proyecto final control digital

8/13/2019 Proyecto Final Control Digital

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAEscuela de ciencias bsicas tecnologas e Ingeniera

Control Digital

PROYECTO FINAL

TRABAJO PRESENTADO POR:

DIEXER DEIMER CARO PRADO

JONNATAN FERNANDO GOMEZ HENAOJERMAIN FERNANDO PAEZ

PABLO TORRESANDREY PUENTES

TUTOR:

DIEGO SENDOYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BASICAS

DICIEMBRE 2013


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Control Digital

INTRODUCCIN

El estudio de todos los sistemas de control digital tienen como objetivo principallograr un control preciso de sistemas fsicos aplicados a sectores industriales, es

por esto que este estudio se enfoca en diferentes aspectos, de los cuales sedestacan, el modelado, descripcin matemtica, anlisis y diseo.

Para el desarrollo de un control digital que represente de forma acertada unsistema fsico, es indispensable profundizar en aquellas reas de las ciencias quebrindan las herramientas necesarias para su construccin. Luego de tener elmodelo, se realizan tanto anlisis cuantitativos y cualitativos para validar el modelopropuesto. Y por ltimo poder identificar falencias que puedan ser mejoradas uoptimizadas desde el modelo matemtica y as finalmente poder implementarlosfsicamente.

Para este caso en particular son empleados modelos que representan el sistemafsico es funcin de transferencia. Con estos modelos se estudian diferentes casosdonde, al hacer uso de las herramientas ofrecidas por la teora de control se buscamejor el desempeo de dos sistemas fsicos. Para lograr dichas mejoras seutilizan compensadores y controladores PID, para los dos casos propuestosrespectivamente.

Los compensadores, son una tcnica utilizada para modificar la respuesta enfrecuencia del sistema en lazo abierto, brindando as una mejor estabilidad y unadisminucin en el error de estado estacionario cuando se cierra el lazo de control.

El controlador PID, es uno de los controladores ms usados en la industria ya quepuede ser implementado en una gran variedad de procesos, por tanto seencuentra una amplia gama de literatura sobre este tipo de controladores. Comotodo controlador es indispensable realizar una buena sintona de cada uno de losparmetros para as mantener en un rango ptimo tanto la operacin del sistemafsico como las caractersticas del producto final.

En este documento se representan clculos a determinadas funciones detransferencia para estabilizar su respuesta por los mtodos anteriormente

expuestos, todo esto con el fin de optimizar la respuesta al sistema.


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1. Actividad Terica: La primera actividad est compuesta de una serie deejercicios que debern ser desarrollados de forma analtica por cada uno delos estudiantes del grupo colaborativo. Para el desarrollo de la primeraactividad se propone el siguiente esquema de control:

Ejercicio 1: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:

(a) Calcule la constante de error de posicin kp, el error en estado estacionarioante una entrada escaln unitario y el tiempo de establecimiento para la funcin detransferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado. (b) Diseeun controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga unsobreimpulso mximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo.Suponga que el tiempo de muestreo es Ts= 0.1 segundos.

a. Calcule la constante de error de posicin Kp, el error en estado estacionarioante una entrada escaln unitario y el tiempo de establecimiento para la funcin detransferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.

G(z)

{ } { }

{

}

Ts=0.1 s

Funcin de transferencia con realimentacin en lazo cerrado


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Error de posicin

Error en estado estacionario

Se halla el tiempo de establecimiento y se encuentran los dems parmetros.

Hallando:

Establecimiento del 5%

b. Disee un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga unsobreimpulso mximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de 2segundos. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.1 segundos.

Mtodo de cancelacin de polos y ceros.

Error en estado estacionario por lo cual:


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[ ] *

+ Lmite con T= 0.1 s:

El cero del controlador cancela el polo z=1.6732

Reemplazando

[] * +

Segunda opcin de solucin.

Si se sabe que la planta Gp(z) est representado por:


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Figura 1. Planta discreta Gp(z).

