Sistemas de Control II

IntroduccinEn esta sesin conoceremos las herramientas matemticas utilizadas en el control digital.Analizaremos las seales discretas en el tiempo.Relacionaremos las trasformadas de Laplace con la transformada ZEstudiaremos los modelos de Variables de Estado.Modelado Discreto1IntroduccinModelado Discreto2Dominio del tiempo ContinuoDominio del tiempo DiscretoTransformada de LaplaceDominio de la Frecuencia (Plano S)Dominio de la frecuencia (Plano Z)Transformada ZIntroduccinRepresentacin InternaVariables de Estado

Representacin ExternaFuncin de TransferenciaModelado Discreto3Seales Discretas en el TiempoLas seales discretas pueden ser discretizadas en amplitud y/o en tiempo Modelado Discreto4tt

t

Una seal muestreada a travs de la apertura y cierre de un switch, cada tiempo con una duracin de h genera un tren de pulsos Si el tren de pulso puede ser representada por la seal discreta en el tiempo

Una seal discreta en el tiempo de amplitud modulada obtenida del muestreo de una seal continua con periodo de muestreo se define como:Modelado Discreto5

Funciones Discretas en el TiempoEjemplosModelado Discreto6

La cual es una ecuacin de diferencias de primer ordenOtra forma de obtener una seal discreta es aproximando los trenes de impulso mediante un tren de impulsosDonde un impulso se define como

Si la duracin de los pulsos es mucho menor que el tiempo de muestreo Modelado Discreto7

Modelado Discreto8Si se tiene un retenedor de orden cero despus del muestreador se obtendra una seal tipo escalera. Cuya funcin de transferencia es

Una ecuacin de diferencias de orden m se define como:

La cual puede ser calculada recursivamente

Si se conocen la entrada actual y m entradas anteriores y m salidas anteriores.Modelado Discreto9

Ecuaciones de DiferenciasModelado Discreto10

Se puede obtener una ecuacin de diferencia a partir de una ecuacin diferencialModelado Discreto11

Transformada ZSea el tren de impulsos la aproximacin de la entrada a un sistema

Y la respuesta al impulso unitario g(t), La sumatoria de convolucin

Si la entrada y la salida son muestreadas sincronamente se tiene que

Modelado Discreto12

La transformada de Laplace de un tren de impulso viene dado porSustituyendo q=n-k

Modelado Discreto13

La funcin de transferencia pulso se define comoY la funcin de transferencia Z como

En caso que se use un retenedor de orden cero

Modelado Discreto14

Del mismo modo que se obtiene una funcin de transferencia de una ecuacin diferencial en el tiempo continuo, se puede obtener una funcin de transferencia Z de una ecuacin de diferenciaAplicando la transformada de Laplace

Modelado Discreto15

Para una ecuacin de diferenciaAplicando el teorema de corrimiento a la derecha

Variables de EstadoModelado Discreto16Estado: El estado de un sistema dinmico es el conjunto ms pequeo de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t = to, junto con el conocimiento de la entrada para t 2 ta, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t 2 to.

Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinmico son las que forman el conjunto ms pequeo de variables que determinan el estado del sistema dinmico.

Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas II variables de estado se consideran los ~t componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que determina de manera nica el estado del sistema x(t) para cualquier tiempot 2 fo, una vez que se obtiene el estado en t = to y se especifica la entrada u(t) para t 2 to.Variables de EstadoModelado Discreto17Espacio de estados. El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas estn formados por el eje XI, el eje ~2,. . . , el eje x,, se denomina espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados

Ecuaciones en el espacio de estados. En el anlisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables involucrados en el modelado de sistemas dinmicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado.Modelado con variables de EstadoModelado Discreto18Sistemas Continuos

Se definen las siguientes variablesLa ecuacin diferencial queda

Modelado Discreto19

Forma diagonalModelado Discreto20 1

Forma diagonalModelado Discreto21

Y(s) = X1(s) + X2(s) + ... + Xn(s)

Xi(s) (S+Pi) = A1U(s)SXi(s) = - PiXi(s) + AiU(s)

Aplicando Transformada inversaForma diagonalModelado Discreto22

Sistema con excitacin No simpleModelado Discreto23

ObservabilidadModelado Discreto24

Para el sistema LTI suministrado por un modelo de salidaObservabilidadModelado Discreto25

La matriz de observabilidadtiene rango completo por columna, o en otras palabras tiene n columna linealmente independientes.ControlabilidadModelado Discreto26

ControlabilidadModelado Discreto27

La matriz de controlabilidad es de rango completoModelado Discreto28

Sistemas Discretos

Se definen las siguientes variablesModelado Discreto29

Modelado Discreto30Relacin entre el modelo continuo y el discreto

Sea el modelo continuoLa solucin a esta ecuacin viene dado por

Para un sistema muestreado con un retenedor de orden cero la entrada queda como

La ecuacin de estado para el estado inicial queda

Modelado Discreto31

Se establece la siguiente relacin

Modelado Discreto32