control digital
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control digital de una levitaciónTRANSCRIPT
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CONTROLADOR DIGITAL PARA UNA PLANTA DE LEVITACIÓN MAGNÉTICA CON UN
GRADO DE LIBERTAD
CAMILO HERRERA GARZÓN
RAFAEL RICARDO ROMERO TORRES
TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE INGENIERO ELECTRÓNICO
DIRECTORES
ING. DIEGO ALEJANDRO PATIÑO, M Sc, Ph.D
ING. CARLOS NORBERTO PÉREZ MONTENEGRO M. Sc.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA
BOGOTÁ D.C.
NOVIEMBRE 2010
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RECTOR MAGNÍFICO:
JOAQUÍN SÁNCHEZ GARCÍA S. J.
DECANO ACADÉMICO:
Ing. FRANCISCO J. REBOLLEDO M.
DECANO DEL MEDIO UNIVERSITARIO:
SERGIO BERNAL RESTREPO S. J.
DIRECTOR DE CARRERA:
Ing. JUAN MANUEL CRUZ
DIRECTORES DEL TRABAJO DE GRADO:
Ing. DIEGO PATIÑO M. Sc, Ph. D.
Ing. CARLOS PÉREZ M. Sc.
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ARTÍCULO 23 DE LA RESOLUCIÓN N° 13 DE JUNIO DE 1946
“La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus trabajos de
grado. Solo velara porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque los trabajos
no contengan ataques o polémicas puramente personales. Antes bien que se vea en ellos el anhelo de
buscar la verdad y la justicia”
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Agradecimientos
Quisiera agradecer a todas las personas que me apoyaron incondicionalmente en este arduo proceso de
estudio y de crecimiento en mi vida. Primero que todo agradezco a Dios por darme una oportunidad
invaluable y la disciplina para terminar mis estudios. También a mis padres Berry Herrera Monroy y
Bertha Camila Garzón, quienes me han enseñado a superar las adversidades de una forma adecuada
siguiendo los principios y valores inculcados durante toda mi vida, y además agradezco enormemente todo
lo que soy en este momento porque se los debo a ellos.
A su vez quiero agradecer a los ingenieros Diego Alejandro Patiño y Carlos Norberto Pérez por sus
enseñanzas y su paciencia en este trabajo de grado. Por último quiero agradecer a Miguel Ernesto Vega,
Juan Matías Vidal y Liliana Guarnizo quienes me ayudaron mucho en este último proceso de trabajo de
grado.
Camilo Herrera Garzón
Deseo expresar mis más profundos agradecimientos a una serie de personas cuya orientación, ayuda y
apoyo incondicional, a lo largo de estos 5 años, han hecho posible este trabajo de grado para optar por el
título de ingeniero electrónico. En primer lugar deseo expresar mi más sincero agradecimiento a mi Padre
y a mi Madre, Rafael Obdulio Romero Padilla y Clara Inés Torres Gonzales que me han entregado todo su
amor y atención, brindándome una formación llena de principios éticos y morales, enseñándome a ser
comprometido y dar lo mejor de mí en todo lo que mi nombre lleve plasmado. Igualmente a mis segundos
Padres, que son mis Hermanas, las cuales siempre me han prestado su apoyo en los momentos difíciles,
sabiéndome aconsejar cuando la salida a algún problema no me era tan obvia.
Por último desearía expresar mi agradecimiento a los profesores de la facultad de ingeniería electrónica,
de quienes siempre recibimos sus orientaciones, conocimientos, quienes pusieron todo su saber en
beneficio de los alumnos que nos formábamos como estudiantes de la facultad de ingeniería,
ensenándonos el gusto por la ciencia y la investigación para formar a los mejores profesionales en
ingeniera electrónica del país. Me siento muy orgulloso de haber culminado mis estudios en tan
prestigiosa universidad.
Rafael Ricardo Romero Torres.
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Contenido
1. INTRODUCCIÓN GENERAL .........................................................................................................7
2. MARCO TEÓRICO ..........................................................................................................................9
2.1 Estado del Arte ..........................................................................................................................9
2.2 Modelo del Sistema ................................................................................................................ 11
2.2.1 Sistemas no lineales ........................................................................................................ 11
2.2.2 Modelo Lineal ................................................................................................................. 11
2.2.3 Función de Transferencia ................................................................................................ 12
2.2.4 Modelo en Espacio de Estados ........................................................................................ 13
2.3 Fenómenos No Lineales ......................................................................................................... 14
2.3.1 Saturación ........................................................................................................................ 14
2.3.2 Retardos ........................................................................................................................... 14
2.4 Teoría de Control .................................................................................................................... 14
2.4.1 PID .................................................................................................................................. 15
2.4.2 Anti-windup ..................................................................................................................... 16
2.4.3 Realimentación de estados .............................................................................................. 17
2.4.4 Teoría de estimación ....................................................................................................... 17
2.5 Cambio de Operadores Lineales ............................................................................................. 18
2.5.1 Elección del tiempo de muestreo ..................................................................................... 18
2.5.2 Operadores Lineales en tiempo discreto ......................................................................... 19
2.6 Métodos de Discretización para los controladores ................................................................. 19
2.6.1 Transformada Z ............................................................................................................... 19
2.6.2 Diferencias Hacia Adelante (Forward - Euler) ............................................................... 19
2.6.3 Diferencia Hacia Atrás (Backward) ................................................................................ 20
2.6.4 Transformación bilineal (Tustin) ..................................................................................... 21
2.6.5 Método de discretización Zero Order Hold .................................................................... 21
2.6.6 Aproximación por mapeo de polos y ceros ..................................................................... 22
3. VALIDACIÓN DE MODELO....................................................................................................... 23
3.1 Modelo .................................................................................................................................... 23
3.2 Protocolo de toma de datos ..................................................................................................... 25
3.3 Herramienta para la validación ............................................................................................... 27
3.4 Resultados ............................................................................................................................... 29
3.5 Elección del tiempo de muestreo máximo .............................................................................. 30
6
4. DISEÑO DE CONTROLADOR CON ANTI-WINDUP ................................................................ 31
4.1 Control proporcional ............................................................................................................... 31
4.2 Control Integral -proporcional ................................................................................................ 33
4.3 Controlador Proporcional-Derivativo ..................................................................................... 34
4.4 Controlador Proporcional, Integral y Derivativo .................................................................... 35
4.5 Control con ganancia proporcional para controlar sobre pico causado por ceros finitos ....... 42
4.6 Control PI con filtro de segundo orden ( ) ...................................................................... 46
4.7 Estudio del tiempo de muestreo y ecuaciones diferencia ....................................................... 54
5. DISEÑO EN ESPACIO DE ESTADOS POR UBICACIÓN DE POLOS .................................... 62
5.1 Realimentación de estados continuo con seguimiento de referencia ...................................... 62
5.2 Diseño en espacio de estados por ubicación de polos en tiempo discreto .............................. 65
5.3 Observador de Estado Discreto .............................................................................................. 70
5.4 Sistemas de seguimiento Servo system ................................................................................... 73
5.5 Servo System de comparación completa de estados ................................................................ 76
5.6 Implementación ...................................................................................................................... 79
5.7 Observador de Estados Modificado ........................................................................................ 81
5.8 Servo System de comparación completa de estados con integrador modificado .................... 83
5.9 Implementación Servo System de comparación completa de estados en el sistema digital .... 88
6 ELECCIÓN DE HARDWARE ...................................................................................................... 89
6 CONCLUSIONES.......................................................................................................................... 93
7 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 96
7
1. INTRODUCCIÓN GENERAL
La implementación de sistemas de levitación magnética se ha enfocado en gran variedad de
aplicaciones como en sistemas de transporte, generadores y actuadores de precisión para uso industrial
[21]. La manipulación de la densidad de flujo magnético ha mostrado una serie de ventajas
significativas como la no abrasión, no fricción, que conllevan a una larga duración de materiales y a
prescindir del uso de lubricantes, entre otras. Una aplicación común es el uso de motores eléctricos,
donde la fuerza electromagnética evita el contacto mecánico entre el rotor y el estator. Una planta de
levitación magnética es la plataforma para el estudio de la tecnología de levitación magnética y puede
usarse como base de exploración hacia dispositivos más avanzados [9]. Estos sistemas son
inherentemente inestables y además tienen una dinámica no lineal [8], debido a esto es necesario
abordar técnicas de control como PID, realimentación de estados entre otros, para controlar diferentes
variables de la planta.
La mayoría de los sistemas de control en la actualidad se implementan en sistemas digitales, es por
esto que se puede confiar en sistemas incorporados como computadores de propósitos específicos para
cerrar lazos realimentados [5]. Recientemente, la aplicación de sistemas digitales en control, ha
permitido el movimiento inteligente de robots industriales, la optimización del consumo de
combustible en automóviles y el refinamiento de la fabricación de enseres [14]. La tendencia actual es
controlar los sistemas dinámicos de forma digital en lugar de la analógica, ya que estos sistemas son
confiables y muy resistentes a cambios en el entorno, además pueden realizar tareas en paralelo. Los
controladores digitales pueden ser reprogramados para realizar diferentes tareas, mientras que el
controlador análogo una vez configurado es muy difícil modificarlo [12]. En el momento que se
realiza un filtro con unas características eléctricas dadas, se puede afirmar que en un sistema análogo
es difícil obtener un factor de calidad alto, debido a las impedancias parásitas y a otras limitaciones,
mientras que en un sistema digital no ocurre lo mismo. Otra complicación es que los integradores
análogos siempre están limitados por las corrientes de fuga asociadas a los capacitores de los
dispositivos, mientras que los integradores digitales pueden acercarse al modelo matemático ideal. A
medida que la estrategia de control incrementa su complejidad se vuelve más difícil aplicar
componentes analógicos para su implementación [5].
Teniendo en cuenta las anteriores afirmaciones que caracterizan la justificación del proyecto, es
pertinente enfatizar que el objetivo principal de este capítulo es mostrar una perspectiva general al
lector sobre lo que se va a desarrollar en el trabajo de grado, dando a conocer los puntos de partida
para el desarrollo de los objetivos del mismo.
En el trabajo de grado “Diseño e implementación de una planta de levitación magnética con
desplazamiento en dos dimensiones” [4], se construyó la planta de levitación magnética véase la
figura 1, y además se implementó un controlador que estabilizó el sistema respecto a una referencia
mediante la tarjeta de adquisición de datos NI –DA Q PCI 6024E de National Instruments ® y el
módulo Real Time Windows Target con Simulink ® , el cual permite ejecutar modelos en tiempo real
y tener una interface con dispositivos externos. A pesar de que el control implementado en el trabajo
de grado mencionado logra estabilizar el sistema, carece de una justificación teórica valida del diseño
de la ley de control y de un correcto análisis del desempeño. Además diversas pruebas han mostrado
que este controlador es poco robusto frente a perturbaciones externas, como la iluminación. En este
trabajo de grado, el controlador se desarrollará sobre un sistema digital para el cual no será necesario
el uso de un sistema operativo, tarjetas de adquisición de datos o un software matemático; esto
permite realizar una implementación que requiere menos hardware y a su vez un menor consumo de
energía. Se escogió trabajar sobre esta planta para poder enfocar el trabajo de grado en el estudio del
área de control, ya que implementaciones mecánicas no formarán parte del proyecto, además las leyes
de control implementadas serán justificadas teóricamente y de manera detallada.
8
La identificación y validación del modelo se especificará para el movimiento en una sola dirección
(eje vertical). Se tendrán en cuenta características de respuesta como tiempo de subida, tiempo de
establecimiento y saturaciones físicas para la implementación de las leyes de control que se
desarrollarán en este trabajo de grado.
Con el modelo matemático identificado, se seguirán los siguientes pasos:
a) Obtención de las ecuaciones de estado.
b) Determinar si el sistema es controlable y observable.
c) Análisis de los requerimientos mínimos del controlador.
Fig 1. Planta de levitación magnética [4].
El sistema digital será escogido teniendo en cuenta: el tamaño de memoria disponible, la cantidad de
puertos de entrada y salida (I/O), el tipo de convertidores A/D y D/A (según la velocidad de
conversión y de la resolución que se necesite) y la clase de compilador. Otra característica que se debe
tener en cuenta es el voltaje de operación que debe tener el sistema digital, ya que el actuador que
controla las bobinas tiene como señal de control una referencia análoga con valores entre 0 y 5 voltios,
la cual será suministrada por el sistema digital. El rango de elección del dispositivo estará acotado por
la familia de microcontroladores dsPIC30F de Microchip®, esto es debido a que es la única familia de
MCUs de Microchip® de 16 bit que tienen un voltaje de operación desde 2.2V hasta 5.5V [11]. Se
escogió este fabricante ya que anteriormente se ha trabajado con dispositivos de esta marca. Para
representar el modelo del sistema en tiempo discreto, se realizará un estudio de ventajas y desventajas
para diferentes técnicas matemáticas, así mismo se hará para el tiempo de muestreo.
Para observar el comportamiento de los controladores diseñados se utilizará un software de
simulación, con el objetivo de confirmar los cálculos hechos previamente para su posterior
implementación en el sistema digital. Las estrategias de control que se utilizarán son realimentación
de estados, la cual permite diseñar el controlador en espacio de estados y un controlador diseñado
mediante la función de transferencia con control de saturación, el cual impide la acumulación de la
señal del error, deshabilitando la parte integral cuando existe un rango limitado de operación en la
planta o en los actuadores, para así evitar saturaciones en el control.
Comparar técnicas de control, utilizando realimentación de estados y control con anti-windup en la
planta del levitador magnético con un grado de libertad implementándolos en un controlador digital,
identificar el modelo de la planta, seleccionar el sistema digital sobre el cual se van a implementar el
controlador e implementar métodos de control sobre la planta existente mediante un sistema digital,
son los objetivos propuestos para este proyecto.
9
2. MARCO TEÓRICO
2.1 Estado del Arte
Con respecto a los levitadores magnéticos, estos han sido ya ampliamente trabajados tanto a nivel
nacional como internacional. En la Pontificia Universidad Javeriana, sin embargo, no existen muchos
trabajos sobre este sistema. A continuación se presentarán algunos artículos que evidencian diferentes
avances.
En el artículo [18] se presenta un método de aproximación para simplificar el cálculo del campo
magnético para un control en tiempo real en un dispositivo de levitación magnética. Generalmente se
muestran métodos convencionales que modelan el campo, los cuales involucran soluciones numéricas
mediante ecuaciones diferenciales no lineales. Para la solución de estas ecuaciones se debe invertir
mucho tiempo computacional, de esta forma descalifica el método para aplicaciones en tiempo real.
Un modelo matemático rápido y confiable también se presenta en el artículo [18], llamado pivot point,
el cual desarrolla la predicción de la distribución del campo magnético. Este modelo se desarrolla con
base en la geometría de un estator magnético y su patrón de magnetización. Experimentos muestran
que la aplicación del método mejora la precisión del sistema de levitación en una respuesta a entrada
paso, tanto en el seguimiento de la trayectoria, como en la reducción del tiempo de establecimiento. El
artículo anteriormente mencionado se trata de un método numérico, mientras que el artículo [9]
presenta un método distinto para controlar el sistema de levitación magnética, teniendo en cuenta la no
linealidad del modelo y su desarrollo.
Basados en el principio de levitación magnética, el artículo [9] deriva el modelo matemático del lazo
de corriente de la bobina y del lazo de posición en el sistema experimental de levitación magnética
maglev con un solo grado de libertad. El sistema descrito en el proyecto es una planta de
comportamiento no lineal, la posición vertical es la variable que se debe controlar, respecto a estos
parámetros es posible hallar las ecuaciones no lineales que describen el sistema. Las ecuaciones
lineales se encuentran realizando una linealización al modelo no lineal. Luego de la linealización
cerca del punto de operación, el modelo lineal es un sistema de fase no mínima, ya que existe un cero
en el costado derecho del plano complejo. Para las características no lineales del sistema maglev, un
controlador PID fuzzy se implementa a través de la combinación de un control PID tradicional y un
control con tecnología fuzzy, el cual se diseña usando el software de MATLAB. Los resultados de la
simulación muestran que la respuesta paso de la posición de la bola tiene menos tiempo de respuesta.
Sin embargo, debido a la complejidad de los algoritmos del control fuzzy, se tienen que realizar
muchos cálculos adicionales.
