PROYECTO FINAL CONTROL DIGITAL

AUTORES:

JAIR ALI RONCANCIO JIMENEZ Cód.: 1053.339.815

NIVER CALDERON OROZCO Cód.: 1053.807.518

GLEIDY JULIANA ALARCON LANCHEROS Cód.: 1 045 109 256

VICTOR MANUEL COVANS ACOSTA Cód.: 1047.368.738

EDGAR DUBAN HIGUERA Cód.:

CONTROL DIGITAL

Grupo 299006_17

Presentado a

DIEGO FERNANDO SENDOYA LOZADA

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

Diciembre 2014

Control Digital

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INTRODUCCIÓN

Con la realización de este proyecto final se pretende realizar dos actividades una

teórica y otra práctica, para mediante estos ejercicios aplicar tanto de forma

teórica y práctica los conocimientos adquiridos en el curso de control digital.

Además se pretende implementar en MATLAB® el desarrollo de los mismos y de

esta manera comprender, analizar mejor el comportamiento de los sistemas del

curso de control digital.

La electrónica y todos sus desarrollos han sido posibles gracias al estudio

insaciable de muchas generaciones que con sus investigaciones han transformado

el mundo y lo han convertido en un pilar del conocimiento. Cada acontecimiento

sirvió de base para nuevos y mejores desarrollos, los tubos de vacío trajeron

consigo la invención de la computadora con el tiempo se encontró que estos

podrían ser reemplazados por otros elementos más pequeños y menos costoso,

entonces nace la era de los transistores, se crean muchas innovaciones y sobre

todo se avanza en la ciencia y la tecnología, con el pasar del tiempo se crea los

microchips y se da inicio a una de las eras luces del momento, la microelectrónica

que empieza a viajar sobre ruedas, y se desarrollan mejores tecnologías que

buscan siempre facilitar y agilizar la vida del ser humano. Como podemos

observar y analizar se empieza una era digital en donde los sistemas de control se

pueden estudiar, analizar y diseñar utilizando para ello modelos matemáticos

como la transformada Z, series de Fourier, Transformada de Laplace y funciones

de transferencia, todo esto también se puede analizar mediante herramientas

CAD, como Matlab, software de simulación de gran importancia debido a que su

entorno de trabajo es gráfico y no requiere de lenguajes de programación, Bueno

es hora de entrar al mundo digital de ampliar más los conocimientos sobre estos

temas y sobre todo de adquirir destreza y habilidades poniendo en práctica lo

aprendido durante el curso de control digital, para ello solucionaremos una serie

de problemas planteados por el tutor de la materia y allí mostraremos nuestros

conocimientos adquiridos a lo largo del semestre. En este trabajo final se

implementara controladores PID, se hallara transformada Z y Z inversa de

funciones de transferencias de algunos sistemas, de igual manera se estudiara la

influencia de retenedores de orden cero en el análisis de los sistemas dinámicos,

con esto iniciamos a trabajar, tomamos nuestra computadora y nuestros apuntes

al igual que papel y lápiz, para empezar a desarrollar la guía de actividades de la

evaluación final de control digital.

Control Digital

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ACTIVIDAD TEORICA

La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser

desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo

colaborativo. Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente

esquema de control:

Ejercicio 1:

Suponga que la función de transferencia de la planta es:

a. Calcule la constante de error de posición , el error en estado estacionario

ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.

SOLUCION: Debemos primero hallar G(z)

Control Digital

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Se descompone en fracciones parciales el Segundo término para hallar su

transformada Z:

Se debe recordar que Ts = 0.1 s

Tenemos la función de transferencia, pero sin tener en cuenta la realimentación

por tanto debemos hallarla

Para el error en estado estacionario ante una entrada escalón

Para hallar el tiempo de establecimiento se toma la planta y se iguala con la

ecuación general de segundo orden para hallar sus parámetros:

Control Digital

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De lo anterior se puede deducir:

Por lo cual para el establecimiento del 5%

Para el establecimiento del 2%

b. Diseñe un controlador PI digital para que el sistema en lazo cerrado tenga

un sobreimpulso máximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de

2 segundos. Suponga que el tiempo de muestreo es = 0.1 segundos.

