centro nacional de investigación y desarrollo tecnológico · 2014-03-10 · petrolera y en...

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Simulación de Flujo Bifásico Con el Modelo de Uno y Dos Fluidos

presentada por

Pedro Mendoza Maya Ing. Mecánico por la Universidad Autónoma Metropolita

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Octavio Cazares Candia

Co-Director de tesis:

Dr. Alfonso García Gutiérrez

Jurado: C. Dra. Sara Lilia Moya Acosta – Presidente

C. Dr. J. Jasón Flores Prieto – Secretario C. Dr. Octavio Cazarez Candia – Vocal

C. Dr. Alfonso García Gutiérrez – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 31 de Agosto de 2007

Resumen

El flujo de dos fases se presenta en la industria química, nuclear, geotérmica,

petrolera y en equipos de proceso. Particularmente en la industria petrolera, el flujo

simultáneo de líquido y gas es un fenómeno que se presenta a través de pozos y

tuberías. Para modelar matemáticamente el flujo en dos fases existen diferentes

tipos de modelos, estos son: modelo homogéneo, modelo de flujos relativos y modelo

a dos fluidos.

En el modelo homogéneo hace la consideración de que las fases líquida y gaseosa

forman una sola, por lo que este modelo se compone de las ecuaciones para flujo

monofásico con propiedades de mezcla; este modelo se considera el más sencillo. El

modelo de flujos relativos, es un modelo práctico usado para estado estable y cuasi-

estable, en el modelo de flujo separado la atención esta enfocada en el movimiento

relativo de las fases, en lugar del movimiento particular de las mismas. El modelo de

flujos relativos tiene bastas aplicaciones para describir la hidrodinámica de los

diversos patrones de de flujo; también tiene aplicaciones para flujo de partículas

inmersas en una corriente fluida. El modelo a dos fluidos trata las fases en forma

individual, por lo que emplea una ecuación para cada una de las fases. En este

modelo es posible considerar las interacciones interfaciales y las interacciones de las

fases con la pared, por esto se considera el modelo más completo y es por ende el

más complejo de resolver.

En este trabajo se modeló el flujo de dos fases para tres pozos petroleros

considerando aceite negro. Se aplicaron los modelos de flujo homogéneo y de dos

fluidos. Los fluidos que viajan a través de los pozos son gas y líquido (aceite y agua

con menos de 0.03 de fracción volumétrica). A partir del modelo a dos fluidos se

desarrollaron dos modelos simplificados, esto con la finalidad de obtener un modelo

de mayor estabilidad numérica y buena predicción de los perfiles de presión, fracción

del líquido, temperatura de las fases y velocidad de las fases. Para esto se realizó un

estudio de estabilidad y precisión en la predicción de las variables de los dos

modelos simplificados (modelos pseudo-transitorios). En cuanto a los términos

transitorios de las variables dependientes, uno de los modelos simplificados

ii

considera sólo los términos de la fracción del líquido y de la velocidad del gas

(modelo 2) y el otro modelo la fracción del líquido y la velocidad del líquido (modelo

3).

El modelo 2 presentó buena estabilidad numérica. A este modelo se le realizó un

estudio del tamaño de malla espacial para analizar el impacto en la predicción de la

fracción del líquido y la presión. En los tres pozos petroleros se presentaron los

patrones flujo burbuja y slug. Para el patrón de flujo burbuja, el tamaño de paso de

malla no tiene impacto en la predicción de la fracción del líquido y la presión, sin

embargo para el patrón de flujo slug si existen diferencias en la predicción de la

presión de 125 Psi en un tramo intermedio de la tubería en el pozo, y en la fracción

del líquido se observaron diferencias de 0.02

Se compararon los perfiles de la presión del modelo 2 con el modelo homogéneo,

con 10 correlaciones comúnmente utilizadas en la industria petrolera y datos de

campo de tres pozos petroleros. De los resultados obtenidos se observo que el

modelo homogéneo y el modelo 2 predicen adecuadamente el perfil de la presión así

como la velocidad de las fases. El modelo 2 no tuvo buena predicción térmicamente,

por lo que se realizo una modificación que considera el término transitorio de la

temperatura de la fase liquida, y con esto se obtuvo buenos resultados de la de la

temperatura de las fases líquido gas. De lo anterior se concluye que los modelos

simplificados a dos fluidos deben de considerar los términos transitorios de la

fracción del líquido, velocidad del gas y la temperatura del líquido.

iii

Summary The two phase flow can be present in the chemical, nuclear, geothermal, petroleum

industries and in process equipment. Particularly in the petroleum industry, the

simultaneous flow of liquid-gas is a phenomenon that may be presented through wells

and pipes. The two phase flow can be mathematically modeled using different

models, these are: homogeneous flow model, drift flux model and two fluid model.

In the homogeneous model the simultaneous flow of liquid and gas is considered as a

single phase flow. Then, such model consists of the conservation equations for

single-phase flow with mixture properties. The homogeneous model is the simplest

model. The drift flux model is used for steady state and quasi-steady state two-phase

flow. In the drift flux model the attention is focused on the relative movement of the

phases, instead of the individual movement. The drift flux model has wide

applications to describe the flow patterns hydrodynamic. It also has applications for

flow of particles in a flowing current. On another hand, the two-fluid model manages

the phases individually, then it uses an equation for each phase. In this model it is

possible to consider the interfacial interactions and the interactions of the phases with

the wall, for this reason such model is considered the most complete model and it is

therefore the most complex of solving.

In this work the two phase flow was modeled for three black oil wells. The

homogeneous model and the two-fluid model were used. The fluids that travel

through the wells are gas and liquid (water in oil with less than 0.03 volumetric

fraction). From the original two fluid model (model 1), two simplified models were

developed, this with the purpose of obtaining a model with bigger numeric stability

and better prediction (profiles of pressure, hold up, temperature and velocity of the

phases), than the original two phase model. A study of stability and precision on the

prediction of the variables from the two simplified models (pseudo-transitory models)

was carried out. One of the simplified models only considers the temporal terms for

hold up and the gas velocity ( model 2) and the other model only considers the

temporal terms for hold up and the liquid velocity (model 3).

iv

The model 2 presented good numeric stability. A study of the space mesh size to

analyze the impact in the prediction of the hold up and pressure from the model 2 was

carried out. In the three oil wells the bubble and slug flows were presented. For the

bubble flow, the spatial mesh size does not have impact on the prediction of hold up

and pressure, however for the slug flow there are differences in the prediction of

pressure (125 psi) in an section of the well, and also differences in the hold up

differences of 0.02 were observed.

The profiles of the pressure from the model 2 were compared with the homogeneous

flow model, with 10 correlations commonly utilized in the petroleum industry and field

data from three oil wells. From the results obtained was observed that the

homogeneous model and model 2 predict the pressure and velocity profile of the

phases appropriately. The model 2 did not have good prediction thermally, then a

modification that considers the temporal term of the temperature for the liquid phase

was carried out. Then good results for liquid temperature and gas phase were

obtained. From the above-mentioned we concludes that all two fluid simplified models

should consider the transitory terms of the hold up, velocity of the gas and the

temperature of the liquid.

v

Reconocimientos

Se agradece al Consejo del Sistema de Nacional de Educación Tecnológica

(COSNET) y a la Secretaria de Educación Publica (SEP) por le apoyo económico

brindado en la realización del presente trabajo.

vi

Agradezco a Dios Sobre Todas las Cosas. Por Que

El Hace Posible Todo y Puso las Personas Indicadas

Para Que Esto Fuera Posible.

A Mis Padres, al Dr. Octavio Cazares, la Familia

Cristiana de Morelos y del Estado de México,

Amigos y Familiares por el Apoyo Económico y Moral

Brindado para la Realización de Este trabajo de

Tesis.

***Dios Les Siga Bendiciendo **

vii

Nomenclatura

A Área de la tubería que ocupada por la fase (ft2)

A Matriz de coeficiente (Ec. 5.12)

gA Área de la fase gaseosa fase (ft2)

lA Área de la fase líquida (ft2)

[ ] A Matriz de coeficientes (Ec. 4.16)

a Área de la superficie externa fase (ft2)

ia Área interfacial de la fase (ft2)

a Tensor métrico de la interfase

B Vector de términos independientes (Ec. 5.12)

[ ]B Vector independiente (Ec. 4.16)

C Coeficiente de proporcionalidad de Wallis para el cálculo de la velocidad de

elevación conforme al modelo de Taylor

dC Coeficiente de arrastre para las burbujas

Cg Velocidad del sonido en la fase gaseosa (ft/sg)

lC Velocidad del sonido en la fase líquida (ft/sg)

Cp Calor especifico a presión constante (J/KgºF)

mCp Calor especifico promedio a presión constante (J/KgºF) (Ec 5.7)

1C Coeficientes de velocidad de la burbuja

2C Coeficientes de velocidad de la burbuja

c Velocidad del sonido (ft/sg)

HD Diámetro hidráulico (ft)

d Diámetro del la tubería (plg)

cd Diámetro hidráulico del gas patrón de flujo estratificado (ft)

fd Diámetro hidráulico del líquido flujo estratificado (ft)

kd Diámetro hidráulico de la fase (ft)

viii

E Fracción del líquido que se encuentra disperso en fase gaseosa en el patrón de

flujo anular

ke Energía específica de la fase (ft/sg2)

kie Energía específica asociada con la transferencia de masa interfacial (ft/sg2)

se Relación de el factor de fricción de dos fases entre el factor de fricción de no

resbalamiento

Fd Fuerza de arrastre (lm/ft2 sg2)

f Una función cualquiera

cf Factor de fricción de la película del gas flujo anular

Ff Factor de fricción de Fancher

BTf Factor de fricción de Baxendell y Thomas

ff Factor de fricción de la película del líquido flujo anular

if Factor de fricción interfacial

kf Factor de fricción de la fase

of Relación gas aceite

tpf Factor de fricción de dos fases

Wf Factor de fricción fase pared

wof Relación agua-aceite a las condiciones de escurrimiento

1f Correlación para el factor de fricción (Metodo Duns y Ros)

2f Es una correlación debido a la relación gas-líquido insitu

3f Factor de corrección adicional por la viscosidad

( )t tif +Δ Función en el nodo (i) actual al tiempo posterior

( 1)t tif +Δ− Función en el nodo anterior (i-1) al tiempo posterior

g Constante de la gravedad (ft/sg2)

kh Entapia de la fase (Btu/lbm)

lH Fracción del líquido con resbalamiento

GTBH Fracción de gas en la región de burbuja de Taylor de la unidad slug

ix

LLSH Fracción de líquido en la región del tapón de la unidad slug

LTBH Fracción de de líquido en la región de la burbuja de Taylor de la unidad slug

( )lH θ Fracción del líquido de flujo a un ángulo de inclinación

( )0lH Fracción del líquido de flujo horizontal

lh Altura que cubre la fase líquida

ph Cabeza de pozo (ft)

BI Fuerza inercial del número de Reynolds

HI Factor de corrección interfacial horizontal

vI Factor de corrección interfacial vertical

I Tensor identidad

J Flujo a través de las fronteras de volumen del control

, iL Longitud de la interfase (ft)

kL Longitud de la fase k (ft)

LSL Longitud del tapón de líquido en la unidad slug (ft)

SUL Longitud de la unidad slug (ft

TBL Longitud de la burbuja de Taylor (ft)

1L Limite 1 (Tabla C-3)



dgiM Fuerza interfacial de arrastre por unidad de volumen sobre la fase gaseosa

(lm/ft2 sg2) ndgiM Fuerza interfacial de no arrastre por unidad de volumen sobre la fase gaseosa

(lm/ft2sg2) dliM Fuerza interfacial de arrastre por unidad de volumen sobre la fase líquida (lm/ft2

sg2)

x

ndliM Fuerza interfacial de no arrastre por unidad de volumen sobre la fase líquida

(lm/ft2 sg2)

km′′ Flujo de masa interfacial (lm/ft3 sg)

EN Número de Eotvos

FRN Número de Fraude

vN Número de la viscosidad

n̂ Vector unitario

P Presión (Psi)

p Presión modelo homogéneo o intervalo de presión

kP Presión de la fase (Psi)

kq′′ Flujo de calor desde la fase (lbfft/ft2 sg)

kq′′′ Fuente de generación de calor interna(lbfft/ft3 sg)

R Constante universal de los gases

bR Radio del burbuja (ft)

Re Numero de Reynolds

Rec Numero de Reynolds de la película del gas patrón de flujo anular

Re f Numero de Reynolds de la película del líquido patrón de flujo anular

S Perímetro (ft)

iS Perímetro de la interfase (ft)

kS Perímetro mojado de la fase por unida de volumen (1/ft)

kiS ′′′ Área superficial interfacial promedio por unidad de volumen (1/ft)

kwS ′′′ Área de la pared promedio por unidad de volumen

t Tiempo (sg)

gT Temperatura de la fase gaseosa (F)

kT Temperatura de la fase (F)

lT Temperatura de la fase gaseosa (F)

mT Temperatura de mezcla (F)

xi

u Vector de variables dependientes (Ec. 5.12)

bU Velocidad de elevación de la burbuja (ft/sg)

bfU Velocidad de las burbujas en una corriente fluyendo (ft/sg)

bsU Velocidad de elevación de las burbujas en un líquido sin movimiento (ft/sg)

cU Velocidad de la película del gas (ft/sg)

fU Velocidad de la película del líquido (ft/sg)

gU Velocidad de la fase gaseosa (ft/sg)

kU Velocidad de la fase (ft/sg)

lU Velocidad de la fase del líquido (ft/sg)

sU Velocidad superficial de la mezcla (ft/sg)

V Volumen de control (ft3)

mv Velocidad de la mezcla (ft/sg)

Z Factor de compresibilidad para los gases reales

Símbolos griegos

gα Fracción de la fase gaseosa

kα Fracción de volumen de la fase k

lα Fracción de la fase líquida

β Fuerzas de flotación

mβ Esta definida (Ec. 5.6)

δ Espesor de la película del líquido patrón de flujo anular (ft)

δ Ángulo de la cuerda formado por la fase líquida flujo estratificado (radianes)

φ Término fuente por unidad de masa (Tabla A.1)

γ Factor de corrección de la velocidad

γ Peso especifico del fluido

η Coeficiente Joule Thompson (F plg2/lbf)

lλ Fracción del líquido sin resbalamiento

xii

μ Viscosidad cinemática (Cp)

kμ Viscosidad cinemática de la fase (Cp)

mμ Viscosidad cinemática de la fase (Cp)

θ Es el ángulo de inclinación de la tubería con respecto a la horizontal (Grados)

π Constante

gρ Densidad de la fase gaseosa (lbm/ft3)

kρ Densidad de la fase (lbm/ft3)

lρ Densidad de la fase líquida (lbm/ft3)

mρ Densidad de la mezcla (lbm/ft3)

σ Tensión superficial

giτ Esfuerzo interfacial del gas con la interfase (lm/ftsg2)

gwτ Esfuerzo gas pared (lm/ftsg2)

liτ Esfuerzo interfacial del líquido con la interfase (lm/ftsg2)

lwτ Esfuerzo líquido pared (lm/ftsg2)

wτ Esfuerzo de la pseudo-fase con la pared, (lm/ftsg2)

ψ Factor de corrección de inclinación

ψ Variable genérica de conservación.

xΔ Paso temporal (ft)

tΔ Paso en espacial (ft)

Subíndices y superíndices

a, b, c, Coeficientes de Beggs y Brill para el cálculo de la fracción del líquido flujo

horizontal

e Datos de entrada

e, f, g, h Coeficientes de Beggs y Brill para el cálculo del coeficiente C

i Denota interfase o nodo

m Propiedad de mezcla

k Subíndice para indicar la fase líquida subíndice l y la fase gaseosa subíndice g

xiii

t Tiempo anterior

t t+ Δ Tiempo actual

s Variable superficial

w Pared de la tubería o del volumen de control

1

Contenido

Contenido ....................................................................................................................................1

Capítulo 1....................................................................................................................................8 Planteamiento del problema ....................................................................................................8 1.0 Introducción......................................................................................................................9 1.1 Patrones de flujo ................................................................................................................9 1.3 Planteamiento del problema ............................................................................................11 1.4 Revisión de literatura.......................................................................................................11 1.6 Objetivo ...........................................................................................................................15 1.7 Alcance ............................................................................................................................15 1.8 Metodología.....................................................................................................................15 1.8.1 Metodología para el desarrollo de los modelos a dos fluidos.......................................15 1.8.2 Metodología del desarrollo del modelo homogéneo ....................................................16 1.8.3 Metodología empleada para el análisis de resultados..................................................16

Capítulo 2..................................................................................................................................20 Modelo físico.........................................................................................................................20 2.0 Modelo físico...................................................................................................................21 2.1 Consideraciones generales:..............................................................................................21 2.2 Patrones de flujo en el transporte de aceite negro: ..........................................................22 2.3 Tipos de petróleo .............................................................................................................22 2.4 Flujo burbuja y burbuja dispersa .....................................................................................22 2.4 Flujo anular .....................................................................................................................23 2.5 Flujo tapón vertical..........................................................................................................24 2.6 Flujo tapón horizontal......................................................................................................25 2.7 Patrón de flujo estratificado.............................................................................................26

Capítulo 3..................................................................................................................................28 Modelo a dos fluidos .............................................................................................................28 3.0 Desarrollo de las ecuaciones de conservación del modelo a dos fluidos ........................29 Modelo 1................................................................................................................................29 3.1 Ecuación de continuidad del gas .....................................................................................29 3.2 Ecuación de continuidad para la fase líquida ..................................................................32 3.3 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa .............................................32 3.4 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida...............................................33 3.5 Ecuación de energía para la fase gaseosa ........................................................................34 3.6 Ecuación de energía para la fase líquida .........................................................................37 Modelo 2................................................................................................................................37 3.7 Ecuación de continuidad para la fase gaseosa .................................................................37 3.8 Ecuación de continuidad para la fase líquida ..................................................................38 3.9 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa .............................................38 3.10 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida.............................................38 3.11 Ecuación de energía para la fase gaseosa ......................................................................39 3.12 Ecuación de la energía para la fase líquida....................................................................39

2

Modelo 3................................................................................................................................40 3.13 Ecuaciones de conservación de masa ............................................................................40 3.14 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa ...........................................40 3.15 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida.............................................40 3.16 Ecuación de energía, para la fase gaseosa .....................................................................40 3.17 Ecuación de energía para la fase líquida .......................................................................41

Capítulo 4..................................................................................................................................42 Discretización y validación de los modelos matemáticos .....................................................42 4 Discretización de las ecuaciones de conservación .............................................................43 4.1 Ecuaciones discretizadas del modelo 1 ...........................................................................43 4.1.1 Ecuación de masa para la fase gaseosa.........................................................................43 4.1.2 Ecuación de conservación de masa para la fase líquida ...............................................44 4.1.3 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento para fase gaseosa ...................44 4.1.4 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento para la fase líquida.................44 4.1.5 Ecuación de conservación de energía de la fase gaseosa .............................................44 4.1.6 Ecuación de conservación de energía para la fase líquida............................................44 4.2 Ecuaciones discretizadas del modelo 2 ...........................................................................44 4.2.1 Ecuación de continuidad para la fase gaseosa ..............................................................45 4.2.2 Ecuación de continuidad para la fase líquida ...............................................................45 4.2.3 Ecuación de continuidad para la fase líquida ...............................................................45 4.2.4 Ecuación cantidad de movimiento para la fase líquida ................................................45 4.2.5 Ecuación de energía para la fase gaseosa .....................................................................45 4.2.6 Ecuación de energía para la fase líquida ......................................................................45 4.3 Ecuaciones discretizadas del modelo 3 ...........................................................................46 4.3.1 Ecuación de continuidad para la fase gaseosa ..............................................................46 4.3.2 Ecuación de continuidad para la fase líquida ...............................................................46 4.3.3 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa ..........................................46 4.3.4 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida............................................46 4.3.5 Ecuación de energía para la fase gaseosa .....................................................................46 4.3.6 Ecuación de energía para la fase líquida ......................................................................47 4.4 Forma matricial del modelo 1..........................................................................................48 4.5 Forma matricial del modelo 2..........................................................................................49 4.6 Forma matricial del modelo 3..........................................................................................49 4.7 Procedimiento de solución ..............................................................................................50 4.7.1 Esquema de solución para los pozos con los modelos a dos fluido ............................53 4.8 Validación de los modelos a dos fluidos. ........................................................................54 4.8.1 Determinación de los patrones de flujo que se presentan en el pozo 2 ........................55 4.8.2 Validación del modelo 1...............................................................................................56 4.8.3 Validación del modelo 2...............................................................................................57 4.8.4 Validación del modelo 3...............................................................................................58

Capítulo 5..................................................................................................................................59 Modelo a un fluido ................................................................................................................59 5.0 Modelo de flujo de flujo homogéneo ..............................................................................60 5.1.2 Ecuación de conservación de masa ..............................................................................60 5.1.2 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento ................................................60 5.1.3 Ecuación de conservación de energía...........................................................................61

3

5.2 Solución numérica del modelo a un fluido......................................................................61 5.2.1 Ecuación de conservación de masa ..............................................................................61 5.2.2 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento ................................................62 5.2.3 Ecuación de conservación de la energía .......................................................................62 5.3 Condiciones iniciales.......................................................................................................63 5.4 Condiciones de frontera...................................................................................................64 5.5 Procedimiento de solución numérica...............................................................................64 5.6 Diagrama de flujo de la solución numérica .....................................................................65 5.7 Esquema de solución con el modelo de flujo homogéneo.........................................66 5.8 Validación del modelo de flujo homogéneo....................................................................67

Capítulo 6..................................................................................................................................68 Análisis de resultados ............................................................................................................68 6.1 Comparación de la predicción de la presión entre los modelos a dos fluidos .................69 6.2 Análisis del tamaño de paso espacial para la fracción del líquido ..................................73 6.3 Análisis del tamaño de paso espacial para la los perfiles de presión ..............................77 6.4 Determinación y comparación de la presión con el Modelo 2 ........................................80 6.5 Comparación del perfil de la presión del Modelo 2 para el pozo 2.................................81 6.6 Determinación de la presión para del pozo 3 con el modelo 2........................................82 6.7 Análisis de resultados de la presión.................................................................................83 6.8 Evolución del comportamiento transitorio de la fracción de líquido .............................84 6.8.1 Evolución del comportamiento de la fracción de líquido para el pozo 1 .....................84 6.8.2 Evolución del comportamiento de la fracción de líquido para el pozo 2 .....................85 6.8.3 Evolución del estado transitorio de la fracción de líquido para el pozo 3....................86 6.9 Gradiente de temperatura del pozo 2...............................................................................87 6.10 El perfil de velocidad de las fases para el pozo 2..........................................................88 6.11 Gradiente de temperatura obtenido con el modelo 2 modificado para el pozo 2 ..........89 6.12 Comparación de los perfiles de velocidad obtenidos con el modelo 2 y el modelo 2 modificado.............................................................................................................................90 6.13 Comparación de los perfiles de presión obtenidos con el modelo 2 y el modelo 2 modificado.............................................................................................................................91 6.14 Preedición de los períodos transitorios de la presión con el modelo de flujo homogéneo para el pozo 2.........................................................................................................................92 6.15 Preedición de la temperatura de mezcla durante el periodo transitorio empleando el modelo de flujo homogéneo para el pozo 2...........................................................................93 6.16 Predicción de los períodos transitorios de la velocidad, con el modelo de flujo homogéneo para el pozo 2. ...................................................................................................94

Capítulo 7..................................................................................................................................95 Conclusiones y recomendaciones..........................................................................................95

7.0 Conclusiones y recomendaciones............................................................................96

Referencias................................................................................................................................98

Apéndice A ..............................................................................................................................102 Ecuaciones de flujo del modelo a dos fluidos .....................................................................102 A 1.0 Ecuaciones de conservación promediadas en tiempo y volumen.............................102 A 1.1 Ecuaciones de conservación instantáneas promediadas en volumen ........................104

4

Ecuaciones promediadas en espacio y tiempo.....................................................................113 A 1.3 Ecuaciones de conservación del modelo a dos fluidos unidimensionales simplificadas.............................................................................................................................................115 Ecuación de continuidad: ....................................................................................................115 Ecuación de cantidad de movimiento:.................................................................................116 Ecuación de conservación de la energía:.............................................................................116

Apéndice B ..............................................................................................................................117 Relaciones y correlaciones teóricas de los diversos patrones de flujo ...............................117 B-1 Patrón de flujo burbuja y burbuja dispersa...................................................................117 B.2 Patrón de flujo slug .......................................................................................................119 B.3 Patrón de flujo estratificado..........................................................................................121 B.4 Patrón de flujo anular....................................................................................................122

Apéndice C ..............................................................................................................................126 Correlaciones para determinar la caída de presión..............................................................126 Método de Poetman y Carpenter .........................................................................................126 Hagedorn y Brown ..............................................................................................................127 Método de Duns y Ros ........................................................................................................129 Método de Orkiszewski .......................................................................................................133 Método de Aziz, Govier y Fogorasi ....................................................................................137 Método de Beggs y Brill.....................................................................................................139 Método de Baxendell y Thomas..........................................................................................144 Fancher y Brown .................................................................................................................145 Mukherjee y Brill ................................................................................................................146 Método de Dukler................................................................................................................148

Programa principal.............................................................................................................150

Lista de figuras.

Figura 1.1 Patrones de flujo en tubos verticales..........................................................................9

Figura 1.2 Patrones de flujo en tubos horizontales....................................................................10

Figura 1.3 Diagrama de la metodología empleada para el desarrollo de los modelos a dos

fluidos y un fluido. ....................................................................................................................18

Figura 1.4 Diagrama de la metodología empleada para el análisis de resultados .....................19

Figura 2.1 Patrón de flujo burbuja y burbuja dispersa ..............................................................23

Figura 2.2 Patrón de flujo anular...............................................................................................24

Figura 2.3 Patrón de flujo slug o tapón vertical ........................................................................25

Figura 2.4 Patrón de flujo slug horizontal .................................................................................26

5

Figura 2.5 Patrón de flujo estratificado horizontal ....................................................................27

Figura 4.1 Diagrama de flujo para la solución numérica .........................................................52

Figura 4.2 Esquema de los nodos de los pozos modelo a dos fluidos.......................................53

Figura 4.3 Perfil de la presión del pozo 2 para la validación de modelo 1 ...............................56

Figura 4.4 Perfil de la presión del pozo 2 para la validación del modelo 2 ..............................57

Figura 4.5 Perfil de la presión del pozo 2 para la validación de modelo 3 ..............................58

Figura 5.1 Diagrama de flujo para la solución numérica del modelo de flujo homogéneo ......65

Figura 4.2 Esquema de los nodos de los pozos para el modelo de flujo homogéneo ...............66

Figura 5.3 validación del modelo de flujo homogéneo contra datos del pozo 2 ......................67

Figura 6.1 Comparación de las presiones obtenidas con los modelos a dos fluidos, pozo 1. ...70

Figura 6.2 comparación de la presiones obtenidas con los modelos a dos fluidos, pozo 2.......71

Figura 6.3 Comparación de las presiones obtenidas con los modelos a dos fluidos, pozo 3 ....72

Figura 6.4 Fracción del líquido para diferentes tamaños de paso espacial para el pozo 1........73

Figura 6.5 Fracción del líquido diferentes tamaños de paso espacial pozo 2...........................74

Figura 6.6 Fracción del líquido para diferentes tamaño de paso espacial pozo 2 .....................75

Figura 6.7 Fracción del líquido para diferentes tamaños del paso espacial para el pozo 3.......76

Figura 6.8 Presión para diferentes tamaños de paso espacia pozo 1 ........................................77

Figura 6.9 Perfiles de presión para diferentes tamaños del paso espacial predichos, pozo 2 ..78

Figura 6.10 Perfiles de presión para diferentes tamaños del paso espacial predichos para el

pozo 3 ........................................................................................................................................79

Figura 6.11 Comparación de los perfiles de presión obtenidos con el modelo 2, modelo de

flujo homogéneo, 10 correlaciones y los datos de campo del pozo 1 .......................................80

Figura 6.12 Comparación de los perfiles de presión obtenidos con el modelo 2, modelo de

flujo homogeneo, 10 correlaciones y los datos de campo del pozo 2 .......................................81

6

Figura 6.13 comparación de los perfiles de presión del pozo 3 ................................................82

Figura 6.14 Evolución del comportamiento de la fracción de líquido durante el periodo

transitorio en el pozo 1 ..............................................................................................................84





Figura 6.17 Perfiles de temperatura obtenidos con el modelo 2, pozo 2..................................87

Figura 6.18 Perfiles de velocidad obtenidos con el modelo 2, pozo 2 .....................................88

Figura 6.19 Perfiles de temperatura obtenidos con el modelo 2 modificado, pozo 2 ..............89

Figura 6.20 Comparación de los perfiles de velocidad entre el modelo 2 y el modelo 2

modificado, pozo 2 ....................................................................................................................90

Figura 6.21 Comparación de los perfiles de velocidad entre el modelo 2 y el modelo 2

modificado, pozo 2 ....................................................................................................................91

Figura 6.22 Perfiles de los períodos transitorios de la presión del modelo de flujo homogéneo

...................................................................................................................................................92

Figura 6.20 perfiles del de los períodos transitorios de la temperatura modelo de flujo

homogéneo ................................................................................................................................93

Figura 6.21 perfiles del de los períodos transitorios de la velocidad modelo de flujo

homogéneo ................................................................................................................................94

Figura A.1 volumen de control Euleriano en tres dimensiones...............................................105

Figura C-1 Factor de pérdida de fricción de Poetman y Carpenter.........................................127

Figura C- 2 Parámetro de Duns H. and Ros N. C. J, (1963), factor de fricción flujo burbuja

.................................................................................................................................................130

7

Figura C-3 Zona de transición de los patrones de flujo slug-niebla........................................132

Figura C-4 Patrón de flujo burbuja..........................................................................................135

Figura C-5 Mapa para determinar el patrón de flujo de Govier et. al. ................................137

Figura C-6 Tubería de prueba del método de Mukherjee y Brill. ..........................................146

Figura C-7 Factor de fricción de Dukler .................................................................................149

Lista de Tablas

Tabla 2.1 Clasificación del aceite crudo por densidad y densidad en grados API …………...22

Tabla 4.1 Datos de los pozos Chierici et al., (1974) …………………………………………54

Tabla 4.2 Tamaños de pasos espacial utilizados en la simulación del pozo 2 …………...…. 55

Tabla 6.1 Tamaños de paso espacial y temporal utilizados en la simulación………...………69

Tabla 6.2 Comparación del error en la caída de presión……………………………………..83

Tabla A-1 Términos de las ecuaciones de conservación ...………………………………….103

Tabla B 1. Factores de fricción para flujo slug ……………………………………….……..119

Tabla B 2. Número de Reynolds para flujo slug…………………………………….……….119

Tabla B3. Número de Reynolds y diámetro hidráulicos para flujo estratificado……….……121

Tabla C-1 Coeficiente de distribución del líquido para patrón de flujo slug………………..136

Tabla C-2 Números adimensionales de de Beggs y Brill…………………………………...141

Tabla C-3 Condiciones de los patrones de flujo horizontal de Beggs y Brill………………..142

Tabla C-4 Coeficientes de Beggs y Brill para el cálculo de la fracción del líquido

flujo horizontal……………… ………………………………………………………………142

Tabla C-5 Coeficientes de Beggs y Brill para el cálculo del coeficiente c ………………..143

Tabla C-6 Factor de de perdida de energía Baxendell y Thomas……………………………145

Tabla C-7 Factor de de perdida de energía Fancher y Brown……………………………….145

Tabla C-8 factor de fricción para flujo anular de Mukherjee y Brill………………………..148

Tabla C-9 Esfuerzos interfaciales Mukherjee y Brill………………………………………..149

8

Capítulo 1

Planteamiento del problema

En este capítulo se hace una breve descripción del concepto de flujo en dos fases y

de los patrones de flujo líquido-gas que se presentan a través de tuberías. Se hace el

planteamiento del problema del flujo de aceite-agua-gas a través de pozos

petroleros. También se presenta la revisión de literatura y se plantea el problema a

resolver, así como el objetivo a realizar y el alcance de este trabajo, describiendo la

metodología aplicada para resolverlo.

