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SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

LUIS EDO GARCÍA JAIMES

Luis Edo García Jaimes

SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL PROGRAMA


1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL 1.1 Sistemas continuos, discretos e híbridos. Conceptos 1.2 Equivalente discreto de sistemas híbridos 1.3 Muestreadores y retenedores. Convertidores A/D y convertidores D/A 1.4 Selección del periodo de muestreo. Criterios.

2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 2.1 Procedimiento para hallar la función de transferencia en sistemas discretos. 2.2 Función de transferencia de pulso para sistemas con retenedor de orden cero. 2.3 Función de transferencia para sistemas con elementos en cascada. 2.4 Función de transferencia para sistemas en lazo cerrado.

3. MÉTODOS DE ANÁLISIS PARA SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL 3.1 El plano z y su relación con el plano S 3.2 Análisis de estabilidad. Conceptos fundamentales 3.2.1 Criterios de estabilidad para sistemas discretos (Criterio de Jury y criterio de

Routh-Hurtwist). 3.3 Análisis de respuesta transitoria y de estado estable 3.3.1 Especificaciones de respuesta transitoria. Análisis de error en estado estable. 3.3.2 Constantes de error de posición, de velocidad y de aceleración 3.3.3 Polos dominantes 3.4 Método de respuesta en frecuencia para sistemas discretos 3.4.1 Diagramas de Bode para sistemas discretos 3.4.2 Margen de fase y margen de ganancia. Estabilidad 3.5 El lugar geométrico de las raíces (LGR). Sistemas discretos. 3.5.1 Condición de ángulo y condición de módulo 3.5.2 Reglas para trazar el LGR 3.5.3 Análisis de estabilidad con el LGR

4. ALGORITMOS DE CONTROL DIGITAL 4.1 Consideraciones preliminares para el diseño de controladores 4.2 Aproximación discreta de los modos de control digital: P, PI, PID 4.3 Sintonía de controladores digitales P, PI y PID (Ajuste por tablas) 4.3.1 Método de Ziegler-Nichols 4.3.2 Método de ganancia límite 4.3.3 Ajuste mediante criterios de error mínimo: IAE, IAET, ICE 4.4 Diseño de controladores digitales 4.4.1 Diseño de controladores PI y PID por cancelación de ceros y polos 4.4.2 Diseño de controladores por cancelación de ceros y polos 4.4.3 Diseño de controladores por asignación de polos 4.4.4 Controladores Deadbeat de orden normal y de orden incrementado 4.4.5 Algoritmo de Dalhin 4.4.6 Realización de algoritmos de control digital utilizando diferentes plataformas

de software

BIBLIOGRAFÍA Astrom, K. Wittenmark, B. Computer controlled systems. Prentice Hall. Eronini, U. Dinámica de Sistemas y Control. Ed. Thomas Learning. México Franklin, Gene F.; Powell, David J.; Workman, Michael L.; Powell, Dave. Digital Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley, 1997. García, L. Control Digital. Teoría y práctica. Tercera Edición. 2012 Kuo, B. Sistemas de Control Digital. CECSA, México Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control tiempo discreto. Prentice Hall, 1996 D. F. México, 2a Edición Phillips, C. Nagle,T. H. Digital Control System Analysis and Design. Prentice Hall.

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

Los sistemas de tiempo discreto, son sistemas dinámicos en los

cuales una o más variables pueden variar únicamente en ciertos

instantes. Estos instantes, llamados de muestreo y que se indican por

𝑘𝑇 (𝑘 = 0, 1, 2. . . ) pueden especificar el momento en el cual se realiza

una medición física o el tiempo en el cual se lee la memoria del

computador.

Los sistemas de tiempo continuo, se describen o modelan mediante

un conjunto de ecuaciones diferenciales, los sistemas de tiempo

discreto se describen mediante un conjunto de ecuaciones de

diferencias.


SISTEMAS CONTINUOS VS SISTEMAS DISCRETOS

SISTEMAS CONTINUOS SISTEMAS DISCRETOS

Señales continuas. (Analógicas)

Ecuaciones diferenciales

Transformada de Laplace

Función de transferencia

Variables de estado continuas

Señales discretas. (Digitales)

Ecuaciones en diferencias

Transformada z

Función de transferencia de pulso

Variables de estado discretas


LAZO DE CONTROL DIGITAL BÁSICO

1. Se mide la variable controlada mediante el sensor adecuado.

2. La salida del sensor se lleva al convertidor de análogo a digital (A/D)

3. La salida del convertidor A/D se compara con el valor del Set-Point (SP).

4. El computador establece la diferencia (error) entre éstos valores y ejecuta un

programa en el cual se ha establecido el algoritmo de control deseado.

5. El computador proporciona una señal de salida discreta que es convertida

en una señal continua mediante un convertidor de digital a análogo (D/A).

6. La salida del convertidor D/A, previamente acondicionada es aplicada al

elemento final de control para corregir el error. Luis Edo García Jaimes

EJEMPLO: CONTROL DE PRESIÓN


P: Variable controlada V1: Válvula de descarga manual PI: Indicador de presión V/P: Convertidor Voltaje a Presión PT: Transmisor de presión ∩

# : Convertidor Análogo a Digital

PCV: Válvula control de presión #∩ : Convertidor de Digital a Análogo

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS


Planta: es cualquier objeto físico que se va a controlar. Ejemplos de plantas: un

intercambiador de calor, un reactor químico, una caldera, una torre de destilación.

Proceso: es una operación progresiva en la cual se presenta una serie de cambios

que se suceden uno a otro de manera relativamente fija y que conducen a un

resultado determinado. Los procesos pueden ser químicos, biológicos, económicos

Elemento sensor primario: Es el elemento que está en contacto con la variable

que se mide y utiliza o absorbe energía de ella para dar al sistema de medición una

indicación que depende de la cantidad medida. La salida de este elemento es una

variable física que puede ser un desplazamiento, una corriente, un voltaje etc.

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS (2)Transmisor: Es un dispositivo que capta la variable del proceso a través del

elemento sensor primario y la transmite en forma de señal estándar. Esta señal

puede ser neumática (3 a 15 PSI) o electrónica (4 a 20 mA, 0 a 5 V).

Transductor: Convierte una señal de entrada en una señal de salida cuya

naturaleza puede ser o no ser diferente de la correspondiente a la señal de entrada.

Son transductores: un elemento sensor primario, un transmisor, un convertidor de

PP/I (Presión de proceso a corriente).

Convertidor: Es un dispositivo que recibe una señal de entrada neumática (3-15

PSI) o electrónica (4-20 mA), procedente de un instrumento y, después de

modificarla, genera una señal de salida estándar. Ejemplo: un convertidor P/I

(Señal de entrada neumática a señal de salida electrónica). Luis Edo García Jaimes

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS (3)


Controlador: Es el dispositivo que compara el valor de la variable controlada

(presión, temperatura, nivel, velocidad, pH) con el valor deseado (Set-Point) y

utiliza la diferencia entre ellos (error) para ejercer, automáticamente, la acción

correctiva con el fin de reducir el error a cero o a un valor mínimo aceptable.

Elemento final de control: Recibe la señal del controlador y modifica el caudal

del agente o fluido de control. En sistemas de control, el elemento final de control

puede ser una válvula neumática, un elemento de estado sólido como relés etc.

MUESTREADORES

El muestreador es el elemento fundamental en un sistema de control de tiempo

discreto. Consiste en un interruptor que se cierra cada T segundos para admitir

una señal de entrada. La función del muestreador es convertir una señal

continua en el tiempo (análoga) en un tren de pulsos en los instantes de muestreo

0, T, 2T… en donde T es el periodo de muestreo. Entre dos instantes de muestreo

no se transmite información.


SEÑAL DE SALIDA DEL MUESTREADOR


Si la señal continua es muestreada en forma periódica, la señal de salida del

muestreador se puede expresar como:

𝑥∗ 𝑡 = 𝑥 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇

∞

𝑘=0

𝑥∗ 𝑡 = 𝑥 0 𝛿 𝑡 + 𝑥 𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑇 + 𝑥 2𝑇 𝛿 𝑡 − 2𝑇 + ⋯

La transformada de Laplace de la ecuación anterior es:

𝑋∗ 𝑆 = 𝑥 0 + 𝑥 𝑇 𝑒−𝑆𝑇 + 𝑥 2𝑇 𝑒−2𝑆𝑇 + 𝑥 3𝑇 𝑒−3𝑆𝑇 + ⋯

Es decir:

𝑋∗ 𝑆 = 𝑥(𝑘𝑇)𝑒−𝑘𝑇𝑆

∞

𝑘=0

RETENEDORESSu finalidad es convertir la señal muestreada en una señal continua de tal forma

que sea igual o lo más aproximada posible a la señal aplicada al muestreador.

El retenedor más elemental convierte la señal muestreada en una señal que es

constante entre dos instantes de muestreo consecutivos, este tipo de retenedor

se conoce como “retenedor de orden cero” y es comúnmente el más utilizado.

La exactitud del retenedor de orden cero en la reconstrucción de la señal depende

de la magnitud del periodo de muestreo 𝑇.


FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO (ZOH)


La entrada al retenedor es el tren de pulsos:

𝑥∗ 𝑡 = 𝑥 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇

∞

𝑘=0


𝑋∗ 𝑆 = 𝑥(𝑘𝑇)𝑒−𝑘𝑇𝑆

∞

𝑘=0

La salida del muestreador se puede expresar como:

𝑚 𝑡 = 𝑥(𝑘𝑇) 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑇 − 𝑢(𝑡 − 𝑘 + 1 𝑇

∞

𝑘=0


𝐻 𝑆 =𝑀 (𝑆)

𝑋∗(𝑆)=

1 − 𝑒−𝑆𝑇

𝑆

CIRCUITO BÁSICO PARA MUESTREO Y RETENCIÓN


Cuando el interruptor de estado sólido (S) se cierra, C se carga al voltaje de

entrada V1. Cuando el interruptor de estado sólido se abre el condensador sigue

cargado al voltaje existente en el momento de la apertura puesto que la

impedancia de entrada al amplificador operacional A2 es muy elevada. Como el

amplificador A2 está configurado como un seguidor de voltaje, su tensión de salida

también sigue fija en el valor que tenía el voltaje del condensador en el momento

que reprodujo el muestreo.

EJEMPLO


La función 𝑥(𝑡) = 𝑒−2𝑡 + 3 se muestrea cada 0.5 𝑠𝑒𝑔. Calcular: a) La función

muestreada 𝑥∗ 𝑡 . b) La transformada de Laplace 𝑋∗(𝑆) de 𝑥∗ 𝑡 . c) Si 𝑥∗(𝑡) se

hace pasar por un retenedor de orden cero, obtenga una expresión para la señal

de salida del retenedor 𝑚 (𝑡).

SOLUCIÓN:

a) Utilizando la ecuación:

𝑓∗ 𝑡 = 𝑓 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇

∞

𝑘=0

Pero: 𝑥 𝑘𝑇 = 𝑒−2𝑘𝑇 + 3 = 𝑒−𝑘 + 3

Por lo tanto: 𝑥∗ 𝑡 = 𝑒−𝑘 + 3 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇 ∞𝐾=0

𝑥∗ 𝑡 = 4𝛿 𝑡 + 3.3678𝛿 𝑡 − 𝑇 + 3.1353𝛿 𝑡 − 2𝑇 + 3.0497𝛿 𝑡 − 3𝑇 + 3.0183𝛿 𝑡 − 4𝑇 + ⋯

CONTINUACIÓN EJEMPLO

b) Tomando la transformada de Laplace a cada término de la ecuación anterior:

𝑋∗ 𝑆 = 4 + 3.3678𝑒−𝑆𝑇 + 3.1353𝑒−2𝑆𝑇 + 3.0497𝑒−3𝑆𝑇 + 3.0183𝑒−4𝑆𝑇 + ⋯

c) Utilizando la ecuación:

𝑚 𝑡 = 𝑥(𝑘𝑇) 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑇 − 𝑢(𝑡 − 𝑘 + 1 𝑇

∞

𝑘=0

Se obtiene:

𝑚 𝑡 = 𝑒0 + 3 𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − 𝑇) + 𝑒−1 + 3 𝑢 𝑡 − 𝑇 − 𝑢(𝑡 − 2𝑇)

+ 𝑒−2 + 3 𝑢 𝑡 − 2𝑇 − 𝑢(𝑡 − 3𝑇) + ⋯

Simplificando resulta:

𝑚 𝑡 = 4𝑢 𝑡 − 0.632𝑢 𝑡 − 𝑇 − 0.2325𝑢 𝑡 − 2𝑇 − 0.0855𝑢 𝑡 − 3𝑇 − 0.0314𝑢(𝑡 − 4𝑇) ⋯


TRANSFORMADA Z Y TRANSFORMADA Z INVERSA EN MATLAB


TRANSFORMADA DE LAPLACE Y TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE CON MATLAB


SELECCIÓN DEL PERIODO DE MUESTREOEl periodo de muestreo 𝑇 es un parámetro de diseño muy importante que debe

seleccionarse en función de un compromiso entre varios factores:

El tiempo de cálculo del procesador: Cuanto menor sea el periodo más

potente debe ser el procesador, y por lo tanto más caro.

Precisión numérica en la implementación: Cuanto menor sea el periodo

más problemas de precisión y redondeo aparecen en la implementación,

especialmente si se utiliza un procesador de coma fija.

Pérdida de información en el muestreo: Si el periodo es demasiado elevado

comparado con la dinámica del proceso, se pierde mucha información de la

señal muestreada.

Respuesta a perturbaciones: Entre una medición de la salida y la siguiente

el proceso funciona en lazo abierto. Si actúa una perturbación su efecto no se

podrá compensar hasta que se vuelva a medir la salida. Luis Edo García Jaimes

CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL PERIODO DE MUESTREO

Para estimar el periodo de muestreo se puede aplicar uno de los siguientes

criterios:

Si 𝑤𝑐 es el ancho de banda del sistema en lazo cerrado, la frecuencia de

muestreo se puede estimar dentro del intervalo:

8𝑤𝑐 ≤ 𝑤𝑠 ≤ 12𝑤𝑐 𝑇 =2𝜋

𝑤𝑠

El periodo de muestreo se puede evaluar a partir de la constante de tiempo

equivalente del sistema en lazo cerrado 𝜏𝑒𝑞 tomando como base el criterio:

0.2 𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′ ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′)

Si 𝑡𝑠 es el tiempo de establecimiento del sistema en lazo cerrado el periodo de

muestreo puede seleccionarse dentro del intervalo:

0.05𝑡𝑠 ≤ 𝑇 ≤ 0.15𝑡𝑠 Luis Edo García Jaimes

EJEMPLO


Para el sistema de control de la figura con 𝐾 = 1, determine a) El ancho de banda

del sistema en lazo cerrado b) El rango dentro del cual se puede seleccionar el

periodo de muestreo utilizando dos métodos diferentes. Los tiempos en s.

k zoh8

S(S+10)R(S) C(S)+-

T

a) La función de transferencia del sistema continuo en lazo cerrado es:

𝐺𝑤 𝑆 =𝐺(𝑆)

1 + 𝐺(𝑆) 𝐺𝑤 𝑆 =

8

𝑆2 + 10𝑆 + 8

Haciendo 𝑆 = 𝑗𝑤 se obtiene, después de simplificar:

𝐺𝑤 𝑗𝑤 =8

8 − 𝑤2 + 𝑗10𝑤 𝐺𝑤(𝑗𝑤) =

8

(8 − 𝑤2)2 + 100𝑤2

Para 𝑤 = 0 se obtiene: 𝐺𝑤(𝑗𝑤) = 1

El ancho de banda 𝑤𝑐 se calcula haciendo 𝐺𝑤(𝑗𝑤𝑐) = 0.707 𝐺𝑤(0)



8

(8 − 𝑤𝑐2)2 + 100𝑤𝑐

2= 0.707

𝑤𝑐4 + 84𝑤𝑐

2 − 64 = 0 𝑤𝑐 = 0.869 𝑟𝑎𝑑/𝑠

b) La frecuencia de muestreo 𝑤𝑐 debe estar en el intervalo:

8𝑤𝑐 ≤ 𝑤𝑠 ≤ 12 6.95 ≤ 𝑤𝑠 ≤ 10.42 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑇 =2𝜋

𝑤𝑠 0.602 ≤ 𝑇 ≤ 0.903 𝑠.

