control ejercicios de pid

7/25/2019 control ejercicios de pid

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Funcin de transferencia de un PID.

Control proporcional

Funcin de transferencia a lazo cerrado con el controlador proporcional es:

Un controlador proporcional (Kp) decrementa el tiempo de elevacin.

Por ahora, hagamos Kp igual a 1 ! vea "u# sucede con la respuesta.$epresentacin de los comandos utilizados para el programa.

%p&1'm&1'

&'

u&1'num&*%p+'den&*m %p+'t&:.1:-'step(unum,den,t)a/is(* - 1+)

0orriendo este programa en atla nos dee dar la siguiente respuesta alescaln.
http://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.html#axishttp://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.html#axishttp://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.html


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Usando el comando cloop para hallar la respuesta a lazo cerrado directamentede la funcin de transferencia a lazo aierto. 2i elige en hacerlo con el siguienteprograma ! deer3a otenerse la misma figura coma la de aa4o.

%p&1'

m&1'&'u&1'num&*1+'den&*m +'*numc,denc+&cloop(%pnum,den,51)'t & :.1:-'step(unumc,denc,t)a/is(* - 1+)

0omo puede ver del gr6fico, tanto el error de estado estacionario cuanto eltiempo de elevacin no satisfacen nuestros criterios de dise7o. Puede

incrementar la ganancia proporcional (Kp) para me4orar la salida del sistema.0amiando Kp & 1, 8eer3a verse la figura siguiente.

Control PI

9a funcin de transferencia a lazo cerrado de este sistema de control de marchacon controlador P es:

Un controlador integral al sistema elimina el error de estado estacionario. Porahora, haga Kp & ; ! Ki & 1 ! vea "u# sucede con la respuesta.

%p & ;'%i & 1'


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m&1'&'u&1'num&*%p %i+'den&*m %p %i+'

t&:.1:-'step(unum,den,t)a/is(* - 1+)Para otener la respuesta a lazo cerrado directamente de la funcin detransferencia a lazo aierto, ingrese los siguientes comandos en lugar de los "uese muestran aa4o:

%p & ;'%i & 1'm & 1'

& '

u & 1'num & *1+'den & *m +'num1& *%p %i+'den1& *1 +'num-&conv(num,num1)'den-&conv(den,den1)'*numc,denc+&cloop(num-,den-,51)'t&:.1:-'step(unumc,denc,t)a/is(* - 1+)

0ual"uiera sea el archivo5m "ue corra, deer3a otenerse la siguiente salida:


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0on Kp igual a = ! Ki igual a >, la respuesta al escaln lucir6 como lasiguiente:

0omo puede ver, esta respuesta al escaln cumple con todos los criterios dedise7o.

Control PID

Para este e4emplo particular, no se re"uiri la implementacin de uncontrolador derivativo para otener una salida acorde con lo re"uerido. 2inemargo, "uisiera ver cmo traa4ar con un controlador P8 para futurasreferencias. 9a funcin de transferencia a lazo cerrado de este sistema de controlde marcha con el controlador P8 es.

?agamos Kp & 1, Ki & 1, ! Kd & 1 .

%p&1'%i&1'%d&1'm&1'

&'u&1'num&*%dkp %i+'den&*m%d %p %i+'t&:.1:-'step(unum,den,t)
http://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.html


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a/is(* - 1+)

9uego de correr este programa nos deer3a dar la respuesta al escaln del

sistema con el controlador P8.


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Ejemplo 2.- Modelacin de Velocidad del Motor de DC

Reconocimiento Fsico y sistema de ecuaciones

@l motor de 80 es un actuador comAn en control sistemas. Provee movimientorotatorio directamente !, acoplado con ruedas dentadas o poleas ! cales, puedeproveer movimiento transicional. @l circuito el#ctrico de la armadura ! eldiagrama de cuerpo lire del rotor se muestran en la siguiente figura:

Para este e4emplo, asumimos los valores siguientes para los par6metros f3sicos.@stos valores se derivaron e/perimentalmente de un motor real del laoratoriode control para alumnos de grado del 0arnegie ellon.

momento de inercia del rotor (B) & .1 %g.mC-DsC-

coeficiente de amortiguamiento del sistema mec6nico () & .1 Ems

constante de fuerza electromotriz (K&Ke&Kt) & .1 EmD


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@l tor"ue del motor, T, se relaciona con la corriente de armadura, i, por unfactor constante Kt. 9a fuerza contra electromotriz (fme), e, se relaciona con la

velocidad de rotacin mediante las siguientes ecuaciones

@n unidades del sistema internacional 2 (las "ue usaremos), la Kt(constantede armadura) es igual a Ke(constante del motor).

8e la figura de arria podemos escriir las siguientes ecuaciones asadas en lale! de EeHton cominado con la le! de Kirchhoff:

Funcin de Transferencia

Usando Gransformadas de 9aplace, las ecuaciones del modelo de arria puedene/presarse en t#rminos de s.

@liminando (s) podemos otener la siguiente funcin de transferencia a lazoaierto, donde la velocidad de rotacin es la salida ! el volta4e es la entrada.

