LABORATORIO V DE CONTROL DIGITAL

Practica V diseño de controladores en el espacio de estado por retroalimentación de variables de estado.

PROCEDIMIENTO

En la figura siguiente se representa la FT en lazo abierto y uno de los servomotores utilizados en el laboratorio de la asignatura de control I

La entrada se realiza mediante un mando rotativo y la salida representa la posición en grados, del eje del motor.

1.-Obtener un modelo del sistema en variables de estado par comprobar la correcta realización, introducir el modelo en lazo de realimentación unitario y comprobar la igualdad de la respuesta ante una entrada escalón de 45º.

El modelo será introducido de 3 formas:

Utilizando el bloque simulink de FT Utilizando únicamente bloques de simulink de tipo integrador y ganancia. Utilizando el bloque de simulink state-space

Para los tres casos definir los parámetros de la respuesta temporal.

Solucion:

Sea el sistema realimentado :

y1 y10.0575

POTENCIOMETRO DE CAMBIO DE

UNIDADES

FT del MOTOR SALIDAENTRADA ESCALON DE

45º

Simplificando el sistema tendriamos lo siguiente:

CALCULO ANALITICO

Hallando el sistema realimentado en Espacio de Estados

Y (S )

U( S)= 4 .688550 .5 s2+s+4 .68855

Resolviendo tenemos:

0 .5 s2Y (S )+sY (S )+4 .68855Y (S )=4 .68855U (S )

Aplicando Laplace Inverso tendríamos:

0 .5 y

¿∗¿(t )

+s y¿

(t )+4 . 68855 y

( t )=4 . 68855u

( t )

¿

Si:x1= y ( t ) → x1= y (t)x2= y ( t ) → x2= y (t)

Entonces el sistema realimentado en Espacio de estados seria:

[ x1x2]=[ 0 1

−9.3771 −2][ x1x2]+[ 0

9.3771]u (t)

y (t )=[1 0 ][ x1x2]

EN MATLAB

REPRESENTACION DEL SISTEMA EN ESPACIO DE ESTADOS

Dado que la representacion del sistema en espacio de estados en MATLAB no entregue necesariamente los resultados ya encontrados analiticamente es por motivo que la representacion en espacio de estados no es unica.

CODIGO EN MATLAB

RESULTADOS

A= C= -2.0000 -9.3771 0 9.3771 1.0000 0 B= D= 1 0 . 0

RESPUESTA DEL SISTEMA PARA UN ESCALON UNITARIO

Dado que el sistema es de 2do orden e igualando obtenemos los siguientes parametros:

ωn2=9.3771→ ωn=3.0622

rads

ζ ωn=1→ ζ=0.3266

EN MATLAB

GRAFICA

COMPROBACION DE LA RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO MEDIANTE SIMULINK

El modelo debe ser introducido de tres formas:

a. Utilizando el bloque Simulink de funcion de Transferencia.

Utilizando simulink tendriamos lo siguiente:

Para obtener la respuesta (grafica) tendriamos q dar doble click en el bloque que dice (Salida) y obtendremos la siguiente grafica se se mostrara a continuacion.

RESPUESTA EN SIMULINK

b. Utiizando unicamente bloques de Simulink de tipo intregrador y ganancia.

En el METODO ANALITICO anterior donde transformamos nuestro sistema en Espacio de Estado obtuvimos lo siguiente:

0.5 y (t )+ y (t)+4.68855 y (t )=4.68855u( t)

Si:x1= y ( t ) → x1= y (t)x2= y ( t ) → x2= y (t)

A partir de estas relaciones,comenzemos a construir nuestro sistema a base de bloques con integrador y ganancia en SIMULINK ,entonces obtuvimos lo siguiente:

RESPUESTA EN SIMULINK

c. Utilizando el bloque de Simulink State-space.

En el METODO ANALITICO ,donde transformamos nuestro sistema en Espacio de Estado obtuvimos los siguientes resultados:El sistema realimentado en Espacio de estados es:

[ x1x2]=[ 0 1

−9.3771 −2][ x1x2]+[ 0

9.3771]u (t)

y (t )=[1 0 ][ x1x2]

A partir de estas relaciones, comenzemos a construir nuestro sistema a partir del bloque con el State-space en SIMULINK, entonces obtuvimos lo siguiente:

RESPUESTA EN SIMULINK

2-Obtener las ecuaciones de estado en tiempo discreto para el tiempo de muestreo T=0.1s

Hallando las ecuaciones de estado en tiempo discreto ,cuando el tiempo de muestreo es de T=0.1.A continuacion se muestra el codigo en MATLAB.