A nivel nacional aparecen también algunos trabajos a nivel aplicativo. Una base ejemplar del estudio
de los modelos de levitación magnética se evidencia en Alemania y Japón donde se han desarrollado
sistemas de transporte masivo de pasajeros mediante un uso alternativo de la energía eléctrica; dentro
de algunas de las ventajas a resaltar se encuentra la velocidad de operación, la cual supera fácilmente
los 400 km/h. En el artículo Levitación magnética, alternativa al transporte de pasajeros [15] se
presentan los resultados de un proyecto de investigación, que tiene como propósito adaptar a la
realidad Colombiana los hallazgos dados en los países mencionados, teniendo en cuenta, entre otros
aspectos, la geografía colombiana y el avance tecnológico con el que se cuenta actualmente. La idea
básica era construir un motor sincrónico lineal para la propulsión del vehículo, y usar sistemas
electrónicos para controlar la distancia a que levita éste con respecto a la pista sobre la cual se
desplaza [15].
Otro avance significativo en el país sobre el estudio de levitación magnética se muestra durante el
desarrollo del proyecto nombrado sistema de levitación magnética utilizando un modelo experimental
no lineal de la fuerza magnética presentado en el IX Congreso latinoamericano de control automático
donde se han vinculado 20 estudiantes pertenecientes a programas de Tecnología Mecánica, Eléctrica
10
y Electrónica; así mismo se han realizado exposiciones de resultados parciales a nivel nacional en
eventos tales como: expo-ciencia expo-tecnología, Semana Tecnológica y diferentes seminarios.
También se han publicado 9 artículos técnicos directamente relacionados con la ejecución del
proyecto, una traducción y una presentación internacional en las XIV Jornadas Internacionales de
Energía. El grupo de investigación en levitación magnética se constituyó en 1999 con la financiación
de su primer proyecto de investigación titulado “Construcción de un prototipo de banda transportadora
con accionamiento magnético para aplicación industrial”, del cual se presentan resultados en [10]. El
propósito final del proyecto es construir una banda transportadora de 7 m de longitud con una
capacidad de carga equivalente a 80 Kg. Para ello ha sido indispensable diseñar y construir un motor
sincrónico lineal, así como el diseño e implementación de distintas estrategias de control para
sustentar el vehículo de transporte y la construcción de un sensor específico para la medida de la
distancia de levitación. El proyecto desarrollado forma parte de las actividades del Proyecto Curricular
de Tecnología Eléctrica de la Facultad Tecnológica de la Universidad Distrital y cuenta con el apoyo
de los laboratorios relacionados con la ejecución de sus actividades, la dirección administrativa de la
Facultad y el financiamiento del Centro de Investigaciones y Desarrollo Científico de la Universidad
Distrital F.J.C [10]. Siguiendo la línea de investigación nacional, a continuación se presenta el trabajo
de grado desarrollado en la Pontificia Universidad Javeriana en el 2009, el cual fue base de estudio
para este trabajo de grado.
En el último proyecto de levitación magnética presentado a la Pontificia Universidad Javeriana, se
diseñó una planta con un arreglo de 10 bobinas, que conmutan por medio de un secuenciador para
generar el movimiento horizontal del objeto con propiedades ferro magnéticas. Además, se tiene una
estructura sólida de acrílico donde se alojan las bobinas y los sensores. El control de la planta en
tiempo real se hace por medio de una interfaz gráfica desarrollada en Simulink [4] y corresponde a un
controlador por ubicación de polos con un realimentador de estados de orden mínimo. Cuando se usa
una interfaz gráfica como puede ser Matlab o Lab-view siempre hay que asegurar que el sistema de
procesamiento de estas interfaces sean en tiempo real debido a que si existen retardos, que son
comunes en módulos de adquisición de datos, lleva a que la respuesta del control sea la incorrecta para
el tiempo actual. Por tal motivo se recomienda siempre usar los módulos de tiempo real de las
interfaces anteriormente mencionadas debido a que estas garantizan que el muestreo y el
procesamiento actúen simultáneamente [4].
El objetivo de este capítulo consiste en proveer las herramientas necesarias para la comprensión del
documento y enfocar los conceptos de la teoría del control, para el cumplimiento de los objetivos a
desarrollar en este trabajo de grado. En este informe el lector encontrará el procedimiento por el cual el
proyecto presentado desarrolla la teoría de control, con propuestas distintas a las mostradas en los
artículos enunciados anteriormente. La diferencia entre este trabajo y los realizados radica en los
controladores propuestos, esto debido a que las configuraciones presentadas no se encuentran en
ninguno de estos trabajos y que son producto del desarrollo de la teoría de control para la resolución de
inconvenientes específicos, evidenciados en las características de respuesta del sistema planteado.
Específicamente el control con un filtro implementado tiene una topología de control de sobre impulso
y el sistema de seguimiento o Servo System por comparación completa de estados. Adicional a esta
diferencia la implementación de los controles en un sistema digital autónomo, se presenta como una
mejora en el proyecto, debido a que en la implementación es posible asegurar la duración continua en
el tiempo de muestreo, de esta forma se asegura un procesamiento en tiempo real. Además las ventajas
adicionales de espacio y costo, se pueden evidenciar en la implementación. Con la ayuda de la teoría de
control, se desarrollarán varias alternativas de control discreto para el sistema de levitación magnética
[4], que pueden servir como base sólida para una posible aplicación a nivel industrial.
11
2.2 Modelo del Sistema
Partiendo de la definición de modelo en ingeniería, según la real academia española 1 , el modelo es
un esquema teórico generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, que
se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento. El modelamiento de un
sistema es necesario para enfocar el estudio en el fenómeno en cuestión y es necesario hacer una
abstracción del mismo, de lo contrario si se consideran la mayoría de las características del fenómeno
a estudiar, se haría muy complicada la resolución del problema que se quiere resolver.
2.2.1 Sistemas no lineales
Todos los sistemas físicos son no lineales en su comportamiento, debido a que ningún sistema en la
naturaleza es ideal. Existen regiones donde debe escogerse un área de trabajo específica con el fin de
hallar su equivalente lineal y trabajar en ella [16]. La planta de levitación magnética es ejemplar
respecto a la no linealidad de su sistema de ecuaciones, es por esto que se encuentra una región de
operación en la cual se debe trabajar. Un punto de operación se define como un punto para el
sistema si tiene la propiedad que cuando el estado del sistema comienza en permanece en
para todo tiempo futuro, es decir y [16].
2.2.2 Modelo Lineal
Existen poderosas herramientas para analizar sistemas lineales, en este orden de ideas es necesario
obtener un punto de operación válido en el sistema y trabajar en una región lineal que permita utilizar
dichas herramientas, este proceso se conoce como linealización. Sin embargo, este proceso trae
consigo dos limitaciones importantes. Debido a que la linealización es una aproximación en la
vecindad de un punto de operación, esta solo puede describir el comportamiento del sistema en esta
región y ciertamente no se puede predecir el comportamiento global a través del rango completo de
operación. Sumado a esto, es fácil evidenciar que la dinámica de un sistema no lineal es mucho más
compleja que la de un sistema lineal, de esta forma no puede asumirse una descripción general del
sistema utilizando modelos netamente lineales [16]. De esta forma para la aplicación de este modelo
es necesario tener en cuenta estas características con sus respectivas restricciones.
En la fig. 2.1 se aprecia la estructura y secuencia básica que debe tener el diseño de controladores,
donde la primera etapa nombrada como identificación y simplificación de modelos, consiste en hallar
el modelo referente al sistema de levitación magnética, primero con ecuaciones no lineales y luego
con su correspondiente sistema lineal en un punto de operación especificado. La siguiente etapa hace
referencia al diseño de los controladores, donde la base del estudio es la teoría de control. Y la última
etapa consiste en las pruebas experimentales de los diseños y modelos planteados.
Fig. 2.1 Ruta del Diseño de Controladores para sistemas no lineales [16].
1 DICCIONARIO DE LA LENGUA ESPAÑOLA - Vigésima segunda edición,
Identificación y simplificación de modelos
Modelo No
Lineal
Modelo
Lineal
Diseño del
Controlador
Prueba del
Controlador
12
Un sistema lineal es de la forma:
Donde son coeficientes constantes y la salida del sistema depende de las variables con
y su relación es lineal. Si la salida del sistema no puede representarse en términos de la
ecuación se dice que el sistema es no lineal.
Generalmente para realizar la linealización de la función es necesario conocer el modelo no lineal de
la planta, así escoger un punto de operación y tomar la recta tangente a la curva en dicho punto.
Suponiendo que se desea aproximar el comportamiento de este sistema a un sistema cuya región de
operación se encuentra alrededor de un punto se emplean las series de Taylor cuyo desarrollo se
muestra en [16]. En la figura 2.2 se puede evidenciar gráficamente el modelo lineal en el punto de
operación, respecto al modelo no lineal.
Fig. 2.2 Aproximación de Sistemas No Lineales [16].
2.2.3 Función de Transferencia
La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e
invariante con el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida
(función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la
suposición de que todas las condiciones iniciales son cero [13].
Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación
diferencial:
Donde es la salida del sistema y es la entrada.
13
La función de transferencia de este sistema se obtiene tomando la transformada de Laplace de ambos
miembros de la ecuación , bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o
bien,
A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema
mediante ecuaciones algebraicas en . Si la potencia más alta de en el denominador de la función de
transferencia es igual a el sistema se denomina sistema de n-ésimo orden [13].
2.2.4 Modelo en Espacio de Estados
El comportamiento de los componentes en la mayoría de los sistemas dinámicos, se rigen por leyes
físicas de la materia que también son usadas para determinar el modelo matemático y particularmente
para determinar el modelo en espacio de estados [16]. El estado de un sistema depende de un conjunto
de variables linealmente independiente. Un conjunto de variables es linealmente independiente si es
imposible encontrar un conjunto de constantes que satisfagan la ecuación exceptuando el caso en
que todas las constantes sean cero [16].
El número de variables de estado representa el orden del sistema. Un sistema dinámico modelado por
espacio de estados está representado por:
Donde es el número de entradas y es el
número de salidas, es llamado el vector de estados, es llamado el vector de salida, es llamado el
vector de entradas, es la matriz de estados, es la matriz de entrada, es la matriz de salida y es
la matriz de transición directa [16].
14
2.3 Fenómenos No Lineales
2.3.1 Saturación
Un problema que presentan los controles lineales, es el comportamiento no lineal de los actuadores del
proceso, ya que muchos de estos dispositivos actuadores tienen un rango limitado de operación. Por
ejemplo, las válvulas tienen una posición completamente abierta, una posición completamente cerrada
y un comportamiento entre estos extremos que puede ser lineal o no lineal, una característica típica se
puede observar en la fig. 2.3 [6].
Fig. 2.3 Comportamiento típico de un actuador [6].
En el caso específico del proyecto a desarrollar, los actuadores son los electroimanes de la planta de
levitación magnética, que a su vez tienen una saturación física tanto en corriente como en las
características magnéticas mismas de los núcleos de los electroimanes.
2.3.2 Retardos
En sistemas físicos el efecto de retardo se entiende como el tiempo que se demora la salida en tomar el
valor esperado después de aplicar una entrada válida [16]. Para sistemas como la planta de levitación
magnética, este fenómeno no es evidente presenciarlo, ya que la naturaleza del control en el sistema
requiere que los tiempos de respuesta sean del orden de centésimas de segundo, véase figura 2.4.
Fig. 2.4 Característica no lineal por retardo [16].
2.4 Teoría de Control
La teoría de control y la ingeniería de control tienen como fundamento manejar la dinámica de
procesos en diversas áreas. Es bien sabido, que los procesos presentan un número importante de
variables dependientes, estas variables deben ser controladas con el fin de obtener un comportamiento
deseado del sistema. Para un control funcional del sistema es necesario tener en cuenta los parámetros
ligados al mismo (entradas, perturbaciones, puntos de equilibrio, etc.). Ahora bien, para relacionar e
interactuar las entradas con las salidas se debe implementar un control por realimentación, en el cual
el control correctivo aplicado a la entrada del sistema se genera a través de medidas en la salida de
Actuador
completamente
abierto
Señal de Control uc(t) a
la unidad del actuador
Actuador
completamente
cerrado
Salida Actuador, uA(t)
Entrada
Salida
15
este. Usar control digital en un sistema facilita la utilización de cálculos complejos en la teoría, e
impulsa la implementación de circuitos lógicos y funciones no lineales en forma manejable. Un
beneficio de usar sistemas digitales es poder almacenar datos referentes al comportamiento del mismo
como un archivo útil para determinar fallas, errores, mejoras, con el fin de monitorear la respuesta del
sistema. Los dos tipos de control más comunes son; el PID y realimentación de estados, los cuales se
describen a continuación para el caso continuo.
Los componentes usualmente utilizados para realizar control en lazo cerrado se muestran en la figura
2.5, y serán descritos a continuación:
Figura 2.5 Topología de control comúnmente usada en lazo cerrado.
• Bloque de Control: Es el bloque en el que se va a centrar el trabajo de grado, que corresponde a un
circuito electrónico o un algoritmo, diseñado para regular y controlar las variables físicas de una
forma deseada dependiendo de los criterios, necesidades y limitaciones del proceso.
• Actuador: Este bloque recibe como señal el esfuerzo de control que a través del actuador da
alimentación de energía al proceso que se quiere controlar, en este caso corresponde a un PWM que
recibe una señal dada por el bloque de control.
• Bloque de Proceso: Corresponde al sistema específico para el cual ciertas variables físicas van a
ser controladas o reguladas, que para el caso de estudio es la posición de la bola en la planta de
levitación magnética, que es controlada por el ciclo útil dado por el PWM. Este varía la corriente que
pasa por las bobinas cambiando a su vez el campo magnético, que es el encargado de hacer levitar la
bola.
• Bloque transductor: Corresponde a un dispositivo capaz de transformar o convertir un
determinado tipo de energía de entrada, en otra de diferente a la salida. En este caso los sensores son
un par de emisores infrarrojos y un par de fototransistores que transforman la posición de la bola en
una señal eléctrica la cual es usa para controlar el sistema de acuerdo al set point o referencia dado.
2.4.1 PID
El control PID permite regular el comportamiento del sistema basado en tres parámetros básicos de
control, representados en una acción proporcional, una acción derivativa y una acción integral. Es
necesario sintonizar cada una de estas acciones con el fin de garantizar un control que cumpla con las
especificaciones. La acción proporcional se encarga de corregir los picos y las oscilaciones de la
respuesta del sistema; la acción integral corrige el error en estado estable aproximándolo a cero y la
acción derivativa se encarga de corregir los cambios rápidos en el transitorio.
Bloque Generador
de set point Bloque de Control Actuado
r
Proceso
Transductor
Salida
16
La función de transferencia que representa el comportamiento de un PID continuo se puede expresar
como:
Donde , se obtiene teniendo en cuenta la teoría explicada sobre la función de transferencia
mencionada en 2.2.3. Además las constantes , y son la constante proporcional, la constante
integral y es la constante derivativa respectivamente. Adicionalmente este control se caracteriza por
su diseño en Laplace.
Los controladores PID presentan en algunas ocasiones el fenómeno de saturación mencionado en
2.3.1, una de las posibles soluciones para evitarla es la topología de anti-windup presentada a
continuación.
2.4.2 Anti-windup
Una de las posibles soluciones para evitar la saturación es inhabilitar la acción integral en cuanto la
señal de control entre en la región de saturación y volver a encender la acción integral en cuanto el
controlador vuelva a entrar a la región lineal de control [6]. Esta conmutación se implementa usando
un circuito denominado anti-windup. En la fig 2.6 se puede observar la configuración de la topología
anti-windup. [6].
Fig. 2.6 Circuito simple anti-windup para control PI [6].
Como se puede observar en la fig. 2.6, cuando la señal de control es igual o mayor al valor de
saturación para el actuador , es decir , la señal de error es igual o menor a
cero, de esta forma el switch deshabilita la acción integral del controlador.
En el caso contrario cuando la señal de control , es menor al valor de saturación para el
actuador , la señal de error tiene un valor diferente de cero, lo cual permite que el switch
no deshabilite la acción integral. De esta forma cada vez que la señal de control llegue a valores
mayores o igual al valor de saturación del actuador, la acción integral en el controlador será
deshabilitada.
Limite de
Saturación ~ + umax
UA(t)
ABS
umax SWITCH If epi(t) > 0 Sw = 1
Else Sw =0
Upi(t)
epi(t)
Sw
Multiplicador
X kI/s
Kp
e(t)
17
2.4.3 Realimentación de estados
Considerando un proceso descrito a través de un modelo matemático lineal, la técnica de control por
realimentación de estados consiste en establecer una ley de control de la forma:
Donde es una matriz constante, representa la referencia y la señal de control. En la figura 2.7 se
presenta un esquema en bloques de un sistema de control por realimentación de estados. El objetivo
de este control es seleccionar la matriz de realimentación , de manera tal que los estados del proceso
evolucionen según una dinámica deseada preestablecida, donde es posible plantear un problema de
diseño por ubicación de polos, el cual consiste en especificar la ubicación deseada de los polos en el
plano complejo y calcular las componentes de que den lugar a dichos polos [17].