Solución:

Para empezar se toma la función de transferencia pulso que ya se obtuvo:

Se puede utilizar el método de cancelación de polos y ceros, para lo cual el

controlador PI toma la forma:

Control Digital

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Asumimos el error en estado estable de por lo cual:

Tomando el límite con T= 0.1 s:

Si se asume que el cero del controlador cancela el polo z= 1.6732 de la planta se

debe cumplir que:

Control Digital

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Con los valores obtenidos se puede reemplazar en la formula inicial:

Ejercicio No. 2. Para el desarrollo de la segunda actividad se propone el siguiente

esquema de control:

Suponga que la función de transferencia de la planta es:

a. Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario

ante una entrada escalón unitario para la función de transferencia de la planta

discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la

función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo

abierto.

Control Digital

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SOLUCION:

Para hallar el error en estado estacionario ante una entrada escalón debemos

hallar primero la función de transferencia en lazo cerrado y el error de posición Kp

b. Diseñe un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en

lazo cerrado tenga un margen de fase de 50º y la constante de error de

Control Digital

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velocidad sea Kv = 2. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.2

segundos.

SOLUCION:

Debemos hallar la función de transferencia de la planta

Debemos pasar la función de trasferencia pulso a la función de transferencia G(w)

mediante la transformación bilineal, por lo cual:

Teniendo en cuenta que asumimos una función de transferencia para el

controlador digital

Por lo que quedaría:

Control Digital

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Ahora podemos verificar la respuesta en frecuencia en matlab reemplazando k:

num=[-0.000665306 -0.192664 1.99317]

den=[1 0.996805 0]

sys=tf(num,den)

margin(sys)

grid

Control Digital

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Debemos diseñar un controlador que adicione un ángulo de 500 sin afectar a k,

Por lo tanto 50 - 31.6 = 18.4, teniendo en cuenta que se aconseja un margen de

más de entre 8 y 12 grados considerando el corrimiento de la ganancia en la

frecuencia de cruce, dejaremos en 280 el ángulo máximo de adelanto de fase.

Para calcular el factor de atenuación:

Reemplazamos por el ángulo:

Encontramos el punto donde no está compensada su magnitud y se reemplaza w

= jv en la función de transferencia G(w):

La frecuencia ficticia es igual a 1.7

La frecuencia de cruce está dada por:

De donde

El compensador nos quedaría de la siguiente manera:

Procedemos a tomar la función de transferencia completa y analizarla en el

diagrama de bode:

Control Digital

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La función de transferencia del compensador la pasaremos a términos de z

mediante la transformada bilineal donde T=0.2, entonces

-60

-40

-20

0

20

40M

agnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

103

104

90

135

180

225

270

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = 14.4 dB (at 5.41 rad/s) , Pm = 48.9 deg (at 1.71 rad/s)

Frequency (rad/s)

Control Digital

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ACTIVIDAD PRÁCTICA

Para el desarrollo de la segunda actividad se utilizará el mismo esquema de

control de la primera actividad.

Ejercicio 1: Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice

MATLAB® para:

a. Dibujar la respuesta de la planta

en lazo cerrado sin

controlador ante una entrada escalón unitario ¿los valores de y

corresponden a los encontrados en el inciso (a)?

SOLUCION:

Para dibujar la planta en lazo cerrado se utiliza el siguiente código en MATLAB

Los valores de y en lazo cerrado, verifican el correcto desarrollo del inciso

(a) del punto 1 en la parte teórica.

Control Digital

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Lazo cerrado Planta

b. Dibujar la respuesta del sistema con controlador en lazo cerrado ante un

escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobre impulso

corresponden a los encontrados en el inciso (b)?

