clase07 control digital
DESCRIPTION
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO MEDIANTE MÉTODOS CONVENCIONALESSECCIÓN 4.1. INTRODUCCIÓN. A continuación se presentaran los temas a tratar en este documento. En primera instancia se presentara la correspondencia del plano s con el plano z. Después se analizara la estabilidad de los sistemas de control en lazo cerrado en el plano z y por último se mostraran las características de la respuesta transitoria y en estado permanente de los sistemas deTRANSCRIPT
Control Digital
1
CONTROL DIGITAL
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
EN TIEMPO DISCRETO MEDIANTE
MÉTODOS CONVENCIONALES
SECCIÓN 4.1.
INTRODUCCIÓN.
A continuación se presentaran los temas a
tratar en este documento. En primera instancia
se presentara la correspondencia del plano s
con el plano z. Después se analizara la
estabilidad de los sistemas de control en lazo
cerrado en el plano z y por último se
mostraran las características de la respuesta
transitoria y en estado permanente de los
sistemas de control en tiempo discreto.
SECCIÓN 4.2.
CORRESPONDENCIA DEL PLANO S
HACIA EL PLANO Z.
Las variables complejas z y s están
relacionadas mediante:
Ecuación 1.
De esta manera la localización de los polos y
ceros en el plano z están relacionados con la
localización de los polos y ceros en el plano s.
Por tanto la estabilidad de un sistema en lazo
cerrado en tiempo discreto lineal e invariante
en el tiempo puede determinarse con base en
las posiciones de los polos de la función de
transferencia en pulso en lazo cerrado.
Nota: el comportamiento dinámico del sistema
de control en tiempo discreto depende del
periodo de muestreo T, por tanto un cambio en
el periodo de muestreo T modifica las
localizaciones de polos y ceros en el plano z y
hace que el comportamiento de la respuesta se
modifique.
Correspondencia del semiplano izquierdo
del plano s hacia el plano z.
En el diseño de sistemas de control la
localización de los polos y ceros es de gran
importancia para predecir el comportamiento
dinámico del sistema, esto para el plano s
como para el plano z.
Comparación de las localizaciones de los polos
y ceros entre el plano s y el plano z:
Cuando en el proceso se incorpora un muestreo
por impulsos, las variables s y z se relacionan
mediante la ecuación 1. Lo cual significa que
un polo en el plano s puede quedar localizado
en el plano z mediante la transformación
. Ya que la variable compleja s esta
formada por una parte real y una imaginaria
ω, se tiene:
Ecuación 2.
Y
Ecuación 3.
De la ecuación 3 se puede concluir que para
cada valor de z existirá un número infinito de
valores de s.
Control Digital
2
Ya que la parte real es negativo en el
semiplano izquierdo del plano s, el semiplano
izquierdo del plano z corresponde a:
| |
Ecuación 4.
El eje en el plano s corresponde a | | .
Esto significa que el eje imaginario en el plano
s corresponde al círculo unitario en el plano z,
y el interior del círculo unitario corresponde al
semiplano izquierdo del plano s.
Franja primaria y franjas complementarias.
Como el , el ángulo de z varía desde
hasta conforme varia desde a .
Si se toma un punto representativo en el eje
del plano s y este punto se mueve sobre el eje
desde
hasta
, siendo la
frecuencia de muestro, se tiene que | | , y
varia de – a , en dirección contraria a las
manecillas del reloj del plano z. Lo mismo
ocurre cuando el punto representativo se
mueve desde
hasta
. Por tanto,
conforme el punto en el plano s se mueve en el
eje de a , se dibujara un círculo
unitario en el plano z un número infinito de
veces. Ver figura 1.
Figura 1. Franjas primarias y complementarias.
Ahora si se traza una secuencia de puntos1, 2,
3, 4, 5,1 en el plano s, esta trayectoria
corresponde al círculo unitario con centro en el
origen del plano z. Ver figura 2.
Figura 2. Correspondencia entre la franja primaria en el
plano s y el círculo unitario en el plano z.
El área encerrada por cualquiera de las franjas
complementarias se transforma en el mismo
círculo unitario en el plano z. Por tanto la
correspondencia entre el plano z y el plano s
no es única.
Un punto en el plano z corresponde a un
número infinito de puntos en el plano s,
pero un punto en el plano s corresponde a
un solo punto del plano z.
