trabajocolaborativo1 control digital 2014

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA TRABAJO COLABORATIVO No. 1: 299006 CONTROL DIGITAL

TRABAJO COLABORATIVO No. 1 Nombre de curso: 299006 Control Digital Temticas revisadas: Unidad 1, captulo 1 Transformada z. Unidad 1, captulo 2 Transformada inversa z. Unidad 1, captulo 3 Muestreo y Estabilidad en z. 1. NOTA ACLARATORIA El curso CONTROL DIGITAL 299006 es de tipo Metodolgico (Terico/Prctico); por lo tanto, hay que tener en cuenta que los trabajos colaborativos contienen una actividad terica y otra actividad prctica. La actividad terica se debe desarrollar de forma analtica, mientras que la actividad prctica se debe desarrollar utilizando la herramienta de software MATLAB, que se encuentra licenciada por parte de la universidad, y a la cual pueden acceder a travs del representante de la GIDT del CEAD en el cual se encuentra matriculado el estudiante. Los tutores que orientan la prctica de forma local pueden asesorar al estudiante en el desarrollo de la misma pero NO DEBEN CALIFICARLA, puesto que el informe que el estudiante coloca en el FORO del curso virtual evidencia ambos desarrollos y, por lo tanto, la nota de laboratorio est inmersa en la nota del trabajo colaborativo. Agradezco tener en cuenta esta aclaracin e informar a los tutores encargados con el fin de evitar mal entendidos al finalizar el periodo acadmico. xitos! 2. REPRESENTACIN DIGITAL A continuacin se discutir la conversin de modelos en tiempo continuo a modelos en tiempo discreto (o ecuacin en diferencia). Tambin se introducir el concepto de transformada z y se mostrar cmo utilizarlo para analizar y disear controladores para sistemas en tiempo discreto. 2.1. Introduccin La siguiente figura muestra un tpico sistema continuo con retroalimentacin. Casi todos los controladores continuos se pueden construir utilizando electrnica analgica.


El controlador continuo, encerrado en el cuadro sombreado, puede ser sustituido por un controlador digital, como se muestra a continuacin, que realiza la misma tarea de control que el controlador continuo. La diferencia bsica entre estos controladores es que el sistema digital opera con seales discretas (o muestras de la seal sensada) en lugar de seales continuas.

Los diferentes tipos de seales en el esquema digital anterior se pueden representar mediante los siguientes grficos.

2.2. Equivalencia del Retenedor de Orden Cero En el esquema anterior del sistema de control digital, se observa que el sistema de control digital contiene tanto seales discretas como continuas. Al disear un sistema de control digital, hay que encontrar el equivalente discreto de la parte continua de manera que slo se tiene que trabajar con funciones discretas. Para esta tcnica, se considerar la siguiente parte del sistema de control digital y se reorganizar de la siguiente manera.


El reloj conectado a los convertidores D/A y A/D proporciona un pulso cada segundos y cada convertidor D/A y A/D enva una seal slo cuando llega el pulso. El propsito de este pulso es para obligar a que () tenga slo muestras () para trabajar y produzca slo muestras de salida (); por lo tanto, () se puede representar como una funcin discreta.


La filosofa del diseo es la siguiente. Se desea encontrar una funcin discreta () de modo que para una entrada por tramos constante al sistema continuo (), la salida muestreada del sistema continuo es igual a la salida discreta. Suponga que la seal () representa una muestra de la seal de entrada. Hay tcnicas para tomar esta muestra () y mantenerla para producir una seal continua (). El grfico de abajo muestra que () se mantiene constante en () sobre el intervalo a ( + 1). Esta operacin de mantener () constante durante el tiempo de muestreo se denomina retencin de orden cero. La seal del retenedor de orden cero () pasa a travs de () y del convertidor A/D para producir la salida () que va a ser la misma seal a trozos, como si la seal discreta () pasara a travs de () para producir la salida discreta ().

Ahora se vuelve a dibujar el esquema, colocando () en lugar de la porcin continua.

Al colocar (), se pueden disear sistemas de control digital que tratan slo con funciones discretas. Importante: Hay ciertos casos en los que la respuesta discreta no coincide con la respuesta continua debido al circuito de retencin implementado en los sistemas de control digital. El tiempo de muestreo () debe ser menor que 1/(30 ), donde es el ancho de banda en lazo cerrado.