Utilizando el criterio de la constante de tiempo equivalente en lazo cerrado:

0.2(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′) ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′)

La función de transferencia del sistema en lazo es de segundo orden para el cual:

𝑤𝑛2 = 8 𝑤𝑛 = 2.82 𝑟𝑎𝑑/𝑠

2𝜉𝑤𝑛 = 10 𝜉 = 1.77 𝜏𝑒𝑞 =2𝜉

𝑤𝑛= 1.25 𝑠.

El rango para el periodo de muestreo es, entonces: 0.25 ≤ 𝑇 ≤ 0.75 𝑠.

PROGRAMA EN MATLAB PARA CALCULAR ANCHO DE BANDA

n=input('ENTRE EL NUMERADOR DEL SISTEMA=');

d=input('ENTRE EL DENOMINADOR DEL SISTEMA=');

[nw,dw]=cloop(n,d,-1); %Calcula FT en lazo cerrado

[mag,fase,w]=bode(nw,dw); %Calcula Magnitud, y fase

mag1=mag(1,1); % Magnitud a baja frecuencia

mag2=0.707*mag1; %Calcula el valor de la magnitud para wc

wc=interp1(mag,w,mag2,'spline'); %Interpolacion para cálculo exacto

wmin=8*wc;

wmax=12*wc;

Tmin=2*pi/wmax;

Tmax=2*pi/wmin;

fprintf(' RANGO PARA EL PERIODO : Tmin=%3.2f Tmax=%3.2f',Tmin, Tmax) Luis Edo García Jaimes

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO (FTP)

Para un sistema continuo, la función de transferencia se define como la relación

entre la Transformada de Laplace de la salida y la Transformada de Laplace de la

entrada, asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.


𝐺 𝑆 =𝑌(𝑆)

𝑋(𝑆)

Para un sistema discreto, la función de transferencia de pulso (FTP), se define

como la relación entre la Transformada z de la salida y la Transformada z de la

entrada, asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.

𝐺 𝑧 =𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧)

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA FTP

Conocida la función 𝑓(𝑡), la 𝐹(𝑧) se puede calcular utilizando tablas de

transformadas y las propiedades de la transformada

Conocida la función 𝐹(𝑆), la 𝐹(𝑧) se puede calcular utilizando tablas de

transformadas, las propiedades de la transformada y expansión en fracciones

parciales

Método computacional, con un software especializado. En este caso pueden

citarse programas como el MATLAB, el ACS, el CC entre otros. Luis Edo García Jaimes

EJEMPLO


Hallar la función de transferencia de pulso del sistema mostrado en la figura

X(S) Y(S)

Sistema

X*(S)T

6

(S+1)(S+4)

SOLUCIÓN: La función de transferencia para el sistema continuo es:


𝑋(𝑆)=

6

𝑆 + 1 (𝑆 + 4)

Expandiendo en fracciones parciales resulta:


𝑋(𝑆)=

2

𝑆 + 1−

2

𝑆 + 4

De tablas se obtiene:

ℑ 2

𝑆 + 1 =

2𝑧

𝑧 − 0.60653 ℑ

2

𝑆 + 4 =

2𝑧

𝑧 − 0.13533

Así, la función de transferencia de pulso para el sistema es:


𝑋(𝑧)=

2𝑧

𝑧 − 0.60653−

2𝑧

𝑧 − 0.13533=

0.94239𝑧

𝑧 − 0.60653 (𝑧 − 0.13533)

FTP PARA SISTEMAS CON RETENEDOR DE ORDEN CERO (ZOH)


La figura muestra un sistema en el cual se incluye, además del muestreador, un

retenedor de orden cero precediendo a la función continua 𝐺𝑃(𝑆).

𝐻𝐺 𝑧 =𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧)= ℑ 𝐻 𝑆 𝐺𝑝(𝑆)

X(S) Y(S)H(S)

x(t) y(t)x*(t)

X*(S)T

Retenedor Planta

GP(S)

La función de transferencia del retenedor de orden cero es: 𝐻 𝑆 =1−𝑒−𝑆𝑇

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 =𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧)= ℑ

1 − 𝑒−𝑆𝑇

𝑆𝐺𝑝(𝑆) = ℑ 1 − 𝑒−𝑆𝑇

𝐺𝑝(𝑆)

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = ℑ 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆 − ℑ

𝐺𝑝(𝑆)

𝑆𝑒−𝑆𝑇 = ℑ

𝐺𝑝(𝑆)

𝑆 − 𝑧−1ℑ

𝐺𝑝(𝑆)

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺𝑝 𝑆

𝑆

EJEMPLO

Hallar la función de transferencia de pulso para el sistema de la figura.

Asuma que el periodo de muestreo es 𝑇 = 1 𝑠 y que el retenedor 𝐻(𝑆)

es de orden cero.

X(S) Y(S)H(S)

x(t) y(t)x*(t)

X*(S)T

Retenedor Planta

3

S(S+2)

SOLUCIÓN: La función de transferencia de pulso para un sistema con

ZOH es:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺 𝑆

𝑆 con 𝐺 𝑆 =

3

𝑆(𝑆 + 2)

𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧−1)ℑ 3

𝑆2(𝑆 + 2)


EJEMPLO (CONTINUACIÓN)


Utilizando tablas se obtiene:

ℑ 𝑎2

𝑆2(𝑆 + 𝑎) =

𝑎𝑇 − 1 + 𝑒−𝑎𝑇 𝑧 + 1 − 𝑒−𝑎𝑇 − 𝑎𝑇𝑒−𝑎𝑇

𝑧 − 1 2 𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇

Con 𝑎 = 2 y 𝑇 = 1 resulta:

𝐻𝐺 𝑧 =3

4 1 − 𝑧−1 ℑ

4

𝑆2(𝑆 + 2)

𝐻𝐺 𝑧 = 0.75 𝑧 − 1

𝑧 ℑ

4

𝑆2(𝑆 + 2)

𝐻𝐺 𝑧 =0.75 1.13533𝑧 + 0.594)

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.1353)=

0.85149(𝑧 + 0.5232)

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.1353)

%DISCRETIZACION

clc

n=input('Entre el numerador n=');

d=input('Entre el denominador d=');

T=input('Entre el periodo de muestreo T=');

G=tf(n,d)

GD=c2d(G,T)

FUNCIÓN DE TRANSFRENCIA DE PULSO PARA UN SISTEMA CON ELEMENTOS EN CASCADA


Para el sistema de la figura en el cual cada una de las funciones 𝐺1(𝑆) y 𝐺2(𝑆)

están precedidas por un muestreador y con el mismo periodo de muestreo, resulta:

𝑈 𝑆 = 𝐺1 𝑆 𝑋∗(𝑆)

𝑌 𝑆 = 𝐺2 𝑆 𝑈∗(𝑆)

De las ecuaciones anteriores se obtiene:

𝑈∗ 𝑆 = 𝐺1∗ 𝑆 𝑋∗(𝑆)

𝑌∗ 𝑆 = 𝐺2∗ 𝑆 𝑈∗(𝑆)

𝑌∗ 𝑆 = 𝐺2∗ 𝑆 𝐺1

∗ 𝑆 𝑋∗(𝑆)

La función de transferencia de pulso es, entonces:


𝑋(𝑧)= 𝐺1 𝑧 𝐺2 𝑧 = ℑ 𝐺1(𝑆) ∗ ℑ 𝐺2(𝑆)

FUNCIÓN DE TRANSFRENCIA DE PULSO PARA UN SISTEMA CON ELEMENTOS EN CASCADA (2)


Para el sistema de la figura en la cual los elementos en cascada 𝐺1(𝑆) y 𝐺2(𝑆) no

presentan muestreador entre ellos, se obtiene:

𝑌 𝑆 = 𝐺1(𝑆)𝐺2 𝑆 𝑋∗ 𝑆 = 𝐺1𝐺2 𝑆 𝑋∗(𝑆)

De la ecuación anterior se obtiene:

𝑌∗ 𝑆 = 𝐺1𝐺2 𝑆 ∗𝑋∗(𝑆)

Escribiendo la última ecuación en términos de la transformada z resulta:

𝑌 𝑧 = 𝐺1𝐺2 𝑧 𝑋(𝑧)

La función de transferencia de pulso es:


𝑋(𝑧)= 𝐺1𝐺2 𝑧 = ℑ 𝐺1𝐺2 𝑆

Se concluye que: 𝐺1 𝑧 𝐺2(𝑧) ≠ 𝐺1𝐺2(𝑧)

EJEMPLO


Determinar la respuesta 𝑏(𝑘𝑇) del sistema discreto de la figura. Asuma que 𝑚(𝑡)

es un escalón unitario y que el periodo de muestreo es 𝑇 = 0.5 𝑠. 𝐻(𝑆) es un

retenedor de orden cero.

m(t) m*(t) c(t)

b(t)b*(t)

, 1.6

2S+10.5

4S+1

1.25

H(S)

SOLUCIÓN: Debido a la presencia del retenedor de orden cero, la función de

transferencia de pulso del sistema está dada por:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺 𝑆

𝑆 𝐺 𝑆 =

1

2𝑆 + 1 (4𝑆 + 1)=

0.125

𝑠 + 0.5 (𝑆 + 0.25)

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 0.125

𝑆 𝑆 + 0.5 (𝑆 + 0.25)



Expandiendo en fracciones parciales se obtiene:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 1

𝑆+

1

𝑆 + 0.5−

2

𝑆 + 0.25

De tablas de transformada 𝑧 y con periodo de muestreo 𝑇 = 0.5 𝑠, resulta:

𝐻𝐺 𝑧 =𝑧 − 1

𝑧

𝑧

𝑧 − 1+

𝑧

𝑧 − 0.7788−

2𝑧

𝑧 − 0.8825

Pero:

𝐻𝐺 𝑧 =𝐵(𝑧)

𝑀(𝑧) 𝐵 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝑀(𝑧)

La entrada 𝑚(𝑡) es un escalón unitario, entonces 𝑀(𝑧) = 𝑧/(𝑧 − 1) , por lo tanto:

𝐵 𝑧 =𝑧

𝑧 − 1+

𝑧

𝑧 − 0.7788−

2𝑧

𝑧 − 0.8825

Tomando la transformada inversa 𝑧 a la expresión anterior se obtiene:

𝑏 𝑘𝑇 = 1 + 0.7788 𝑘 − 2 0.8825 𝑘 𝑘 = 0, 1, 2 …

EJEMPLO

Hallar la salida 𝑥(𝑘𝑇) para el sistema mostrado en la figura. Asuma un periodo de

muestreo 𝑇 = 1 𝑠 y que la entrada 𝑒(𝑡) es un escalón unitario.

𝐺1 𝑆 =8

5𝑆 + 1 𝐺2 𝑆 =

3

6𝑆 + 1

E(S) A(S) A*(S) X(S) X*(S)G1(S) G2(S)

T T

SOLUCION: Para el sistema de la figura 3.8 se cumple:

𝑋 𝑆 = 𝐺2 𝑆 𝐴∗(𝑆)

𝐴 𝑆 = 𝐺1 𝑆 𝐸 𝑆 = 𝐺1𝐸(𝑆)

𝐴∗ 𝑆 = 𝐺1𝐸(𝑆) ∗

Por lo tanto:

𝑋 𝑆 = 𝐺2(𝑆) 𝐺1𝐸(𝑆) ∗

𝑋∗ 𝑆 = 𝐺2∗(𝑆) 𝐺1𝐸(𝑆) ∗

Es decir: 𝑋 𝑧 = 𝐺2 𝑧 𝐺1𝐸(𝑧) Luis Edo García Jaimes


𝐺1𝐸 𝑧 = ℑ 𝐺1𝐸(𝑆) = ℑ 8

𝑆(5𝑆 + 1) =

1.45𝑧

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873)

𝐺2 𝑧 = ℑ 𝐺2(𝑆) = ℑ 3

6𝑆 + 1 =

0.5𝑧

𝑧 − 0.84648

𝑋 𝑧 =0.5𝑧

𝑧 − 0.84648 ∗

1.45𝑧

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873)=

0.725𝑧2

𝑧 − 1 𝑧 − 0.84648 (𝑧 − 0.81873)

Expandiendo 𝑋(𝑧)/𝑧 en fracciones parciales, se obtiene:

𝑋 𝑧 =26.05𝑧

𝑧 − 1+

118𝑧

𝑧 − 0.81873−

144.05𝑧

𝑧 − 0.84648

Finalmente, la transformada inversa z, permite obtener la salida 𝑥(𝑘𝑇) del sistema:

𝑥 𝑘𝑇 = 26.05 + 118(0.81873)𝑘 − 144.05(0.84648)𝑘 𝑘 = 0, 1, 2, 3 …


𝑥(0) = 0.00000 𝑥(5) = 6.85870 𝑥(10) = 14.81630

𝑥 1 = 0.72523 𝑥(6) = 8.60107 . . . . .

𝑥 2 = 1.93275 𝑥(7) = 10.29432 . . . . .

𝑥 3 = 3.44091 𝑥(8) = 11.90643 . . . . .

𝑥 4 = 5.11545 𝑥 9 = 13.41792 𝑥 ∞ = 26.0555

SISTEMAS DE LAZO ABIERTO CON FILTROS DIGITALES


La figura 𝑎. representa un sistema de lazo abierto en el cual, el convertidor A/D

convierte la señal de tiempo continuo 𝑒(𝑡) en un secuencia de números 𝑒(𝑘𝑇), el

filtro digital procesa esa secuencia de números y genera otra secuencia de

números 𝑚(𝑘𝑇), la cual es convertida en una señal continua 𝑚 (𝑡) en el convertidor

D/A. La figura 𝑏. es el modelo equivalente de la figura 𝑎.

