control digital u1

PROPUESTA VERSIÓN 1.0

Agosto 2015

Departamento de Ingeniería Electrónica

Ingeniería Electrónica

Enrique Reyes Archundia

Control Digital

Control Digital

Ø  Fundamentos Matemáticos de sistemas discretos

Ø  Análisis de sistemas discretos

Ø  Diseño de Controladores

CONTENIDO

Control Digital

Ø Fundamentos Matemáticos de sistemas discretos

o  Examen (60%), práctica (20%), evaluación continua (20%)

Ø Análisis de sistemas discretos o  Examen (35%), Exposición (35%), práctica

(20%), evaluación continua (10%)

Ø Diseño de Controladores o  Controlador digital (100%)

EVALUACIÓN

Control Digital

Fundamentos matemáticos de sistemas discretos

Ø  Introducción a sistemas de control digital

Ø  Ecuaciones de diferencia,

Ø  Transformada Z

Ø  Muestreo y reconstrucción de señales

Control Digital

Ø Función de transferencia Ø Diagrama de bloques

Ø Gráficos de flujo de señal (Mason) Ø Respuesta transitoria (primer y

segundo orden) Ø Representación en espacio de estados

Análisis de sistemas discretos

Control Digital

Ø  Análisis de estabilidad (Criterios de estabilidad)

Ø  Controladores discretos (P,PI,PD,PID) o  Diseño directo o  Emulación

Ø  Introducción a los sistemas de control en espacio de estados

Diseño de Controladores

Control Digital

Ø Ecuaciones diferenciales Ø Función de transferencia Ø Transformada de Laplace Ø Respuesta en el tiempo Ø Respuesta a la frecuencia

Repaso de Sistemas Lineales

UNIDAD I €

G(s) =ωn2

s2 + 2ξωns+ωn2

Control Digital

Ø Control analógico Sistemas digitales

UNIDAD I

C(s)

G(s) R(s) Y(s)

+

-

Control Digital

Ø Control digital Sistemas digitales

UNIDAD I

K(z)

G(s) R(s) Y(s)

+

-

A/D

D/A

Control Digital

Ventajas de usar control digital:

•  Es más fácil cambiar el esquema de control. •  Permite utilizar técnicas “modernas” de control. •  Permite el manejo de una gran cantidad de datos y señales. •  Menor sensibilidad al ruido. •  Menor consumo de energía.

Desventajas de usar un control digital.

•  Puede resultar más caro. •  Implica errores de redondeo. Limitado por tamaño de palabra. •  Normalmente requiere más conocimiento del diseño. •  Puede requerir de software especializado. •  Es más lento.

Ventajas y desventajas

UNIDAD I

Control Digital

Son valores escalares asociados con un índice (k) Ecuación de diferencias lineal de coeficientes constantes

Ecuación de diferencias

UNIDAD I

u(k) = f yk, yk−1,..., yk−m,uk−1,uk−2,...,uk−n[ ]

mkmkknknkk yyyuuu −−−− ++++++= βββαα ...... 11011

Control Digital

Aproximación de una integral

UNIDAD I

y(t)

t 0

Control Digital

Aproximación de una integral

UNIDAD I

y(t)

