + 1E) Más de una

B) a + b D) px – 1

32. Luego defactorizar: (x2 + 7x + 5)2 + 3x2 + 21x + 17,

indicar un factor primo.

A) x + 7 C) x + 1E) x2 + 7x + 5

B) x2 + x + 1 D) 2x + 1

33. Luego de factorizar:

ab(m + 1) (m – 1) – (a – b) (a + b) m

uno de los factores es:

A) am – b C) bm – a E) am – b

B) ab – m D) ab + m

34. Indicar un factor primo de:

a(a2 + bc) + c(a2 + b2) – b3

A) a + b + c C) a + b – c E) N.A.

B) a – b – c D) a – b + c

35. Factorizar: a(1 – x3) – x(a2 + a – x) + 1 e indicar el

factor binómico:

A) 1 + x C) ax + 1 E) N.A.

B) x – a D) 1 – ax

36. Factorizar: abx2 – (2a –3b)x – 6

e indicar el término independiente de uno de los

factores.

A) –1 B) 3 C) 2 D) –6 E) N.A.


MÉTODO DE LOS DIVISORES

BINOMIOSSe utiliza para factorizar polinomios de cualquier

grado que aceptan factores de primer grado.

Factorizar: P(x) = x3 + 4x2 + x – 6

1

0

P(x) =

Factorizar: P(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24

2

0

P(x) =

MÉTODO DEL QUITA Y PON

1. Factorizar: x4 + x2 + 1

T.C.P

Dif. De cuadrados

(x2 + 1 + x) (x2 – 1 – x)

Þ x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1) (x2 – x + 1)

2. Factorizar: 1 + 4n4

T.C.P.

(1 + 2n2)2 – (2n2) Dif. De cuadrados

(1 + 2n2 + 2n) (1 + 2n2 – 2n)

Þ 1 + 4n4 = (2n2 + 2n + 1) (2n2 – 2n + 1)

Factorizar e indicar el número de factores primos:

1. x3 + 6x2 + 11x + 6

2. x3 + 3x2 – 6x – 8

3. x3 + 2x2 – 5x – 6

4. 12x5 – 8x4 – 13x3 + 9x2 + x – 1

Factorizar:

5. x4 + x2y2 + y4

6. m4 + 4n4

Factorizar:

M A T E M Á T I C A7. x(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1

8. (x – 1) (x2 – 4) (x + 3) + 3

9. (x + 1) (x + 3)2 (x + 5) – 5

MISCELÁNEA

10. ab2 + ac2 + a2b + bc2 + b2c + a2c + 2abc

11. (a + b) (a + c) – (b + d) (c + d)

12. 3x3 – 13x2 + 13x – 3

13. x6 + x5 + x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1

14. (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3

15. a2 (b – c) + b2 (c – a) + c2 (a – b)

1. Factorizar e indicar el número de factores primos

x3 + 2x2 – x – 2

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

2. x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

M A T E M Á T I C A3. Indicar la mayor suma de coeficientes de uno de los

factores primos: 6x4 + 5x3 – 14x2 + x + 2

A) 4 B) 5 C) 6 D) 2 E) N.A.

4. Indicar el número de factores luego de factorizar:

x7 + x6 – x5 – x4 – x3 – x2 + x + 1

A) 12 B) 23 C) 18 D) 15 E) N.A.

5. Factorizar e indicar uno de los factores primos

4a16 + b8

A) (2a8 – 2a4b2 + b4) D) (2a8 – 2a4b2 + 3)B) (2a8 – 2a4b2) E) (2a8 – 2a4b2 + 3b2)

C) (2a8 + b4)

6. Factorizar e indicar el número de factores primos

n4 + 2n2 + 9

A) (n2 – 2n + 6) D) (n2 – n + 3)

B) (n2 – 2n + 3) E) (n2 – 2n3 + 3)

C) (n2 – 2n + 9)

7. Hallar la mayor suma de coeficientes de uno de los

factores primos: 4m4 – 29m2 + 25

A) 4 B) 5 C) 6 D) 2 E) N.A.

8. Descomponer e indicar uno de los factores:

x(y2 + z2) + y(x2 + z2) – z (x2 + y2) – 2xyz

A) x + y C) x + z E) N.A.

B) y + z D) x + y + z

9. Factorizar: E = a5 – 3a4 – a + 3

e indicar el número de factores lineales.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

10. Factorizar: x4 – 13x2 + 36

e indicar el factor que tiene el mayor valor numérico

para cualquier valor de x.

A) x + 1 C) x + 3 E) N.A.

B) x + 2 D) x + 4


11. Factorizar: a6 + a5 + a3 + a – 1

e indicar el V.N. de un factor primo si a = –2

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

12. Factorizar: (ax – by)2 – (ay – bx)2

indicar un factor primo

A) a + x C) b + x E) y – b

B) a – x D) x – y

13. Factorizar: (x+y+z+w)2 – 4(x+y) (z+w) – 1

e indicar uno de sus factores.

A) x + y + z + w – 1

B) x + y + z + w + 1

C) x – y + z – w – 1

D) x – y – z + w + 1

E) N.A.