De la figura 𝑏. se obtiene:

𝑀 𝑧 = 𝐷 𝑧 . 𝐸 𝑧

𝐶 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝑀 𝑧

𝐶 𝑧 = 𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸 𝑧 𝐸𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: : 𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺𝑝 𝑆

𝑆

EJEMPLO


Determinar la respuesta del sistema de la figura ante una entrada en escalón

unitario. Asumir que el periodo de muestreo es 𝑇 = 0.2 𝑠, que el filtro digital está

descrito por la ecuación de diferencias:

𝑚 𝑘 = 2𝑒 𝑘 − 𝑒 𝑘 − 1 y que 𝐺𝑝 𝑆 =1

𝑆 + 1

SOLUCIÓN: De acuerdo con la figura 𝐷(𝑧) = 𝑀(𝑧)/𝐸(𝑧). Tomando la

transformada 𝑧 a la ecuación que describe el filtro:

𝑀 𝑧 = 2 − 𝑧−1 𝐸(𝑧)

𝐷 𝑧 =𝑀(𝑧)

𝐸(𝑧)= 2 − 𝑧−1 =

2𝑧 − 1

𝑧

CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO


La función de transferencia para la planta es:

𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧−1)ℑ 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 1

𝑆 𝑆 + 1 =

0.18127

𝑧 − 0.81873

Como la entrada es un escalón unitario:

𝐸 𝑧 =𝑧

𝑧 − 1

𝐶 𝑧 = 𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸 𝑧 =2𝑧 − 𝑧

𝑧∗

0.18127

𝑧 − 0.81873∗

𝑧

𝑧 − 1

𝐶 𝑧 =0.18127(2𝑧 − 1)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873)

Expandiendo 𝐶(𝑧) en fracciones parciales resulta:

𝐶 𝑧 =1

𝑧 − 1−

0.63746

𝑧 − 0.81873


Tomando la transformada inversa z a la expresión anterior se obtiene:

𝑐 𝑘𝑇 = 1 − 0.6376(0.81873)𝑘−1 𝑘 = 1, 2, 3 …0 𝑘 = 0

A continuación se presentan valores de 𝑐(𝑘𝑇) para 0 ≤ 𝑘 ≤ 10, obtenidos

utilizando MATLAB.

𝑐 0 = 0.0000 𝑐 3 = 0.6500 𝑐 6 = 0.8079 𝑐(9) = 0.8946

𝑐 1 = 0.4779 𝑐 4 = 0.7135 𝑐 7 = 0.8427 𝑐(10) = 0.9137

𝑐 2 = 0.5726 𝑐 5 = 0.7654 𝑐 8 = 0.8712 𝑐 ∞ = 1.000La

ganancia DC del sistema está dada por:

𝐾𝐷𝐶 = lim𝑧→1

𝐷 𝑧 ∗ lim𝑆→0

ℎ𝐺𝑝 (𝑆)

𝐾𝐷𝐶 = lim𝑧→1

2𝑧 − 1

𝑧∗ lim

𝑆→0

1

𝑆 + 1= 1


TRANSFORMADA Z MODIFICADA


Se utiliza cuando el sistema presenta tiempo muerto o retardo 𝜃′ . Sea la FT:

𝐺𝑝𝑆) = 𝐺 𝑆 𝑒−𝜃 ′ 𝑆

𝐺(𝑆) no contiene tiempo muerto y ' es el tiempo muerto. Sea:

𝜃′ = 𝑁𝑇 + 𝜃

𝑇 : es el periodo de muestreo y 𝑁 la parte entera del cociente: 𝑁 =𝜃 ′

𝑇 entonces:

𝐺𝑝𝑆) = 𝐺 𝑆 𝑒−(𝑁𝑇+𝜃)𝑆

Tomando la transformada 𝑧 a la ecuación anterior:

𝐺𝑝 𝑧 = ℑ 𝐺 𝑆 𝑒− 𝑁𝑇+𝜃 𝑆 𝐺𝑝 𝑧 = 𝑧−𝑁ℑ 𝐺 𝑆 𝑒−𝜃𝑆

El término ℑ 𝐺 𝑆 𝑒−𝜃𝑆 se define como la transformada 𝑧 modificada de 𝐺(𝑆) y se

denota por: ℑ𝑚 𝐺(𝑆) = 𝐺(𝑧, 𝑚). Entonces:

𝐺𝑝 𝑧 = 𝑧−𝑁ℑ𝑚 𝐺 𝑆 = 𝑧−𝑁𝐺 𝑧, 𝑚

En donde: 𝑚 = 1 −𝜃

𝑇

Si el sistema tiene retenedor de orden cero, la transformada z modificada es:

𝐺𝑃 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−𝑁ℑ𝑚 𝐺(𝑆)

𝑆

EJEMPLO


Para el sistema de la figura hallar: a) La función de transferencia 𝑌(𝑧) 𝑅(𝑧) . b) La

salida 𝑦(𝑘𝑇) si la entrada es 𝑟 𝑡 = 2𝑢(𝑡)

r(t) T=2 sH(S)

2e-3S

10S+1 y(t)

HG(z)

a) La función de transferencia del sistema es: 𝐻𝐺 𝑧 =𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−𝑁ℑ𝑚 𝐺(𝑆)

𝑆

𝑁 =

𝜃′

𝑇=

3

2= 1 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎

𝜃 = 𝜃′ − 𝑁𝑇 = 3 − 1 ∗ 2 𝜃 = 1

𝑚 = 1 −𝜃

𝑇= 1 −

1

2 𝑚 = 0.5

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−1ℑ𝑚 2

𝑆(10𝑆 + 1) =

2(𝑧 − 1)

𝑧2ℑ𝑚

0.1

𝑆(𝑆 + 0.1)

ℑ𝑚 𝑎

𝑆(𝑆 + 𝑎) =

1

𝑧 − 1−

𝑒−𝑎𝑚𝑇

𝑧 − 𝑒𝑎𝑇 𝑒

−𝑎𝑚𝑇 = 0.9048𝑒−𝑎𝑇 = 0.8187

𝐻𝐺 𝑧 =2(𝑧 − 1)

𝑧2

1

𝑧 − 1−

0.9048

𝑧 − 0.8187 𝐻𝐺 𝑧 =

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)=

0.1904𝑧 + 0.1722

𝑧2 𝑧 − 0.8187



b) Si 𝑟(𝑡) = 2𝑢(𝑡) entonces 𝑅 𝑧 =2𝑧

𝑧−1

𝑌 𝑧 =0.1904𝑧 + 0.1722

𝑧2 𝑧 − 0.8187 ∗

2𝑧

𝑧 − 1 =

0.3808𝑧 + 0.3444

𝑧(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)

Se expande 𝑌(𝑧) en fracciones parciales y se obtiene:

𝑌 𝑧 =0.42066

𝑧+

4

𝑧 − 1−

4.42066

𝑧 − 0.8187

ℑ−1 1

𝑧 = 𝛿(𝑘 − 1)

ℑ−1 1

𝑧 − 𝑎 = 𝑎 𝑘−1

Tomando la transformada 𝑧 inversa resulta:

𝑦 𝑘𝑇 = 0.42066𝛿 𝑘 − 1 + 4(1)𝑘−1 − 4.42066(0.8187)𝑘−1

𝑦 0 = 0 𝑦 3 = 1.03696 𝑦 6 = 2.3740

𝑦 1 = 0 𝑦 4 = 1.5741 ⋯ ⋯

𝑦 2 = 0.3808 𝑦 5 = 2.0139 𝑦 ∞ = 4.0000

TRANSFORMADA z MODIFICADA CON MATLAB


%DISCRETIZACION

clc

n=input('Entre el numerador n=');

d=input('Entre el denominador d=');

theta=input('Entre el retardo theta=');

T=input('Entre el periodo de muestreo T=');

G=tf(n,d,'iodelay',theta)

GD=c2d(G,T)

%Otra forma

% [a,b,c,d]=tf2ss(n,d);

% [ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,T,theta);

% [nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd);

% printsys(nd1,dd1,'z')

//////////////////////////////////

%Respuesta al escalon 2u(t)

y=2*step(GD)

y =

0

0

0.38065

1.0367

1.5739

2.0137

2.3737

2.6685

2.9099

G =

2

exp(-3*s) * --------

10 s + 1

Continuous-time transfer function.

GD =

0.1903 z + 0.1722

z^(-2) * -----------------

z - 0.8187

Sample time: 2 seconds Discrete-time transfer function.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO DE UN SISTEMA EN LAZO CERRADO


La figura muestra el diagrama en bloques de un sistema de control digital en lazo

cerrado, en el cual se incluye la dinámica de todos los elementos. A éste sistema

se le pueden efectuar algunas simplificaciones. Por ejemplo, si el modelo del

sistema es obtenido experimentalmente, la función de transferencia del proceso

𝐺𝑝(𝑆) incluye la dinámica del elemento final de control y la del sistema de

medición. En este caso, el diagrama de la figura 𝑎 se reduce al de la figura 𝑏.

𝐺𝑤 𝑧 = 𝐶 𝑧

𝑅 𝑧=

𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧

1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ𝐺𝑝 𝑆

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−𝑁ℑ𝑚

𝐺𝑝 𝑆

𝑆

EJEMPLO


Para el sistema de control discreto mostrado en la figura, hallar a) La función de

transferencia de pulso en lazo cerrado. b) La respuesta 𝑐(𝑘𝑇) si 𝑟(𝑡) es un escalón

unitario. Asuma que el periodo de muestreo es 𝑇 = 1 𝑠 , que 𝐻(𝑆) es un retenedor

de orden cero y que 𝐷(𝑧) es un controlador digital con función de transferencia:

𝐷 𝑧 =1.5𝑧 − 1.2

𝑧 − 1

Plantar(t) c(t)

+-

H(S)T

HG(S)

e(t) e(kT)D(z)

m(kT)

Retenedor

2

S(S+4)

SOLUCIÓN: a) La función de transferencia de pulso para el sistema planta-

retenedor está dada por la ecuación:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺𝑝 𝑆

𝑆

𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧−1)ℑ 2

𝑆2(𝑆 + 4)


De tablas se encuentra que:

ℑ 𝑎2

𝑆2(𝑆 + 𝑎) =

𝑎𝑇 − 1 + 𝑒−𝑎𝑇 𝑧 + 1 − 𝑒−𝑎𝑇 − 𝑎𝑇𝑒−𝑎𝑇 𝑧

𝑧 − 1 2(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇 )

Con 𝑇 = 1 𝑠 y 𝑎 = 4 se obtiene, después de simplificar:

𝐻𝐺 𝑧 =0.37728(𝑧 + 0.30096)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

𝐺𝑤 𝑧 =𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)=

𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)


𝑅(𝑧)=

0.37728(𝑧 + 0.30096) 𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)

∗(1.5𝑧 − 1.2)

𝑧 − 1

1 +0.37728(𝑧 + 0.30096) 𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)

∗(1.5𝑧 − 1.2)

𝑧 − 1




𝑅(𝑧)=

0.37728 𝑧 + 0.30096 1.5𝑧 − 1.2

𝑧3 − 1.45238𝑧2 + 0.75421𝑧 − 0.15457


𝑅(𝑧)=

0.37728 𝑧 + 0.30096 (1.5𝑧 − 1.2)

𝑧 − 0.67298 (𝑧2 − 0.77939𝑧 + 0.22969)

Si 𝑟(𝑡) es un escalón unitario, 𝑅(𝑧) = 𝑧/(𝑧 − 1), por lo tanto:

𝐶 𝑧 = 𝐺𝑤 𝑧 𝑅(𝑧) =0.37728𝑧 𝑧 + 0.30096 (1.5𝑧 − 1.2)

(𝑧 − 1) 𝑧 − 0.67298 (𝑧2 − 0.77939𝑧 + 0.22969)

Al expandir 𝐶(𝑧)/𝑧 en fracciones parciales se obtiene:

𝐶(𝑧)

𝑧=

1

𝑧 − 1−

2.354𝑧 − 0.48948

𝑧2 − 0.77939𝑧 + 0.22969+

1.3544

𝑧 − 0.67298

Utilizando tablas se obtiene la transformada inversa 𝑧 de 𝐶(𝑧) así:

𝑐 𝑘𝑇 = 1 + 1.3544(0.67298)𝑘 − 2.3542 cos 0.621𝑘 + 1.5339 sin 0.621𝑘 (0.4792)𝑘


EJEMPLO


La figura representa el diagrama en bloques de un sistema de calefacción de una

habitación. La salida 𝑐(𝑡) es la temperatura de la habitación en grados centígrados

y la señal de voltaje 𝑚(𝑡) es la salida del sensor de temperatura. La perturbación

𝑑(𝑡) se presenta cuando se abre la puerta de la habitación. Con la puerta cerrada

𝑑(𝑡) = 0 pero, si la puerta se abre en 𝑡 = 𝑡0 entonces 𝑑(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 𝑡0). a)

Deduzca la función de transferencia 𝐶(𝑧)/𝐸(𝑧). b) Si se aplica un voltaje constante

𝑒(𝑡) = 10𝑉 durante un largo periodo de tiempo, cuál será la temperatura de estado

estable en la habitación con la puerta está cerrada? c) Estime el efecto que

produce, sobre la temperatura, la apertura permanente de la puerta.

SOLUCIÓN EJEMPLOa) La función de transferencia 𝐶(𝑧) 𝐸(𝑧) es:

𝐺 𝑧 =𝐶(𝑧)

𝐸(𝑧)= 𝐻𝐺 𝑧 𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ

𝐺 𝑆

𝑆 𝐺 𝑆 =

2

𝑆 + 0.5


𝐸(𝑧)= 1 − 𝑧−1 ℑ

2

𝑆(𝑆 + 0.5) ℑ

𝑎

𝑆 𝑆 + 𝑎 =

1 − 𝑒−𝑎𝑇 𝑧

(𝑧 − 1)(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇 )


𝐸(𝑧)=

2(𝑧 − 1)

0.5𝑧ℑ

0.5

𝑆(𝑆 + 0.5) 𝐺 𝑧 =

𝐶(𝑧)

𝐸(𝑧)=

0.8848

𝑧 − 0.7788

La entrada 𝑒(𝑡) es un escalón de valor 𝑒(𝑡) = 10, entonces 𝐸 𝑧 = 10𝑧 (𝑧 − 1)

La salida 𝐶(𝑧) es:𝐶 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸(𝑧)

𝐶 𝑧 =0.8848

𝑧 − 0.7788∗

10𝑧

𝑧 − 1=

8.848𝑧

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.7788)

Expandiendo en fracciones parciales 𝐶(𝑧) 𝑧 se obtiene:

𝐶 𝑧 =40𝑧

𝑧 − 1−

40𝑧

𝑧 − 0.7788 ℑ−1

𝑧

𝑧 − 𝑎 = 𝑎𝑘

𝑐 𝑘𝑇 = 40 − 40 0.7788 𝑘 𝑐𝑆𝑆 = 40 °𝐶 Luis Edo García Jaimes

SOLUCIÓN EJEMPLO, CONTINUACIÓN


b) Al abrir la puerta aparece la perturbación y la salida correspondiente a ella es:

𝐶𝑃 𝑆 = 𝐺𝑃 𝑆 ∗ 𝐷 𝑆 𝐶𝑃 𝑆 = 2.5

𝑆 + 0.5∗

2

𝑆 =

5

𝑆(𝑆 + 0.5)

𝐶𝑃 𝑧 = ℑ 5

𝑆(𝑆 + 0.5) =

5

0.5ℑ

0.5

𝑆(𝑆 + 0.5) 𝐶𝑃 𝑧 =

2.212𝑧

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.7788)

Expandiendo 𝐶𝑃(𝑧) 𝑧 en fracciones parciales y despejando 𝐶𝑃 𝑧 resulta:

𝐶𝑃 𝑧 =10𝑧

𝑧 − 1−

10𝑧

𝑧 − 0.7788 ℑ−1

𝑧

𝑧 − 𝑎 = 𝑎𝑘

Por tanto:

𝐶𝑃 𝑘𝑇 = 10 − 10 0.7788 𝑘 𝐶𝑃𝑆𝑆 = 10 ℃

c) Si la puerta se deja largo tiempo abierta, la temperatura final será:

𝐶𝑆𝑆 = 40℃ − 10℃ = 30℃

Se restan debido al signo que tiene la entrada de la perturbación.