9

1.0 Introducción El conocer los perfiles de presión, velocidad, temperatura y de la fracción del líquido

en la extracción y transporte de petróleo tiene gran importancia ya que esto, permite

un mejor diseño de los equipos de bombeo y de las redes de tuberías. Como

consecuencia de esto, se tiene un ahorro de energía y una mejor eficiencia del

equipo instalado.

En este trabajo se consideran tres fluidos: gas, aceite y agua con una fracción en

volumen menor a 0.03. Esto permite considerar al aceite y al agua como un solo

fluido, y se hace la consideración de que la mezcla agua-aceite se puede tratar como

una sola fase (líquida).

1.1 Patrones de flujo Los componentes que conforman el aceite pueden estar en fase líquida o gaseosa.

Debido a las condiciones de estado que se encuentran por la caída de presión y los

cambios de temperatura a lo largo de la tubería, esto hace posible que se formen

pequeñas burbujas que empiezan a cohalecer permitiendo la formación de burbujas

de mayor tamaño. Esto ocasiona la formación de diferentes patrones de flujo, los

cuales pueden ser: burbuja, burbuja dispersa, slug, churn, anular y estratificado Taitel

et. al. (1980)

Figura 1.1 Patrones de flujo en tubos verticales.

10

Figura 1.2 Patrones de flujo en tubos horizontales

El patrón de flujo burbuja dispersa, se presenta para un alto flujo volumétrico de

líquido y un bajo flujo volumétrico de gas. El gas forma pequeñas burbujas dispersas

de forma regular distribuidas en toda la fase líquida en forma homogénea. Estas

burbujas empiezan a cohalecer entre ellas formando burbujas de mayor tamaño de

forma irregular, dando lugar al patrón de flujo burbuja. En el patrón de flujo slug, la

fase gaseosa está formada por burbujas alongadas en forma de bala (burbuja de

Taylor) de gran tamaño. Atrás de éstas se encuentra una sección de la fase líquida

que ocupa toda la sección transversal de la tubería. Dicha sección puede tener

pequeñas burbujas; a esta sección se le llama tapón o slug. Cuando la tubería se

encuentra inclinada a un ángulo menor a 3º con respecto a la horizontal, la burbuja

de Taylor tiene contacto con la parte superior de la tubería. Cuando se incrementa el

flujo volumétrico del gas, las burbujas de Taylor empiezan a fragmentarse y

adelgazarse formando fragmentos de gas en forma distorsionada entonces se

presenta el patrón de flujo churn o inestable. Al seguir aumentando el flujo

volumétrico del gas se incrementa la velocidad del gas, los fragmentos de gas

irregulares se empiezan a unir formando una región continua en el centro de la

tubería, el líquido se acomoda de forma anular en el diámetro interior de la tubería,

entonces se tiene el patrón de flujo anular.

En el patrón de flujo estratificado flujo horizontal, las fases líquida y gaseosa se

encuentran separadas, el gas ocupa la parte superior de la tubería y el líquido la

parte inferior. Esto se debe a la fuerza de flotación provocada por la diferencia de

11

densidades entre el líquido y el gas. El patrón de flujo niebla se presenta con valores

altos de flujo volumétrico del gas, donde pequeñas partículas de líquido se

encuentran esparcidas por toda la región gaseosa continua que ocupa toda la

tubería.

1.3 Planteamiento del problema El transporte de fluidos se realiza por diferentes medios, uno de ellos es el bombeo a

través redes de tubería. Lo anterior hace necesario diseñar redes de tuberías y

sistemas de bombeo y algunas ocasiones cuando se transportan flujos de dos fases

se deben diseñar también equipos de separación. Por lo anterior, en la industria

petrolera se requiere de un modelado matemático confiable para flujo en dos fases a

través de tuberías para la determinación de perfiles de presión, temperatura y

velocidad. En este contexto éste trabajo consiste en la elaboración de modelos a

uno y dos fluidos, para flujo en dos fases a través de pozos petroleros. La idea es

que con dichos modelos se determinen las principales variables del flujo, tales como

presión, fracción del líquido, velocidad y temperatura de las fases.

Para validar los modelos propuestos, los resultados se comparan con datos de

campo y otros modelos o correlaciones. El modelo a dos fluidos es muy complejo en

su formulación y solución, por lo que es deseable iniciar con modelos simplificados y

evaluar su estabilidad numérica y su precisión en la predicción de las variables y

poder tener un modelo numéricamente estable que arroje buenas predicciones.

Estos modelos simplificados sólo consideran algunos de los términos transitorios de

las ecuaciones gobernantes. También se debe evaluar el efecto del tamaño de paso

espacial en la predicción.

1.4 Revisión de literatura En el trasporte de líquido-gas a través de redes de tuberías con flujo ascendente y

descendente, se han realizado diferentes trabajos que describen el comportamiento

del transporte de los fluidos. A la fecha se han aplicado diferentes esquemas de

modelado (a un fluido, de flujos relativos y a dos fluidos) para flujo en dos fases. Por

ejemplo, Cazarez-Candia y Vázquez-Cruz (2003) desarrollaron un modelo

homogéneo o de mezcla para predecir los perfiles de presión, velocidad y

12

temperatura del flujo de aceite-gas a través de pozos petroleros. Este modelo utiliza

las ecuaciones para flujo monofásico con propiedades de mezcla. El modelo

matemático se resolvió aplicando diferencias finitas hacia atrás para la derivada

espacial, hacia adelante para la derivada temporal y el concepto de celda donante.

Los autores evaluaron el impacto de considerar el coeficiente de Joule Thomson

sobre la predicción del perfil de temperatura. Por otro lado, Benítez-Centeno (2004)

desarrolló un modelo a dos fluidos para simular el flujo bifásico de líquido-gas a

través de pozos petroleros. El autor consideró que el líquido podía estar formado por

aceite y agua. Se consideró que la fracción máxima de agua podía ser del 0.03 por lo

que la mezcla aceite-agua se consideró como una sola fase líquida. El modelo

matemático consideró una ecuación de conservación para cada una de las fases,

dando como resultado un sistema de seis ecuaciones. Partiendo del modelo genérico

el autor desarrolló las ecuaciones particulares para los siguientes patrones de flujo:

burbuja, burbuja dispersa, slug, anular y estratificado. Las relaciones de cerradura

consisten de esfuerzos en la interfase líquido-pared, esfuerzos interfaciales y fuerzas

de arrastre. El modelo matemático se resolvió aplicando la técnica de diferencias

finitas hacia atrás para las derivadas espaciales, hacia delante para las derivadas

temporales y se aplicó el concepto de celda donante. El autor realizó predicciones

para los perfiles de presión, fracción del líquido, velocidad y temperatura de las fases

para cada uno de los patrones de flujo.

Otra aplicación del modelo a dos fluidos en estado transitorio se presenta en el

trabajo de Fairuzov (2000), donde aplica las ecuaciones de continuidad en

combinación con la ecuación de cantidad de movimiento en un modelo cuasi-estable;

cuasi-transitorio. Él autor modeló flujo estratificado y burbuja dispersa con el

propósito de investigar el comportamiento del flujo transitorio de agua-aceite. En la

formulación del modelo no se considera transferencia de masa interfacial en la

ecuación de continuidad. En las ecuaciones de cantidad de movimiento se toman en

cuenta los esfuerzos interfaciales y los esfuerzos de las fases con la pared. Por otro

lado, Shoham y Brill (1988) desarrollaron un modelo transitorio simplificado para flujo

en dos fases. Las consideraciones empleadas en el modelo son: 1) flujo másico del

gas constante, 2) líquido incompresible y 3) en las ecuaciones de cantidad de

13

movimiento no se consideran términos transitorios. Esto permite calcular el gradiente

de presión para cada uno de los patrones de flujo (estratificado, anular, slug y

burbuja). Para esto se presentan una serie de correlaciones para calcular las fuerzas

de cuerpo y esfuerzos tangenciales para cada patrón de flujo. La forma simple de la

ecuación de continuidad de la fase líquida permite utilizar un esquema implícito para

la solución numérica. La consideración de que el gradiente de presión de las fases es

del mismo valor permite igualar las ecuaciones de cantidad de movimiento, para

calcular el nivel del líquido para el patrón de flujo estratificado, anular y slug.

Relacionado con los trabajos descritos anteriormente, en el medio científico e

industrial existe una variedad de códigos numéricos comerciales, por ejemplo Lopez

et. al. (1997) desarrollaron un análisis de códigos comerciales OLGA, TACITE y

TUFFP para simular flujo en dos fases en estado transitorio. Los autores usaron

datos de campo adquiridos de una red de tuberías de aceite operada por TOTAL en

Bekapai, Indonesia. La tubería tiene un diámetro de 12”, una longitud de 42 km., es

inclinada con flujo ascendente y descendente, la densidad del fluido es de 816 Kg/m3

y su viscosidad 1 cP. Los autores encontraron que el tratamiento termodinámico de

TACITE parece ser más representativo de lo que sucede en la realidad. En su trabajo

demuestran, que el modelado termodinámico para flujo en dos fases es igual de

importante que el modelado hidrodinámico, cuando se utiliza para la predicción de

flujos transitorios en tuberías. El simulador OLGA fue desarrollado en Noruega

(Bendiksen et. al., 1991) y su modelo hidrodinámico considera ecuaciones de

continuidad para el gas, líquido y gotas del líquido, dos ecuaciones de cantidad de

movimiento, una para la película del líquido y la otra combinada para el gas y

posibles gotas del líquido. Se utiliza una ecuación de mezcla para la ecuación de

energía y los valores de viscosidad, densidad, tensión superficial, fracción masa y

conductividad térmica se calculan en función de la presión y la temperatura de

acuerdo con los datos de entrada.

El simulador TACITE se desarrolló en Francia (Fabre et. al. 1989; Pauchon et. al.

1994). El modelo hidrodinámico se basa en el modelo de flujos relativos, donde sólo

se resuelve una ecuación de cantidad de movimiento. La información principal se

basa en el deslizamiento entre las fases; esta ecuación se resuelve utilizando

14

relaciones de cerradura dependiendo del patrón de flujo que se presenta. Para la

ecuación de continuidad el modelo TACITE resuelve N ecuaciones una para cada

una de los componentes del fluido. Como TACITE considera N componentes,

permite una posible variación en las propiedades o composición de los fluidos a lo

largo de la tubería.

El modelo TUFFP es un modelo transitorio de fluidos, donde la ecuación de

continuidad del gas se simplifica despreciando los términos transitorios. El modelo

termodinámico de TUFFP se puede resolver acoplándolo con varios modelos

termodinámicos (aceite negro, correlaciones PVT, tablas) para calcular las

propiedades de los fluidos. Por otro lado, en el trabajo de Issa y Tang (SPE 22534), se empleó el modelo a dos fluidos para predecir la caída de presión y la fracción del

gas para flujo en tuberías verticales. Las ecuaciones se resuelven numéricamente

para un conjunto de variables promediadas en la sección transversal a lo largo de la

tubería. El modelo se aplicó para diferentes patrones de flujo: burbuja, slug y anular.

Las relaciones de cerradura utilizadas correspondieron a las fuerzas de cuerpo y los

esfuerzos cortantes fase-pared y la de transferencia de masa interfacial.

No y Kazimi (1984) estudiaron el impacto de considerar el término de transferencia

de masa virtual en un modelo a dos fluidos sobre la estabilidad numérica. El sistema

de ecuaciones gobernantes se resolvió aplicando la técnica de diferencias finitas y

usando el código Thermit 6-S (para resolver el sistema de ecuaciones). Los autores

recomiendan que para un tamaño de malla fino se tome en cuenta la fuerza

interfacial de masa virtual para lograr estabilidad numérica de las oscilaciones debido

a la expansión del gas.

De la revisión de literatura se detecta que el modelado a dos fluidos ha sido utilizado

por varios investigadores, los cuales han trabajado con versiones pseudotransitorios

y completamente transitorias de dicho modelo. Sin embargo, aparentemente no se

han investigado cuales son los términos temporales indispensables que debe

contener un modelo que sea estable numéricamente y sin que se sacrifique

aproximación de las simulaciones.

15

1.6 Objetivo Modelar matemáticamente el flujo simultáneo de agua-aceite y gas a través de la

tubería de producción en un pozo petrolero. Para esto se utilizó el modelado a uno y

dos fluidos para predecir los perfiles de presión, velocidad y temperatura. Estudiar

modelos pseudotransitorios, con la finalidad de encontrar un modelo más estable

numéricamente sin sacrificar precisión en la predicción de las variables.

1.7 Alcance El alcance del presente trabajo incluye el desarrollo de un modelo matemático

transitorio usando el enfoque de uno y dos fluidos para el flujo simultáneo de gas-

aceite-agua (0.03 fracción volumen de agua) a través de pozos petroleros verticales.

Las propiedades de los fluidos se determinan a partir de correlaciones propuestas de

la industria petrolera. Los patrones de flujo se obtienen de relaciones teórico-

experimentales reportadas en la literatura. El sistema de ecuaciones se discretiza

utilizando la técnica de diferencias finitas con un arreglo implícito hacia atrás para la

derivada espacial y hacia adelante para la derivada temporal además se utilizó el

concepto de celda donante. El código computacional se programa en lenguaje

FORTRAN y el sistema de ecuaciones se resuelve aplicando el paquete LINKPAC.

Los resultados obtenidos del modelo a dos fluidos y un fluido se validan con datos

de campo reportados en la literatura.

1.8 Metodología La metodología empleada en este trabajo consiste de tres partes. La primera está

relacionada con el planteamiento y solución de modelos a dos fluidos, la segunda

está relacionada con el modelo homogéneo, y la tercera se refiere al análisis de

resultados.

1.8.1 Metodología para el desarrollo de los modelos a dos fluidos Para la obtención del modelo a dos fluidos se plantea primeramente el modelo físico

y se hace una descripción de las consideraciones generales y particulares para cada

uno de los patrones de flujo. Con esto se puede desarrollar un modelo matemático

general y los modelos matemáticos particulares de cada patrón de flujo. Para los

modelos de cada patrón de flujo (que incluyen todos los términos temporales) se

16

plantean modelos simplificados al despreciar los términos temporales de algunas

variables. Después se obtienen las relaciones de cerradura (fuerza de arrastre,

esfuerzos tangenciales de la fase con la pared e interfaciales) para los patrones de

flujo.

El sistema de ecuaciones se resuelve mediante una discretización empleando la

técnica de diferencias finitas para obtener un sistema de ecuaciones algebraicas, que

se resuelven desarrollando un código numérico en lenguaje Fortran y usando el

paquete LINKPAC para resolver el sistema de ecuaciones para cada uno de los

modelos a dos fluidos. Posteriormente, estos modelos se validan con datos de

campo de la presión reportados en la literatura y con 10 correlaciones utilizadas en la

industria petrolera. Se muestra a continuación un diagrama de la metodología

empleada para el desarrollo de los modelos a dos fluidos.

1.8.2 Metodología del desarrollo del modelo homogéneo Para el desarrollo del modelo de un fluido, se hace una descripción de las

consideraciones generales realizadas para posteriormente, obtener las ecuaciones

gobernantes que conforman el modelo matemático que describe el fenómeno.

Después se determinan las relaciones de cerradura (esfuerzo tangencial del fluido

con la pared). El modelo se resuelve empleando la técnica de diferencias finitas

hacia atrás para la derivada espacial y hacia adelante para la derivada temporal,

obteniendo un sistema de ecuaciones algebraicas. Dicho sistema se resuelve

mediante el desarrollo de un código numérico, empleando el compilador Fortran y

para la solución del sistema de ecuaciones se emplea el paquete LINKPACK. La

validación se realiza comparando los resultados obtenidos del perfil de la presión con

datos de campo y la predicción de 10 correlaciones utilizadas en la industria

petrolera. En forma esquemática la metodología para la obtención de los modelos a

uno y dos fluidos se muestran en la Figura 1.3

1.8.3 Metodología empleada para el análisis de resultados Después del desarrollo y validación de los modelos a dos fluidos, se realiza una

comparación entre ellos y con datos de campo (Chierici et. al., 1973). Con base en la

comparación, se selecciona el modelo con mejor estabilidad y predicción. Con el

modelo seleccionado se realiza un estudio del impacto del tamaño de paso espacial

17

sobre la predicción de la presión y la fracción del líquido. Después se realiza la

comparación de la predicción de la presión del modelo simplificado con datos de

campo, el modelo homogéneo y con 10 correlaciones de la industria petrolera.

Posteriormente se hace una descripción y análisis de los resultados de la evolución

de los perfiles transitorios de la fracción del líquido para el modelo simplificado.

Después se realiza una evaluación del modelo sin considerar el coeficiente de Joule-

Thomson para el modelo simplificado. En la Figura 1.4 se muestra el diagrama de

flujo de la metodología empleada para el análisis de resultados.

18

Figura 1.3 Diagrama de la metodología empleada para el desarrollo de los modelos a dos fluidos y un fluido.

Modelo 3 Considera los términos

transitorios de la velocidad del gas y la fracción del

líquido.

Ecuaciones gobernantes de los modelo a dos fluidos

Modelo físico y consideraciones generales

Descripción de los patrones de flujo

Modelo 1 Considera todos los términos transitorios de las variables

(presión, fracción del líquido, velocidades y temperatura)

Modelo 2 Considera los términos

transitorios de la velocidad del gas y la fracción del

líquido.

Descripción del modelo homogéneo

Ecuaciones gobernantes del

Modelo homogéneo

Discretización de las ecuaciones (Empleando la técnica de diferencias finitas)

Desarrollo del código numérico para la solución de los sistemas de ecuaciones

Elaboración del diagrama de flujo para la solución numérica

Determinación de las correlaciones de cerradura

Validación de los modelos

19

Figura 1.4 Diagrama de la metodología empleada para el análisis de resultados

Comparación de los modelos a dos fluidos

Selección del modelo de mejor estabilidad y predicción.

(Modelo 2)

Comparación del modelo 2 y modelo homogéneo con las

correlaciones y datos de campo

Análisis del impacto del tamaño de malla espacial en

la predicción de las variables. (Presión y fracción del

líquido)

Análisis de los perfíleles de temperatura, presión y velocidad del

modelo homogéneo

Conclusiones y recomendaciones

Análisis de la predicción de los períodos transitorios de de la fracción

del líquido

Análisis de los perfiles de la presión velocidad y fracción del líquido del modelo seleccionado

Análisis de los perfíleles de temperatura y velocidad del modelo

seleccionado

20

Capítulo 2

Modelo físico En este capítulo se hace una descripción del modelo físico que describe los

diferentes patrones de flujo que se presentan en el transporte a través de tuberías o

la extracción de aceite a través de pozos petroleros. La idea de presentar el modelo

físico es comprender los fenómenos hidrodinámicos y con base en ello poder hacer

el planteamiento de modelos matemáticos bajo el esquema de uno y dos fluidos.

21

2.0 Modelo físico El flujo de líquido-gas es ascendente a través de una tubería de sección transversal

constante presentándose diversos patrones de flujo, por lo que se hace una

descripción de las características de cada uno de ellos, con la finalidad de establecer

las consideraciones y suposiciones al plantear las ecuaciones de flujo en dos fases.

2.1 Consideraciones generales: Las consideraciones para todos y cada uno de los patrones de flujo son las

siguientes:

(1) La transición entre los patrones de flujo se determinan de acuerdo a los principios

de la termodinámica, la cual se debe a los multicomponentes que forman la mezcla

del aceite del petróleo.

(2) Los efectos de caída de presión a lo largo de la tubería generan una

despresurización provocando cambios de fase y, por lo consecuente, cambios en el

patrón de flujo.

(3) Los patrones de flujo se presentan en función del flujo volumétrico de las fases,

es decir, no se toman en cuenta los fenómenos de coalescencia.

(4) No se presenta reacción química entre las fases.

(5) No se considera transferencia de masa interfacial.

(6) Para flujo bifásico de líquido-gas, los efectos del transporte de calor debido a los

esfuerzos de Reynolds son pequeños, por lo que se desprecian.

(7) Debido al tamaño de la longitud de la tubería se considera flujo

hidrodinámicamente desarrollado.

(8) Se considera flujo adiabático.

22

2.2 Patrones de flujo en el transporte de aceite negro: Durante el flujo de aceite negro en tuberías se presentan diferentes patrones de flujo

con características definidas, las cuales se describen a continuación

2.3 Tipos de petróleo Son miles los compuestos químicos que constituyen el petróleo, y entre muchas

otras propiedades, estos compuestos se diferencian por su volatilidad (dependiendo

de la temperatura de ebullición). Al calentarse el petróleo, se evaporan

preferentemente los compuestos ligeros (de estructura química sencilla y bajo peso

molecular), de tal manera que conforme aumenta la temperatura, los componentes

más pesados van incorporándose al vapor.

La industria mundial de hidrocarburos líquidos clasifica el petróleo de acuerdo a su

densidad API (parámetro internacional del Instituto Americano del Petróleo, que

diferencia las calidades del crudo).

Tabla 2.1 Clasificación del aceite crudo por densidad y densidad en grados API. Aceite crudo

Extrapesado Pesado Mediano Ligero Superligero

Densidad >1.0 1.0 - 0.92 0.92 - 0.87 0.87 - 0.83 < 0.83

Densidad en grados API

10.0 10.0 - 22.3 22.3 - 31.1 31.1 - 39 > 39

2.4 Flujo burbuja y burbuja dispersa En estos patrones de flujo, el líquido es la fase continua y tiene contacto con la pared

de la tubería, por lo que el esfuerzo cortante líquido-pared ( lwτ ) es diferente de cero.

Pequeñas burbujas de gas se encuentran dispersas preferentemente en la parte

central de la tubería y no tienen contacto con la pared, por lo que se supone que el

esfuerzo cortante gas-pared ( gwτ ) es despreciable. A partir del flujo burbuja disperso,

cuando las burbujas empiezan a cohalecer una con la otra, forman burbujas de

mayor tamaño con forma irregular, presentándose el flujo burbuja (Figura 2.1). En

23

ambos patrones de flujo, es importante tomar en cuenta la fuerza de arrastre ( DF ).

Cabe mencionar que debido a la forma irregular de las burbujas en el flujo burbuja,

DF se calcula de forma diferente que en el flujo burbuja dispersa (ver apéndice B).

Para los casos en que se tiene la tubería en posiciones horizontal e inclinada, los

esfuerzos y la fuerza de arrastre se consideran igual que lo descrito arriba.

Figura 2.1 Patrón de flujo burbuja y burbuja dispersa

2.4 Flujo anular En este patrón de flujo (Figura. 2.2) las fases se encuentran separadas. El líquido

ocupa la región de la pared de la tubería por lo que el esfuerzo líquido-pared es

diferente de cero ( 0lwτ ≠ ). La fase gaseosa viaja por la parte central de la tubería y

no tiene contacto con la pared, entonces el esfuerzo gas-pared no existe ( 0gwτ = ). En

este caso existe diferencia de velocidades entre las fases, lo cual provoca que se

presenten esfuerzos interfaciales ( iτ ). Para tuberías verticales e inclinadas se

presentan los mismos esfuerzos que para las tuberías horizontales.

Fd

Gravedad

0lwτ ≠

0gwτ =

Dirección del flujo

Burbuja

Burbuja dispersa

24

Figura 2.2 Patrón de flujo anular

2.5 Flujo tapón vertical La fase gaseosa viaja en la parte central de la tubería (Figura. 2.3) en forma de bala

(burbuja de Taylor), seguida por un tapón de líquido que algunas veces contiene

pequeñas burbujas, por lo que el gas no tiene contacto con la pared de la tubería. La

fase líquida en la región de la burbuja de Taylor está acomodada en forma anular, y

por esta razón esta región se modela como un patrón de flujo anular y no se presenta

el esfuerzo gas-pared ( 0gwτ = ) pero si hay esfuerzos interfaciales ( 0iτ ≠ ). En la

sección del tapón de líquido hay pequeñas burbujas de gas por lo que se modela

como un patrón de flujo burbuja, por lo tanto se presenta la fuerza de arrastre

( 0dF ≠ ) entre el líquido y las burbujas. En ambos regiones se presenta el esfuerzo

líquido-pared ( 0lwτ ≠ ).


0g wτ =

0lwτ ≠

0iτ ≠

25

Figura 2.3 Patrón de flujo slug o tapón vertical

2.6 Flujo tapón horizontal Similarmente al flujo tapón vertical, este patrón de flujo se divide en dos secciones

(Figura2.4), una de ellas es la sección burbuja donde se presentan la fuerza de

arrastre ( 0dF ≠ ) y los esfuerzos líquido-pared y la otra es la sección de patrón de

flujo estratificado donde el gas se encuentra en forma de bala pegada a la parte

superior de la tubería, por lo que se presenta los esfuerzos gas-pared ( 0gwτ ≠ ) y

líquido-pared ( 0lwτ ≠ ). En esta sección existe diferencia de velocidades entre las

fases por lo que el esfuerzo interfacial es importante ( 0iτ ≠ ).

Tratamiento del flujo como patrón burbuja

Tratamiento del flujo como patrón anular.


0lwτ ≠

0gwτ =

26

Figura 2.4 Patrón de flujo slug horizontal

2.7 Patrón de flujo estratificado En este patrón de flujo las fases se encuentran separadas (Figura. 2.5). La fase

líquida ocupa la parte inferior de la tubería y la fase gaseosa la parte superior, esto

se debe a la diferencia de densidades que existe entre las fases. Debido al

acomodamiento de las fases en la tubería se considera que en este patrón de flujo se

presentan los esfuerzos gas-pared ( 0gwτ ≠ ) y líquido-pared ( 0lwτ ≠ ). También se

presenta el esfuerzo interfacial ( 0iτ ≠ ) debido a la diferencia de velocidades entre las

fases.

Longitud de la burbuja de Taylor

Longitud tapón slug

0lwτ ≠

0gwτ ≠

Tratamiento del flujo como patrón estratificado

Tratamiento de l flujo como patrón

burbuja

Dirección del flujo iτ

DF

27

Figura 2.5 Patrón de flujo estratificado horizontal

0gwτ ≠0iτ ≠

0lwτ ≠


Gravedad

28

Capítulo 3

Modelo a dos fluidos En este capítulo se presentan las ecuaciones que componen el modelo a dos fluidos

para flujo en dos fases. Se presenta un modelo genérico del cual se plantean dos

modelos simplificados en los cuales los términos temporales de algunas variables

dependientes se desprecian. Lo anterior con la finalidad de obtener modelos más

estables numéricamente sin sacrificar la predicción.

29

3.0 Desarrollo de las ecuaciones de conservación del modelo a dos fluidos Las ecuaciones gobernantes del modelado a dos fluidos para flujo en dos fases en

una dimensión fueron desarrolladas por Lahey y Drew (1989). En presente trabajo,

dichas ecuaciones se simplifican tomando en cuenta el modelo físico descrito para

los patrones de flujo (Capítulo 2). De las consideraciones generales se obtienen las

ecuaciones que se presentan a continuación (ver apéndice A).

Modelo 1 (modelo completo) Además de los términos convectivos, de presión, fracción del líquido, densidad,

velocidad, energía específica, densidad, fuerzas de cuerpo, de esfuerzos y de las

fuerzas interfaciales de arrastre, este modelo considera los términos transitorios de la

presión, fracción del líquido, velocidad y temperatura.

