control digital

Resolución de Problemas Propuestos- Control Digital

1. Demostrar la validez de las siguientes relaciones:

A)

Entonces la transformada z de y(t) se convierte en :

Debido a que la transformada z puede entenderse como la transformada de Laplace asterisco con

reemplazando por z, la transformada z se puede considerar una notación corta para la transformada de Laplace asterisco. De esta manera, la ecuación:

Se puede expresar como:

B) Para el segundo caso es un sistema en tiempo continuo:

Es importante recordar que la función de transferencia pulso para este sistema no es , debido a la ausencia del muestreador mediante impulsos

Aplicando transformada de Laplace asterisco

En términos de transformada z:

2. Un proceso tiene como función de transferencia:

a) Obtener la función de transferencia de pulso G (z).b) Si se asume que el proceso está precedido por un retenedor de orden cero, hallar la

función de transferencia de pulso.

Solución:a. Para hallar la Función Transferencia pulso sin retenedor de orden cero:

Fig.1

Por tablas de transformada Z y teniendo en cuenta que el periodo de muestreo es T=0.2seg tenemos lo siguiente:

b. Para hallar la Función Transferencia pulso con retenedor de orden cero:

Fig. 2Se debe tener en cuenta que la función del retenedor de orden cero está definida por la siguiente función:

Teniendo en cuenta que la variable Z se relaciona con la variable S de la siguiente manera:

La función transferencia pulso queda definida por:

3. Un proceso tiene por función de transferencia:

El proceso está precedido por un retenedor de orden cero y el periodo de muestreo es 0.2 s. Determinar la función de transferencia de pulso HG (z) para el sistema. Genere un programa en MATLAB que permita calcular la respuesta del sistema a un escalón unitario. Se puede evidenciar que cuando T→ 0, la respuesta de HG (z) se aproxima a la respuesta de G (s)?Solución:

La función transferencia pulso queda definida por:

4. Hallar la función de transferencia de pulso para el sistema mostrado en la figura 4. H(s) es un retenedor de orden cero y T se especifica para cada Gp (s) así:

Fig.4Solución:

a.

c.

Teniendo en cuenta que:

En Gp(s) tenemos:

Entonces la F.T.P queda definida por:

d.


En Gp(s) tenemos:


e.Teniendo en cuenta que:

En Gp(s) tenemos:

f.


En Gp(s) tenemos:


5. La planta del sistema mostrado en la figura 5 se puede describir mediante la ecuación diferencial:

Asumiendo que el periodo de muestreo es T=2s. a) Hallar la función de transferencia Y (z)/E (z).b) Elaborar el diagrama de flujo de señales para el sistema y obtener, a partir de él, la

función de transferencia.c) Hallar la respuesta y (kt) del sistema cuando la entrada e (t) es el delta de Kronecker.d) Escribir un programa en MATLAB para resolver las partes a) y c) del sistema.

Fig.5Solución:PARA a)

Hallando Gp(s) tenemos:

Sabiendo que H(s) es un retenedor de orden cero

PARA c)Hallando la respuesta y (kt) ante una entrada delta de Kronecker:

Teniendo en cuenta que la delta de Kronecker es la función pulso unitario representado por:

6. En el sistema de la figura 6, el filtro digital está descrito por la ecuación:

El periodo de muestreo es T = 0.6s y la función de transferencia de la planta está dada por:

a) Hallar la función de transferencia de pulso C (z)/E (z) para el sistema.b) Evaluar la ganancia DC a partir del resultado obtenido en a).c) Verificar la respuesta hallada en b) evaluando separadamente la ganancia DC del filtro

digital D (z) y la de la planta. d) Calcular la salida c (kt) del sistema si e (t) es un escalón unitario. e) Utilice el teorema del valor final y calcule el valor de c(kt) cuando t→∞

Fig.6Solución:

PARA a)

Hallando la ecuación del filtro digital D (z) tenemos:


En Gp(s) tenemos:

Entonces la F.T.P C (z)/E (z) quedaría definida por:

PARA d)

Siendo la entrada e (t) un escalón unitario tenemos:

PARA e)

Teorema del valor final:

Hallando el valor final de c (kt) cuando T→∞ utilizando la formula anterior tenemos:

7. La figura representa el diagrama en bloques de un sistema de calefacción de una habitación. La sálica c(t) es la temperatura de la habitación en grados centígrados y la señal de voltaje m(t) maneja una válvula colocada en la línea de vapor, el sensor es un termopar tipo J. La perturbación d(t) se presenta cuando se abre la puerta de la habitación. Con la puerta cerrada d(t)=0 pero si la puerta se abre en t=t0, entonces d(t)=u(t-t0).

a) Si el muestreador y el retenedor (de orden cero) se implementan con un convertidor A/D y con un convertidor D/A respectivamente, dibuje el sistema resultante incluyendo los dos convertidores.

b) Deduzca la función de transferencia C(z)/E(z)

Para la puerta cerrada d(t)=0, entonces :

c) Si se aplica un voltaje constante e(t)=10V durante un largo periodo de tiempo, cuál será la temperatura de estado estable en la habitación cuando la puerta está cerrada.

