ejercicios de control digital
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE CONTROL.
EJERCICIOS DE INGENIERÍA DE CONTROL
ING. SABINO ORTEGA MONJARÁS MÉXICO, D. F., MARZO DE 2007.
EJERCICIOS DE INGENIERÍA DE CONTROL INTRODUCCIÓN El presente trabajo representa una colección de problemas de Ingeniería de Control, mismos que normalmente se desarrollan en el transcurso de un semestre. Ellos están divididos en tres partes, a saber a) Ejercicios resueltos, relativos al curso.
b) Ejercicios sin respuesta, los cuales pueden desarrollarse en clase.
c) Ejercicios resueltos, utilizando el programa Matlab. En general, los problemas se refieren a Ingeniería de Control, lo cual indica que se tratan temas tanto de Ingeniería de Control en Tiempo Continuo, así como de Ingeniería de Control Digital. De acuerdo con esto, los problemas son clasificados según el tema al que se refieren, el cual aparece como encabezado. Atentamente Ing. Sabino Ortega Monjarás Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ingeniería Eléctrica Departamento de Ingeniería de Control. Marzo de 2007.
EJERCICIOS DE CONTROL DIGITAL 1. Transformada z.
1.1.
aTaT
aT
ataTat
at
ewTzezsenwTezF
eporfunciónunadeproductodelTeoremazezzGzTtge
atráshaciaocorrimientdelTeoremazGzTtgwTzz
zsenwTsenwttg
Ttsenwetf
22
2
1
1
2
cos2)(
.)()(
.)()(1cos2
)(
)()(
+−=
→↔−
↔−+−
↔=
−=
±−−
−
1.2.