Espacio de Estado

@n la forma espacio de estado, las ecuaciones de arria pueden e/presarseescogiendo la velocidad de rotacin ! corriente el#ctrica como las variales deestado ! la tensin como una entrada. 9a salida se elige "ue sea la velocidad derotacin.


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Requerimientos de diseo

Primero, el motor sin compensar puede rotar solo a .1 radDseg. 0on unatensin de entrada de 1 olt (esto se demostrar6 luego cuando se simule larespuesta a lazo aierto). 0omo el re"uerimiento m6s 6sico de un motor es "ue

dee rotar a la velocidad deseada, el error de estado estacionario de la velocidaddel motor dee ser menor "ue 1I. @l otro re"uerimiento de performance es "ueel motor dee acelerarse hasta su velocidad de estado estacionario apenas seencienda. @n este caso, "ueremos tener un tiempo de estalecimiento de -segundos. 0omo una velocidad ma!or "ue la referencia podr3a da7ar el e"uipo,"ueremos tener un sorepico menor "ue I.2i simulamos la entrada de referencia (r) con una entrada escaln unitario,entonces la salida velocidad del motor deer3a tener:

Giempo de estalecimiento menor "ue - segundos

2orepico menor "ue I

error de estado estacionario menor "ue 1I

Representacin en !atla" y respuesta a la#o a"ierto

Funcin de Transferencia

Podemos representar la funcin de transferencia anterior en atla definiendolas matrices numerador ! denominador como sigue:

Programa para hallar la funcin de transferencia de lazo aierto.

B&.1'&.1'K&.1'$&1'

9&.'num&K'den&*(B9) ((B$)(9)) (($)KC-)+'


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8eer3a otenerse la figura siguiente:

8e la figura vemos "ue cuando se aplica 1 volt al sistema, el motor puede lograrsolo una velocidad m6/ima de .1 radDseg., diez veces menor "ue la velocidaddeseada.


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! el es"uema del sistema se ve:

9os criterios de dise7o con una entrada escaln de 1 radDseg. 2on:

Giempo de estalecimiento menor "ue - segundos

2orepico menor "ue I

2tead!5stage error menor "ue 1I

8ise7emos ahora un controlador P8 adicion#moslo al sistema. 0ree primeroun archivo5m nuevo ! tipee los siguientes comandos (pinche en odelacin delmotor de cc por detalles sore estos comandos).

B&.1'&.1'K&.1'$&1'9&.'num&K'

den&*(B9) ((B$)(9)) (($)KC-)+'

$ecordemos "ue la funcin de transferencia para un controlador P8 es:



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Gratemos de usar primero un controlador proporcional con una ganancia de1.


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8e la figura de arria vemos "ue tanto el error de estado estacionario cuanto elsorepico son mu! grandes. $ecordemos del tutorial P8"ue incorporando unt#rmino integral se eliminar6 el error de estado estacionario ! un t#rminoderivativo reducir6 el sorepico. Proemos un controlador P8 con Ki ! Kdpe"ue7os. odifi"ue su archivo5m de manera "ue se sea ve lo siguiente. 9uego

de correr este nuevo archivo5m se da la figura siguiente.

B&.1'&.1'K&.1'$&1'9&.'num&K'den&*(B9) ((B$)(9)) (($)KC-)+'

Kp&1'Ki&1'Kd&1'numc&*Kd, Kp, Ki+'denc&*1 +'numa&conv(num,numc)'dena&conv(den,denc)'*numac,denac+&cloop(numa,dena)'step(numac,denac)title(0ontrol P8 con pe"ue7o Ki and Kd)

$intoni#acin de %anancias


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Kp&1,Ki&-,Kd&1,

Godos nuestros re"uerimientos de dise7o ser6n satisfechos.

Ejemplo 3.-Modelacin de Posicin de unMotor de DC

Reconocimiento fsico

@l motor de 80 es un actuador comAn en control sistemas. Provee movimientorotatorio directamente !, acoplado con ruedas dentadas o poleas ! cales, puedeproveer movimiento transicional. @l circuito el#ctrico de la armadura ! eldiagrama de cuerpo lire del rotor se muestran en la siguiente figura:


momento de inercia del rotor (B) & .1 %g.mC-DsC-

coeficiente de amortiguamiento del sistema mec6nico () & .1 Ems

constante de fuerza electromotriz (K&Ke&Kt) & .1 EmD


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inductancia el#ctrica (9) & . ?

entrada (): Fuente de Gensin

salida (theta): posicin del e4e

el rotor ! e4e se consideran r3gidos

Ecuaciones del $istema

@l tor"ue del motor, T, se relaciona con la corriente de armadura, i, por unfactor constante Kt. 9a fuerza contra electromotriz (fme), e, se relaciona con la

velocidad de rotacin mediante las siguientes ecuaciones

@n unidades del sistema internacional 2 (las "ue usaremos), Kt(constante dearmadura) es igual a Ke(constante del motor).

8e la figura de arria podemos escriir las siguientes ecuaciones asadas en lale! de EeHton cominado con la le! de Kirchhoff:

&. Funcin de Transferencia

Usando Gransformadas de 9aplace las ecuaciones del modelo de arria puedene/presarse en t#rminos de s.

@liminando (s) podemos otener la siguiente funcin de transferencia, dondela velocidad de rotacin es la salida ! la tensin es una entrada.


