int control digital

Universidad de Oviedo

12005

Introduccin al Control Digital

Tema 10

Sistemas Automticos


22005

ndice

Ventajas e inconvenientes del control digital Sistemas muestreados Modelo matemtico de los sistemas discretos Discretizacin de reguladores continuos Implementacin

Algoritmo de control Retardo computacional El problema de la cuantificacin Filtro antialiasing Seleccin del perodo de muestreo Equipos industriales

Bibliografa

Sistemas Automticos


32005

Esquema de control digital

Regulador Proceso

Captador

-

+D/A

A/D

D/A: Convertidor Digital - Analgico

A/D: Convertidor Analgico - Digital

Sistemas Automticos


42005

Estructura del bloque A/D

transductor

transductor

MULTIPLEXOR

Convertidor

A/D

COMPUTADOR

acondicionamiento

capturay

mantenimientofin conversin

inicio conversin

control

control

Sistemas Automticos


52005

Estructura del bloque D/ADEMULTIPLEXOR

accionador

Convertidor

D/A

COMPUTADOR

capturay

mantenimiento

fin conversin

inicio conversin

control

control

buffer

accionadorcontrol

Sistemas Automticos


62005

Ventajas del control digital

No hay lmite de complejidad del algoritmo Facilidad de cambio de estrategia Precisin ms elevada en operaciones que con

dispositivos analgicos (resolucin, derivas, saturaciones).

Posibilidad de efectuar funciones complementarias (almacenamiento, anlisis, comunicaciones)

Sistemas Automticos


72005

Nuevos problemas

Muestreo Aliasing Reconstruccin Cuantificacin Retardo

Sistemas Automticos


82005

En esta operacin se obtiene una secuencia de valores a partir de una seal analgica.

Muestreo

T

x(t) {xk}

xk = x(kT)

Sistemas Automticos


92005

Muestreo. Ejemplo

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s eg.)

A

m

p

l

i

t

u

d

S eal analgica

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s eg.)

A

m

p

l

i

t

u

d

S eal mues treada

Sistemas Automticos


102005

Muestreo. Teorema de Shannon

Una seal que no contenga componentes en frecuencias superiores a 0 puede ser reconstruida si se muestrea con una frecuencia mayor de 20.

m > 2 0

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.5

0

0.5

1

Sistemas Automticos


112005

Muestreo. Aliasing

Cuando la frecuencia de Nyquist (m/2) es inferior a la frecuencia de la seal muestreada (0), se produce el fenmeno conocido como aliasing, segn el cual una seal de alta frecuencia es interpretada como una de baja frecuencia.

0 50 100 150 200 250-1

-0.5

0

0.5

1

Sistemas Automticos


122005

El ms sencillo y habitual en control es el de orden 0.

Proceso por el que a partir de una secuencia se construye una seal continua.

Reconstruccin

x(t){xk}Bloqueador

[ ]

=

+=0

))1((1)(1)()(k

TktkTtktxtx

Sistemas Automticos


132005

Reconstruccin

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s eg.)A

m

p

l

i

t

u

d

S eal recons truida

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s eg.)

A

m

p

l

i

t

u

d

S eal mues treada

Sistemas Automticos


142005

Sistemas discretos

Son algoritmos que permiten transformar una secuencia en otra:

Nos interesan los lineales, causales, dinmicos e invariantes, que se pueden expresar como ecuaciones en diferencias:

yk = a1 yk-1+ ... + an yk-n+ b0 uk+ ... + bm uk-m

Sistema discreto

{uk} {yk}

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152005

Secuencia de ponderacin

Convolucin:}{ }{ }{

=

=

==

iiki

iikik ugguy

Para un sistema discreto lineal e invariante, es la secuencia de salida cuando la de entrada es {k} {k} = {1, 0, 0, ...}

Sistema discreto

{k} {gk}

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162005

Un sistema discreto es estable, si ante cualquier secuencia de entrada acotada, la secuencia de salida tambin est acotada.

Condiciones necesarias: {gk} acotada

Condicin necesaria y suficiente:

Estabilidad

0lim =

kkg

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172005

Transformadas de una secuencia

Dada una secuencia real {xk} / xk = 0 para todo k < 0,se define su transformada de Laplace como la funcin:

Se obtienen funciones peridicas y no racionales Dada una secuencia real {xk} se define su transformada

z como la funcin:

{ } CzzxxZzXk

kkk ==

=

,)(

CsexsXk

skk =

=

,)(0

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182005

Transformada z inversa

Teorema de los residuos Divisin larga Descomposicin en fracciones simples Mtodos computacionales Tablas

Sistemas Automticos


192005

Propiedades de la transformada z

Linealidad: [ ] [ ] [ ]kkkk yxZyZxZ +=+ Desplazamiento: [ ] [ ]knnk xZzxZ = Convolucin:

[ ] [ ] [ ]kkkn

nknk

yZxZwZ

yxw

=

=

=

Tma. valor inicial (indice +): )(lim0 zXxz

=

Tma. valor final (indice +, y estable):)]()1[(limlim 1

1zXzxx

zkk

==

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202005

Funcin de transferencia discreta

G(z){uk} {yk}

U(z) Y(z)

n

n

m

m

zaza

zbzbbzUzY

zG

+++

+++==

...1...