t (kT) 0 T 2T 3T…………………………….……... (k-1)T kT

11 −− += kkk Tyxx

Control Digital

Transformada Z

UNIDAD I

€

Z x k( ){ }= x k( )z−kk=0

∞

∑

Definición de Transformada Z Transformada de Laplace

€

L x t( ){ }= x(t)e−st∫

z = esT y t ≈ kT

Control Digital

Transformada Z de un impulso unitario

UNIDAD I

En el dominio del tiempo

€

δ kT( )=1 para kT = 00 para kT ≠ 0⎧ ⎨ ⎩

Control Digital

Transformada Z de un impulso unitario

UNIDAD I

En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z

€

Z δ k( ){ }= δ k( )z −k = 1k=0

∞

∑€

δ kT( )=1 para kT = 00 para kT ≠ 0⎧ ⎨ ⎩

Control Digital

Transformada Z de un escalón unitario

UNIDAD I


( ) 1=kTx

Control Digital

Transformada Z de un escalón unitario

UNIDAD I

En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z La serie se reduce a

( ) 1=kTx

€

X z( )= z−kk=0

∞

∑ =1+ z−1 + z−2 + z−3

€

X z( )=1

1− z−1

Control Digital

Transformada Z de una exponencial creciente

UNIDAD I


€

x(kT) = AeakT

Control Digital

Transformada Z de una exponencial creciente

UNIDAD I

En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z Equivale a

€

Z x kT( ){ }= Z AeakT{ }= AeakT( )z −k = A e−aTz( )−kk=0

∞

∑k=0

∞

∑€

x(kT) = AeakT

€

X z( )=A

1− e−aT z( )−1=

A1− eaT z−1

Control Digital

Transformada Z de una función cosenoidal

UNIDAD I

En el dominio del tiempo €

x(kT) = Acos(ΩkT)

Control Digital

Transformada Z de una función cosenoidal

UNIDAD I


Usando identidad de Euler

€

x(kT) = Acos(ΩkT)

€

X z( )= Z x kT( ){ }= Acos ΩkT( )( )z−kk=0

∞

∑

€

Cos ΩkT( )=e jΩkT + e− jΩkT

2

€

X z( )=A2

e jΩT z−1( )k

+ e− jΩT z−1( )k

k=0

∞

∑k=0

∞

∑⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

X z( )= A1− cos ΩT( )z−1

1−2cos ΩT( )z−1 + z−2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Control Digital

Transformada Z de una función senoidal

UNIDAD I


x(kT) = Asen(ΩkT)

Control Digital

Transformada Z de una función senoidal

UNIDAD I


Usando identidad de Euler

€

x(kT) = Asen(ΩkT)

€

X z( )= Z x kT( ){ }= Asen ΩkT( )( )z−kk=0

∞

∑

€

sen ΩkT( )=e jΩkT − e− jΩkT

2 j

€

X z( )=A2

e jΩT z−1( )k− e− jΩT z−1( )

k

k=0

∞

∑k=0

∞

∑⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

X z( )= Asen ΩT( )z−1

1−2cos ΩT( )z−1 + z−2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Control Digital

Transformada Z de una función coseno por una exponencial decreciente

UNIDAD I


x kT( )= Ae−akT cosΩkT( )

Control Digital

Transformada Z de una función coseno por una exponencial decreciente

UNIDAD I


Aplicando definición de transformada Z

Usando identidad de Euler €

X z( )= Z x kT( ){ }= Ae−akT cos ΩkT( )( )z−kk=0

∞

∑

€

cos ΩkT( )=e jΩkT + e− jΩkT

2

€

X z( )=A2

e−akT e jΩT z−1( )k

+ e−akT e− jΩT z−1( )k

k=0

∞

∑k=0

∞

∑⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

x kT( )= Ae−akT cosΩkT( )

€

=A2

e−aT+ jΩTz−1( )k[ ]+ e−aT−jΩTz−1( )k[ ]k=0

∞

∑k=0

∞

∑⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

= A1− e−aT cos ΩT( )z −1

1− 2e−aT cos ΩT( )z −1+ e−2aTz −2⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Control Digital

Transformada Z de una función senoidal por una exponencial decreciente

UNIDAD I


x kT( )= Ae−akT sen ΩkT( )

Control Digital

Transformada Z de una función senoidal por una exponencial decreciente

UNIDAD I


Aplicando definición de transformada Z

Usando identidad de Euler €

X z( )= Z x kT( ){ }= Ae−akT sen ΩkT( )( )z−kk=0

∞

∑

€

sen ΩkT( )=e jΩkT − e− jΩkT

2 j

€

X z( )=A2 j

e−akT e jΩT z−1( )k− e−akT e− jΩT z−1( )

k

k= 0

∞

∑k= 0

∞

∑⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

x kT( )= Ae−akT sen ΩkT( )

€

= Ae−aTsen ΩT( )z−1

1− 2e−aT cosΩT( )z −1+ e−2aTz −2⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Control Digital

Transformada Z de una función rampa

UNIDAD I


x(kT) = AkT para kT ≥ 0

Control Digital

Transformada Z de una rampa

UNIDAD I

En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z Se reduce a

€

x(kT) = AkT para kT ≥ 0

€

X z( )= Z x kT( ){ }= AkT z−k( )k=0

∞

∑

€

= AT 0+ z−1 + 2z−2 + 3z−3 + 4z−4 + ...( )