3.1 Ecuación de continuidad del gas La ecuación de continuidad del modelo a dos fluidos para la fase gaseosa,

unidireccional, sin transferencia de masa interfacial con flujo totalmente desarrollado

es:

0g g g g gUt z

α ρ α ρ∂ ∂+ =

∂ ∂…………………….………….…………………3.1

donde gρ es densidad, gα es fracción volumétrica y gU es velocidad. Desarrollando

las derivadas de los términos 1 y 2 de la ecuación (3.1) se obtiene lo siguiente:

g g g gg gt t t

α ρ ρ αα ρ

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂…………………………………………..3.2

g g g g g gg g g g g g

U UU U

z z z zα ρ ρ α

α ρ α ρ∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

……………………….3.3

Sustituyendo las ecuaciones (3.2) y (3.3) en la ecuación (3.1):

0g g g g gg g g g g g g g

UU U

t t z z zρ α ρ α

α ρ α ρ α ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

……………….3.4

30

Agrupando y factorizando los términos de la ecuación (3.4) resulta que:

0=∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂

zU

zU

tzU

tg

ggg

gggg

gg

g ραα

αρρρ

α …………………….3.5

La densidad es función de la temperatura y de la presión ( )gggg TP ,ρρ = , por lo que

se tiene que:

tT

TtP

Ptg

Pg

gg

Tg

gg

gg∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ ρρρ…………………………………………3.6

Aplicando el concepto del factor de compresibilidad para gases reales Wark (1991) y

despejando la densidad se tiene:

gg g

PZRTρ = ……………………………………………………..3.7

donde R es la constante del gas, Z es el factor de compresibilidad y gT la

temperatura de la fase gaseosa. Derivando la densidad con respecto a la

temperatura y considerando la presión P constante, se tiene lo siguiente:

1 1( ) ( )

g g

g g g g g

g g g g g g g g gP P

P P P PZT T ZRT R T ZT R Z ZT T T ZRTρ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= = = − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠…….…...3.8

La densidad del gas está dada por la ecuación (3.7). Entonces sustituyendo la

densidad del gas gρ en la ecuación (3.8) resulta lo siguiente:

g

g

g

g

Pg

g

TZ

ZTTg

∂∂

−−=∂

∂ ρρρ……………..……………………….…..3.9

Por otro lado, se sabe que:

2

1

gP Cgρ∂=

∂……………………………………………………………………3.10

31

donde Cg es la velocidad del sonido. Sustituyendo las ecuaciones (3.9) y (3.10) en la

ecuación (3.6) se tiene:

tT

TZ

ZTtP

Cgtg

g

g

g

ggg

∂

∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

−−+∂

∂+=

∂

∂ ρρρ2

1 ………………………………3.11

La derivada parcial de la densidad con respecto a la coordenada espacial se obtiene

por analogía de la ecuación (3.11):

2

1g g g g g

g g

P TZz Cg z T Z T zρ ρ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂

= + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠…………………………………3.12

Sustituyendo las ecuaciones (3.11) y (3.12) en la ecuación (3.5) se obtiene que:

2 2

0

g g g g g g g g g g

g

g g g g g g g gg g g g g g

g

P T U PZt T t Z t zCg Cg

T U UZU UT z Z z t z z

α α ρ α ρ α

α ρ α ρ αρ α α ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂− − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

………3.13

Factorizando y ordenando los términos de la ecuación (3.13) la ecuación de

continuidad para la fase gaseosa queda de la forma siguiente:

0

2

=∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂

zU

zU

t

zZU

tZ

ZzT

Ut

TTz

PU

tP

Cg

ggg

gggg

gggg

gg

g

gggg

gg

ραα

αρ

ραραα

………….3.14

Para un gas ideal Z =1, por lo que los términos de las derivadas de Z en la ecuación

(3.15) son cero:

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

zZU

tZ

Z gggρα

……………..…………………………3.15

Sustituyendo la fracción del gas en términos de la fracción de líquido [ ( )1g lα α= − ] la

ecuación (3.15) queda como:

32

2

(1 ) (1 )

(1 ) 0

g g g gl lg g g

g

glg l g g l

P P T TU U

t z T t zCgU

Ut z z

α αρ

αρ α ρ α

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂∂∂⎛ ⎞− + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

…….………….….3.16

3.2 Ecuación de continuidad para la fase líquida La ecuación de continuidad para líquido incompresible y sin considerar transferencia

de masa interfacial es la siguiente:

0l l ll l

Ut zα αρ ρ∂ ∂

+ =∂ ∂

…………………….……………………………..3.17

Dividiendo la ecuación (3.17) entre la densidad del líquido resulta:

0l l lUt zα α∂ ∂

+ =∂ ∂

…………………………………………………...….3.18

Desarrollando la derivada del segundo término de la ecuación (3.18) se tiene que:

0l l ll l

UU

t z zα α

α∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

…………………………………..3.19

3.3 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa La ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa, y flujo unidireccional

es la siguiente:

g g g g g g g g gw gi dg g g gi

H H

U U U Pgsen M

t z z D D

τ τα ρ α ρα α ρ θ

∂ ∂ ∂+ = − + + + +

∂ ∂ ∂…..…………3.20

donde HD es el diámetro hidráulico, gi

dM representa las fuerzas interfaciales (por

unidad de volumen) sobre la fase gaseosa, gw

τ es el esfuerzo tangencial de la fase

del gas que actúa sobre la pared y gi

τ es el esfuerzo interfacial de la fase del gas en

la interfase.

33

Desarrollando las derivadas de los términos (1) y (2) del lado izquierdo de la

Ecuación (3.20), ésta queda de la forma siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )g g g g g g gg g g g g g g

g gw gi dg g g gi

H H

U U UU U U

t t z zP

gsen Mz D D

α ρ α ρα ρ α ρ

τ τα α ρ θ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂

− − + − +∂

………………..3.21

Sustituyendo la ecuación de continuidad (3.1) en la ecuación (3.21) se tiene que:

( ) ( )g g g gw gi dg g g g g g g g gi

H H

U U PU gsen M

t z z D D

τ τα ρ α ρ α α ρ θ

∂ ∂ ∂+ + = − + − +

∂ ∂ ∂.............3.22

En este trabajo se considera que solo la fuerza interfacial de arrastre es importante

( dgi DM F= ). Los términos de fuerza de arrastre y el diámetro hidráulico se pueden

escribir de forma tal que la ecuación (3.22) queda como:

4 4 1g gg g g gw gi D

g g g gg g l

S SU U P FU gsent z z A A

τ τρ ρ ρ θ

α∂ ∂ ∂

+ + = − − − +∂ ∂ ∂ −

……………3.25

Las expresiones para los esfuerzos y la fuerza de arrastre para los diversos patrones

de flujo se encuentran en el Apéndice (B).

3.4 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida La ecuación de cantidad de movimiento para el líquido se puede escribir como:

dl l l l l l l lw lil l l li

H H

U U U P gsen Mt z z D D

τ τα ρ α ρα α ρ θ

∂ ∂ ∂+ + = + + +

∂ ∂ ∂…………..…….3.26

Desarrollando las derivadas de los términos (1) y (2) del lado izquierdo de la

ecuación (3.26) resulta:

34

( ) ( ) ( ) ( )l l l l l l ll l l l l l l

dl lw lil l l li

H H

U U UU U Ut t z z

P gsen Mz D D

α ρ α ρα ρ α ρ

τ τα α ρ θ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂

− − − − +∂

………….……….3.27

Sustituyendo la ecuación de continuidad (3.17) se simplifica la ecuación (3.27) y se

obtiene:

dl l l lw lil l l l l l l l li

H H

U U PU gsen Mt z z D D

τ τα ρ α ρ α α ρ θ∂ ∂ ∂

+ + = − − − +∂ ∂ ∂

……………3.28

Similarmente a la ecuación (3.25), la ecuación (3.28) se puede escribir como:

4 4l ll l l lw li D

l l l ll l l

S SU U P FU gsent z z A A

τ τρ ρ ρ θ

α∂ ∂ ∂

+ + = − − − +∂ ∂ ∂

………………..3.29

3.5 Ecuación de energía para la fase gaseosa La ecuación de energía para flujo unidireccional, adiabático, sin generación de calor

y sin transferencia de masa interfacial, es la siguiente:

cosk k k k k k K kk k k k

e e U P gUt z t

α ρ α ρ α α ρ φ∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂….……….…3.30

donde ke es la energía específica de la fase, kU es la velocidad de la fase y

k representa el subíndice g que representa la fase gaseosa y el subíndice l que

representa la fase líquida. Desarrollando las derivadas temporal y espacial de la

ecuación (3.30) resulta:

cos

k k k kk k k k k k k k k K

kk k k k

e ee e U Ut t z zP gUt

α ρ α ρ α ρ α ρ

α α ρ φ

∂ ∂ ∂∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂∂

= +∂

………..……3.31

Aplicando la ecuación de continuidad (3.1) en la ecuación (3.31) se obtiene:

cosk k kk k k k K k k k K

e e PU gUt z t

α ρ α ρ α α ρ φ∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂…………….…3.32

35

La energía específica ke es la suma de la entalpía ( kh ) más la energía cinética:

.2

k kk K

U Ue h= + ……………..…………..………..……… 3.33

Derivando la energía especifica con respecto al espacio y al tiempo se obtiene,

respectivamente:

.2

k k k ke h U Uz z z

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂……………..………….…….…………3.34

.2

k k k ke h U Ut t t

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂…………..……...………..…………….3.35

Sustituyendo las ecuaciones (3.34) y (3.35) en la ecuación (3.32) y dividiéndola entre

kρ y kα , se obtiene:

. .1 12 2

1 cos

k k k k k kk k

K

kk

h U U h U UU Ut t z z

P gUt

φρ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂

+∂

………………..….3.36

Las derivadas del segundo y del tercer término del lado izquierdo de la ecuación

(3.36) resultan ser:

12 k k k kU U U U

t t∂ ∂

=∂ ∂

…………………………………………….……3.37

2

2k

k k k kU U U U U

z t∂ ∂

=∂ ∂

…….……………………………………….…..3.38

Sustituyendo las ecuaciones (3.37) y (3.38) en la ecuación (3.36), la ecuación de

energía queda como:

2 1 cosk k k k kk k k k

k

h U h U PU U U U gt t z z t

φρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠………….3.39

Sustituyendo el subíndice k por g , la ecuación de la energía para la fase gaseosa

queda de la siguiente forma:

36

2 1 cosg g g g gg g g g

g

h U h U PU U U g U

t t z z tφ

ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞

+ + + = + ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠…….….3.40

Para gases reales la entalpía se expresa de la forma siguiente (Faires and Simmang

1982):

PCpTCph ∂−∂=∂ η ……….……….……………………………. 3.41

donde η es el coeficiente de Joule-Thomson y Cp el calor especifico a volumen

constante.

Derivando la ecuación (3.41) con respecto al tiempo ( t ) y la posición ( z ) se obtiene:

g g gh T PCp Cp

t t tη

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂………………………………....……..3.42

g g gh T PCp Cp

z z zη

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂……………………………….……….3.43

Sustituyendo las ecuaciones (3.42) y (3.43) en la ecuación (3.40) se tiene que:

2

1 cos

g g gg g g

g gg g

g

PU UT TC p U C p U U C pt z t z t

P PU C p g U

z t

η

η φρ

∂∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂+ + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂

− = + ⋅∂ ∂

………....…….3.44

Ordenando y factorizando los términos de la ecuación (3.44), resulta:

1

cos

g g g g gg g g g

g

g gg g go

U U P P PU U Cp U

t z t z t

T TCp U U

t z

ηρ

φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞+ + = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

………………..…3.45

37

3.6 Ecuación de energía para la fase líquida La ecuación de la energía para flujo unidireccional, fluido incompresible, flujo

adiabático y sin generación de calor, se obtiene de la ecuación (3.39) haciendo lk = :

2 1 cosl l k l ll l l l

l

h U h U PU U U g Ut t z z t

φρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + = + ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠………..……3.46

El coeficiente de Joule-Thomson (Wark 1991) para fluidos incompresibles es:

1

lCpη

ρ= ………………………...………………..…..……3.47

Sustituyendo la ecuación (3.48) en las ecuaciones (3.42) y (3.43), y sustituyendo

éstas a su vez en la ecuación (3.46) resulta que:

2

1 1

1 cos

l l lp l l p

l ll l

l

P U PT TC U U Ct t t z z

U PU g Uz t

ρ ρ

φρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂− + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂⎛ ⎞+ = + ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

………………….………..3.48

Simplificando y ordenando los términos de la ecuación (3.48), se tiene que:

2 1 cosl l lp p l l l l

U PT T UC C U U U g Ut z t z z

φρ

∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + − = − ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ………3.50

Modelo 2 El modelo 2 de flujo en dos fases líquido-gas es un modelo pseudotransitorio a dos

fluidos, donde solo se consideran los términos transitorios de la fracción del líquido y

de la velocidad del gas en las ecuaciones gobernantes.

3.7 Ecuación de continuidad para la fase gaseosa Partiendo de la ecuación (3.5) y despreciando el término transitorio de la densidad

del gas, se tiene que la ecuación de continuidad para la fase gaseosa está dada por:

0g g gg g g g g g g

UU U

z t z zρ α

α ρ α α ρ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂

+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ……….…………….3.51

38

Sustituyendo la ecuación (3.11) en la ecuación (3.51) resulta:

2 2

0

g g g g g g g g g gg

g

g gg g g g g

U P T U ZUCg Cg z T z Z z

UU

t z z

α α α ρ α ρ

αρ α α ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂− + − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞∂+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

………………………3.52

Factorizando y ordenando los términos de la ecuación (3.52) se tiene que:

2

0

g g g g g g gg g g

g

g gg g g g g

P T ZU U UCg z T z Z z

UU

t z z

α α ρ α ρ

αρ α α ρ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂⎛ ⎞∂

+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

………………………..3.53

Considerando gas ideal, el tercer término del lado izquierdo de la ecuación (3.53) se

hace cero. Además, sustituyendo la fracción del gas en función de la fracción del

líquido, la ecuación de conservación de la masa para la fase gaseosa queda como:

2

(1 ) (1 ) (1 ) 0g g gl l l lg g g g g g l

g

P T UU U U

Cg z T z z t zα α α αρ ρ ρ α

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ∂ ∂⎛ ⎞− − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠…….3.54

3.8 Ecuación de continuidad para la fase líquida La ecuación de continuidad de la fase líquida (ecuación. 3.19) desarrollada para el

modelo 1 es la misma que ecuación para el modelo 2.

3.9 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa La ecuación (3.25) del modelo 1 que se desarrolló anteriormente es la misma que

para el modelo 2.

3.10 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida Considerando la ecuación (3.29) desarrollada para el modelo 1 y despreciando el

término transitorio de la velocidad del líquido, se tiene que la ecuación de cantidad de

movimiento para la fase líquida queda como:

39

4 4l ll l lw li D

l l ll l l

S SU P FU gsenz z A A

τ τρ ρ θ

α∂ ∂

+ = − − − +∂ ∂

…………..…………..….…..3.55

3.11 Ecuación de energía para la fase gaseosa Considerando la ecuación (3.40) y despreciando los términos transitorios de la

entalpía y de la presión se tiene:

2 cosg g gg g g g

U h UU U U g U

t z zφ

∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + = ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

……………………….3.56

Sustituyendo la ecuación (3.43) en la ecuación (3.56) resulta:

2 cosg g gg g g g g

U U PTU C p U U U C p gUz t z z

η φ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂

+ + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠……….3.57

Ordenando los términos de la ecuación (3.57), la ecuación de la energía para la fase

gaseosa queda como:

cosg g g gg g g g g g g

U U P TU U Cp U Cp U U

t z z zη φ

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

……3.58

3.12 Ecuación de la energía para la fase líquida Partiendo de la ecuación (3.46), despreciando el término transitorio de la entalpía, y

sustituyendo la ecuación (3.47) para el coeficiente de Joule Thomson se tiene:

21 cosl l ll l p l l

U P UTU U C U g Ut z z z

φρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞+ − + = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠……………………..3.59

Despreciando el término transitorio de la velocidad del líquido, simplificando y

ordenando los términos de la ecuación (3.59) resulta:

2 1 cosl lp l l l

U PTC U U g Uz z z

φρ

∂ ∂∂+ − = − ⋅

∂ ∂ ∂ ……………………..3.60

40

Modelo 3 En este modelo solo se consideran los términos transitorios de la velocidad del

líquido y la fracción del líquido con la finalidad de obtener un modelo más estable

numéricamente.

3.13 Ecuaciones de conservación de masa La ecuación de continuidad para la fase líquida (ecuación. 3.19) y la fase gaseosa

(Ecuación. 3.54) del Modelo 2, son las mismas que para el modelo 3

3.14 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa Siguiendo el mismo procedimiento para obtener la ecuación (3.25) y despreciando el

término temporal de la velocidad del gas, la ecuación de cantidad de movimiento

para la fase gaseosa queda como:

4 4 1g gg g gw gi D

g g gg g l

S SU P FU gsenz z A A

τ τρ ρ θ

α∂ ∂

+ = − − − +∂ ∂ −

………………3.61

3.15 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida Debido a las consideraciones de simplificación de los términos transitorios del

modelo 3, la ecuación de cantidad de movimiento para el líquido es igual que la

ecuación (3.29) del modelo 1.

3.16 Ecuación de energía, para la fase gaseosa De la ecuación (3.45), obtenida para el modelo 1, y tomando en cuenta las

consideraciones de simplificación (el modelo 3 solo considera los términos

transitorios de la velocidad del líquido y la fracción del líquido), se tiene que la

ecuación de energía para la fase gaseosa es:

cosg g gg g g g g g g

U P TU U Cp U Cp U U

z z zη φ

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

…..……3.62

41

3.17 Ecuación de energía para la fase líquida Considerando la ecuación (3.50) obtenida para el modelo 1 y despreciando los

términos transitorios de la temperatura, la ecuación de energía para la fase líquida

queda como:

21 cosl l ll l p l l

U P UTU U C U gUt z z z

φρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠………….…….3.63

42

Capítulo 4 Discretización y validación de los

modelos matemáticos En este capítulo se presenta la discretización de los sistemas de ecuaciones de los

modelos a dos fluidos presentados en el capítulo anterior, y se lleva a cabo aplicando

el método de diferencias finitas con un esquema hacia atrás para las derivadas

espaciales y hacia delante para las derivadas temporales, y se utiliza el concepto de

celda donante. Además, se presenta el procedimiento de solución y la validación de

los modelos matemáticos.

43

4 Discretización de las ecuaciones de conservación Los modelos a dos fluidos para flujo en dos fases están formados por un sistema de

ecuaciones con derivadas parciales no lineales. La solución de dichos modelos se

realiza aplicando la técnica de diferencias finitas.

Si ( f ) representa cualquiera de las variables dependientes del sistema de

ecuaciones, las expresiones matemáticas utilizadas para la discretización en espacio

y tiempo son las siguientes:

zff

zf tt

itt

i

Δ

−=

∂∂ Δ+

−Δ+

)1()( ………………………………………………4.1

( ) ( )t t ti if ff

t t

+Δ −∂=

∂ Δ…………………………………………………4.2,

donde tΔ es el tamaño de paso temporal y zΔ es el tamaño de paso espacial. Los

superíndices t y tt Δ+ indican que las variables dependientes se calculan en tiempo

anterior y en tiempo actual respectivamente, i es la celda actual, 1−i es la celda

anterior.

4.1 Ecuaciones discretizadas del modelo 1 Las ecuaciones (3.54), (3.19), (3.25), (3.29), (3.45) y (3.50) desarrolladas en el

capítulo anterior se discretizan en espacio y tiempo utilizando las ecuaciones (4.1) y

(4.2). Dichas ecuaciones en forma discretizada quedan como sigue:

4.1.1 Ecuación de masa para la fase gaseosa

( )( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( 1) ( )2

1 11 1 1

( )

1 11

( )

t t t t t tl log g i g g g i g l g i

g

t t t t t tlo log g l i g i go g i g g i

g

g

t t tU P U T Uz T z zCg

t tU P U P Tz z TCg

α αρ ρ α

α αρ α ρ

ρ

+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ−

⎛ ⎞⎛ ⎞− −Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞− −Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ ( )( 1) ( ) ( 1) ( 1)1

1t t t t t t tlg g i g l i g l i g l g i

g

t t tU T U UT z z zα

ρ α α ρ α+Δ +Δ +Δ− − −

⎛ ⎞− Δ Δ Δ⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Δ Δ Δ⎝ ⎠⎝ ⎠

………...4.3

44

4.1.2 Ecuación de conservación de masa para la fase líquida

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( )1 t t t t t t t t tl l i l l i l l i l l i l i

t t t tU U U Uz z z tα α α α α+Δ +Δ +Δ +Δ

− −Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

……………..4.4

4.1.3 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento para fase gaseosa

( ) ( ) ( ) ( 1)

( 1)

1

4 4 1

t t t t t t tg g g i g i g g i g g g i

l ggw git t Dg i g

g g l

t t tU U P U U Uz z z

S t S t F tt P t gsenz A A

ρ ρ ρ

τ τρ θ

α

+Δ +Δ +Δ−

+Δ−

Δ Δ Δ⎛ ⎞− + = + +⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠Δ Δ ΔΔ

− Δ − + −Δ −

………..………….4.5

4.1.4 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento para la fase líquida

( ) ( ) ( ) ( 1)

( 1)

1

4 4

t t t t t t tl l l i l i l l i l l l i

l lt t lw li Dl i l l

l l l

t t tU U P U U Uz z z


ρ ρ ρ

τ τα ρ θ

α

+Δ +Δ +Δ−

+Δ−

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ ΔΔ⎛ ⎞+ − Δ − + −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

…………….……..4.6

4.1.5 Ecuación de conservación de energía de la fase gaseosa

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( 1)

11 1

1 cos

t t t t t t t tg g i g g i g g i g g i

g

t t t tg g g i g i g g g i

g

g

t t tU U Cp P Cp U P Cp U Tz z z

ttU g Cp T Cp P Cp U Pz

U

η ηρ

φ η ηρ

+Δ +Δ +Δ +Δ

+Δ−

⎛ ⎞Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ Δ⎛ ⎞= −Δ + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠⎝ ⎠

+ ( ) ( 1) ( ) ( 1)t t t t t tg i g g i g g i g g g i

t tU U U U Cp T Cp U Tz z

+Δ +Δ− −

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

…….4.7

4.1.6 Ecuación de conservación de energía para la fase líquida

( ) ( )

2( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)

1 1 1 cos

1

t t t t t tl l l i i l l i l

t t t t t t t tl l i l l l i l l i l l i l l i

l

t t tU U U P Cp T tUz z z

t t tCp T Cp U T U P U U U Uz z z

φρ

ρ

+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ +Δ− − −

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + = −Δ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

………….4.8

4.2 Ecuaciones discretizadas del modelo 2 El procedimiento aplicado para obtener las ecuaciones discretizadas del modelo 1 es

también aplicado para discretizar las ecuaciones gobernantes del modelo 2. Las

ecuaciones gobernantes dizcretizadas para el modelo 2 se describen a continuación.

45

4.2.1 Ecuación de continuidad para la fase gaseosa

( )( ) ( ) ( )2 ( )

( 1) ( ) ( ) ( 1)2

1 11 1

( )

1 1( )

t tt t t t t tl lg g i g g i g l g g g l ii

g

t t t t t tl lg g i g g i g l i g g l i

g

t t t tU P U T U Uz T z z zCg

t t tU P U T Uz T z zCg

α αρ ρ α ρ α

α αρ ρ α ρ α

+Δ+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ +− −

− −Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠( ) ( 1)1 t tt

g l g i

t Uz

ρ α +ΔΔ−

Δ+ −

Δ

……..4.9

4.2.2 Ecuación de continuidad para la fase líquida La ecuación de continuidad para la fase líquida del modelo 2, es la misma que la

ecuación del modelo 1 (Ecuación. 4.4).

4.2.3 Ecuación de continuidad para la fase líquida La ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa del modelo 2, es la

misma ecuación que la del modelo 1 (Ecuación. 4.5).

4.2.4 Ecuación cantidad de movimiento para la fase líquida

( ) ( ) ( 1)

( 1) 4 4

t t t t t tl l l i l i l l l i

l lt t lw li Dg i l

l l l

t t tU U P U Uz z z


ρ ρ

τ τρ θ

α

+Δ +Δ +Δ−

+Δ−

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ ΔΔ

− Δ − + −Δ

……………….………….4.10

4.2.5 Ecuación de energía para la fase gaseosa

( ) ( ) ( )

2( 1) ( ) ( ) ( 1)

1

cos

t t t t t tg i g g i g i

t t t t t t tg g g i g g i g i g g i

t t tCp U P U U Cp U Tz z z

t t ttU g Cp U P U U U U Cp U Tz z z

η

φ η

+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ +Δ− −

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−Δ − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

……4.11

4.2.6 Ecuación de energía para la fase líquida

( ) ( ) ( )

2( 1) ( 1) ( 1)

1 cos

1

t t t t t tl i l l l i l l i g

t t t t t tl i l l i l i

l

t t tP U U U Cp T tUz z z

t t tU P Cp U T U Uz z z

φρ

ρ

+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ +Δ− − −

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + = −Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

………………….4.12

46

4.3 Ecuaciones discretizadas del modelo 3 El procedimiento aplicado para obtener las ecuaciones discretizadas del modelo 1 es

también aplicado para discretizar las ecuaciones gobernantes del modelo 3. Las

ecuaciones gobernantes dizcretizadas para el modelo 2 se describen a continuación.

4.3.1 Ecuación de continuidad para la fase gaseosa La ecuación de continuidad para la fase gaseosa del modelo 3 es la misma del

modelo 2. Entonces la ecuación de continuidad discretizada del modelo 3 es la

ecuación (4.9)

4.3.2 Ecuación de continuidad para la fase líquida La ecuación de continuidad para la fase líquida del modelo 3 es igual que la del

modelo 1, y su versión discretizada es la ecuación (4.4).

4.3.3 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa De la ecuación (3.61), se obtiene la ecuación discretizada para cantidad de

movimiento de la fase gaseosa:

( ) ( ) ( 1) ( 1)

4 4 1

t t t t t t t tg g g i g i g g g i g i

l ggw li Dg g

g g l

t t t tU U P U U Pz z z z

S t S t F tt gsen

A A

ρ ρ

τ τα ρ θ

α

+Δ +Δ +Δ +Δ− −

Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ + = +⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠Δ Δ Δ

−Δ − + −−

………………..4.13

4.3.4 Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida La ecuación (4.6) para cantidad de movimiento del líquido para el modelo 1, es la

misma que para el modelo 3.

4.3.5 Ecuación de energía para la fase gaseosa Aplicando la técnica de diferencias finitas a la ecuación (3.62), la ecuación

discretizada de la energía para la fase gaseosa es la siguiente

( ) ( ) ( )

2( 1) ( ) ( 1)cos

t t t t t tg g i g g i g i

t t t t t tg g g i i g g g i

t t tCp U P U U Cp U Tz z z

t t ttU g Cp U P U U Cp U Tz z z

η

φ η

+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ +Δ− −

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−Δ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

…………4.14

47

4.3.6 Ecuación de energía para la fase líquida Aplicando diferencias finitas a la ecuación (3.63) se obtiene la ecuación de energía

para la fase líquida:

( ) ( ) ( )

2( 1) ( 1) ( ) ( 1)

11 cos

1

t t t t t tl l l i l i l l i l

t t t t t t tl l i l l i l l i l i

l

t t tU U U P Cp T tU gz z z

t t tCp U T U P U U U Uz z z

φρ

ρ

+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ +Δ− − −

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = −Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

……………………4.15

El conjunto de ecuaciones discretizadas de los modelos 1, 2 y 3 se pueden expresar

en forma matricial de la siguiente forma:

[ ][ ] [ ]A X = B …………………………………….………………4.16

donde [ ]A es la matriz de coeficientes, [ ]B es el vector independiente, y el vector de

variables dependientes [ ]X está integrado por las variables dependientes 1) Presión;

2) Fracción del líquido; 3) Velocidad de la fase gaseosa; 4) Velocidad de la fase

líquida; 5) Temperatura de la fase gaseosa y 6) Temperatura de la fase líquida.

Dicho vector está dado por la siguiente ecuación.