Aplicando transformada z inversa a la función de transferencia:

Para e(t)=10V:

d) Estime el efecto que produce, sobre la temperatura de estado estable, la apertura permanente de la puerta.

De la ecuación del inciso (b):

8. En el sistema de la figura 7, el filtro digital está descrito por la ecuación:

El periodo de muestreo es T = 0.1s y la función de transferencia de la planta está dada por:

f) Hallar la función de transferencia de pulso C (z)/E (z) para el sistema.g) Evaluar la ganancia DC a partir del resultado obtenido en a).h) Verificar la respuesta hallada en b) evaluando separadamente la ganancia DC del filtro

digital D (z) y la de la planta. i) Calcular la salida c (kt) del sistema si e (t) es un escalón unitario. j) Utilice el teorema del valor final y calcule el valor de c(kt) cuando t→∞

Fig.7

Solución:

PARA a)

Hallando la ecuación del filtro digital D (z) tenemos:

En Gp(s) tenemos:

Entonces la F.T.P C (z)/E (z) quedaría definida por:

PARA d)

Siendo la entrada e (t) un escalón unitario tenemos:

PARA e)

Teorema del valor final:

Hallando el valor final de c (kt) cuando T→∞ utilizando la formula anterior tenemos:

9 Determinar:

a) la función de transferencia de pulso o la relación entre la entrada y la salida para cada uno de los sistemas que se muestran en la figura3.19. b) Aplicar el resultado obtenido en a) cuando:

Solución:

a)

b) Cuando:

a)

b)

C)

10 La figura 3.20 representa el sistema de control para una de las articulaciones de un robot.

a) Si la entrada al sensor es el ángulo en grados y el movimiento de la articulación está restringido de 0º a 270º, determinar el rango de la salida del sensor. ¿Qué rango de voltaje debe tener el convertidor A/D?

b) Si es la función de transferencia del servomotor y los engranajes y la ganancia del sensor es 0.07, determinar la función de transferencia del sistema en función

de , etc.

c) Evaluar la función de transferencia del sistema cuando y

.

d) Obtener cuando la entrada es y la entrada es de . ¿Cuál será el

valor final de ?

Solución:

a) Suponiendo que es sensor tenga una sensibilidad de 10mV por grado, y queriendo expresar ángulos de 0 a 270 grados (271 valores) entonces:

El rango de salida del sensor del sensor será:

Luego para en A/D tenemos que para representar binariamente 271 valores:

Entonces tomaremos un ADC de 8 bits.

Siendo así:

Rango del A/D será de

b) La función de transferencia será:

c) Evaluando la función de transferencia del sistema cuando y

.

Hallando GH (Z):

Reemplazando y resolviendo:

d) Cuando la entrada es de el valor final de será:

11 Para el sistema de control mostrado en la figura 3.21 determinar:

a) La función de transferencia de pulso .

b) La respuesta cuando la señal aplicada en la referencia es un escalón unitario.

Solución:

a) La función de transferencia pulso seria:

Donde N (z) es el sensor, reemplazando:

b) Para un escalón unitario:

12 Resolver el problema 3.11 si el filtro digital D(z) toma la forma:

D ( z )=0.8 z−0.5z−1

Analice la estabilidad del sistema en lazo cerrado con el filtro propuesto.

Sol:

Viendo en el problema 3.11

a) La función de transferencia pulso seria:

Donde N (z) es el sensor, reemplazando las expresiones para D(z) :

C(z )R(z )

=( 0.8 z−0.5

z−1 )¿

( 12 ( z−1 ) )

1+2¿ ( 0.8 z−0.5z−1 )

¿

( 12 ( z−1 ) )+2¿( 1

2 (z−1 ) )Oporando y agrupando obtenemos:

C(z )R(z )

= 0.4 z−0.25z2−0.2 z−0.5

Analizamos la estabilidad:

z2−0.2 z−0.5=0

z1=0.814

z2=−0.614

Por lo tanto los polos estarán dentro de la circunferencia unitaria:

z2 z1

13 En la figura 3.22 se da el diagrama de control digital de un sistema en cascada de flujo-presión. El flujo es la variable principal y la presión es la variable secundaria. Para identificar el sistema se le aplicó un escalón en la válvula de control FCV.