Nota: si la frecuencia de muestreo es dos veces
mayor o más que la frecuencia más alta del
sistema, entonces cada punto del circulo
unitario en el plano z representa frecuencias
entre
y
.
Correspondencia de algunos de los
contornos del plano s hacia el plano z:
Lugar geométrico de atenuación constante.
Una línea con constante en el plano s
corresponde a in círculo unitario de radio
, con centro en el origen en el plano z.
Ver figura 3.
Control Digital
3
Figura 3. Líneas de atenuación constante en el plano s y
lugar correspondiente en el plano z.
Tiempo de asentamiento .
Este tiempo se determina por el valor de de
los polos dominantes en lazo cerrado. La
región en el plano s a la izquierda de la línea
, corresponde en el plano z a la parte
inferior de un círculo de radio . Ver
figura 4.
Figura 4. Región para un tiempo de asentamiento T en
el plano s y su correspondiente en z.
Lugar geométrico de frecuencia constante.
En el plano s corresponde en el plano
z a una línea radial de ángulo constante
(En radianes). Ver figura 5.
Figura 5. Lugar geométrico de frecuencia constante en
el plano s y su correspondiente en z.
En la figura 6 se puede observar la región
limitada por las líneas de frecuencia constante
y y las líneas de atenuación
constante y .
Figura 6.
Lugares geométricos de factor de
amortiguamiento relativo constante.
O línea radial en el plano s corresponde a una
espiral en el plano z.
En el plano s una línea de factor de
amortiguamiento relativo constante se
determina por:
√
Ecuación 5.
Donde:
√
Ecuación 6.
En el plano z es:
(
√
)
Ecuación 7.
Por tanto:
| | (
√
)
Ecuación 8.
Y el ángulo de z es:
Ecuación 9.
Ver figura 7.
Control Digital
4
Figura7. Línea de factor de amortiguamiento relativo
constante en el plano s y su correspondiente en z.
Nota: si la línea de factor de amortiguamiento
relativo constante esta en el II o III cuadrante
del plano s, entonces la espiral decrece dentro
del circulo unitario en el plano z. Y si esta
línea aparece en el I o IV cuadrante del plano
s, entonces la espiral crece por fuera del
círculo unitario. Ver figura 8.
Figura 8. Lugares geométricos constante.
Mapeo o correspondencia conforme. Ver
figura 9.
Figura 9. Diagrama que muestra la ortogonalidad de los
lugares geométricos de las constantes y de las constantes dentro del plano s y su correspondiente en z.
Regiones del plano s y del plano z para
.
Para constante ( , las espirales
logarítmicas, corresponden a la franja primaria
en el plano s.
Si todos los polos del plano s tienen un
relativo mayor o igual a , entonces los polos
deben ocurrir a la izquierda de la línea de en
el plano s. En el plano z los polos se presentan
en la región limitada por las espirales
logarítmicas correspondientes a . Ver
figura 10.
Figura 10. Región correspondiente a en el plano
s y su correspondiente en z.
Ejemplo: especifique la región en el plano z
que corresponda a la región sombreada del
plano s, limitada por las líneas ,
y .
Solución:
Control Digital
5
SECCIÓN 4.3.
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY
PARA SISTEMAS DE CONTROL DE
LAZO CERRADO EN EL PLANO Z.
Análisis de Estabilidad de Sistemas de lazo
Cerrado en el plano z
Sea la función de transferencia de pulso en
lazo cerrado:
Ecuación 10.
Se puede analizar la estabilidad por medio de
la localización de los polos en LAZO
CERRADO en el plano z o por las raíces de la
ecuación característica:
Ecuación 11. Ecuación característica
Se debe que cumplir que:
1- ) los polos de lazo cerrado o las raíces
de la ecuación característica deben de
encontrarse en el círculo unitario del
plano z, cualquier polo fuera de este
hace inestable al sistema.
2- ) Si un polo simple o un par de polos
complejos de lazo cerrado se
encuentran en , hacen que el
sistema sea críticamente amortiguado,
por el contrario un polo múltiple de
lazo cerrado en esta ubicación torna
inestable el sistema.
3- ) Independiente de la ubicación de los
ceros que puedan haber del sistema,
estos no afectan a la estabilidad.