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2in emargo como durante este e4emplo estamos mirando a la posicin, como"ue es la salida. Podemos otener la posicin integrando Gheta Punto, por lotanto solo necesitamos dividir la funcin de transferencia por s.

'. Espacio de Estado

@stas ecuaciones pueden tami#n representarse en la forma espacio de estado.2i elegimos posicin del motor, velocidad del motor, ! corriente de armaduracomo las variales de estado, podemos escriir las ecuaciones como sigue:

Requerimientos de diseo

Muisi#ramos poder posicionar mu! precisamente al motor, entonces el error deestado estacionario de la posicin del motor deer3a ser cero.


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Podemos poner la funcin de transferencia en atla definiendo el numerador

! el denominador como vectores:

ariales del programa:

B&J.--=>@5;'&J.NN@5;'K&.-N>'$&>'9&-.N@5;'num&K'den&*(B9) ((B$)(9)) (($)KC-) +'


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Gratemos de usar primero un controlador proporcional con una ganancia de 1.N.agregando al programa los siguientes comandos:

Kp&1.N'numcf&*Kp+'dencf&*1+'numf&conv(numcf,num)'denf&conv(dencf,den)'

Para hallar la funcin de transferencia a lazo cerrado, usamos el comando

cloop.*numc,denc+&cloop(numf,denf)'

Eote "ue numc ! denc son el numerador ! el denominador de la funcin detransferencia a lazo cerrado general.


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dendcl&conv(denc,Kp)'step(numdcl,dendcl,t)'


Control PID

8e las figuras de arria vemos "ue a pesar "ue el error de estado estacionario sev# ien, el tiempo de estalecimiento es mu! grande, as3 como el sorepico.Gami#n vemos "ue el error de estado estacionario a una perturacin esgrande. $ecordemos del P8, "ue incorporando un t#rmino integral se eliminael error de estado estacionario ! un t#rmino derivativo reducir6 el sorepico.Proemos primero el controlador P para anular el error de estado estacionarioa la perturacin. 0amiar el archivo anterior por estos nuevos comandos:

B&J.--=>@5;'&J.NN@5;'K&.-N>'

$&>'9&-.N@5;'num&K'den&*(B9) ((B$)(9)) (($)KC-) +'

Kp&1.N'Ki&-'numcf&*Kp Ki+'dencf&*1 +'numf&conv(numcf,num)'denf&conv(dencf,den)'

*numc,denc+&cloop(numf,denf,51)'t&:.1:.>'


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step(numc,denc,t)

8eer3a otenerse la siguiente respuesta al escaln:

eamos "ue ha sucedido con la respuesta a una perturacin escaln, agregue losiguiente a su archivo5m:

figurenumdcl&conv(numc,dencf)'dendcl&conv(denc,numcf)'step(numdcl,dendcl,t)'



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@l tiempo de estalecimiento todav3a es alto. ncrementemos las ganancias paraacelerar la respuesta. $egrese a su archivo5m ! camie Ki a - ! Kp a 1N.

uelva a e4ecutar el archivo ! otenga gr6ficos como estos:


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numf&conv(numcf,num)'denf&conv(dencf,den)'*numc,denc+&cloop(numf,denf,51)'t&:.1:.1'step(numc,denc,t)

@4ecAtelo de nuevo ! otenga esta figura:

emos "ue nuestra respuesta al escaln se v# realmente i#n, tiene un sorepicomenor "ue el 1;I, ! el tiempo de estalecimiento es cercano a los >ms, ! ha!error de estado estacionario cero. 2in emargo la respuesta a una perturacin

escaln ahora es lent3sima. ncrementemos Ki para acelerar la respuesta a laperturacin. odifi"ue Ki a ; ! vuelva a correr el programa. 8eer3aotenerse los gr6ficos siguientes:


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Ejemplo 4.- Modelacin de un de Sistema deSuspensin para un Bus usando Funcin derans!erencia

Reconocimiento Fsico

@l dise7o de un sistema de suspensin autom6tico para un colectivo se vuelveun prolema de control interesante. 0uando se dise7a el sistema de suspensin,se usa 1D> del modelo del colectivo (una de las cuatro ruedas) para simplificar elprolema a un sistema masa5resorte unidimensional.


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8nde:

masa del cuerpo (m1) & - %g, masa suspendida (m-) & J- %g, constante de elasticidad del sistema de suspensin(%1) & =, EDm, constante de elasticidad rueda ! neum6tico(%-) & , EDm, constante de amortiguacin del sistema de suspensin(1) & J EsDm. constante de amortiguacin rueda ! neum6tico(-) & 1,- EsDm. fuerza de control (u) & fuerza del controlador "ue estamos dise7ando.

Requerimientos de diseo(Un uen sistema de suspensin deer3a tener un satisfactorio agarre al camino,"ue provea confort aun cuando transita sore lomas ! aches en la ruta. 0uando

el colectivo est6 e/perimentando cual"uier perturacin en el camino (es decir,ra4aduras, pavimento no alanceado),la carrocer3a del colectivo no dee sufrirgrandes oscilaciones, ! las mismas deen disiparse r6pido. 0omo la distancia)&*+ es mu! dif3cil de medir, ! la deformacin del neum6tico()'*+) sedesprecia, usaremos la distancia )&*)'en lugar de )&*+como la salida ennuestro prolema. Genga en cuenta "ue esta es una estimacin.