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

t ti

t ti

t tg i

t tl i

t tg i

t tl i

P

U

U

T

T

α

+Δ

+Δ

+Δ

+Δ

+Δ

+Δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ………………………………………………4.17

La matriz de coeficientes [ ]A incluye los términos que multiplican las variables

comprendidas en [ ]X y se puede representar como:

48

[ ]

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,1 4,1 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

A A A A A AA A A A A AA A A A A AA A A A A AA A A A A AA A A A A A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A ……………………………..4.19

4.4 Forma matricial del modelo 1 Escribiendo en forma matricial las ecuaciones discretizadas (ecuaciones. 4.3 - 4.8)

del modelo 1 se tiene que [ ]A está dado como:

[ ]

( )( )

( ) ( )( )g g g2 2

g

1 11 1 1 0 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

1

lo logo go lo go

lo lo

g go

l lo

g g go

t t t tU U Uz z z zCg Cg

t tUz z

t tUz zt tUz z

tCp Cp Uz

α αρ α ρ ρ

α

ρ

ρ

η ηρ

− −Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

=Δ Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ Δ− + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ Δ⎢⎝ ⎠⎣ ⎦

A

lol

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

go go g go

lolo l lo

t tU U Cp Uz z

U t t tU U Cp Uz z zρ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ Δ Δ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

..(4.20)

y el vector de términos independiente [ ]B es:

[ ]

( )( ) ( 1)( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)2

( 1)

1 11

( )

t t t ti it t t t t t t t t t tl l

i g i g g i g i g l i g l i l g g ig

t tlo l i lo

P Pt t t tP U P T T U Uz T z z t zCg

t tU Uz t

α αρ ρ α α α ρ

α

+Δ +Δ−+Δ +Δ +Δ +Δ

− − −

+Δ−

⎛ ⎞ −⎛ ⎞− −Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ⎛ ⎞ ⎛+⎜ ⎟ ⎜Δ Δ⎝ ⎠ ⎝

=B( )

( )

( 1) ( )

( ) ( 1) ( 1)

( ) ( 1) ( 1)

4 4 1

4 4

cos

t t tl i l i

g gt t t t t Dg g i g g g i i

g g g

l gt t t t t Dl l i l l l i i

g g l

g g

S t S t F tt t gw iwU U U P t gsenz z A A

S t S t F tt t lw iwU U U P t gsenlz z A A

tU g Cp

α α

τ τρ ρ ρ θ

α

τ τρ ρ ρ θ

α

φ

+Δ−

+Δ +Δ− −

+Δ +Δ− −

⎞ +⎟⎠

Δ Δ ΔΔ Δ+ + − Δ − − +

Δ Δ −

Δ Δ ΔΔ Δ+ + − Δ − − +

Δ Δ

−Δ + 2( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)( )

21( ) ( 1) ( ) ( 1)

1

cos

t tt t t t t t t tg i g i g g i g g i g g g g i g g ii

g

t tt t tll l l i l l i l l i l l i

l

t t tT Cp P Cp U P U U U U Cp T U Tz z z

U t ttU g Cp T Cp U P U U U Uz z

η ηρ

φρ

+Δ+Δ +Δ− −

+Δ+− −

⎡ ⎤ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤− + − + + + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦Δ Δ⎛ ⎞ ⎛−Δ + + − + +⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

....(4.21)

49

4.5 Forma matricial del modelo 2 La matriz de coeficientes [ ]A para el modelo 2 está dada por:

[ ]

( )( )

( ) ( )( )g g g2 2

l

1 1 1 1 0 0

0 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0

l log g l g

g

l l

g g

l l

g g go g g g

l

t t t tU U Uz z z zCg T

t tUz z

t tUz zt tUz z

t t tCp U U U Cp Uz z z

U

α αρ α ρ ρ

α

ρ

ρ

η

ρ

− −Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠=Δ ΔΔ Δ

Δ Δ Δ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ

A

0 0 0l l l lt t tU U Cp Uz z z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ Δ Δ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

……. (4.22)

y el vector de los términos independientes [ ]B es:

[ ]

( )( ) ( 1)( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)2

( 1) ( 1)

1 11

( )

t t t ti it t t t t t t t tlo lo

g i g g i g l i g l i l g g ig

t t tl l i l l i

P Pt t t tU P T U Uz T z z t zCg

t tU Uz t


α α

+Δ +Δ−+Δ +Δ +Δ +Δ

− − −

+Δ +Δ− −

⎛ ⎞ −⎛ ⎞− −Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=B ( )

( )

( )

( ) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

( 1)

4 4 1

4 4

cos

t tl i

g gt t t t t Dg g i g g g i i g

g g l

l gt t t t Dl l l i i l

g g l

g g go i

S t S t F tt t gw iwU U U P t gsenz z A A

S t S t F tt t lw iwU U P t gsenz z A A

ttU g Cp U Pz

α

τ τρ ρ αρ θ

α

τ τρ ρ θ

α

φ η

+Δ +Δ− −

+Δ +Δ− −

−

+

Δ Δ ΔΔ Δ+ + − Δ − − +

Δ Δ −

Δ Δ ΔΔ Δ+ − Δ − − +

Δ Δ

Δ⎛ ⎞−Δ − ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠2

( ) ( 1)( )

21( 1) ( 1)cos

t tt t t t tg g i g g g g g ii

t ttll l l i l l i

l

t tU U U U Cp U Tz z

U t ttU g Cp U P U Uz z

φρ

+Δ+Δ +Δ−

+Δ+− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

Δ Δ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−Δ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

....(4.23)

4.6 Forma matricial del modelo 3 Las ecuaciones (4.13 – 4.15), (4.3), (4.6), y (4.9) dizcretizadas y escritas en forma

matricial, permiten escribir la matriz [ ]A como:

50

[ ]

( )( )

( ) ( )( )g g g2 2

1 1 1 1 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0

l lg g l g

l l

g g

l l

g g g g g g

l

t t t tU U Uz z z zCg Cg

t tUz z

t tUz zt tUz z

t t tCp U U U Cp Uz z z

U

α αρ α ρ ρ

α

ρ

ρ

η

ρ

− −Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ⎛ ⎞

⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠=Δ Δ⎛ ⎞+⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

Δ Δ Δ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

l

0 0 1 0l l l lt t tU U Cp Uz z z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ Δ Δ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

.….. (4.24)

y al vector de términos independientes [ ]B como:

[ ]

( )( ) ( 1)( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)2

( 1) ( 1)

1 11

( )

t t t ti it t t t t t t t tlo lo

g i g g i g l i g l i l g g igo

t t tl l i l l i

P Pt t t tU P T U Uz T z z t zCg

t tU Uz t


α α

+Δ +Δ−+Δ +Δ +Δ +Δ

− − −

+Δ +− −

⎛ ⎞ −⎛ ⎞− −Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=B ( )

( )

( )

( 1) ( 1)

( ) ( 1) ( 1)

( 1)

4 4 1

4 4

cos

t tl i

g gt t t t Dg g g i i g

g g go

l gt t t t t Dl l i l l l i i

g g l

g g g i

S t S t F tt t gw iwU U P t gsenz z A A

S t S t F tt t lw iwU U U P t gsenlz z A A

ttU g Cp U Pz

α

τ τρ ρ θ

α

τ τρ ρ ρ θ

α

φ η

Δ

+Δ +Δ− −

+Δ +Δ− −

−

+

Δ Δ ΔΔ Δ+ − Δ − − +

Δ Δ −

Δ Δ ΔΔ Δ+ + − Δ − − +

Δ Δ

Δ⎛ ⎞−Δ − ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠2

( 1)( )

21( 1) ( ) ( 1)cos

t tt t t tg g g g g ii

t tt tlol l l i l l i l l i

l

t tU U Cp U Tz z

U t ttU g Cp U P U U U Uz z

φρ

+Δ+Δ +Δ−

+Δ+− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥Δ Δ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−Δ + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

…. (4.25)

4.7 Procedimiento de solución El procedimiento para obtener la solución de los tres modelos matemáticos descritos

anteriormente es el siguiente:

Paso 1. Se asignan los valores de entrada para la primera celda

Paso 2. Se determinan las propiedades de los fluidos

Paso 3. Se determina el patrón de flujo correspondiente a los datos de entrada y a

los valores de las propiedades de los fluidos.

Paso 4. Se dan condiciones iniciales (variables en el tiempo 0t = ), se asignan

valores a las variables con superíndice o ( o tj ju u= ), se dan condiciones de frontera.

51

Paso 5. Se calculan los esfuerzos fluido-pared y las fuerzas interfaciales

correspondientes al patrón detectado en el paso 3.

Paso 6. Se determina el patrón de flujo correspondiente a las condiciones iniciales y

de frontera dadas en el paso 4.

Paso 7. Cada elemento de la matriz [ ]A y del vector [ ]B se calcula usando las

condiciones iniciales del paso 4 y las propiedades que se calcularon en el paso 2.

Paso 8. Usando el paquete numérico LINKPACK (Dongarra et al., 1990) se obtiene

el vector solución t tju +Δ .

Paso 9. Se verifica la convergencia con la condición t tj j jA u B Error+Δ⎡ ⎤− ≤⎣ ⎦ . Si el

proceso de solución no satisface la condición, los cálculos se reinician a partir del

paso 2 reasignando ( ) / 2o t t tj j ju u u +Δ= + hasta que la solución sea convergente. El

método requiere hasta de 10 iteraciones para converger.

Paso 10. Se detecta el patrón de flujo con respecto a los valores actuales de las

variables dependientes.

Paso 11. El proceso iterativo de los pasos 6-9 se repite para la celda 3j = y estos

valores se usan como información de entrada para la celda 4j = y así

sucesivamente hasta j n= .

Paso 12. Cuando todas las celdas fueron calculadas las variables en el tiempo actual

( t t+ Δ ) se asignan a las variables del tiempo anterior ( t t tj ju u +Δ= ) y el proceso

empieza a partir del paso 4 hasta cumplir con la simulación total.

En la Figura 4.1 se presenta el diagrama de flujo correspondiente a la solución

numérica de los modelos matemáticos.

52

Figura 4.1 Diagrama de flujo para la solución numérica

Inicio

Cálculo de las propiedades del fluido

Datos de entrada

Determinación del patrón de flujo

Cálculo de las condiciones iniciales

Cálculo de los esfuerzos

Determinación del patrón de flujo Con datos de condiciones iniciales y

de frontera

Leer el patrón de flujo (1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 8,)

1. Burbuja 2. Estratificado 3. Anular 4. Burbuja 5. Slug 6. Churo 7. Fase líquida 8. Fase gaseosa

Se calcula la matriz de coeficientes y el vector independiente

Se calcula la matriz de coeficientes y el vector independiente

Se resuelve el sistema de ecuaciones

[ ][ ] ( )A u B Error− ≤No

Si

2

t t tj jo

j

u uu

+Δ+=

Determinación del patrón de flujo Con datos del nuevo nodo

No

Si

¿Se calcularon todos los nodos?

1j j= +

No

Si

¿Se cálculo todo el tiempo de simulación?

Fin

1t t= +

53

4.7.1 Esquema de solución para los pozos con los modelos a dos fluido En la figura siguiente se muestra el esquema del pozo, para el modelo a dos fluidos,

este modelo consiste en una tubería de longitud L dividida entre el número de nodos

o celdas n y éste es igual a la longitud entre el paso espacial ( )LzΔ . El concepto

de celda donante espacial y temporal donde t es el tiempo total de simulación y tΔ

es el tamaño de malla temporal.

Figura 4.2 Esquema de los nodos de los pozos modelo a dos fluidos Los datos de entrada para la simulación de los tres pozos, se encuentran en la Tabla

4.1

Fondo de pozo

1i

tX−

Entrada ( )e ( t )

1i

tX+

1i =

2i =

i n=

1i n= −

3i =

1i

t tX−

+Δ

Entrada ( )e ( )t t+ Δ

1i

t tX+

+Δ

1i =

2i =

i n=

1i n= −

3i =

zΔ

54

4.8 Validación de los modelos a dos fluidos. En la Tabla 4.1 se presentan datos de 3 pozos petroleros de aceite negro (Chierici et

al., 1974). En dicha tabla se da la descripción de las propiedades de los fluidos y las

dimensiones de la tubería. Con los datos de presiones del fondo y en la cabeza del

pozo se validan los modelos presentados anteriormente.

Tabla 4.1 Datos de los pozos Chierici et al., (1974)

Descripción

Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3

Diámetro de la tubería, plg2 5 3.5 2.875

Densidad relativa del gas (adimensional) 0.708 0.92 0.701

Densidad relativa del aceite (adimensional) 0.9547 0.86919 0.8612

Densidad relativa del agua (adimensional) 1 1 1

Caudal del aceite bbl a C.S./día 5222 534 3607.54

Caudal del agua ft3 a C.S./bbl C.S 0 0 0

Relación gas aceite, ft 3 a C.S./bbl C.S 509.77 915.1 751.83

Temperatura del fondo del pozo, F 188.6 185 176

Presión de cabeza de pozo. lb /plg2 605.91241 1322.76654 988.51908

Presión del fondo, lb /plg2 3061.56 3703.14 3043

Angulo de inclinación de la tubería 90º 90 90

Concentración de sales en el agua, % 0 0 0

Rugosidad absoluta, ft 0.0015 0.0015 0.0015

Longitud, ft 7648 7645.68 7052

Viscosidad, grados API 16.7 31.3 32.8

Los modelos desarrollados anteriormente, fueron validados con los datos de campo

de la presión descritos en la Tabla 4.1 para el pozo 2 y con 10 correlaciones

comúnmente utilizadas en la industria petrolera. Los resultados se muestran en las

Figuras 4.1 - 4.3.

55

4.8.1 Determinación de los patrones de flujo que se presentan en el pozo 2 En la literatura se encuentran diversos trabajos teóricos y experimentales sobre el

flujo de dos fases a través de pozos y tuberías. (Chierici et al., 1974; Hemeida 1987;

Taitel et al., 1989; Grolman y Fortuin, 1997; Ouyang y Aziz, 1999-2000). En este

trabajo y para fines comparativos se utilizó el modelo de Chierici et al. (1974), el cual

se basó en el método de Orkiszewski (1967) el cual a su vez, ha sido aceptado

ampliamente en la industria petrolera. Los modelos se validan con 10 correlaciones

utilizadas en la industria petrolera (Poettman y Carpenter, 1952; Baxendel y

Thomas, 1961; Fancher y Brown, 1963; Hagedorm y Brown, 1965; Duns y Ross,

1963; Beggs y Brill, 1975; Duckler et. al., 1964; Mukherjee y Brill 1975 y Azis, et. al.

1972)

Por otro lado, la validación de los modelos a dos fluidos se realiza con los datos del

pozo 2. En la Tabla 4.2 se describe la longitud donde ocurre un cambio de patrón de

flujo. La ubicación de los puntos de transición se obtuvo utilizando la subrutina para

determinar el patrón de flujo. También se describe el tamaño de paso espacial y

temporal para cada patrón de flujo. Cabe aclarar que en cada región de patrón de

flujo se utilizo el modelo hidrodinámico (modelos 1, 2 y 3) correspondiente.

Tabla 4.2 Tamaño de los pasos espaciales utilizados para la simulación del pozo 2

Intervalos donde se presentan

los diversos patrones de flujo, ft

0.0 – 1350 1350-4875 4875 – 7645.0

Patrón de flujo Líquido burbuja slug

Modelo 1 25.00 25 50.0

Modelo 2 25 25 25

Tamaño de

paso espacial

Modelo 3 25 25 10

Tamaño de paso temporal 0.001 0.001 0.005

56

4.8.2 Validación del modelo 1 Para la validación del modelo 1 se utilizaron las predicciones del perfil de presión

obtenido con 10 correlaciones y los datos de campo del pozo 2 (Figura 4.2).

Figura 4.3 Perfil de la presión del pozo 2 para la validación de modelo 1

De los perfiles de presión mostrados en la Figura 4.2 se ve que el modelo 1 predice

con una diferencia de -3.33% respecto a los datos de campo. Las correlaciones que

mejor predicen son las de Aziz, et. al. (1972) y Duns and Ros (1963), ambas con un

error porcentual de 0.47 %, y 0.55% respectivamente, mientras que la corrección que

más se aleja de la predicción es la de Dokler et. al. (1964), tiene un diferencia de

2.7%,

57

4.8.3 Validación del modelo 2 En la Figura 4.3 se muestra la predicción de los perfiles de la presión para el pozo 2

con el modelo 2 con datos de campo y con 10 correlaciones utilizadas en la industria

petrolera. En esta figura se observa que el modelo 2 predice por abajo de los datos

de campo.

Figura 4.4 Perfil de la presión del pozo 2 para la validación del modelo 2 El modelo 2 tiene un error en la predicción de la caída de presión de -2.5%

comparado con lo datos de campo, y comparando este resultado con el error de la

corrección de Dokler et. al. (1964), cuyo error es de -2.7% y que es la que más se

aleja de la predicción, la diferencia es de 0.2%. La diferencia con la correlación que

mejor predice (Aziz, et. al. con un error de -0.5%) es de 2.0%

58

4.8.4 Validación del modelo 3 En la figura (4.4) se muestra el perfil de la presión del modelo 3 comparado con 10

correlaciones de la industria petrolera y con los datos de campo.

Figura 4.5 Perfil de la presión del pozo 2 para la validación de modelo 3

El modelo 3 tiene una diferencia en la predicción de la caída de presión de -3.0 %

comparado con los datos de campo. La diferencia con la corrección de Dokler et. al.

(1964), cuyo error es de -2.7% que es la que más se aleja de los datos de campo es

de 0.3%, y con la correlación (Aziz, et. al. con un error de -0.47%) que mejor predice

es de 2.53%. Los modelos 1, 2 y 3 tienen diferencias en la predicción de la presión

menores al 5%, comparados con los datos de campo, por lo que se considera que

predice bien. La diferencia mayor en la predicción de la presión corresponde al

modelo 1, y la menor al modelo 1. Los tres modelos predicen satisfactoriamente el

perfil de la caída de presión, con diferencias menores al 5%.

59

Capítulo 5 Modelo a un fluido

En este capítulo se presenta un modelo de flujo homogéneo o de mezcla (modelo a

un fluido) para modelar la hidrodinámica de pozos petroleros utilizando los datos de

la Tabla 4.1. Las ecuaciones que componen al modelo se resuelven aplicando el

método de diferencias finitas con esquemas hacia atrás y hacia delante para la

derivada espacial y temporal, respectivamente, también se realiza la validación del

modelo con datos de campo de la presión y con 10 correlaciones comúnmente

utilizadas en la industria petrolera.

60

5.0 Modelo de flujo de flujo homogéneo El modelo de flujo homogéneo llamado también modelo de mezcla trata la fase

líquida y la fase gaseosa como un pseudo-fluido, donde la velocidad de mezcla mv y

la densidad de mezcla mρ se calculan de la forma siguiente (Yadigaroglu y Lahey

1976):

m l l g gρ ρ α ρ α= + ………………………………………………………..5.1

g g g l l lm

m

v vv

ρ α ρ αρ+

= ………………………………………………………5.2

donde lρ es la densidad del líquido, lα la fracción de volumen del líquido, gρ la

densidad del gas, gα es la fracción de volumen del gas, gU es la velocidad de la

fase gaseosa, lU es la velocidad de la fase líquida

El modelo propuesto consiste en resolver simultáneamente las siguientes ecuaciones

de conservaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y de energía

(Cazarez y Vázquez, 2005):

5.1.2 Ecuación de conservación de masa 2

0144

m mm

c

c vp pvt g z z

ρ ∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂……………………………………….…………….5.3

donde c es la velocidad del sonido, cg es la aceleración de la gravedad y p es la

presión, t es el tiempo, z es la coordenada longitudinal y mρ y mv se definen

mediante las ecuaciones 5.1 y 5.2.

5.1.2 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento 144 144m m c c w

mm m

v v g g Spv gsent z z A

τθ

ρ ρ∂ ∂ ∂

+ + + = − −∂ ∂ ∂

……………………..…………5.4

donde wτ es el esfuerzo del pseudo-fluido con la pared, S es el perímetro, A es el

área transversal de la tubería y θ es el ángulo de inclinación de la tubería.

61

5.1.3 Ecuación de conservación de energía 144

778.26

778.26 778.26

c mm m

m Pm Pm

m m m mm

c Pm c Pm

gT T p p pv vt z C z C t z

v v v v gsenv

g C t z g C

βρ

θ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ − − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

………………………….……5.5

donde T es la temperatura del pseudo-fluido, mCp es el calor específico de la mezcla

a presión constante. y mβ es el término que involucra el coeficiente de Joule-

Thomson, y se definen con las siguientes ecuaciones (Cazarez y Vázquez 2005):

g g g g l l l lm

Cp Cpρ α η ρ αηβ

ρ+

= ………………………………………..……..5.6

g g g l l lm

Cp CpCp

ρ α ρ αρ+

= ………………………………………..………..5.7

donde η es el coeficiente de Joule-Thomson, y los subíndices l y g denotan líquido

y gas respectivamente.

5.2 Solución numérica del modelo a un fluido Para la solución numérica del sistema de ecuaciones parciales (ecuaciones 5.3-5.5),

se aplicó la técnica de diferencias finitas con arreglo implícito hacia atrás para la

derivada espacial y hacia adelante para la derivada temporal, además del concepto

de celda donante.

Las ecuaciones (5.3)-(5.5) en forma discretizadas son las siguientes:

5.2.1 Ecuación de conservación de masa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 11

144 144t t t t t t t t tm m

m m m mj o j j j o jc c

c cv v p p v v pg g

λ ρ λ ρλ λ+Δ +Δ +Δ +Δ

− −⎡ ⎤+ + = + +⎣ ⎦ …………….5.8

62

5.2.2 Ecuación de conservación de cantidad de movimiento

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

144 1441

144sin

t t t t t t t t tc cm m m m mo j j j o j j

m m

c w

m

g gv v p v v v p

g S tg tA

λ λλ λρ ρ

τθρ

+Δ +Δ +Δ +Δ

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ

− Δ −

....5.9

5.2.3 Ecuación de conservación de la energía

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

11441 1778.26 778.26

144778.26 778.26

si778.26

t t t t t tm mo om m mo j o j j

pm c pm

t t t t t t tm om m m mj o j j o j j

m pm c pm

t tm m mo o om j

c pm

v vv T v p v

C g C

vT v T p v p v

C g C

v v v g tv

g C

λλ η λ

ρ

λ η ηλρ

λ

+Δ +Δ +Δ

+Δ +Δ

− −

+Δ

−

⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + + =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

+ − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ−

n778.26 c pmg C

θ

...5.10

donde

zt

λ Δ=Δ

…………………………………………….……….5.11

Las ecuaciones (5.8-5.10) se pueden escribir en forma matricial como:

( )ttj

tj

oj

Δ+−

Δ+ = 1,, uuuBuuA jtt

jojj )( ………………………………….5.12

En las ecuaciones (5.8)-(5.12), tΔ es el paso temporal y zΔ es el paso espacial. Los

superíndices t y tt Δ+ indican que las variables dependientes están evaluadas en el

tiempo anterior y en el tiempo actual respectivamente. Los subíndices j y 1j −

representan la celda actual y la celda anterior, respectivamente. Las variables con

subíndice 1j − y superíndice t son conocidas. Las variables con subíndice o son las

variables sobre las cuales se realiza el ciclo iterativo durante la solución. A es la

matriz de coeficientes y B es el vector independiente, mientras que u es el vector de

incógnitas dado por:

( )TTvp ,,=u …………………………………………….5.13

donde el superíndice T se utiliza para indicar la transpuesta del vector.

63

La matriz A de coeficientes y el vector B están dados por:

( )[ ]

( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

opc

ooo

p

co

oc

j

vCgvv

vC

gcv

vg

λλ

ληρ

ρλλ

λρ

λ

126.7781

126.778144

0144

1

01144

2A …………….5.14

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ−+

+−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+

++

Δ−Δ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

Δ+−

Δ+−

Δ+−

Δ+−

Δ+−

Δ+−

Δ+−

pc

ottj

pc

ootj

pc

o

ttjo

tj

p

ttjo

tj

ttjo

ttj

c

tj

wcttj

cttjo

tj

j

Cgtsengv

vCg

vvv

Cgv

pvpC

TvT

pvvg

cp

AtSg

tsengpg

vvv

26.77826.77826.778

26.778144

144

144144

1

11

11

2

11

θλ

ηληρ

λ

λρλ

ρτ

θρ

λλ

B ………….5.15

La solución numérica se realizó utilizando el paquete numérico LINPACK (Dongarra

et al., 1990) el cual permite resolver el sistema de ecuaciones lineales. El algoritmo

empleado está basado en la factorización de la matriz usando el método de

eliminación Gaussiana con pivoteo parcial.

5.3 Condiciones iniciales Para 0t = el valor individual de la condición inicial para cada celda es obtenido de

las variables siguientes ( )t

jp , ( )t

jv , ( )t

jT

Para determinar los perfiles iniciales de temperatura, presión y velocidad, para la

temperatura se aplicó un gradiente geotérmico 1/ 60 º /F ft , para la presión se utilizó

64

la ecuación (5.4) sin los términos de acumulación ni convectivos y para la velocidad

inicial, se aplicó la ecuación (5.3) sin el término de acumulación.

5.4 Condiciones de frontera Las condiciones de frontera de presión, velocidad y temperatura se representan por

( )ep , ( )e

v y ( )eT , donde el subíndice e se usa para indicar que son datos de entrada

al pozo.

5.5 Procedimiento de solución numérica Paso 1. Se asignan los valores de entrada para la primera celda.

Paso 2. Se asignan las condiciones iniciales en 0t = para las variables con

subíndice o , es decir o tj j=u u .

Paso 3. Se calcula la densidad de mezcla, la viscosidad de la mezcla, el factor de

fricción, los coeficientes de Joule-Thomson y los calores específicos usando las

condiciones iniciales.

Paso 4. Cada elemento de la matriz [ ]A y del vector [ ]B se calcula usando las

condiciones iniciales del paso 2 y las propiedades calculadas en el paso 3.

Paso 5. Usando el paquete numérico LINKPACK (Dongarra et al., 1990) se obtiene

el vector solución t tj+Δu .

Paso 6. Se verifica la convergencia con la condición t tj j j Error+Δ⎡ ⎤− ≤⎣ ⎦A u B Si el

proceso de solución no satisface la condición, se reinicia a partir del paso 2

reasignando ( ) / 2o t t tj j j

+Δ= +u u u hasta que la solución sea convergente. El método

requiere de 50 iteraciones para converger.

Paso 7. El proceso iterativo de los pasos 2-6 se repite para la celda 2,j n= . Los

resultados de 2j = son los valores de entrada para la celda 3j = , y así

sucesivamente hasta j n= .

Paso 8. Después de hacer los cálculos en todas las celdas de las variables en el

tiempo actual ( t t+ Δ ), con éstas se asignan a las variables en el tiempo anterior t t tj j

+Δ=u u y el proceso empieza nuevamente a partir del paso 2 hasta completar la

simulación total.

65

5.6 Diagrama de flujo de la solución numérica En la Figura (5.1) se muestra el diagrama de la solución numérica del modelo de flujo

homogéneo.

Figura 5.1 Diagrama de flujo para la solución numérica del modelo de flujo homogéneo

t t t= + Δ

Inicio

2

t t tj jo

j

u uu

+Δ+=

Calculó de parámetros

Cálculo de condiciones iniciales y de frontera

Solución de las ecuaciones

[ ][ ] ( )A u B Error− ≤ No

Datos de entrada

1j j= +

¿Se calcularon todos los nodos?

¿Se completo el tiempo de simulación

total?

No

Cálculo de la matriz de coeficientes y del vector independiente

FIN

No

Si

Si

Si

66

5.7 Esquema de solución con el modelo de flujo homogéneo En la figura 4.2 se muestra le esquema para la simulación con el modelo homogéneo

para los trespozos petroleros, L es la longitud total de la tubería dividida entre zΔ que

es el tamaño de paso espacial, como resultado tenemos el número de nodos n y

u es el vector de variables independientes calculada en cada uno de los nodos.

Figura 4.2 Esquema de los nodos de los pozos para el modelo de flujo homogéneo Los datos de entrada para la simulación de los pozos con el modelo homogéneo se

encuentran en la Tabla 4.1

Cabeza de pozo ( t ) Entrada ( )e

( )t t+ Δ Entrada ( )e

1j =

2j =

j n=

1j n= −

3j =

1ti−u

1i

t+

u

1j =

2j =

j n=

1j n= −

3j =

1t ti+Δ−u

i

t t+Δu

1i

t t+

+Δu

i

tu

L

67

5.8 Validación del modelo de flujo homogéneo El modelo de flujo homogéneo se validó con los datos de campo dados en la Tabla

4.2 y con las10 correlaciones utilizadas anteriormente para validar los modelos 1, 2 y

3.

En la Figura 5.2 se muestran el perfil de presión obtenido con el modelo de flujo

homogéneo, así como los perfiles obtenidos con las 10 correlaciones de la industria

petrolera y datos de campo del pozo 2, con la finalidad de facilitar la validación del

modelo de flujo homogéneo.

Figura 5.3 validación del modelo de flujo homogéneo contra datos del pozo 2 El modelo de flujo homogéneo tiene una diferencia en la predicción de la presión de

2.0 %, con respecto a los datos de campo, pozo 2. El modelo predice

satisfactoriamente la caída de presión.

68

Capítulo 6

Análisis de resultados En este capítulo se comparan los resultados obtenidos entre los diferentes modelos a

dos fluidos. También se presenta el estudio del impacto del tamaño de paso espacial

sobre los resultados obtenidos con el modelo 2. Además se hace un análisis de la

presión predicha por los modelos 2, modelo de flujo homogéneo y 10 correlaciones

comúnmente utilizadas en la industria petrolera contra los datos de campo de tres

pozos petroleros.

69

6.1 Comparación de la predicción de la presión entre los modelos a dos fluidos En esta sección, se utilizando los datos de la Tabla 4.1 y, se hace una comparación

de las predicciones de la presión obtenidas con los modelos a dos fluidos. Esto con

la finalidad de evaluar el impacto que tienen los términos transitorios en el

comportamiento de la estabilidad numérica y la exactitud en la predicción.

En la Tabla 6.1 se muestran las longitudes de la tubería en donde sucede un cambio

del patrón de flujo, éste fue detectado con una subrutina de determinación de patrón

de flujo. También se muestran los tamaños de paso temporal y espacial utilizados

para la simulación numérica para los tres pozos.

Tabla 6.1 Tamaños de paso espacial y temporal utilizados en la simulación

Descripción Datos de los pozos

Pozo 1 Intervalos donde se presentan los

diversos patrones de flujo, ft

0.0 - 2000 2000 - 7648

Patrón de flujo que se presenta Burbuja Slug

Tamaño de paso espacial 100.00 25

Tamaño de paso temporal 0.001 0.005

Pozo 2

Intervalos donde se presentan los


0.0 – 1350 1350-4875 4875-7645

Patrón de flujo que se presenta Líquido Burbuja Slug

Tamaño de paso espacial 25.00 25 25.0

Tamaño de paso temporal 0.01 0.001 0.001

Pozo 3

Intervalos donde se presentan los


0.0 - 5550 5550 - 7052

Patrón de flujo que se presenta burbuja Slug

Tamaño de paso espacial 25.00 25

Tamaño de paso temporal 0.001 0.005

70

En la Figura 6.1 se muestran los perfiles de la presión para el pozo 1, obtenidos con

el modelo 2, el modelo 3 y los datos de campo. Como se observa en la Figura 6.1 los

resultados del modelo 1 no se muestran. Esto debido a que dicho modelo fue

inestable al grado de que se truncó durante su ejecución. El estado estable se

alcanzó a un tiempo t=360 segundos, y el muestreo en el tiempo del cambio de la

fracción del líquido se muestra más adelante en la sección 6.8.1

Figura 6.1 Comparación de las presiones obtenidas con los modelos a dos fluidos, pozo 1.

El tiempo de simulación para el pozo 1 es de 360 segundos. Sin embargo, el modelo

2 corrió para el tiempo total de simulación y predice aceptablemente el perfil de

presión. El modelo 3 no es estable, y sólo corrió hasta un tiempo de 0.14 segundos

para la sección de flujo burbuja, mientras que para la sección de flujo slug corrió

hasta un tiempo de 2.0 segundos. El perfil de presión predicho con el modelo 3 está

alejado de los datos de campo y no sigue su tendencia.

La diferencia en la predicción, se debe a las consideraciones de cada uno de los

modelos respecto a los términos transitorios. El modelo 1, considera todos los

términos transitorios, el modelo 2 considera los términos transitorios de la fracción

del líquido y de la velocidad de la fase gaseosa, y el modelo 3 considera los

términos transitorios de la fracción del líquido y la velocidad del líquido

71

En la Figura 6.2 se muestra la predicción de la caída de presión para el pozo 2

obtenida con los modelos 1, 2 y 3 para un tiempo de simulación de t=250 segundos.

El estado estable se alcanzó para t=250 segundos para el pozo 2, con el muestreo

del cambio del tiempo de la fracción del líquido, esto se muestra más adelante en la

sección 6.8.2.