14. Factorizar: 16x8 – 17x4 + 1

e indicar el número de factores primos lineales.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

15. Factorizar: x3 + (a + b – 1)x2 + (ab–a–b)x – ab e

indicar el número de factores primos lineales.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

16. Factorizar: ab(x + y)2 + xy(a – b)2

e indicar un factor de la suma de sus factores

primos.

A) x + y C) ay + bx E) N.A.

B) ax + by D) a + x + b + y


17. Factorizar: a(b+c)2 + b(a+c)2 + c(a+b)2 – 4abc

e indicar la suma de sus factores.

A) 2(a+b+c) C) a+b+c E) N.A.

B) 2(ab+bc+ac) D) ab+bc+ac

18. Factorizar: x(xy + z2 – x2) + y(xy + z2 – y2)

e indicar uno de los factores.

A) x + y C) y + z E) N.A.

B) z + x D) x + y + z

19. Factorizar: (a2 + b2)2 – a2b2 – (a – b) (a3 – b3)

e indicar el número de factores primos.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.

20. Indicar la mayor suma de coeficientes de uno de sus

factores primos:

(x+1) (x+2) (x+3) + (x+2) (x+3) (x+4) (x+5)

A) 30 B) 3 C) 4 D) 31 E) N.A.

21. Factorizar e indicar uno de sus factores primos de:

2 [4x (x – 1) + 1] (x – 2) + 2 (3x – 2)

A) x + 1 C) x – 1 E) N.A.

B) x + 2 D) x – 2

22. Factorizar:

z4 – z3 – 6z2 + 4z + 8

e indicar un factor primo.

A) z + 1 C) z – 1 E) Más de una

B) z + 2 D) z – 2


23. Al factorizar indicar el factor primo trinomio de:

2n4 + 5n3 + 2n2 – n – 2

A) 2n3 + n2 – 1 D) n3 + n – 1

B) 2n3 – n2 + 1 E) 2n3 + 2n – 1

C) n3 – n + 1

24. Al factorizar el número de factores binomios:

x3 + 2x2 – 5x – 6

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

25. Factorizar:

x5 + x4 + 2x2 + 1

A) (x2 – x + 1) (x3 + 2x2 + x + 1)

B) (x2 + x – 1) (x3 – 2x2 + x – 1)

C) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + 2x + 1)

D) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + x – 2)

E) (x2 – x + 1) (x3 + 2x2 – x + 1)

26. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de uno

de sus factores primos:

M(x, y) = (x – y) (x – 3y) (x + 4y) (x + 6y) + 40y4

A) –10 B) –12 C) –5 D) –6 E) N.A.

27. Factorizar: x3(1+y) + y3(1+x) + xy(x+y) e indicar el

número de factores de segundo grado.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A.

28. Factorizar:

x3 + y3 + z3 + x (y2 + z2) + y (x2 + z2) + z(x2 + y2)

luego indicar un factor:

A) x + y + z C) xy+xz+yz E) x+y+z+1

B) xyz D) xyz + 1


29. Factorizar: x(x2 + xy – 1) – y(y2 + xy – 1)

e indicar el V.N. de uno de los factores para: x = 3 e

y = –2

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A.

30. Factorizar: x3 + 6x2 + 3x – 10

A) (x + 10) (x + 1) (x – 2)

B) (x – 1) (x + 2) (x + 5)

C) (x – 1) (x – 2) (x + 5)

D) (x + 1) (x + 5) (x + 1)

E) N.A.

31. Factorizar: x3 + 6x2 + 15x + 14

A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)

B) (x + 2) (x + 3) (x + 4)

C) (x – 2) (x2 – 4x + 7)

D) (x + 2) (x2 + 4x + 7)

E) N.A.

32. Indicar uno de los factores primos:

(a + b + c) (ab + bc + ac) – abc

A) a + b C) a + c E) Más de una

B) b + c D) a – c

33. Indicar un factor primo: abcx2 – (a2b2 + c2)x + abc

A) cx – ab C) cx + ab E) N.A.

B) bx– ab D) ax – bc

34. Indicar uno de los factores: 1 + 2xy – x4 – y4 – x2 y2

A) xy + 1 + x2 + y2 D) xy – 1 – x2 + y2

B) xy – 1 + x2 + y2 E) xy + 1 + x2 – y2

C) xy + 1 – x2 + y2

35. Factorizar: (x2 + 3x + 1)2 – 3x2 – 9x – 13

e indicar la suma de los factores lineales.

A) 2x + 3 C) 2x + 5 E) N.A.

B) 2x – 3 D) 2x – 5


36. Factorizar: (x4 – x3 + x2 – x + 1)2 – x4

e indicar el número de factores primos lineales.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

37. Factorizar: (x + y)4 – x4 – y4 – 2xy3 e indicar el

número de factores primos de primer grado.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

38. Factorizar: 22m+5 – 3.2m+2 – 35 e indicar un factor

primo.

A) 2m+2 + 7 C) 2m+2 – 5 E) N.A.

B) 2m+2 + 5 D) 2m+2 – 7

39. Factorizar x5 + x4 + 1 e indicar un factor.

A) x2 + x + 1 C) x2 – x + 1 E) N.A.

B) x2 – x – 1 D) x2 + x – 1

40. Factorizar x5 + x – 1 e indicar un factor.

A) x2 + x + 1 C) x2 – x + 1 E) N.A.

B) x2 – x – 1 D) x2 + x – 1

factorizacion

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