UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera.CONTROL DIGITAL

PROYECTO FINALActividad Colaborativa

Presentado por:SERGIO DAVID MARTINEZ ZARTE - CODIGO: 91540351

Grupo: 299006_7

Tutor del Curso: DIEGO FERNANDO SENDOYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNADESCUELA CIENCIAS BSICAS TECNOLOGA E INGENIERA (ECBTI)CEAD Santa Marta24 de Mayo de 2015

INTRODUCCIN

En la actualidad, los sistemas de control estn presentes en nuestro entorno, en los medios de transporte, las telecomunicaciones, el hogar, en cosas tan simples como la descarga deagua de los sanitarios siendo este el sistema de control anlogo ms sencillo. De acuerdo a la complejidad de los sistemas as son los controladores que deben de ser implementados para manipular sucomportamiento, adems, se deben de tener en cuenta las posibles perturbaciones que puedan afectar el sistema y los sensores involucrados en este.

Por lo anterior, el estudio de los sistemas decontrol es de gran importancia, y en este trabajo se presenta el diseo y simulacin de sistemas de lazos cerrados yconcontroladores en tiempo continuo y discreto, empleando diferentes caractersticas para sudiseo, en este documento se ilustra el procedimiento desarrollado para cada uno de los 2 ejercicios planteados.El anlisis y diseo de tales sistemas de control, hace necesario el conocimiento de herramientas como la Transformada Z, la transformada de Fourier Muestreo y Estabilidad las Tcnicas de diseo digital basado en la frecuencia, tcnicas de diseo digital y anlisis en el espacio de estados. Ms an si a esto le sumamos la gran capacidad de programas de anlisis como Matlab, entonces por medio de su estudio y uso adecuado podemos simular cualquier tipo de sistema comprobando sus resultados analticosEl presente trabajo est basado en los conocimientos adquiridos durante el desarrollo del curso Control Digital, Controladores Digitales, dentro de los controladores encontramos compensador en adelanto puede aumentar la estabilidad o la velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en atraso puede reducir (pero no eliminar) el error en estado estacionario. Tambin se analizaran las constantes de error de Posicin Kp, el error en estado estacionario y el tiempo de establecimiento para una funcin de transferencia de la planta.

ACTIVIDAD TERICA

La primera actividad est compuesta de una serie de ejercicios que debern ser desarrollados de forma analtica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente esquema de control:

Ejercicio 1: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:

(a) Calcule la constante de error de posicin Kp, el error en estado estacionario ante una entrada escaln unitario y el tiempo de establecimiento para la funcin de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.

Como se muestra en la Figura

Gp(s): E la funcin de transferencia de la planta o proceso a ser controlado

Gc(s): Es la funcin de transferencia del controlador

ZOH: Retenedor de orden cero

R(s): Es la seal de entrada o de referencia, tambin denominada punto de ajuste (Set Point)

C(s) Es la variable controlada o de salida del sistema

Primero hallamos G(z), para ello del grfico y lo planteado deducimos las siguientes ecuaciones:

(1) (2)

Reemplazando (1) en (2) y aplicando operador asterisco:

[]*

Ahora,

[]*

Reemplazamos (3) en (4)

Ecuacin en diferencia del sistema de control:

=Como , entonces,

Donde es el operador de transformada Z.

= Sabemos que Ts=0.1 s, usamos MATLAB para hallar la funcin de transferencia pulso, la discretizacin con el comando c2d

Es decir,

Tenemos la funcin de transferencia, pero sin tener en cuenta la realimentacin (lazo cerrado), para hallarla realizamos

Para el error en estado estacionario ante una entrada escaln tenemos

Para el clculo del error de estado estable

Para una entrada escaln

=

Donde es la constante de error de posicin y est dada por:

,

Entonces para el error del estado estacionario tenemos

Pero, ya que la entrada es un escaln unitario , y utilizando el valor de se obtiene la formula.