Fig. 2.7, Configuración realimentación de estados, ubicación de polos en espacio de estados en tiempo discreto.
Fuente:[17]
Debe notarse que el sistema de control propuesto asume que todos los estados del proceso son
medibles; esto no siempre es posible en un proceso real, entonces es necesario recurrir a estimadores
de estado u observadores para obtener de forma práctica con este modelo, los estados que no están
disponibles en el sistema para su medición. A continuación se presenta la teoría general de estimación
para sistemas lineales.
2.4.4 Teoría de estimación
Un observador de estado continuo, también llamado un estimador de estado es un subsistema que
realiza una estimación de las variables de estado, basado en las medidas de las salidas de las variables
de control.
La ecuación que representa los estados medidos corresponde a:
Donde la matriz es la matriz de ponderación del estimador y los estados estimados. En la figura
2.8 se muestra la configuración del estimador de estados de orden completo continuo. Nótese que las
entradas al estimador son la señal de control y la salida .
Sistema Lineal Planta Maglev
18
Fig. 2.8, Configuración observador de estados de orden completo continuo.
Fuente: Autor
Finalmente, es válido establecer que los controladores, tanto el control por realimentación de estados y
los estimadores como el PID, se manejan de la misma forma tanto en tiempo continuo, como en
tiempo discreto, de esta forma a continuación se explica de forma general la teoría necesaria para
modelar el sistema en tiempo discreto y las relaciones de aproximación del plano al plano .
2.5 Cambio de Operadores Lineales
2.5.1 Elección del tiempo de muestreo
La selección de una tasa de muestreo apropiada es muy importante en sistemas controlados por
computador. Con un período de muestreo suficientemente grande respecto al tiempo de respuesta del
sistema, es posible reconstruir la señal en tiempo continuo. Un período de muestreo muy pequeño
respecto al tiempo de respuesta del sistema, implica un aumento en la carga del computador. La
elección del período de muestreo depende del sistema. En este caso se relacionará la escogencia de la
tasa de muestreo respecto a los polos en lazo cerrado del sistema en tiempo continuo [1].
Es útil caracterizar el período de muestreo con una variable que es adimensional y que tiene una buena
interpretación física. Para sistemas que no oscilan, el tiempo de subida es un buen factor natural de
normalización. De esta forma se tiene como el número de períodos de muestreo por tiempo de
subida y el tiempo de muestreo.
Para sistemas de segundo orden con un factor de amortiguamiento y con frecuencia natural el
tiempo de subida está determinado por:
Siendo .
Teniendo el tiempo de subida, corresponde determinar cuál debe ser el valor adecuado para . Es
razonable escoger un entre 4 y 10 según [1], así que se procede a establecer un valor acorde con la
situación de la planta. Para este caso específico es conveniente tomar el mayor valor posible de que
es 10, en el capítulo 3 se profundizará mas sobre desarrollo del tema.
19
2.5.2 Operadores Lineales en tiempo discreto
Para manejar en forma más simple y de forma discreta los cálculos con las ecuaciones diferenciales,
es conveniente hacer un cambio de operador lineal. Este cambio consiste en sustituir la variable por
una función en . Estas transformaciones son flexibles en el sentido que pueden realizarse bloque a
bloque en diagramas compuestos, sin embargo debe considerarse que todas son aproximaciones de a
funciones racionales en [16]. Existen varias aproximaciones que permiten realizar la discretización
de un controlador, entre las cuales se encuentran Método de Euler, Método de Diferencia hacia atrás y
Método de Tustin o bilineal, que serán las que se van a analizar, en el sistema de levitación magnética.
2.6 Métodos de Discretización para los controladores
2.6.1 Transformada Z
En tiempo discreto, análogamente a la transformada de Laplace del tiempo continuo, se desarrolla la
transformada Z. La transformada de la función va de una secuencia a un rango de variable
compleja. Matemáticamente la transformada Z se define como [19]:
Esta transformada permite la solución de ecuaciones en diferencias determinando la respuesta de un
sistema discreto para una entrada dada.
2.6.2 Diferencias Hacia Adelante (Forward - Euler)
Puede verse como una derivación adelantada, no causal, o como una integración rectangular retrasada.
Su principal desventaja es que no conserva la estabilidad en la transformación de polos rápidos en
. Utilizando una discretización en el plano , se busca sustituir la variable por una función
racional en mediante el método de Forward. La sustitución se muestra en la siguiente ecuación.
Donde se define como el tiempo de muestreo establecido previamente para sistemas discretos. Este
método no es conveniente en la mayoría de los casos debido a su naturaleza no causal.
Esta transformación realiza el mapeo de la mitad izquierda del plano en el plano teniendo como
centro el punto [-1.0], lo cual significa que un sistema estable, puede no ser estable en , ya que
los polos no quedan dentro del círculo de radio unitario. En la figura 2.9 se puede evidenciar
gráficamente el método de Euler.
20
Fig. 2.9, Relación plano-s al plano-z usando el método de discretización.
2.6.3 Diferencia Hacia Atrás (Backward)
Puede verse como una derivación atrasada. Este método conserva la estabilidad en la transformación
de polos en y si existen polos reales rápidos en no aparecen oscilaciones. La sustitución Backward
se muestra en la siguiente ecuación.
El método de discretización Backward mapea la mitad izquierda del plano a , en un círculo
contenido en la mitad derecha del círculo unitario, generando este mapeo un sistema discreto estable
si y solo si lo es, pero la desventaja es que genera distorsión por lo mencionado
anteriormente. En la figura 2.10 se puede evidenciar gráficamente como funciona este método.
Fig. 2.10, Relación plano-s al plano-z usando el método de discretización backward.
21
2.6.4 Transformación bilineal (Tustin)
Puede verse como una integración trapezoidal. Este método conserva la estabilidad en la
transformación de polos en , sin embargo, si existen polos reales rápidos en , en el sistema discreto
resultante tienden a aparecer oscilaciones amortiguadas. La sustitución Tustin se muestra en la
siguiente ecuación.
Este método brinda la mejor aproximación y en efecto mapea todo el plano izquierdo de en un
círculo unitario en el plano . En la figura 2.11 se puede evidenciar gráficamente el método de Tustin.
Fig. 2.11, Relación plano-s al plano-z usando el método de discretización de Tustin.
2.6.5 Método de discretización Zero Order Hold
La señal de entrada se muestrea en instantes discretos, produciendo una señal que pasa a
través de un retenedor de orden cero, o como su nombre en inglés Zero Order Hold, produciendo la
señal . El circuito ZOH digitaliza la señal haciendo la señal constante desde la última
muestra, hasta la siguiente muestra disponible, esto es:
La figura 2.12 muestra la topología del retenedor de orden cero. Donde en la figura hace referencia
al número de muestras .
Fig. 2.12, Retenedor de orden cero.
Fuente: [14]
Donde la función de transferencia del retenedor de orden cero equivale a:
22
El método de discretización se puede evidenciar gráficamente en la figura 2.13.
Fig. 2.13, Ejemplo gráfico retenedor de orden cero.
Fuente: [14]
De esta forma la salida del retenedor de orden cero es una función escalera, que permite modelar en
tiempo discreto una señal de tiempo continuo.
2.6.6 Aproximación por mapeo de polos y ceros
Esta aproximación aplica la relación de polos y ceros de la función de transferencia. Se tiene una
función de transferencia continua de la forma:
Donde es la ubicación del cero en el plano , es la ubicación del polo en el plano , el número
de ceros y el número de polos en la función de transferencia. Se debe tener en cuenta que el
siguiente análisis es válido únicamente para una entrada paso, de esta forma los pasos a seguir con
este método son:
1. Mapear los polos y los ceros de acuerdo a la relación .
2. Si el orden del numerador es menor que el orden del denominador se añaden potencias de al
numerador hasta que el numerador y el denominador tengan el mismo orden. Este término
corresponde a los ceros en el infinito. Los polos y ceros complejos es mejor mapearlos juntos
(aTsaT ebTszezbas 2222
cos2 ).
3. Se calcula la ganancia a bajas frecuencias (DC) de igual a la de , mediante la relación
.
La elección del método para la discretización de los controladores, se llevará a cabo mediante los
resultados obtenidos en las simulaciones con los controles diseñados usando el método retenedor de
orden cero ZOH, debido a que no es una aproximación como los métodos anteriormente mencionados,
lo cual permite tener respuestas en tiempo discreto exactamente iguales a las de tiempo continuo.
23
3. VALIDACIÓN DE MODELO
La validación del modelo se realizó con el fin de mejorar la sintonización del control en las topologías
que se diseñaron en este trabajo de grado, al obtener una función matemática que describa el sistema
mediante datos de entrada y salida de la planta (datos de la posición de la bola y datos del esfuerzo de
control), que se van a adquirir para tal fin mediante un PIC-18, el cual fue programado para enviar los
datos al computador para ser tomados por el software Docklight el cual permite guardarlos de forma
decimal para su posterior análisis en Excel y Matlab.
3.1 Modelo
Para realizar el cálculo del bloque de control se tomo y verifico el modelo de la planta de levitación
magnética usando el modelo físico planteado en el trabajo de grado [8]. Este modelo en la forma de
espacio de estados es:
Ecuación 3.1 Modelo no lineal de la planta de levitación magnética.
Donde las constantes , Fueron halladas experimentalmente, es la resistencia equivalente de
alambre de las bobinas, corresponde al valor de la entrada, g a la gravedad y m la masa de la bola y
las variables de las ecuaciones de estado del modelo físico son:
Por los tipos de control que se diseñaron, los cuales se explicarán en los capítulos 4 y 5, se
debe realizar la linealización de las ecuaciones obtenidas a partir del modelo físico, debido a
que se va a regular la posición de la bola ( ) alrededor de un punto de operación, en otras
palabras, al haber diseñado un control lineal, no se puede regular la posición de la bola en todo
el rango de operación de la planta por el comportamiento no lineal de la misma.
Para hallar los puntos de equilibrio basta con hacer , , y en la ecuación
3.1 de la siguiente forma:
Se hace cero la derivada de la posición de la ecuación 3.1 ( ) para obtener el valor de la
velocidad en el punto de operación, esto lleva a:
Se hace cero la derivada de la velocidad de la ecuación 3.1 ( ) para obtener el valor de la
corriente con el objetivo mantener la posición vertical de la bola en el punto de operación,
despejando i se obtiene:
24
Se hace cero la derivada de la corriente de la ecuación 3.1 ( ) para obtener el valor de la de la
entrada para hacer levitar la bola en el punto de operación.
Se obtiene que:
Dado que al cambiar los campos de vectores, no aparece en las ecuaciones, esta puede
escogerse para cualquier valor.
Los valores de las constantes son:
El valor de los puntos de operación para cada una de las variables de estados y para el valor de la
entrada, corresponden a la ecuación 3.2, los cuales se hallaron para un punto de operación en la
posición de la bola de 5 mm:
Ecuación 3.2 puntos de operación.
El valor del punto de operación (5 mm) se escogió debido a que el rango de operación de los sensores
es aproximadamente de 10 mm. Este valor permite realizar la variación en la posición en un valor
medio. Linealizando la ecuación 3.1, para los puntos de equilibrio se obtiene el siguiente modelo en
espacio de estados:
= * +
Ecuación 3.3 Ecuaciones de estado [posición, velocidad, corriente]
25
A partir de estas ecuaciones de estado se obtiene la función de transferencia:
Ecuación 3.4 Función de transferencia linealizada.
La ecuación característica de la ecuación 3.4 tiene un polo ubicado en 39.9649 que inestabiliza el
sistema como se ve en la ecuación 3.5.
38.9649)-49.2829)(s+181.482)(s+(s
1468-
Ecuación 3.5 Función de transferencia factorizada.
3.2 Protocolo de toma de datos
La toma de datos se realizó con el fin de validar el modelo físico realizado en el trabajo de grado [8],
para hacer que las ecuaciones de la variables de estado (ecuación 3.3) se acerquen más al modelo
real de la planta de levitación magnética, siguiendo el algoritmo de la figura 3.1:
Figura 3.1 Interconexión entre la planta y el sistema digital para realizar la toma de datos.
En este algoritmo lo primero que realiza es tomar los datos de entrada y salida de la planta que se
desee estimar, después reducir errores de cuantización o ruido de las señales adquiridas mediante un
filtrado, después realizar la estimación del modelo a partir de un algoritmo, seleccionado
dependiendo del tipo de estimación que se quiera obtener (función de transferencia, modelo en
espacio de estados, etc.), después se realiza la validación del modelo para verificar el alcance de la
estimación, y en caso de que no sea lo suficientemente buena se requiere cambiar el algoritmo para
obtener una ecuación que pueda describa mejor el sistema. En caso que se pruebe con varios
26
algoritmos para realizar la estimación y no se obtenga una aproximación que satisfaga los
requerimientos de diseño, se debe mejorar la forma en que se adquieren los datos.
Para la identificación del sistema se usó el control diseñado en el capítulo 4, debido a que es
necesario estabilizar la planta por el polo positivo que tiene la función de transferencia. Las leyes de
control que se van a realizar en el trabajo de grado van a regular la posición de la bola alrededor de
un punto de operación, por lo cual no es necesario identificar la planta a lo largo de toda la curva que
la caracteriza, razón por la cual solo se necesita encontrar una estimación de la planta sobre un punto
de operación especifico.
El procedimiento realizado para la identificación, es hacer levitar la bola usando la tarjeta de
adquisición de datos usada en el trabajo de grado [8], aplicando pasos de +/- 1mm respecto al punto
de operación.
Figura 3.2 Interconexión entre la planta y el sistema digital para realizar la toma de datos.
La adquisición de los datos se realizó configurando los puertos paralelos AN6, AN7 y AN8 como
análogos en el PIC 18, de tal forma que las señales de los sensores que corresponde al punto B de la
figura 3.2 y la señal de entrada al PWM de la planta que corresponde al punto A de la misma gráfica,
son multiplexadas para luego ser almacenadas en 2 vectores y luego ser enviadas por medio de una
interrupción cada 0.010596ms al computador por protocolo RS-232, para luego ser analizados.
Los datos de las señales adquiridas para la posición de la bola y la señal que va hacia el PWM de la
planta, se introdujeron en MATLAB, los cuales fueron filtradas para quitar errores de cuantización,
obteniendo los resultados de la figura 3.3 y la figura 3.4:
Figura 3.3 Datos de los sensores de posición obtenidos con la respuesta del control diseñado por medio del sistema digital.
27
Figura 3.4 Datos obtenidos de la señal que va al PWM obtenido a partir del sistema digital.
La señal de posición figura 3.3 dada en milímetros y el esfuerzo de control figura 3.4 dado en
voltios, presentan un nivel de ruido el cual es causado por los sensores que son afectados de acuerdo
con la intensidad de luz recibida. Las señales adquiridas corresponden a un cambio en la referencia
de 5.5 mm a 6 mm, debido a la dificultad de estabilizar la planta alrededor del punto de operación con
el control diseñado en el capítulo 4.
3.3 Herramienta para la validación
El toolbox de identificación de sistemas permite construir un modelo matemático a partir de una
medida de entrada y de salida como las vistas en la figura 3.3 y 3.4. Este permite describir sistemas
que no se pueden modelar de forma sencilla. Esta herramienta, se utilizó para validar el modelo y de
esta forma ajustar los valores de las ecuaciones de estados linealizadas sobre el punto de operación
para representar el modelo de una forma más adecuada y así lograr obtener una respuesta más
aproximadas en lazo cerrado a la diseñada en el capítulo 4 y 5.
Cuando se realizó inicialmente la identificación del sistema sobre el punto de operación tomando las
señales de los sensores y el esfuerzo de control, por medio de la herramienta para la identificación de
sistemas de Matlab, se obtuvo aproximaciones del orden del 80%. Estas aproximaciones no servían
debido a que la estimación de las ecuaciones de estados discretas usando dicha herramienta tenían
todos los valores propios menores a 1 (cuando el modulo de los valores propios es mayor o igual a
uno en tiempo discreto el sistema es inestable), razón por la cual generaba sistemas estables, que para
este caso específico no cumplía con los requerimientos de validación debido a que la planta de
levitación magnética es de naturaleza inestable y es importante que esta característica sea
representada en la función de transferencia estimada. En la figura 3.5, se muestra una señal estimada
a partir de un control diferente al diseñado en el capitulo 4, en la cual la estimación es muy
aproximada a la respuesta real, pero no es válida debido a que los valores propios están ubicados en
0.9959, 0.6482 + 0.3262i y 0.6482 - 0.3262i para la matriz A en el plano Z, por lo tanto el sistema es
estable.