EJEMPLO FTP EN LAZO CERRADO

La figura representa el sistema de control para una de las articulaciones de un

robot. a) Si la entrada al sensor es el ángulo 𝜃𝑎 en grados y el movimiento de la

articulación está restringido de 0º a 270º, determinar el rango de la salida del

sensor. b) Determinar la función de transferencia del sistema en lazo cerrado

cuando 𝐾 = 2.4 𝑦 𝐷 𝑧 = 1 Asuma que 𝑇 = 0.1 𝑠. c) Obtener 𝜃𝑎(𝑘𝑇) cuando la

entrada es 𝜃𝑐=5 𝑉. Cuál será el valor final de 𝜃𝑎?

c m a

T

Control Retenedor Servomotor Engranajes

Sensor

D(Z) H(S) K

0.07

200

S(0.5S+1)

1

100

VS

+-

Ea

a) Para 𝜃𝑎 = 0° 𝑉𝑆 = 0.07 ∗ 0 = 0 Para 𝜃𝑎 = 270° 𝑉𝑆 = 0.07 ∗ 270 = 18.9 𝑉

El rango de la salida del sensor es de 0 𝑎 18.9 𝑉 Luis Edo García Jaimes

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO


b) La FTLC del sistema es:

𝐺𝑤 𝑧 =𝐷(𝑧) ∗ 𝐾 ∗ 𝐻𝐺 𝑧

1 + 𝐷(𝑧) ∗ 𝐾 ∗ 𝐻𝐺 𝑧 ∗ 0.07 𝐷 𝑧 = 1 𝐾 = 2.4

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺(𝑆)

𝑆 𝐺 𝑆 =

200

𝑆(0.5𝑆 + 1)∗

1

100=

2

𝑆(0.5𝑆 + 1)

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 2

𝑆2 0.5𝑆 + 1

ℑ 𝑎2

𝑆2(𝑆 + 𝑎) =

𝑎𝑇 − 1 + 𝑒−𝑎𝑇 𝑧 + (1 − 𝑒−𝑎𝑇 − 𝑎𝑇𝑒−𝑎𝑇 ) 𝑧

𝑧 − 1 2(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇 )

𝐻𝐺 𝑧 =2

0.5

𝑧 − 1

𝑧ℑ

4

𝑆2 𝑆 + 2 𝐻𝐺 𝑧 =

0.01873𝑧 + 0.01752

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)

𝐺𝑤 𝑧 =𝜃𝑎 (𝑧)

𝜃𝑐(𝑧)=

1 ∗ 2.4 ∗0.01873𝑧 + 0.01752(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)

1 + 1 ∗ 2.4 ∗0.01873𝑧 + 0.01752 𝑧 − 1 𝑧 − 0.8187

∗ 0.07

𝐺𝑤 𝑧 =𝜃𝑎(𝑧)

𝜃𝑐(𝑧)=

0.04495𝑧 + 0.04205

𝑧2 − 1.8155𝑧 + 0.8218=

0.04495𝑧 + 0.04205

(𝑧 − 0.9569)(𝑧 − 0.8586)

CONTINUACION DEL EJEMPLO


Despendo 𝜃𝑎 𝑧 :

𝜃𝑎 𝑧 =0.04495𝑧 + 0.04205

(𝑧 − 0.9569)(𝑧 − 0.8586)∗ 𝜃𝑐(𝑧)

Al aplicar un escalón con 𝜃𝑐 = 5 𝑉 resulta:

𝜃𝑎 𝑧 =0.04495𝑧 + 0.04205

(𝑧 − 0.9569)(𝑧 − 0.8586)∗

5𝑧

𝑧 − 1

Expandiendo 𝜃𝑎 𝑧 /𝑧 en fracciones parciales y despejando 𝜃𝑎 𝑧 se obtiene:

𝜃𝑎 𝑧 =71.3777𝑧

𝑧 − 1+

29.0095𝑧

𝑧 − 0.8586−

100.387𝑧

𝑧 − 0.9569

Tomando la transformada inversa 𝑧 resulta:

𝜃𝑎 𝑘𝑇 = 71.3777 + 29.0095(0.8586)𝑘 − 100(0.9569)𝑘

c) El valor del ángulo en estado estable al aplicar el escalón de 5 V es:

𝜃𝑎 = 71.3777°

EL PLANO Z Y SU RELACIÓN CON EL PLANO SEn los sistemas de control en tiempo continuo, la localización de los polos y de los

ceros en el plano 𝑆 permite establecer el comportamiento dinámico del sistema.

En los sistemas de control en tiempo discreto, la ubicación de los polos y de los

ceros en el plano 𝑧 posibilita analizar el desempeño del sistema discreto.


TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA z

ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑆 = න0

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑆𝑡𝑑𝑡ℑ 𝑡 = ℑ 𝑘𝑇 = 𝐹 𝑧 =

0

∞

𝑓 𝑘𝑇 𝑧−𝑘

𝑡 𝑘𝑇

𝑒−𝑆𝑡 𝑧−𝑘

𝑒𝑆𝑇 𝑧

Cuando en el proceso se involucra un muestreo por impulsos, las variables

complejas 𝑧 y 𝑆 se relacionan, mediante la ecuación:

𝑧 = 𝑒𝑆𝑇

MAPEO DE POLOS Y CEROS EN EL PLANO S Y Z


Para un polo en el plano 𝑆 ubicado en 𝑆 = −4, y periodo de muestreo 𝑇 = 0.2 𝑠, la

ubicación del polo correspondiente en el plano 𝑧 es 𝑧 = 0.449

𝑧 = 𝑒𝑆𝑇 = 𝑒−4∗0.2 𝑧 = 0.449

Im

Re

Im

Re

Plano S Plano Z

x x

x xx

-4 0.449

x

SISTEMA DE PRIMER ORDEN

La función de transferencia de un sistema de primer orden con retardo es:

𝐺𝑃 𝑆 =𝐾𝑒−𝜃𝑆

𝜏𝑆 + 1

𝐾 = Ganancia del sistema

𝜏 = Constante de tiempo

𝜃 = Retardo o tiempo muerto

La ecuación característica es:

𝜏𝑆 + 1 = 0 𝑆 = −1

𝜏 𝑧 = 𝑒𝑆𝑇

Por lo tanto:

𝑧 = 𝑒−𝑇𝜏 𝜏 = −

𝑇

𝑙𝑛 𝑧


SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN


Para un sistema de segundo orden, con función de transferencia dada por:

𝐺 𝑆 =𝐾𝑤𝑛

2

𝑆2 + 2𝜉𝑤𝑛𝑆 + 𝑤𝑛2

𝑤𝑛 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝜉 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝐾 = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

Las raíces de la ecuación característica: 𝑆2 + 2𝜉𝑤𝑛𝑆 + 𝑤𝑛2 = 0 son:

𝑆1,2 = −𝜉𝑤𝑛 ± 𝑗𝑤𝑛 1 − 𝜉2

Utilizando la ecuación 𝑧 = 𝑒𝑆𝑇 y teniendo en cuenta que 𝑒±𝑗𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛼 :

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛 𝑇∠ ± 𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2 = 𝑧 ∠ ± 𝜃

Haciendo 𝑤𝑑 = 𝑤𝑛 1 − 𝜉2, la ecuación anterior se transforma en:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛 𝑇∠ ± 𝑤𝑑𝑇

El ángulo 𝑤𝑑𝑇 está dado en radianes. Para darlo en grados:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛 𝑇

𝜃 = 57.3𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2

EJEMPLO


Para los sistemas de control de tiempo discreto, con periodo de muestreo 𝑇 = 1.5 𝑠

𝑎) 𝐺1 𝑧 =2

𝑧 − 0.5 𝑏) 𝐺2 𝑧 =

0.6𝑧

𝑧2 − 1.2𝑧 + 0.4 𝑐) 𝐺3(𝑧) =

0.2𝑧

(𝑧 − 0.6)(𝑧2 − 1.4𝑧 + 0.6)

Determinar la constante de tiempo y la ganancia DC.

a) Para el sistema: 𝐺1 𝑧 =2

𝑧−0.5

Ecuación característica: 𝑧 − 0.5 = 0 Raices de la ecuación característica: 𝑧 = 0.5

Constante de tiempo: 𝜏 = −𝑇

𝑙𝑛 𝑧 𝜏 = −

1.5

𝑙𝑛 0.5 𝜏 = 2.16 𝑠.

Ganancia DC 𝐾𝐷𝐶 = lim𝑧→1

𝐺 𝑧 𝐾𝐷𝐶 = lim𝑧→1

2

𝑧−0.5 𝐾𝐷𝐶 = 4

b) Para el sistema: 𝐺2 𝑧 =0.6𝑧

𝑧2−1.2𝑧+0.4

Ecuación Característica: 𝑧2 − 1.2𝑧 + 0.4 = 0 Raíces: 𝑧 = 0.6 ± 𝑗0.2

𝑧 = 𝑅𝑒2 + 𝐼𝑚2 𝑧 = 0.62 + 0.22 𝑧 = 0.632

Constante de tiempo: 𝜏 = −𝑇

𝑙𝑛 𝑧 𝜏 = −

1.5

𝑙𝑛 0.632 𝜏 = 3.26 𝑠.

Ganancia DC 𝐾𝐷𝐶 = lim𝑧→1

0.6𝑧

𝑧2−1.2𝑧+0.4 𝐾𝐷𝐶 = 3



c) Para el sistema: 𝐺3(𝑧) =0.2𝑧

(𝑧−0.6)(𝑧2−1.4𝑧+0.6)

Ecuación característica: 𝑧 − 0.6 𝑧2 − 1.4𝑧 + 0.6 = 0 Raíces: 𝑧 = 0.6 𝑧 = 0.7 ± 0.5567

Constante de tiempo: 𝜏 = −1.5

𝑙𝑛 0.6 −

1.5

𝑙𝑛 0.8943 𝜏 = 16.36 𝑠

Ganancia: 𝐾𝐷𝐶 = 2.5

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS


Para el sistema de control en tiempo discreto de la figura, la función de transferencia

de pulso en lazo cerrado está dada por:


𝑅(𝑧)=

𝐺(𝑧)

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

La ecuación característica del sistema es:

1 + 𝐺𝐻 𝑧 = 0

Si 𝑧 es una raíz de la ecuación característica y teniendo en cuenta que

𝑧 = 𝑒𝑆𝑇

Si 𝑆 < 0 Entonces: 𝑧 < 1 El sistema es estable

Si 𝑆 = 0 Entonces: 𝑧 = 1 El sistema es críticamente estable

Si 𝑆 > 0 Entonces: 𝑧 > 1 El sistema es inestable

CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETO

El sistema es estable si todos sus polos de lazo cerrado están ubicados dentro

del círculo unitario del plano 𝑧. Cualquier polo de lazo cerrado localizado fuera

del círculo unitario genera un sistema inestable.

Un polo simple o un solo par de polos complejos conjugados ubicados sobre el

círculo unitario ( 𝑧 = 1), hace que el sistema sea críticamente estable. Polos

múltiples ubicados sobre el círculo unitario hacen que el sistema sea inestable.

Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema.


CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURYPara aplicar esta prueba a la ecuación característica 𝑄(𝑧) = 0, se construye una

tabla cuyos elementos están determinados por los coeficientes de 𝑄(𝑧).

Para construir la tabla la ecuación característica se debe escribir en la forma:

𝑄 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧

𝑛−2 + ⋯𝑎1𝑧 + 𝑎0 = 0 𝑎𝑛 > 0

El arreglo de Jury se construye como se indica en la tabla


CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE JURY


Los coeficientes del arreglo de Jury se calculan así:

𝑏0 = 𝑎0 𝑎𝑛

𝑎𝑛 𝑎0 𝑏1 =

𝑎0 𝑎𝑛−1

𝑎𝑛 𝑎1 𝑏2 =

𝑎0 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 𝑎2 𝑏𝑗 =

𝑎0 𝑎𝑛−𝑗

𝑎𝑛 𝑎𝑗

𝑐0 = 𝑏0 𝑏𝑛−1

𝑏𝑛−1 𝑏0 𝑐1 =

𝑏0 𝑏𝑛−2

𝑏𝑛−1 𝑏1 𝑐𝑗 =

𝑏0 𝑏𝑛−1−𝑗

𝑏𝑛−1 𝑏𝑗

𝑝𝑗 = 𝑝0 𝑝3−𝑗

𝑝3 𝑝𝑗

Para que el sistema sea estable, se requiere el cumplimiento de 𝑛 + 1 condiciones,

en donde 𝑛 es el orden de la ecuación característica. Dichas condiciones son:

1. 𝑄 1 > 0 2. −1 𝑛𝑄(−1) > 0

3. 𝑎0 < 𝑎𝑛

4. 𝑏0 > 𝑏𝑛−1 5. 𝑐0 > 𝑐𝑛−2

. . . . .

𝑛 + 1. 𝑞0 > 𝑞2

PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PRUEBA DE JURY

El procedimiento para efectuar la prueba es el siguiente:

Paso1: Determinar si se cumplen las condiciones 1, 2 y 3. Si no se cumplen, el

sistema es inestable, si se cumplen se efectúa el paso 2

Paso 2: Determinar el máximo valor de 𝑗, así:

𝑗𝑚𝑎𝑥 = 𝑛 − 2

Si 𝑗𝑚𝑎𝑥 = 0, no se continúa el procedimiento pues la información del paso 1 es

suficiente para determinar la estabilidad del sistema.