Conclusión:
La inestabilidad en lazo cerrado, se presenta a
partir de la ubicación fuera del círculo unitario
de los polos del sistema y también cualquier
polo múltiple que se encuentre ubicado en el
círculo unitario, es decir .
Ejemplo 1.1:
Sea , una función de transferencia de
pulso:
Determine la estabilidad en lazo cerrado.
Las raíces son:
El sistema es estable.
Ejemplo 1.2:
Sea , una función de transferencia de
pulso:
Determine la estabilidad en lazo cerrado.
Las raíces son:
Control Digital
6
El sistema es inestable.
Nota: la ausencia de un muestreador, garantiza
la estabilidad en un sistema de segundo orden,
sin embargo en presencia de este, para valores
de ganancia (generalmente ) vuelve
inestable el sistema.
Métodos Para Probar La Estabilidad
Absoluta En Lazo Cerrado
Existen tres métodos con los cuales se puede
determinar la estabilidad de un sistema a partir
de la ecuación característica sin
necesidad de resolver las raíces. Dichos
métodos son el de Schur – Chon y Jury que
revelan la existencia de cualquier raíz
inestable, pero no dan la localización de estas
ni indican los efectos de los cambios de los
parámetros sobre la estabilidad del sistema,
exceptuando a los sistemas de bajo orden. El
tercer método está basado en la transformación
bilineal en conjunto con el criterio de Routh.
Prueba de Estabilidad de Jury
De la ecuación característica :
Se construye una tabla cuyos elementos están
compuestos por los coeficientes de , donde
.
Forma General de la Tabla de Estabilidad
de Jury
Renglón …
1 …
2 …
3 …
4 …
5 …
6 …
….
….
Tabla 1. Forma general del método de estabilidad de
Jury.
Para los renglones 3 hasta , se calculan
mediante los siguientes determinantes:
[
] ,
[
]
[
]
Criterio de Estabilidad Mediante la Prueba
de Jury
Un sistema con la ecuación característica
, escrita de la forma:
Donde , es estable, si se cumplen todas
las siguientes condiciones:
1- | |
2- |
3- | {
4- | | | |
| | | |, | | | |.
Si alguna de estas condiciones no es satisfecha,
se dice entonces que el sistema es inestable.
Ejemplo 1.3:
Sea , una función de transferencia de
pulso:
Determine la estabilidad en lazo cerrado
1. 1>0.8 se cumple.
Control Digital
7
2.
se cumple.
3.
se cumple.
4. No es necesario debido a que es de
orden bajo.
Nota: Ejemplo de orden 4 (Explicación del
ejercicio del texto guía). Ver anexo 1.
Análisis de la Estabilidad Mediante la
Transformación Bilineal y el Criterio de
Routh
Mediante la implementación de el equivalente
discreto de transformación bilineal y el criterio
de Routh, se puede también analizar la
estabilidad de un sistema de control digital de
tiempo discreto en lazo cerrado como uno en
tiempo continuo gracias a esta transformación
y aplicando además los parámetros descritos
por Routh.
La transformación bilineal está definida por:
Ecuación 12.
De la misma manera en ,
Ecuación 13.
Desde luego existe una correspondencia de
estabilidad que para el plano , está definida
por el círculo unitario y para el caso del plano
, es la parte negativa del semiplano . Dicha
correspondencia se puede determinar si se hace
, entonces se tiene que:
|
| |
|
Como se trata de un círculo, entonces la
expresión queda:
Que finalmente es
Lo anterior demuestra que en el plano , el
círculo unitario que indica la estabilidad para
un sistema en tiempo discreto es equivalente a
la estabilidad del semiplano negativo del plano
de tiempo continuo.
El análisis de estabilidad entonces parte
también del polinomio característico , de la
forma:
Dónde, a cada uno de los términos de , se le
realiza la transformación bilineal
, de forma tal que se obtenga otro
polinomio en el dominio , al que este
resultado se le aplica el criterio de Routh, el
cual nos indicará exactamente cuántas raíces
de la ecuación características están en el
semiplano derecho de , es decir, hacen que el
sistema sea inestable.
Ejemplo 1.3
Sea , una función de transferencia de
pulso:
Determine la estabilidad en lazo cerrado.