9a perturacin del camino (+) en este prolema se simular6 por una entradaescaln. @ste escaln podr3a representar al colectivo saliendo de un pozo.Mueremos dise7ar un controlador realimentado de modo "ue la salida ( )&*)')tenga un sorepico menor "ue I ! un tiempo de estalecimiento menor "ue

segundos. Por e4emplo, cuando el colectivo corre hacia un gran escaln de 1cm, la carrocer3a del colectivo oscilar6 en un rango de D5 mm ! volver6 a unamarcha suave dentro de segundos.

Ecuaciones del mo,imiento(8e la figura de arria ! de la le! de EeHton, podemos otener las ecuacionesdin6micas siguientes:


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Ecuacin de Funcin de Transferencia(


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Gami#n podemos e/presar ! derivar las ecuaciones de arria en la formaespacio de estado. < pesar "ue este procedimiento e/presar6 las primeras dosecuaciones arria en la forma matricial est6ndar, se simplificar6 la funcin detransferencia sin pasar por el 6lgera, por"ue podemos usar una funcin ss-tfpara pasar de la forma espacio de estado a forma funcin de transferencia para

amas entradas

In%reso de ecuaciones en !atla"Podemos poner las ecuaciones de Funcin de Gransferencia de arria en elatla definiendo el numerador ! denominador de las Funciones de

Gransferencia en la forma, nump1denp para fuerza de entrada actuante !num&1den&para la entrada de perturacin , de la funcin de transferenciaest6ndar -&s/! -'s/:

-&s/ 2 nump1denp-'s/ 2 num&1den&

0omandos del programa:

m1&-'m-&J-'%1&='%-&'

1 & J'- & 1-'

nump&*(m1m-) - %-+'denp&*(m1m-) (m1(1-))(m-1) (m1(%1%-))(m-%1)(1-)(1%-)(-%1) %1%-+'(s)1prints!s(nump,denp)

num1&*5(m1-) 5(m1%-) +'den1&*(m1m-) (m1(1-))(m-1) (m1(%1%-))(m-%1)(1-)(1%-)(-%1) %1%-+'(s)-prints!s(.1num1,den1)

Respuesta a la#o a"iertoPodemos usar atla para mostrar cmo evoluciona el sistema original a lazoaierto (sin ningAn control por realimentacin).


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.Eote "ue el comando stepgenerar6 las entrada escaln unitario para cadaentrada.

step(nump,denp)

9a grafica nos "ueda de la siguiente manera:

8e este gr6fico de la respuesta a lazo aierto para una fuerza actuante escalnunitario, podemos ver "ue el sistema es su5amortigQado. 9a gente sentada enel colectivo sentir6 apenas una pe"ue7a oscilacin ! el error de estadoestacionario ronda los .1J mm. Pero aAn, el colectivo se toma uninaceptalemente largo tiempo en alcanzar el estado estacionario o el tiempo deestalecimiento es mu! largo. 9a solucin a este prolema es agregar uncontrolador realimentado en el diagrama en lo"ues del sistema.

step(.1num1,den1)
http://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.html


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Para ver algunos detalles, puede camiar los e4es:

a/is(* 1 5.1 .1+)

8e este gr6fico de respuesta a lazo aierto para una perturacin escaln de .1m , podemos ver "ue cuando el colectivo pasa sore una loma alta de 1 cm en elcamino, la carrocer3a del colectivo oscilar6 por un tiempo inaceptalementelargo(1 segundos) con ma!or amplitud, 1J cm, "ue el impacto inicial. 9agente sentada en el colectivo no estar6 conforme con tal oscilacin. @l gransorepico (del mismo impacto) ! el lento tiempo de estalecimiento causar6da7o al sistema de suspensin. 9a solucin a este prolema es agregar uncontrolador realimentado en el sistema para me4orar la performance. @l

es"uema del sistema a lazo cerrado es el siguiente:
http://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.htmlhttp://ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.html


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8e la funcin de transferencia ! es"uema de arria, podemos diu4ar eldiagrama en lo"ues del sistema del colectivo como sigue:

8el es"uema de arria vemos "ue:

Plant 2 nump1denpF Plant&num&Dden&

8e modo "ue:F&num&D(den&Plant)

Ejemplo ".-Modelacin de un Control de#nclinacin

Reconocimiento Fsico y sistema de ecuaciones


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9as ecuaciones "ue goiernan el movimiento de un avin es un con4unto de seisecuaciones diferenciales no lineales acopladas mu! complicado. 2in emargo,

a4o ciertas consideraciones, pueden linealizarse ! desacoplarse en lasecuaciones longitudinal ! lateral. @l control de nclinacin es el prolemalongitudinal, ! en este e4emplo, dise7aremos un piloto autom6tico "ue controla

la elevacin de un avin (inclinacin entre cola ! proa).

9as coordenadas 6sicas ! las fuerzas actuantes en un avin se muestran en lafigura de aa4o:


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permaneciendo dentro del -I del estado estacionario a los 1 segundos, o seapermanece entre .1R; a .-> rad. a partir del estado estacionario.