Paso 3: El máximo número de filas que ha de tener el arreglo está dado por:

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 2𝑗𝑚𝑎𝑥 + 1 = 2𝑛 − 3

Paso 4: Se completa el arreglo. A cada fila se le aplica la restricción. Si ésta no se

cumple, no se continúa y el sistema es inestable Luis Edo García Jaimes

EJEMPLO 1 CRITERIO DE JURY


Determinar la estabilidad del sistema de control discreto cuya función de

transferencia en lazo cerrado es:


𝑅(𝑧)=

𝑧2(𝑧 + 0.5)

𝑧4 − 0.8𝑧3 + 0.5𝑧2 + 0.2𝑧 − 0.1

SOLUCIÓN: La ecuación característica del sistema es:

𝑧4 − 0.8𝑧3 + 0.5𝑧2 + 0.2𝑧 − 0.1 = 0

𝑎4 = 1 𝑎3 = −0.8 𝑎2 = 0.5 𝑎1 = 0.2 𝑎0 = −0.1

Para evaluar la estabilidad el procedimiento se inicia así:

Número de condiciones: 𝑛 + 1 = 4 + 1 = 5

Paso 1: Verificación de las condiciones 1, 2 y 3.

1. 𝑄 1 > 0 𝑄 1 = 1 − 0.8 + 0.5 + 0.2 − 0.1 = 0.8 > 0

2. −1 4𝑄 −1 > 0 𝑄 −1 = 1 + 0.8 + 0.5 − 0.2 − 0.1 = 2 > 0

3. 𝑎0 < 𝑎𝑛 −0.1 < 1

Las condiciones 1, 2 y 3 se cumplen.



Paso 2. Máximo valor de 𝑗

𝑗𝑚𝑎𝑥 = 𝑛 − 2 = 4 − 2 = 2

Paso 3: Máximo número de filas del arreglo:

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 2𝑗𝑚𝑎𝑥 + 1 = 2𝑛 − 3 = 5

Paso 4: Se completa el arreglo chequeando las condiciones respectivas.

𝒋 𝑭𝒊𝒍𝒂 𝒛𝟎 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝒛𝟑 𝒛𝟒

01

2

−0.1

1

0.2

−0.8

0.5

0.5

−0.8

0.2

1

−0.1

13

4

−0.99

−0.12

0.78

−0.55

−0.55

0.78

−0.12

−0.99

2 5 0.9657 −0.8382 0.6831

𝑏0 = −0.1 1

1 −0.1 = −0.99 𝑏1 =

−0.1 −0.81 0.2

= 0.78

𝑏2 = −0.1 0.5

1 0.5 = −0.55 𝑏3 =

−0.1 0.21 −0.8

= −0.12

𝑏0 > 𝑏3 −0.99 > −0.12 Cumple



𝑐0 = −0.99 −0.12−0.12 −0.99

= 0.9657 𝑐1 = −0.99 −0.55−0.12 0.78

= −0.8382

𝑐2 = −0.99 0.78−0.12 −0.55

= 0.6381

𝑐0 > 𝑐2 0.9657 > 0.6381 Cumple

Dado que se cumplen todas las condiciones el sistema es estable.

Utilizando el Matlab se obtienen las raíces de la ecuación característica:

𝑧4 − 0.8𝑧3 + 0.5𝑧2 + 0.2𝑧 − 0.1 = 0

Así

𝑧 = 0.4521 ± 𝑗0.7257 𝑧 = 0.855

𝑧 = −0.4256 𝑧 = 0.3213

Se observa entonces que todas las raíces de la ecuación característica están

ubicadas dentro del círculo unitario, con lo cual se cumple la condición de

estabilidad.

EJEMPLO 2Para el sistema de control discreto de la figura, determinar el valor o valores de la

ganancia 𝐾 para los cuales el sistema es estable. Asumir como periodo de

muestreo 𝑇 = 1 𝑠 y que 𝐻(𝑆) es un retenedor de orden cero.


SOLUCIÓN: La función de transferencia de pulso para el sistema está dada por :

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺 𝑆

𝑆 = 1 − 𝑧−1 ℑ

3

𝑆2(𝑆 + 5)

Con un periodo de muestreo 𝑇 = 1 𝑠 se obtiene:

𝐻𝐺 𝑧 =0.4808(𝑧 + 0.2394)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.00673)

La función de transferencia en lazo cerrado es:


𝑅(𝑧)=

𝐾. 𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐾. 𝐻𝐺(𝑧)


𝑅(𝑧)=

0.4808𝐾(𝑧 + 0.2394)

𝑧 − 1 𝑧 − 0.00673 + 0.4808𝐾(𝑧 + 0.2394)



La ecuación característica del sistema es:

𝑧 − 1 𝑧 − 0.00673 + 0.4808𝐾 𝑧 + 0.2394 = 0

Reorganizando términos:

𝑧2 − 1.00673 − 0.4808𝐾 𝑧 + 0.00673 + 0.1151𝐾 = 0

Número de condiciones: 𝑛 + 1 = 3

1. 𝑄 1 = 1 − 1.00673 − 0.4808𝐾 + 0.00673 + 0.1151𝐾 > 0

0.5959𝐾 > 0 𝐾 > 0

2. −1 2𝑄 −1 = 1 − 1.00673 − 0.4808𝐾 −1 + 0.00673 + 0.1151𝐾 > 0

2.01346 − 0.3657𝐾 > 0 𝐾 < 5.5

3. 𝑎0 < 𝑎𝑛 0.00673 + 0.1151𝐾 < 1

−8.7446 < 𝐾 < 8.6296

Los resultados obtenidos indican que el sistema es estable si: 0 < 𝐾 < 5.5

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH PARA SISTEMAS DISCRETOS


Un método muy utilizado en el análisis de estabilidad de sistemas discretos es el

uso de la transformación bilineal junto con el criterio de Routh. La transformación

bilineal permite transformar el plano 𝑧 en otro plano 𝑤 y está definida por:

𝑧 =1 +

𝑇𝑤2

1 −𝑇𝑤2

𝑤 =2

𝑇 𝑧 − 1

𝑧 + 1

Lo cual posibilita transformar la ecuación característica:

𝑄 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧

𝑛−2 + ⋯𝑎1𝑧 + 𝑎0 = 0 𝑎𝑛 > 0

En otra ecuación característica de la forma:

𝑄 𝑤 = 𝛼𝑛𝑤𝑛 + 𝛼𝑛−1𝑤𝑛−1 + ⋯𝛼1𝑤 + 𝛼0

Así, el arreglo de Routh toma la forma:

𝑤𝑛

𝑤𝑛−1

𝑤𝑛−2

𝑤𝑛−3

⋮𝑤2

𝑤1

𝑤0

𝛼𝑛 𝛼𝑛−2 𝛼𝑛−4 ⋯𝛼𝑛−1 𝛼𝑛−3 𝛼𝑛−5 ⋯𝑏1 𝑏2 𝑏3 …𝑐1 𝑐2 𝑐3 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑝1 𝑝2

𝑞1

𝑟1

COEFICIENTES DEL ARREGLO DE ROUTH

En donde:

𝑏1 =(𝛼𝑛−1)(𝛼𝑛−2) − 𝛼𝑛 (𝛼𝑛−3)

𝛼𝑛−1 𝑐1 =

𝑏1 𝛼𝑛−3 − 𝑏2 (𝛼𝑛−1)

𝑏1

𝑏2 =(𝛼𝑛−1)(𝛼𝑛−4) − 𝛼𝑛 (𝛼𝑛−5)

𝛼𝑛−1 𝑐2 =

𝑏1 𝛼𝑛−5 − 𝑏3 (𝛼𝑛−1)

𝑏1

𝑏3 =(𝛼𝑛−1)(𝛼𝑛−6) − 𝛼𝑛 (𝛼𝑛−7)

𝛼𝑛−1 . . . . . . .

El criterio de Routh-Hurwist establece que: el sistema es estable sí y solo sí todos

los coeficientes de la primera columna del arreglo son positivos.

“El número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual

al número de cambios de signo que se presentan en los coeficientes de la primera

columna del arreglo”.


EJEMPLO ESTABILIDAD SEGÚN CRITERIO DE ROUTH

Determinar el valor de 𝐾 para el cual el sistema de control discreto de la figura es

estable. 𝐻(𝑆) es un retenedor de orden cero. Periodo de muestreo 𝑇 = 2 𝑠.


SOLUCIÓN: Como la función de transferencia del proceso presenta retardo, es

necesario trabajar con la transformada 𝑧 modificada. Por lo tanto:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−𝑁ℑ𝑚 𝐺𝑝 𝑆

𝑆 𝐺𝑝 (𝑆) =

5𝑒−3𝑆

10𝑆 + 1

𝑁 =

𝜃 ′

𝑇=

3

2= 1 (𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎)

𝜃 = 𝜃 ′ − 𝑁𝑇 = 3 − 2 𝜃 = 1

𝑚 = 1 −𝜃

𝑇= 1 −

1

2 𝑚 = 0.5

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−1ℑ𝑚 5

𝑆 10𝑆 + 1 =

5(𝑧 − 1)

𝑧2ℑ𝑚

0.1

𝑆 𝑆 + 0.1



ℑ𝑚 𝑎

𝑆(𝑆 + 𝑎) =

1

𝑧 − 1−

𝑒−𝑎𝑚𝑇

𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇 𝐻𝐺 𝑧 =

5(𝑧 − 1)

𝑧2

1

𝑧 − 1−

0.9048

𝑧 − 0.8187

𝐻𝐺 𝑧 =0.476(𝑧 + 0.9044)

𝑧2(𝑧 − 0.8187)

Utilizando la transformación bilineal con 𝑇 = 2 𝑠, se obtiene:

𝐻𝐺 𝑤 =0.476

1 + 𝑤1 − 𝑤 + 0.9044

1 + 𝑤1 − 𝑤

2

1 + 𝑤1 − 𝑤 − 0.8187

𝐻𝐺 𝑤 =0.025 1 − 𝑤 2(𝑤 + 19.9205)

1 + 𝑤 2(𝑤 + 0.09968)

La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:

𝐺𝑤 𝑤 =𝐾. 𝐻𝐺(𝑤)

1 + 𝐾. 𝐻𝐺(𝑤)

La ecuación característica es: 1 + 𝐾. 𝐻𝐺 𝑤 = 0

1 +0.025 1 − 𝑤 2(𝑤 + 19.9205)

1 + 𝑤 2(𝑤 + 0.09968)= 0



1 + 0.025𝐾 𝑤3 + 2.0996 + 0.448𝐾 𝑤2 + 1.1993 − 0.971𝐾 𝑤 + 0.0996 + 0.498𝐾 = 0

El arreglo de Routh para la ecuación anterior es:

𝑤3

𝑤2

𝑤1

𝑤0

1 + 0.025𝐾 1.1993 − 0.971𝐾2.0996 + 0.448𝐾 0.0996 + 0.498𝐾

2.4184 − 2.006𝐾 − 0.446𝐾2

2.0996 + 0.448𝐾0

0.0996 + 0.498𝐾

Para que el sistema sea estable, se debe cumplir:

1 + 0.025𝐾 > 0 𝐾 > −40

2.0996 + 0.448𝐾 > 0 𝐾 > −4.686

2.4184 − 2.006𝐾 − 0.446𝐾2

2.0996 + 0.448𝐾> 0 𝐾 < 0.998

0.0996 + 0.498𝐾 > 0 𝐾 > −0.2

Considerando los resultados anteriores, se deduce que el sistema es estable si:

−0.2 < 𝐾 < 0.988


La frecuencia de oscilación para 𝐾 = 0.988 se puede determinar a partir de la fila

de 𝑤2 en el arreglo. En esta fila, se reemplaza 𝐾 y se resuelve la ecuación resultante

para 𝑤𝑤 , cuyo valor corresponde a la parte imaginaria de 𝑤.

Para el caso del ejemplo que se analiza, la ecuación para evaluar a 𝑤𝑤 es:

2.0996 + 0.448(0.988) 𝑤𝑤2 + 0.0996 + 0.498 0.988 = 0

2.542𝑤𝑤2 + 0.591 = 0 𝑤𝑤 = ±𝑗0.482

Si se desea hallar la frecuencia real 𝑤 en el plano 𝑆 se debe utilizar la ecuación:

𝑤𝑤 =2

𝑇tan

𝑤𝑇

2

𝑤 =2

𝑇tan−1

𝑤𝑤𝑇

2 𝑤 =

2

2tan−1

0.482 ∗ 2

2 𝑤 = 0.449 𝑟𝑎𝑑/𝑠


ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE


Con frecuencia, las características de funcionamiento del sistema se especifican en

función de su respuesta transitoria ante un escalón unitario, ya que éste tipo de

entrada es fácil de generar y permite obtener información útil del sistema.

La figura muestra las especificaciones de respuesta transitoria, de un sistema de

segundo orden subamortiguado, ante una entrada en escalón unitario.

ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIATiempo de retardo (𝒕𝒅): Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema

alcance por primera vez, el 50% de su valor final.

𝑡𝑑 =1 + 0.7𝜉

𝑤𝑛 0 < 𝜉 < 1

𝑡𝑑 =1.1 + 0.125𝜉 + 0.46𝜉2

𝑤𝑛 0 < 𝜉 < 1

Tiempo de crecimiento (𝒕𝒓): Es el tiempo que requiere la respuesta al escalón

para pasar del 10% al 90% de su valor final.

𝑡𝑟 =0.8 + 2.5𝜉

𝑤𝑛 0 < 𝜉 < 1

𝑡𝑟 =1 − 0.4167𝜉 + 2.9𝜉2

𝑤𝑛 0 < 𝜉 < 1

Tiempo de pico (𝒕𝒑): Es el tiempo necesario para que la respuesta al escalón

alcance su máximo sobreimpulso.

𝑡𝑝 =𝜋

𝑤𝑛 1 − 𝜉2 0 < 𝜉 < 1


ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIAMáximo sobreimpulso (𝑴𝒑): Es el valor máximo de la curva de respuesta al

escalón medido partir del valor de estado estable.

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 =𝑐 𝑡𝑝 − 𝑐(∞)

𝑐(∞)∗ 100%

En donde 𝑐(𝑡𝑝) representa el valor máximo alcanzado por la respuesta y 𝑐(∞)

representa el valor de estado estable de la misma. En términos de 𝜉 y 𝑤𝑛 el valor

del máximo sobreimpulso está dado por:

𝑀𝑝 = 𝑒−𝜋𝜉 1−𝜉2 0 < 𝜉 < 1

Tiempo de establecimiento (𝒕𝒔): Es el tiempo requerido para que la curva de

respuesta al escalón alcance y se quede variando, alrededor de su valor final dentro

2% del valor absoluto de su valor final.