28
Figura 3.5 Respuesta estimada y respuesta real.
Para realizar la identificación a partir de los datos adquiridos (figura 3.4 y 3.5), fue necesario cambiar
el método de estimación por el modelo de caja gris, permitiendo estimar solo aquellas variables que
conforman las matrices en el espacio de estados (A, B ,C ,D )que se quieran, la cual se calcula de la
siguiente manera:
Se crean en Matlab las matrices de las variables de estados linealizadas, a partir de los valores
encontrados en el modelo físico, incluyendo el tiempo de muestreo:
% Módelo de ruido aplicado al sistema. % Condiciones iniciales
% Tiempo de muestreo Se construye una estructura que contiene los espacios de estados en tiempo continuo:
Se especifican los valores en la estructura creada en el paso anterior de las variables de estado que
se quieren estimar usando NaN.
29
Se estima el módelo de la estructura usando la función pem.
modelo = pem(identificacion,m)
La función pem realiza una optimización para minimizar el valor de la siguiente función:
El valor es un vector el cual contiene la diferencia entre la salida medida y la salida estimada
del modelo, como se ve en la siguiente ecuación:
La variable N indica el número de muestras de los datos de entrada y de salida almacenados en el
objeto.
3.4 Resultados
Por medio del algoritmo expuesto para realizar una caja gris y usando el control diseñado en el
capítulo 4 para un tiempo de muestreo igual a 2 ms, se obtuvo las siguientes matrices en el espacio de
estados:
A =
B =
C =
D = 0
x(0) =
La matriz estimada es de rango completo (las filas son linealmente independientes) e inestable
debido a que tiene un valor propio en 32.781. La simulación de este modelo se muestra en la figura
3.6.
30
Figura 3.6 Respuesta paso planta estimada y datos tomados con el sistema digital.
Se compara la simulación de la función estimada obtenida con una entrada escalón de 1mm
(respuesta roja) y la simulación del modelo estimado obtenida aplicándole un esfuerzo de control
para una entrada escalón de 1mm (respuesta azul), la cual tiene una aproximación de 85.36%, razón
por la cual se trabajará con esta función de transferencia para realizar el ajuste de las ganancias del
control en el capítulo 4 y obtener una respuesta más cercana a la diseñada en lazo cerrado y para
realizar el diseño de control por ubicación de polos en el capítulo 5.
3.5 Elección del tiempo de muestreo máximo
El criterio que se va a usar para acotar el tiempo de muestreo, corresponderá al 10% del tiempo de
subida de la respuesta a una entrada escalón, como esta enunciado en el capítulo 2. El tiempo de
muestreo máximo debe ser 10 ms de acuerdo a la respuesta obtenida en la figura 3.6, debido a que el
tiempo de subida corresponde aproximadamente a 104 ms.
31
4. DISEÑO DE CONTROLADOR CON ANTI-WINDUP
En este capítulo se mostrará el análisis realizado en diferentes topologías de control tales como el control
proporcional, PD, PI y PID, con el fin de implementar en el sistema digital la topología que presente un
mejor desempeño en lazo cerrado. Se comprobará a medida que se desarrolla el capitulo, que es necesario
implementar una topología con un lazo adicional de realimentación, para obtener una respuesta deseada
alrededor de 100ms.
4.1 Control proporcional
La topología para realizar la implementación de un control proporcional a partir de la ganancia se
muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1 Configuración planta controlador proporcional en lazo cerrado
En donde G(s) es:
Esta topología se caracteriza por la facilidad de implementar el algoritmo de control. La desventaja de
esta topología es que la respuesta del sistema en lazo cerrado tendría un error en estado estacionario
diferente de cero y además seria susceptible al ruido debido a que cualquier perturbación dada por los
sensores infrarrojos usados para sensar la posición de la bola, se vería reflejado de la misma manera en el
esfuerzo de control.
Para saber si es posible implementar esta topología de control en lazo cerrado para la planta de levitación
magnética, se realizó un análisis del comportamiento del sistema en lazo cerrado para distintos valores de
la ganancia proporcional. Con el objetivo de resolver el problema se planteó acotar las ganancias del
control mediante el criterio de Routh Hürwitz para saber si es posible encontrar una ganancia proporcional
que pueda estabilizar el sistema.
La función de transferencia en lazo cerrado del sistema con la ganancia proporcional se muestra en la
ecuación 4.1
Ecuación 4.1
Para realizar el criterio de Routh Hürwitz se parte de una ecuación característica en lazo cerrado (ecuación
4.2) para construir la matriz mostrada en la ecuación 4.3:
32
Ecuación 4.2
Ecuación 4.3 Criterio de Routh Hürwitz
En esta matriz se debe asegurar que las constantes , no presenten cambio de signo, es decir, si
es positiva, y deben ser positivas también.
La ecuación característica en lazo cerrado de la ecuación 4.1 es:
Reemplazando la ecuación 4.2 en la ecuación 4.3 se obtiene:
Se obtiene que:
Ecuación 4.4
Y,
Ecuación 4.5
Los valores de y , tienen que ser mayores a cero, debido a que si existe un cambio de signo en
alguna de estas dos variables, el sistema en lazo cerrado tendría un polo en el semiplano derecho del plano
S, haciendo que el sistema sea inestable.
A partir de las ecuaciones 4.4 y 4.5, se despeja , para encontrar una cota de esta variable, de tal forma
que y no tengan un cambio de signo, obteniendo las siguientes ecuaciones:
Ecuación 4.5
Ecuación 4.6
33
El resultado obtenido en la ecuación 4.5 indica que tiene que ser mayor a -231.156 para que sea
positiva y la ecuación 4.6 indica que tiene que ser menor a -237.398 para que sea positiva, por lo
tanto las dos regiones son disyuntas, razón por la cual, no es posible realizar una cota para , que evite
un cambio de signo en y en , es decir, no existe una ganancia proporcional que estabilice el sistema
como se muestra en la figura 4.2.
Figura 4.2 Rango de valor de la ganancia proporcional para estabilizar el sistema
4.2 Control Integral -proporcional
Como no es posible implementar el control proporcional, se demostrará igualmente por el criterio de
Routh Hürwitz si es posible estabilizar el sistema mediante un control PI.
La ganancia integral tiene como propósito eliminar el error en estado estacionario, provocado por la
ganancia proporcional. El control integral actúa cuando existe una desviación de la salida respecto a la
referencia, integrando este error en el tiempo y sumándola a la acción proporcional, con el propósito de
tener una respuesta a una entrada escalón estable con error en estado estacionario igual a cero, como se
muestra en la figura 4.3.
Figura 4.3 Configuración planta, controlador proporcional e integral en lazo cerrado
Se resolvió usando algebra de bloques ésta topología para obtener la siguiente ecuación característica en
lazo cerrado:
Ecuación 4.7
Al aplicar el criterio de Routh Hürwitz se obtiene:
Ecuación 4.8
Ecuación 4.9
34
Ecuación 4.10
El resultado obtenido en la ecuación 4.8 indica que tiene que ser mayor a -231.156 y la ecuación 4.10
indica que tiene que ser menor a -231.156 y mayor que -237.398, por lo tanto las dos regiones son
disyuntas (Figura 4.4), razón por la cual, no es posible encontrar una cota para que estabilice el
sistema.
Al igual que el control proporcional, el control PI tampoco es posible implementarlo, por tal razón, se
analizará si otra topología de control se puede implementar para estabilizar la planta.
4.3 Controlador Proporcional-Derivativo
La función de la acción derivativa de un control PD (Figura 4.5), es mantener el error muy pequeño
corrigiéndolo proporcionalmente con la misma velocidad que se produce. Para la implementación del
control en la planta de levitación magnética puede ser un caso crítico debido a la sensibilidad al ruido que
manifiestan los sensores infrarrojos.
Figura 4.5 Configuración planta, controlador proporcional y derivativo en lazo cerrado
La ecuación característica de la función de transferencia que corresponde a la figura 4.5 es la siguiente:
Al aplicar el criterio de Routh Hürwitz se obtiene:
Ecuación 4.11
Ecuación 4.12
Figura 4.4 Cotas para los rangos de valores de la ganancia proporcional
35
El resultado obtenido en la ecuación 4.11 indica que tiene que ser menor a -237.398 y la ecuación 4.12
indica que tiene que ser menor a -0.00325. Al existir una sola cota para cada variable, es posible
estabilizar el sistema con un control PD para el conjunto de valores mostrados en la figura 4.6.
Figura 4.6 Rango de valor en la ganancia proporcional y en la ganancia derivativa para estabilizar el sistema.
Este tipo de control no será escogido para realizar la implementación en el control digital, debido a que la
ecuación característica del sistema en lazo cerrado, en la constante que acompaña a (ecuación 4.13) no
depende de las variables de la topología de control ( ), lo cual genera divergencias en el modelo
simulado con respecto al modelo diseñado para tiempos de establecimientos menores a 100ms, este hecho
se explicará con profundidad en el diseño de la ley de control para un PID.
Ecuación 4.13
4.4 Controlador Proporcional, Integral y Derivativo
El control PID (figura 4.7) hace referencia a cada una de las letras iniciales que componen su nombre,
Proporcional, Integral y Derivativo. La función de transferencia de esta figura en lazo cerrado corresponde
a la siguiente ecuación:
Ecuación 4.14
Figura 4.7 Configuración planta, controlador proporcional, integral y derivativo
La función de transferencia en lazo cerrado de la topología del control PID es la siguiente:
Ecuación 4.15
36
Para ésta función de transferencia se hallarán los valores de las constantes del controlador ( ) con
el fin de demostrar si es posible implementar un control PID para estabilizar el sistema, de la siguiente
forma.
Mediante un par de polos complejos conjugados,
Ecuación 4.16
Y a partir del coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural de oscilación del sistema , se
diseña la ecuación característica de segundo orden (ecuación 4.18).
Ecuación 4.18
Por medio de la ecuación 4.19 el valor del porcentaje de sobre impulso obteniendo es igual a 4.32% dado
que
Ecuación 4.19
Para explicar la forma en que la ley de control se ve afectada por tiempos de establecimiento pequeños, se
diseñaron funciones de transferencia de segundo orden para tiempos de establecimiento desde 0.1
segundos hasta 2 segundos con incrementos de 0.1 segundos manteniendo el porcentaje de sobre impulso
constante y variando . Estos valores fueron reemplazados en la ecuación 4.18 y se obtuvieron los
resultados de la tabla 4.1.
Ts a B Wn Ec. Característica
0.1 40 40 56.57 1 80 3200
0.2 20 26.667 28.28 1 40 800
0.3 13.333 20 18.86 1 26.66667 355.5556
0.4 10 10 14.14 1 20 200
0.5 8 8 11.31 1 16 128
0.6 6.667 6.667 9.43 1 13.33333 88.88889
0.7 5.714286 5.714286 8.08 1 11.42857 65.30612
0.8 5 5 7.07 1 10 50
0.9 4.44 4.44 6.29 1 8.889 39.50617
1 4 4 5,65 1 8 32
1.1 3.36 3.36 5.14 1 6.72 22.58
1.2 2.2 2.2 4.71 1 6.66 22.17
1.3 2.35 2.35 4.35 1 6.14 18.849
1.4 2.5 2.5 4.04 1 5.7 16.245
1.5 2.66 2.66 3.77 1 5.32 14.25
1.6 2.85 2.85 3.53 1 5 12.5
1.7 3.07 3.07 3.32 1 4.7 11.045
37
1.8 3.33 3.33 3.14 1 4.44 9.856
1.9 3.63 3.63 2.97 1 4.21 8.86
2 4 4 2.828 1 4 8 Tabla 4.1 Funciones de transferencia con una respuesta deseada de segundo orden
En esta tabla se muestran 20 ecuaciones características con sus respectivos polos y tiempos de
establecimiento, los cuales serán de gran utilidad hallar las constantes del controlador.
Para encontrar las variables del control PID, es necesario aumentar el orden de las ecuaciones
características de la tabla 4.1 de segundo a cuarto orden, con el fin de igualar la ecuación característica de
la ecuación 4.20 del sistema en lazo cerrado del control PID.
Ecuación 4.20
El aumento a cuarto orden de las ecuaciones características de la tabla 4.1 se realizó mediante la adición
dos polos y , los cuales deberán estar alejados al menos una década de los polos dominantes de la
ecuación característica que se esté modificando y asegurando además que el coeficiente que acompañe a
debe ser siempre (ver ecuación 4.20). Si se cumple este procedimiento se asegura que la
respuesta a una entrada escalón de la función de transferencia con la ecuación característica de cuarto
orden, será similar a la respuesta de una entrada escalón de la función de transferencia con la ecuación
característica de segundo orden, en otras palabras, si se usan estas funciones características para crear una
función de transferencia, la respuesta a una entrada escalón debe ser similar para cada una de ellas. El
resultado se obtiene en la tabla 4.2:
Ts Ec. característica Ec. Característica con los 4
polos.
2 (s-(-91.9132)) (s-(-91.8868))
1.9
(s-(-
92.27+0.053i)) (s-(-92.27-0.053i))
1.8
(s-(-
92.57+0.0726i)) (s-(-92.27-0.0726i))
1.7 (s-(-92.8032)) (s-(-92.8568))
1.6
(s-(-
93.05+0.053i)) (s-(-93.05-0.053i))
1.5 (s-(-93.29)) (s-(-93.18))
1.4 16.245
(s-(-
93.4+0.0077i)) (s-(-93.4-0.0077i))
38
1.3
(s-(-
93.55+0.045i)) (s-(-93.55-0.045i))
1.2 (s-(-93.68-0.045)) (s-(-93.68+0.045))
1.1
(s-(-93.795-
0.047))
(s-(-
93.795+0.047))))
1 (s-(-93.9)) (s-(-89.9))
0.9 (s-(-100)) (s-(-82.91))
0.8 (s-(-98)) (s-(-83.8))
0.7 (s-(-96)) (s-(-84.38))
0.6
(s-(-94))
(s-(-84.47))
0.5 (s-(-90)) (s-(-85.8))
0.4 (s-(-86)) (s-(-85.8))
0.3 (s-(-84)) (s-(-81.13))
0.2 (s-(-80)) (s-(-71.8))
0.1 (s-(-65)) (s-(-46.8))
Tabla 4.2 Funciones de transferencia con una respuesta deseada de cuarto orden.
En la tabla 4.2 para tiempos de establecimiento menores a 0.5 segundos los polos adicionados para
incrementar el orden no son una década mayores que los polos dominantes, por ejemplo para un tiempo de
establecimiento de 0.4 segundos se tiene:
Ecuación característica de segundo orden:
Polos dominantes:
39
Polos seleccionados para incrementar el orden de la ecuación característica:
De acuerdo con lo mencionado respecto a la ubicación de los polos seleccionados para incrementar el
orden de la ecuación característica, estos polos ( deben ser menores que -100.
Este comportamiento se sigue presentando para tiempos de establecimiento menores a 0.4 segundos,
afectando la ley de control debido a que la función de transferencia de cuarto orden tendrá una respuesta
cada vez más diferente respecto a la ecuación de segundo orden. Esto será demostrado aplicando una
entrada escalón a una función de transferencia de segundo orden y a su correspondiente de cuarto orden
usando las ecuaciones características de las tablas 4.1 y 4.2 para los tiempos de establecimientos iguales a
1 segundo, 0.5 segundos y 0,1 segundos.
Para las figuras 4.8 , 4.9 y 4.10 mostradas a continuación, la curva de color azul corresponde a la respuesta
escalón para la ecuación característica de segundo orden y las curvas de color verde corresponde a la
respuesta escalón para la ecuación característica de segundo orden con los polos adicionales y .
En la figura 4.8, las dos respuestas son muy parecidas, ya que ambas tienen un tiempo de establecimiento
de 1 segundo y porcentaje de sobre impulso igual, debido a que los polos que se usaron para incrementar
el orden están alejados un poco más de una década con respecto a los dominantes de la ecuación
característica de segundo orden.