2orepico: enor "ue el 1I

Giempo de 2uida: enor "ue - segundos

Giempo de estalecimiento: enor "ue 1 segundos

error de estado estacionario: enor "ue el -I

Funcin de Transferencia y Espacio de Estado


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0onociendo el hecho de "ue las ecuaciones del modelo (-) !a est6n en la formaen variales de estado, podemos re5escriirlas en el modelo en espacio deestado.

0omo nuestra salida es el 6ngulo de inclinacin vertical, la ecuacin de salida es:


Stengamos primero un sistema a lazo aierto a una entrada escaln !determinemos cu6les caracter3sticas del sistema necesitan me4orarse. Ponga laentrada (delta e) en .- rad (11 grados).

de&.-'num&*1.11 .1NN>+'den&*1 .NJR .R-1 +'

step(denum,den)

0orriendo este archivo5m, la ventana de comandos del atla le deer3a dar la

figura siguiente.


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8e la figura, vemos "ue la respuesta a lazo aierto no satisface para nada el

criterio de dise7o. 8e hecho la respuesta a lazo aierto es inestale.@l programa de arria usa los valores num#ricos de la funcin de transferencia.Para usar el modelo en espacio de estado, ingresando los siguientes comandosen el programa anterior (en lugar del de aa4o).

de&.-'


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Para resolver este prolema, se adicionar6 un controlador en realimentacinpara me4orar la performance del sistema. 9a figura "ue se muestra aa4o es eldiagrama en lo"ue de un sistema t3pico con realimentacin unitaria.

8ee dise7arse un controlador para "ue la respuesta al escaln satisfaga todos

los re"uerimientos de dise7o.

@n la odelacin del 0ontrol de nclinacin, la funcin de transferencia sederiv como

9a entrada (6ngulo de defle/in del elevador, delta e) ser6 .- rad (11 grados), !la salida es el 6ngulo de inclinacin vertical (theta).

9os re"uerimientos de dise7o son

2orepico: enor "ue el 1I

Giempo de 2uida: enor "ue - segundos

Giempo de estalecimiento: enor "ue 1 segundos

error de estado estacionario: enor "ue el -I

9a funcin de transferencia de un controlador P8 es:

Para estudiar la salida del sistema, implementaremos una cominacin decontroladores proporcional (Kp), integral (Ki), ! derivativo (Kd) en un sistemade realimentacin unitaria tal como se muestra aa4o.



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9o primero a resolver en este prolema es hallar la funcin de transferencia alazo cerrado con un control proporcional (Kp). Tsta puede otenerse !a sea amano o con la funcin del atla denominada cloop. Por cual"uier m#todo, seotendr6 la funcin de transferencia a lazo cerrado como:

0oeficientes num#ricos del numerador ! denominador de la funcin detransferencia a lazo cerrado.

Kp & *1+' Ingrese cual"uier nAmero para la ganancia proporcionalnum & *1.11 .1NN>+'num1& conv(Kp,num)'den1& *1 .NJR .R-1 +'*numc,denc+&cloop(num1,den1)

Por ahora, haga la ganancia proporcional (Kp) igual a - ! oserve elcomportamiento del sistema. 2e usar6 la funcin de transferencia a lazo cerradocalculada a mano. ngrese los siguientes comandos en el programa anterior !e4ecAtelo en la ventana de comandos del atla. 8eer3a otener la respuesta alescaln similar a la "ue se ve aa4o:

de & .-'

Kp & -'numc&Kp*1.11 .1NN>+'denc&*1 .NJR 1.11Kp.R-1 .1NN>Kp+'

t&:.1:J'step(denumc,denc,t)


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0omo ve, tanto el sorepico cuanto el tiempo de estalecimiento necesitanalguna me4ora.

Control PD

$ecordemos del Gutorial P8 , el controlador derivativo reducir6 tanto elsorepico cuanto el tiempo de estalecimiento. Proemos un 0ontrolador P8.9a funcin de transferencia a lazo cerrado del sistema con un 0ontrolador P8es:

Usando los comandos de aa4o ! luego de un proceso de pruea ! error, unaganancia proporcional (Kp) de R ! una ganancia derivativa (Kd) de > proveenuna razonale respuesta. Para confirmarlo, camie su archivo5m al siguiente !e4ecAtelo en la ventana de comandos del atla. 8eer3a otener la respuesta alescaln similar a la de aa4o:

de&.-'Kp&R'Kd&>'

numc&*1.11Kd 1.11Kp.1NN>Kd .1NN>Kp+'denc&*1 .NJR1.11Kd .R-11.11Kp.1NN>Kd .1NN>Kp+'

t&:.1:1'step(denumc,denc,t)

@sta respuesta al escaln muestra un tiempo de elevacin menor "ue -segundos, el sorepico menor "ue 1I, tiempo de estalecimiento menor "ue

1 segundos, ! el error de estado estacionario menor "ue -I. Godos losre"uerimientos de dise7o se satisfacen.