𝑡𝑠 =4

𝜉𝑤𝑛 0 < 𝜉 < 1

Para sistemas con 𝜉 ≥ 1, el tiempo de establecimiento está dado por:

𝑡𝑠 =8𝜉

𝑤𝑛 𝜉 ≥ 1


ERROR EN ESTADO ESTABLE EN SISTEMAS DISCRETOS


Para el sistema de control de la figura, la señal de error 𝑒(𝑡), está dada por:

𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡

Tomando la transformada 𝑧 se obtiene:

𝐸 𝑧 = 𝑅 𝑧 − 𝐶 𝑧

La función de transferencia de pulso de lazo cerrado para el sistema es:


𝑅(𝑧)=

𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐻𝐺(𝑧)

Al despejar 𝐶(𝑧) y llevar el resultado a la ecuación de 𝐸(𝑧) se obtiene:

𝐸 𝑧 = 𝑅 𝑧 −𝐻𝐺 𝑧 . 𝑅 𝑧

1 + 𝐻𝐺 𝑧 𝐸 𝑧 =

𝑅(𝑧)

1 + 𝐻𝐺(𝑧)

El error de estado estable se puede evaluar aplicando el teorema del valor final:

𝑒𝑠𝑠 𝑘𝑇 = lim𝑧→1

𝑧 − 1 𝐸 𝑧 = lim𝑧→1

𝑧 − 1 𝑅 𝑧

1 + 𝐻𝐺 𝑧

ERROR DE ESTADO ESTABLE ANTE DIFERENTES ENTRADAS


Entrada escalón: Para una entrada en escalón 𝑟(𝑡) = 𝐴 se tiene:

𝑅(𝑧) =𝐴𝑧

𝑧 − 1


𝑧 − 1 𝐴𝑧

𝑧 − 1 (1 + 𝐻𝐺(𝑧) = lim

𝑧→1

𝐴

1 + 𝐻𝐺(𝑧)

Se define la Constante de error de posición estática como:

𝑘𝑝 = lim𝑧→1

𝐻𝐺 𝑧 = lim𝑧→1

(𝐹𝑇𝐿𝐴) 𝑒𝑠𝑠 =𝐴

1 + 𝑘𝑝

Entrada rampa: Para una entrada rampa 𝑟(𝑡) = 𝐴𝑡 se tiene:

𝑅 𝑧 =𝐴𝑇𝑧

𝑧 − 1 2


𝑧 − 1 𝐴𝑇𝑧

𝑧 − 1 2 1 + 𝐻𝐺(𝑧) = lim

𝑧→1

𝐴𝑇

𝑧 − 1 𝐻𝐺(𝑧)

Si se define la Constante de error de velocidad estática como:

𝑘𝑣 =1

𝑇lim𝑧→1

𝑧 − 1 𝐻𝐺 𝑧 =1

𝑇lim𝑧→1

𝑧 − 1 . 𝐹𝑇𝐿𝐴 𝑒𝑠𝑠 𝑘𝑇 =𝐴

𝑘𝑣

ERROR DE ESTADO ESTABLE ANTE DIFERENTES ENTRADAS


𝑻𝒊𝒑𝒐 𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍ó𝒏 𝑹𝒂𝒎𝒑𝒂 𝑷𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂

0 𝐴

1 + 𝑘𝑝

∞ ∞

1 0𝐴

𝑘𝑣

∞

2 0 0𝐴

𝑘𝑎

Entrada parábola: Para una entrada parábola 𝑟 𝑡 = 𝐴𝑡2 2 , se tiene:

𝑅 𝑧 =𝐴𝑇2(𝑧 + 1)

2(𝑧 − 1)3

Si se define la Constante de error de aceleración estática como:

𝑘𝑎 =1

𝑇2lim𝑧→1

𝑧 − 1 2. 𝐹𝑇𝐿𝐴 𝑒𝑠𝑠 𝑘𝑇 =𝐴

𝑘𝑎

La función de transferencia en lazo abierto 𝐻𝐺(𝑧) se puede escribir en la forma:

𝐻𝐺 𝑧 =𝑘 (𝑧 − 𝑧𝑖)

(𝑧 − 1)𝑁 (𝑧 − 𝑝𝑖)

𝑁 indica el tipo del sistema y representa el número de integradores. 𝑁 = 0 Sistema

tipo cero, 𝑁 = 1 Sistema tipo 1, para 𝑁 = 2 el sistema es tipo 2, etc.

EJEMPLO RESPUESTA Y ERROR DE ESTADO ESTABLE


Considerando el sistema de control de lazo cerrado que se muestra en la figura

Calcular a) La respuesta 𝑐(𝑘𝑇) del sistema ante una entrada en escalón unitario

con 𝐷(𝑧) = 1 y 𝑇 = 0.5 𝑠. b) La respuesta 𝑐(𝑡) del sistema continúo al escalón

unitario (es decir, removiendo el muestreador, el controlador digital y el retenedor).

c) Calcular el error de estado estable del sistema discreto ante entradas escalón,

rampa y parábola unitarias.

𝐺𝑝 𝑆 =0.5

𝑆 + 0.5

SOLUCIÓN: a) La función de transferencia de pulso para la planta es:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺 𝑆

𝑆 = 1 − 𝑧−1 ℑ

0.5

𝑆(𝑆 + 0.5) =

0.2212

𝑧 − 0.7788

CONTINUACION EJEMPLO


La función de transferencia de lazo cerrado es:


𝑅(𝑧)=


1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)=

0.2212

𝑧 − 0.5576

Si la entrada es un escalón unitario:

𝑅 𝑧 =𝑧

𝑧 − 1 y 𝐶 𝑧 = 𝐺𝑤 𝑧 . 𝑅(𝑧)

𝐶 𝑧 =0.2212𝑧

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.5576)

Si se expande 𝐶(𝑧)/𝑧 en fracciones parciales se obtiene, al despejar 𝐶(𝑧):

𝐶 𝑧 =0.5𝑧

𝑧 − 1−

0.5𝑧

𝑧 − 0.5576 𝑐 𝑘𝑇 = 0.5 − 0.5(0.5576)𝑘

b) La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema continuo es:

𝐺𝑤 𝑆 =𝐶(𝑆)

𝑅(𝑆)=

𝐺(𝑆)

1 + 𝐺(𝑆)=

0.5

𝑆 + 1

Si la entrada es un escalón unitario 𝑅(𝑆) = 1/𝑆 y 𝐶(𝑆) = 𝐺𝑤(𝑆). 𝑅(𝑆) es decir:



𝐶 𝑆 = 𝐺𝑤 𝑆 𝑅 𝑆 =0.5

𝑆(𝑆 + 1)=

0.5

𝑆−

0.5

𝑆 + 1 𝑐 𝑡 = 0.5 − 0.5𝑒−𝑡

c) El error actuante de estado estable ante una entrada en escalón es:

𝑒𝑠𝑠 =𝐴

1 + 𝑘𝑝 𝑘𝑝 = lim

𝑧→1(𝐹𝑇𝑃𝐿𝐴)

𝑘𝑝 = lim𝑧→1

0.2212

𝑧 − 0.7788 = 1 𝑒𝑠𝑠 =

1

1 + 1 𝑒𝑠𝑠 = 0.5

El error actuante de estado estable para una entrada rampa es:

𝑒𝑠𝑠 =𝐴

𝑘𝑣 𝑘𝑣 =

1

𝑇lim𝑧→1

(𝑧 − 1) 𝐹𝑇𝑃𝐿𝐴

𝑘𝑣 =1

0.5lim𝑧→1

(𝑧 − 1)0.2212

𝑧 − 0.7788 = 0 𝑒𝑠𝑠 =

1

0 𝑒𝑠𝑠 = ∞

El error actuante de estado estable para una entrada parábola es:

𝑒𝑠𝑠 =𝐴

𝑘𝑎 𝑘𝑎 =

1

𝑇2lim𝑧→1

(𝑧 − 1)2 𝐹𝑇𝑃𝐿𝐴

𝑘𝑎 =1

0.25lim𝑧→1

(𝑧 − 1)20.2212

𝑧 − 0.7788 = 0 𝑒𝑠𝑠 =

1

0 𝑒𝑠𝑠 = ∞

EJEMPLOPara el sistema de control discreto de lazo cerrado mostrado en la figura hallar: a)

La constante de tiempo para 𝑇 = 0.5 𝑠 b) El tiempo requerido para que la respuesta

del sistema, a una entrada en escalón, alcance el 98% de su valor final. c) Repita

las partes a y b para el sistema continuo, es decir, si se remueven el retenedor, y

el controlador digital.


𝐺𝑝 𝑆 =0.5

𝑆 + 0.5

SOLUCIÓN: a) La función de transferencia de pulso para la planta es:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺 𝑆

𝑆 = 1 − 𝑧−1 ℑ

0.5

𝑆(𝑆 + 0.5) =

0.2212

𝑧 − 0.7788

La función de transferencia de lazo cerrado es:


𝑅(𝑧)=


1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)=

0.2212

𝑧 − 0.5576



La ubicación de un polo en el plano 𝑧 está dada por:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛 𝑇 𝜃 = 57.3𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2

De las ecuaciones anteriores se obtiene:

𝜉𝑤𝑛 = −ln 𝑧

𝑇 pero: 𝜏 =

1

𝜉𝑤𝑛= −

𝑇

ln 𝑧

El sistema en lazo cerrado tiene un polo en 𝑧 = 0.5576, entonces:

𝜏 = −0.5

ln 0.5576 𝜏 = 0.856 𝑠.

b) El sistema alcanza el 98% del valor final de la respuesta al escalón cuando el

tiempo transcurrido es 𝑡 = 4𝜏, en este caso 𝑡 = 4 ∗ 0.856 𝑡 = 3.42 𝑠.

c) La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema continuo es:

𝐺𝑤 𝑆 =𝐺(𝑆)

1 + 𝐺(𝑆) 𝐺𝑤 𝑆 =

0.5

𝑆 + 1 𝜏 = 1 𝑠

RAICES DOMINANTES Y RAICES NO DOMINANTES


En el plano 𝑆, las raíces más cercanas al eje imaginario en el semiplano izquierdo

son las raíces dominantes. Las raíces que están más alejadas del eje imaginario

corresponden a raíces no dominantes.

En el plano 𝑧 las raíces dominantes están dentro del círculo unitario y más cercanas

a éste. Las raíces cercanas al origen del plano 𝑧 son raíces no dominantes.

Para el diseño se recomienda seleccionar las raíces dominantes con coeficiente de

amortiguamiento 𝜉 = 0.707 y ubicadas en la región derecha del círculo unitario.

La figura muestra las regiones en las que se recomienda ubicar las raíces.

MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES


El método del LGM de las raíces permite encontrar los polos de la función de

transferencia de lazo cerrado a partir de la función de transferencia de lazo abierto.

Condición de ángulo y condición de módulo: Para un sistema de control discreto

como el de la figura, la ecuación característica es:

1 + 𝐺𝐻 𝑧 = 0 𝐺𝐻 𝑧 = −1

Como 𝐺𝐻(𝑧) es una cantidad compleja, debe cumplir dos condiciones a saber:

Condición de ángulo: ∡𝐺𝐻 𝑧 = 𝜃 = ±180 2𝑞 + 1 𝑞 = 0, 1, 2, ⋯

Condición de módulo: 𝐺𝐻(𝑧) = 1

Los valores de 𝑧 que cumplen simultáneamente las dos condiciones, son las raíces

de la ecuación característica, es decir, son los polos de lazo cerrado del sistema.

EJEMPLO TRAZADO LGRPara el sistema de control discreto mostrado en la figura, a) Trazar el lugar

geométrico de las raíces para tiempo de muestreo 𝑇 = 1 𝑠. b) Para qué valor de

𝐾 el sistema tiene un polo de lazo cerrado en 𝑧 = 0.6967 ± 𝑗0.549.


SOLUCIÓN: la función de transferencia de pulso del sistema con 𝑡 = 1𝑠 es:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐾

𝑆2 𝑆 + 0.5 𝐻𝐺 𝑧 =

0.4261𝐾(𝑧 + 0.8467)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.6065)

La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:

𝐺𝑤 𝑧 =𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺(𝑧)=

𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐻𝐺(𝑧)

La ecuación característica del sistema es: 1 + 𝐻𝐺(𝑧) = 0 es decir:

1 + 𝐻𝐺 𝑧 = 1 +0.4261𝐾(𝑧 + 0.8467)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.6065)= 0


% Programa para obtener el LGR del ejemplo

clc

n=[1];

d=[1 0.5 0]; %Planta continua

[nd,dd]=c2dm(n,d,1,'zoh'); %Discretización con T=1 seg

x=0:0.1:2*pi;

figure(1)

plot(sin(x),cos(x),'.') %Dibuja el circulo unitario

hold

rlocus(nd,dd) %Grafica del lugar geométrico de las raíces

axis([-3 1.5 -2 2]) %Escala para los ejes


GRÁFICA DEL LGR DEL EJEMPLO


CÁLCULO DE LA GANANCIA PARA UN POLODETERMINADO

b) Para obtener el valor de la ganancia 𝐾 de modo que la ecuación característica

contenga un polo específico se procede así: polo deseado 𝑧 = 0.6967 ± 𝑗0.549.

1 +0.4261𝐾(𝑧 + 0.8467)

𝑧 − 1 (𝑧 − 0.6065)= 0

Reemplazando 𝑧 por 𝑧 = 0.6967 ± 𝑗0.549 en la ecuación característica resuta:

1 +0.4261𝐾 0.6967 + 𝑗0.549 + 0.8467

0.6967 + 𝑗0.549 − 1 0.6967 + 0.549 − 0.6065 = 0

1 +0.4261𝐾(1.5464 + 𝑗0.549)

(−0.3033 + 𝑗0.549)(0.0902 + 𝑗0.549)= 0

1 +0.65892𝐾 + 𝑗0.23392

−0.32875 − 𝑗0.11699= 0 𝐾 = 0.5


LGR (EJEMPLO 2)


Obtener el LGR al variar 𝐾 desde 0 hasta ∞ y hallar la ganancia crítica para el

sistema de control discreto cuya función de transferencia de lazo abierto es:

𝐻𝐺 𝑧 =0.5𝐾(𝑧 + 0.5)

𝑧 𝑧 − 0.8 (𝑧2 − 0.8𝑧 + 0.41)

% Programa para obtener el LGR del ejemplo

clc

nd=[0.5 0.25];

dd=[1 -1.6 1.05 -0.328 0]; %Planta discreta

x=0:0.1:2*pi;

figure(1)

plot(sin(x),cos(x),'.') %Dibuja el circulo unitario

hold

rlocus(nd,dd) %Grafica del lugar geométrico de las raíces

axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2]) %Escala para los ejes

GRÁFICA DEL LGR (EJEMPLO 2)


CÁLCULO DE LA GANACIA CRÍTICA (MÁXIMA)


El valor de la ganancia crítica se obtiene haciendo 𝐾𝐻𝐺(𝑧) = 1. En el punto en

donde se interceptan el LGR y el círculo unitario o sea 𝑧 = 0.821 + 𝑗0.587:

0.5𝐾(𝑧 + 0.5)

𝑧 𝑧 − 0.8 (𝑧2 − 0.8𝑧 + 0.41) 𝑧=0.821+𝑗0.587

= 1

0.5𝐾 0.821 + 𝑗0.587 + 0.5

0.821 + 𝑗0.587 (0.821 + 𝑗0.587 − 0.8) 0.821 + 𝑗0.587 2 − 0.8 0.821 + 𝑗0.587 + 0.41 = 1

0.5𝐾 1.321 + 𝑗0.587

0.821 + 𝑗0.587 (0.021 + 𝑗0.587) 0.0827 + 𝑗0.4942 = 1

0.5 ∗ 1.4455 ∗ 𝐾

1 ∗ 0.5873 ∗ 0.501= 1 𝐾 = 0.41

RESPUESTA EN FRECUENCIA: DIAGRAMAS DE BODE


Un diagrama de Bode consta de dos trazados, uno el diagrama del logaritmo del

módulo de la función de transferencia senoidal y el otro, el diagrama del ángulo de

fase. Los dos en función de la frecuencia en escala logarítmica.