Figura 4.8 Respuestas a entrada escalón, controlador proporcional, integral y derivativo, ts=1 segundo
En la figura 4.9 se puede ver que las dos respuestas son similares, ya que ambas tienen un tiempo de
establecimiento de 0.5 segundos y porcentaje de sobre impulso igual, debido que los polos que se usaron
para incrementar el orden están alejados una década con respecto a los dominantes de la ecuación
característica de segundo orden.
40
Figura 4.9 Respuestas a entrada escalón, controlador proporcional, integral y derivativo, ts=0.5 segundos.
En la figura 4.10 las dos respuestas difieren considerablemente. La respuesta para el sistema de segundo
orden tiene un tiempo de establecimiento de 0.1 segundos, mientras que para el sistema de cuarto orden es
un poco mayor, respecto al porcentaje de sobre impulso son totalmente diferentes. Esto es debido a que
los polos que se usaron para incrementar el orden están muy cerca de los polos dominantes de la ecuación
característica de segundo orden.
Figura 4.10 Respuestas a entra escalón, controlador proporcional, integral y derivativo, ts=0.1 segundos.
La ubicación de los polos para los tiempos de establecimientos graficados se ve con detalle en la tabla 4.3.
Figura Ts Polos dominates
4.8 1 -4±4i -93.9 -89.9
4.9 0.5 -8±8i -90 -85.8
4.10 0.1 -40±40i -65 -46.8 Tabla 4.3
Los polos adicionados para elevar el grado de la ecuación característica al no ser lo suficientemente
lejanos a los polos dominantes, ejercen un efecto en la respuesta paso cambiando los valores y criterios de
41
diseño como tiempo de establecimiento y porcentaje de sobre pico, como se vio en la figura 4.10, por lo
cual no es conveniente diseñar un control PID para tiempos de establecimientos menores a 0.4 segundos.
Otra característica que tiene la respuesta a una entrada escalón de la función de transferencia de la planta
en lazo cerrado con el control PID, está relacionada con el porcentaje de sobre impulso, la cual mostrará
tomando como ejemplo un tiempo de establecimiento igual a 1segundo.
A partir de los valores que toman las variables de control en función del tiempo de establecimiento se
realizó la figura 4.11, la cual muestra que la variable que mas cambio requiere para tiempos de
establecimiento menores corresponde a la ganancia integral.
Figura 4.11 Ganancias de un PID vs Tiempo de Establecimiento, para controlador proporcional, integral y derivativo
Para tener un tiempo de establecimiento de un segundo, las ganancias del control deben tener los
siguientes valores:
Ts kd ki kp
1 -6.81 -184.101 -287.429 Table 4.4 Ganancia de un PID para tiempo de establecimiento Ts= 1 segundo.
Estos valores se reemplazan en la ecuación 4.15, para obtener la siguiente función de transferencia en
lazo cerrado con un tiempo de establecimiento igual a 1 segundo y un porcentaje de sobre impulso
aproximadamente del 5%.
Ecuación 4.21
Al ser aplicada una entrada escalón al sistema con el controlador de la ecuación 4.21 se obtiene la figura
4.12, la cual no cumple los requerimientos de diseño porque la respuesta posee un sobre pico mayor a
400% y un tiempo de establecimiento mayor a 1 segundo. Esto es debido a que las medidas de
comportamiento de un sistema de segundo orden como tiempo de establecimiento, porcentaje de sobre
impulso, sólo son correctas para una función de transferencia sin ceros finitos, en otras palabras, si la
función de transferencia de un sistema tiene ceros finitos y éstos se localizan relativamente cerca de los
polos dominantes, entonces los ceros afectarán la respuesta transitoria del sistema [2].
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
1 1,1 1,3 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
Tiempo de establecimiento
kd
ki
kp
42
Figura 4.12 Entrada escalón, para controlador PID con Ts= 1 segundo
Los ceros de la ecuación 4.21 están ubicados en
s=-41.55 y s=-0.65
Y los polos están ubicados en
s=-3.99±3.99i, s=-91.9±1.018i
Razón por la cual se obtiene la respuesta de la figura 4.12.
4.5 Control con ganancia proporcional para controlar sobre pico causado por ceros finitos
Con el fin de evitar respuestas del sistema como en la figura 4.12 se diseñó una topología, la cual consta
de una doble realimentación como se ve en la figura 4.13, elimina el sobre pico indeseado mediante la
ganancia de la siguiente forma:
Se resuelve por algebra de bloques la Figura 4.13 para obtener la función de transferencia en lazo cerrado
obteniendo las siguientes señales de error:
43
Figura 4.13 Entrada escalón para controlador PID con control de sobre impulso.
Y sea:
Ecuación 4.22
La salida y se puede calcular como:
Se factoriza la salida:
Ecuación 4.23
44
Se reemplaza la ecuación 4.22 en la ecuación 4.23 para obtener:
Ecuación 4.24
La ecuación 4.24 corresponde al sistema en lazo cerrado de la topología de control de sobre pico, en esta
se observa que por medio de la constante Kr, en la función de transferencia en lazo cerrado se modifican
los ceros alejándolos de los polos del sistema sin alterar la ubicación de los polos en el plano S, de tal
forma que se puede modificar el sobre impulso del transiente a una entrada escalón sin alterar la respuesta
ya calculada.
Si se aplica esta topología para la función de transferencia 4.21 de la ecuación con tiempo de
establecimiento igual a 1 segundo variando la ganancia se obtiene la siguiente figura:
Figura 4.14 Respuesta a entrada escalón para controlador PID con control de sobre impulso y sin control de sobre impulso
En la figura 4.14, se ve que en la grafica verde el sobre pico se es mucho menor en comparación con la
respuesta azul de un PID sin control de sobre impulso. Esta gráfica se puede observar mejor en la figura
4.15:
45
Figura 4.15 Respuesta a entrada escalón para controlador PID con control de sobre impulso.
La respuesta a una entrada escalón resultante con la topología planteada para reducir el porcentaje de
sobre impulso causado por ceros finitos cercanos a los polos (Figura 4.15), posee un porcentaje de sobre
impulso de 5% y un tiempo de establecimiento de 0.98 segundos con el criterio del 2% del valor en el
cual se debe estabilizar el sistema. Estos valores son muy cercanos a las condiciones de diseño que
corresponden a 4.32% de sobre pico y de 1 segundo de tiempo de establecimiento.
Con esta topología sin necesidad de cambiar las contantes de control PID se puede controlar el porcentaje
de sobre pico de forma sencilla, sin embargo, el control PID no se implementará para realizar el control en
la planta de levitación magnética debido que no se puede diseñar éste control para tiempos de
establecimiento cercanos a 100 ms, el cual es necesario de acuerdo con las condiciones de diseño vistas en
el capitulo tres.
46
4.6 Control PI con filtro de segundo orden ( )
Con base en la topología de control de sobre impulso, se diseño un control mediante el uso de un filtro de
segundo orden y de una constante proporcional (Figura 4.16), debido a que esta configuración presenta
facilidad en el diseño para alcanzar una respuesta a una entrada escalón con un tiempo de establecimiento
cercano a 100ms.
Figura 4.16 Control proporcional con filtro y control de sobre impulso.
La ecuación característica de la topología propuesta para estabilizar la planta de levitación magnética tiene
la siguiente ecuación característica.
El método para diseñar el control es similar al de la sección 4.5. Para realizar la sintonización del control
se partirá de la siguiente función de transferencia de tercer orden.
2
0
2
0
3
2
0
****2
*)(
m
m
Kss
KsT
Ecuación 4.25
Para que la ecuación característica de tercer orden tenga los polos en algún valor deseado, se usó los
coeficientes óptimos del tiempo de establecimiento basados en el criterio de ITAE (Integral del valor
absoluto del error ponderado en el tiempo) para una entrada escalón, mediante la ecuación de tiempo
normalizado ( ) para n=1,2,3 que se muestra en la ecuación 4.26
Ecuación 4.26
47
Las anteriores ecuaciones caracterizan las respuestas con el orden de la ecuación.
Figura 4.17 Respuesta a una entrada escalón para ecuaciones [2]
Para encontrar los valores de la ley de control, se escogerá la respuesta para de la figura 4.17, la
cual tiene un tiempo de establecimiento normalizado igual a 8 con el criterio del 2% del valor de la
función en estado estable.
Se escogió como tiempo de establecimiento 52.5 ms, con el cual se encuentra el valor de la frecuencia
natural de oscilación del sistema a partir de la siguiente ecuación.
Ecuación 4.27
Con la cual se obtiene:
Ecuación 4.27
Se reemplaza la ecuación 4.27 en la siguiente ecuación.
51946.8
Los valores restantes para encontrar el valor de la función de transferencia de la ecuación 4.25 son las
constates y
Ecuación 4.28
48
Ecuación 4.29
Usando las ecuaciones 4.28 y 4.29 se encuentran los valores de y de , los cuales se modifican un
poco para tener una respuesta con un sobre impulso más pequeño, obteniendo los valores de =0.358222
y de mK =61.2.
Por medio del anterior procedimiento, se reemplazan los valores de las contantes en la ecuación 4.25 para
obtener el siguiente resultado:
3179150*291.163
3179150)(
23 sssT
Ecuación 4.30
La respuesta a una entrada escalón de la función de transferencia de la ecuación 4.30 se muestra en la
figura 4.18.
Figura 4.18 Respuesta escalón de ecuación característica deseada para diseño de controlador
Esta respuesta cumple con las condiciones de diseño, debido a que el tiempo de establecimiento es de 52.5
ms con el criterio del 2% de la valor en estado estable.
49
Es necesario elevar la ecuación característica de tercer orden diseñado, a una de cuarto orden para obtener
las variables del controlador como se muestra a continuación:
Los polos de la ecuación de tercer orden son:
Se escogerá un polo de forma aleatoria menor a -700.
A partir de los polos anteriores se construye la siguiente ecuación característica:
.10*46699.610*086.13836002192
))5.2028((*)3179150*291.163(.
98234
23
SSSs
SsscaracEc
Ecuación 4.31
Al igualar la ecuación característica diseñada (ecuación 4.31) con la ecuación característica del control
proporcional con filtro y control de sobre impulso se obtienen los siguientes valores para el controlador
asumiendo kr=1(inicialmente para que la ubicación de los ceros no sea cambiada).
Ecuación 4.32
Ecuación 4.33
Ecuación 4.34
Ecuación 4.35
Éste resultado indica que los valores de las constantes para el control propuesto se halla de forma
independiente a la forma como varíe por lo tanto la ganancia proporcional inicialmente será eliminada.
Tomando =0 se obtienen los valores del control restantes.
50
Obteniendo como resultado el siguiente filtro a partir de las constantes
Ecuación 4.36
La respuesta a una entrada escalón del sistema en lazo cerrado que describe el comportamiento de la
planta de levitación magnética alrededor del punto de operación, se muestra en la figura 4.19.
Figura 4.19 Respuesta a escalón unitario de control proporcional con filtro y control de sobre impulso.
Ésta respuesta tiene un tiempo de establecimiento de 80 ms y un porcentaje de sobre impulso de
aproximadamente 55%, lo cual no está acorde con los parámetros de diseño, ya que se debe tener un
tiempo de establecimiento de 52.5 ms y un porcentaje de sobre impulso bajo. Esta variación en los
parámetros de diseño es debido a la cercanía de los ceros finitos a los polos.
Los ceros y los polos de la función de transferencia en lazo cerrado de la topología de control planteada
son:
Ceros:
Polos:
= 70.1958
51
La ubicación del cero y la ubicación del polo indican que se encuentran muy cerca, razón por la cual
se afecta la respuesta transitoria del sistema, mostrando la necesidad de aplicar la topología de control del
porcentaje de sobre impulso, en otras palabras, es necesario implementar la variable para variar la
posición de los ceros usando la constante . El modelo implementado en Matlab corresponde a la figura
número 4.20.
Figura 4.20 Topología control proporcional con filtro y control de sobre impulso.
La respuesta a una entrada escalón tomada por el Scope 1 de la figura 4.20 se muestra en la siguiente
figura:
Figura 4.21 Respuesta a escalón unitario de topología control proporcional con filtro y control de sobre impulso.
52
Aunque el porcentaje de sobre impulso en la grafica anterior se redujo, existe un error en estado estable, el
cual se puede corregir usando un integrador, como se muestra en la siguiente figura:
Figura 4.22 Topología control proporcional con filtro y control de sobre impulso y ganancia integral.
La validación de la planta estimada en el capitulo anterior, se usara para ajustar el valor de (figura 4.22)
para controlar el porcentaje de sobre impulso causado por los ceros cercanos a los polos y el valor de K
(figura 4.22) para disminuir el error en estacionario por medio de la ecuación 4.37 , sin necesidad de
variar las constantes integral, proporcional y las constantes del filtro de segundo orden, debido a que se
demostró en el capítulo tres, que la respuesta simulada para un cambio de posición de +/- 0.5mm alrededor
del punto de operación es similar a la respuesta tomada en la adquisición de datos.
Ecuación 4.37
Una vez implementada la ganancia la elección de la ganancia integral en la figura 4.22, se realizó de tal
forma que la velocidad de respuesta del bloque integral, sea lo suficientemente rápida como para no
afectar el desempeño de la respuesta en lazo cerrado ya diseñada como se ve en la figura 4.23, en donde el
tiempo de establecimiento y porcentaje de sobre impulso es igual al de la figura 4.21. El valor de las
constantes después del ajuste de control a partir del modelo estimado en el capitulo tres para la figura 15
son las siguientes:
53
Figure 4.23 Respuesta a escalón unitario de topología control proporcional con filtro y control de sobre impulso y ganancia integral
La respuesta frente a una entrada escalón cuando se implementa el control de sobre impulso genera una
oscilación característica durante el tiempo de subida, la cual no se estudiará debido a que no afecta el
comportamiento deseado en lazo cerrado. La respuesta a una entrada escalón se ve con detalle en la figura
4.24:
Figure 4.24 Respuesta a escalón unitario detallado de topología control proporcional con filtro y control de sobre impulso y ganancia integral.
La respuesta en lazo cerrado de la topología propuesta en la figura 4.22 cumple las características de
diseño, debido a que tiene un tiempo de establecimiento correspondiente a 49.6 ms y un porcentaje de
sobre impulso muy bajo, frente a el valor de diseño para el tiempo de establecimiento que es 52.5 ms.
54
El esfuerzo de control obtenido al implementarlo en la planta de levitación magnética fue el siguiente:
Figura 4.25 Respuesta a Esfuerzo de control de la parte integral para una entrada pasó de 1 mm en la posición de la bola
En la figura 4.25 el esfuerzo de control medido en la planta de levitación magnética para un cambio en la
posición alrededor del punto de operación de +/- 1 mm por parte del integrador, el cual varía solamente
entre -0.8 y -0.1 voltios, por esta razón para cambios en la posición alrededor del punto de operación, la
parte integral no presentará saturaciones en su salida. El control anti-windup se implementó en el sistema
digital tal como se mostró en el capitulo 2.
4.7 Estudio del tiempo de muestreo y ecuaciones diferencia
Para realizar la implementación del control que se muestra en la figura 4.26, se debe pasar el control al
plano Z, a partir del cual se calcularán las ecuaciones diferencia para programar el sistema digital con el
control diseñado en el capítulo 4.5. El procedimiento que se seguirá se realiza a continuación.
Figura 4.26 Topología propuesta para implementarla en el sistema digital.
55
Las siguientes ecuaciones son las ganancias que se utilizaron en la topología de control de la figura 4.26:
Ecuación 4.38
Ecuación 4.39
Ecuación 4.40
Ecuación 4.41
Ecuación 4.42
La siguiente ecuación corresponde a la función de transferencia en lazo cerrado de la figura 4.26
Ecuación 4.43
Se reemplaza los valores de las constantes de control de la Ecuación 4.38 a la Ecuación 4.42, en la
Ecuación 4.43 para obtener la Ecuación 4.44.
Ecuación 4.44
La representación en el plano s no se caracterizaba de forma correcta usando los métodos de diferencia
hacia atrás, tustin y matched, razón por la cual se implemento la discretización del modelo usando ZOH ,
el cual, para una respuesta a una entrada escalón en el plano z, correspondía a la misma, pero aplicándole
la misma entrada escalón a la función de transferencia en el plano S (ecuación 4.44)
A partir de la función de transferencia en lazo cerrado de la planta con el control diseñado en el capítulo
4.5 (ecuación 4.44), se realiza la discretización por el método ZOH, con el fin de demostrar si
incrementado el tiempo de muestreo iniciando desde 1 ms hasta 80ms, el sistema en lazo cerrado ya
estabilizado puede volverse inestable debido al cambio de la ubicación de los polos en el plano Z. Para tal
fin se realizó una rutina en Matlab que muestra en una grafica como varían los polos de la ecuación 4.44 a
medida que se cambia el tiempo de muestreo como se ve en la figura 4.27.