22
2
11
2
)(1)()1(
.)(
)(
)(
)1()(
azzFak
kporfunciónunadeproductodelTeoremaaz
zdz
zGdzzka
azzakg
akkf
k
k
k
k
−=↔−
−=−↔
−↔=
−=
−
−−
−
1.3
aTaT
ataTn
k
kat
n
k
k
at
ewTzezsenwTzzF
eporfunciónunadeproductodelTeoremazezzkTgzGzTtge
wTzzsenwTz
adelantehaciaocorrimientdelTeoremazkTgzGzTtg
wTzzzsenwTsenwttg
Ttsenwetf
22
2
1
0
2
2
1
0
2
cos2)(
.])()([)(
1cos2
.])()([)(
1cos2)(
)()(
+−=
→−↔+
+−=
−↔+
+−↔=
+=
±−−
=
−
−
=
−
∑
∑
** 1.4
aTaTatat
at
ataTn
k
kat
n
k
k
at
ewTzezsenwTz
wTzeezsenwTezzF
eporfunciónunadeproductodelTeoremazezzkTgzGzTtge
wTzzsenwTz
adelantehaciaocorrimientdelTeoremazkTgzGzTtg
wTzzzsenwTsenwttg
Ttsenwetf
22
2
22
22
1
0
2
2
1
0
2
cos21cos2)(
.])()([)(
1cos2
.])()([)(
1cos2)(
)()(
−−
±−
=
−−
−
=
−
−
+−=
+−=
→−↔+
+−=
−↔+
+−↔=
+=
∑
∑
** 1.5
{ }
{ } 2
412
2
4
2
33
3
3322322344
22342
0
33
233
2
)()3()1()2()1(
)()()(
)3()3(
][)3(
)(
)1(dim)1()(
azakkgZzakkgk
azza
azzaaazz
dzkgZdzkakkg
azza
azzazaazzaazzz
zaazzaz
zzaaz
zzakg
azzakg
Asíakkaaa
seguiraientoproceelSeaakkf
k
k
k
kkk
k
kkkk
k
−=+↔−=+−
−=
−−−
−=
+−↔=+
−=
−+++−−−
=
=−−−−
=−−
↔=+
−↔=
−→→→
−=
−+
+
=
−+
+++
+
∑
1.6 Examen extraordinario. Primer período. Septiembre 2007.
aT
aT
ataTn
k
kat
n
k
k
at
zezzcowTz
wTzzwTzwTzzF
zezzwTzz
wTzwTzwTzwTzzwTzzzzF
eporfunciónunadeproductodelTeoremazezzkTgzGzTtge
zwTwTzzwTzzz
adelantehaciaocorrimientdelTeoremazkTgzGzTtg
wTzzwTzzwttg
Ttwetf
→+−
−−+=
→+−
−−++−−−=
→−↔+
+−+−
−=
−↔+
+−−
↔=
+=
±−
=
−−
−
=
−
−
∑
∑
)12(coscos2cos2)(
)1cos2(]coscos2cos2coscos[)(
.])()([)(
)]/cos1(1cos2
)cos([
.])()([)2(
1cos2)cos(cos)(
)2(cos)(
2
2223
2
2223232
1
0
22
1
0
2
2
2. Transformada z inversa.
2.1.
32
2
)2()()2(
)2(2
)2(1)(
−−
−=↔+
−↔+
+=
k
k
kfzz
zz
zzzF
** 2.2.
1123
111
1
222
2333
3
23
1
1
23
2
2
1
23
2
23
3
12
23
3
3
1272)2(
272)2)(1(
92)2)(2)(1(
61)(
1)1(
;)2()2(
)2)(1()2(
;)2(2
)2)(1()2(
2)1(
)(
!)1()2)...(1(
)(
272)1)((
272)2)((
!21
92)2)((
31)2)((
)1()2()2()2()(
)1()2(1)(
−−−−
−−
−−
−
+−
→
−→
−→
−→
+−−−−−−−−=
↔−
−↔+
−−↔+
−−−
↔+
−↔
−
−+−−
↔−
=−=
−=+=
−=+=
=+=
−+
++
++
+=
−++
=
kkkk
kk
kk
k
nkn
z
z
z
z
kkkkf
BzBA
zA
kAz
AkkAz
A
akkaz
zEntonces
an
nkkkaz
zAhora
zzFB
zzFdzdA
zzFdzdA
zzFA
zB
zA
zA
zA
zF
zzzzF
2.3. (jun/08)
)1(811
271)2(
21619)2)(1(
365)2)(2)(1(
61)(
)1(;1)1(
;)2()2(
)2)(1()2(
;)2(2
)2)(1()2(
2)1(
)(
!)1()2)...(1(
)(
81)(
271)1)((
21619)2)((
!21
365)2)((
61)2)((
)1()2()2()2()(
)1()2(1)(
1123
111
1
222
2333
3
23
1
0
1
23
2
2
1
23
2
23
3
12
23
3
3
−−+−−−−−−−−=
−↔↔−
−↔+
−−↔+
−−−
↔+
−↔
−
−+−−
↔−
−==
=−=
=+=
=+=
=+=
+−
++
++
++
=
−+=
−−−−
−−
−−
−
+−
→
→
−→
−→
−→
kkkkkf
kCzCB
zBA
zA
kAz
AkkAz
A
akkaz
zEntonces
an
nkkkaz
zAhora
zzFC
zzFB
zzFdzdA
zzFdzdA
zzFA
zC
zB
zA
zA
zAzF
zzzzF
kkkk
kk
kk
k
nkn
z
z
z
z
z
δ
δ
3. Aproximación de funciones continuas.
3.1.
)1(1)(−
=ss
sF
Aproximación por zoh(s).
])1()1(
)[1()()1(
)1()1(1
)1(1
11
1)1(
11
1;11
1
))(()!1(
1
...
))((!2
1
))((
))((
)()(...