Margen de ganancia (MG): es la magnitud del recíproco de la función de

transferencia de lazo abierto, calculada a la frecuencia de cruce de fase 𝑣𝜋 , mide

cuanto se puede incrementar la ganancia del sistema, antes que se haga inestable.

𝑀𝐺 =1

𝐺(𝑗𝑣𝜋) 𝑀𝐺 𝑑𝑏 = 20 log

1

𝐺(𝑗𝑣𝜋)

Frecuencia de cruce de fase (𝑣𝜋 ): Es la frecuencia a la cual el ángulo de fase de

la función de transferencia de lazo abierto alcanza −180º, es decir:

𝜃𝑐 = ∡𝐺 𝑗𝑣𝜋 = −180𝑜

Margen de fase (𝜙𝑃𝑀): Se define como la suma de 180º al ángulo 𝜃𝑐 , medido a la

frecuencia de cruce de ganancia.

𝜙𝑃𝑀 = 180𝑜 + 𝜃𝑐

MÁRGEN DE GANANCIA Y MARGEN DE FASEFrecuencia de cruce de ganancia (𝑣𝑐 ): Se define como la frecuencia a la cual la

magnitud de la función de transferencia de lazo abierto es igual a 1 es decir 0 db.

𝐺(𝑗𝑣𝑐) = 1 20 log 𝐺(𝑗𝑣𝑐) = 0

La figura indica cómo determinar, el margen de ganancia y el margen de fase.

Luis Edo García Jaimes Sistema estable Sistema inestable

EJEMPLO DIAGRAMA DE BODEPara el sistema de control digital de la figura con 𝑇 = 0.8 𝑠, obtener el diagrama de

Bode correspondiente para 𝐾 = 1 y determinar: a) El margen de ganancia y el

margen de fase. b) El valor crítico de 𝐾 para estabilidad del sistema.


SOLUCIÓN: utilizando la transformada 𝑧 modificada se obtiene:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−𝑁ℑ𝑚 𝐺𝑝 𝑆

𝑆

𝑁 =

𝜃′

𝑇=

0.8

0.8= 1

𝜃 = 𝜃′ − 𝑁𝑇 = 0

𝑚 = 1 −𝜃

𝑇= 1

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−1ℑ𝑚 2

𝑆 5𝑆 + 1 = 2 1 − 𝑧−1 𝑧−1ℑ𝑚

0.2

𝑆(𝑆 + 0.2)

𝐻𝐺 𝑧 =0.2957

𝑧(𝑧 − 0.8521)

PROGRAMA EN MATLAB PARA EL DIAGRAMA DE BODE

% Programa para obtener diagrama de Bode.

clc

n=[2];

d=[5 1];

[a,b,c,d]=tf2ss(n,d); % Obtención de variables de estado

[ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,0.8,0.8); % Discretiza sistemas con retardo

[nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd); % Función de transferecia de pulso

printsys(nd1,dd1,'z');

pause

w=0.01:0.05:3;

[mag,fase,w]=dbode(nd1,dd1,0.8,w);

imargin(mag,fase,w) % Calcula margen de ganancia y de fase


DIAGRAMA DE BODE PARA EL EJEMPLO


SINTONÍA DE CONTROLADORES DIGITALES


Los procedimientos de sintonía de controladores requieren del conocimiento de la

dinámica del proceso la cual se obtiene generalmente, por medio de un modelo

identificado mediante métodos experimentales.

Los pasos para la puesta en servicio del lazo de control se pueden resumir así:

Identificar el proceso a controlar (modelado).

Establecer las características de comportamiento deseadas para el sistema

de control realimentado (criterio de diseño).

Seleccionar el método de sintonía de controlador.

Calcular los parámetros del controlador.

Analizar el comportamiento del lazo de control con el modelo (simulación).

verificar la función de transferencia del controlador a sintonizar.

ajustar el controlador (parametrizacion).

verificar el comportamiento del controlador en el proceso real.

APROXIMACIÓN DISCRETA DE LOS MODOS DE CONTROL P, PI Y PID

Control Proporcional (P): Este tipo de controlador genera una salida que es

proporcional al error actuante. En el control proporcional existe una relación lineal

entre el valor de la variable controlada y la posición del elemento final de control.

La ecuación de un controlador proporcional continuo está dada por:

𝑚 𝑡 = 𝐾𝑐𝑒 𝑡 + 𝑀0

𝑚(𝑡) = Salida del controlador.

𝑒(𝑡) = Señal de error actuante.

𝐾𝐶 =Ganancia del controlador. (Parámetro de ajuste).

𝑀0 = Salida del controlador para error nulo.

La forma discreta de la ecuación del controlador P es:

𝑚 𝑘 = 𝐾𝑐𝑒 𝑘 + 𝑀0

La función de transferencia del controlador P es:


𝐸(𝑧)= 𝑞𝑜 𝑞𝑜 = 𝐾𝑐




Control Proporcional más Integral (PI): En este controlador, la señal de salida

experimenta un salto inicial proporcional al error actuante y a continuación presenta

una variación gradual a una velocidad proporcional al error.

La ecuación de un controlador proporcional más integral continuo está dada por:

𝑚 𝑡 = 𝐾𝑐 𝑒 𝑡 +1

𝜏𝑖න𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑀𝑜

𝐾𝑐 = Ganancia del controlador. (Parámetro de ajuste).

𝜏𝑖 =Tiempo Integral en min/repetición o repeticiones/min. (Parámetro de ajuste).

La forma discreta de la ecuación del controlador PI es:

𝑚 𝑘 = 𝑞𝑜𝑒 𝑘 + 𝑞1𝑒 𝑘 − 1 + 𝑚 𝑘 − 1

𝑞𝑜 = 𝐾𝑐 1 +𝑇

2𝜏𝑖

𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −𝑇

2𝜏𝑖

La función de transferencia de pulso del controlador PI es:


𝐸(𝑧)=

𝑞𝑜 + 𝑞1𝑧−1

1 − 𝑧−1=

𝑞𝑜𝑧 + 𝑞1

𝑧 − 1


Control Proporcional más Integral más Derivativo (PID): La ecuación de un

controlador PID continuo es:.

𝑚 𝑡 = 𝐾𝑐 𝑒 𝑡 +1

𝜏𝑖න𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜏𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡 + 𝑀𝑜

𝐾𝑐 = Ganancia del controlador. (Parámetro de ajuste)

𝜏𝑖 =Tiempo integral en min/repetición o repeticiones/min. (Parámetro de ajuste).

𝜏𝑑 =Tiempo derivativo en min. (Parámetro de ajuste).

La forma discreta de la ecuación del controlador PID es:

𝑚 𝑘 = 𝑞𝑜𝑒 𝑘 + 𝑞1𝑒 𝑘 − 1 + 𝑞2𝑒 𝑘 − 2 − 𝑚 𝑘 − 1

La función de transferencia del controlador PID es:


𝐸(𝑧)=

𝑞𝑜 + 𝑞1𝑧−1 + 𝑞2𝑧

−2

1 − 𝑧−1=

𝑞𝑜𝑧2 + 𝑞1𝑧 + 𝑞2

𝑧(𝑧 − 1)


2𝜏𝑖+

𝜏𝑑

𝑇 𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −

𝑇

2𝜏𝑖+

2𝜏𝑑

𝑇 𝑞2 =

𝐾𝑐𝜏𝑑

𝑇


PONDERACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES P, PI Y PID


Factor de peso: El controlador genera una señal de control como respuesta a un

error. Es posible manipular el valor del error introduciendo un factor de peso con

el fin de mejorar la respuesta del sistema de manera que tenga menor sobreimpulso

ante los cambios en el valor de la referencia sacrificando en parte su velocidad de

respuesta, pero obteniendo más flexibilidad para satisfacer los compromisos de

diseño. Para casos prácticos se recomienda considerar los siguientes valores

para 𝐾𝐶:

𝐾𝐶 = 𝐾𝐶 Para controladores rápidos

𝐾𝐶 = 0.75 ∗ 𝐾𝐶 Para controladores moderados

𝐾𝐶 = 0.5 ∗ 𝐾𝐶 Para controladores lentos

AJUSTE DE CONTROLADORES P, PI Y PID POR GANANCIA LÍMITE

Para determinar los parámetros de ajuste del controlador utilizando este método se

trabaja con el sistema en lazo cerrado es decir, con el controlador en automático y

se procede experimentalmente así:

a) Eliminar las acciones integral y derivativa del controlador, es decir trabajar con

el controlador como proporcional únicamente.

b) Con el controlador en automático, colocar una ganancia pequeña e irla

incrementando paso a paso hasta que el sistema empiece a oscilar con amplitud

constante. Se anota el valor de la ganancia 𝐾𝑢 con la cual se produce la oscilación.

Esta ganancia se denomina ganancia última.

c) En la gráfica que se obtiene de la variable con el registrador o con los datos

adquiridos en el proceso, se mide el período de oscilación o período último 𝑇𝑢 Luis Edo García Jaimes

GANANCIA LÍMITE

Una vez estimados la ganancia última (𝐾𝑢 ) y el periodo último (𝑇𝑢 ), se utiliza la tabla

adjunta para calcular los parámetros de ajuste del controlador.


𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑲𝒄 𝝉𝒊 𝝉𝒅

𝑃 0.5𝐾𝑢 − −

𝑃𝐼 0.45𝐾𝑢 0.83𝑇𝑢 −

𝑃𝐼𝐷 0.6𝐾𝑢 0.5𝑇𝑢 0.125𝑇𝑢

MÉTODO DE ZIEGLER-NICHOLS (CURVA DE REACCIÓN)

Ziegler y Nichols propusieron un método de ajuste de controladores asumiendo que

la función de transferencia de lazo abierto de la planta se puede aproximar a un

modelo de primer orden con retardo.

Entonces, dada la función de transferencia en lazo abierto:

𝐺𝑝 𝑆 =𝐾𝑒−𝜃 ′ 𝑆

𝜏𝑆 + 1

En donde 𝐾 es la ganancia, 𝜏 la constante de tiempo y 𝜃′ es el retardo, los

parámetros de ajuste del controlador se estiman a partir de la tabla (𝜃 = 𝜃′ + 𝑇 2)


𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑲𝒄 𝝉𝒊 𝝉𝒅

𝑷𝜏

𝐾𝜃− −

𝑷𝑰 0.9𝜏

𝐾𝜃3.33𝜃 −

𝑷𝑰𝑫 1.2𝜏

𝐾𝜃2𝜃 0.5𝜃

AJUSTE DE CONTROLADORES MEDIANTE CRITERIOS DE LA INTEGRAL DEL ERROR


Una de las exigencias que debe cumplir un sistema de control es la exactitud. Esto

implica que el error, es decir, la diferencia entre el Set-point y el valor de la variable

controlada se debe minimizar.

A continuación se presentan algunos índices de desempeño basados en integrales

del error y utilizados ampliamente en el diseño de sistemas de control.

Integral del valor absoluto del error: 𝐼𝐴𝐸 = 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡∞

0

Integral del cuadrado del error: 𝐼𝐶𝐸 = 𝑒2 𝑡 𝑑𝑡∞

0

Integral del error absoluto del error por el tiempo: 𝐼𝐴𝐸𝑇 = 𝑡 𝑒(𝑡) ∞

0𝑑𝑡

Integral del cuadrado del error por el tiempo: 𝐼𝐶𝐸𝑇 = 𝑡𝑒2∞

0 𝑡 𝑑𝑡

AJUSTE DE CONTROLADORES MEDIANTE CRITERIOS DE LA INTEGRAL DEL ERROR


𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷 𝑰𝑪𝑬 𝑰𝑨𝑬 𝑰𝑨𝑬𝑻

𝐾𝑐 =𝑎

𝐾

𝜃

𝜏

𝑏 𝑎 = 1.411

𝑏 = −0.917

0.902

−0.985

0.940

−1.084

𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷𝑰 𝑰𝑪𝑬 𝑰𝑨𝑬 𝑰𝑨𝑬𝑻

𝐾𝑐 =𝑎

𝐾

𝜃

𝜏

𝑏 𝑎 = 1.305

𝑏 = −0.959

0.984

−0.986

0.859

−0.977

𝜏𝑖 =𝜏

𝑎

𝜃

𝜏

𝑏 𝑎 = 0.492

𝑏 = 0.739

0.608

0.707

0.674

0.680

Ajustes para el controlador PI. 𝜃 = 𝜃′ + 𝑇 2Ajustes para el controlador P. 𝜃 = 𝜃′ + 𝑇 2

𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷𝑰𝑫 𝑰𝑪𝑬 𝑰𝑨𝑬 𝑰𝑨𝑬𝑻

𝐾𝑐 =𝑎

𝐾

𝜃

𝜏

𝑏 𝑎 = 1.495

𝑏 = −0.945

1.435

−0.921

1.357

−0.947

𝜏𝑖 =𝜏

𝑎

𝜃

𝜏

𝑏 𝑎 = 1.101

𝑏 = 0.771

0.878

0.749

0.842

0.738

𝜏𝑑 = 𝑎𝜏𝜃

𝜏

𝑏 𝑎 = 0.560

𝑏 = 1.006

0.482

1.137

0.381

0.995

Si el sistema se puede aproximar a un modelo de primer orden con retardo

𝐺𝑝 𝑆 =𝐾𝑒−𝜃 ′ 𝑆

𝜏𝑆 + 1

Ajustes para el controlador PID. 𝜃 = 𝜃′ + 𝑇 2

EJEMPLO


La función de transferencia de lazo abierto de un sistema térmico resultó ser:

𝐺𝑝 𝑆 =2.38𝑒−0.45𝑆

1.39𝑆 + 1

Obtener para este sistema: a) Un controlador PI por ganancia límite. b) Un

controlador PI utilizando el método de Ziegler-Nichols. c) Un controlador PI a partir

del método de la integral IAE. (Los tiempos están en min.) .