Como se aprecia en la Figura 2, a la hora de discretizar la planta se coloca unRetenedor de Orden Cero (ZOH) en cascada con la planta, es por esto que laexpresin para la planta discreta estar representada por:

1

. 1 . P

P ZOH P

G sG z Z G s G s z Z

s

(2)

Realizando la expansin en fracciones parciales de (1), luego remitindose a unatabla de Transformada Z [1](pgina 29)[2] y tomando como Tiempo de muestreo elsugerido en este literal Ts=0.1s el sistema queda expresado como:

1

0.1 2 0.1

5 10 51 .

1 2

1 5 10 5.

1

P

P

G z z Z s s s

z z zG z

z z z e z e

(3)

As operando la expresin resultante, se obtiene la siguiente expresin en tiempodiscreto para la planta.

2

0.0455 0.041

1.7235 0.7408P

zG z

z z

(4)

Con la ecuacin presentada en (4), pasamos a calcular en primer lugar laconstante de error de posicin esttica Kp, la cual se rige por la siguienteecuacin:


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21 1

2

0.0455 0.041lim lim1.7235 0.7408

0.0455 1 0.0415

1 1.7235 1 0.7408

P pz z

P

zK G zz z

K

(5)

Debido a que el sistema discreto, representa de forma adecuada el sistemacontinuo se puede comprobar que para ambos domios, la constante tiene elmismo valor, as tomando la ecuacin (1), se tiene que la constante de error deposicin esttica Kp, tiene un valor de:

20 0

2

10lim lim

3 2

10 105

20 3 0 2

P ps s

P

K G ss s

K

(6)

Por tanto los valores hallados en tiempo continuo, sern los mismos valoreshallados en tiempo discreto.

En segundo lugar, pasamos a calcular el error en estado estacionario ante unaentrada escaln unitario, para este clculo se hace uso de la siguiente expresin.

1 1 1

1 1 5 6ss

P

eK

(7)

Donde la expresin (7), es vlida tanto para tiempo discreto como continuo.

En tercer lugar, se calcula el tiempo de establecimiento para el sistema a lazocerrado sin controlador, en este caso se har uso de la siguiente expresintomando el criterio del 2%:

4s

n

Tw

(8)


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Si se considera que el polinomio caracterstico en lazo cerrado y elpolinomio de segundo orden est dado por:

2

22

3 12 0

2 0n n

s s

s w s w

(9)

Se pasa a igualar los trminos que corresponden a (s), donde se obtiene:

32 32n n

w w (10)

Reemplazando en (8), se tiene que el tiempo de establecimiento tendr un valorde:

4 42.666

3 2s

n

T sw

(11)

El cual es vlido para el sistema a lazo cerrado discreto.

Disee un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tengaun sobreimpulso mximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts= 0.1s.

Para la sintonizacin del controlador PID se trabaja con el mtodo analtico deubicacin de polos. Y teniendo en cuenta que una de las formas de diseo esrealizar el proceso en s y luego pasar al dominio de z, se realizar el diseo del

controlador PID en tiempo continuo y luego se pasara a tiempo discreto.

Rescribiendo la planta tenemos que:


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2 2

10

3 2P

p p p

KG s

s s a s b s c

(12)

Considerando el sistema a lazo cerrado, se obtiene la siguiente funcin detransferencia que describe el sistema:

2

2

2

2

3 2

2

* 1*

1*

* 1 * * * *1

*

P i d iP

i d i

i p p p p i

P i d i p P d p P P

p p p ii p p p

K K S S K KS S

S a S b S c aFT

K K S S b K K c K K K KS S S

a a aS a S b S c

Por lo tanto, la ecuacin caracterstica que se obtiene es:

3 2 * * * *

0*

p P d p P P

p p p i

b K K c K K K KS S S

a a a

(13)

En la ecuacin (14) se presenta la forma estndar de una ecuacin caractersticade tercer orden:

2 2

3 2 2 2 3

2 0

2 2 0

n n n

n n n n n

S w S w S w

S S w w S w w w

(14)

Donde alfa se toma cinco o hasta 10 veces mayor que la parte real de los polosdominantes de la planta, de tal manera que los polos predominantes sean los

polos de segundo orden.Para la planta presentada en (12), sus polos son: -2 y -1, as el polo dominante delsistema est representado por -1.