)()()()()(
:
1)1(1)(
211
22
12
20
10
2
1
1
1
2
1
1
122
2
−−
−−
−−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
−+
−−
−−↔+−−↔
−
==
−=−−
=−
=−=−
=
+−
=
+=
+=
+=
++
+++
+=
++=
−++↔
−=
−−
→
→→
−→−
−
−→−
−→−
−→
zz
zTz
ezzz
ssFZz
ezz
zz
zTzet
ss
sB
ssdsdA
sA
Así
sssFdsd
nA
sssFdsdA
sssFdsdA
sssFA
ssB
ssA
ssA
sssssGsF
múltiplespolosndeCaso
sB
sA
sA
sssF
T
Tt
s
ss
ss
nin
n
ss
nin
ss
nin
ss
nin
jin
i
n
jn
i
i
i
i
i
3.2
)1(1)(+
=ss
sF
a) Aproximación por zoh(s).
])1()1(
)[1()()1(
)1()1(1
)1(1
1;1)1(
1)(;1)(
1)1(1
)()1()(
211
22
02
02
0
22
1
T
Tt
sss
ezz
zz
zTzz
ssFZz
ezz
zz
zTzet
ss
Csds
dlímssFdsdlímBssFlímA
sc
sB
sA
ss
ssFZzsF
−−−
−−
→→→
−
−+
−−
−−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
−+
−−
−↔+−↔
+
=−=+
====
+++↔
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−↔
b) Aproximación rectangular hacia adelante.
Sean los métodos de aproximación por integración:
.,,112)(
.tan1)(
.tan1)(
TustindeobilinealltrapezoidaónAproximacizz
TzH
atráshaciagularrecónAproximaciTz
zzH
adelantehaciagularrecónAproximaciT
zzH
+−
=
−=
−=
Así
)1)(1()1)()((1)(
)1(1)(
2
TzzT
zHzHzF
sssF
+−−=
+=↔
+=
** 3.3
)1)(1(1)(
−+=
sssF
a) Aproximación por método trapezoidal.
)1)4()4(2)(4(
)12()1)(1(
1)(
2
222
22
112
+−+
−−
++=
−+=
+−
→
zTTzT
zzTss
zFzz
Tz
b) Aproximación por método del zoh(s).
]21
21
1)[1())(()1()(
]11
[)(
21;
21;1
11)1)(1(1
))(()1()(
11
1
1
TT
tt
ezz
ezz
zzz
ssFZzzG
CeBeAsC
sB
sAS
ssF
CBA
sC
sB
sA
sss
ssFZzsF
−+
−+
−−−=−=
++=−
++
+=
==−=
−+
++=
−+
−↔
−−−
−−
−
3.4 Examen extraordinario. Primer período. Septiembre 2007.
)2)(1(1)(
−+=
sssF
a) Aproximación por método del zoh(s).
]61
31
121)[1())(()1()(
]21
[)(
61;
31;
21
21)2)(1(1
))(()1()(
211
21
1
TT
tt
ezz
ezz
zzz
ssFZzzG
CeBeAsC
sB
sAS
ssF
CBA
sC
sB
sA
sss
ssFZzsF
−+
−+
−−−=−=
++=−
++
+↔
==−=
−+
++=
−+
−↔
−−−
−−
−
3.5. (jun/08)
)2(1)( 2 +
=ss
sF
Aproximación por método del zoh(s).
]81
181
)1(41
)1()1(
41)[1())(()1()(
2]
2[)(
81;
81;
41;
21
2)2(1)(
))(()1()(
223
211
22
231
233
1
T
t
ezz
zz
zTz
zzzTz
ssFZzzG
DeCBtAts
DsC
sB
sAS
ssF
DCBA
sD
sC
sB
sA
ssssF
ssFZzsF
−−−
−−
−
−−
−+
−−
−+
−=−=
+++=+
+++↔
−==−==
++++=
+=
−↔
4. Estabilidad de sistemas discretos.
4.1. Sea la función de transferencia en malla abierta
)1)(5.0()1.0()(−+
+=
zzzkzG
a) Determinar el intervalo de estabilidad de k.