2.3. Ejemplo: Masa-Resorte-Amortiguador

2.3.1. Funcin de Transferencia Suponga que se tiene la siguiente funcin de transferencia continua

()

()=

1

+ + (1)

Suponiendo que el ancho de banda en lazo cerrado es mayor que 1 rad/seg, se elige el tiempo de muestreo () igual a 1/100 seg. Ahora se mostrar cmo introducir la funcin de transferencia obtenida anteriormente en MATLAB y cmo se transforma a una funcin de transferencia en z.


2.3.2. Espacio de Estado El modelo en espacio de estado continuo es el siguiente

= =

0 1

+

0

() (2)

= [1 0] (3)

Todas las constantes permanecen iguales. Ahora se mostrar cmo introducir el espacio de estado continuo obtenido anteriormente en MATLAB y cmo se transforma a un espacio de estado discreto.


A partir de estas matrices, el espacio de estado discreto se puede escribir como

()()

= 0.9990 0.00950.1903 0.9039

( 1)( 1)

+ 0

0.0095( 1) (4)

( 1) = [1 0] ( 1)( 1)

(5)

2.4. Estabilidad y Respuesta Transitoria Para sistemas continuos, se sabe que ciertos comportamientos resultan a partir de diferentes ubicaciones de los polos en el plano . Por ejemplo, un sistema es inestable cuando cualquier polo se encuentra a la derecha del eje imaginario. Para sistemas discretos, se puede analizar el comportamiento del sistema a partir de las diferentes ubicaciones de los polos en el plano . Las caractersticas en el plano se pueden relacionar con las del plano mediante la expresin


= (6) : Tiempo de muestreo : Localizacin en el plano : Localizacin en el plano La siguiente figura muestra el mapeo de las lneas de coeficiente de amortiguamiento () y la frecuencia natural () desde el plano hacia el plano mediante la expresin que se muestra arriba.

Si se fija en el plano , el lmite de estabilidad ya no es eje imaginario, sino que es el crculo unitario = 1. El sistema es estable cuando todos los polos se encuentran dentro del crculo unitario e inestable cuando cualquier polo se encuentra por fuera. Las siguientes tres ecuaciones, utilizadas en diseos de sistemas continuos, son todava aplicables para el anlisis de la respuesta transitoria a partir de las ubicaciones de los polos en el plano .

4.6

(7)

1.8

(8)


=

ln(%/100)

+ ln(%/100) (9)

en donde, : Coeficiente de amortiguamiento : Frecuencia natural (rad/seg) : Tiempo de establecimiento : Tiempo de subida %: Porcentaje de sobreimpulso Importante: La frecuencia natural en el plano tiene unidades de rad/muestra, pero cuando se utilizan las ecuaciones anteriores, debe tener unidades de rad/seg. Suponga que se tiene la siguiente funcin de transferencia discreta

()

()=

1

0.3 + 0.5 (10)

Ahora se mostrar cmo introducir la funcin de transferencia en MATLAB, suponiendo un tiempo de muestreo indeterminado, y cmo obtener el diagrama de polos y ceros, as como el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural.


De la figura, se observa que los polos estn situados a una frecuencia natural de 28.01 rad/seg, con un coeficiente de amortiguamiento de 0.25. Con el uso de las tres ecuaciones mostradas arriba, se puede determinar que este sistema debe tener un tiempo de subida de 0.06 segundos, un tiempo de establecimiento de 0.65 segundos y un sobreimpulso de 45% (45% ms que el valor en estado estacionario). Ahora se mostrar cmo obtener la respuesta al escaln con sus respectivos parmetros en MATLAB.


Como se puede ver en el grfico, el tiempo de subida, tiempo de establecimiento y sobreimpulso se acercan a lo esperado. Esto muestra cmo se puede utilizar la ubicacin de los polos y las tres ecuaciones anteriores para analizar la respuesta transitoria del sistema. 2.5. Lugar de las Races Discreto El lugar de las races da la localizacin de los puntos en los que las races de la ecuacin caracterstica se pueden encontrar cuando una sola ganancia se vara desde cero hasta infinito. La ecuacin caracterstica de un sistema con realimentacin unitaria es

1 + ()() = 0 (11) en donde () es el compensador implementado en el controlador digital y () es la

funcin de transferencia de la planta en . El mecanismo para dibujar el lugar de las races es exactamente el mismo tanto en el plano como en el plano . Suponga que tiene la siguiente funcin de transferencia discreta

()

()=

0.3

1.6 + 0.7 (12)


y los requisitos son un factor de amortiguamiento mayor que 0.6 y una frecuencia natural superior a 0.4 rad/muestra (estos se pueden encontrar a partir de los requisitos de diseo, el tiempo de muestreo y las tres ecuaciones que se muestran en la seccin anterior). Ahora se mostrar cmo dibujar el lugar de las races en MATLAB.