)()()( 1

1

110

)(...)()()(...)()( 11011 zUzbzUzbzUbzYzazYzazY mmnn +++=+++

mkmkknknkk ubububyayay +++=+++ ...... 11011Dado un sistema discreto lineal, por su ecuacin en diferencias:

Aplicando transformadas, linealidad y operador desplazamiento:

Se define la funcin de transferencia discreta:

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212005

Discretizacin de reguladores

Discretizacin de reguladores continuos Aproximacin de respuesta temporal. Integracin numrica

Operador derivada (adelantada y atrasada) Operador integral (adelantada y retrasada) Operador integral (integracin trapezoidal). Tustin.

Regiones de estabilidad Distorsin de frecuencia (warping)

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222005

Discretizacin de reguladores continuos

Una vez diseado un regulador continuo para un proceso, se trata de obtener un regulador discreto que aproxime su funcionamiento.

T

e(t) {ek}C(z) B(s)

{uk} u(t)

La transformacin exacta, z = eTs, no da lugar a expresiones racionales

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232005

Aproximacin de la respuesta temporal

Igualando la respuesta ante escaln:

=

ssCZ

zzC 1)(

11)( 1

( )

=

ssCZzzC 1)( 1)( 1

Igualando la respuesta ante rampa. Da resultados ms exactos sobre todo en las fases.

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242005

Operador derivada

(k-1)T (k+1)TkT

e[(k+1)T]e[kT]

e[(k-1)T]

TTkekTe

dttde

kTt

])1[(][)( =

=T

kTeTkedt

tdekTt

][])1[()( +=

=

Tzz

Tz

s11 1

=

1

111

=

Tzz

Tz

s

[ ]1

11)()(

=

Tzz

ssCzC [ ]Tz

ssCzC 11)()( =

Diferencia adelante Diferencia atrs

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252005

Integral retrasada

Aproxima el operador integral (1/s) por el sistema discreto obtenido sumando rectngulos, con la entrada retrasada

110

1 =

+== kkk

iik TeuTeu

)()()1( 11 zETzzUz =

sz

Tz

TzzEzU 1

11)()(

1

1

=

=

[ ]1

11)()(

=

Tzz

ssCzC

T

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262005

Integral adelantada

Aproxima el operador integral (1/s) por el sistema discreto obtenido sumando rectngulos, con la entrada adelantada

kk

k

iik TeuTeu +==

=

10

1

)()()1( 1 zTEzUz =

sz

Tzz

TzEzU 1

11)()(

1

=

=

[ ]Tz

ssCzC 11)()( =

T

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272005

Integral trapezoidal. Tustin

Aproxima el operador integral (1/s) por el sistema discreto obtenido sumando trapecios

)(2 11

++= kkkk eeT

uu

)()1()()1(2 11 zEzTzUz +=

sz

zTz

zTzEzU 1

)1()1(

2)1()1(

2)()(

1

1

+=

+=

T

[ ])1()1(2

1

1)()(

+

=

z

z

TssCzC

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282005

Regiones de estabilidad

[ ]1

11)()(

=

Tzz

ssCzC [ ]Tz

ssCzC 11)()( =

Euler

[ ])1()1(2

1

1)()(

+

=

z

z

TssCzC

Tustin

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292005

Distorsin de frecuencia

En las aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencia.

Importante al discretizar un paso banda.

=

2 tan2 T

T

frequency warping

Tiene valores pequeos para valores bajos de .Se puede corregir el efecto para una frecuencia determinada (frequency prewarping).

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302005

Algoritmo de control

Peridicamente (cada perodo de muestreo) se debe ejecutar el siguiente algoritmo de control:

Captura y conversin Analgico-Digital de la seal del proceso (y de la referencia si procede).

Clculo del error (comparacin entre la referencia y la seal del proceso).

Clculo de la accin de control. Conversin Digital-Analgica de la accin de control.

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312005

Algoritmo de control. Clculo de la seal de control

A partir del modelo discreto del controlador obtenido bien por discretizacin, bien por diseo en el plano z, se obtiene directamente la ecuacin en diferencias que se implementa en el computador:

Existen tcnicas de implementacin que minimizan tanto las necesidades de almacenamiento como los errores en los clculos

ik

n

ii

m

iikik yauby

==

=10

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322005

Para conseguir la ejecucin peridica del algoritmo de control se pueden plantear dos estrategias: Muestreo

Ms simple. Absorbe todos los recursos. No puede realizar otras operaciones

durante las esperas Interrupcin

Programacin ms compleja. Permite realizar otras operaciones entre 2 perodos de muestreo.

Algoritmo de control. Estrategias

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332005

Algoritmo de control. Retardo computacional

tT

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342005

Algoritmo de control. Retardo computacional

Para disminuir el retardo entre la captura y la escritura de la seal, conviene minimizar el nmero de operaciones entre ambas operaciones.

Una opcin es realizar el preclculo de parte de los valores, alfinal de un perodo para tenerlos listos para el siguiente.