Para hallar el tiempo de establecimiento o asentamiento se toma la planta y se iguala con la ecuacin general de segundo orden para hallar sus parmetros:

De lo anterior se puede deducir:

Por lo cual para el establecimiento del 5%

Para el establecimiento del 2%

Para el establecimiento del 1%

(b) Disee un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobre impuls mximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de 2 segundos. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.1 segundos.

Como el sobre impulso mximo es: 20% y el tiempo de establecimiento: 2Sg. tenemos,

Para encontrar el rea de diseo, se utilizan las siguientes ecuaciones:

Sabemos que la ecuacin de un controlador PID es

Utilizamos los datos anteriormente encontrados y hallamos la planta con el retenedor de orden cero (Zoh).

Quedando como funcin de transferencia pulso:

Utilizando la ecuacin anterior, y la funcin de transferencia pulso de un controlador PID digital , construimos el modelo de sistema de control digital en funcin de la transformada z para el que la funcin de transferencia pulso se deduce substituyendo las ecuaciones , en la ecuacin:

Esta es la funcin de transferencia pulso de un controlador PID digital

Para desarrollar el controlador PID por mtodos manuales es bastante complicado, as que utilizaremos la herramienta sisotool de MATLAB para hallar las constantes Kp, Ki y Kd.

FIG2. Ecuacin del controlador en SISOTOOL

Ecuacin del controlador PID:

ANALISIS COMPLEMENTARIOSPara hallar la frecuencia natural del sistema utilizamos

=

clc;clearall; close all;%'Carlos castillo calculo constante de error'num=(10)den=[1 3 2]G=tf(num,den)T=0.1Gz=c2d(G,T,'ZOH')margin(Gz)grid

Para el error en estado estacionario ante una entrada escaln unitario U (z), se obtiene primero los polos de esta funcin de transferencia y analizamos si se ubican dentro del crculo unitario.

Los polos de la funcin X (z) son:

Sea U (z) la entrada escaln unitario:

Aplicacin del teorema del Valor Final

numz=[0.04528,0.04097]denz=[1,-1.724,0.7408]rlocus(num,den)[p,z]=pzmap (numz, denz)rlocus(numz,denz)

[x]=dstep(numz,denz,101);t=0:0.05:5;stairs(t,x)grid

El tiempo establecido As el sistema al ser de segundo tipo la constante de error de posicin se encuentra en el grafico que tiende a infinito.Kp=

Como se observa la grfica la planta se vuelve inestable o crinitamente estable cuando su entrada es un escaln, debido a que el sistema tiene un polo muy cerca del lmite del crculo unitario lo que por teora seria:

1. Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las races de la ecuacin caracterstica deben presentarse en el plano z dentro del crculo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al crculo unitario hace inestable al sistema.

2. Si un polo simple se presenta en z=1, entonces el sistema se convierte en crticamente estable. Tambin el sistema se convierte en crticamente estable si un solo par de polos complejos conjugados se presentan sobre el crculo unitario en el plano z. Cualquier polo mltiple en lazo cerrado sobre el crculo unitario hace al sistema inestable.

3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z. Entonces, un sistema de control en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo de una entrada/salida se vuelve inestable si cualquiera de los polos en lazo cerrado se presenta por fuera del crculo unitario y/o cualquier

Ejercicio 2: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:

(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario ante una entrada escaln unitario para la funcin de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la funcin de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto.

Para hallar el error de velocidad Kv (entrada rampa) tenemos:

Ahora,

T=0.2

Hallamos G(z) usando MATLAB para hallar la funcin de transferencia pulso, la discretizacin con el comando c2d

Hallamos el error en estado estacionario ante una entrada escaln unitario para lafuncin de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado

Si,

Entonces,

El margen de fase sera,

Reemplazamos z en G(z)

Usando MATLAB hallamos el margen de fase, para evitar el error de sintaxis cambiamos w por s.