SOLUCION:

Para dibujar controlador y planta en lazo cerrado se utiliza el siguiente código en

MATLAB

Los valores de tiempo de establecimiento y sobre impulso en lazo cerrado,

verifican el correcto desarrollo del inciso (b) del punto 1 en la parte teórica.

Control Digital

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Lazo cerrado planta vs Controlador

Ejercicio 2: Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teórica, utilice

MATLAB® para:

a. Dibujar el diagrama de Bode de la planta ¿El margen de fase

corresponde al encontrado en el inciso (a) del segundo punto?

SOLUCION:

Para dibujar el diagrama de bode de se utilizó el siguiente código:

De donde se obtuvo:

Control Digital

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Margen de fase en MATLAB

Con un , que es muy similar pero no igual al margen de fase

encontrado en el inciso a) del segundo punto; no son iguales por algunos

pequeños errores de cálculo.

b. Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado. ¿El margen de fase

corresponde al encontrado en el inciso (b)?

SOLUCION:

Para dibujar el diagrama de bode de , del sistema compensado se utilizo el

siguiente código:

Control Digital

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Diagrama de Bode y margen de fase

Para este punto el margen de fase corresponde a 50.7º, muy similar al margen de

fase del inciso (b) del segundo punto, se pudieron presentar errores de cálculo.

Control Digital

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CONCLUSIONES

Logramos evaluar e implementar de manera satisfactoria la teoría vista

durante el desarrollo del curso Control Digital donde se tuvo la oportunidad

de llevar a la práctica los temas y conceptos estudiados mediante la

herramienta informática de ingeniería Matlab de gran importancia en el

análisis, manipulación y representación gráfica de los sistemas digitales.

Con el desarrollo del trabajo se dio respuesta a cada uno de los ejercicios

propuestos en la guía integradora de actividades con su respectivo

procedimiento y sustento matemático.

Desarrollamos técnicas bien establecidas para el diseño de controladores

digitales

Logramos concluir que por complejas que parezcan las señales, estas se

pueden reducir a modelos matemáticos para su mayor comprensión y

manipulación

Fortalecimos el manejo del software de ingeniería MATLAB mediante la

práctica de cada uno de los ejercicios planteados en este trabajo final. De

igual forma comprendimos la importancia sobre el manejo de esta

herramienta en nuestro campo de estudio

Comprendimos que no existe límite en la complejidad de los algoritmos ya

que existe una facilidad de ajuste y cambio. También se puede tener una

exactitud y estabilidad en el cálculo.

Logramos desarrollar habilidades interpersonales para llevar a cabo una

buena comunicación entre los integrantes del grupo colaborativo con el fin

de entregar un trabajo completo y bien desarrollado.

A través de matlab y por medio del desarrolló a través de diagramas de

bode se desarrolló un sistema compensado.

Se incentivó al estudiante a llevar un espíritu de investigación para dar

respuesta a los diferentes ítems planteados.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Cespedes J.J. y Rodriguez O.D. Módulo de Control Digital, Universidad

Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Benjamín C. Kuo, (2002) Sistemas de Control Digital, Compañía Editorial

Continental S.A. de C.V., México D.F.

Oscar Reinoso, José Ma. Sebastián y Zúñiga, Rafael Aracil Santoja,

Fernando Torres Medina, (2004) Control de Sistemas Discretos, McGraw-

Hill Interamericana S.A., Madrid, España.

Katsuhiko Ogata, (1996) Sistemas de Control en Tiempo Discreto, Prentice

Hall Inc. Naucalpan, México.

Curso de Matlab (2006). Consultado el 24 de Noviembre de 2014,

Universidad de Zaragoza, Departamento de matemática aplicada:

http://www.unizar.es/fmi/pdfs/GUIA.pdf

Modulo de control digital de señales de la unad, Biblioteca virtual

www.unad.edu.co