El algoritmo de control modificado sera: Captura (AD) Clculo del error Clculo mnimo (en operaciones) de la accin de control Escritura (DA) Preclculo (con valores disponibles) para prximo perodo

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352005

Cuantificacin en los coeficientes

Este error se hace ms grande a medida que: aumenta el orden de la funcin de transferencia, los polos o ceros se aproximan a la circunferencia de

radio unidad.

Soluciones: Programacin en serie Programacin en paralelo Programacin en escalera

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362005

Cuantificacin

Al intentar representar un nmero real con un nmero finito de bits, se produce un error de cuantificacin.

Puede ocurrir: En la conversin (A/D y D/A) En los clculos En los parmetros de la ecuacin en diferencias

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372005

Cuantificacin AD. Modelo

Redondeo q = LSB

Truncado q = LSB

Este error se puede modelar como un ruido con distribucin uniforme, de valor mximo:

LSB

LSB121

=

y desviacin tpica:

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382005

Cuantificacin AD. [Smith-97]

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392005

Cuantificacin AD. Ejemplo

Rango: 0 1 V Tarjeta 8 bits (0 28-1) Error sensor: 1 mV (rms)

1 V 255 LSB1 mV 0.255 LSB

LSBLSBDA 29.0121

/ =

LSBsensor 255.0=LSB22 255.029.0 +=

La conversin introduce un incremento del error del 50%

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402005

Cuantificacin en los clculos

En sistemas que realicen los clculos en doble precisin, se dispone de 64 bits, con lo que los errores normalmente sern varios rdenes de magnitud menores que los cometidos en los conversores.

Si se trabaja en coma fija, con 16 bits o menos, hay que ser muy cuidadoso pues el resultado de las operaciones puede ser muy sensible a la forma en que se implementen.

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412005

Filtrado de alias

Puede producirse aliasing con los ruidos de alta frecuencia que entran a travs del captador.Al ser convertidos en ruidos de baja frecuencia por el muestreo,el sistema amplificar sus efectos en lugar de atenuarlos, deteriorando el control.

La solucin es introducir un filtro analgico, entre captador y muestreador que elimine el ruido.

CaptadorA/D Filtro

antialias

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422005

Diseo del filtro

Si se conoce el rango de frecuencias del ruido se puede disear y colocar el filtro de modo que la atenuacin sea suficientemente.

Para no perjudicar el MF, el filtro deber estar al menos una dcada por encima de la frecuencia de cruce de ganancia. Si no es posible, habr que tener en cuenta la dinmica del filtro en el diseo del compensador.

cg f =10cg

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432005

Eleccin del perodo de muestreo

La eleccin del perodo de muestreo puede ser crtica a la hora de controlar un sistema

Un perodo de muestreo grande har que el controlador reaccione con lentitud tanto a consigna como a perturbaciones, lo que inestabiliza el sistema. Aumenta la sobreoscilacin y disminuye el amortiguamiento.

Un perodo de muestreo pequeo provocar una prdida de tiempo al obligar a calcular la misma accin de control infinidad de veces.

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442005

10-1 100 101 102 103-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40Bode (Amplitudes )


Si se coloca filtro antialiasing, se calcular la frecuencia de muestreo como 10 a 20 veces superior a la del filtro, para conseguir una atenuacin suficiente antes de muestrear.

cg f =10cg m=20fs

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452005


Cuando no hace falta el filtro antialiasing:

A partir de la frecuencia natural del sistema realimentado, (o de la frecuencia de cruce de ganancia, como aproximacin), se elegir la frecuencia de muestreo como 20-40 veces superior.

cg m =25cg

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462005

Ejemplo

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472005

Ejemplo

Sistemas Automticos


482005

Ejemplo

Sistemas Automticos


492005

Reguladores industriales (PIDs digitales)

Autmatas Programables Mdulos PID. Funciones PID programadas en ROM + Mdulo analgico Algoritmos programados por el usuario + Mdulo analgico

Ordenadores Industriales Tarjeta AD/DA + Software de Adquisicin y Control

Implementacin. Equipos utilizados.

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502005

Bibliografa

1. [ARACIL-81] R. Aracil et al., Sistemas discretos de control. Representacin externa. Seccin de publicaciones, ETSI Industriales, Universidad Politcnica de Madrid, 1981.

2. [ASTROM-88] K.J. Astrm et al., Sistemas controlados por computador, Paraninfo, 1988.

3. [ASTROM-97] K.J. Astrm et al., Computer-Controlled Systems, Prentice Hall, 1997.

4. [GOMEZ-98] J. Gmez Campomanes, Sistemas digitales de control, Universidad de Oviedo, 1998.

5. [HOUPIS-85] C. H. Houpis et al., Digital Control Systems, McGraw Hill, 1985.6. [ISERMANN-89] R. Isermann, Digital Control Systems, Springer Verlag,

Berlin, 1989.7. [KUO-03] B.C. Kuo, Sistemas de control digital, CECSA, 20038. [LOPEZ-93] H. Lpez, "Control por computador", Universidad de Oviedo, 1993.9. [OGATA-96] K. Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, Prentice

Hall, 1996

int control digital

Documents