56
Figura 4.27 Ubicación de los polos en el plano Z en función del tiempo de muestreo.
Esta grafica muestra que a medida que el tiempo de muestreo aumenta, los polos tienden a valores
cercanos al origen, es decir, para tiempos de muestreo entre 1 a 80 ms la variación en la ubicación de los
polos no hacen que la planta tienda a ser inestable.
El criterio que se va a usar para acotar el tiempo de muestreo, corresponderá al 10% del tiempo de subida
de la respuesta a una entrada escalón, el cual debe ser menor a 10 ms de acuerdo a la respuesta obtenida en
el capítulo 3.
Se escogerá como tiempo de muestreo 2 ms, debido a que es el mínimo tiempo que se puede escoger para
garantizar el correcto funcionamiento del programa implementado en el sistema digital de la topología de
control, el cual se explicará en el capítulo 7.
Para hallar las ecuaciones diferencia se calculó el filtro y el integrador de la topología de control en el
plano Z para un tiempo de muestreo de 2 ms, por medio del método ZOH, obteniendo las siguientes
funciones de transferencia:
Ecuación 4.45
Ecuación 4.46
57
El cálculo de la ecuación diferencia para el Filtro de segundo orden a partir de la ecuación 4.45, dado el
filtro:
Se realiza de la siguiente forma a partir de la ecuación anterior:
Se divide entre z.
Se remplaza por (n-1)
Se despeja la salida y(n):
Se remplazan los valores de las constantes por los valores de la Ecuación 4.45.
Ecuación 4.47
Esta Ecuación muestra que para la implementación en el sistema digital, la salida del filtro depende de la
entrada presente, de la entrada en el intervalo de tiempo de muestreo pasado y de la salida para el intervalo
de el tiempo de muestreo pasado, todas ellas multiplicadas por constantes.
Se realiza a continuación el cálculo de la Ecuación diferencia para la parte integral implementada en el
control a partir de la Ecuación 4.46.
Dado un integrador con las siguientes características.
Se obtiene:
Se divide entre z:
Se remplaza por (n-1):
58
Se despeja la salida y(n):
Se remplazan los valores de las constantes por los valores de la Ecuación 6.9 para obtener la siguiente
ecuación:
Ecuación 4.48
Este resultado muestra que para la implementación en el sistema digital, la salida del integrador depende
de la entrada para un intervalo de tiempo de muestreo pasado y de salida para un intervalo de tiempo
pasado, ambas multiplicadas por constantes.
Se implementará de esta forma el control debido a que es necesario separar las componentes del control
para lograr implementar la topología de control de sobre impulso a partir de la ganancia proporcional .
El desempeño del control implementado para controlar la planta de levitación magnética se puede ver a
partir de las siguientes graficas adquiridas.
Figura 4.28 Error para una entrada paso de -0.5 mm respecto al punto de operación
59
Figura 4.29 Error para una entrada paso de +0.5 mm respecto al punto de operación
En las figuras 4.28 y 4.29 se observan las señal de error que entran al bloque integral, esta dos señales se
obtienen al aplicar una entrada paso de +/- 0.5 mm respecto al punto de operación, cumpliendo los
requerimientos de diseño para una error en estado estacionario igual a cero. El valor más alto corresponde
a +1mm que corresponde cuando la bola se sube a 5.5 mm y el menor cuando la bola pasa de la anterior
referencia a 6.5 mm.
Figura 4.30 Esfuerzo de control resultante de la suma de cada componente para una entrada paso de -0.5 mm respecto al punto de operación
60
Figura 4.31 Esfuerzo de control resultante de la suma de cada componente para una entrada paso de +0.5 mm respecto al punto de operación.
En las figuras 4.30 y 4.31 se observan los esfuerzos de control resultantes de la suma de cada componente
(Salida bloque proporcional + Salida filtro de segundo orden + Salida integrador) para una entrada paso de
+/-0.5 mm respecto al punto de operación, los cuales no presentan saturaciones para el control con dichos
cambios en la referencia debido a que el máximo valor es menor a 15 voltios que se presenta cuando se
realiza el cambio en la referencia de 6.5 mm a 5.5 mm, el cual es el valor de la fuente de alimentación de
los circuitos.
Figura 4.32 Posición de la bola para una entrada paso de -0.5 mm respecto al punto de operación.
61
Figura 4.33 Posición de la bola para una entrada paso de +0.5 mm respecto al punto de operación.
En las figura 4.32 y 4.33 se observa la posición de la bola en milímetros, para un cambio de +/- 0.5 mm
respecto al punto de operación, las cuales presentan un comportamiento muy cercano a lo calculado en el
capítulo 4, La implementación de este control se puede corroborar por la oscilación característica cuando
es aplicada una entrada escalón durante el tiempo de subida, la cual es causada por la implementación del
control de sobre impulso para variar la ubicación de los ceros usando la constante .
62
5. DISEÑO EN ESPACIO DE ESTADOS POR UBICACIÓN DE POLOS
Se propone implementar un diseño en espacio de estados para controlar la planta, específicamente
ubicación de polos, el modelo lineal utilizado es el hallado en el capítulo 3 y el comportamiento dinámico
corresponde al impuesto en el capítulo anterior, ya que se quiere realizar una comparación entre los
controles que se implementarán en el sistema digital.
5.1 Realimentación de estados continuo con seguimiento de referencia
La figura 5.1 ilustra la configuración del controlador por diseño en espacio de estados en tiempo continuo,
Figura 5.1, Configuración realimentación de estados, ubicación de polos en espacio de estados.
Fuente: Autor
En este diseño se considera el sistema modelado por el espacio de estado, donde:
Se asume la señal de control como:
Donde es la matriz de realimentación y la referencia del sistema. Entonces la ecuación en espacio de
estados en lazo cerrado corresponde a:
El sistema debe cumplir que el par sea controlable. De ser así los valores propios de se
pueden asignar libremente escogiendo las ganancias de realimentación . Para confirmar esta condición
del sistema, se hallará la matriz de controlabilidad y se calculará su rango denotado como , si el
rango de la matriz de controlabilidad es igual a la dimensión de la matriz , la matriz es de rango
completo, entonces el par es controlable.
Entonces siendo la matriz de controlabilidad de la forma:
63
Se halla el rango de :
Por lo tanto, los valores propios de se pueden asignar libremente. De esta forma se procede a
identificar los coeficientes necesarios para hallar las ganancias de la forma canónica controlable
equivalente , necesaria para controlar el sistema respecto un comportamiento específico.
Los coeficientes se encuentran en el polinomio característico de , los cuales corresponden a:
Los coeficientes se encuentran en el polinomio característico deseado, los cuales corresponden a:
En este caso se escogieron los polos del polinomio característico deseado según las características de una
respuesta específica. Se utilizaron las mismas características y por ende los mismos parámetros utilizados
en el controlador diseñado en el capítulo 4, es decir la respuesta tiene un tiempo de establecimiento de 80
ms. y un porcentaje de sobre impulso de aproximadamente 55%, produciendo polos de la forma:
Con esta información se procede a hallar la matriz de realimentación, que equivale a:
Donde,
Para ver de dónde salen estas ecuaciones, ver [14], entonces se obtiene que:
La respuesta de este nuevo sistema debe corresponder a la respuesta del sistema deseado con los
parámetros dados por las características presentadas anteriormente.
A continuación se procede a simular el comportamiento del sistema lineal con el controlador por
ubicación de polos. La figura 5.2 muestra la configuración que se utilizó para realizar el controlador.
64
Figura 5.2, Configuración realimentación de estados, ubicación de polos en espacio de estados y configuración planta deseada.
Fuente: Autor
La simulación está compuesta por el modelo lineal en espacio de estados de la planta de levitación
magnética, representado en el bloque State-Space, la matriz de realimentación llamada , el inverso de la
ganancia estática y la referencia que corresponde a una entrada paso.
La ganancia asociada llamada corresponde al inverso de la ganancia estática, y se encuentra llevando
el límite cuando tiende a 0, de la función de transferencia del sistema en lazo cerrado , es decir:
De esta manera la respuesta del sistema se estabiliza en el valor de la referencia y así es posible comparar
la respuesta respecto a la referencia con mayor exactitud, ya que en el caso de no tener esta ganancia el
error en estado estacionario no sería nulo. A continuación se presenta la figura de la simulación de la
configuración mencionada anteriormente.
Figura 5.3, Respuesta a entrada paso realimentador de estados continuo
Fuente: Autor En la figura 5.3 se puede observar el punto de referencia o set point en negro y la respuesta del sistema
controlado por el realimentador de estados en azul. Se puede evidenciar que el comportamiento del
sistema con el controlador es bastante similar a la respuesta obtenida en el capítulo 4.
65
De esta forma se puede concluir que el controlador mediante el diseño en espacio de estados por ubicación
de polos se puede utilizar teniendo en cuenta únicamente la dinámica de la respuesta del sistema. Es
pertinente mencionar que el tiempo de respuesta del sistema está directamente relacionado con el esfuerzo
de control que debe realizar el controlador, de esta forma se puede definir si el controlador se puede
implementar teniendo en cuenta los límites físicos del sistema. De esta forma para escoger definitivamente
si el controlador se puede utilizar, se debe conocer el comportamiento de la señal de control del sistema o
también llamado esfuerzo de control.
El esfuerzo de control realizado por el control, para conocer si este controlador no excede los rangos de
saturación del sistema se puede evidenciar en la figura 5.4.
Figura 5.4, Esfuerzo de control del controlador por realimentación de estados, con entrada paso con valor en el punto de operación.
Fuente: Autor
Como se puede observar en la figura 5.4 la señal de control llega a los límites de saturación del sistema
que son de +/- 15 voltios, esto conlleva a la saturación del controlador con la configuración calculada
anteriormente, entonces se tendrían que utilizar métodos adicionales para evitar la saturación de este
controlador. Sin embargo debe aclararse que no se están teniendo en cuenta otras características de la
configuración para la implementación del controlador, como la disponibilidad de los estados y el
procedimiento para digitalizar las ecuaciones de estado, el planteamiento de este controlador es un
acercamiento teórico al modelo de control que se debe implementar en la planta, así que es muy prematuro
afirmar que este controlador no sea el indicado para manejar la referencia de la planta de levitación
magnética y poder comparar las respuestas respecto al PIF.
En el siguiente capítulo se plantea realizar el realimentador directamente en tiempo discreto para conocer
las variaciones que puede tener respecto al realimentador en tiempo continuo, y formular el planteamiento
de un observador o estimador de estados, ya que el sistema no tiene todos los estados disponibles para su
medición.
5.2 Diseño en espacio de estados por ubicación de polos en tiempo discreto
A continuación se presenta el controlador por ubicación de polos en tiempo discreto, la configuración se
puede observar en la figura 5.5.
66
Figura 5.5, Configuración realimentación de estados, ubicación de polos en espacio de estados en tiempo discreto.
Fuente: Autor
El sistema de ecuaciones descrito para la configuración de la figura 5.5 corresponde a:
Donde son el número de muestras, y y , son las matrices del espacio de estados discreto del
sistema. Para obtener estas matrices de estado en tiempo discreto, se debe hallar el resultado de las
siguientes ecuaciones:
Entonces para un tiempo de muestreo de , se tiene que:
El tiempo de muestreo mencionado anteriormente representa el tiempo escogido en el trabajo de grado [8]
y se utiliza en las pruebas de los controladores planteados para comprobar su comportamiento en el
sistema de adquisición de datos en tiempo real. Igualmente se utilizará el mismo valor para la
implementación en el sistema digital, ya que1ms cumple el criterio mencionado en el capítulo de estudio
del tiempo de muestreo.
Primero se examina el rango de la matriz de alcanzabilidad , denotado como para comprobar que
el sistema es alcanzable.
67
El rango de esta matriz es 3, entonces el sistema es de estado completamente alcanzable, y es posible la
ubicación arbitraria de polos, tal y como se calculó en el controlador por ubicación de polos en tiempo
continúo.
De acuerdo con las matrices halladas en la discretización, el sistema estará descrito mediante la ecuación
del polinomio característico,
Donde los coeficientes equivalen a:
Se determina una matriz de ganancia de realimentación del estado adecuada, tal que el sistema tenga los
polos en lazo cerrado según las especificaciones mostradas en la ubicación de polos en tiempo continuo.
Debido a que estos polos están representados en tiempo continuo se debe cambiar la representación en
tiempo discreto para este caso específico.
Para la transformación a tiempo discreto de los polos, se realiza la operación mostrada en el capítulo 2:
Entonces teniendo los siguientes polos en tiempo continuo, se dispone a reemplazar los valores para hallar
el equivalente en tiempo discreto.
Ecuación característica deseada, en tiempo discreto es:
De modo que,
La matriz de ganancia de realimentación del estado está dada por la ecuación:
Donde,
68
Por lo tanto,
De esta forma se procede a simular el comportamiento de este controlador, al igual que en el caso
continuo, la configuración utilizada se puede observar en la figura 5.6.
Figura 5.6, Configuración realimentación de estados discreto, ubicación de polos en espacio de estados.
Fuente: Autor
De manera análoga al caso continuo la ganancia estática es necesaria implementarla en el modelo para
obtener un error de estado estacionario nulo, por lo tanto es necesario hallar la función de transferencia en
tiempo discreto y hallar el siguiente límite:
El resultado de la simulación en tiempo discreto, se quiere comparar respecto a la simulación en tiempo
continuo, esto se puede evidenciar en la figura 5.7.
Figura 5.7, Respuesta paso con valor en el punto de operación, de los sistemas controlados por realimentación de estados discreto (azul) y
realimentación de estados continuo (Rojo).
Fuente: Autor
69
Como se puede observar en la figura 5.7 los dos comportamientos se asemejan mucho tanto el
realimentador en espacio de estados continuo como en discreto, por lo tanto se llega a la conclusión que el
controlador discreto por ubicación de polos serviría para controlar la planta con las características de
respuesta propuestos en el desarrollo del libro. Otra característica que se debe tener en cuenta, es el
esfuerzo de control hecho por el controlador. De esta forma se procede a graficar el esfuerzo de control del
realimentador discreto, el cual se puede evidenciar en la figura 5.8.
Figura 5.8, Esfuerzo de control del controlador por realimentación de estados, con entrada paso con valor en el punto de operación.
Fuente: Autor
Como se puede observar en la figura 5.8 el controlador discreto no llega a los límites de saturación del
sistema que son de +/- 15 voltios, diferenciado notablemente del realimentador de estados continuo,
entonces en ese orden de ideas puesto que la señal de control es menor en el realimentador discreto se
trabajará en discreto en este capítulo. Para realizar los cálculos del controlador de ubicación de polos en
espacio de estados, se supuso que todas las variables de estado estaban disponibles para su realimentación.
Sin embargo, en la práctica no todas las variables de estado están disponibles para su medición directa.
Entonces, se requiere estimar las variables de estado que no están disponibles con un observador [6]. En
este caso específico, la variable que está disponible para su medición es la posición, mediante sensores de
luz, y las variables a estimar son la velocidad y la corriente [8].
70
5.3 Observador de Estado Discreto
Un observador de estado, también llamado estimador de estado, es un subsistema en el sistema de control
que realiza una estimación de las variables de estado basado en las medidas de la salida y de las variables
de control [6]. Para realizar el estimador de estado es necesario que el sistema sea observable, este criterio
se puede evidenciar hallando el rango de la matriz de observabilidad denotado , si la matriz es
de rango completo se puede diseñar un estimador tal que observe los estados que no están disponibles para
su medición:
La figura 5.8 representa gráficamente el estimador de estados de orden completo que se va a implementar
en el sistema de control.
Figura 5.8, Configuración observador discreto de orden completo.
Se considera el sistema definido mediante el siguiente sistema de ecuaciones en el espacio de estados,
donde son los estados estimados y es la matriz de ponderación del estimador:
La ecuación característica para el observador está dada por:
La ecuación característica del observador debe tener un tiempo de respuesta considerablemente menor al
tiempo de respuesta del controlador, en este caso se tomará 4 veces menor respecto al tiempo de respuesta
de la dinámica del controlador, esto debido a que el estimador debe ofrecer las variables estimadas
anticipadamente. Según esto se halla la ecuación característica del observador.