Figura 6.2 comparación de la presiones obtenidas con los modelos a dos fluidos, pozo 2. En la Figura 6.2 se puede ver que para el pozo 2 en la sección de flujo burbuja, los

tres modelos muestran estabilidad y buena predicción de la presión. En este caso los

tres modelos alcanzaron el estado estable a un tiempo de simulación de 250

segundos

Para la sección del patrón de flujo slug, el modelo 1 tiene un comportamiento

inestable (oscilaciones) y sólo corrió para un tiempo de 0.007 segundos. Esto se

debe que el patrón de flujo slug en tuberías verticales para su formulación

matemática considera dos secciones, una como patrón de flujo anular y la otra como

patrón de flujo burbuja.

72

La Figura 6.3 muestra la comparación de los perfiles de presión obtenidos con los

modelos 1, 2, y 3 para el pozo 3. El estado estable para el pozo 3 se alcanzó para un

tiempo t=240 segundos, con el muestreo del cambio del tiempo de la fracción del

líquido, esto se muestra más adelante en la sección 6.8.3.

Figura 6.3 Comparación de las presiones obtenidas con los modelos a dos fluidos, pozo 3 En la Figura 6.3 se observa que los modelos 1 y 3 muestran algunas inestabilidades

(oscilaciones en la curva de la presión). Estos modelos no predicen adecuadamente

en las secciones de los patrones de flujo burbuja y slug. El modelo 1 se trunca a un

tiempo de simulación de 0.14 segundos para la sección burbuja, y a 2.0 segundos

para la sección slug. El modelo 3 es estable en la sección de flujo burbuja y se trunca

a un tiempo de simulación de 0.14 segundos en la sección de flujo slug. El modelo 2

predice adecuadamente y concluye con el tiempo total de simulación de 240

segundos.

73

De acuerdo con Figuras 6.1, 6.2 y 6.3, el modelo 2 muestra estabilidad numérica y

buena predicción de la presión para los tres pozos. Del análisis anterior se concluye

que el modelo 2 es más estable que los modelos 1 y 3.

6.2 Análisis del tamaño de paso espacial para la fracción del líquido El modelo 2 mostró mejor estabilidad numérica y predicción en la simulación de los

perfiles de la presión, por lo que a continuación se presenta un análisis del tamaño

de paso espacial para dicho modelo. Este análisis se realizó con la finalidad de ver

el comportamiento de las predicciones de la fracción del líquido y de la presión para

diferentes tamaños de paso.

En la Figura 6.4 se muestran los perfiles de la fracción del líquido para el pozo 1 con

diferentes tamaños de paso espacial para un tiempo de simulación de 360 segundos

y tamaño de paso temporal burbuja de 0.001tΔ = y slug de 0.005tΔ = ,

respectivamente. Para la descripción del tamaño de paso espacial en las figuras

hacemos z DZΔ = .

Figura 6.4 Fracción del líquido para diferentes tamaños de paso espacial para el pozo 1

Los tamaños de paso utilizados ( zΔ =100, zΔ =75 y zΔ =50) en la sección del patrón

de flujo burbuja no tienen impacto en la predicción por lo que las curvas están

sobrepuestas. En la sección de patrón de flujo slug existe un pequeño defasamiento

74

de la curva con un tamaño de paso zΔ =50 pero no es de consideración (la diferencia

en la fracción del líquido es de 0.01 a una longitud de 7000 ft).

En la Figura 6.5 se muestran los perfiles de la fracción del líquido para el pozo 2,

para esté caso el programa se truncó en la sección del patrón de flujo slug con un

tamaño de paso espacial de zΔ =25 aunque el programa se corrió para un tiempo de

simulación de 260 segundos.

Figura 6.5 Fracción del líquido diferentes tamaños de paso espacial pozo 2

En la Figura 6.5 se observa que el tamaño de paso si tiene efecto en la predicción de

la fracción del líquido para la sección del patrón de flujo slug. Los tamaños de paso

para esta sección fueron zΔ =12.5, zΔ =25 y zΔ =5. El perfil de la fracción del líquido

en la sección slug decrece a medida que decrece el tamaño del paso espacial. Por

ejemplo de 0.95 a 0.90 aproximadamente. para un tamaño de paso menor ( zΔ =5), el

perfil de la fracción de líquido decrece a una longitud de 6000 ft, y para el tamaño

de paso mayor ( zΔ =25) el perfil de la fracción del líquido empieza a decrecer a una

longitud de la tubería de 6500ft

75

En la Figura 6.6 se muestran los perfiles de la fracción del líquido para el pozo 2 para

un tiempo de simulación total de 250 segundos.

Figura 6.6 Fracción del líquido para diferentes tamaño de paso espacial pozo 2 Los diferentes tamaños de paso espacial utilizados en la predicción de la fracción del

líquido no tienen efecto sobre la predicción para la sección del líquido y la sección de

patrón de flujo burbuja.

En la sección de patrón de flujo slug no existen diferencias considerables en la

predicción de la fracción del líquido en el tramo de la longitud de la tubería de 4875

ft. a 6750 ft, pero se presenta el mismo comportamiento que en el caso de un tiempo

de 160 segundos: el perfil de la fracción del líquido empieza a decrecer a una

longitud menor para un tamaño de paso espacial menor

76

En la Figura 6.7 se muestra los perfiles de la fracción del líquido para el pozo 3 para

un tiempo de simulación de 240 segundos.

Figura 6.7 Fracción del líquido para diferentes tamaños del paso espacial para el pozo 3

Para la sección burbuja no existen diferencias considerables en la predicción de la

fracción del líquido para los diferentes tamaños de paso espacial utilizados, para la

simulación. Sólo se separa un poco el perfil de tamaño de paso zΔ =75 en el tramo

de longitud de la tubería de 25 a 75 ft.

En la sección del patrón de flujo slug existe una diferencia no considerable en la

predicción de la fracción del líquido de aproximadamente 0.02 entre los perfiles de

tamaño de paso espacial zΔ =25, y zΔ =75, mientras que para el tamaño de paso

zΔ =50, la predicción de esté perfil se ubica entre los dos perfiles que están más

separados entre sí.

77

6.3 Análisis del tamaño de paso espacial para la los perfiles de presión En la Figura 6.8 se presenta un análisis de diferentes tamaños de paso espacial para

la predicción del perfil de la presión del pozo 1.

Figura 6.8 Presión para diferentes tamaños de paso espacia pozo 1 De acuerdo con los perfiles de presión mostrados en la Figura 6.8, para el patrón de

flujo burbuja se observa que el tamaño de paso espacial no tiene efecto sobre la

predicción de la presión.

Para la sección del patrón de flujo slug se observan diferencias en las predicciones.

En la Figura 6.8 se puede ver que los perfiles de presión se separan en el intervalo

de 2500 ft a 7500 ft y están ordenados de menor a mayor valor del paso espacial. Sin

embargo, el valor de la caída de presión a la cabeza de pozo es prácticamente el

mismo para los diferentes tamaños de paso: para zΔ =100 se tiene un PΔ =2438.5

Psi; para zΔ =75 se tiene un PΔ =2444.6Psi, y para zΔ =50 se tiene un

PΔ =2433.13Psi.

78

En la Figura 6.9 se presenta un análisis de diferentes tamaños de paso espacial para

la predicción de los perfiles de presión del pozo 2, para un tiempo de simulación total

de 250 segundos.

Figura 6.9 Perfiles de presión para diferentes tamaños del paso espacial predichos, pozo 2 Los dos diferentes tamaños de paso espacial utilizados para la predicción de la

presión para el pozo 2 no tienen impacto en la predicción de la presión. En las dos

secciones de flujo burbuja y flujo slug, se observa que las curvas de la predicción de

la presión están muy cerca la una de la otra.

La predicción de la presión para tres diferentes tamaños de paso espacial para el

pozo 3 se observa en la Figura 6.10, para un tiempo de simulación total de 240

segundos.

79

Figura 6.10 Perfiles de presión para diferentes tamaños del paso espacial predichos para el pozo 3

En la Figura 6.10e observa que la predicción de la presión para los tres tamaños de

paso, es prácticamente igual en los tres casos, aunque se observa un pequeño

cambio en donde ocurre el cambio de patrón de flujo de burbuja a slug.

80

6.4 Determinación y comparación de la presión con el Modelo 2 En la Figura 6.11, se muestra una comparación del perfil de presión del modelo 2 , el

modelo de flujo homogéneo, contra 10 correlaciones de la industria petrolera y con

los datos del pozo 1.

Figura 6.11 Comparación de los perfiles de presión obtenidos con el modelo 2, modelo de flujo homogéneo, 10 correlaciones y los datos de campo del pozo 1

La correlación que mejor predice es la de Aziz y Fogarancy (1972), con una

diferencia porcentual de 1.25%. Las curva de predicción del modelo 2 se encuentra

por arriba de los datos de campo y el modelo de flujo homogéneo se encuentra por

abajo de los datos de campo. El modelo de flujo homogéneo predice con una

diferencia porcentual de -4.0% y el modelo 2 tiene una diferencia de 4.15%.

Profundidad (ft)

81

6.5 Comparación del perfil de la presión del Modelo 2 para el pozo 2 La comparación de los perfiles de presión del pozo 2 y obtenidos con el modelo 2, el

modelo de flujo homogéneo, y 10 correlaciones utilizadas en la industria petrolera se

muestran en la Figura 6.12. Los datos de campo del pozo 2 se muestran en la Tabla

4.1

Figura 6.12 Comparación de los perfiles de presión obtenidos con el modelo 2, modelo de flujo homogéneo, 10 correlaciones y los datos de campo del pozo 2

En esta figura se observa que los diferentes perfiles de presión se encuentran muy

cerca para profundidades pequeñas y se separan en la sección de flujo slug. Las

correlaciones que mejor predicen son las de Aziz, et. al. (1972) y Duns and Ros

(1963), ambas con una diferencia porcentual de 0.47 %, y 0.55% respectivamente,

El modelo 2 subestima la prueba del pozo 2 con una diferencia porcentual de 2.5%,

mientras que la predicción del modelo de flujo homogéneo está por encima de los

datos de campo con una diferencia de 2.0 %.

Profundidad (ft)

82

6.6 Determinación de la presión para del pozo 3 con el modelo 2 En la Figura 6.13 se muestra la comparación de los perfiles de la de presión para el

pozo 3. Se comparan los resultados con el modelo 2, el modelo de flujo homogéneo,

10 correlaciones de la industria petrolera del pozo 3

Figura 6.13 comparación de los perfiles de presión del pozo 3

La correlación que mejor predice es la Duns y Ros (1963), ésta tiene una diferencia

en la predicción de 4.3%. La correlación de Dukler es la más alejada con una

diferencia de 22.23 %. El modelo de flujo homogéneo tiene una diferencia de 12.6 %,

mientras que el modelo 2 predice con un error de -1.5%.

Profundidad (ft)

83

6.7 Análisis de resultados de la presión. En la tabla (6.2) se muestra el error porcentual del modelo 2 y el modelo de flujo

homogéneo comparado con los datos de campo para cada uno de los pozos.

Tabla 6.2 Diferencias porcentuales en la predicción de la caída de presión

Modelo Diferencia porcentual respecto a los datos de campo para la

caída de presión

Pozo 1 Pozo 2 Pozo 3

modelo 1 4.15 % 2.277% 1.52%

flujo homogéneo 4.0 % 12.0 % 12.609%

El modelo de flujo homogéneo predice bien excepto para el pozo 3 donde la

diferencia es mayor a un 10 %. EL modelo 2 predice aceptablemente ya que tiene

diferencias en la preedición menores al 5% para los tres pozos simulados. Es

importante mencionar que las correlaciones que tuvieron mejor predicción de la caída

de la presión son: Aziz y Fogarancy (pozo 1), Aziz, et. al. y Duns y Ros (pozo 2) y

Duns y Ros (pozo 3). De lo anterior podemos decir que existe consistencia en dos de

las correlaciones para la predicción de la presión, ejemplo de esto es la correlación

de Azis, et. al. (1972) que predice bien para el pozo 1, y el pozo 2

Los términos que provocan la caída de presión son los esfuerzos tangenciales que

existen entre la fase y la pared, los esfuerzos interfaciales y las fuerzas de cuerpo.

Es importante mencionar que el modelo de flujo homogéneo predice también la

velocidad y temperatura de la mezcla. Sin embargo, como se esperaba el modelo 2

(modelo a dos fluidos) predice mejor los tres pozos simulados y permite conocer la

evolución transitoria de los perfiles de presión, la fracción de líquido y las velocidades

y temperaturas de ambas fases. Lo anterior no es posible con el modelo de flujo

homogéneo y mucho menos con las correlaciones. De ello se concluye que el

modelo a dos fluidos es mejor para simular los fenómenos de dos fases líquido gas.

84

6.8 Evolución del comportamiento transitorio de la fracción de líquido

En esta sección se muestra la evolución de los periodos transitorios de la fracción del

líquido para los tres pozos petroleros.

6.8.1 Evolución del comportamiento de la fracción de líquido para el pozo 1 En la Figura 6.14 se muestra como evolucionan los perfiles de la fracción de líquido

durante el período transitorio.

Figura 6.14 Evolución del comportamiento de la fracción de líquido durante el periodo transitorio en el pozo 1

Para la sección de flujo donde existe el patrón de flujo burbuja (0 - 2000 ft) la fracción

del líquido evoluciona desde el valor inicial de 0.875 en forma creciente hasta

alcanzar el valor de 0.98 (estado estable). En la posición donde ocurre el cambio de

patrón de flujo burbuja a slug, existe un cambio considerable del valor de la fracción

del líquido de 0.98 a 0.85. Las oscilaciones son mayores entre t=1sg y t= 7sg en la

región de flujo burbuja y entre t=1sg y t= 60 segundos en la región de flujo slug

85

6.8.2 Evolución del comportamiento de la fracción de líquido para el pozo 2 La Figura 6.15 se puede observar la evolución del estado transitorio al estado

estable de la fracción del líquido para el pozo 2.


Al inicio, el valor de la fracción de la fase líquida es 1.0. Este valor decrece cuando

comienza la sección del patrón de flujo burbuja hasta un valor de 0.99, el cual

empieza a crecer hasta un valor cercano a 1.0, que es el valor del estado estable.

Para la región de la tubería donde cambia el patrón de flujo de burbuja a slug, el

valor de la fracción de líquido disminuye hasta 0.903 (valor inicial del patrón de flujo

slug). Dicho valor empieza a crecer y evoluciona respecto al tiempo hasta un valor de

0.954. Este valor corresponde al valor de la fracción del líquido en estado estable

para una longitud de la tubería de 7100 ft y un tiempo de 250 segundos.

86

6.8.3 Evolución del estado transitorio de la fracción de líquido para el pozo 3 En la Figura 6.16 se observa la evolución del período transitorio al estado estable

para la fracción de líquido del pozo 3.


Para la sección de flujo burbuja la fracción de líquido empieza a crecer de un valor

inicial de 0.952 hasta alcanzar el estado estacionario a un tiempo de t=20 segundos,

el cual toma un valor de 0.997 el cual se localiza una longitud de 5550 ft A esta

longitud empieza el cambio de patrón de flujo burbuja a slug y el valor de la fracción

del líquido disminuye hasta un valor de 0.7, el cual empieza a crecer hasta un valor

de 0.8. Posteriormente, empieza a decrecer suavemente evolucionando en el tiempo

hasta un valor de 0.79 (estado estable) para una longitud de 7048 ft y un tiempo de

250 segundos. Este comportamiento en los perfiles de la fracción del líquido se debe

a la aparición de las burbujas de Taylor en el patrón de flujo slug lo que provoca un

incremento en el valor de la fracción del gas y un decrecimiento en fracción del

líquido.

87

6.9 Gradiente de temperatura del pozo 2 A manera de ejemplo se muestran en la Figura 6.17 los perfiles de temperatura de

las fases líquida y gaseosa y el gradiente geotérmico del pozo 2 para la fase líquida,

la fase gaseosa, y el gradiente geotérmico para el pozo el pozo 2.

Figura 6.17 Perfiles de temperatura obtenidos con el modelo 2, pozo 2 En la Figura 6.17 se observa que la temperatura de la fase líquida es la misma que el

del gradiente geotérmico, pero cuando cambia de patrón de flujo líquido a burbuja, el

perfil de temperatura del líquido empieza a crecer, y el perfil de temperatura de la

fase gaseosa continua decreciendo pero con una pendiente menor que la del

gradiente. En el cambio del patrón de flujo burbuja a flujo slug, la pendiente de

crecimiento de temperatura de la fase líquida se incrementa y la pendiente de la

temperatura del gas disminuye.

El perfil del gradiente geotérmico se encuentra por debajo de los perfiles de

temperatura de la fase gaseosa y líquida. La diferencia entre la temperatura de la

fase líquida y el gradiente de temperatura es de 58.1 F, y la diferencia con la fase

gaseosa es de 188.45 F a una longitud de 7645 ft.

88

6.10 El perfil de velocidad de las fases para el pozo 2 En la Figura 6.18 se muestran los perfiles de velocidad para el pozo 2 de la fase

gaseosa y la fase líquida:

Figura 6.18 Perfiles de velocidad obtenidos con el modelo 2, pozo 2 En la sección de flujo monofásico (líquido), la velocidad del gas es cero. En la

sección burbuja las velocidades son muy similares en magnitud, debido a que las

burbujas están distribuidas por toda la fase continua (líquida) en forma homogénea y

viajan a la misma velocidad.

En la interfase entre las regiones de flujo burbuja y flujo slug, la velocidad crece

sustancialmente de 1 a 9 ft/sg aproximadamente, de manera que en la sección de

patrón de flujo slug (ver Figura 5.17) la velocidad entre las fases tienen una

diferencia considerable con el cambio de patrón de flujo burbuja a flujo slug se debe

a que el volumen de la fase gaseosa aumenta y la fuerza de flotación provoca un

incremento de velocidad en toda la sección de flujo slug.

89

6.11 Gradiente de temperatura obtenido con el modelo 2 modificado para el pozo 2 El modelo 2 se modificó de tal forma que ahora también considera los términos

transitorios de la temperatura del líquido. Esta modificación se realizó con la finalidad

de obtener un modelo que tenga buena predicción de los perfiles de temperatura y

que no afecte la predicción de las otras variables.

En la Figura 6.19 el perfil de temperatura de la fase líquida se compara con el

gradiente geotérmico. Se observa que en las secciones de flujo de líquido y burbuja

la temperatura de líquido se empalma con el gradiente geotérmico, sin embargo para

el patrón de flujo slug la temperatura se separa al inicio 37.5 F y se mantiene así

hasta el final de la tubería.

Figura 6.19 Perfiles de temperatura obtenidos con el modelo 2 modificado, pozo 2

La temperatura de la fase gaseosa se mantiene igual que el perfil del gradiente

geotérmico en la sección de flujo de líquido, pero en la sección de flujo burbuja se

separa con una diferencia al final de la sección de 50.3 F. Esta tendencia continua en

la sección de flujo slug hasta el final de la tubería, donde se tiene una diferencia de

temperaturas entre la fase gaseosa y el gradiente geotérmico de 59.7 F.

90

El gradiente geotérmico es tomado como temperara inicial. La diferencia entre el

gradiente geotérmico y la temperatura del gas se debe a la descompresibilidad del

fluido (aceite negro)

6.12 Comparación de los perfiles de velocidad obtenidos con el modelo 2 y el

modelo 2 modificado

En la figura 6.20 se muestran los perfiles de velocidad obtenidos con el modelo 2 y

el modelo 2 modificado.

Figura 6.20 Comparación de los perfiles de velocidad entre el modelo 2 y el modelo 2 modificado, pozo 2

En la figura 6.20 se observa que los perfiles de velocidad en las secciones de flujo

líquido y burbuja se encuentran sobrepuestos, existe solo una pequeña diferencia en

un intervalo de la tubería de 3000 ft a 4900 ft de 0.3 ft/sg, sin embargo para la

sección de flujo slug la diferencia en la magnitud de la velocidad al inicio de la

sección es de 1.2 ft/sg y al final es de 3.6 ft/sg. A pesar de lo anterior el

comportamiento de las velocidades describe bien el comportamiento físico del

fenómeno de flujo en dos fases líquido-gas.

91

6.13 Comparación de los perfiles de presión obtenidos con el modelo 2 y el

modelo 2 modificado

En la Figura 6.21 se observa que no existe diferencia de consideración en la

predicción de la caída de presión entre el modelo 2 y el modelo 2 modificado, los

perfiles se separan un poco en la sección de flujo slug, pero esta separación es de

una diferencia al final de la tubería de 50 Psi aproximadamente.

Figura 6.21 Comparación de los perfiles de velocidad entre el modelo 2 y el modelo 2 modificado, pozo 2

La comparación entre las predicciones de las variables de temperatura, velocidad y

presión obtenidas con el modelo 2 modificado y el modelo 2, se concluye que el

modelo 2 modificado predice aceptablemente los perfiles de temperatura del líquido y

la temperatura del gas, sin afectar de manera considerable la predicción de las otras

variables.

Profundidad (ft)

92

6.14 Preedición de los períodos transitorios de la presión con el modelo de

flujo homogéneo para el pozo 2

La predicción de los perfiles de la presión se realizó para un tiempo de simulación de

11000 seg. En la Figura (5.3) se observa la evolución en el tiempo de los perfiles de

la presión los cuales alcanzan el estado estable a partir de 9,500 seg.

Figura 6.22 Perfiles de los períodos transitorios de la presión del modelo de flujo homogéneo El perfil de predicción de la presión no muestra ningún cambio significativo a

diferencia de los perfiles obtenidos con el modelo 2 de pendiente como se obtiene

con el Modelo 2, (Modelo a dos fluidos simplificado Figura 6.11) cuando cambia de

patrón de flujo. Esto se debe que el modelo de flujo homogéneo no considera los

cambios de patrón de flujo debido a que las dos fases fluyen como una como una

sola mezcla.

93

6.15 Preedición de la temperatura de mezcla durante el periodo transitorio

empleando el modelo de flujo homogéneo para el pozo 2.

Los perfiles durante período transitorio de la temperatura se muestran en la Figura

5.4 para un tiempo total de simulación de 11,000 seg.

Figura 6.20 perfiles del de los períodos transitorios de la temperatura modelo de flujo homogéneo

Los perfiles de la temperatura durante el período transitorio evolucionan con una

tendencia hacia el perfil del gradiente geotérmico, pero la pendiente del perfil de la

temperatura de mezcla del modelo de flujo homogéneo es menor ( )1.05100

Fft que

la pendiente del gradiente geotérmico ( )170

Fft . La diferencia entre la temperatura

estimada por el modelo de flujo homogéneo y el gradiente geotérmico es de 47.15º

En la Figura se observa que el modelo de flujo homogéneo tiene una pendiente

definida del perfil de temperatura en estado estable t=11,000 seg. para el pozo 2.

94

6.16 Predicción de los períodos transitorios de la velocidad, con el modelo de

flujo homogéneo para el pozo 2.

Los perfiles de los períodos de transición de la velocidad de mezcla para un tiempo

total de simulación de 11,000 seg se muestran en la Figura (6.21).

Figura 6.21 perfiles del de los períodos transitorios de la velocidad modelo de flujo homogéneo

Los perfiles de la velocidad de mezcla predichos con el modelo de flujo homogéneo

durante el período transitorio muestran una evolución mínima. La diferencia entre los

perfiles de velocidad para tiempos de 1000 seg. y el de 11,000 seg. es de 0.00032

ft/sg

La diferencia en la predicción de la velocidad entre el modelo de flujo homogéneo y

el modelo a dos fluidos es que el modelo a dos fluidos predice la velocidad de cada

una de las fases y, el modelo de flujo homogéneo estima una velocidad de mezcla. El

modelo a dos fluidos representa mejor el comportamiento de la velocidad de las

fases (Figura 6.18)

95

Capítulo 7 Conclusiones y recomendaciones

En este capítulo se describen las conclusiones del trabajo realizado, así como las

recomendaciones para futuros trabajos.

96

7.0 Conclusiones y recomendaciones En este trabajo de tesis se desarrollaron dos modelos simplificados de flujo en dos

fases, esto con la finalidad de encontrar un modelo más simple en su solución, con

buena estabilidad y predicción de las variables dependientes. El modelo 1 es el

modelo que considera todos los términos transitorios de las variables dependientes

(presión, fracción de líquido, velocidad del líquido, velocidad del gas, temperatura del

líquido y temperatura del gas), y mostró un comportamiento de inestabilidad

numérica. El modelo 2 considera los términos transitorios de la velocidad del gas y

de la fracción del líquido, se comportó estable numéricamente y tuvo buena

predicción en la simulación de la presión. El Modelo 3 considera los términos

transitorios de la fracción del líquido y de la velocidad del líquido; se comportó

inestable numéricamente y no predice adecuadamente. De las observaciones

anteriores se concluye que un modelo transitorio simplificado de la hidrodinámica del

flujo de dos fases líquido-gas, a través de tuberías, se debe de incluir por lo menos

los términos temporales de la velocidad del gas y la fracción del líquido para tener

buena estabilidad numérica.

El modelo 2 predice adecuadamente hidrodinámicamente, pero no tuvo buena

predicción térmicamente por lo que se observa en la predicción de la temperatura de

las fases para el pozo 2. Sin embargo el modelo 2 modificado que considera el

término temporal de la temperatura del líquido predice adecuadamente los perfiles

de la temperatura de las fases.

Del estudio del tamaño de malla espacial y de los resultados obtenidos concluimos

que el tamaño de malla espacial no tiene impacto en el patrón de flujo burbuja, se

recomienda usar un tamaño de malla temporal 0.001tΔ = y uno de malla espacial

5 100t≤ Δ ≤ teniendo buenos resultados en la simulación. Para el patrón de flujo slug

si se observaron diferencias en la predicción de la presión y de la fracción del líquido

al variar el tamaño de malla espacial por lo que se recomienda seleccionar un

97

tamaño de paso espacial adecuado, realizando un análisis de consistencia entre los

tamaños de paso (12.5 50z≤ Δ ≤ )

El cambio de patrón de flujo para cada uno de los pozos estudiados fue detectado

mediante una rutina de determinación de patrones de flujo, y una vez identificada la

longitud donde se presentó un cambio de patrón de flujo, se realizó la simulación

individual para cada patrón de flujo modificando cada uno de los datos de entrada y

las condiciones iniciales. Estos cambios se requieren porque el código numérico en

cada uno de los patrones de flujo no tiene un tamaño de paso espacial y temporal en

común, por lo que se recomienda para trabajos futuros la elaboración de un mallado

dinámico para poder acoplar los diferentes códigos.

El sistema de ecuaciones se discretizó aplicando la técnica de diferencias finitas

hacia atrás para las derivadas espaciales, y hacia adelante para la derivadas

temporales, con error de primer orden del tamaño de paso espacial ( zΔ ). Los

tamaños de paso espacial utilizados son mayores a uno ( 1zΔ > ), el tamaño de paso

temporal es menor que 1 segundo ( 1tΔ < ).

Una posible manera de obtener un modelo más estable es aplicando otro esquema

de discretización. Por esto se recomienda una discretización de diferencias finitas

centradas para la derivada espacial, la cual tiene un error de segundo orden ( )2zΔ ,

El uso de un nuevo esquema de discretización tiene la finalidad de tener tamaños de

paso temporal mayores de 0.001 seg ( 0.001 1.0dt< ≤ ) y tamaños del paso especial

más pequeños. Mediante la técnica de diferencias finitas aplicada al modelo de dos

fluidos se obtuvieron tamaños de paso espacial para el patrón de flujo burbuja

5 100z≤ Δ ≤ , y para el patrón de flujo slug el tamaño de paso fue de 12.5 50z≤ Δ ≤ . El

utilizar un nuevo esquema de discretización tiene el objetivo de obtener tamaños de

paso en común y un modelo más estable en sus predicciones.

98

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102

Apéndice A Ecuaciones de flujo del modelo a dos fluidos

A 1.0 Ecuaciones de conservación promediadas en tiempo y volumen La ecuación de conservación genérica promediada en tiempo y volumen está

expresada de la forma siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0iV t a t V t a t i t

d dV n JdS dV dS n dldt

ρψ ρφ+ ⋅ − − Φ + ⋅Σ =∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ………..………….A-1

donde ρψ es la cantidad a conservar por unidad de volumen, dV es la diferencial de

volumen, J es el flujo a través de la frontera del volumen de control, dS es la

diferencial de superficie , φ es el término fuente por unidad de masa, Φ es el

término fuente interfacial por unidad de área interfacial dentro del volumen de

control, Σ es el flujo a través de la superficie por unidad de longitud de la interfase, dl

es la diferencial de longitud, ( )V t es el volumen de control instantáneo, ( )a t es la

área de la superficie externa, ( )ia t es la área interfacial dentro de ( )V t , ( )i t es la

curva de intersección de la interfase con la superficie externa y n es el vector

unitario normal.

Considerando que el volumen de control permanece totalmente dentro de la fase k

( kV V= ), los términos fuente interfacial y el de flujo a través de la superficie

desaparecen, entonces la ecuación (A -1) se reduce a:

( ) ( ) ( )

0k k k

k k k k k ka t V t V t

dn J ds dV dVdt

ρ φ ρ ψ⋅ − + =∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ………………………………………A-2

Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss y el teorema de transporte de

Reynolds a la ecuación (A-2) se obtiene lo siguiente:

103

( )( ) ( ) ( )

( ) 0k k k

k kkk kk k k

V t V t V t

dJ dV dV U dVdtρ ψρ φ ρ ψ∇⋅ − + + ∇ ⋅ =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ……………….A-3

Agrupando términos, la ecuación A-3 se puede escribir como:

( )

( ) 0k

kk k k kk k kV t

dJ U dVdt

ρ φ ρ ψ ρ ψ⎧ ⎫∇ ⋅ − + +∇⋅ =⎨ ⎬⎩ ⎭∫∫∫ ………….……..…..A-4

donde ∇ es el operador gradiente, k

J es el flujo de control de la fase a través de la

frontera del volumen de control, kρ es la densidad de la fase, k

φ es el término fuente

de la fase por unidad de masa, kρ kψ es la propiedad a conservar y kU es la

velocidad de la fase.

Ya que se considera que el volumen de control de la fase es arbitrario ( ) ( )kV t , la

integral de la ecuación (A-3) desaparece. De esta forma se obtiene la ecuación

general de conservación en su representación Euleriana.