A partir de esta figura, se observa que el sistema es estable porque todos los polos se encuentran dentro del crculo unitario. En este ejemplo, se tiene el lugar de races dibujado en la regin deseada. Por lo tanto, la ganancia () seleccionada a partir de uno de los lugares en la regin deseada debe dar una respuesta que satisfaga los requisitos de diseo. 3. GUA DE ACTIVIDADES El trabajo consiste de dos actividades (una terica y una prctica), con una sola entrega. 3.1. Actividad Terica: La primera actividad est compuesta de una serie de

ejercicios que debern ser desarrollados de forma analtica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al trabajo colaborativo 1.

Ejercicio 1: Un motor DC tiene la siguiente funcin de transferencia en lazo

abierto para un voltaje de armadura a la entrada y una posicin angular a la salida:

() =()

()=

( + )( + ) + (13)

Suponiendo un tiempo de muestreo = 0.001 segundos, encuentre la funcin de

transferencia discreta en lazo abierto cuando se utiliza un retenedor de orden cero.

Ejercicio 2: El sistema de suspensin activa de un autobs tiene la siguiente

representacin en espacio de estados, donde la salida es = :

=

0 1 0 0

0

+

+

0

+

+

1

0

+

+

0

+

0 01

0

1

+

1

(14)

= [0 0 1 0]

+ [0 0] (15)

Suponiendo un tiempo de muestreo = 0.0005 segundos, encuentre la funcin de

transferencia discreta ()/() cuando se utiliza un retenedor de orden cero.


3.2. Actividad Prctica: La segunda actividad est compuesta de una serie de ejercicios que debern ser desarrollados utilizando la herramienta de software MATLAB. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al trabajo colaborativo 1. Ejercicio 1: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 1 de la Actividad

Terica, utilice MATLAB para: (a) Convertir la funcin de transferencia continua

en lazo abierto a una funcin de transferencia discreta (utilizando el mtodo ZOH),

(b) obtener las respuestas del sistema continuo y del sistema discreto con

realimentacin unitaria ante una entrada escaln unitario, junto con las

caractersticas de tiempo de subida, sobreimpulso y error en estado estacionario,

(compare las dos grficas) y (c) dibujar el lugar geomtrico de las races para el

sistema continuo y para el sistema discreto en lazo abierto, (compare las dos

grficas). Para ello, suponga que los parmetros del sistema son:

Momento de inercia del rotor: = 3.2284x10

Constante de friccin viscosa del motor: = 3.5077x10

Constante del motor: = 0.0274

Resistencia elctrica: = 4

Inductancia elctrica: = 2.75x10

Ejercicio 2: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 2 de la Actividad

Terica, utilice MATLAB para: (a) Convertir la funcin de transferencia continua

en lazo abierto a una funcin de transferencia discreta (utilizando el mtodo ZOH),

(b) obtener las respuestas del sistema continuo y del sistema discreto con

realimentacin unitaria ante una entrada escaln unitario, junto con las

caractersticas de tiempo de subida, sobreimpulso y error en estado estacionario,

(compare las dos grficas) y (c) dibujar el lugar geomtrico de las races para el

sistema continuo y para el sistema discreto en lazo abierto, (compare las dos

grficas). Para ello, suponga que los parmetros del sistema son:

de la masa del autobs: = 2500kg

Masa de la suspensin: = 320kg

Constante del resorte del sistema de suspensin: = 80000N/m

Constante del resorte de la rueda y el neumtico: = 500000N/m

Constante de amortiguamiento del sistema de suspensin: = 350N. s/m

Constante de amortiguamiento de la rueda y el neumtico: = 15020N. s/m


4. ESPECIFICACIONES DEL PRODUCTO FINAL DEL TRABAJO

El archivo final debe estar comprimido y se le debe asignar un nombre que tenga la siguiente estructura: Codigodelcurso_NombredelGrupo y debe colgarse en el foro de equipo bajo el tema ENTREGA FINAL DEL TRABAJO No. 1. El archivo .ZIP debe incluir:

Un archivo en formato .PDF con el desarrollo detallado de la situacin propuesta.

Debe incluir Portada, Introduccin, desarrollo de la situacin, conclusiones, referencias bibliogrficas usadas.

Los archivos .M generados para la elaboracin de las tareas propuestas.

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