05.01.0)5.0()(
..0...)(1)(2
0
=−+−+=
=++=+=
kzkzzF
cerradamalladeicacaraterístEcazazGzF nn
Análisis de estabilidad. Método de Jury. Arreglo: Número de reglones: 2n-3=1. No es necesario el arreglo. Condiciones de estabilidad.
.)
910;09.015.01.0)5.0(1)1(
.:0)1()
0;01.15.01.05.01)1(0)1()
155;15.01.015.01.01
)
01
0
calculaseNobbd
kkkkF
parnFc
kkkkFFb
kkk
aaa
n
n
>
<>−=−+−−=−
>−
>>=−+−+=>
<<−<−<−
−>
>
−
La solución de las inecuaciones anteriores proporciona el intervalo de estabilidad de k.
Fig. 4.2.1. Solución de inecuaciones del problema 4.2. Intervalo de estabilidad de k: 0<k<10/9. Por tanto, el intervalo de estabilidad de k es 0<k<10/9.
b) Obtener el coeficiente de error de velocidad.
kTe
Tkk
kTzGzlíme
zGzUzE
zTzzU
zGzG
zUzY
v
v
363.1)(;733.0
1/)()1(
1)(
)(11
)()(
)1()(
)(1)(
)()(
2
→∞=
=−
→∞
+=
−=
+=
4.2. Sea la función de transferencia en malla abierta
)1)(5.0()1.0()(−−
+=
zzzkzG
a) Determinar el intervalo de estabilidad de k.
05.01.0)5.1()(0)1.0()1)(5.0()(
..0...)(1)(
2
0
=++−+=
=++−−==++=+=
kzkzzFzkzzzF
cerradamalladeicacaraterístEcazazGzF nn
Análisis de estabilidad. Método de Jury. Arreglo: Número de reglones: 2n-3=1. No es necesario el arreglo. Condiciones de estabilidad.
.)
310;09.035.01.0)5.1(1)1(
.:0)1()
0;01.15.01.05.11)1(0)1()
515;15.01.015.01.01
)
01
0
calculaseNobbd
kkkkF
parnFc
kkkkFFb
kkk
aaa
n
n
>
<>−=++−−=−
>−
>>=++−+=>
<<−<+<−
+>
>
−
La solución de las inecuaciones anteriores proporciona el intervalo de estabilidad de k.
Fig. 4.2.1. Solución de inecuaciones del problema 4.2. Intervalo de estabilidad de k: 0<k<10/3. Por tanto, el intervalo de estabilidad de k es 0<k<10/3. b) Coeficiente de error de velocidad. Sea
kTe
Tk
zTzklímk
kTzGzlíme
zGzUzE
zv
vz
4545.0)(;2.2)5.0()1.0(
1/)()1(
1)(
)(11
)()(
1
1
→∞=−+
=
=−
→∞
+=
→
→
4.3 Obtener el coeficiente de error de posición del sistema del problema 4.2. Se tiene
0)(;)5.0)(1(
)1.0(
11
)(11)(
)(11
))(1)(1()1(
)(1)()1()(
)(11
)()(
1
1
11
1
1
1
→∞∞→−−
+=
+=
+→∞
+=
+−−=
+−
→∞
+=
→
→
→−
→
−
→
ezz
zklímk
Así
kzGlíme
zGlím
zGzzzlím
zGzUzlíme
zGzUzE
zp
pz
zzz
4.4 Examen extraordinario. Primer período. Septiembre de 2007.
Sea la función de transferencia en malla abierta
)8.0)(5.0()1.0()(−+
+=
zzzkzG
c) Determinar el intervalo de estabilidad de k.