Observador de Estados
Sistema Lineal Discreto
71
La ecuación característica del controlador con un tiempo de establecimiento de 80 ms, justificado en el
capítulo 4, corresponde a:
En ese orden de ideas es necesario diseñar un comportamiento dinámico de 3er orden según la ecuación
característica anterior, tal que tenga un tiempo de establecimiento 4 veces menor al tiempo de
establecimiento del controlador. Se tiene en cuenta el comportamiento dominante de los 3 polos más
cercanos al origen, ya que el 4to polo está lo suficientemente alejado para no afectar la dinámica de los
demás. El sistema de 3er orden a desarrollar está compuesto por un sistema de segundo orden y un polo
alejado una década de los polos que conforman el 2do orden, siendo el factor de amortiguamiento y
la frecuencia natural del sistema. es un valor entre 0 y 1 para que el sistema actúe como un sistema sub-
amortiguado, en este caso se escogió aleatoriamente 0.6 debido a que el sobre impulso de la respuesta del
observador no afecta la estimación del observador.
Teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores se tiene que los valores de , y corresponden a:
Entonces, en ese orden de ideas es necesario colocar un tercer polo que no afecte la velocidad de respuesta
del estimador así que se coloca una década más alejado que los demás . Como el observador
debe implementarse en tiempo discreto, los polos también deben estar en tiempo discreto, estos son:
La constante se puede hallar mediante la fórmula de Ackerman como:
Y los coeficientes de equivalen a los coeficientes de la ecuación característica deseada.
Entonces se tendría como resultado que las ganancias de realimentación para el estimador de estados
equivalen a:
72
Ecuación característica del observador de orden completo
A continuación se compara un sistema con los estados medidos y otro con los estados estimados para
confirmar el tiempo de respuesta del estimador, la simulación se realiza con condiciones iniciales
distintas; 5 mm para el sistema sin realimentador de estados discreto y 6 mm para el sistema con
realimentador de estados implementado, y la misma referencia 7 mm para los dos sistemas.
Figura 5.9, Respuesta controlador sin estimador azul, respuesta controlador con estimador verde.
Fuente: Autor
Como se puede observar en la figura 5.9 la señal que no tiene realimentador, señal azul, todos los estados
están disponibles para su medición, así que en el tiempo 0 tiene a la salida 6mm. Y el sistema que tiene el
estimador su salida en tiempo 0 es igual a la condición inicial y tiene que estimar las variables que no se
pueden medir.
El observador que se diseñó se utilizará en los siguientes sistemas de control, más adelante se profundizará
en la implicación que tiene sobre el control el tener un observador que tenga menor o mayor tiempo de
respuesta respecto a la ley de control, debido a que los sensores que se utilizan para la medición de
posición, tienen una gran disposición para medir el ruido externo. Esto dificulta en gran proporción la
implementación de un control con los mínimos requerimientos de estabilidad y eficiencia.
Al implementar el realimentador de estados discreto con un observador de orden completo en el modulo
en tiempo real de Matlab, no se obtuvieron resultados satisfactorios, el controlador no respondía a los
estímulos dados en la señal de entrada al sistema realimentado o referencia, así que se plantea un sistema
con un controlador integral, que permita controlar la planta de levitación magnética.
73
5.4 Sistemas de seguimiento Servo system
A continuación se presenta un modelo planteado en [14], que desarrolla con más criterios la teoría de
control. El modelo se conoce como controlador por ubicación de polos por sistema de seguimiento o servo
system, el cual representa el control con mayor practicidad para la implementación del mismo,
permitiendo así el control de la posición del sistema de levitación magnética.
Por lo general, en el sistema de seguimiento es necesario que el sistema tenga uno o más integradores
dentro del lazo cerrado, a fin de eliminar el error en estado estacionario en la salida del sistema a entradas
paso. La configuración Servo System se puede evidenciar en la figura 5.10.
Figura 5.10, Configuración Servo System.
Fuente: [14]
Para la implementación del servo system es necesario plantear un nuevo espacio de estados.
Donde,
Se debe determinar la constante para el sistema tal que su respuesta sea determinada por las
características deseadas al principio de este capítulo.
La fórmula por la cual se puede hallar se menciona en [14], y es de la forma:
Controlador Integral
Observador de Estados
Sistema Lineal Discreto
74
Esta fórmula es llamada fórmula de Ackerman donde:
Y son los coeficientes de la ecuación característica deseada, al hallar el sistema de seguimiento en
lazo cerrado debe tener el mismo comportamiento dinámico de esta ecuación característica.
Entonces teniendo la ecuación característica continua del sistema con un comportamiento deseado, se
hallan los coeficientes necesarios en la fórmula de Ackerman
Y en tiempo discreto la ecuación característica anterior corresponde a:
Ahora, siendo la ganancia de ponderación del estimador, que en el capítulo anterior se llamó y
la ganancia del controlador integral, se procede a encontrar los valores de dichas constantes por separado,
para esto se plantea la siguiente ecuación:
De esta forma se tendría que:
A continuación se evidencian los resultados obtenidos en la simulación, el estimador fue implementado
con los parámetros descritos en el capítulo anterior.
La figura 5.11 muestra como se implementó en la simulación el sistema de seguimiento planteado.
75
Figura 5.11, Configuración simulación Servo System.
Fuente: Autor
Y los resultados tanto de la salida figura 5.12, como del esfuerzo de control, figura 5.13 y el error figura
5.14, fueron los siguientes
Figura 5.12, Respuesta entrada paso Servo System. Figura 5.13, Esfuerzo de control a entrada paso para Servo System.
Figura 5.14, Error a entrada paso Servo System.
Como se puede observar en la simulación, el controlador planteado es viable para su implementación, ya
que la salida sigue a la referencia, y además la señal de control no supera los límites de saturación físicos
de la planta. Sin embargo al implementarlo en el módulo de tiempo real, el sistema no responde a los
cambios de referencia y no logra estabilizarse en un punto específico, una de las características del sistema
es que el integrador acumula el error con un coeficiente muy grande, así para un error pequeño la señal de
control llega a saturarse fácilmente, entonces teniendo estos resultados no es posible implementar
76
satisfactoriamente este sistema de control. Así que se plantea un nuevo sistema de seguimiento con una
nueva topología, que permita una implementación satisfactoria para la planta de levitación magnética.
5.5 Servo System de comparación completa de estados
El sistema de seguimiento que se plantea a continuación permite comparar todos los estados presentes en
el modelo lineal. En el controlador Servo System presentado anteriormente se comparaba únicamente el
estado medible (posición), en este caso será posible comparar tanto el estado medido como los estados
estimados. La comparación será entre los estados estimados y los puntos de referencia lo cual
permitirá una aproximación más acertada a la situación actual del sistema, de esta forma el controlador por
ubicación de polos funcionará de la forma deseada por el usuario, la salida siguiendo la referencia. La
topología Servo System de comparación completa de estados se puede evidenciar en la figura 5.15.
Figura 5.15, Configuración Servo System de comparación completa.
Fuente: Autor
Como se puede observar en la figura 5.15, hay una ganancia adicional en la topología del controlador
integral llamada . Para este control fue necesario colocar esta constante en este lugar específico, ya que
al desarrollar el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de las constantes y , (el sistema de
ecuaciones se halla encontrando el determinante del sistema en lazo cerrado), se llegaba a un sistema de 4
ecuaciones con 3 incógnitas porque y dependen linealmente y se pueden simplificar de la forma
.
Entonces para resolver el sistema de ecuaciones lineales se debía adicionar a la topología una constante en
un lugar específico. Para hallar el lugar donde debía estar la constante en la topología, se desarrolló el
sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas, se encontró el coeficiente que no depende de ninguna incógnita y
se encontró respecto a la ecuación de estado el lugar donde debería ir la constante.
Para la implementación del controlador en el sistema digital es necesario calcular el vector , que es el
vector referencia de estados, calculado con los puntos de operación respecto a una posición. es de la
forma:
Controlador Integral
Sistema Lineal Discreto
Observador de Estados
77
Donde,
es la posición definida por el usuario en mm.
es la velocidad que en estado estacionario debe ser 0.
es la corriente necesaria para una posición específica. La cual está definida por la siguiente
ecuación, definida en el capítulo 3:
Siendo la posición de la bola, es evidente observar que la ecuación es no lineal respecto a la posición, lo
cual para la implementación de este cálculo en el sistema digital tendrá complicaciones adicionales como
tiempo de procesamiento e implementación de cálculos aritméticos no lineales. Así que se plantea
linealizar la función en un punto específico para obtener una ecuación lineal equivalente válida
para una región de operación. Para esto se utiliza una expansión en series de Taylor, teniendo en cuenta
que el punto de operación es igual al punto de operación utilizado en el capítulo 3, ( ).
Siendo;
Entonces,
Teniendo los valores precisos de se procede a hallar la dinámica del sistema Servo System de
comparación completa de estados. A continuación se analizará el procedimiento para determinar las
matrices , y , de forma que el sistema tenga los polos en lazo cerrado deseados.
De acuerdo a la figura 5.15 la señal en el controlador integral equivale a:
Definiendo y
Además según la ecuación de estado del sistema lineal se tiene que:
Entonces se obtienen las siguientes ecuaciones de estado:
78
La ecuación característica del sistema realimentado , que equivale a , debe ser igual a la
ecuación característica deseada. La ecuación característica deseada equivale a:
Desarrollando las ecuaciones lineales del determinante e igualando los coeficientes se tendría que:
Respecto a estas constantes se obtuvieron los siguientes resultados en la simulación, respuesta figura 5.16,
esfuerzo de control figura 5.17 y el error de posición figura 5.18.
Figura 5.16, Respuesta salida Servo System de comparación completa. Figura 5.17, Esfuerzo control Servo System de comparación completa.
Figura 5.18, Error posición Servo System de comparación completa.
79
Como se puede observar en la simulación del Servo System de comparación completa, la salida sigue a la
referencia con un error de estado estacionario aceptable. La señal de control no supera los límites físicos
del sistema así que se procede a implementar ésta topología en el módulo de tiempo real de Matlab.
5.6 Implementación
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en la simulación se procedió a implementar el controlador en
el módulo en tiempo real, que permite evidenciar con certeza el comportamiento de la planta de levitación.
Para la implementación del módulo en tiempo real se utilizó la configuración de la figura 5.19.
Figura 5.19, Configuración Servo System de comparación completa.
Fuente: Autor
Y estos fueron los resultados de la implementación en el módulo de tiempo real con una entrada de 1mm,
de 5.5mm a 6.5mm, dentro del rango de operación del sistema.
La figura 5.20 corresponde a la salida del sistema.
Figura 5.20, Respuesta real entrada paso Servo System de comparación completa de estados.
80
La figura 5.21 corresponde al error de la posición del sistema y la figura 5.22 corresponde al esfuerzo de
control.
Figura 5.21, Error de posición real Servo System de comparación completa de estados.
Figura 5.22, Esfuerzo de control real Servo System de comparación completa de estados.
Como se puede evidenciar en las gráficas anteriores, es posible controlar satisfactoriamente el sistema con
entradas paso, es decir la salida sigue a la referencia, además el esfuerzo de control no llega a los límites
de saturación del sistema. Sin embargo la respuesta no tiene la misma respuesta dinámica simulada, la
cual fue planteada al principio de este capítulo, esto debido al tiempo de respuesta del estimador de
estados, ya que si los estados están disponibles para su realimentación con un pequeño retraso, el control
responde con ése retardo y el sistema tiene un tiempo de respuesta mayor.
81
Para solucionar este inconveniente se procede a cambiar los valores del tiempo de respuesta del
observador de orden completo, se requiere que el tiempo de respuesta sea menor al propuesto en el cálculo
del estimador.
5.7 Observador de Estados Modificado
Se sabe que el sistema es observable por:
De acuerdo a esto se calcula el observador de orden completo con un tiempo de respuesta
considerablemente menor al calculado anteriormente. En el cálculo anterior el tiempo escogido fue 20ms,
porque se consideró que debía ser 4 veces menor al tiempo de respuesta del controlador, en este caso se
utilizará 8ms que es 10 veces menor al tiempo de establecimiento del controlador hallado y justificado en
el capítulo 4. Siendo el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural del sistema.
Y con un polo adicional que no afecte las características dadas del 2do orden en , en tiempo
discreto:
Entonces se tendría como resultado que las ganancias de realimentación para el estimador de estados
equivalen a:
Y estos fueron los resultados de la implementación en el módulo de tiempo real Matlab, con una entrada
escalón de 5.5mm a 6.5mm aproximadamente, la figura 5.23 evidencia la respuesta del sistema con el
observador de estados modificado, la figura 5.24 el error de posición y la figura 5.25 el esfuerzo de
control.
82
Figura 5.23, Respuesta real entrada paso Servo System de comparación completa de estados.
Figura 5.24, Esfuerzo de control real Servo System de comparación completa de estados.
Figura 5.25, Esfuerzo de control real Servo System de comparación completa de estados.
83
Como se puede evidenciar en las gráficas anteriores, el tiempo de respuesta es menor al planteado con el
observador que tiene tiempo de respuesta y de establecimiento de 20ms. Así que se procede a implementar
éste controlador en el sistema digital
Al realizar las pruebas pertinentes en el sistema digital, (más adelante se mostrará el detalle de la
implementación), el sistema responde con más sensibilidad al ruido externo producido por luz blanca
respecto a lo que respondía con el estimador sin modificar, al aumentar la velocidad de respuesta del
estimador se aumentó el ancho de banda del controlador, permitiendo así un aumento significativo en la
inestabilidad del control.
Es así como se escogió el tiempo de respuesta del estimador, sin embargo se planteó una última
modificación al control, respecto al controlador integral, ya que independiente del estimador que se utilice
en la configuración, el integrador debería filtrar estos cambios inmediatos de error en el controlador, esto
porque el integrador tiene una configuración que filtra las señales de alta frecuencia y por ende los
cambios inmediatos en la señal de error.
5.8 Servo System de comparación completa de estados con integrador modificado
En esta última modificación al control, se quiere cuestionar la configuración del controlador integral
planteado en el modelo servo system de comparación completa de estados y de esta manera justificar las
diferencias entre la respuesta simulada y real.
A continuación en la figura 5.26, se presenta la configuración del integrador utilizada en el control servo
system de comparación completa de estados,
Figura 5.26, Controlador integral Servo System de comparación completa de estados.
Fuente: [14]
La representación en ecuaciones de diferencia del controlador integral de la figura 5.26 corresponde a:
En el capítulo 4, se encontró la representación en ecuaciones de diferencia de un integrador y corresponde:
Entonces se procede a justificar por qué el controlador integral planteado en el control servo system de
comparación completa de estados, no tiene el comportamiento de un integrador y se planteará una
solución a este problema.
Si hallamos la representación en el espacio de la siguiente ecuación se tendría que:
84
Para este caso específico
Así que la representación en tiempo continúo de la ecuación anterior, teniendo en cuenta que el tiempo de
muestreo es 1 ms sería:
Como se puede evidenciar la configuración del controlador integral planteado no tiene el comportamiento
de un integrador.
A continuación se plantea una modificación en el control integral, de tal forma que sea de la forma:
Entonces de esta forma, la configuración del controlador integral se evidencia en la figura 5.27.
Figura 5.27, Controlador integral modificado Servo System de comparación completa de estados.
Fuente: Autor
Y la configuración completa del sistema con el integrador planteado en este capítulo, se puede evidenciar
en la figura 5.28.
Figura 5.28, Configuración Servo System de comparación completa con controlador integral modificado.
Fuente: Autor
Controlador Integral
Sistema Lineal Discreto
Observador de Estados
85
Con este controlador integral se procede a hallar las ecuaciones de estado equivalentes al modelo de la
figura 5.28. A continuación se analizará el procedimiento para determinar las constantes , y ,
de forma que el sistema tenga los polos en lazo cerrado deseados.
Definiendo y .
Además como,
Se reemplaza la ecuación , en la ecuación y se obtiene:
Como se puede observar la ecuación anterior tiene que depende de , entonces se debe
adicionar un nuevo estado para plantear las ecuaciones de estado que modelen el sistema. El nuevo estado
se llamará y este debe equivaler a .
Y se tendría el sistema de ecuaciones que permitirá modelar el comportamiento del sistema con el
integrador modificado.
Donde el rango de la matriz es 4, lo cual coincide con el número de polos deseados entonces se puede
realizar el despeje de las ecuaciones lineales correspondientes, de esta forma el debe ser igual a
la ecuación característica deseada.