El análisis de los resultados obtenidos arrojó las siguientes características para el proceso:

F(Z)SPF FC

adc

adc

PC zoh Gp v/p FV Gf

Pt

Ft

14 Para cada uno de los diagramas de bloques de la figura 3.23

a) Obtener la respuesta y(kt) si la entrada r(t) es un escalon unitario.

b) Comprobar el resultado obtenido en la parte a) utilizando simulink .asuma que T=1s

Para el primer diagrama de bloque tenemos:

a) Teniendo los valores de la funcion de transferencia tanto del retenedor de orden cero y el muestreador real. Esto para pasar el sistema de discreto a continuo y poder hallar la funcion de transferencia del sistema.

La funcion de transferencia del bloque D/A y A/D:

K p=1−e−st

s

Primero tenemos que tener la funcion de transferencia pulso del sistema:

Donde HG(Z) es:

De la tabla :

; donde a=0.6 y T=1s .

Despues de reemplazar y simplificar nos queda:

La funcion de transferencia seria

Ahora si r(t) es un escalon unitario :

Para el segundo diagrama de bloque:

a) Primero hallamos la funcion de transferencia pulso :

Del diagrama

, donde N(Z)=

Donde HG(Z) es:

Simplificando y reemplazando los valores los valores correctos de la tabla de transformada tenemos:

La funcion de transferencia seria:

Ahora si r(t) es un escalon unitario :

Al expandir y(Z)/Z en fracciones parciales se obtiene:

Utilizando tablas se obtiene la transformada inversa Z de y(Z):

15 La figura 3.24 corresponde al diagrama de control digital de temperatura de un reactor encamisado. El sistema se muestreo cada 0.5 min. Un estudio de la dinámica del sistema arrojó los siguientes resultados:

Tanque G p(S) : Primer orden, ganancia 2, constante de tiempo 10 min. Pared Gm(S): Primer orden, ganancia 0.5, constante de tiempo 2 min. Camisa Gc (S): Primer orden, ganancia 0.2, constante de tiempo 4 min. TT1:H1(S): Primer orden, ganancia 0.5, constante de tiempo 0.2 min. TT2:H2(S): Primer orden, ganancia 0.5, constante de tiempo 0.2 min. TIC1:D1 (Z): Control proporcional con ganancia 5. TIC2:D2 (Z): Control proporcional con ganancia 2. TCV: G p(S).Válvula de control, lineal con ganancia 1. V/P: Conversor de voltaje a presión, ganancia unitaria.

a) Elaborar el diagrama de bloques del sistema incluyendo todas sus dinámicas.

b) Obtener la función de transferencia de pulso , en donde es la Temperatura del producto en el tanque y es la temperatura de referencia (SP1).

c) Calcular el valor de la temperatura de salida en estado estable si d) Comprobar la respuesta obtenida en el literal c utilizando simulink.

F(Z)SP1 TIC1

adc

adc

TIC2

zoh Gp v/pTCV

GP

TT2

T

T1

16 Para los sistemas de control de la figura 3.25 hallar la función de transferencia en lazo cerrado. Asuma que el periodo de muestreo es 2 seg.

Solución:

a)

b)

17 Para el sistema de control de la figura 3.26 a) Obtenga la función de transferencia de lazo

abierto y la función de transferencia de lazo cerrado en función del periodo T. b) Si se eliminan los retenedores y los muestreadores se obtiene el sistema análogo correspondiente al sistema digital dado. Obtenga las funciones de transferencia

de lazo abierto y de lazo cerrado del sistema continuo tomando el límite de y cuando T tiende a cero.

SOLUCION:

Del diagrama de la figura se obtiene:

De las ecuaciones anteriores resulta que:

Luego obtenemos la función de transferencia de lazo abierto

Entonces

Y la función de transferencia de lazo cerrado

Entonces

Ahora hallamos

Reemplazando lo obtenido en la función de transferencia obtenemos:

Si se eliminan los retenedores y los muestreadores se obtiene el sistema análogo correspondiente al sistema digital dado.

18 Para los sistemas de control digital dados en la figura 3.27 hallar la respuesta al delta de Kronecker

SOLUCION:

a)



Luego obtenemos la función de transferencia de lazo cerrado

Entonces

Asumiendo que la entrada es la función delta de Kronecker y se obtiene

que

Entonces

Luego

b)



Luego obtenemos la función de transferencia de lazo cerrado

Entonces

Asumiendo que la entrada es la función delta de Kronecker y se obtiene

que

Para

Entonces

Luego

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