En (14), se desconocen los valores de , para lo cual se considera unSobre-nivel porcentual MP%=5%, un tiempo de establecimiento Ts=1s, as se


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hallan los valores mencionados anteriormente utilizando las siguientesexpresiones:

2

2

*

1

2

2

%ln

100% 100 *

%ln

100

P

P

M

MP e

M

(15)

0.6901

Ahora, para hallar , se tiene que el est definido tericamente por lasiguiente ecuacin (para criterio del 2%)

4

*S

n

Tw

(16)

Considerando los valores que se tienen, se despeja :

45.7962

1*0.6901n

radw

s

Luego de conocer los valores de y , se igualan las Ecuaciones 13-14 y seobtienen los siguientes valores:

2 22

49.5288P n n P P

P

a w w a cK

K

(17)

2 2

20.1271

2

P n P n Pd

P n n P P

a w a w bs

a w w a c

(18)

3

*0.2543

p

i

n P

K Ks

w a

(19)

La informacin obtenida en tiempo continuo, se pasa a la representacin digital delcontrolador PID, as la funcin de transferencia en tiempo discreto para elcontrolador PID, est dada segn la referencia [1](pgina 116) por:


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11 * 11

IDPID PD DD

KG K K Z

Z

(20)

Tomando un tiempo de muestreo T=0.1s, se calculan las constantes del

controlador discreto:

19.472949.5288 39.7923

2 2

IDPD P

KK K (21)

* 49.5288 * 0.119.4729

0.2543

PID

i

K TK

(22)

* 49.5288*0.127162.9620

0.1

P d

DD

KK

T

(23)

Luego, se reemplazan los valores hallados en las Ecuaciones 21, 22 y 23 en laEcuacin 20 y se obtiene:

11

19.472939.7923 62.9620* 1

1PID

G ZZ


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(a) Calcule la constante de error de velocidad k v, el error en estado estacionarioante una entrada escaln unitario para la funcin de transferencia de la plantadiscretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la funcinde transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto. (b)Disee un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en lazocerrado tenga un margen de fase de 80 y la constante de error de velocidad seakv= 2. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts= 0.2 segundos.

a. Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario

ante una entrada escaln unitario para la funcin de transferencia de la plantadiscretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la funcinde transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto.

{ }

Error de posicin y funcin de transferencia en lazo cerrado.


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b. Disee un compensador en adelanto digital para que el sistema en lazo cerradotenga un margen de fase de 50 y la constante de error de velocidad sea Kv = 2.Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.2 segundos.

Funcin de transferencia discretizada

{ }

Uso de transformacin bilineal.

Donde el controlador digital queda. Entonces:

Para revisar la respuesta en frecuencia se usa matlab reemplazando el valor de khallado.


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num=[-0.000665306 -0.192664 1.99317]den=[1 0.996805 0]sys=tf(num,den)margin(sys)

grid

Se disea un controlador que adiciona un ngulo de 50, de la siguiente manera,50 -31.6 = 18.4, el margen de fase tiene que estar entre 8 12 para la gananciaen la frecuencia de cruce y un ngulo de 28 en adelanto de fase.

Factor de atenuacin.

-100

-50

0

50

100

Magnitude(dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

90

135

180

225

270

Phase(deg)

Bode Diagram

Gm = 14.3 dB (at 3.22 rad/s ) , Pm = 31.6 deg (at 1.25 rad/s )

Frequency (rad/s)


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Como en este punto no est compensada la magnitud, reemplazamos w por jv

en la funcin de transferencia G(w):

La frecuencia ficticia = 1.7

La frecuencia de cruce:

Compensador:

Procedemos a tomar la funcin de transferencia completa y analizarla en el

diagrama de bode:


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Convertimos el compensador a discreto por la transformada bilineal, con T=0.2:


Disee un regulador digital por el mtodo de ubicacin de polos para que elsistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso mximo de 10%, el tiempo deestablecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario anteuna entrada escaln unitario sea cero. Elija el tiempo de muestreo de tal maneraque se obtengan 20 muestras por cada ciclo.

Factor de amortiguamiento con un establecimiento del 2% y tiempo de

establecimiento 0.5s. () ()

()

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitude(dB)

10-1

100

101

102

103

104

90

135

180

225

270

Phase(deg)

Bode Diagram

Gm = 14.4 dB (at 5.41 rad/s) , Pm = 48.9 deg (at 1.71 rad/s)

Frequency (rad/s)


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Frecuencia natural.