( )( )k k

kk k kk k

dU J

dt

ρ ψρ ψ ρ φ+∇ ⋅ = −∇⋅ + ……………………………….……A-5

Desarrollando la parte izquierda de la ecuación de conservación Euleriana (A-5),

aplicando el principio de continuidad y que el término fuente de la fase es igual a

cero, la ecuación de continuidad de la fase es:

( ) 0kkk

d Udtρ ρ+∇ =i ……………………………………….…………A-6

La ecuación (A-4) simplificada se puede escribir en su representación Lagrangiana

como:

kk k kk k

D JDt

ρ ψ ρ φ= −∇⋅ − ……………………………………………A-7a

donde la derivada material está definida como:

( ) ( ) ( )kDU

Dt t∂

= + ⋅∇∂

……………………………………………..….A-7b

104

Las expresiones de conservación Lagrangiana y Euleriana (A-5) y (A-7a) son

totalmente equivalentes. Como resumen en la tabla A-1 vemos que dependiendo de

la opción a conservar, ambas ecuaciones pueden ser usadas para masa cantidad de

movimiento y conservación de la energía para ambas fases.

Tabla A-1 Términos de las ecuaciones de conservación.

Principio de

conservación kψ

kj

kφ

Φ

∑

Masa 1 0 0 0 0

Cantidad de

movimiento kU kk IP τ− kg 0 aσ

Energía

k

kk

Pe

ρ− ( ) kk k k

q P I Uτ′′ − − + kkk

k

qg Uρ′′′

⋅ + i i ie q a Uσ σ′′+ − ⋅

Donde kP es la presión de la fase, I es el tensor identidad, kτ es el esfuerzo

tangencial de la fase, kg es la constante gravitacional, σ es la tensión superficial, a

es el tensor métrico, ke es energía especifica de la fase, kρ es la densidad de la

fase, kq′′ es el flujo de calor de la fase, kq′′′ es el término de generación de calor en la

fase, iq′′es el flujo de calor en la interfase, ieσ es la energía especifica debido a la

transferencia de masa interfacial y iU es la velocidad interfacial,

A 1.1 Ecuaciones de conservación instantáneas promediadas en volumen En el la representación matemática de los fenómenos de transporte se utilizan

herramientas entre ellas están las siguientes expresiones, éstas aplicadas al

volumen de control Euleriano de la Figura A-1 tenemos:

Ecuación de la regla Leibnitz:

( , ) ( , ) ( , )

( , )k k i

i kV x t V x t a x t

ff x t dV dV f U n dst t∂ ∂

= + ⋅∂ ∂∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ……………………………A-1.1

105

Teorema de Gauss:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )k k i kw

k kwV x t V x t a x t a x t

BdV BdV Bn ds B n dst∂

∇ ⋅ =∇ ⋅ + + ⋅∂ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ………A-1.2

Figura A.1 volumen de control Euleriano en tres dimensiones

Integrando el primer término de volumen temporal de la ecuación A-5 aplicando la

regla de Leibnitz tenemos lo siguiente:

( , ) ( , ) ( , )k k i

i kk k kk k kV x t V x t a x t

dV dV U n dst tρ ψ ρ ψ ρ ψ∂ ∂

= − ⋅∂ ∂∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ …………………A-1.3

Se observa que la integral de área interfacial únicamente aparece en la ecuación A-

1.3 entonces en la pared del volumen de control y las fronteras establecidas del

volumen de control tenemos que ( ) , 0i kkU U n⋅ =

( , )kV V x t−

2n

kn

)(xtai ),( txvk

),( txakw

1n

kwn

Pared

iv

N

106

Si procedemos de la misma forma aplicando el teorema de Gauss (Ecuación. A-1.2)

y al segundo término de la ecuación A-5 se tiene que:

( )

( )( , ) ( , )

( , ) ( , )

( )

k k

i kw

k kk kk k k kV x t V x t

kk k kwk k ka x t a x t

U J dV U J dVt

U J n ds n J ds

ρ ψ ρ ψ

ρ ψ

∂∇⋅ + = ∇⋅ +

∂

+ + ⋅ + ⋅

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫ ∫∫…………….A-1.4

Considerando que no existe condición de resbalamiento 0k kwU U⋅ = y no existe flujo

a través de la pared.

Después de aplicar la regla de Leibnitz, el teorema de Gauss y con la combinación

de las ecuaciones A-4, A-1.3 y A-1.4, la forma más general de la ecuación de

conservación de volumen promediado instantáneo en tres dimensiones se puede

expresar de la siguiente forma:

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( )

( )k k k

i i kw

kk k kk k k kV x t V x t V x t

k k ik k kwk k ka x t a x t a x t

dV U J dV dVt

n U U ds n J ds n J ds

ρ ψ ρ ψ ρ φ

ρ ψ

∂+∇⋅ + − =

∂

− ⋅ − − ⋅ ⋅

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫…………………A-1.5

La expresión para el promedio volumétrico de la fase k es la siguiente:

( , )

1 ( , )( , )

K

k kV x t

f f x t dVV x t

′ ′⟨ ⟩ = ∫∫∫ ……………………..……….…….A-1.6

La fracción volumétrica instantánea para la fase k está dada por las dos siguientes

expresiones:

( , )kk

V x tV

α = ………………………………………………………..A-1.7

1 ( , )K

k k kV

f f x t dVV

α ′⟨ ⟩ = ∫∫∫ ……………………………..……..………A-1.8

El flujo de masa interfacial por unidad de área está definido como: `` ( )k k ik km n U Uρ= ⋅ − …………………………….………………A-1.9

107

Aplicando la ecuación A-1.8, la ecuación de flujo de masa interfacial y dividiendo

entre el volumen la ecuación (A-1.5) se puede reinscribir de la forma siguiente:

( , ) ( , ) ( , )

1

1 1 1

i i kw

kk k k k k kk k k k

kk k kwk k ka x t a x t a x t

V U J Pt V

m n ds n J ds n J dsV V V

α ρ ψ α ρ ψ α φ

ψ

∂ ⎡ ⎤+ ∇ ⋅ + − =⎣ ⎦∂

′′− ⋅ − ⋅ − ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ……………………..A-1.10

Para el caso de la evaporación de la fase ( )k , la componente normal de la velocidad

interfacial ( )iU puede ser mayor que la componente de la velocidad de la fase, en la

interfase local ( )kU , entonces el flujo de masa interfacial ( ``km ) puede ser una

cantidad negativa.

De la Tabla A1, y de las ecuaciones de conservación (A-1.9) y (A-1.10) se obtiene

la ecuación de masa como:

[ ]1k kkk k kV U

t Vα ρ

α ρ∂

+ ∇ ⋅ = Γ∂

………………………………………………A- 1.11

donde kα es la fracción del líquido de la fase, kρ es la densidad de la fase, kU es la

velocidad de la fase, y KΓ es el flujo volumétrico de generación de la fase k está

dado por:

``

( , )

1

i

k ka x t

m dSV

Γ = − ∫∫ ………………………………………………..A-1.12

Aplicando los términos de conservación de cantidad de movimiento de la Tabla A-1,

y la ecuación de conservación (A -1.9) tenemos:

``

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

1 1( )

1 1 1

1 1 1i i

i KW KW

kk k kk k k k k

k kk k k k k kika x t a x t

k kw kwki kw kwa x t a x t a x t

U V U U V P It V V

V V g m U ds P n dSV V V

n dS P n dS n dSV V V

α ρ α ρ α

α τ α ρ

τ τ

∂ ⎡ ⎤⎡ ⎤ + ∇ ⋅ ⎡ ⎤ + ∇ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

⎡ ⎤− ∇ ⋅ − = − −⎣ ⎦

− ⋅ − +

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

…..……A-1.13

108

La diferencia entre la presión local, la presión interfacial y la presión interfacial

promediada puede definirse como.

ki ki k iP P PΔ Δ − …………………………………...………….A-1.14

kw kw k wP P PΔ Δ − …………..………………………..………A-1.14a

La expresión matemática correspondiente para el esfuerzo interfacial es:

ki ki k iτ τ τΔ Δ − …………………………………………….A-1.15

ki ki k i

τ τ τΔ Δ − …………………………..…..…..….……A-1.15a

El área promedio de superficie interfacial vectorial por unidad de volumen ( kiS ′′′ ) se

determina por la siguiente expresión matemática:

( , )

1

i

kkia x t

S n dSV

′′′Δ ∫∫ ……………………..………….………..A-1.16

Entonces el lado derecho de la ecuación (A-1.13) queda de forma siguiente:

dSnV

dSnV

dSnPV

dSnPV

SSPS

dSnV

dSnV

dSnPV

dSnPV

txa

kKitxa

KWKW

txa

KWKWtxa

kKiKiiKKWWKKiKi

txa

KWKWtxa

kKitxa

KWKWk

txaKi

iKW

KWi

KWiKWi

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

⋅+

Δ−⋅Δ−′′⋅+′′−′′=

+⋅−−−

),(),(

),(),(

),(),(),(),(

11

~1~1

1111

ττ

τρ

ττ

…..….A-1.17

Definiendo:

ki k kiP P PΔ Δ − ………………………………………………………..A-1.18

kwi k kwP P PΔ Δ − …………………………………….………………….A1.19

Se define que la fuerza de arrastre en la fase dispersa está incluida en forma de

fuerzas de arrastre y fuerzas de corte interfacial, el término kiPΔ implícitamente

contiene las componentes de ambas fuerzas de arrastre y no arrastre pero no

109

información sobre los efectos integrados de fuerza cortante. Entonces la ecuación A-

1.17 puede escribirse de la forma siguiente:

[ ]

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

( , ) ( , )

1 1 1 1

1

1 1

i KW i KW

i

i KW

k kw k kwki kw ki kwa x t a x t a x t a x t

nk kK ki kw ki ki kw kw ki kiw K i

a x t

ndk kwki kw

a x t a x t

P n dS P n dS n dS n dSV V V V

P S S P S P S P S P n dSV

P n dS P nV V

τ τ

τ

− − − ⋅ +

′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′= + − Δ − Δ + ⋅ − Δ ⋅

− Δ ⋅ − Δ

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

∫∫( , ) ( , )

1 1

i KW

k kwki kwa x t a x t

dS n dS n dSV V

τ τ=

+ ⋅ +∫∫ ∫∫ ∫∫

..A1.20

Aplicando el teorema de Gauss para I=α y la suma de KWKi SS ′′′+′′′ tenemos que

( , ) ( , )

1 1 1

i KW

k kwki kwa x t a x t

S S n dS n dS V IV V V

α′′′ ′′′ ⎡ ⎤+ = + = − ∇ ⋅ ⎣ ⎦∫∫ ∫∫ ……………….A1.21

Entonces con la combinación de las ecuaciones A-1.20, A-1.21 y A-1.13 la ecuación

de cantidad de movimiento queda de la forma siguiente:

( ) ( ) ( )

( )''' Re

'''

1

1 ( )

kk kk kk k k k

ki kwki kw k k kk k

nd d nd dki ki kw kwki kik ki

UV U U P I

t V

P S P S V gV

U M M M M S

α ρα ρ α

α τ τ α ρ

τΓ

∂+ ∇⋅ = − ∇⋅

∂

−Δ −Δ + ∇⋅ + +

+Γ + + + + +

…………………………A-1.22

Los términos de la ecuación (A-1.15) se definen de la siguiente manera:

La velocidad de la fase interfacial debido a la transferencia de masa interfacial ( kiU Γ ),

se define como:

( , )

( , )

i

i

k ka x t

kik k

a x t

m U dSU

m UΓ

′′ ⋅

=⋅

∫∫

∫∫ ………………………………………..….……..A-1.23

La transferencia de masa interfacial ( kΓ ) se determina como:

110

( , )

1

i

k k ka x t

m U dSV

Γ = − ⋅∫∫ ………………………………………….……A-1.24

La fuerza interfacial de no arrastre ndki

M por unidad de volumen en la fase es:

( , )

1

i

nd ndki kki

a x t

M P n dSV

= − Δ ⋅∫∫ ………………………………..…….…..A-1.25

La fuerza interfacial de arrastre dki


( , )

1

i

d dki kki ki

a x t

M P I n dSV

τ=

⎡ ⎤= − Δ −Δ ⋅⎣ ⎦∫∫ …………………………….………..A-1.26

Fuerza de la pared de no arrastre ndkw

M (por unidad de volumen) en la fase es:

( , )

1

KW

nd ndkw kwkw

a x t

M P n dSV

= − Δ ⋅∫∫ ……………………………….………A-1.27

La fuerza de la pared de arrastre dkw


( , )

1

KW

dkw kwkw

a x t

M n dSV

τ= ⋅∫∫ ………………………………….…….A-1.28

Aplicando la ecuación de conservación de volumen instantáneo promediado(A-1.10),

la ecuación de transferencia de masa interfacial (A-1.9) y los términos de

conservación de la Tabla A1, la ecuación de conservación de energía en tres

dimensiones queda como:

( , )

( , ) ( , )

1 1

1 1

1 1i

i kw

Kkk k k k k k k

k

kik kk k k k k k k kk

ka x t

k k k k kwk ki kki kia x t a x t

Pe e U V qt V V

PU g v q m e dSV V

n q P v U U dS n q dSV V

α α ρ αρ

α τ ρ α ρρ

τ τ

∂ ⎡ ⎤ ′′− − ∇ ⋅ ⎡ ⎤ + ∇ ⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦⎛ ⎞⎡ ⎤ ′′′ ′′− ∇ ⋅ ⋅ − ⋅ − = − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎡ ⎤′′ ′′− ⋅ + − ⋅ − ⋅ − ⋅⎣ ⎦

∫∫

∫∫ ∫∫

…..…..A-1.29

111

Se considera que 0kwU = , esto es conveniente para varios términos de la primera y

segunda integral del área interfacial de lado derecho de la ecuación A-129.

De la ecuación (A-1.9) obtenemos lo siguiente: ``

( )kk k i

k

m n U Uρ

= ⋅ −

Entonces se obtiene que:

[ ]( , ) ( , )

1 1

i i

kik k k k ik k ki k k ki

ka x t a x t

Pm e n P U dS n m e P n U dSV Vρ

⎡ ⎤⎛ ⎞′′ ′′− − + ⋅ = ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∫∫ ∫∫ ……… A-1.30

La última parte de la integral de la ecuación anterior puede rescribirse usando las

ecuaciones (A-1.14) y (A-1.18)

[ ]( , ) ( , )

1 1

i i

k i i kki k ki kia x t a x t

P n U dS P P P U n dSV V

⎡ ⎤⋅ = + Δ + Δ ⋅⎣ ⎦∫∫ ∫∫ …………..A-1.31

y la ecuación de la regla Leibnitz (A-1.1) para 1f = y asumiendo que kP y kiP

son diferenciales se obtiene:

( , ) ( , )

1 1

i i

kk i k iki k kii

a x t a x t

P n U dS P P n U dSV t V

α∂⋅ = + Δ ⋅

∂∫∫ ∫∫ …………………………A-1.32

Nótese que a partir de la ecuación (A-1.18), separando las fuerzas de arrastre y de

no-arrastre en partes se obtiene la siguiente ecuación:

( , ) ( , )

( , )

1 1 ( )

1

i i

i

dkk i k i kki k kii

a x t a x t

ndk iki ki

a x t

P n U dS P P n U U dSV t V

P n U dSV

α∂− ⋅ = + Δ ⋅ −

∂

+ Δ ⋅

∫∫ ∫∫

∫∫ ………………A-1.33

La simplificación de la ecuación (A-1.22) y con las combinaciones de las ecuaciones

(A-1.9), (A-1.29) y (A-1.33) se obtiene la ecuación de la energía:

112

´´́

´́ ´´́ ´́ ´ ´´ ´́ ´

1

1 1

.

K

kkk k k k k k k k ki

k kk k k k k k kk

dnd nd d d kki kiki ki ki kik ki ki i kw kw kki

k i

e e U P Pt V t t

U V q g U qV V

Pe M U q A M U q A U S

αα ρ α ρ α

α τ α α ρ α

τρ

Γ

∂∂ ∂⎡ ⎤ − ∇ ⋅ ⎡ ⎤ = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂

⎡ ⎤ ′′− ∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ⎡ ⎤ + ⋅ − +⎣ ⎦⎣ ⎦

ΔΓ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −Γ

……A-1.34

La energía específica convectiva asociada a la transferencia de masa interfacial es:

),(

),(

∫∫

∫∫′′

′′

=

txak

txakk

ki

i

i

dsm

dseme ……………………………………………..A-1.35

Para el producto de la fuerza interfacial volumétrica de no arrastre por la velocidad

interfacial de no arrastre está definido como:

( , )

1

i

nd nd ndki ki k iki ki

a x t

M U P n v dsV

⋅ = Δ ⋅∫∫ …………………………………A-1.36

El flujo de cantidad de calor interfacial por unidad de área se expresa como:

´´́

( , )

1

i

iKki i ki k

a x t

aq A q n q dsV V=′′ ′′ ′′Δ = − ⋅∫∫ ………………………………A-1.37

El producto entre de la fuerza interfacial volumétrica de arrastre y la velocidad

interfacial de arrastre se define como:

( , )

1 ( )i

d d dki ki k i kki

a x t

M U P n U U dsV

⋅ = Δ ⋅ −∫∫ …………………………..A-1.38

La expresión matemática para cantidad de flujo de calor de la fase con respecto a la

pared por área se define como: ´́ ´́ ´

´́ ´´́

( , )

1

i

kw kwkwkw kw K

a x t

q Aq A n q dsV V=

′′⋅ Δ = − ⋅∫∫ ………………………………A-1.39

113

Velocidad interfacial asociada por la transferencia de la masa por el esfuerzo de la

interfase k por el área interfacial por unidad de volumen es:

´́ ´

( , )

1

i

ki ki k kk K iia x t

U S n U dsV

τ τΓ = − ∫∫ …………………..……A-1.40

Generación volumétrica de masa por los cambios de presión asociada con la fuerza

de no arrastre por unidad de densidad de la interfase.

( , )

1

i

ddk k

k kikk a x ti

P mP dSV ρρ

Δ ′′Γ = Δ∫∫ …………………………….A-1.41

Ecuaciones promediadas en espacio y tiempo. El promedio de tiempo que se utilizara es conocido como promedio de tiempo único

el cual está definido por la siguiente expresión:

( )1 ,t

kkt T

f f x t dtT −

′ ′= ∫ ………………..……………………………..A-1.42

donde T es el intervalo de promedio en tiempo , considerando que kf es una función

que no tiene discontinuidades, entonces aplicando la ecuación de la regla de Leibnitz

tenemos:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) tdt

txfT

TtxftxfT

tdtxfTtt

f t

tT

kkk

t

tTk

k ′∂

∂=−−=′′=

∂∂

=∂∂

∫∫−−

,1,,1,1 ……………A-1.37

De esta forma se expresa la derivada de la función kf promedio como:

tf

tf kk

∂∂

=∂∂ …………………………………..…………….A-1.38

BB ⋅∇=⋅∇ ………………………………………..……. A-1.39

donde B Es un vector cualquiera.

114

La ecuación de conservación de masa promediada en tiempo, se obtiene de las

ecuaciones (A-1.11) y (A-1.42) quedando de la forma siguiente:

1 ( )kk k k k kV vt Vα ρ α ρ∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ∇ ⋅ = Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

……………………….A-1.40

La ecaución de conservación de cantidad de movimiento promediada en tiempo se

obtiene con la ecuación (A-1.22) y la ecuación (A-1.42)

( )

´

1 ( )

1

kk k kk k k k k

ki kwki kw K k k kk

nd d nd dk Ki kiki ki kw kw k i

v V v v P It V

P S P S V V gV

v M M M M S

α ρ α ρ α

α τ α ρ

τΓ

∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ∇ ⋅ = − ∇ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

⎡ ⎤′′′ ′′′− + Δ − ∇ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

′′′+Γ + + + + + ⋅

…………….…A-1.41

La ecaución de la energía en tiempo promediado la obtenemos con la ecuación

(A1.34) y de la ecuación (A1.42) y queda de la forma siguiente:

´́ ´

´́ ´´´ ´´́ ´´ ´´́

1

1 1

.

k

kkk k k k k k k k ki

k kk k k k k k kk

dnd nd d d kki kiki ki ki kik ki ki i kw kw kKi

k i

e e v P Pt V t t

V v V q g v qV V

Pe M v q A M v q A v S

αα ρ α ρ α

α τ α α ρ α

τρ

Γ

∂∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ∇ ⋅ = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′− ∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ + ⋅ + +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

ΔΓ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − Γ

…..A-1.42

Para presentar las ecuaciones con una mejor expresión se omite la notación de

promedio en espacio/tiempo y se escriben en términos de productos promediados.

Entonces las ecuaciones de conservación promediadas en espacio y tiempo son las

siguientes:

Ecuación de continuidad:

[ ]1k kkk k kV U

t Vα ρ

α ρ∂

+ ∇ ⋅ = Γ∂

………………………………………………A-1.43

115

Ecuación de cantidad de movimiento:

[ ] [ ]

''' Re

'''

1

1 ( )

kk kk kk k k k

ki kwki kw k k kk k

nd d nd dki kik ki ki kw kw ki

UV U U P I

t V

P S P S V gV

U M M M M S

α ρα ρ α

α τ τ α ρ

τΓ

∂⎡ ⎤+ ∇⋅ = − ∇⋅⎣ ⎦∂

⎡ ⎤−Δ −Δ + ∇⋅ + +⎣ ⎦

+Γ + + + + + ⋅

…………………………..A-1.44

Ecuación de conservación de energía:

( )[ ] ( )'' ''' Re

''' '' '''

'' ''' '''

( ) 1 ( )

1 1( ) ( )

Tk k k k T k

kk k k k ki

Tk kkk k k k kk k

nd ndki ik kik k k k k kik ki

dd d kki kwki ki ki kkikw

k

e eV e e U P

t V t

V q q V Ut V Vg U q e M U q A

PM U q A U S

α ρ αα ρ

α ρα ρ α τ τ

α ρ α

τρ

Γ

⎡ ⎤∂ + ∂⎣ ⎦ + ∇ ⋅ + = −∂ ∂

∂ ⎡ ⎤+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅ +⎣ ⎦∂+ + + Γ + ⋅ + +

Δ⋅ + + ⋅ ⋅ − Γ

….…..A-1.45

A 1.3 Ecuaciones de conservación del modelo a dos fluidos unidimensionales simplificadas

En este modelo no se considera transición de patrón de flujo por reacciones químicas

entre las fases, ni la transferencia de masa interfacial. Los efectos que tiene el

transporte de calor de Reynolds y los esfuerzos de Reynolds son mínimos, por lo que

son despreciados. Debido al tamaño de la longitud de la tubería consideramos flujo

totalmente desarrollado, así como flujo adiabático. Entonces las ecuaciones de

conservación para flujo en dos fases (A-1.12, A-1.13 y, A-1.14) quedan de la

siguiente forma:

Ecuación de continuidad:

0k k k k kUt zα ρ α ρ∂ ∂

+ =∂ ∂

……………………………………………….A-1.49

116

Ecuación de cantidad de movimiento:

( ) ( ) ( )k k k k k k k k k k k k dH H

kw kiU U U P U gsen Ft z z D D

τ τα ρ α ρ α α ρ θ∂ ∂ ∂

+ = − + − − +∂ ∂ ∂

..…A.1.50

Ecuación de conservación de la energía:

cosk k k k k k k kk k k k

e e U p gUt z t

α ρ α ρ α α ρ φ∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂……………………….A.1.51

117

Apéndice B Relaciones y correlaciones teóricas de los diversos patrones de flujo

B-1 Patrón de flujo burbuja y burbuja dispersa Las relaciones o correlaciones utilizadas para el patrón de flujo burbuja y burbuja

dispersa se presentan a continuación:

El esfuerzo líquido-pared se calcula con la ecuación (B-1.1)

dUdf

lll

wlwl

πρτ 2

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ………………………………………B-1.1

donde ld es el diámetro hidráulico del líquido, lρ es la densidad del líquido, lU es la

velocidad del líquido, d es el diámetro de tubería y wlf es el factor de fricción líquido-

pared el cual esta en función del número de Reynolds de la fase líquida.

Para flujo turbulento, el factor de fricción líquido- pared se calcula con la ecuación (B-

1.2).

41

Re079.0 −= lwlf ……………………………..………………….B-1.2

Para régimen de flujo laminar el factor de fricción se calcula con la ecuación (B1.3).

lwlf

Re16

= …………………………………………….………..B-1.3

donde el número de Reynolds para la fase líquida se calcula como:

l

lll

DUdμ

=Re ……………………………….………………B-1.4

donde ld es el diámetro hidráulico del líquido D representa el diámetro hidráulico de

la tubería, lU es la velocidad superficial del líquido y lμ es la viscosidad del líquido.

118

La fuerza interfacial de arrastre DF se determina utilizando la ecuación siguiente:

lglgb

DD UUUU

RCF −−= )(

83

1ρ …………………………………………….B-1.5

donde lρ es la densidad del líquido, sin distorsión, lU es la velocidad del líquido, gU

es la velocidad del gas, bR es el radio de la burbuja dado por la ecuación (B-1.10) y

DC es el coeficiente de arrastre para burbujas sin distorsión, el cual se puede

calcular con las siguientes ecuaciones:

Para flujo laminar:

φ2Re24

=DC ………………………………………………………………………….B-1.6

Para flujo turbulento:

( )75.02

2

Re1.01Re24

φφ

+=DC …………………………………………………………….B-1.7

donde 2Re φ es el número de reynolds para flujo turbulento y se calcula con la

ecuación (B-1.9)

Para flujo laminar, el coeficiente de arrastre para burbujas distorsionadas se calcula

con la expresión (B1.8)

( )( )

2/1

134

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

g

glbD

gRC

ασρρ

…………………………………………..B-1.8

donde: σ es la tensión superficial:

m

lgb UUR

μ

ρφ

−=

12

2Re …………………....………………………B-1.9

donde mμ es la viscosidad de mezcla y bR es el radio de la burbuja sin distorsión

119

31

323

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πα V

R gb ……………………..……………………..B-1.10

En esta expresión, gα es la fracción volumétrica del gas y V es el volumen total de

cada sección o del elemento de la tubería.

La viscosidad de la mezcla mμ , se calcula con la ecuación (B1.11).

( )( )

lg

lg

glm μμ

μμ

αμμ +

+

−=4.05.2

1 ……………………………….………..B-1.11

donde gμ es viscosidad cinemática del gas, lμ es la viscosidad cinemática del

líquido y gα es la fracción de vacío.

B.2 Patrón de flujo slug El patrón de flujo slug que se presenta en una tubería de transporte de fluido líquido-

gas depende de los siguientes factores:

• El ángulo de inclinación de la tubería

• La relación del flujo volumétrico de las fases

• Las propiedades termofísicas del fluido

Para el patrón de flujo slug en tuberías con ángulos cercanos a la horizontal (de 0º

hasta 3º), los esfuerzos se calculan de acuerdo a las siguientes ecuaciones (Issa y

Kempf, 2003):

El esfuerzo interfacial está dado por la siguiente ecuación:

2)( 2

lggii

UUf

−=

ρτ ………………………………………………………..B-1.12

donde iτ es el esfuerzo interfacial y if es el factor de fricción interfacial

120

Los esfuerzos que se presentan en la pared de la tubería son el esfuerzo líquido-

pared y el esfuerzo gas-pared, y se calculan con las ecuaciones siguientes:

2

2gg

gwg

Ufρ

τ = …………………………………………………………….B-1.13

2

2ll

lwlUf ρτ = ………………………………………….……………………B-1.14

donde wgτ es el esfuerzo tangencial líquido-pared y wlτ es el esfuerzo tangencial

líquido-pared.

Los factores de fricción se calculan con las ecuaciones mostradas en la Tabla B-1.3.

Tabla B- 1. 3 Factores de fricción para flujo slug Rangos del número de Reynolds Factor de fricción

2300Re,Re ≤ig ig

ig ff,Re

16==

2300Re >g ( ) 2.0Re046.0 −= ggf

2300Re >i ( ) 2.0Re046.0 −= iif

2300Re ≤l l

lfRe24

=

2300Re >i ( ) 0.1390.0262 Rei l lf α −=

Los números de Reynolds para flujo slug están dados por las expresiones mostradas

en la Tabla B1.4

Tabla B 2. Número de Reynolds para flujo slug Fase líquida Fase gaseosa

Zona interfacial

l

llll

Udμρ

=Re g

gggg

Udμ

ρ=Re

g

glggi

UUd

μ

ρ−=Re

121

Los diámetros hidráulicos para la fase líquida ld y para la fase gaseosa gd se

calculan con las siguientes ecuaciones:

l

ll S

Ad

4= ……………………………………………………..B-1.15

ig

gg SS

Ad

+=

4……………………………………………..…...B-1.16

donde lA es el área de la fase líquida, gA es el área de la fase gaseosa, lS es el

perímetro el de la fase líquida, gS es el perímetro de la fase gaseosa, y iS es el

perímetro de la interfase.

B.3 Patrón de flujo estratificado Las expresiones para calcular los esfuerzos en el patrón de flujo estratificado son las

mismas que se utilizan las del patrón de flujo slug horizontal o para ángulos menores

a 3º con respecto a la horizontal, esto se debe a que el patrón de flujo slug en la

sección de la burbuja de Taylor es tratado como flujo estratificado, y están dadas por

las ecuaciones (B-1.12), (B-1.13) y (B-1.14).

Los factores de fricción del líquido, gas, e interfacial se calculan con las expresiones

siguientes:

Para valores de Re 2300k ≤ , los factores de fricción de la fase gaseosa y líquida se

calculan con las ecuaciones siguientes:

g

gfRe16

= ;…………………………………………………………….….B-1.17

16Rel

l

f = …………………………………………………………………..B-1.18

Para 2300Re >g el factor de fricción de la fase gaseosa se calcula con la ecuación

siguiente (Taitel y Dukler, 1976):

122

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++= −

31

4

Re101021001375.0

gg d

xf ε …… …….…B-1.19

Donde ε es el espesor ocupado por el gas en la tubería y d es el diámetro de la

tubería

Ouyang y Aziz (1996) proponen para calcular los factores de fricción interfacial y de

la fase líquida:

0142.0=if …………………………………………………….B-1.21

0926.0

5161.0Re6291.1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

sl

sg

ll U

Uf ……………………………………………B-1.20

El número de Reynolds y el diámetro hidráulico se determinan con las expresiones

descritas en la Tabla B1.8.