04.01.0)3.0()1.0(4.03.0)(
..0...)(1)(22
0
=−+−+=++−−=
=++=+=
kzkzzkzzzF
cerradamalladeicacaraterístEcazazGzF nn
Análisis de estabilidad. Método de Jury. Arreglo: Número de reglones: 2n-3=1. No es necesario el arreglo. Condiciones de estabilidad.
.)
1;09.09.04.01.0)3.0(1)1(.:0)1()
1.13.0;03.01.14.01.03.01)1(
0)1()
146;14.01.014.01.01
)
01
0
calculaseNobbd
kkkkFparnFc
kkkkF
Fb
kkk
aaa
n
n
>
<>−=−+−−=−>−
−>>+=−+−+=
>
<<−<−<−
−>
>
−
La solución de las inecuaciones anteriores proporciona el intervalo de estabilidad de k: 1
1.13.0
<<− k
4.5. (Jun/08). Sea la función de transferencia en malla abierta
)1)(5.0()1.0()(−−
−=
zzzkzG
b) Determinar el intervalo de estabilidad de k.
05.01.0)5.1()(0)1.0()1)(5.0()(
..0...)(1)(
2
0
=+−−+=
=−+−−==++=+=
kzkzzFzkzzzF
cerradamalladeicacaraterístEcazazGzF nn
Análisis de estabilidad. Método de Jury. Arreglo: Número de reglones: 2n-3=1. No es necesario el arreglo. Condiciones de estabilidad.
.)
1130;31.15.01.0)5.1(1)1(
.:0)1()
0;09.05.01.05.11)1(0)1()
155;15.01.015.01.01
)
01
0
calculaseNobbd
kkkkF
parnFc
kkkkFFb
kkk
aaa
n
n
>
<−>−=+−−−=−
>−
>>=+−−+=>
<<−<+−<−
+−>
>
−
La solución de las inecuaciones anteriores proporciona el intervalo de estabilidad de k.
Fig. 4.2.1. Solución de inecuaciones del problema 4.2. Intervalo de estabilidad de k: 0<k<30/11. Por tanto, el intervalo de estabilidad de k es 0<k<30/11. d) Coeficiente de error de velocidad. Sea
kTe
Tk
Tk
zTzklímk
kTzGzlíme
zGzUzE
zv
vz
95)(;8.1
5.09.0
)5.0()1.0(
1/)()1(
1)(
)(11
)()(
1
1
→∞==−−
=
=−
→∞
+=
→
→
4.3 Obtener el coeficiente de error de posición del sistema del problema 4.2. Se tiene
0)(;)5.0)(1(
)1.0(
11
)(11)(
)(11
))(1)(1()1(
)(1)()1()(
)(11
)()(
1
1
11
1
1
1
→∞∞→−−
+=
+=
+→∞
+=
+−−=
+−
→∞
+=
→
→
→−
→
−
→
ezz
zklímk
Así
kzGlíme
zGlím
zGzzzlím
zGzUzlíme
zGzUzE
zp
pz
zzz
5. Variables de estado. Sea
)2(1)(+
=ss
sG
a) Obtener ecuación de estado, con x(0)=0.
DuCXYBuAXX
+=+=
•
Por forma canónica controlable:
[ ] [ ] 0;01;10
;20
100011022 ===−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
= bDbabbabCBA
6. Solución de la ec. de estado.
{ }
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=−=
≥==−==
=Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
=−
=+−=
−
−−
−−
−
−
)2(1
)2(1
)()()(
0;;0;21
21;1
det:)0,()(
210
)2(11
012
21)(;