Se aproxima a 2, con un tiempo de muestreo T=0.1

Matriz de ganancia k mediante ubicacin de polos.

|| Polo en Ecuacin caracterstica

Funcin de transferencia con entrada escaln

{ }


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Transformacin a espacio de estados

* + *+ [ ]Ackerman:

[ ][ ] *

+

[ ] * + [ ] * + * + [ ]

Diseo de observador, para mejorar la velocidad del sistema. ||

Los polos estn en Ecuacin Caracterstica

Ackerman:

* + *+ * +

* + * +


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*

+ *

+ *

+ *

+El observador es [ ] * + *+El controlador es

[ ]

[ ] * + Funcin de transferencia en lazo cerrado

Factor de correccin k0 para un error estacionario 0.

Teorema del valor final

Error cero se cumple


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Actividad Prctica:

La segunda actividad est compuesta de una serie de ejercicios que debern serdesarrollados utilizando la herramienta de software LabVIEW. Cada estudiante deberealizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el temadenominado Aportes al proyecto final. Para el desarrollo de la segunda actividad seutilizar el mismo esquema de control de la primera actividad.

Ejercicio 1: Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Terica, utilice LabVIEW para:

(a) Dibujar la respuesta de la planta en lazo cerrado sin controlador ante una

entrada escaln unitario Los valores de corresponden a los encontrados en elinciso (a)? (b) Dibujar la respuesta del sistema con controlador en lazo cerrado ante unescaln unitario. Los valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso correspondena los encontrados en el inciso (b)?

SOLUCION

A continuacin se muestran las imgenes de la simulacin realizada en labview de lafuncin de transferencia con el controlador PID calculado


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Para este caso y debido a que en la simulacin se us un controlador PID discreto y luegose us un bloque para pasar dicha salida a discreta lo cual provoca que sea un pocodiferente del resultado obtenido en los clculos hecho en Matlab, a continuacin semuestra la tabla de valores usados para este controlador los cuales si variaron.

Parmetro Controlador PID

Kp 0.7

Ki 0

Kd 0


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CONCLUSIONES

- Convertir un modelo continuo a discreto utilizando ZOH, permite un anlisis

sencillo del mismo, lo que nos da herramientas para la construccin de

sistemas digitales que den solucin a modelos fsicos, para dar control a

dichos modelos se puede utilizar varias herramientas, como

compensadores en atraso y controladores PID.

- Los sistemas en tiempo discreto, permite la implementacin de dispositivos

digitales tales como procesadores, computadores entre otros, que permitan

ejercer la manipulacin de una variable fsica con el fin de llevarla a un

punto de referencia establecido.

- El lugar geomtrico de las races, muestra de manera grfica la ubicacin

de los polos y ceros en el plano S para sistemas continuos y el plano Z

para sistema discretos. Gracias a esta representacin, se puede realizar un

compensador en adelanto o atraso.

- Se logra un anlisis y conceptualizacin de la inclusin de sistemas de

compensacin para mejorar la respuesta de un sistema discreto.

- La herramienta Labview es muy verstil y permite el desarrollo de los

conocimientos aprehendidos durante el curso, lo que ha fortalecido lacapacidad de aplicar los conceptos de control digital.

Se consolida un resultado construido a partir de los clculos y

simulaciones respectivas.

- Cada una de estas prcticas son base para futuros ejercicios o aplicaciones

ms complejas, de ah la enorme importancia del entendimiento de ellas no

slo para la materia actual sino para la carrera de ingeniera en

telecomunicaciones.

- Al familiarizarse con los dispositivos electrnicos usados en stas prcticas

es ms fcil encontrar lo que nos ocasiona una medicin fuera de lo

calculado. El constante uso de estos y ms dispositivos nos generar

mayor habilidad en proyectos futuros.


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BIBLIOGRAFA

[1] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Segunda edicin,Mxico: Prentice Hall Hispanoamericana. Pgina 116. 1996.

[2] Garca, Luis. Control Digital Teora y Prctica. Segunda Edicin, Medelln-Colombia: Politcnico Colombiano JIC. 2009.

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