Tabla B-3. Número de Reynolds y diámetro hidráulicos para flujo estratificado

Fase líquida Fase gaseosa.

Diámetro hidráulico de las

fases gaseosa y líquida

ig

gg SS

Ad

+=

4

l

llll

Udμρ

=Re

g

gggg

Udμ

ρ=Re

l

ll S

Ad

4=

B.4 Patrón de flujo anular

Para el patrón de flujo anular los esfuerzos líquido-pared wfτ y el esfuerzo de la

interfase iτ se pueden calcular con las siguientes expresiones:

2

f f fwf

f Uρτ = …………………………………………….………….B-1.21

123

2( )2

c c fi i

U Ufρ

τ−

= …………………………………………………..B-1.22

donde ff es el factor de fricción líquido-pared, fρ es la densidad de la fase líquida

fU es la velocidad de la película anular del líquido que viaja en la región cercana al

perímetro interno de la tubería, if es el factor de fricción interfacial se calcula con la

ecuación B-1.23, cρ es la densidad promedio y se calcula con la ecuación B-126 y

cU es la velocidad de la película del gas,

Para flujo turbulento el factor de fricción para la fase del líquido ff se calcula como:

41

Re079.0 −= fff ……………………………………………………………………...B-1.23

140.079Recs cf −= ……………………………………………………….………..……..B-1.24

Para flujo laminar tenemos el factor de fricción ff como:

f

ffRe16

= ……………………………………………………..……….. B-1.25

16Recs

c

f = ………………………………………………………….….. B-1.26

El número de Reynolds para la película del líquido y la zona del gas se calculan con

las ecuaciones siguientes:

Para la película del líquido:

Re l f lf

l

d U dμ

= ;…………………………….…………………………………..B-1.27

Para la zona del gas tenemos:

124

Re c c cc

c

d U ρμ

= ……………………………………………………………………B-1.28

El factor de fricción interfacial es:

Iff csi = ……………………………………………………………..B-1.29

donde I es el factor de corrección interfacial y se calcula como:

θθ 22cos senIII VH += ……………………………………….…….B-1.30

donde HI es el factor de corrección interfacial horizontal y VI el factor de corrección

interfacial vertical y se calculan como:

AH FI 8001+= ………………………………………………..B-1.31

DIV

δ3001+= ………………………………….…………….B-1.32

( ) ( )0.42.5 2.50.5 0.5 0.5

0.9

0.707 0.0379

Re

f f f lA

c c g

R R UF

Uρρ

⎧ ⎫⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎩ ⎭

………………………….B-1.33

donde δ es el espesor de la película del líquido cα es la fracción de vació del gas;

cρ es la densidad promedio; y cμ la viscosidad de flujo.

Dichos parámetros se pueden determinar con las expresiones siguientes:

EUUU

slsg

sgc +=α ………………………………………………………….B-1.34

)1( clcgc αραρρ −+= ……………………………………………………..B-1.35

)1( clcgc αμαμμ −+= ………………………………………………………B-1.36

donde sgU y slU son las velocidades superficiales del gas y del líquido.

Las velocidades de película fU y del gas cU se calculan como:

125

( )( )2

2

2δ−

+=

c

slsgc d

DEUUU …………………………………..……………B1.37

( )( )δδ −−

=f

f dDEU

41 2

……………………………………………….…….B-1.38

donde E es la fracción de líquido que se encuentra dispersa en la parte axial y

central de la tubería y se determina como: [ ])5.1(125.01 −−−= φeE …………………………………………………………..B-1.39

donde φ lo calculamos con la siguiente expresión:

2

1

410 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

l

ggsgUρρ

σμ

φ ……………………………………………………B-1.40

Los diámetros hidráulicos se determinan por medio de las siguientes expresiones:

Para la película del líquido:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

DDDd f

δδδ 424 2 ……………………………………………………….. B-1.41

Para la zona del gas:

)( δ−= Ddc ……………………………………………………………………..B-1.42

Sustituyendo las relaciones de cerradura de cada patrón de flujo se obtienen las

ecuaciones finales que componen los sistemas cerrados de ecuaciones.

126

Apéndice C Correlaciones para determinar la caída de presión

Método de Poetman y Carpenter Poetman y Carpenter publicaron en 1952 un procedimiento analítico para calcular la

caída de presión en tuberías verticales con flujo multifásico. La ecuación principal se

desarrollo a partir de un balance de energía entre dos puntos dentro de la tubería de

producción. 2

10 5

( )1144 7.413 10

ons

ns

f q MPz d

ρρ

⎛ ⎞Δ= +⎜ ⎟Δ ×⎝ ⎠

……………………………………..C-1

2

10 5

1 ( )144 7.413 10ns

ns

P f Wz d

ρρ

⎛ ⎞Δ= +⎜ ⎟Δ ×⎝ ⎠

…………………………………….C -2

donde Pz

ΔΔ

es el gradiente de caída de presión, nsρ es la densidad de la mezcla gas-

líquido sin resbalamiento, f es el factor de pérdida de energía, oq es el flujo

volumétrico de aceite (bbl/día), M es la masa de la mezcla (lbm/blo. C.S.), d es el

diámetro interior de la tubería y W es el flujo másico (lbm/día)

El factor de perdida de energía de Poetman y Carpenter se obtuvo a partir de la

medición de 49 pozos fluyentes y de bombeo neumático aplicando la ecuación C-1.

Esos valores fueron correlacionados con el numerador de número de Reynolds

( )nsmdU ρ , que expresado en unidades prácticas queda de la siguiente forma:

( )51.473 10 /m nsdU W dρ −= × ………………………………………….C-3

donde d es el diámetro de la tubería, mU es la velocidad media y nsρ es la densidad

media sin resbalamiento y se calcula con de la forma siguiente:

127

l sl g sgns

m

U UU

ρ ρρ

+= ……………………………………..C-4

Con los valores obtenidos con la ecuación C-3 se calcula el factor de pérdida de

energía por fricción f en la Figura C-1

En la figura C-1 se muestra el factor de pérdida de fricción de Poetman y Carpenter

para el cálculo del gradiente de presión por fricción

Figura C-1 Factor de pérdida de fricción de Poetman y Carpenter

Hagedorn y Brown El método Hagedorn y Brown fue desarrollado para determinar la caída de presión en

tuberías de diámetro pequeño ( 1.5 )d pg≤ . Sin embargo debido a la amplitud de

datos considerados en su desarrollo y las correlaciones utilizadas que se obtuvieron

en función de los parámetros adimensionales, su uso puede hacerse extensivo para

tuberías de mayor diámetro.

La ecuación básica de flujo obtenida a partir de un balance de energía entre dos

puntos dentro de una tubería es la siguiente: 2 2

1

1 02m

g UdP z Wfgc gcρ

Δ+ Δ + + Δ =∫ ……………….…………………C-5

2m nsU dρ

128

donde mρ es la densidad de la mezcla, p es la presión, z es la profundidad, U es la

velocidad y Wf es la pérdida total de energía.

El método experimental se realizo para un pozo 1500 ft de profundidad en tuberías

de 1, 1 1/4 y 1 1/2 pulgadas, equipadas con dos válvulas para la inyección de gas y

cuatro transductores electrónicos de presión.

Modelo matemático Desarrollando la ecuación de balance de energía utilizando unidades prácticas de

campo se obtiene:

2 2

11 5

21 ( )144 2.9652 10

m

Lm m

UgcP f q M

z zdρ ρ

ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠⎜ ⎟= + +

⎜ ⎟Δ Δ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

…………………..C-6

donde mρ es la densidad media de la mezcla (lbm/ft3)

m l l g gH Hρ ρ ρ= + ……………………………………….………C-7

La densidad del líquido lρ se calcula como:

( )1l o o w of fρ ρ ρ= + − ……………………………………..………………….C-8

donde of es la relación gas aceite /o o lf q q= y wρ es la densidad del agua

donde f es el factor de fricción de las dos fases y se calcula con el diagrama de

Moody en función del número de Reynolds para dos fases:

2Re 2.2 10(1 )

lDF

l l g l

q Md H Hμ μ

−= ×−

…………………………………………C-9

donde Lq es el gasto total de líquido (bl/día) y M es la masa total de aceite agua y

gas asociados por barril de líquido fluyendo dentro de la sarta de producción (lbm/bl),

mU es la velocidad de la mezcla (ft/sg)

129

15.61 62.4 0.0764 5.61 62.41 1 1

woo g w

wo wo wo

fRMf f f

γ γ γ= × + + ×+ + +

………………C-10

donde wof es la relación agua-aceite a las condiciones de escurrimiento y γ es el

peso especifico del fluido

Método de Duns y Ros La ecuación principal del método se obtuvo a través de un balance de presión

Gradiente Gradiente Gradiente Gradiente= + +

total por densidad por friccio n por aceleracio n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

………….C-11

El gradiente de aceleración es despreciado para todos los patrones de flujo excepto

para el patrón de flujo niebla.

Patrón de flujo burbuja Gradiente de presión por densidad para el patrón de flujo burbuja es el siguiente:

( )1l l l gP H Hz ρ

ρ ρΔ⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠……………….…………………………..C-12

donde gρ es la densidad del gas, lρ es la densidad del líquido y lH es la fracción

de vació del líquido considerando resbalamiento

El gradiente por fricción para flujo burbuja es provocado por el esfuerzo cortante

entre las fases, y la pared de la tubería y se calcula de la forma siguiente:

( )2w l sl m

f

f U UPz gc d

ρΔ⎛ ⎞ =⎜ ⎟Δ⎝ ⎠……………………………………..C-13

donde Wf es el factor de fricción fase pared, slU es la velocidad superficial de la fase

líquida y mU es la velocidad de la mezcla.

130

Con base en los datos experimentales los autores derivaron la correlación siguiente

para el factor de fricción.

21

3w

ff ff

= …………………………………………………………C-14

1f se calcula con el diagrama de Moody en función del número de Reynolds

siguiente:

Re 1488 l sl

l

U dρμ

= …………………………………………………C-15

2f Es una correlación debido a la relación gas-líquido insitu y se obtiene en función

de la Figura C-2 y en función de la expresión matemática C-16:

2/31

sgD

sl

Uf N

U……………………………………………………C-16

Figura C- 2 Parámetro de Duns H. and Ros N. C. J, (1963), factor de fricción flujo burbuja

3f Es un factor de corrección adicional por la viscosidad solo es importante para

viscosidades mayores de 50 centistokes y se obtiene:

3 1150

sg

sl

Uf f= + …………………………………………..C-17

131

Patrón de flujo slug vertical Gradiente por densidad para el patrón de flujo slug es el siguiente:

( )1l l l gP H Hz ρ

ρ ρΔ⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠…………………………………..C-18

Gradiente por fricción para flujo slug vertical se determina con le mismo método que

el patrón de flujo burbuja:

( )2w l sl m

f

f U UPz gc d

ρΔ⎛ ⎞ =⎜ ⎟Δ⎝ ⎠………………………………………..C-19

Patrón de flujo niebla Para patrón de flujo niebla se tiene que el gradiente por densidad es el siguiente:

sgsll l g

m m

UUPz U Uρ

α ρ ρΔ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟Δ⎝ ⎠…………………………………C-20

donde sgU es la velocidad superficial de la fase gaseosa

El gradiente por fricción para flujo niebla se calcula como:

( )

2

2g sg

wf

UP fz gc d

ρΔ⎛ ⎞ =⎜ ⎟Δ⎝ ⎠…………………….……………………………C-21

donde wf se calcula con el diagrama de Moody en función del numeró de Reynolds

siguiente:

Re 1488 g sg

g

U dρμ

= …………………………………………………C-22

El gradiente por aceleración para flujo niebla refleja el cambio de momentum cuando

la mezcla es acelerada y esté es:

ns m sg

ac

U UP dPz gcp dh

ρΔ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠…………………………………….C-23

132

donde nsρ es la densidad promedio de la mezcla sin resbalamiento y se calcula con

la ecuación C-24 y p es la presión media del intervalo.

l sl g sgns

m

U UU

ρ ρρ

+= ……………………………………..C-24

Zona de transición Para la zona de transición se considera entre el patrón de flujo slug y niebla, el

gradiente total se obtiene por interpolación lineal entre los gradientes obtenidos para

las fronteras de las región slug bache y niebla ver Figura C-3

Figura C-3 Zona de transición de los patrones de flujo slug-niebla donde SL es el límite superior de la región de flujo slug y ML es el límite inferior de la

región de flujo niebla.

El gradiente por densidad para la zona de transición es el siguiente:

, , ,s mT L L

P P PA Bz z zρ ρ ρ

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠…………………………….C-25

, sL

Pz ρ

Δ⎛ ⎞⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

Gradiente por densidad para 50 36vg S vLN L N= = +

, mL

Pz ρ

Δ⎛ ⎞⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

Gradiente por densidad para 0.7575 84vg m VLN L N= = +

NUg

Patrón de flujo niebla

ML SL

Patrón de flujo

transición

Patrón de flujo slug

133

Para el gradiente de fricción para la zona de transición se obtiene con un análisis

similar que el gradiente de la densidad.

, , ,s mf T f L f L

P P PA Bz z z

Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠…………………………C-26

Las constantes A y B se calculan de la forma siguiente:

m vg

m s

L NA

L L−

=−

…………………………………………….C-27

vg s

m s

N LB

L L−

=−

…………………………………………….C-28

Método de Orkiszewski El método tubo una diferencia de 10%, de los valores predichos se comparó contra

148 mediciones de caída de presión. El autor establece una diferencia en la

velocidad y geometría de las fases influencian en la caída de la presión. Estos

factores proporcionan las bases para analizar los patrones de flujo siguientes: flujo

burbuja, flujo slug, flujo de transición (slug-anular) y flujo de niebla anular.

El balance de energía en una tubería vertical puede escribirse de la forma siguiente:

g Udp fdD dD dUgc gc

ρτ ρ⎛ ⎞

= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

…………………..………………C-29

donde fdDτ es el gradiente de fricción g dDgc ρ es el gradiente por elevación y

( )U dUgcρ es el término de energía cinética donde solo es significativo para patrón

de flujo niebla donde l gU U . A partir de la ecuación de balance de energía y

utilizando unidades prácticas de campo, Orkiszewski obtuvo la siguiente expresión

para la caída de presión:

2

1144 1 / 4637f g

P fz W q A p

ρ τ⎡ ⎤′Δ += ⎢ ⎥

Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦……………………………..C-30

134

donde fτ ′ es el gradiente de fricción, (lb/ft2/ft) fW es el flujo másico (lbm/sg), gq es

flujo volumétrico del gas (ft3/sg), p es la presión promedio del sistema (Psia) y ρ es

la densidad media de mezcla lbm/ft3.

Los términos anteriores de la ecuación C-30 se determinan respecto al patrón de

flujo correspondiente y de acuerdo a las condiciones de flujo.

Patrón de flujo burbuja Gradiente de presión por densidad

donde tenemos que 2 411 1 1

2sgm m

lb b b

UU UHU U U

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − + − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

……………………….C-31

bU es la velocidad de elevación de la burbuja donde Griffith sugirió para régimen de

flujo burbuja 8 /bU ft sg=

La densidad media para el patrón de flujo burbuja se determina con la siguiente

ecuación:

l l g gH Hρ ρ ρ= + …………………………………………………………C-32

Gradiente de presión por fricción

El factor de fricción se determina con la ecuación de Darcy Weibach y la correlación

de Moody 2

2g dl l

C

f Uf ρτ = …………………………………………………………..C-33

donde la velocidad del líquido sll

l

UUλ

= y f se obtiene con el diagrama de Moody y la

ecuación para el número de Reynolds es la siguiente:

Re 1488 g l

l

U dρμ

= ……………………………………………………..C-34

135

Patrón de flujo slug La densidad media se determina de la siguiente expresión matemática:

t l bl

t b

w U Aq U A

ρρ δρ+= +

+………………………………………………..C-35

Para comprender mejor el patrón de flujo slug a continuación se muestra la figura C-4

donde observamos que el líquido se encuentra en tres zonas, en la burbuja de Taylor

en forma de gotas, en la sección slug y alrededor de la burbuja de Taylor.

Figura C-4 Patrón de flujo burbuja La velocidad de burbuja se determina de la forma siguiente:

1 2bU C C gd= ………………………………………………….C.36

Los coeficientes 1C y 2C se calculan en función de la velocidad de la burbuja por lo

que se determinan por un método iterativo.

El coeficiente de distribución del líquido δ se obtiene con las ecuaciones como se

indica en la Tabla C-1

Líquido

Gas

136

Tabla C-1 Coeficiente de distribución del líquido para patrón de flujo slug

Fase continua mU Usar ecuación

Agua 10< ( ) 1.380.013log / 0.681 0.232 0.428logl md U dδ μ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

Agua 10> ( ) 0.7990.045 og / 0.709 0.162log 0.888 ogl ml d U l dδ μ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

Aceite 10< ( )( ) 1.4150.0127 og 1 / 0.284 0.167 log 0.113 ogl ml d U l dδ μ⎡ ⎤= + − − −⎣ ⎦

Aceite 10> ( )( )( )( ){ }

1.371

1.571

0.0274 og 1 / 0.161 0.569log log

0.01 og 1 / 0.397 0.63log

l m

l

l d d U

l d d

δ μ

μ

⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

Pero el coeficiente de distribución del líquido está restringido para los límites

siguientes:

0.065 para 10 y 10; 1bm m

t b l

U AU Uq U A

ρδ δρ

⎛ ⎞≥ − < ≥ ≥ − −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

………………C-37

Zona de transición Para el estado transitorio entre patrón de flujo slug y el patrón de flujo niebla

Orkizewski adopto el método de Duns y Ros sección C-3

Gradiente por fricción para la zona de transición

En esta región se considero que la caída de presión por fricción solo se debe al flujo

de gas dentro de la tubería. 2

2g dg sg

C

f Uf

ρτ = ………………………………………………………..C-38

donde f se obtiene con el diagrama del diagrama Moody y la ecuación del número

de Reynolds siguiente:

Re 1488 g sg

g

U dρμ

= …………………………………………………C-39

137

Método de Aziz, Govier y Fogorasi A partir de la ecuación de la energía mecánica, se establece lo siguiente:

( ) ( ) ( )e f acp p p pΔ = Δ + Δ + Δ …………………………………………C-40

donde ( )epΔ es el gradiente por densidad, ( ) f

pΔ es el gradiente por fricción y

( )acpΔ es el gradiente por aceleración y éstos se determinan de la forma siguiente:

( )e

gp zgc

ρΔ = Δ ……………………………………………….C-41

( )2

2m

f

Up f zgc

ρΔ = Δ ……………………………………...……C-42

( )2

2m

ac

Upgc

ργΔ

Δ = ………………………………………………C-43

donde γ es el factor de corrección de la velocidad, y f se determina del diagrama

de Moody en función del número de Reynolds.

El método está basado en el mapa de patrones de flujo desarrollado previamente por

Govier et. al. Figura C- 5. Los autores presentan un nuevo método de predicción para

los patrones de flujo burbuja y slug

Figura C-5 Mapa para determinar el patrón de flujo de Govier et. al.

Patrón de flujo niebla

Patrón de flujo

transición

Patrón de flujo slug

Patrón de flujo

burbuja

0.1 1.0 10 100

10

4

0.1

0.01

1.0 NY

NX

138

Determinación del patrón de flujo los parámetros para el mapa se calculan de la

forma siguiente:

( )1/ 4

1/32.44 l

x sg gN U ρρσ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

………………………………..……….C-44

1/ 4

1.0364 ly slN U ρ

σ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

……………..…………………..…………C-45

donde σ es la tensión interfacial del sistema gas líquido a las condiciones de flujo

Patrón de flujo burbuja

Gradiente por de presión por densidad se determina ρ la densidad promedio para el

patrón de flujo burbuja y se calcula como:

( )1l l g lH Hρ ρ ρ= + − ……………………………………………………………C-46

1 sgl

bf

UH

U= − …………………………………………………………………..C-47

donde bfU es la velocidad de las burbujas en una corriente fluyendo y bsU es la

velocidad de elevación de las burbujas en un líquido sin movimiento

1.2bf m bsU U U= + …………………………………………………………….C-48

( )21.41 l g

bsl

U gρ ρ

σρ

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦…………………………………………………………C-49

Gradiente de presión por fricción

Considerando que para el patrón de flujo burbuja se considera que solo la fase

líquida esta en contacto con la tubería usamos la ecuación C-33:

f se obtiene del diagrama de Moody para números de Reynolds obtenidos como:

139

Re 1488 l m

l

U dρμ

= ……………………………………………………….C-50

Gradiente por aceleración es despreciable para el patrón de flujo burbuja

Patrón de flujo slug Gradiente por densidad

1 sgl

bf

UH

U= − …………………………………………………………………..C-51

1.2bf m bsU U U= + ………………………………………………………………..C-52

( ) 1/ 2

l gbs

l

U C gdρ ρρ

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦……………………………………………………………..C-53

donde C es el coeficiente de proporcionalidad de Wallis para el cálculo de la

velocidad de elevación conforme la modelo de Taylor, vN es el número de la

viscosidad y EN número de Eotvos y se calculan de la forma siguiente:

( )3.37

0.0290.345 1 1E

V

NN mC e e

−⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

………………………………………C-54

( )3

1488 l l gV

l

gdN

ρ ρ ρ

μ

⎡ ⎤−⎣ ⎦= ……………………………………………..C-55

( )2

1488 l gE

gdN

ρ ρσ−

= ……………………………………………….C-56

La densidad promedio ρ se obtiene con la ecuación C-46

Método de Beggs y Brill Los autores determinaron a través de pruebas de laboratorio una correlación para

determinar la distribución de la presión en tuberías con flujo multifásico. Este método

es aplicable para tuberías horizontales, inclinadas y verticales.

140

Las pruebas se realizaron para rangos flujo volumétrico del gas de 0 a 300 ft3/día,

gasto líquido de 0 a 1030 bbl/día, presión media del sistema 35 a 95 Psia, diámetros

de las tuberías 1pg y 1.5pg, fracción del líquido 0 a 0.87 y los ángulos de inclinación

de -90º a +90º, los autores integraron información de más de 700 pozos.

Ecuación general para la caída de presión es la siguiente:

( )( )1

2d1

1

tp m ml l g l

l l g l m sg

f G Ugsen H HP

U Uzp

θ ρ ρ

ρ λ ρ λ

⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦Δ− =

+ −Δ−

………………………..C-57

Cuando 1,lλ → se reduce la ecuación para fase líquida

Cuando 0,lλ → se reduce la ecuación para fase gaseosa

Cuando 0,θ = se reduce la ecuación para flujo horizontal

Cuando 90º ,θ = ± se reduce la ecuación para flujo vertical

donde lλ es la fracción del líquido, ρ es la densidad de la mezcla y se determina con

la ecuación C-29 y tpf es el factor de fricción para dos fases.

Para tuberías verticales la ecuación se reduce y ésta queda:

( )

( )

12gcd

11

tp m ml l g l

l l g l m sg

f G Ug H HP gc

U Uzgc p

ρ ρ

ρ λ ρ λ

⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦Δ− =

+ −Δ−

…………………………..C-58

La densidad de mezcla se obtiene de la forma siguiente:

( )1l l g lH Hρ ρ ρ= + − ………………………………..………….C-59

El flujo unitario de masa mG se determina con la siguiente ecuación:

ns mm ns m

U AG UA

ρ ρ= = ……………………………………………C-60

141

Sustituyendo en la ecuación C-59 se obtiene: 2

2gcd

1

tp ns m

m sg

f UgP gcz U U

gc p

ρρ

ρ

+Δ

=Δ

−

………………………………..………C-61

donde ggc

ρ es el término de gradiente de presión de densidad, 2

2gcdtp ns mf Uρ

es el

gradiente de presión por fricción y m sgU Ugc p

ρ es el término de aceleración.

donde p es la presión media en el intervalo (Psi) z es la elevación (ft), g es la

aceleración de la gravedad (32.7 ft/sg2), gc es la constante gravitacional (32.7 lbm

ft/lbf sg2), nsρ es la densidad de la mezcla sin resbalamiento (lbm/ft3), lρ es la densidad

de la fase líquida (lbm/ft3), gρ es la densidad de la fase gaseosa (lbm/ft3), tpf es la

factor de fricción de las dos fases, y tW es el gasto de la masa (lbm/sg)

El patrón de flujo de determina en función de los siguientes números adimensionales

mostrados en la Tabla C-2

Tabla C-2 Números adimensionales de de Beggs y Brill Número de Fraude 2

mFR

UN gd=

Colgamiento sin resbalamiento l

sl

m

UUλ =

Limite 1 0.302316l lL λ=

Limite 2 2

2.46840.0009252 lL λ−=

Limite 3 3

1.45160.102 lL λ−=

Limite 4 4

6.7380.5 lL λ−=

142

El patrón de flujo de determina con las condiciones descritas en la Tabla C-3:

descrita a continuación:

Tabla C-3 Condiciones de los patrones de flujo horizontal de Beggs y Brill

Régimen de flujo

Segregado 1 20.01 y o 0.01 y l FR l FRN L N Lλ λ< < ≥ < Transición 2 20.01 y l FRL N Lλ ≥ < ≤ Intermitente 3 2 40.01 0.4 y L 0.4 y l FR l FRN L N Lλ λ≤ < < ≤ < ≥ Distribuido 1 40.4 y o 0.4 y l FR l FRN L N Lλ λ< ≥ ≥ ≤

Para flujo inclinado los autores propusieron la siguiente:

( )( )0

l

l

HH

θψ= …………………………………………………………..C-62

donde ( )lH θ es la fracción del líquido de flujo a un ángulo de inclinación, ( )0lH es la

fracción del líquido de flujo horizontal y ψ es el factor de corrección de inclinación y

se calcula como:

( )0bl

l CFR

HNλ

= …………………………………………………………….C-63

Tabla C-4 Coeficientes de Beggs y Brill para el cálculo de la fracción del líquido flujo horizontal

Patrón de flujo a b c

Segregado 0.980 0.4846 0.0868

Intermitente 0.845 0.5351 0.0173

Distribuido 1.065 0.5824 0.609

Factor de corrección de inclinación se determina con la expresión matemática

siguiente:

( ) 31.0 1.8 0.333 (1.8C sen senψ θ θ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ …………………..…….C-64

143

donde θ es el ángulo de inclinación de la tubería a partir de la horizontal y C esta

definida de la forma siguiente:

( ) ( )1.0 ln f g hl l lv FRC e N Nλ λ= − ……………………………………………………C-65

Los valores de los coeficientes para calcular el valor de 0C ≥ se muestran en la

Tabla C-5:

Tabla C-5 Coeficientes de Beggs y Brill para el cálculo del coeficiente c

Patrón de flujo e f g h

Segregado 0.011 -3.768 3.5390 -1.614

Intermitente 2.96 0.3050 -0.4473 0.0978

Distribuido Sin corrección 0; 1C ψ= =

Todos los patrones flujo ascendente 4.7 -0.3692 0.1244 -0.5056

Una vez conociendo lH se puede calcular la densidad promedio para calcular el

gradiente de presión por densidad

Densidad promedio considerando el resbalamiento:

( )1l l g lH Hρ ρ ρ= + − ………………………………………………..…..C-66

Densidad promedio sin resbalamiento:

( )1ns l l g lρ ρ λ ρ λ= + − ………………………………………………………C-67

Fracción del líquido sin resbalamiento:

sll

sl sg

UU U

λ =+

……………………………………………………………C-68

El factor de fricción de dos fases tpf se calcula con la siguiente relación:

144

( )2tp s

ns l

fe f

f Hλθ

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦…………………………………………………………..C-69

donde se tiene que:

( )( ) ( )( )4

0.0523 3.182 0.01853L y

SL y L y

⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

…………………………C-70

El valor de y se calcula como:

( ) 2l

l

yHλ

θ=⎡ ⎤⎣ ⎦

……………………………………………………C-71

donde se es la relación del factor de fricción de dos fases tpf entre el factor de

fricción de no resbalamiento nsf y se calcula con la siguiente ecuación:

( )( ) 21/ 2 log Re/ 4.5223 log Re 3.8215nsf ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ……………………………………..C-72

El numero de Reynols para la expresión matemática C-72 es el siguiente:

Re 1488 ns m

n

U dρμ

= ………………………………………………………C-73

La viscosidad de la mezcla sin resbalamiento es la siguiente:

( )1n l l g lμ μ λ μ λ= + − ……………………………………………….C-74

Para flujo de una sola fase líquido Beggs y Brill propusieron la siguiente correlación:

( )ln 2.2 1.2S y= − ………………………………………………………C-75

Método de Baxendell y Thomas Haciendo un balance de energía los autores obtuvieron la relación para la caída de

presión en flujo vertical de dos fases a través de tuberías la ecuación es la siguiente:

145

2 2

10 5 10

1144 7.413 10 10ns

P f Q Mz d

ρρ

⎛ ⎞Δ × ×= +⎜ ⎟Δ × × × ×⎝ ⎠

…………………..……..C-76

ρ es la densidad de mezcla, Q flujo volumétrico del aceite, M masa total,

d diámetro interior de la tubería y f factor de perdida de energía.

El factor de pérdida de energía se calcula con los datos de de Baxendell y Thomas

de la Tabla C- 6 realizando una interpolación:

Tabla C-6 Factor de de perdida de energía Baxendell y Thomas

BI 3 5 10 20 30 40 50 60 80 120

BTf 8 1.2 0.26 072 .038 .0268 .0236 .0220 .0204 .0188

donde BI son la fuerza inercial del número de Reynolds y BTf es el factor de fricción

de Baxendell y Thomas y éstos se determinan respectivamente como:

B ns mI U dρ= ………………………………………………….C-77

ns l l g gρ α ρ α ρ= + ……………………………………………….C-78

Fancher y Brown Este método utiliza la ecuación de Poetman y Carpenter, la diferencia es en el

cálculo del factor de fricción. 2 2

10 5 10

1144 7.413 10 10

F

ns

P f Q Mz d

ρρ

⎛ ⎞Δ × ×= +⎜ ⎟Δ × × × ×⎝ ⎠

…………………………….C-79

donde Ff Factor de fricción modificado por Fancher y Brown en la ecuación de

Poetman y Carpenter en la tabla C-7 se muestran los valores del factor de fricción se

obtienen por interpolación

Tabla C-7 Factor de de perdida de energía Fancher y Brown BI 3 5 10 20 30 40 50 60 80 120

1Ff 1.6 0.38 0.18 0.4 0.21 .095 0.145 0.09 .04 0.016

2Ff .02 .011 .004 .0148 .008 0.003 0.01 0.005 0.0022

146

El cálculo del factor de fricción de Fancher esta relacionado con R que es la relación

gas-aceite para los siguientes valores:

Para 1500 3000R≤ ≤ utilizamos 2Ff y para 1500R ≤ utilizamos 2Ff

Mukherjee y Brill El método fue desarrollado a partir del método de Beggs y Brill considerando los

avances técnicos para medir la fracción del líquido, la prueba fue desarrollada para

una tubería en forma de U de diámetro nominal de 1.5 pg. De acero para ángulo de

0º a 90º con respecto a la horizontal, ver Figura C-6.