Como se puede observar el margen de fase es de PM= 48.3 valor cercano al margen de fase pedido por el punto (b)

b) Disee un compensador digital en adelanto-atraso para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de fase de 50 y la constante de error de velocidad sea Kv= 2. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.2 segundos. Para este caso s e va a utilizar un compensador de primer orden por su facilidad y pronto entendimiento:

Donde la ganancia Kd debe ser

Para disear se deben tener las siguientes consideraciones: Para que no afecte la respuesta de estado estacionario o el polo (zp) debe ser un valor real dentro del crculo unitario. Para un adelanto de fase, el cero es mayor que el polo (zo>zp) y Kd es mayor que 1 (Kd> 1). Se tiene a como:

Para el sistema de control completo es necesario incluir el controlador , dando como resultado:

Para el sistema de control se deben estipular una regin de diseo del compensador, el enunciado nos da un Ts=0.2, pero es necesario tambin tener un factor de amortiguamiento por esta razn se asumir un factor de amortiguamiento de =0.5.

Como condiciones de la zona de diseo se tiene:

Evaluamos para las condiciones de diseo:

Y para facilitar el anlisis manual hacemos ZPK de MATLAB a G(Z), quedando una ecuacin de polos y ceros ms fcil de entender:

Para compensar en fase no se puede hacer solo con ganancia, ya que el aporte en fase del compensador seria de 0.El margen de fase en este caso est en 57.66, se necesitan compensar 7.66,Y se tiene que pasar de un Kv=0 a un Kv=2.Uno de los mtodos ms utilizados para compensar es ayudado del compensador atraso o adelanto, eliminar un polo de la funcin de transferencia y con el polo que queda del compensador, compensar el faltante de margen de fase.

Elimine el polo localizado en Z=0.8086 y para encontrar el Zp y Kd se utilizara SISOTOOL de MATLAB.

De esta manera el compensador adelanto-atraso tiene la forma:

ACTIVIDAD PRCTICA

EJERCICIO 1:Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Terica, utilice MATLAB para: a) Dibujar la respuesta de la planta en lazo cerrado sin controlador ante una entrada escaln unitario los valores de y corresponden a los encontrados en el inciso (a)?Utilizamos el siguiente cdigo en MATLAB

Los valores de dey en lazo cerrado, demuestran valores cercanos al desarrollo terico del enciso (a) del punto 1

Dibujar la respuesta del sistema con controlador en lazo cerrado ante un escaln unitario. Los valores de tiempo de establecimiento y sobre impulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)?

Utilizamos el siguiente cdigo en MATLAB

Los valores de tiempo de establecimiento y sobre impulso en lazo cerrado, verifican el correcto desarrollo del inciso (b) del punto 1 en la parte terica.

EJERCICIO 2:Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Terica, utilice MATLAB para Dibujar el diagrama de Bode de la plantaEl margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (a) del segundo punto?Para dibujar el diagrama de bode de , se utilizo el siguiente cdigo:

De donde se obtuvo:

Con un de , que es muy similar pero no igual al margen de fase encontrado en el inciso (a) del segundo punto

b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado. El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b) del segundo punto?Para dibujar el diagrama de bode de , del sistema compensado se utilizo el siguiente cdigo:

Obtenemos el siguiente grfico

Para este punto el margen de fase corresponde a 50.7, muy similar al margen de fase del inciso (b) del segundo punto, se pudieron presentar errores de clculo.

CONCLUSIONES

Con el desarrollo de este trabajo se profundizo y logro comprender como de una forma analtica se pueden resolver problemas que podemos ver reflejados en sistemas de control ya sean manuales o automticos. En el desarrollo de esta etapa se desarrollaron controladores PID digitales para trabajar en nuestro caso con una planta o proceso en un estado inicial planteado y que se cumple segn lo establecido.

REFERENCIAS:

Ortiz, G. (S/F) Error en estado estacionario y estabilidad en tiempo discreto [Mdulo] Recuperado e 20 de mayo de 2015 en:http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Control_Automatico/Presentaciones/05_Estabilidad_SistemasDiscretos_v12s01.pdf

Cspedes, J. Rodrguez, O. (S/F) Control Digital [Mdulo] Recuperado el 20 de mayo de 2015 en: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/203051/Mcontrol_digital.pdf