201
)(
0)0()];()0([)()(
21
22221
21211
2221
121111
21
1
ss
sssBuAsIsX
tee
eransiciónMatríztAsIL
s
ssss
sss
AsIs
sAsI
XsBuXAsIsX
tt
At
φφφφ
φφφφ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
)1(21
)12(41
)()(
2
2
2
1
t
t
e
et
txtx
7. Ecuación de estado discreta.
Sea
)()()()()()()()(
kTDukTCXkTYkTuTHkTXTGTkTX
+=+=+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+=
−=
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −==
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −==
−
−
−
−
−
−
−
−
→
∫∫
21
21
41
21
41
)(
][21
]21[
21
1(21
)(
0
)1(211)(
2
2
02
21
02
11
21
11
2
2
00
2
2
T
T
T
T
TAT
T
T
TtAt
e
TeTH
eh
eh
hh
de
eBdeTH
e
eeTG
λ
λ
λ
λλ
λ
λλ
8. Solución de la ecuación de estado discreta . T=1.
Se tiene
12
1353.012
11
1353.021
122
21
2
2
222
2
1
1
1
)1353.0(0676.0)1(4999.0)(
1564.0)1(
;1564.1)1353.0(
];1353.01
[4323.0)(
)1353.0(0338.0)1(0338.0)1(2161.02838.0)(
1809.0)1(
;1809.0)1353.0(
1564.1)1353.0(
];1353.01)1(
[4323.0)1(
2838.0)(
)1353.0)(1(4323.0
)1353.0()1(4323.0
)1(2838.0
4323.02838.0
)1353.0)(1(0
)1353.0()1(4323.0
)1()()(
)(
104323.01353.0
)1353.0)(1(1)]([;
1353.004323.01
)]([
4323.02838.0
)(;1353.004323.01
)(
)()()]([)(
−
→→
−
→→
→
−
−
−−=
−=−
==−
=−
+−
=
+−−−+=
=−
=−=−
=
=−
=−
+−
+−
+−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−+
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−=
k
zz
k
zz
z
kkx
zzE
zzD
zE
zDzx
kkkkx
zzC
zz
dzdB
zzA
zC
zB
zA
zzzx
zzzzz
zz
z
zzz
zzz
zz
zxzx
zX
zz
zzTGzI
zz
TGzI
THTG
zUTHTGzIzX
µ
µ
4.2 Se tiene
)2(1)(−
=ss
sG
a) Obtener ecuación de estado, con x(0)=0. Por forma canónica controlable:
[ ] [ ] 0;01;10
;2010
0;2;1;1;0;22
)2(1)(
0011022
2102101
20
12
0
===−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=−=====++++
=−
=
bDbabbabCBA
aaabbbasasabsbsb
sssG
b) Solución de la ec. de estado.
{ }
t
t
ss
tt
At
etx
ettx
Cssds
dBAsC
sB
sAsx
sxsx
ss
sssBuAsIsX
tee
etransicióndeMatríztAsIL
s
ssss
sss
AsIs
sAsI
XsBuXAsIsX
22
21
02021
2
12
1
22221
21211
2221
121111
1
1
21
21)(
]12[41)(
41;
41
)2(1
21;
21;
2)(
)()(
)2(1
)2(1
)()()(
0;;0;21
21;1
:)0,()(
210
)2(11
012
)2(1)(;
201
)(
0)0()];()0([)()(
+−=
+−−=
=−=−−
=−
=−=−
++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=−=
≥==+−==
=Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=−
=+−=
→→
−
−−
−
−
φφφφ
φφφφ
c) Ecuación de estado discreta.
Sea
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=
=
+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ +−==
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ +−==
+=+=+
∫∫
→
21
21
]12[41
)(
][21
]21[
21
)1(21
)(
0
)1(211)(
)()()()()()()()(
2
2
02
21
02
11
21
11
2
2
00
2
2
T
T
T
T
TAT
T
T
TtAt
e
TeTH
eh
eh
hh
de
eBdeTH
e
eeTG
kTDukTCXkTYkTuTHkTXTGTkTX
λ
λ
λ
λλ
λ
λλ
d) Solución de la ecuación de estado discreta . T=1.