Aplicando la transformación bilineal y
reemplazando z por:
Control Digital
8
(
)
(
)
Resolviendo:
Aplicando el criterio de Routh:
En conclusión: como no hay cambio de signo
en la primer columna y no hay una fila
completa de ceros el sistema es estable.
SECCIÓN 4.4.
CARACTERÍSTICAS DE RESPUESTA
TRANSITORIA Y ESTADO
ESTACIONARIO DE SISTEMAS DE
CONTROL EN TIEMPO DISCRETO.
Estas características son para sistemas de
control de lazo cerrado y excitados con
entradas escalón unitario. La respuesta
transitoria corresponde a aquella parte de la
respuesta debida a los polos del sistema y la
respuesta estacionaria a la parte debida a los
polos de la función de entrada o excitación.
Especificaciones de la respuesta transitoria.
La respuesta transitoria de un sistema a una
entrada escalón unitario depende de las
condiciones iníciales. Por comodidad se trabaja
con condiciones iníciales estándar (iguales a
cero).
El siguiente, es un sistema de control digital:
Figura 11. Diagrama de sistema de control.
Respuesta a una estrada escalón unitario en
tiempo continúo.
Respuesta a una estrada escalón unitario en
tiempo discreto.
Características de de la respuesta
transitoria.
1. Tiempo de retardo .
2. Tiempo de levantamiento .
3. Tiempo de pico .
4. Sobrepaso máximo .
5. Tiempo de asentamiento .
En la siguiente figura se pueden observar las
distintas especificaciones a una estrada escalón
unitario.
Control Digital
9
Figura 12. Grafica de caracteristicas de la respuesta
transitoria.
1. Tiempo de retardo : tiempo requerido
para que la respuesta llegue a la mitad
del valor final la primera vez.
2. Tiempo de levantamiento : tiempo
que requiere la respuesta para pasar del
10% al 90%, del 5% al 95% o del 0%
al 100% de su valor final.
3. Tiempo de pico : tiempo requerido
para que la respuesta llegue a la
primera cresta de sobrepaso.
4. Sobrepaso máximo : valor máximo
de la curva de respuesta. Si el valor
final difiere de la unidad, se emplea un
sobrepaso porcentual máximo.
( )
Ecuación 14.
La cantidad de indica en forma
directa la estabilidad relativa del
sistema.
5. Tiempo de asentamiento : tiempo
requerido para que una curva de
respuesta llegue y se quede dentro de
un rango cerca del valor final. Por lo
general es del 2%.
Análisis de Error en Estado Permanente
Se analizará el error en estado permanente para
las entradas escalón, rampa y aceleración, este
error se produce básicamente ante la
incapacidad de un sistema de seguir el tipo de
entrada. Si se considera el sistema de control
en lazo abierto cuya función de transferencia
, está dada por
Ecuación 15.
Donde el término , hace referencia al tipo de
sistema, tipo 1, tipo 2, tipo 3, etc. Para
respectivamente.
Para los de tipo 0, no se presenta error en
estado permanente ante un escalón pero sí
infinitos para entradas de mayor orden, en los
de tipo 1 no habrá error ante una entrada
escalón, finito para una rampa e infinitos ante
entradas de aceleración y de orden mayor.
En conclusión a medida que va aumentando el
tipo del sistema se garantiza una mayor
precisión.
Entonces se tiene que para lazo cerrado un
sistema de control de tiempo discreto como el
mostrado en la figura:
Figura 13. Diagrama de sistema de control para
determinar el error de estado permanente
Aplicando el teorema del valor final, y
tomando el error como:
Ecuación 16.
Considerando el error por parte del retenedor
en estado permanente en los instantes de
muestreo, el teorema del valor final queda:
Control Digital
10
[ ]
Para el sistema mostrado en la figura se define:
[
]
Y
[
]
Entonces se tiene que:
=
De esto se determina que:
Ecuación 17.
Tomando en cuenta el retenedor de orden cero,
finalmente la ecuación de error permanente
para un sistema de control en lazo cerrado es:
[
]
Ecuación 18.
Al igual que en tiempo continuo se toman tres
tipos de entradas: escalón, rampa y aceleración
unitaria.
Constante de error de posición estática:
Un escalón se encuentra dado por
El error en estado permanente queda
[
]
[
]
Ecuación 19.
Se define , constante de posición:
[ ]
Ecuación 20.
