Magnitudes Vectoriales

Marlis Torres Morales.

Bill Karl Ebrath Osorio.

Jessica Gutiérrez Cantillo.

Dayana Tafur García.

Oriana Torres Sierra.

Diego Flórez Hernández.

MAGNITUDES La magnitud es una medida asignada a cada uno de los objetos de un conjunto

medible, formados por objetos matemáticos. La noción de magnitud concebida así

puede abstraerse a objetos del mundo físico o propiedades físicas que son susceptibles

de ser medidos.

Las medidas de propiedades físicas usualmente son representables mediante números

reales o n-tuplas de números reales, y usualmente para ser interpretables requieren del

uso de una unidad de medida pertinente. Una propiedad importante de muchas

magnitudes es admitan grados de comparación "más que", "igual que" o "menos que".

Una magnitud matemática usada para representar un proceso físico es el resultado de

una medición; en cambio las magnitudes matemáticas admiten definiciones abstractas,

mientras que las magnitudes físicas se miden con instrumentos apropiados.

Los griegos distinguían entre varios tipos de magnitudes, incluyendo:

•Fracciones positivas.

•Segmentos según su longitud.

•Polígonos según su superficie.

•Sólidos según su volumen.

•Ángulos según su magnitud angular.

Probaron que los dos primeros tipos no podían ser iguales, o siquiera

sistemas isomorfos de magnitud. No consideraron que las magnitudes

negativas fueran significativas, y el concepto se utilizó principalmente

en contextos en los que cero era el valor más bajo.

MAGNITUDES ESCALARESLas magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente

determinadas dando un solo número real y una unidad de medida.

Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa

de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las

puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a

partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su

medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el

volumen; el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura.

Ejemplo:

MAGNITUDES VECTORIALESMagnitudes vectoriales no se las puede determinar completamente mediante un

número real y una unidad de medida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un

móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la

dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada

punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles

orientaciones de la recta). Al igual que con la velocidad ocurre con las fuerzas:

sus efectos dependen no sólo de la intensidad sino también de las direcciones y

sentidos en que actúan. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la

aceleración; el momentum o cantidad de movimiento; el momentum angular. Para

representarlas hay que tomar segmentos orientados, o sea, segmentos de recta

cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un cierto

orden.

Definición 1: Se llama vector a todo segmento orientado. El

primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el

segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector

determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta,

definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido.

En la figura 1 se representa el vector a sobre la recta r, de origen O

y extremo P. En adelante los vectores serán designados con letras

mayúsculas o minúsculas en negrita.

CLASES DE VECTORES

1)Fijos o ligados : Llamados también vectores de posición. Son aquellos que tienen un origen fijo .Fijan la posición de un cuerpo o representan una fuerza en el espacio.

2)Vectores deslizantes : Son aquellos que pueden cambiar de posición a lo largo de su directriz.

3)Vectores libres: Son aquellos vectores que se pueden desplazar libremente a lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir modificaciones.

4)Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si las rectas que las contienen son paralelas.

5)Vectores coplanares: Cuando las rectas que lo contienen están en un mismo plano.

6)Vectores concurrentes: Cuando sus líneas de acción o directrices se cortan en un punto.

7)Vectores colineales: Cuando sus líneas de acción se encuentran sobre una misma recta.

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores de forma gráfica solo hay que poner uno detrás de otro y unir el principio del primero con el final del segundo. Ejemplo:

Vamos a sumar dos vectores, el a y el b. Fíjate que desde el final del vector a trazamos una paralela de igual tamaño que el vector b. El inicio de a y el final de la paralela trazada será el vector suma de los dos iniciales. También podemos hacerlo desde el final de b trazando una paralela del vector a. El resultado será el mismo de una u otra forma. El vector rojo es la suma.

Para sumar 3 vectores (o la cantidad que sea) solo hay que poner uno detrás del otro y unir el principio del primero con el final del último. Veamos un ejemplo:

SUMA DE VECTORES DE FORMA ANALÍTICA

El primer caso es que nos den los puntos de las coordenadas de los dos vectores. En este caso es muy fácil, solo hay que sumar las coordenadas en X de los dos vectores y las coordenadas en Y. El resultado es el vector suma. Veamos un ejercicio:

Tenemos las coordenadas del vector A que son ( – 3, 4) y la del vector B que son (4,2). ¿Cual será el vector suma de los dos?

El vector AB = (-3 + 2) (4 + 2) = (1, 6) Hemos obtenido las coordenadas del vector suma de los dos anteriores el A y el B. AB = (1, 6)

SUMA DE VECTORES POR DESCOMPOSICIÓN

El segundo caso, es que nos den el valor del módulo del vector y un ángulo. Para sumar dos vectores hay que sumar los componentes X de cada vector y los Y, pero no las conocemos directamente. Lo primero que tenemos que saber es el teorema de Pitágoras para descomponer el vector. El teorema de Pitágoras es para resolver triángulos, date cuenta que si descomponemos un vector es sus dos componentes X e Y lo que tenemos es un triángulo, por eso aplicamos el teorema de Pitágoras.

El vector A se descompone de la siguiente forma A = Ax + Ay; a veces lo verás expresado de esta otra forma A = Axi + Ayj , pero es lo mismo, la componente i es la X y la j la Y. la i y la j son vectores que se llaman vectores unitarios, son vectores que valen 1, en la dirección X (el i) y en la dirección Y (el j) No te líes que es muy fácil.

MIRA EL TEOREMA DE P ITÁGORAS Y F Í JATE POR QUÉ AX = A POR EL

COSENO Θ Y AY = A POR EL SENO Θ .

Según el teorema tenemos que : Fx = F x cos θ y la Fy = F x cos θ.

Ya estamos preparados para hacer algún ejercicio. Solo tienes que descomponer las componentes X (o Y) de todos los vectores y sumarlas, luego haz lo mismo con las componentes Y (o j). El resultado será el vector suma.