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Control PID

< pesar "ue todos los re"uerimientos de dise7o est6n satisfechos con el0ontrolador P8, puede agregarse el controlador integral (Ki) para reducir elpico agudo ! otener una respuesta suave. 9uego de varias iteraciones pruea5

error, la ganancia proporcional (Kp) de -, la ganancia integral (Ki) de >, ! laganancia derivativa (Kd) de J proveen respuesta al escaln m6s suave "ue aAnsatisface todos los re"uerimientos de dise7o. Para confirmarlo, se tiene elprograma siguiente. 8eer3a otener la respuesta al escaln de aa4o:

@sta vez usaremos la funcin clooppara hallar la funcin de transferencia a lazocerrado , ! entonces otener la respuesta al escaln .

de&.-'Kp&-'Kd&J'

Ki&>'

numo&*1.11 .1NN>+'deno&*1 .NJR .R-1 +'numpid&*Kd Kp Ki+'denpid&*1 +'

num1&conv(numo,numpid)'den1&conv(deno,denpid)'

*numc,denc+ & cloop(num1,den1)'t&:.1:1'step(denumc,denc,t)


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Ejemplo $.-Modelacin del E%perimento Barra& Bola

Condiciones del Pro"lema

2e coloca una ola sore una arra, ver figura aa4o, donde se permite rodar con1 grado de liertad a lo largo de la arra. 2e adiciona un razo de palanca a la

arra en uno de sus e/tremos ! un servo engrana4e en el otro. < medida "ue elservo engrana4e gira un 6ngulo theta, la palanca camia el 6ngulo de la arra enalpha. 0uando se camia el 6ngulo a partir de la posicin vertical, la gravedad

ocasiona "ue la ola ruede a lo largo de la arra. 8ee dise7arse un controladorpara este sistema de modo "ue pueda manipularse la posicin de la ola.

Para este prolema, asumimos "ue la ola rueda sin resalamiento ! la friccin

entre la arra ! ola es despreciale. 9as constantes ! variales para estee4emplo se definen como sigue:

masa de la ola .11 %g$ radio de la ola .1 md offset de razo de palanca .J mg aceleracin gravitacional R.= mDsC-9 longitud de la arra 1. mB momento de inercia de la ola R.RRe5; %gmC-r coordenada de posicin de la ola

alpha coordenada angular de la arratheta 6ngulo del servo engrana4e


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9os criterios de dise7o para este prolema son: Giempo de @stalecimiento menor "ue J segundos 2orepico menor "ue I

Ecuaciones del $istema

@l movimiento para la ola est6 dado por la siguiente ecuacin:

9a linealizacin de esta ecuacin alrededor del 6ngulo de la arra , alpha & ,nos da la siguiente apro/imacin lineal del sistema:

9a ecuacin "ue relaciona el 6ngulo de la arra con el 6ngulo del engrana4epuede apro/imarse a una relacin lineal mediante la ecuacin de aa4o:

2ustitu!#ndola en la ecuacin previa, tenemos:


Gomando transformada de 9aplace de la ecuacin de arria, se encuentra lasiguiente ecuacin:

67T8: 0uando se toma Gransformada de 9aplace para hallar la funcin detransferencia se asume "ue las condiciones iniciales son nulas.


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$eacomodando encontramos la funcin de transferencia del 6ngulo delengrana4e (theta(s)) a la posicin de la ola (R(s)).

8ee notarse "ue la funcin de transferencia de la planta de arria es un doleintegrador. 0omo #sta es marginalmente estale nos proveer6 de un arduoprolema de control.

'. Espacio de Estado

@l sistema de ecuaciones linealizado puede representarse tami#n en la forma

espacio de estado. @sto puede hacerse seleccionando la posicin de la ola (r) !velocidad (rdot, por r punto) como las variales de estado ! el 6ngulo delengrana4e (theta) como la entrada. 9a representacin espacio de estado semuestra aa4o:

$in em"ar%o, para nuestro e4emplo de espacio de estado usaremos un modeloligeramente diferente. 9a misma ecuacin se aplica todav3a para la ola pero enlugar de controlar la posicin a trav#s del 6ngulo del engrana4e, theta,controlaremos alfa dole punto. @sto es esencialmente el control del tor"ue dela arra. 9a representacin de


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@ste sistema se muestra aa4o:

Representacin en !atla" y Respuesta a 5a#o 8"ierto


9a funcin de transferencia encontrada a partir de la transformada de 9aplacepuede implementarse en atla entrando el numerador ! el denominador comovectores. Para lograrlo deemos crear un programa como se muestra acontinuacin.

m & .111'$ & .1'g & 5R.='9 & 1.'d & .J'B & R.RRe5;'

K & (mgd)D(9(BD$C-m))'num & *5K+'den & *1 +'prints!s(num,den)

9a salida deer3a ser:

num/den = 0.21 / s^2


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8e esta figura es claro "ue el sistema es inestale a lazo aierto, causando "ue laola se deslice afuera de la arra. Por lo tanto, se re"uiere de algAn m#todo paracontrolar la posicin de la ola en este sistema.


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9a respuesta al escaln de .-m (posicin deseada) puede verse corriendo elcomando siguiente:

step(


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Representacin a 5a#o Cerrado

@l diagrama en lo"ue para este e4emplo con un controlador ! realimentacinunitaria de la posicin de la ola se muestra aa4o:

Primero estudiaremos la respuesta del sistema mostrado aa4o cuando se usa uncontrolador proporcional. @ntonces, se adicionar6 si es necesario controlintegral !Do derivativo.