€

X(z) = AT z−1

1− z−1( )2

Control Digital

Propiedades asociadas con la Transformada Z

UNIDAD I

Linealidad de la transformada Z Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z

€

Z ax k( ){ }= aZ x k( ){ }

€

Z x k( )+ y k( ){ }= Z x k( ){ }+Z y k( ){ }

Control Digital

Teoremas asociados con la Transformada Z

UNIDAD I

Teorema del retardo Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z

( ){ } ( ){ } ( )zXzkxZzkxZ 111 −− ==−

Control Digital


UNIDAD I

Teorema del retardo para un retardo de orden n Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z

Z x k − n( ){ }= z−nZ x k( ){ }= z−nX z( )

Control Digital


UNIDAD I

Teorema del avance Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z

( ){ } ( ) ( )01 xzzXzkxZ −=+

Control Digital


UNIDAD I

Teorema del valor inicial Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z y aplicar el límite

( ) ( )[ ]zXxz ∞→

= lim0

Control Digital


UNIDAD I

Teorema del valor final Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z y restar Z{x(k)}-Z{x(k-1)}

x ∞( ) = Limz→1

1− z−1( )X z( )$%

&'

Control Digital

Transformada Z inversa

UNIDAD I

Métodos para la resolución de la transformada z

•  División directa •  Fracciones parciales •  Método computacional

Control Digital

División directa

UNIDAD I

X z( ) = z−1

1− 2 z−1 + z−2

€

1− 2z −1+ z −2 z −1+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0−z −1+ 2z −2 − z −3

− 2z −2 + 4 z −3 − 2z −4

+ 3z −3 − 2z −4

z −1+ 2z −2 + 3z −3 + 4 z −4 +K

)

X z( ) = Z x k( ){ }= x k( ) z−kk=0

∞

∑

X z( ) = x 0( )+ x 1( ) z−1 + x 2( ) z−2 + x 3( ) z−3 + x 4( ) z−4 +…

€

x 0( ) = 0x 1( ) = 1x 2( ) = 2x 3( ) = 3x 4( ) = 4,etc

€

x k( ) = k

Control Digital

Método Computacional

UNIDAD I

X z( ) = zz−1( ) z+ 0.5( )

X z( ) = zz2 − 0.5z− 0.5

X z( ) =zU z( )

z2 − 0.5z− 0.5dondeU z( ) =1

Control Digital


UNIDAD I

Considerando condiciones iniciales igual a cero

( )[ ] ( )zUzzzzX =−− 5.05.02

( ) ( ) ( ) ( )zUzzXzzXzXz =−− 5.05.02

€

x k+ 2( )− 0.5x k+1( )− 0.5x k( ) = u k+1( )

€

x k+ 2( ) = 0.5x k+1( )+ 0.5x k( )+ u k+1( )

Control Digital


UNIDAD I

Se calculan manualmente los valores para x(0) y x(1) y después se obtienen los valores para x(k+2) con un ciclo usando:

€

x k+ 2( ) = 0.5x k+1( )+ 0.5x k( )+ u k+1( )

Control Digital

Fracciones parciales

UNIDAD I

€

G z( )=z

z −1( ) z + 0.5( )=Azz −1

+Bz

z + 0.5

€

z = Az z + 0.5( )+ Bz z −1( )

€

z ⇒1⇒1= 1.5A∴A =11.5

=23

€

z = −0.5⇒− 0.5= B −0.5( ) −1.5( )∴B = −11.5

= −23

Control Digital

Fracciones parciales

UNIDAD I

€

G z( )=23

zz −1

−23

zz + 0.5

€

g k( ) =231( )−

23−0.5( )k ∴g k( ) =

23−23−0.5( )k

Control Digital

Dado un conjunto de valores discretos de la forma Donde k =1,2,3,… Se define la diferencia de primer retroceso (first backward)como

Ecuaciones de diferencias lineales

UNIDAD I

y kT( ), y k −1( )T"# $%,…y[ k − N( )T ]

€

∇y kT( )= y kT( )− y k−1( )T[ ]

Control Digital

La diferencia de segundo retroceso (second backward) se define como

Ecuaciones de diferencias lineales

UNIDAD I

€

∇2y kT( )= ∇ ∇y kT( )( )= ∇ y kT( )− y k−1( )T[ ]( )