Se tiene
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−+
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−=
−
−
)3890.7)(1(1945.3
)3890.7()1(2048.10
)1(0972.1
1945.30972.1
)3890.7)(1(0
)3890.7()1(1945.3
)1()()(
)(
101945.33890.7
)3890.7)(1(1)]([;
3890.701945.31
)]([
1945.30972.1
)(;3890.701945.31
)(
)()()]([)(
2222
2
1
1
1
zzzzz
zz
z
zzz
zzz
zz
zxzx
zX
zz
zzTGzI
zz
TGzI
THTG
zUTHTGzIzX
12
3890.712
11
3890.72121
1221
)3890.7(6944.3)1(4999.0)(
1565.1)1(
;1565.0)3890.7(
];3890.71
[1945.3)(
)3890.7(8470.1)1(8470.1)1(5970.10972.1)(
1810.0)1(
;1810.0)3890.7(
)3890.7()3890.7(
1565.0)3890.7(
];3890.71)1(
[2048.10)1(
0972.1)(
−
→→
−
→→→
→
−−−=
=−
=−=−
=−
+−
=
+−−−−=
=−
=−=−
−−=
−=
−=−
=−
+−
+−
+−
=
k
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k
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z
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zE
zDzx
kkkkx
zzC
zzz
zz
dzdB
zzA
zC
zB
zA
zzzx
µ
µ
4.3 Examen extraordinario. Primer período. Sep. De 2007. Se tiene
)2)(1(1)(
+−=
sssG
a) Obtener ecuación de estado, con x(0)=0. Por forma canónica controlable:
[ ] [ ] 0;01;10
;12
10
2;1;1;1;0;22
)2)(1(1)(
0011022
2102101
20
12
0
===−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
−======++++
=+−
=
bDbabbabCBA
aaabbbasasabsbsb
sssG
b) Solución de la ec. de estado.
{ }
]22[61)(
31
31)(
]23[61)(
61;
31;
21;
21)(
)()(
)2)(1(1
)2)(1(1
)()()(
32
31
32
32
31
31
31
32
0;32
31;
32
32;
31
31;
31
32
31;
32;
21)2)(1(1
:)0,()(
2)(1()2)(1(2
)2)(1(1
)2)(1(1
211
)2)(1(1)(;
121
)(
0)0()];()0([)()(
21
22
21
1
2
11
22
22
21222
221
212
211
11
2221
121111
1
1
tttt
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tttt
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At
eetxdtdeetx
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CBAsC
sB
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eeee
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teedtdeeeeee
BAs
Bs
Ass
s
etransicióndeMatríztAsIL
sss
ss
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ss
ssAsI
ss
AsI
XsBuXAsIsX
−−
−
−
−−
−−
−−−−
−−
−
−
−==−=
++−=
==−=+
+−
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−=−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+=
≥+==−=−=+=
==+
+−
=+−
+↔
=Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−
+−+−+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−
=−
=+−=
φφφφφ
φ
φφφφ
c) Ecuación de estado discreta. Sea
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+=
−=+−−=−=
−+=−−+=+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−==
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+===
+=+=+
−
−
−−−
−−−
−
−
→
−−
−−
→
∫∫
][31
]23
21[
31
)(
][31]11[
31][
31
]23
21[
31]
211
21[
31]
21[
31
32
31
31
31
)(
32
31
32
32
31
31
31
32
)(
)()()()()()()()(
2
2
220
221
220
211
21
11
0 2
2
0
22
22
TT
TT
TTTTT
TTTTT
TAT
Tt
tttt
tttt
AtTt
At
ee
eeTH
eeeeeeh
eeeeeeh
hh
dee
eeBdeTH
eeee
eeeeeeTG
kTDukTCXkTYkTuTHkTXTGTkTX
λλ
λλ
λλ
λλ
λ λλ
4.4. (Jun/08).
)1(1)(+
=ss
sG
Obtener a) La matriz de transición. b) La solución de ecuación de estado, con x(0)=0. c) La solución de la ecuación de estado discreta.