Figura C-6 Tubería de prueba del método de Mukherjee y Brill Patrón de flujo slug y burbuja

2

21

s ms

k

f U gsenP dz E

ρ ρ θ+Δ=

Δ −………………………………………………….C-76

donde f es el factor de fricción y se obtiene del diagrama de Moody, sρ es la

densidad de la mezcla que considera el deslizamiento, kE se calcula con la siguiente

expresión

Longitud

de entrada

Longitud de

prueba

56 ft

22 ft

32 ft

Tubería

147

s m sgk

U UE

pρ

= ……………………………………………………….C-77

donde p es la presión media en el intervalo, el factor de fricción se obtiene con el

diagrama de Moody y con la rugosidad relativa para un número de Reynols de la

ecuación C-73:

Patrón de flujo anular El gradiente de presión se determina con la siguiente ecuación:

2

1

n ms

k

f U gsenP dz E

ρ ρ θ+Δ=

Δ −…………………………………………………C-78

donde nsρ es la densidad de la mezcla sin considerara el deslizamiento sρ es la

densidad de la mezcla con deslizamiento.

Los autores desarrollaron un factor de fricción empírico que depende de la fracción

del líquido y se muestra en la Tabla C-8:

lR

l

HHλ

= ………………………………………………….79

donde RH es la relación de las fracciones Tabla C-8

Tabla C-8 factor de fricción para flujo anular de Mukherjee y Brill

RH 0.01 0.20 0.30 0.40 0.50 0.70 1.00 10.0

Rf 1 0.98 1.20 1.25 1.30 1.25 1.00 1.00

Patrón de flujo estratificado El gradiente de presión para patrón de flujo estratificado se determina a partir de la

ecuación de conservación de cantidad de movimiento y de eliminar los efectos de la

fuerza interfacial se obtiene lo siguiente.

( ) ( )wl l wg g l l g gP P P P A P A gsenz

τ τ θΔ= − + − +

Δ……………………………….C-80

148

donde lP es el perímetro del líquido y gP es el perímetro del gas

La fracción del líquido es la siguiente:

( )12

ll

AH senA

δ δπ

= = − ………………………………………………..C-81

12cos 1 2 lhd

δ − ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

………………………………………………………..C-82

donde δ es el ángulo de la cuerda formado por la fase líquida en radianes y lh la

altura que cubre la fase líquida. Los esfuerzos interfaciales, diámetros hidráulicos y

los números de Reynolds de las fases se calculan como se muestra en la Tabla C-9:

Tabla C-9 Esfuerzos interfaciales Mukherjee y Brill

Esfuerzo interfacial Diámetro hidráulico Numero de Reynols 2

l l lwl

l

f Uρτμ

= ( )2

2 22

hg

send d

sen

π δ δδπ δ

− −⎡ ⎤⎣ ⎦=− +

Re l l hll

l

U dρμ

=

2g g g

wgg

f Uρτ

μ=

( )2

2

hl

send d

sen

δ δδδ

−=

+ Re g g hg

gg

U dρμ

=

Método de Dukler El método obtenido por Dukler, A.E., et al. (1969) para calcular la caída de presión

es el siguiente:

e f acp= p + p + pΔ Δ Δ Δ …………………………………………..C-83

donde pΔ es el gradiente total, ( )epΔ es el gradiente por elevación, ( ) f

pΔ es el

gradiente por fricción y ( )acpΔ es el gradiente por aceleración y éstos se calculan de

la forma siguiente:

149

Gradiente de presión por elevación:

( )144

l Fe

sen Cp ρ θΔ = …………………………………………….C-84

donde FC Es la constante de Flanigan para el gradiente de elevación

Gradiente por fricción

( )2 144

f g mf

f Up

gdρ

Δ = ………………………………………………….C-85

El factor de fricción se determina con la grafica C- 4

Figura C-7 Factor de fricción de Dukler

Gradiente por aceleración

( )144

g m sgac

U Up

gpρ

Δ = ………………………………………………C-86

150

Programa principal ! ***** Modelado matemático de flujo bifásico a través de pozos petroleros ***** C********************************************************************* c----------------------------------------------------------------------------- ! SE DECLARAN LOS TIPOS DE VARIABLES PARAMETER(dim=100000,dim1=100000) REAL At,Ati,Af,Ac,Ai,Ali,Agi,Amold,Amnew,Amb,API,alpha,aBo REAL A1,A2,A3,a3s,a3i,A4,Ac1,Ac2,Ac3,Ac4,Ac5,Ac6,Ac7,Ac8 REAL B,B1,B3,b3s,b3i,B4,Bg,Bl,Bo,Bw,Bo1,BETA,BETA2 REAL C1,C2,c2s,C2i,C3,c3s,c3i,C4,C5,C6,c21,c31 REAL Cpo,Cpw,Cp,Cw,Cs,Compara,Cpgp,Cpgpp,Cplpp,Cplp,Csl,Csg REAL d,dp,dg,dl,di,dhl,dhg,drgf,drg,drgd,dro,drw,d3,d3s,d3i REAL Dcd,Dcb,Dmin,deltaw1,deltaw2,deltaw REAL deltao,deltal,delta,drgres,dt,dtdL REAL e,es,eier,erro,err,ETHAp,ethapp REAL f,FF,F1,F2,fg,fl,fi,fs,fw,fo,ftp,ftpfn,fn,ftp1 REAL g,gs,gi,grav,gravc,FFW,FINT REAL HL,hL1,hL2,HLold,HLnew,k,HLLS,HGLS,HGTB,HLTB REAL L,L1,L2,L3,L4,LS,LF,LU REAL mhugp,mhulp,mhuop,mhump REAL m,m1,mhug,mhul,mhuw,mhum,mhuns,mhuo,mhuom,mhuob,mhu1,mhu2 REAL mhulpp,mhugpp REAL NRe,Ngv,Nlv,Nlmhu,NFR,Nw,Nf,NaCl REAL Pr,Pi,Ppc,Ppr,pe,PTR REAL Qw,Qo,Rsvis REAL rhog,rhogi,rhol,rholi,rhoo,rhom,rhow,rhotp,rhons,rhons1 REAL R,Rs,Rst,Rsw,Rel,Reg,Reg1,Re,rhogp,rholp REAL S,simbolo,Sli,Sgi,Sl,Sg,Si,sigmaw1,sigmaw2,sigmaw,sigmao REAL sigmali,sigmalp,sigmal,Sf REAL T,Tpc,Tpr,TETHA,utpe,Tg,Tl REAL Vg,Vl,Vsg,Vsgi,Vsl,vsli,Vsm,Vm,Velm,VACIOLO,Valor,Vbs REAL Vsgp,Vslp,VTB,VGLS REAL Wg,Ww,Wo,Wm,WOR,Wold,Wnew,W,Wvalueold,Wvaluenew,Wvalue REAL x1,X,XX,Y,YY,y1,yl,yloi,ylo,ylos,Zp,Z,z1,zcompre REAL pfr,dx,DY,RGN REAL Tin(dim1),Zin(dim),Vlin(dim),Vgin(dim),ALPHAL(dim) REAL*8 Pin(dim1),Pp,P REAL*8 Po(dim),Ptmdt(dim),Pt(dim) REAL Vgo(dim),Vlo(dim),Tgo(dim),Tlo(dim) REAL ALPHALo(dim),Zo(dim) REAL TCg(dim),TCl(dim),Cg(dim),Cl(dim),OMEGA(dim),FA(dim) REAL OMEGAP(DIM)

151

REAL Tgt(dim),Tlt(dim),ALPHALt(dim),Vgt(dim),Vlt(dim) REAL Zt(dim),THAOGW,THAOLW,THAOI,THAOS,THAOF REAL ALPHALtmdt(dim),TGtmdt(dim),TLtmdt(dim) REAL VGtmdt(dim),VLtmdt(dim),Ztmdt(dim) REAL ETHA(dim),Cpg(dim),Cpl(dim) REAL HLD,AXL,AXG,SLL,SGL,SIL,DELD REAL ANGR,ED,DENL,DENG,VISL,VISG,SURL,KFI REAL A(7,7),AA(7,7),V(7),WORK(7),RCOND,VANT(6),ERROR(6),TIME REAL HLLSV(DIM),HLTBV(DIM),BETAV(DIM),BETA2V(DIM),ptr1(dim) INTEGER IWORK(7),IND,LDA,N,ITASK,nn,nnn,nd INTEGER i,ROW,COL,ni,RsR,j,NJ,TIEMPO Open(1,File='B 1.Dat',Status='REPLACE') !Se genera archivo de datos B 1 Open(2,File='B 2.Dat',Status='REPLACE') !Se genera archivo de datos B 2 Open(4,File='MDF 4.Dat') !Se genera archivo de datos MDF 4 ! ***** Se llama a la subrutina datos de entrada ***** CALL DATAIN B(dy,dt,Dp,Drg,Dro,Drw,QO,QW,R,T,P,Pp,Tetha, & Nacl,Eabs,pfr,Tiempo) ! ***** Descripción de las variables de la subrutina datos de entrada ***** c dy Tamaño de paso espacial (ft) c dt Tamaño de paso temporal (sg) c Drg Densidad relativa del agua (lbm/ft3) c Dro Densidad relativa del aceite (lbm/ft3) c Drw Densidad relativa del agua (lbm/ft3) c Qo Flujo volumétrico del aceite (bbl a C.S./día) c Qw Flujo volumétrico del agua (ft3 C.S./día) c R Relación gas aceite (ft3 a C.S./ bbl a C.S.) c T Temperatura (F) c P Presión (Psi) c Pp Presión (Psi) c Theta Angulo de inclinación de la tubería (º grados) c Nacl Concentración de sales en la mezcla del aceite negro (%) c Eabs Rugosidad de la tubería (adimensional) c Pfr Longitud de la tubería desde fondo de pozo (ft) c Tiempo Tiempo de simulación (Sg) ! ****** Se llaman a la subrutina propiedades del petróleo) ********

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CALL PROPIEDADES(Dp,Drg,Dro,Drw,Qo,Qw,R,T,P,Tetha,Nacl,Eabs, & Alpha,rhog,rhol,mhugp,mhulp,vsg,vsl,sigmalp, & Z,ETHAp,Cpgp,Cplp) ! ***** Descripción de las variables de la subrutina propiedades del petróleo) ***** c Alpha Fracción del líquido (adimensional) c vsg Velocidad superficial del gas (ft/sg) c vsl Velocidad superficial del líquido (ft/sg) c mhugp Viscosidad del aceite (Cp) c mhulp Viscosidad del agua (Cp) c sigmalp Tensión superficial (dina/Cm) c Z Factor de compresibilidad (adimensional) c ETHAp Coeficiente Joule Thomson (F Pg2/lbf) c Cpgp Calor especifico del gas (Btu/lbmF) c Cplp Calor especifico del líquido (Btu/lbmF) ! ****** Guardando los valores de velocidad de entrada****** vslp=vsl vsgp=vsg ! ****** Se llaman a la subrutina patrones de flujo) ****** ! CALL FLOWPATTERNS(dp,tetha,vsg,vsl,rhog,rhol,mhugp,mhulp, & sigmalp,P,Eabs,PTR,ifp) ! IFP y PTR Número de asignación del patrón de flujo ! 1 Burbuja ! 2 Estratificado ! 3 Anular ! 4 Burbuja ! 5 Slug ! 6 Churm ! 7 Fase líquida ! 8 Fase gaseosa ptr1(1)=ptr If (ptr.eq.7)then !fase líquida Write(*,*)'patrón: líquido' end if If (ptr.eq.8)then !fase gaseosa Write(*,*)'patrón: gas' End if If (ptr.eq.3)then !anular

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Write(*,*)'patrón: anular' end if If (ptr.eq.5)then !slug Write(*,*)'patrón: slug' end if If (ptr.eq.1)then !burbuja dispersa Write(*,*)'patrón: burbuja dispersa' End if If (ptr.eq.4)then !burbuja Write(*,*)'patrón: burbuja' End if If (ptr.eq.6)then !churn Wite(*,*)'patrón: churn' End if If(ptr.eq.2)then !estratificado Write(*,*)'patrón: estratificado' End if ! ***** Se llaman a la subrutina condiciones iniciales ***** ! ***** correspondiente al patrón de flujo ***** CALL CI B(alpha,dy,dp,tetha,vsg,vsl,rhog,rhol,mhugp, & mhulp,sigmalp,T,Pp,Pfr,Eabs,CPlp,Pin,Tin) ! ***** Recuperación de los valores de la velocidades de entrada ****** vsg=vsgp vsl=vslp C ******************************************* C ****** INICIA PROGRAMA PRINCIPAL ******* C ******************************************* ! ***** Condiciones iniciales y de frontera ****** ! **Constantes** Pi=4.D0*Atan(1.d0) g=32.174 ! Gravedad [ft/(sg)**2] NJ=pfr/dy ! Número de nodos (Número entero) d=dp/12. ! Diámetro de la tubería en (ft) At=Pi*d*d/4. ! Área total de la tubería (ft2) ! *****Asignación de valores iniciales y de frontera *****

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Vg=Vsg/(1-ALPHA) ! Velocidad de la fase líquida (ft/sg) Vl=Vsl/ALPHA ! Velocidad de la fase gaseosa (ft/sg) ! *****Vector de valores iniciales de las variables dependientes ***** DO 1 J=1,N Pt(J)=Pin(J) !Vector de la presión en tiempo actual ALPHALt(J)=ALPHA !Vector de la fracción del líquido en tiempo actual VGt(J)=Vg !Vector de la velocidad del gas en tiempo actual VLt(J)=Vl !Vector de la velocidad del líquido en tiempo actual TGt(J)=Tin(J) !Vector de la temperatura del gas en tiempo actual TLt(J)=Tin(J) !Vector de la temperatura del líquido en tiempo actual ! ***** Valor de la variables dependientes subíndice O ***** ALPHALo(J)=ALPHA Po(J)=Pin(J) Vgo(J)=Vg Vlo(J)=Vl Tgo(J)=Tin(J) Tlo(J)=Tin(J) ! ***** Valores de frontera del pozo nodo 1 ***** ALPHALtmdt(1)=ALPHA Ptmdt(1)=Pin(1) VGtmdt(1)=Vg VLtmdt(1)=Vl TGtmdt(1)=Tin(1) Tltmdt(1)=Tin(1) Vgg=Vgo(1) Vll=Vlo(1) P=Po(1) alpha=alphaltmdt(1) ! ***** Se llaman a la subrutina esfuerzos fase-pared e interfaciales ***** CALL THAOS B(vgg,vll,Pi,tetha,d,dy,PTR,rhog,rhol, & mhugp,mhulp,sigmalp,Eabs,P,alpha,FLW,FINT) c FLW Esfuerzo tangencial líquido pared c FINT Esfuerzo tangencial interfacial ! ***** Se definen los calores específicos de entrada *****

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Cpg(1)=Cpgp !Calor especifico del gas (Btu/lbm) Cpl(1)=Cplp !Calor especifico del gas (Btu/lbm) ETHA(1)=ETHAp !Coeficiente de joule thompson (F plg2 lbF) Tg=TGtmdt(1) ! Temperatura del gas nodo 1 Tl=TLtmdt(1) ! Temperatura del líquido nodo 1 P=Ptmdt(1) ! Presión nodo 1 ! ***** Se calcula la velocidad del sonido se llama la subrutina velocidad del sonido***** vsl=vslp vsg=vsgp CALL SOUND VELOCITY(P,Tg,Tl,VSG,VSL,Csl,Csg,cs) Cg(1)=Csg ! Velocidad del sonido en el gas (ft/sg) Cl(1)=Csl ! Velocidad del sonido en el líquido (ft/sg) ! ***** Variables para la selección del intervalo de tiempo para impresión ***** TIME=0 ! Velocidad del sonido en el líquido (ft/sg) time1=0 nn=0 ! Contador nnn=0 ! Contador dn=1000 ! Valor de del tiempo de impresión de entre dt DO WHILE (TIME.EL.TIEMPO) ! Empieza ciclo de tiempo !***************************************************************** DO J=2,NJ ! Empieza ciclo de espacio !***************************************************************** DO K=1,10 ! Empieza ciclo de ceritos !***************************************************************** ! ***** Los coeficientes de la matriz A[6*6] Capitulo 4 secciones 4.4-4.6 ***** ! ***** los esfuerzos líquido pared gas pared e interfacial correspondientes ***** ! ***** flujo de cada patrón de se describen en el Apéndice B ***** ! ***** Ecuación de conservación de masa de la fase gaseosa***** A(1,1)=((4636.8*(1.-ALPHALo(J))*Vgo(J)*(dt/dy))/(Cg(J-1)*Cg(J-1))) &+((4636.8*(1.-ALPHALo(J)))/(Cg(J-1)*Cg(J-1))) A(1,2)=-rhog*Vgo(J)*(dt/dy) -rhog A(1,3)=rhog*(1.-ALPHALo(J))*(dt/dy) A(1,4)=0.0 A(1,5)=-(((1.-ALPHALo(J))*rhog*VGo(J)*(dt/dy))/TGo(J))

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&-(((1.-ALPHALo(J))*rhog)/TGo(J)) A(1,6)=0.0 ! ***** Ecuación de conservación de masa del líquido ***** A(2,1)=0.0 A(2,2)=(1.+(Vlo(J)*(dt/dy))) A(2,3)=0.0 A(2,4)=(ALPHALo(J)*(dt/dy)) A(2,5)=0.0 A(2,6)=0.0 ! ***** Ecuación de conservación de cantidad de movimiento del gas ***** A(3,1)=4636.8*(dt/dy) A(3,2)=0.0 A(3,3)=(rhog*VGo(J)*(dt/dy)) +rhog A(3,4)=0.0 A(3,5)=0.0 A(3,6)=0.0 ! ***** Ecuación de conservación de cantidad de movimiento del líquido ***** A(4,1)=(dt/dy)*4636.8 A(4,2)=0.0 A(4,3)=0.0 A(4,4)=(rhol*VLo(J)*(dt/dy))+rhol A(4,5)=0.0 A(4,6)=0.0 ! ***** Ecuación de conservación de energía para el gas *****

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A(5,1)=-(5.4041*4636.8*ETHA(J-1)*CPg(J-1)*Vgo(J)*(dt/dy)) &-(5.4041*4636.8*ETHA(J-1)*CPg(J-1)) &-(4636.8/rhog) A(5,2)=0.0 A(5,3)=(VGo(J)*VGo(J)*(dt/dy)) &+VGo(J) A(5,4)=0.0 A(5,5)=+(25058.04*Cpg(J-1)*VGo(J)*(dt/dy)) &+(25058.04*Cpg(J-1)) A(5,6)=0.0 ! ***** Ecuación de conservación de energía para la fase líquida ***** A(6,1)=(((4636.8*Vlo(J))/rhol)*(dt/dy)) A(6,2)=0.0 A(6,3)=0.0 A(6,4)=VLo(J)*VLo(J)*(dt/dy) &+VLo(J) A(6,5)=0.0 A(6,6)=(25058.04*Cpl(J-1))*(VLo(J)*(dt/dy)) &+(25058.04*Cpl(J-1)) ! ***** Reproduzco a la matriz A como AA ***** AA=A ! ***** Coeficientes del vector independiente [V] ***** ! ***** Ecuación de conservación de masa para la fase gaseosa ***** V(1)=((4636.8*(1.-ALPHALo(J))*Vgo(J)*(dt/dy)*Ptmdt(J-1)) &/(Cg(J-1)*Cg(J-1))) &+((4636.8*(1.-ALPHALo(J))*Pt(J))/(Cg(J-1)*Cg(J-1))) &-(((1.-ALPHALo(J))*rhog*VGo(J)*TGtmdt(J-1)*(dt/dy))/TGo(J)) &-(((1.-ALPHALo(J))*rhog)*TGt(J)/TGo(J)) &-(rhog*Vgo(J)*ALPHALtmdt(J-1)*(dt/dy)) &-(rhog*ALPHALt(J))

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&+((1.-ALPHALo(J))*rhog*(dt/dy)*VGtmdt(J-1)) ! ***** Ecuación de conservación de masa para la fase gaseosa ***** V(2)=ALPHALt(J)+(VLo(J)*(dt/dy)*ALPHALtmdt(J-1)) &+(ALPHALo(J)*(dt/dy)*VLtmdt(J-1)) ! ***** Ecuación de cantidad de movimiento para la fase gaseosa ***** V(3)=-(rhog*g*SIN((pi/180.)*TETHA)*dt) &+((dt/dy)*4636.8*Ptmdt(J-1)) &+(rhog*VGo(J)*(dt/dy)*VGtmdt(J-1)) &+(rhog*VGt(J)) C &-(FINT*dt) ! Fuerza interfacial líquido-gas sección burbuja de Taylor &+(FD/(1.-ALPHALo(J))) ! Fuerza de arrastre sección slug C &-(FGW) ! Fuerza gas-pared sección burbuja de Taylor ! ***** Ecuación de cantidad de movimiento para la fase líquida ***** V(4)=((dt/dy)*Ptmdt(J-1)*4636.8)-(rhol*g*SIN((pi/180.)*TETHA)*dt) &+(rhol*VLo(J)*(dt/dy)*VLtmdt(J-1)) &+(rhol*VLt(J)) &-(FLW*dt) ! Fuerza líquido-pared sección burbuja de Taylor c &+(FINT*dt) ! Fuerza interfacial líquido-gas sección burbuja de Taylor c &-(FD/ALPHALo(J)) ! Fuerza de arrastre sección slug ! ***** Ecuación de conservación de energía para la fase gaseosa ***** V(5)=-(g*Vgo(J)*dt*COS((pi/180.)*(TETHA+90.))) &+(25058.04*Cpg(J-1)*TGt(J)) &+(25058.04*Cpg(J-1)*VGo(J)*(dt/dy)*TGtmdt(J-1)) &-(5.041*4636.8*ETHA(J-1)*CPg(J-1)*Pt(J)) &-(4636.8*Pt(J)/rhog) &-(5.4041*ETHA(J-1)*CPg(J-1)*Vgo(J)*(dt/dy)*4636.8*Ptmdt(J-1)) &+(VGo(J)*VGo(J)*(dt/dy)*VGtmdt(J-1)) &+(VGo(J)*VGt(J)) ! ***** Ecuación de conservación de energía para la fase líquida ***** V(6)=-(dt*g*VLo(J)*COS((pi/180.)*(TETHA+90.))) &+(25058.04*Cpl(J-1)*TLt(J)) &+(25058.04*CPl(J-1)*VLo(J)*(dt/dy)*TLtmdt(J-1)) &+(((VLo(J)*4636.8)/RHOL)*(dt/dy)*Ptmdt(J-1)) &+(VLo(J)*VLo(J)*(dt/dy)*VLtmdt(J-1)) &+(VLo(J)*VLt(J)) ! ***** Ciclo para la solución del sistema de ecuaciones *****

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DO I=1,6 VANT(I)=V(I) END DO LDA=7 N=6 ITASK=1 ! ***** Se llaman a la subrutina SGEFS para resolver el sistema de ecuaciones ***** CALL SGEFS(A,LDA,N,V,ITASK,IND,WORK,IWORK,RCOND) C Pt(J) ! Variable en el tiempo anterior C Ptmdt(J) ! Variable en el tiempo actual ! ***** Reasignación de la solución variables dependientes ***** Ptmdt(J)=V(1) ALPHALtmdt(J)=V(2) VGtmdt(J)=V(3) VLtmdt(J)=V(4) TGtmdt(J)=V(5) TLtmdt(J)=V(6) ! ***** Reasignación de ceritos ***** Po(J)=(Ptmdt(J)+Po(J))*0.5 ALPHALo(J)=(ALPHALtmdt(J)+ALPHALo(J))*0.5 Vgo(J)=(VGtmdt(J)+Vgo(J))*0.5 Vlo(J)=(VLtmdt(J)+Vlo(J))*0.5 Tgo(J)=(Tgtmdt(J)+Tgo(J))*0.5 Tlo(J)=(Tltmdt(J)+Tlo(J))*0.5 ! ***** Cálculo del error ***** ERROR(1)=((AA(1,1)*V(1))+(AA(1,2)*V(2))+(AA(1,3)*V(3)) &+(AA(1,4)*V(4))+(AA(1,5)*V(5))+(AA(1,6)*V(6)))-VANT(1) ERROR(2)=((AA(2,1)*V(1))+(AA(2,2)*V(2))+(AA(2,3)*V(3)) &+(AA(2,4)*V(4))+(AA(2,5)*V(5))+(AA(2,6)*V(6)))-VANT(2) ERROR(3)=((AA(3,1)*V(1))+(AA(3,2)*V(2))+(AA(3,3)*V(3)) &+(AA(3,4)*V(4))+(AA(3,5)*V(5))+(AA(3,6)*V(6)))-VANT(3) ERROR(4)=((AA(4,1)*V(1))+(AA(4,2)*V(2))+(AA(4,3)*V(3)) &+(AA(4,4)*V(4))+(AA(4,5)*V(5))+(AA(4,6)*V(6)))-VANT(4)

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ERROR(5)=((AA(5,1)*V(1))+(AA(5,2)*V(2))+(AA(5,3)*V(3)) &+(AA(5,4)*V(4))+(AA(5,5)*V(5))+(AA(5,6)*V(6)))-VANT(5) ERROR(6)=((AA(6,1)*V(1))+(AA(6,2)*V(2))+(AA(6,3)*V(3)) &+(AA(6,4)*V(4))+(AA(6,5)*V(5))+(AA(6,6)*V(6)))-VANT(6) P=Ptmdt(j) T=TLtmdt(J) !cuando se introduzca la temperatura tener cuidado ! ****** Se llaman a la subrutina propiedades (Propiedades del petróleo) ******** CALL PROPIEDADES(Dp,DRG,DRO,DRW,QO,QW,R,T,P,TETHA,NACL,Eabs, & alpha,rhog,rhol,mhugp,mhulp,vsg,vsl,sigmalp, & Z,ETHAp,Cpgp,Cplp) Vsg=Vgtmdt(j)*(1-ALPHALtmdt(j)) Vsl=Vltmdt(j)*ALPHALtmdt(j) vslp=vsl vsgp=vsg ! ****** Se llama a la subrutina flowpatterns (patrones de flujo) ****** ! CALL FLOWPATTERNS(dp,tetha,vsg,vsl,rhog,rhol,mhugp,mhulp, & sigmalp,P,Eabs,PTR,ifp) ! ****** Cálculo de los calores específicos ****** Cpg(j)=Cpgp !Calor especifico del gas Cpl(j)=Cplp !Calor especifico del gas ETHA(j)=ETHAp !Coeficiente de Joule Thompson Vgg=Vgo(J) Vll=Vlo(J) P=Po(j) alpha=alphaltmdt(j) ! ***** Se llaman a la subrutina thaos (esfuerzos fase-pared e interfaciales) ***** CALL THAOS B(vgg,vll,Pi,tetha,d,dy,PTR,rhog,rhol, & mhugp,mhulp,sigmalp,Eabs,P,alpha,FLW,FINT) Tg=TGtmdt(J) Tl=TLtmdt(J) P=Ptmdt(J) vsl=vslp vsg=vsgp ! ***** Se calcula la velocidad del sonido *****

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CALL SOUND VELOCITY(P,Tg,Tl,VSG,VSL,Csl,Csg,Cs) Cg(1)=Csg !Velocidad del sonido en el gas Cl(1)=Csl !Velocidad del sonido en el líquido END DO ! ciclo de ceritos ptr1(j)=ptr ! ***** Impresión de datos en la pantalla ***** WRITE(*,*) Write(*,*)'ALPHAL =',alphaltmdt(j),'P =',Ptmdt(j) Write(*,*)'Vg =',Vgtmdt(j),' Vl =',Vltmdt(J) Write(*,*)'Tg =',Tgtmdt(j),' Tl =',Tltmdt(j) Write(*,*)'NODO =',J Write(*,*)'TOTAL DE NODOS =',NJ Write(*,*)'TIME =',TIME ! ***** Archivo de datos ***** write(4,*)J,time,Ptmdt(J),ptr ! ***** Impresión del patrón de flujo en la pantalla ***** If (ptr.eq.7)then !fase líquida Write(*,*)'patrón: líquido' End if ! ***** Impresión del error en la pantalla ***** WRITE(*,*)'ERROR 1=',ERROR(1) WRITE(*,*)'ERROR 2=',ERROR(2) WRITE(*,*)'ERROR 3=',ERROR(3) WRITE(*,*)'ERROR 4=',ERROR(4) WRITE(*,*)'ERROR 5=',ERROR(5) WRITE(*,*)'ERROR 6=',ERROR(6) WRITE(*,*) END DO ! Termina el ciclo de espacio

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! ***** Impresión de archivos ***** write(4,*) DO J=1,NJ Pt(J)=Ptmdt(J) alphalt(J)=alphaltmdt(J) Vgt(J)=Vgtmdt(J) Vlt(J)=Vltmdt(J) Tgt(j)=Tgtmdt(j) Tlt(j)=Tltmdt(j) END DO ! ***** Impresión de datos para un tiempo en especifico ***** if (nn.eq.nnn)then WRITE(1,*) WRITE(2,*) WRITE(1,*)'time',time WRITE(2,*)'time',time Do j=1,NJ write(1,*)J,alphaltmdt(J),Ptmdt(J),ptr1(j) write(2,*)Vgtmdt(J),Vltmdt(J),TGtmdt(J),TLtmdt(J) End do nn=nn+dn End if nnn=nnn+1 TIME=TIME+dt END DO ! Termina el ciclo de tiempo END ! Fin del programa principal

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