$ecordemos, "ue la funcin de transferencia para un controlador P8 es:

Control Proporcional

9a funcin de transferencia a lazo cerrado para un controlador proporcional conuna ganancia proporcional (kp) igual a 1, puede modelarse con el siguiente

programa.m & .111'$ & .1'g & 5R.='9 & 1.'d & .J'B & R.RRe5;'K & (mgd)D(9(BD$C-m))' Isimplifica entradanum & *5K+'den & *1 +'kp& 1'numP & kpnum'*numc, denc+ & cloop(numP, den)

@l numerador ! denominador deer3an ser:

numc & .-1denc & 1. .-1


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:


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0omo puede ver de la figura de arria todos los o4etivos de control han sidologrados sin el uso de un controlador integral (el tiempo de estalecimiento paraeste e4emplo se considera logrado cuando la respuesta es menor "ue el -I de su

valor final). $ecuerde, "ue para un prolema de control ha! m6s "ue unasolucin.

:857RE PR7P0E$T7$ P8R8 C8D8E;ER$ICI7EJEMPLO 1

% VALORES DE LAS VARIABLES DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LAZO

ABIERTO

m=8000;

b=300;

u=1200;

% FUNCION DE TRANFERENCIA

!"# $&"'(U&"'== )1(m" * b+$

,um=)1+;

-,=)m b+;

".-#&u/,um-,'

.!.-&$Cu4 - 4 5u,6!7, - .4,"5--,6!4 "!, 6,.4$'

% VALORES DE LAS VARIABLES DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LAZO

ABIERTO

m=8000;

b=300;

u=1200;


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% FUNCION DE TRANFERENCIA

!"# $&"'(U&"'== )1(m" * b+$

,um=)1+;

-,=)m b+;

".-#&u/,um-,'

.!.-&$Cu4 - 4 5u,6!7, - .4,"5--,6!4 "!, 6,.4$'

0sando un Control PI

Para este e4emplo usamos solo un controlador P por hace "ue el sistema seamas estale.

Un controlador integral al sistema elimina el error de estado estacionario. Porahora, haga Kp & = ! Ki & 1 ! vea "u# sucede con la respuesta.

% V4-" - 4" 4!4b-" - 4 F9T - 4: 6-4

# = 300;b = 80 ;

u = 119;

% F9T - 4: 6-4 - u, 6,.4 PI

!"# $&"'(u&"'== )?#" * ?! ( m"@2 * &b * ?'" * ?!+$

,um = )1+;

-, = )m b+;

,um1= )# !+;

-,1= )1 0+;

,um2=6,&,um,um1';

-,2=6,&-,-,1';

),um6-,6+=6#&,um2-,21';

.=009120;".-#&u/,um6-,6.'


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4!"&)0 20 0 10+'

.!.-&$Cu4 - 4 5u,6!7, - .4,"5--,6!4 6, u, 6,.4 PI$'


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R=1;

L=09>;

,um=?;

-,=)&J/L' &&J/R'*&L/b'' &&b/R'*?@2'+;

".-#&,um-,00913'

.!.-&$R-"#u-".4 4 E"647, - "!".-m4 - 4: 4b!-.$'

8e la figura vemos "ue cuando se aplica 1 volt al sistema, el motor puede lograrsolo una velocidad m6/ima de .J radDseg., diez veces menor "ue la velocidaddeseada.


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Control PID

8e la figura de arria vemos "ue tanto el error de estado estacionario cuanto elsorepico son mu! grandes. $ecordemos del tutorial P8"ue incorporando un

t#rmino integral se eliminar6 el error de estado estacionario ! un t#rminoderivativo reducir6 el sorepico. Proemos un controlador P8 con Ki ! Kdpe"ue7os. odifi"ue su archivo5m de manera "ue se sea ve lo siguiente. 9uegode correr este nuevo archivo5m se da la figura siguiente.

J=090;

b=09;

?=090;

R=1;

L=09>;,um=?;

-,=)&J/L' &&J/R'*&L/b'' &&b/R'*?@2'+;

?#=100;

?!=1;

?=1;

,um6=)? ?# ?!+;

-,6=)1 0+;

,um4=6,&,um,um6';

-,4=6,&-,-,6';

),um46-,46+=6#&,um4-,4';

".-#&,um46-,46'

.!.-&$C,. PID 6, #-u- ?! 4, ?$'


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Ejemplo 3.-Con 'alores propuestos


momento de inercia del rotor (B) & .J %g.mC-DsC-

coeficiente de amortiguamiento del sistema mec6nico () & .J Ems

constante de fuerza electromotriz (K&Ke&Kt) & .J EmD


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.!.-&$R-"u.4 - -"647, - 4: 4b!-.$

0sando un Control proporcional

@l controlador proporcional es usado por "ue tiende hacer menos su sorepico"ue los de un P8 o un P8.@l controlador proporcional con una ganancia de >., el programa "ueda de lasiguiente manera.

% V4-" - 4 F9T - 4: 4b!-.