SOLUCIÓN: Para calcular los controladores es necesario estimar, inicialmente, el

período de muestreo adecuado. Prescindiendo del tiempo de retardo, la función de

transferencia de lazo cerrado es:

𝐺𝑤 𝑆 =𝐺𝑝(𝑆)

1 + 𝐺𝑝(𝑆)=

0.704

0.411𝑆 + 1 𝜏𝑒𝑞 = 0.411 𝑚𝑖𝑛

El periodo de muestreo se puede seleccionar dentro del intervalo:

0.2 𝜏𝑒𝑞 + 𝜃′ ≤ 𝑇 ≤ 0.6 𝜏𝑒𝑞 + 𝜃′

0.2 0.411 + 0.45 ≤ 𝑇 ≤ 0. 0.411 + 0.45 𝑇 = 0.32 𝑚𝑖𝑛

a) CONTROLADOR PI POR GANANCIALÍMITE


a) Control PI por ganancia límite: se deben calcular 𝐾𝑢 y 𝑇𝑢 .Las expresiones para

evaluar la magnitud y el ángulo de fase del sistema continuo son respectivamente:

𝐺𝑝(𝑗𝑤) =2.38

1.932𝑤2 + 1 𝜃 = −25.8𝑤 − tan−1(1.39𝑤)

El margen de ganancia se calcula con 𝑤𝜋 cuando 𝜃 = −180𝑜 es decir:

−180𝑜 = −25.8𝑤𝜋 − tan−1 1.39𝑤𝜋 𝑤𝜋 = 3.89 𝑟𝑎𝑑/𝑚𝑖𝑛

𝑀𝐺 =1

𝐺𝑝(𝑗𝑤𝜋) =

2.38

1.932 ∗ 3.892 + 1 𝑀𝐺 = 0.432

𝐾𝑢 =1

𝑀𝐺 𝑇𝑢 =

2𝜋

𝑤𝜋

𝐾𝑢 =1

0.432= 2.31 𝑇𝑢 =

2𝜋

3.89 𝑟𝑎𝑑/𝑚𝑖𝑛= 1.61 𝑚𝑖𝑛

Con los resultados obtenidos, los parámetros para el ajuste del controlador PI son:

𝐾𝑐 = 0.45𝐾𝑢 = 1.0395 𝜏𝑖 = 0.83𝑇𝑢 = 1.336 𝑚𝑖𝑛

CONTROLADOR PI POR GANANCIA LÍMITE (CONT)Los parámetros del controlador PI discreto se obtienen con las ecuaciones:


2𝜏𝑖 = 1.0395 1 +

0.32

2 ∗ 1.336 = 1.164

𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −𝑇

2𝜏𝑖 = −1.0395 1 −

0.32

2 ∗ 1.336 − 0.915

La ecuación del controlador PI es: 𝐷 𝑧 =𝑀(𝑧)

𝑈(𝑧)=

𝑞𝑜𝑧+𝑞1

𝑧−1


𝐸(𝑧)=

1.164 − 0.915𝑧−1

1 − 𝑧−1=

1.164𝑧 − 0.915

𝑧 − 1


b) CONTROLADOR PI UTILIZANDO ZIEGLER- NICHOLS


De la función de transferencia del sistema se obtiene: = 1.39 𝑚𝑖𝑛, 𝜃′ = 0.45 𝑚𝑖𝑛

y 𝐾 = 2.38. Según la tabla de Ziegler-Nichols y con = 𝜃′ + 𝑇/2 = 0.61 𝑚𝑖𝑛.

𝐾𝑐 =0.9𝜏

𝐾𝜃=

0.9 ∗ 1.39

2.38 ∗ 0.61= 0.8616 𝜏𝑖 = 3.33𝜃 = 3.33 ∗ 0.61 = 2.031 𝑚𝑖𝑛


2𝜏𝑖 = 0.8616 1 +

0.32

2 ∗ 3.031 = 0.9294

𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −𝑇

2𝜏𝑖 = −0.8616 1 −

0.32

2 ∗ 3.031 = −0.7937

∴ 𝐷 𝑧 =𝑀(𝑧)

𝐸 𝑧 =

0.9294 − 0.7937𝑧−1

1 − 𝑧−1=

0.9294𝑧 − 0.7937

𝑧 − 1

C) CONTROLADOR PI UTILIZANDO EL CRITERIO IAE


De tablas y con 𝜏 = 1.39𝑚𝑖𝑛, 𝜃′ = 0.45 𝑚𝑖𝑛 , 𝐾 = 2.38 y 𝜃 = 𝜃′ + 𝑇 2 = 0.61 𝑚𝑖𝑛:

𝐾𝑐 =𝑎

𝐾 𝜃

𝜏 𝑏

=0.984

2.38 0.61

1.39 −0.986

𝐾𝑐 = 0.9313

𝜏𝑖 =𝜏

𝑎 𝜃

𝜏 𝑏

=1.39

0.608 0.61

1.39

0.707

𝜏𝑖 = 1.277 𝑚𝑖𝑛


2𝜏𝑖 = 1.0479 𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −

𝑇

2𝜏𝑖 = −0.8146


𝐸 𝑧 =

1.0479 − 0.8146𝑧−1

1 − 𝑧−1=

1.0479𝑧 − 0.8146

𝑧 − 1

DISEÑO DE CONTROLADORES PI Y PID POR CANCELACIÓN DE CEROS Y POLOS


Este método consiste en obtener los parámetros del controlador cancelando ceros

del controlador con polos de la planta. Para llevar a cabo el diseño, se asume que

las funciones de transferencia de los controladores son:

Controlador PI


𝐸(𝑧)=

𝐾𝑖𝑇 + 2𝐾𝑐 𝑧 +𝐾𝑖𝑇 − 2𝐾𝑐

𝐾𝑖𝑇 + 2𝐾𝑐

2(𝑧 − 1)

Controlador PID


𝐸(𝑧)=

𝐾𝑖𝑇2 + 2𝐾𝑑 + 2𝐾𝑐𝑇 𝑧2 +

𝐾𝑖𝑇2 − 2𝐾𝑐𝑇 − 4𝐾𝑑

𝐾𝑖𝑇2 + 2𝐾𝑑 + 2𝐾𝑐𝑇

𝑧 +2𝐾𝑑

𝐾𝑖𝑇2 + 2𝐾𝑑 + 2𝐾𝑐𝑇

2𝑇𝑧(𝑧 − 1)

En donde: 𝐾𝑐 =ganancia proporcional, 𝐾𝑖 =ganancia integral 1 𝜏𝑖 , 𝐾𝑑 =tiempo

derivativo y 𝑇 = periodo de muestreo.

PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DEL CONTROLADOR


a) Seleccionar inicialmente un error de estado estable 𝑒𝑠𝑠 adecuado. Esto permite

calcular el parámetro 𝐾𝑖

b) Controlador PI: se cancela el cero del controlador con un polo de la planta.

Esto permite calcular el parámetro 𝐾𝑐 .

c) Controlador PID: Se cancelan los dos ceros del controlador con dos polos de

la planta. Esto permite calcular los parámetros 𝐾𝑐 y 𝐾𝑑 .

Los errores de estado estable para escalón, rampa y parábola unitarias, son:

Para entrada escalón:

𝑒𝑠𝑠 =1

1 + 𝐾𝑝 𝐾𝑝 = lim

𝑧→1𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧) 𝐾𝑝 = Coeficiente de error de posición

Para entrada rampa:

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾𝑣 𝐾𝑣 =

1

𝑇lim𝑧→1

𝑧 − 1 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧) 𝐾𝑣 = Coeficiente de error de velocidad

Para entrada parábola:

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾𝑎 𝐾𝑎 =

1

𝑇2lim𝑧→1

𝑧 − 1 2 𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧 𝐾𝑎 = Coeficiente de error de aceleración

EJEMPLO CANCELACIÓN CEROS Y POLOSPara el sistema de control de la figura, diseñar un controlador PI por cancelación

de ceros y polos. La función de transferencia de la planta es:

𝐺𝑝 𝑆 =0.5

𝑆 + 0.1 (𝑆 + 0.4)


SOLUCIÓN: El diseño debe comenzar con la selección adecuada del periodo de

muestreo, calculando la constante de tiempo del sistema continuo en lazo cerrado.

𝐺𝑤 𝑆 =𝐺𝑝(𝑆)

1 + 𝐺𝑝(𝑆)=

0.5

𝑆2 + 0.5𝑆 + 0.54 𝜏𝑒𝑞 = 4 𝑠.

El periodo de muestreo se selecciona con el criterio de la constante de tiempo:

0.2(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃′) ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃′ ). Se toma 𝑇 = 2 𝑠, entonces:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 ℑ 𝐺𝑝 𝑆

𝑆 = (1 − 𝑧−1)ℑ

0.5

𝑆 𝑆 + 0.1 (𝑆 + 0.4)

EJEMPLO CONTINUACIÓN


𝐻𝐺 𝑧 =0.7267𝑧 + 0.5211

𝑧2 − 1.268𝑧 + 0.3679=

0.7267(𝑧 + 0.717)

𝑧 − 0.8185 (𝑧 − 0.4494)

Diseño del controlador: asumiendo un error de estado estable 𝑒𝑠𝑠 = 2 se obtiene:

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾𝑣 𝐾𝑣 =

1

𝑒𝑠𝑠 𝐾𝑣 =

1

𝑇lim𝑧→1

𝑧 − 1 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)

0.5 =1

𝑇lim𝑧→1

𝑧 − 1 𝐾𝑖𝑇 + 2𝐾𝑐 𝑧 +

𝐾𝑖𝑇 − 2𝐾𝑐

𝐾𝑖𝑇 + 2𝐾𝑐 ∗ 0.7267 𝑧 + 0.717

2 𝑧 − 1 𝑧 − 0.8185 (𝑧 − 0.4494)

Tomando el límite con 𝑇 = 2 𝑠 resulta que 𝐾𝑖 = 0.04.

Se asume que el cero del controlador cancela el polo 𝑧 = 0.8185 de la planta.

𝐾𝑖𝑇 − 2𝐾𝑐

𝐾𝑖𝑇 + 2𝐾𝑐= −0.8185

0.08 − 2𝐾𝑐

0.08 + 2𝐾𝑐= −0.8185 𝐾𝑐 = 0.4007


𝐸(𝑧)=

0.4407(𝑧 − 0.8185)

𝑧 − 1

DISEÑO DE CONTROLADORES POR ASIGNACIÓN DE POLOS

La técnica consiste en determinar los polos de lazo cerrados deseados, tomando

como base los requisitos de respuesta transitoria tales como: coeficiente de

amortiguamiento, máximo sobreimpulso, tiempo de establecimiento, etc.

Para diseñar un controlador digital por asignación de polos se procede así:

a) Conformar la ecuación característica del sistema incluyendo el controlador

1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧 = 0

b) Conformar la ecuación característica deseada seleccionando los polos dentro

del círculo unitario, de acuerdo a los requisitos del diseño especificados. Esta

ecuación debe ser del mismo orden que la del sistema planta-controlador.

𝑧 + 𝑝1 𝑧 + 𝑝2 ⋯ 𝑧 + 𝑝𝑛 = 0

En donde 𝑝1, 𝑝2. . . 𝑝𝑛 son los polos deseados para el sistema en lazo cerrado

c) Comparar los coeficientes de igual potencia en 𝑧 en las ecuaciones anteriores,

resultando 𝑛 ecuaciones cuya solución, son los parámetros del controlador. Luis Edo García Jaimes

EJEMPLO ASIGNACIÓN DE POLOSLa figura muestra un sistema de control de flujo. Utilizando la curva de reacción se

encontró que la función de transferencia del proceso en lazo abierto es:

𝐺𝑝 𝑆 =0.45𝑒−0.1𝑆

0.8𝑆 + 1

Diseñar un controlador PI por asignación de polos de modo que el sistema, en lazo

cerrado, tenga coeficiente de amortiguamiento 0.8 y tiempo de establecimiento 2 𝑠.


SOLUCIÓN EJEMPLO


Sin tener en cuenta el retardo, la constante de tiempo del sistema continuo en lazo

cerrado es 𝜏𝑒𝑞 = 0.551 𝑠. Según el criterio de la constante de tempo: 0.2(𝜏𝑒𝑞 +

𝜃′ ) ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃′) el periodo de muestreo está en el rango: 0.13 ≤ 𝑇 ≤ 0.39 𝑠.

Se asume = 0.2 𝑠, entonces:

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−𝑁ℑ𝑚 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆

𝑁 =

θ′

𝑇=

0.1

0.2= 0

𝜃 = 𝜃′ − 𝑁𝑇 = 0.1 − 0 ∗ 0.2 = 0.1

𝑚 = 1 −𝜃

𝑇= 1 −

0.1

0.2= 0.5

𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1 𝑧−𝑁ℑ𝑚 0.45

𝑆(0.8𝑆 + 1) =

0.05288𝑧 + 0.04666

𝑧2 − 0.7788𝑧=

0.05288(𝑧 + 0.8824)

𝑧(𝑧 − 0.7788)

La ecuación característica del sistema planta-controlador, en lazo cerrado, es:

1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧 = 0 1 +𝑞𝑜𝑧 + 𝑞1

𝑧 − 1∗

0.05288(𝑧 + 0.8824)

𝑧(𝑧 − 0.7788)= 0

𝑧3 + 0.05288𝑞𝑜 − 1.7788 𝑧2 + 0.04666𝑞𝑜 + 0.05288𝑞1 + 0.7788 𝑧 + 0.04666𝑞1 = 0



La ecuación característica deseada debe ser de tercer orden y satisfacer los

requerimientos de funcionamiento especificados: 𝜉 = 0.8 y 𝑡𝑠 = 2𝑠.

La ubicación del polo dominante en lazo cerrado es:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝜃 = 57.3𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2

𝑡𝑠 =4

𝜉𝑤𝑛 𝑤𝑛 =

4

𝜉𝑡𝑠=

4

0.8 ∗ 2 𝑤𝑛 = 2.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑧 = 𝑒−(0.8∗2.5∗0.2) = 0.6703 𝜃 = 57.3 ∗ 2.5 ∗ 0.2 1 − (0.8)2 = 17.19𝑜

𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.6403 ± 𝑗0.1981

Así, la ecuación característica deseada será:

𝑧 − 0.6403 − 𝑗0.1981 𝑧 − 0.6403 + 𝑗0.1981 𝑧 + 𝑎 = 0

𝑧3 + 𝑎 − 1.2806 𝑧2 + 0.4492 − 1.2806𝑎 𝑧 + 0.4492𝑎 = 0

Comparando término a término las dos ecuaciones características se obtiene:

0.05288𝑞𝑜 − 1.7788 = 𝑎 − 1.2806

0.04666𝑞𝑜 + 0.05288𝑞1 + 0.7788 = 0.4492 − 1.2806𝑎

0.04666𝑞1 = 0.4492𝑎

CONTINUACIÓN DEL EJEMPLOResolviendo las ecuaciones anteriores resulta que:

𝑞𝑜 = 3.977 𝑞1 = −2.7713 𝑎 = −0.2878 𝑞0 > 0 y 𝑞1

𝑎 < 1

Con los valores obtenidos para 𝑞𝑜 y 𝑞1 el controlador pedido es:


𝐸(𝑧)=

3.977𝑧 − 2.7713

𝑧 − 1=

3.977(𝑧 − 0.6968)

𝑧 − 1

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema toma la forma:


𝑅(𝑧)=

0.2103 𝑧 + 0.8824 (𝑧 − 0.6968)

𝑧 − 0.2878 𝑧2 − 1.2806𝑧 + 0.4492


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