CODIGO

RESULTADOS

RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO

Como podemos apreciar tanto la respuesta discreta como la respuesta en continua no se ajustan correctamente, entonces tenemos que ajustar a un periodo de muestreo donde puedan concordar dichas respuestas. El periodo donde mejor se ajusta las respuestas es para T=1s.Donde la grafica la mostraremos a continuación.

GRAFICA

Para T=1s

Con este periodo de muestreo trabajaremos desde este momento, para tener una respuesta correcta y menos errores.

3-Representa mediante Simulink, la realización anterior. Añadirle una realimentación unitaria y comprobar la salida ante una entrada escalón 45º.

RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO

4-Hallar la matriz de realimentación de variables de estado que haga que le sistema tenga un sobreimpulso máximo de 10% y un tiempo pico de 1s como máximo. Construir el modelo Simulink que incluya el vector de realización de variables de estado y comprobar que se cumplen las especificaciones.

METODO ANALITICO

Datos:M 0=10% y t p=1 s

Sabemos que:

M 0=e−ζπ/√1−ζ2

Reemplazando el dato,tenemos:

ζ =√ 5.302015.1716→ ζ=0.5912

Tambien sabemos que:

T p=π

ωn √1−ζ 2

Reemplazando el dato,tenemos:

ωn=π

√1−0.59122→ ωn=3.8952rad /s

HALLANDO LOS POLOS DOMINANTES

Si sabemos : Para un T=1s

|Z|=e−Tζ ωn

|Z|=e−1 x0.5912 x 3.8952=0.0999

∠Z=T ωn √1−ζ 2=1 x3.8952√1−0.59122=3.1416 rad=180 °

Finalmente los polos son :

Z1,2=−0.1

HALLANDO LA MATRIZ DE REALIMENTACION

Utilizando el Metodo de Ackermann:

Tenemos el Sistema en lazo abierto en Espacio de Estados en tiempo discreto que es el siguiente:

x (k+1)=[0.1353 00.4323 1] x(k )+[0.43230.2838]u(k )

y (k )= [0 9.3771 ] x (k )

Verificar controlabilidad del proceso discreto.

M=[ H GH ]=[0.4323 0.05850.2838 0.4707]=0.1867≠0∴ Es controlable .

Elegir los polos deseados de lazo cerrado

Los polos deseados son:

Z1,2=−0.1

Determinar la ecuacion caracteristicas deseada

p ( z )=( z−(−0.1 ) )(z — (−0.1))

Agrupando tenemos:

p ( z )=z2+0.2 z+0.01Que es de la forma :

p ( z )=z2+α1 z+α2

Donde:α 1=0.2∧α 2=0.01

Determinar la ecuacion caracteristica matricial

P (G )=G2+α 1G+α 2 I

P (G )=[0.1353 00.4323 1 ]

2

+0.2[0.1353 00.4323 1]+0.01[1 0

0 1]P (G )=[0.0554 0

0.5773 1.21]Determinar la matriz ganancia K del regular.

K= [0 1 ] M−1P(G)

K= [0 1 ] [ 2.5187 −0.3130−1.5186 2.3132 ][0.0554 0

0.5773 1.21]K= [1.2513 2.7990 ]

EN MATLAB

CODIGO

RESULTADO

EN SIMULINK

GRAFICA

Podemos apreciar que cumple con los requerimientos del problema.

5-Hallar la matriz de realimentación de variables de estado que haga que el sistema tenga una respuesta sin oscilaciones en tiempo finito.Construir el modelo Simulink que incluya el vector de realimentación de variables de estado y comprobar el esfuerzo de la señal de control.