Por tanto el error en estado permanente es
equivalente a:
Ecuación 21.
Constante de error de velocidad estática:
Una rampa está definida como:
El error en estado permanente queda:
[
]
[
]
[
]
Sí
Se define , la constante de velocidad:
Ecuación 22.
Por tanto el error en estado permanente es
equivalente a:
Ecuación 23.
Constante de error de aceleración estática:
Para una entrada de aceleración unitaria está
dada por
El error en estado permanente queda:
Control Digital
11
[
]
[
]
Se define , la constante de aceleración:
Ecuación 24.
Por tanto el error en estado permanente es
equivalente a:
Ecuación 25.
En la tabla mostrada a continuación se da una
idea más clara acerca del error en estado
permanente correspondiente a cada tipo de
entrada y de sistema:
Fuente: Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Ogata
Adicional a esto, es importante tener en cuenta
que el análisis hecho anteriormente es válido
sólo para la configuración mostrada en la
figura 1. En caso de que se trabajase otro tipo
de diagrama de bloques, es importante tener en
cuenta la ubicación de estos bloques para así
determinar el error de la comparación entre la
entrada y la salida . A continuación se
muestra una tabla con alguna de las
configuraciones de los bloques más comunes y
con sus respectivos errores en estado
permanente:
Fuente: Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Ogata
Respuesta a perturbaciones.
Para el siguiente sistema se supondrá que
, y esta sujeto a una perturbación .
Entonces la respuesta a la perturbación
puede hallarse por la función de
transferencia pulso en lazo cerrado:
Ecuación 26.
Y el diagrama de bloques puede volverse a
dibujar así:
Control Digital
12
Dado que el error del sistema es
Ecuación 27.
Si | | entonces:
Ecuación 28.
Por tanto debido a es
Ecuación 29.
Ahora si incluye un integrador, el error
en estado permanente debido a una
perturbación constante es cero.
Ecuación 30.
Y es:
Ecuación 31.
Entonces el error en estado permanente esta
dado por:
Ecuación 32.
El error resultante es la suma de los errores
debidos a la entrada de referencia y a la
entrada de perturbación.
Nota: el punto donde la perturbación entra en
al sistema es muy importante para el ajuste de
la ganancia .
Por ejemplo: considere los siguientes
diagramas de bloques donde la perturbación
entra en distintos puntos.
La función de transferencia pulso en lazo
cerrado para la perturbación es:
Ecuación 33.
A fin de minimizar los efectos de la
perturbación en el error del sistema, la
ganancia debe hacerse lo mas grande
posible.
En este otro caso:
La función de transferencia pulso en lazo
cerrado para la perturbación es:
Ecuación 34.
Para minimizar los efectos de la perturbación
en el error del sistema, la ganancia
debe hacerse lo mas pequeña posible.
Control Digital
13
ANEXO 1
Dada la ecuación característica , determine
por criterio de Jury su estabilidad.
Solución:
De la ecuación característica obtenemos
los coeficientes:
Ahora se procede a evaluar los criterios de
estabilidad de Jury:
1. | |
| | Sí se cumple.
2- |
Sí se cumple.
3- | {
es par.
Sí se cumple.
4- | | | |
| | | |,
Para evaluar este criterio es necesario
llenar la tabla de estabilidad de Jury.
Los valores de la fila 1 son los coeficientes de
la ecuación característica , ubicados en
orden descendente. Los valores de la fila 2 son
los mismos de la fila 1 pero en orden
ascendente.
Renglón
1 1
2 -0.08
3
4
5
6
Para calcular los valores de la fila 3, se procede
a hallar el determinante como sigue:
|
|
|
|
|
|
|
|
Control Digital
14
La fila 4 son los mismos términos de la fila 3
pero organizados en forma ascendente.
Reemplazando en la tabla de Jury:
Renglón
1 1
2 -0.08
3
4
5
6
Ahora para calcular los valores de la fila 5, se
procede a hallar el determinante como sigue:
|
|
|
|
|
|
La fila 6 son los mismos términos de la fila 5
pero organizados en forma ascendente.
Reemplazando en la tabla de Jury:
Renglón
1 1
2 -0.08
3
4
5
6
Evaluando el criterio:
| | | |
Sí se cumple.
| | | |.
Sí se cumple.
Conclusión: el polinomio es estable.