Solución a) Sea
DuCXYBuAXX
+=+=
•
Por forma canónica controlable:
ssasasabsbsb
sG+
=++++
= 221
20
212
0 1)(
[ ] [ ] ]0[;01;10
;10
100011022 ===−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
= bDbabbabCBA
Matriz de transición.
{ }
0;;0;1;1
det:)0,()(
110
)1(11
0111)(;
101
)(
0)0()];()0([)()(
22211211
2221
121111
21
1
≥==−==
=Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
+=−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
=−
=+−=
−−
−−
−
−
tee
eransiciónMatríztAsIL
s
ssss
sss
AsIs
sAsI
XsBuXAsIsX
tt
At
φφφφ
φφφφ
b) Solución de la ecuación de estado continua.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+=−= −
)1(1
)1(1
)()()(2
1
ss
sssBuAsIsX
0;
)1)1
)()(
2
1 ≥⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
te
ettxtx
t
t
c) Solución de la ecuación de estado discreta.
Sea
)()()()()()()()(
kTDukTCXkTYkTuTHkTXTGTkTX
+=+=+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−+
=
−=
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −==
−
−
−
−
−
−
−
−
→
∫∫
11
)(
][
][
1)(
011
)(
021
011
21
11
00
T
T
T
T
TAT
T
T
TtAt
eTe
TH
eh
eh
hh
de
eBdeTH
ee
eTG
λ
λ
λ
λλ
λ
λλ
Solución de la ecuación de estado discreta . T=1.
Se tiene
0)36787.0(36786.0)1(99998.0)(
36785.0)1(36785.0)1(6321.036787.0)(
92062.058195.1)36787.0()1()1()36787.0()1(
)36787.0)(1(63212.0
)36787.0()1(63212.0
)1(36787.0
63212.036787.0
)36787.0)(1(0
)36787.0()1(63212.0
)1()()(
)(
1063212.036787.0
)36787.0)(1(1)]([;
36787.0063212.01
)]([
63212.036787.0
)(;36787.0063212.01
)(
)()()]([)(
112
11
22
2
2
222
2
1
1
1
≥−=
+−−+=
−=−==−
+−
+−
=−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−+
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−=
−−
−
−
−
kkx
kkkx
CBAz
CzB
zA
zzz
zzzzz
zz
z
zzz
zzz
zz
zxzx
zX
zz
zzTGzI
zz
TGzI
THTG
zUTHTGzIzX
kk
kk
5. Controlabilidad y observabilidad.
5.1) Determinar la controlabilidad y observabilidad del sistema continuo del problema 4.1.
Controlabilidad.
[ ] [ ]
.::01)det(2
110
... 1
econtrolablntecompletameestadodeSistemanrangodeMCMatrizMC
ABBBAABBMC n
≠−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=== −
Observabilidad.
.01)det(
1001
...1
observablentecompletameSistemaMO
CAC
CA
CAC
MO
n
≠=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
5.2) Determinar la controlabilidad y observabilidad del sistema discreto del problema 4.1. T=1 segs.
Controlabilidad.
[ ] [ ]
.01868.0)det(0584.04323.04706.02838.0
...
4323.02838.0
)(;1353.004323.01
)(
1
econtrolablntecompletameestadodeSistemaMC
GHHHGGHHMC
THTG
n
≠−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡===
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
Observabilidad.
.04323.0)det(
4323.0101
...1
observablentecompletameSistemaMO
CGC
CG
CGC
MO
n
≠=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
SECCIÓN DE CORRECCIONES Y MODIFICACIONES PARA EL MANUAL DE EJERCICIOS DE INGENIERÍA DE CONTROL. 1. Problema 3.1. Pasó a ser el problema 3.2. Se corrigió la ecuación general para el caso de polos múltiples, según problema 3.1. Anteriormente sólo consideraba el coeficiente del denominador con potencia unitaria. SOM. 19 de abril de 2007.