METODO ANALITICO

Dato que el problema nos pide que no exista oscilaciones entonces :

Asumimos:ζ =1 y t p=1 s

Sabemos que:

T p=π

ωn √1−ζ 2

Reemplazando el dato,tenemos:

ωn=π

√1−0.72→ ωn=4.3991 rad / s

HALLANDO LOS POLOS DOMINANTES

Si sabemos : Para un T=1s

|Z|=e−Tζ ωn

|Z|=e−1 x0.7 x 4.3991=0.0460

∠Z=T ωn √1−ζ 2=1 x 4.3991√1−0.72=3.1416 rad=180°

Finalmente los polos son :

Z1,2=−0.0460

HALLANDO LA MATRIZ DE REALIMENTACION

Utilizando el Metodo de Ackermann:

Tenemos el Sistema en lazo abierto en Espacio de Estados en tiempo discreto que es el siguiente:

x (k+1)=[0.1353 00.4323 1] x(k )+[0.43230.2838]u(k )

y (k )= [0 9.3771 ] x (k )

Verificar controlabilidad del proceso discreto.

M=[ H GH ]=[0.4323 0.05850.2838 0.4707]=0.1867≠0∴ Es controlable .

Elegir los polos deseados de lazo cerrado

Los polos deseados son:Z1,2=−0.0460

Determinar la ecuacion caracteristicas deseada

p ( z )=( z−(−0.0460 ) )(z — (−0.0460))

Agrupando tenemos:

p ( z )=z2+0.092 z+0.0021Que es de la forma :

p ( z )=z2+α1 z+α2

Donde:α 1=0.092∧α 2=0.0021

Determinar la ecuacion caracteristica matricial

P (G )=G2+α 1G+α 2 I

P (G )=[0.1353 00.4323 1 ]

2

+0.092[0.1353 00.4323 1]+0.0021[1 0

0 1]P (G )=[0.0329 0

0.5306 1.0941]Determinar la matriz ganancia K del regular.

K= [0 1 ] M−1P(G)

K= [0 1 ] [ 2.5187 −0.3130−1.5186 2.3132 ][0.0329 0

0.5306 1.0941]

K= [1.1774 2.5309 ]

EN MATLAB

CODIGO

RESULTADO

EN SIMULINK

GRAFICA

6-Suponiendo no accesibles las variables de estado diseñar un control por medio de un observador de estado que haga que se cumplan las especificaciones del apartado 4

Del problema 4° tenemos los siguientes datos:

METODO ANALITICO

Dato del problema :M 0=10% y t p=1 s

Sabemos que:

M 0=e−ζπ/√1−ζ2

Reemplazando el dato,tenemos:

ζ =√ 5.302015.1716→ ζ=0.5912

Tambien sabemos que:

T p=π

ωn √1−ζ 2

Reemplazando el dato,tenemos:

ωn=π

√1−0.59122→ ωn=3.8952rad /s

Tenemos el Sistema en realimentacion en Espacio de Estados en tiempo discreto que es el siguiente:

x (k+1)=[−0.3878 −0.29170.0311 −0.3256] x (k )+[ 0.03110.1414 ]u(k )

y (k )= [0 9.3771 ] x (k )

Verificar observabilidad del proceso discreto.

N= [CT GT CT ]=[ 0 0.29169.3771 −3.0532]=−2.7344≠0∴Es observable .

Elegir los polos deseados de lazo cerrado

Los polos deseados son:Z1,2=−0.0460

Determinar el polinomio caracteristico deseado

0=( z−(−0.0460 ) )(z — (−0.0460))

Agrupando tenemos:

0=z2+0.092 z+0.0021…(I )

Determinar el polinomio caracteristico deseado de lazo cerrado,considerando la matriz de ganancia del observador

|zI −(G−K e C)|=0

(G−K e C )=[−0.3878 −0.29170.0311 −0.3256]−[Ke1

Ke2] [0 9.3771 ]

(G−K e C )=[−0.3878 −(0.2917+9.3771Ke1)0.0311 −(0.3256+9.3771Ke2)]

|zI −(G−K e C)|=|z+0.3878 0.2917+9.3771Ke10.0311 z+0.3256+9.3771Ke2|

|zI −(G−K e C)|=z2+z (0.7134+9.3771Ke2 )+0.1354+3.6364 Ke2+0.2916Ke1…(II )

Determinar K e

Igualando los coeficientes de (I) y (II)

0.7134+9.3771Ke2=0.092→ Ke2=−0.0663

0.1354+3.6364Ke2+0.2916Ke1=0.0021→ Ke1=0.3697

∴K e=[ 0.3697−0.0663]