Como es de , existen 3 constantes por hallar y como el sistema quedará con cuatro ecuaciones a
desarrollar, se define para tener 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Según esto se despejan las
ecuaciones lineales correspondientes obteniendo:
86
Los resultados en la simulación de: la respuesta del sistema, del esfuerzo de control y del error de posición
se evidencian en las figuras 5.29, 5.30 y 5.31 respectivamente.
Figura 5.29, Respuesta salida Servo System de comparación completa. Figura 5.30, Esfuerzo control Servo System de comparación completa.
Figura 31, Error posición Servo System de comparación completa.
Se puede evidenciar que la respuesta del sistema cambia su comportamiento dinámico con el integrador
modificado, el sistema tiene un tiempo de establecimiento mayor al tiempo de establecimiento sin el
integrador modificado. A su vez el esfuerzo de control es mucho menor, no se llegan a valores positivos
mayores a 10 voltios, lo cual en términos de eficiencia mejora su comportamiento notablemente respecto
al controlador sin el integrador modificado, ya que el controlador no llega a los valores de saturación
establecidos permitiendo así al sistema responder de una manera óptima. De esta forma se procede a
implementar el controlador con el integrador modificado en el módulo de tiempo real de Matlab, para así
notar más diferencias en el comportamiento de los controladores y llegar a conclusiones teniendo en
cuenta los resultados obtenidos.
87
A continuación los resultados de la implementación en el módulo de tiempo real de Matlab, de la
respuesta del error de posición y del esfuerzo de control, se evidencian en las figuras 5.32, 5.33 y 5.34
respectivamente.
Figura 5.32, Respuesta real Servo System con integrador modificado. Figura 5.33, Error de posición Servo System con integrador modificado.
Figura 5.34, Esfuerzo de control Servo System con integrador modificado.
Observando la respuesta del sistema, se puede notar que el tiempo de establecimiento del sistema
propuesto disminuyó, respecto al valor obtenido en el sistema del controlador sin el integrador
modificado, tal como se evidenció en la simulación. La respuesta del esfuerzo de control respecto al ruido
producido por la luz externa no cambia significativamente su comportamiento, de esta forma aunque el
integrador se halla corregido se deben tener en cuenta más características en el sistema, para que se pueda
implementar un sistema de seguimiento o Servo System con un observador de orden completo con un
tiempo de establecimiento menor a 10 veces el tiempo de establecimiento de la respuesta del controlador.
88
A continuación se mostrará el procedimiento que se utilizó para la implementación en el
microcrontrolador, del controlador Servo System de comparación completa de estados.
5.9 Implementación Servo System de comparación completa de estados en el sistema digital
En este capítulo se quiere mostrar la implementación del control desde una perspectiva general, que
características fueron relevantes para la implementación y para el funcionamiento del controlador.
El primer bloque a implementar fue el conversor de puntos de operación, necesario para tener los puntos
de referencia respecto a cada estado del sistema. El bloque consiste en una ecuación aritmética hallada
anteriormente (5.19). El segundo bloque fue estimador de estados de orden completo, ya que el
controlador necesita de la resta de los estados estimados y de los estados referencia. Luego se procede a
implementar el controlador, que consiste en multiplicar una constante por la resta entre estados estimados
y de los estados referencia. Después se implementa el controlador integral, para obtener la salida del
sistema la cual se asigna al módulo de PWM del controlador. En la figura 5.35 se puede muestran los
bloques mencionados anteriormente.
Conversor
estados
referencia
Controlador
Estimador de Estados
Resta
Controlador
Integral
Coeficiente
a PWM
Referencia Señal medida
89
Figura 5.35, Modelo implementación Servo System de comparación completa de estados.
Fuente: Autor
6 ELECCIÓN DE HARDWARE
La elección del micro controlador estará acotado entre la familia de microcontroladores de MICROCHIP,
debido a que ya se tiene una familiarización con dichos dispositivos; se tuvieron en cuenta como medida
de referencia para la elección del dispositivo el tamaño de memoria disponible, la cual no tiene que ser
grande ya que la programación de este dispositivo para cumplir con las tareas propuestas (la
implementación de las leyes de control) no necesita hacer operaciones ni algoritmos complejos, así
mismo, la cantidad de puertos de entrada y salida (I/O), el numero de convertidores A/D, haciendo énfasis
en el numero de puertos que se pueden configurar como entradas análogas, el número de timers y
finalmente la frecuencia del reloj.
Inicialmente se planteo usar un dsPIC , para el cual se realizo un estudio a partir de las tablas dadas por los
proveedores en donde se pueden comparar cada una de las anteriores especificaciones entre diferentes
dsPICs de la familia 30F de Microchip.
90
El dsPIC adecuado por las características mencionadas anteriormente es el más pequeño de esta familia,
que corresponde a el dsPIC30F1010, que posee una memoria flash de 6 kbytes en donde quedará
almacenado el código de programación en C, conjuntamente 21 pines de entrada salida en donde están
compartidos los puertos del PWM, del ADC, de la UART, salidas binarias, entre otros. Además 2
temporizadores digitales de 16 bit. Posteriormente a este análisis se decidió no usar un dsPIC debido a que
no es necesario usar el módulo de DSP ni la complejidad de su arquitectura, por esta razón se decidió
trabajar con un PIC-18, el cual es un controlador de interfaz programable con una arquitectura y
especificaciones más sencilla.
El PIC-18F8722, figura 6.1, fue el micro controlador escogido, el cual posee los requerimientos necesarios
para la implementación de las dos leyes de control, con un frecuencia máxima de operación de 40 Mhz,5
timers de los cuales se usarán 3, uno para la interrupción, otro para la salida PWM y otro para comprobar
el funcionamiento del algoritmo programado prendiendo y apagando un LED, 2 módulos de PWM de los
cuales se usará uno y un conversor análogo a digital con una resolución de 10 bit con 16 canales de
entrada de los cuales se usarán solo dos.
91
Figura 6.1 Tarjeta de desarrollo ET-BASE PIC8722 (ICD2)
La forma como interactuará el PIC-18 con la planta de levitación magnética como se muestra en la figura
6.2, tendrá conectado los dos sensores infrarrojos a dos canales (AN7 y AN8) los cuales serán
multiplexados y configurados como entradas análogas, el esfuerzo de control será dado por el módulo de
salida del PWM del PIC-18 y tres salidas digitales serán conectadas a la planta para controlar el
desplazamiento horizontal, el cual está en lazo abierto debido a que no existen sensores que puedan
controlar esta variable.
Figura 6.2 Interconexión del PIC18 con la Planta de Levitación Magnética.
Para las dos leyes de control, la forma cómo interactuarán con la planta es la misma, lo único que cambia
es el algoritmo de control, en otras palabras, el algoritmo para adquirir los datos y dar una salida por el
PWM hacia la planta de levitación magnética.
En el polling se implemento la adquisición de datos usando el ADC de 10 bit, convirtiendo todo el tiempo
las señales análogas dadas por los dos sensores. Los valores de la posición de la bola se almacenan en dos
vectores hasta el momento que llega a la interrupción, en ésta parte del programa se asegura que estos
vectores solamente están llenos de datos de la posición de la bola tomados durante este periodo de
muestreo, con el fin de hacer un filtro haciendo el promedio entre la totalidad de valores almacenados, la
cual depende del máximo número de datos que el PIC puede tomar entre tiempos de muestreo, debido a
que se tiene que garantizar que entre un tiempo de muestro y otro, en el vector no debe quedar algún dato
almacenado correspondiente a valores de los sensores de un tiempo de muestreo anterior. A partir del
promedio se busca disminuir errores de cuantización y ruido producido por los sensores infrarrojos con el
fin de mejorar la respuesta del control, una vez calculado el promedio, se ejecuta la ley de control y
finalmente se obtiene un resultado entre 0 y 255 que corresponde al vector que controla el ciclo útil de
PWM. Se debe asegurar que en este punto en donde se iguala el valor de la salida de la ley de control a
dicho registro que controla el ciclo útil del PWM, el tiempo de muestro se debe cumplir. Una vez
terminado esto, se regresa a el lugar donde se estaba ejecutando el polling antes de saltar a la interrupción,
92
para seguir almacenando los datos en los dos vectores para luego ser usados en la interrupción y
nuevamente dar una salida para el tiempo de muestro siguiente.
El diagrama de flujo que representa la forma como se implemento las dos leyes de control en el PIC-18 y
que representa lo mencionado en el párrafo anterior, se describe en la figura 6.3. En esta figura, la primera
parte corresponde a la configuración del Hardware del PIC, como los timers, el ADC, interrupciones y el
PWM. En el loop de polling se ejecutan todas las tareas del ADC y en la parte derecha de la figura, que es
representada de esta forma asilada, es debido a la interrupción, porque cuando se cumple un tiempo
especificado (Timer 1), no importa lo que se este ejecutando en el loop de polling, inmediatamente se
ejecuta la ley de control, para dar una salida a través del registro CCPR5L que va hacia la planta de
levitación magnética, para luego regresar al polling donde estaba antes de saltar a la interrupción.
Figura 6.3 Diagrama de flujo que representa algoritmo usado para programar el PIC-18.
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6 CONCLUSIONES
Se implementaron dos topologías de control en el PIC 18, las cuales fueron el control servo system con
medición completa de estados y el control proporcional integral con un filtro de segundo orden con
control de sobre impulso en la planta de levitación magnética con un grado de libertad, para los cuales, se
realizó la identificación del modelo de la planta alrededor del punto de operación, que satisfacía las
características de diseño requeridas para la implementación de las dos leyes de control en el sistema
digital. Las conclusiones que se obtuvieron en la realización del trabajo de grado para los diferentes
capítulos de libro son las siguientes.
Validación del modelo:
La validación del modelo se realizó con el fin de mejorar la sintonización de las topologías que se
diseñaron en este trabajo de grado, al obtener una función matemática que describía el
funcionamiento de la planta alrededor de un punto de operación, lo cual facilitó la
implementación, debido a que no fue necesario realizar ajustes en las variables de las leyes de
control al programar el sistema digital, debido a que se obtuvieron las respuestas en lazo cerrado
diseñadas en el capítulo 4 y 5.
El algoritmo usado en la validación del modelo, permitió realizar la identificación de forma más
rápida debido a que ya se tenía un plan de acción en caso de tener resultados que no representaran
aproximadamente el comportamiento de la planta de levitación magnética alrededor del punto de
operación.
Cuando se realice la identificación de una planta inestable se debe asegurar que el modelo
obtenido, representa esta inestabilidad mediante polos positivos y además verificar que la matriz
de controlabilidad o alcanzabilidad de acuerdo al diseño de control, sea de rango completo para
implementar en la planta una topología de control de acuerdo a las variables que se deseen
regular.
La validación del modelo se debe realizar a partir de señales de entrada y de salida adquiridas en
la planta, diferentes a las que se usan para realizar la estimación del modelo matemático.
Diseño de controlador con anti-windup:
La topología planteada en este trabajo de grado para el control de sobre impulso permite diseñar
leyes de control a partir de funciones de transferencia sin necesidad de tener en cuenta la
ubicación de los ceros a menos que estos creen inestabilidad en el sistema, debido a que los ceros
se pueden mover de forma deseada por medio de una ganancia, sin cambiar los polos del sistema
en lazo cerrado ubicados para que cumplan los requerimientos del diseño.
De ser necesario aplicar una ley de control con error en estado estable igual a cero, en la planta de
levitación magnética para un propósito especifico, se puede implementar el control .
El criterio de Routh Hürwitz permite saber si es posible estabilizar una planta a partir de una
topología de control específica, razón por la cual es útil realizar este procedimiento antes de
diseñar un controlador para no perder tiempo en tratar de sintonizar el sistema en lazo cerrado en
caso de que no sea posible.
Cuando se necesite estabilizar un función de transferencia mediante la implementación de un
control digital, se debe realizar un estudio en cual se muestre como varían los polos en lazo
cerrado en el plano z, debido a que el tiempo de muestreo cuando se realiza la discretización,
puede mover los polos fuera del circulo de radio unitario haciendo inestable el sistema.
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Diseño en espacio de estados:
Al plantear el diseño del controlador en espacio de estados en tiempo continuo, no fue posible
obtener una respuesta que cumple con los parámetros mínimos de diseño en la simulación, debido
a que los valores de la señal del control llegaban a los valores de saturación de la planta. A su vez
el controlador en tiempo continuo no fue implementado ya que existe un objetivo planteado
concerniente a la implementación en un sistema digital, entonces se planteó un controlador en
espacio de estados en tiempo discreto.
Para el diseño en espacio de estados en tiempo discreto fue necesario realizar un estudio del
tiempo de muestreo, verificando los efectos del mismo en los valores propios del sistema. Los
resultados obtenidos muestran que para el controlador en espacio de estados independientemente
de su topología, a diferencia del controlador PIF, su respuesta en lazo cerrado no depende del
tiempo de muestreo.
A su vez para la implementación del controlador en espacio de estados fue necesario diseñar un
estimador de estados, debido a que el único estado medible en el sistema es la posición. Para el
observador del sistema, fue posible diseñar un estimador de estados de orden completo que
permitía obtener los estados no medibles.
Se diseñó un controlador en espacio de estados en tiempo discreto, que cumple con las
características mínimas de respuesta planteadas en el proyecto. Al implementar el controlador no
se obtuvieron los resultados vistos en la simulación, entonces se plantea un sistema de
seguimiento o controlador servo system.
En la implementación del observador de orden completo, es importante concluir que el tiempo de
respuesta del mismo es fundamental en sistemas propensos al ruido. En este caso específico, los
sensores de posición de la planta de levitación magnética miden la posición con un alto nivel de
ruido. Teniendo en cuenta esta característica, el tiempo de respuesta del observador está limitado
considerablemente, es decir las variables estimadas no pueden estar disponibles en un tiempo
significativamente menor al tiempo del controlador, esto debido a que el ancho de banda del
sistema aumenta considerablemente y consecuentemente el ruido también.
Se diseñó y se implementó un sistema de seguimiento con las condiciones de respuesta planteadas
en el proyecto, sin embargo en la implementación la respuesta deseada no tiene el mismo
comportamiento de la simulación, para esto se realizó un cambio en la topología del sistema de
seguimiento servo system, el cual consiste en comparar todos los estados del sistema.
El controlador servo system de comparación completa de estados se diseñó respecto a las
especificaciones de respuesta planteadas, en la implementación se obtuvo la respuesta deseada.
Aunque el error en estado estacionario no fue nulo, teniendo en cuenta que se tomó como punto
de partida un sistema de seguimiento con un integrador incorporado.
Elección de Hardware:
Cuando se realiza la implementación de un control digital no solo es suficiente asegurar la
correcta sintonía de la ley de control sino además es necesario garantizar que la adquisición de
datos de las salidas obtenidas tengan el menor error de cuantización debido a que este es un factor
que afecta el desempeño de la ley de control.
Para reducir los errores de cuantización se puede realizar un filtrado de la señales de posición
tomando el promedio entre varios datos de entrada de un tiempo de muestreo.
Cuando se implementa la topología en un sistema digital se debe realizar el cambio del esfuerzo
de control mediante una interrupción para garantizar que el tiempo de muestreo siempre
permanezca constante.
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Perspectiva
Se deben reemplazar los sensores de posición debido a que tienen un rango limitado en el sensado
de la posición, debido a que solo se pueden detectar posiciones de la bola entre 3 mm y 7 mm. Es
necesario realizar un cambio de tecnología debido a que estos sensores son muy propensos a ruido
causado por la luz.
Se propone realizar un trabajo de grado para realimentar la posición de la bola en el eje vertical y
horizontal mediante una cámara de video, con un análisis en señales e imágenes, permitiendo
tener un mayor rango de medición en los dos ejes de control.
Si se logra reducir considerablemente el ruido en la adquisición de la señal de posición en la bola,
es posible obtener un estimador con un tiempo de respuesta menor, por consiguiente la
implementación se asemejará más a la simulación del sistema planteado.
Se propone realizar un trabajo de grado con un control en modos deslizantes u otro tipo de control
que permita controlar la posición de la bola en todo el rango de operación de los sensores debido
a que la planta tiene un comportamiento no lineal.
Se debe realizar un estudio para cambiar las bobinas por unas más eficientes, debido a que
alcanzan altas temperaturas, lo cual genera un mayor consumo de corriente por la disminución en
la densidad de flujo magnético, en otras palabras la densidad de flujo magnético es inversamente
proporcional a la temperatura de las bobinas.
La respuesta del sistema en lazo cerrado con la topología de servo system por comparación de
estados tiene un error de estado estacionario. Para eliminar este error, es posible diseñar e
implementar un sistema con un integrador en la misma topología de control.
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