€

= y kT( )− 2y k−1( )T[ ]+ y k− 2( )T[ ]

Control Digital

Haciendo t=kT y Δt=T

Discretización del proceso de derivación

UNIDAD I

€

ʹ′ y t( )= D y t( )=d y t( )

dt= lim

Δt→0

y t( )− y t −Δt( )Δ t

€

= limT→0

y kT( )− y k−1[ ]T( )T

≈y kT( )− y k−1( )T[ ]

T=∇ y kT( )

T

Control Digital

Para la segunda derivada

Discretización del proceso de derivación

UNIDAD I

€

d2y t( )dt2

=

dd y t( )dt

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

dt≈

dy kT( )− y k−1( )T[ ]

T

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

dt

€

≈y kT( )−2y k −1( )T[ ]+ y k −2( )T[ ]

T 2=∇2y kT( )T 2

Control Digital

Considere la función de transferencia Sugerencias: 1.  A partir de G(s), obtenga la ecuación diferencial 2.  Utilice la discretización de la derivada para

obtener la ecuación de diferencias lineal 3.  Utilice transformada Z para resolver la ecuación

para y(kT) 4.  Obtener G(z) 5.  Simular la respuesta al escalón de G(s) y G(z)

Ejercicio para discretizar

UNIDAD I

( )21+

=s

sG

Control Digital

En el dominio de la frecuencia

Teorema de Muestreo

UNIDAD I

€

Xp *( jω) =1T

sen mωsγ /2( )mωsγ /2

e− jmω sγ / 2X j(ω −mωs)[ ]m=∞

∞

∑

x(t)

p(t)

xp*(t)

Control Digital

ωs debe ser al menos el doble de ωc

Teorema de Muestreo

UNIDAD I

ωc

ωc -ωc

-ωc

ωs -ωs

Control Digital

Efecto aliasing por una mala elección del periodo de muestreo

Teorema de Muestreo

UNIDAD I

Control Digital

Por comparación

Aproximación por primer retroceso

UNIDAD I

Ld y t( )d t

!"#

$%&= s Y s( )

€

d y t( )d t

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭ ≈y kT( )− y k−1( )T[ ]

T

€

Zy kT( )− y k−1( )T[ ]

T

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

=y z( )− z −1y z( )

T=1− z −1

T⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ Y z( )

€

s =1− z−1

T⇒ z =

11− s T

Control Digital

Ejercicios: Obtener la transformada Z de Por aproximación de primer retroceso y Tustin y comparar resultados por simulación en MATLAB. Considerar: T=0.1s y T=1s para ambos casos Incluir: desarrollo, resultados obtenidos y conclusiones

Aproximación de Tustin

UNIDAD I

€

sq =2T1− z −1

1+ z −1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

q

⇒ sq =2Tz −1z +1

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

q

€

G s( ) =2

s+1( ) s+ 2( )

€

G s( )=2

s+1( ) s2 + 2s+ 5( )

Control Digital

Mapeo del plano s al z

UNIDAD I

Las variables s y z están relacionadas por sTez =

Si consideramos que s= σ + jω

)2()( kTjTTjTTjsT eeeeeez πωσωσωσ ++ ====

Control Digital


UNIDAD I

El semiplano izquierdo en s equivale al interior del círculo unitario en z

TjTjTTjsT eeeeez )()( ωσωσωσ ++ ====

0,)2(

=

= +

σ

πωσ kTjTeez

Control Digital


UNIDAD I

Considerar el caso en que la frecuencia de muestreo es limitada


Control Digital


UNIDAD I

Relación entre líneas de s con z


Control Digital

Respuesta transitoria

UNIDAD I

Control Digital

Transformación bilineal

UNIDAD I

Control Digital

Muestreo y reconstrucción de señales

Reconstrucción de señales

UNIDAD I

Control Digital

Retenedor de orden cero

Reconstrucción de señales

UNIDAD I

Control Digital

Retenedor de orden cero

UNIDAD I

Control Digital

Discretización con retenedor de orden cero

UNIDAD I

Control Digital


UNIDAD I

Ejemplo: Discretizar Gc(s) considerando que le precede un retenedor de orden cero

Simular los resultados considerando T=0.01s z0 = 6 p0 = 10 kc = 3

Control Digital


UNIDAD I

control digital u1

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