J=0903;

b=093;

?=0903;R=3;

L=098;

% F9. - 4: 4b!-. "!, 6,.4

!"# $&"'(U&"'== )?#(&"&&J"*b'&L"*R'*?@2''+$

,um=?;

-,=)&J/L' &&J/R'*&L/b'' &&b/R'*?@2' 0+;

?#=19


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.!.-&$ -"#u-".4 - -"647, 6, u, 6,.4 P$'


0omo podemos oservar el sorepico cumple con los dise7os re"ueridos.

eamos ahora la respuesta a una perturacin escaln agregando los siguientescomandos:

numdcl&conv(numc,1)'dendcl&conv(denc,Kp)'step(numdcl,dendcl,t)'



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Ejemplo 4

Con 'alores propuestos

masa del cuerpo (m1) & J %g, masa suspendida (m-) & %g, constante de elasticidad del sistema de suspensin(%1) & R, EDm, constante de elasticidad rueda ! neum6tico(%-) & ;,1-J EDm, constante de amortiguacin del sistema de suspensin(1) & >>EsDm.

constante de amortiguacin rueda ! neum6tico(-) & 1;,;N EsDm. fuerza de control (u) & fuerza del controlador "ue estamos dise7ando.

% 4-" - 4" 4!b-" - 4 5u,6!, - .4,"5--6,6!4

m1=300;

m2=30;

1=G000;

2=>00123;

b1 = 0;

b2 = 1>>


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#!,.""&091/,um1-,1'

".-#&091/,um1-,1'

4!"&)0 10 91 91+'

.!.-&$R-"#u-".4 - 4 Fu,6!7, - T4"5--,6!4$'

".-#&,um#-,#'

8e este gr6fico de la respuesta a lazo aierto para una fuerza actuante escalnunitario, podemos ver "ue el sistema es su5amortigQado. 9a gente sentada enel colectivo sentir6 apenas una pe"ue7a oscilacin ! el error de estadoestacionario ronda los .1J mm. Pero aAn, el colectivo se toma uninaceptalemente largo tiempo en alcanzar el estado estacionario o el tiempo deestalecimiento es mu! largo. 9a solucin a este prolema es agregar uncontrolador realimentado en el diagrama en lo"ues del sistema.


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Ejemplo $Con 'alores propuestos

Para este prolema, asumimos "ue la ola rueda sin resalamiento ! la friccinentre la arra ! ola es despreciale. 9as constantes ! variales para estee4emplo se definen como sigue:

masa de la ola 1 %g$ radio de la ola .- md offset de razo de palanca .> mg aceleracin gravitacional R.= mDsC-9 longitud de la arra -. mB momento de inercia de la ola R.RRe5; %gmC-r coordenada de posicin de la olaalpha coordenada angular de la arra

% 4-" - 4" 6,.4,.-" 4!4b-"

m = 3;

R = 093;

= 98;

L = 9;

= 092;

J = >9GG->;

% 5u6,!, - .4,"5--,6!4

!"# $R&"'(U&"'== &m//'(&&L/&J(R@2*m''$


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? = &m//'(&L/&J(R@2*m'';

,um = )?+;

-, = )1 0 0+;

#!,.""&,um-,'

".-#&090/,um-,'

.!.-&$ -"u.4 - 4 5u,6!, - .4,"5--,6!4$'".-#&091/,um-,'

9a funcin de transferencia encontrada a partir de la transformada de 9aplacepuede implementarse en atla entrando el numerador ! el denominador como

vectores. Para lograrlo deemos crear un programa como se muestra acontinuacin.


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9as ecuaciones de espacio de estado pueden representarse en atla con lossiguientes comandos (estas ecuaciones son para el modelo de control detor"ue).

% 4-" - 4" 6,.4,.-" 4!4b-"

m = 3;

R = 093;

= 98;

L = 9;

= 092;

J = >9GG->;

J = G9GG->;

% 5u6,!, - .4,"5--,6!4

!"# $R&"'(U&"'== &m//'(&&L/&J(R@2*m''$

K = m/(&J(&R@2'*m';

A=)0 1 0 0

0 0 K 0

0 0 0 1

0 0 0 0+;

B=)0;0;0;1+;

C=)1 0 0 0+;

D=)0+;

".-#&AB/90CD'

.!.-&$ -"u.4 - 4 5u,6!, - .4,"5--,6!4$'

".-#&AB/90CD'


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9a respuesta al escaln de .m (posicin deseada) puede verse corriendo elcomando siguiente:

step(


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-, = )1 0 0+;

% 4-" - 6,.4 PD

# = 1;

= 0;

,umPD = ) #+;

,um = 6,&,um ,umPD';),um6 -,6+ = 6#&,um -,';

.=00901;

".-#&090/,um6-,6.'

.!.-&$-"u.4 - 6,.4 PD$'


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B#B(#)*+,F,HHH.engin.umich.eduDgroupDctmDasicDasic.htmD

HHH.engin.umich.eduDgroupDctmDP8DP8.htmD
http://www.engin.umich.edu/group/ctm/basic/basic.htm/http://www.engin.umich.edu/group/ctm/basic/basic.htm/http://www.engin.umich.edu/group/ctm/PID/PID.htm/http://www.engin.umich.edu/group/ctm/PID/PID.htm/http://www.engin.umich.edu/group/ctm/basic/basic.htm/http://www.engin.umich.edu/group/ctm/PID/PID.htm/

control ejercicios de pid

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