magnitudes vectoriales

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Modulo 1

Magnitudes Vectoriales y EscalaresInstituto de Fisica Universidad Catlica de ValparasoInstituto de Fsica Universidad Catlica de Valparaso1Tipos de Magnitudes Magnitudes Escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas por nmero real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud es la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos.Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al nmero real que indica su medida.

Magnitudes Vectoriales es aquella que, adems de un valor numrico y sus unidades debemos especificar su direccin y sentido.La fuerza es la tpicamagnitud vectorial. Cuando una fuerza se aplica a un objeto, es necesario saber su punto deaplicacin, su direccin, sentido y el mdulo o intensidad con la que dicha fuerza llega al cuerpo.Para representarlas hay que tomar segmentos orientados (vector), o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un cierto orden.

Vectores Definicin 1: Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector determina la direccin del mismo y la orientacin sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido.

Caractersticas de un vectorOrigen: o tambin denominado punto de aplicacin. Es el punto exacto sobre el que acta el vector.Mdulo: es la longitud o tamao del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cul es el mdulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.Direccin: est dada por el ngulo que forma el vector con el eje x en sentido anti-horario.Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qu lado de la lnea de accin se dirige el vector.

Sistemas de coordenadas cartesianasEl sistema de coordenadas cartesianas est constituido por tres ejes (dos si trabajamos en dos dimensiones) perpendiculares entre s que se cortan en un punto llamadoorigen.

Componentes cartesianas En dos dimensiones: En tres dimensiones:

REPRESENTACIN GRAFICA DE UN VECTOR

Componentes de un vector

Las componentes cartesianas de un vector son las proyecciones de dicho vector sobre cada uno de los ejes. Componentes de un vector representado e forma polarLas componentes estn relacionadas con el ngulo que forma el vector con el ejexy con su longitud (mdulo).

Igualdad de vectores:Sean y dos vectores, entonces si y solo si tienen igual magnitud, direccin y sentido.Si definiremos como el vector nulo.

PROPIEDADES DE LOS VECTORES Vector opuesto: Sea un vector. Se llama vector opuesto de al vector que tiene la misma magnitud pero direccin opuesta que . Se designa por .

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON VECTORES Con los vectores se pueden realizar las siguientes operaciones: suma, resta y producto. Todas las operaciones indicadas pueden realizarse grficamente o analticamente.Comenzaremos realizando las operaciones de suma y de resta de vectores que estn representados grficamente. Suma de vectores.Mtodo de paralelogramo

SUMA DE 2 VECTORESGraficamente se une el inicio del primer vector, con el final del segundoAB---------------------------------------------------Resta de vectoresDado un vector se define el negativo de ese vector (- ) como un vector con la misma magnitud que , la misma direccin, pero con sentido opuesto:La diferencia de dos vectores se define como

Producto de un vector por un escalarEl producto de un vector por un escalar m es un vector con magnitud |m| veces la magnitud de y con la misma direccin u opuesta que la de , segn si m es positivo o negativo.Es decir que seria multiplicar cada componente de vector por el escalar

VECTOR UNITARIO ()A = A* Unvector unitariooversores unvectordemdulouno. En ocasiones se le llama tambinvector normalizado.Se acostumbra a representar por una letra con acento circunflejo: xyzijkEjemplo:Sea b = (-2,4,1) calcular su vector unitario.

Para Recordar

Vectores en el Espacio.Sistemas de coordenadas cartesianasEl sistema de coordenadas cartesianas est constituido por tres ejes (dos si trabajamos en dos dimensiones) perpendiculares entre s que se cortan en un punto llamadoorigen.

Componentes cartesianas En dos dimensiones: En tres dimensiones:

Vector en el espacio

Componentes cartesianasSi se considera un sistema cartesiano XYZ, cualquier vector en el espacio podr ser considerado como la suma de 3 vectores en la direccin X,Y,Z que se llamaran respectivamente.

Es decir:

El modulo de estara dado por:Por lo tanto un vector en el espacio, podr escribirse siempre en la forma:

Resumen de definiciones Sea A = , B = dos vectores en R3(i) A + B = (ii) kA = (iii) A = B si y slo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 (iv) B = (1)B = (v) A B = (vi) 0 = (vi)

VECTORES EN 3 DIMENSIONESxyzVVxVyVz

cosenos directores28lgebra vectorial: Multiplicacin de vectores Los vectores se pueden multiplicar de varias maneras diferentesProducto escalar o punto: el resultado es un escalarProducto vectorial: el resultado es un vectorProducto mixto: el resultado es un escalar29AB

El resultado de multiplicar dos vectores en producto punto es un escalar.El resultado del producto punto puede ser positivo, negativo o cero.El producto punto es conmutativo. es el menor ngulo entre A y B. y se calcula despejando a Producto punto o escalar: Definicin geomtrica.30Producto punto o escalar: Definicin geomtrica.ABSi < 90 AB > 0ABSi > 90 AB < 0Si = 90 AB = 0ABAB = 0 los vectores son perpendiculares entre si.31PRODUCTO PUNTO O ESCALAR

Cul es el resultado de AB?32PRODUCTO PUNTO O ESCALAR

De manera general33PRODUCTO PUNTO O ESCALARSean los vectores A = 2i 3j + k y B = 3i + j + tk, determine el valor de t para que A y B sean perpendiculares.

34PRODUCTO PUNTO O ESCALARSean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j k, determine la medida del ngulo entre F y L.

35Aplicacin del producto escalar.Proyeccin de un vector sobre otro.

PRODUCTO CRUZ O VECTORIALAB

El resultado de multiplicar dos vectores en producto cruz es otro vector. es el menor ngulo entre A y B.

C se encuentra en una direccin perpendicular simultneamente a A y B.Su direccin est dada por la regla de la mano derecha.37

PRODUCTO CRUZ O VECTORIALEste resultado es ms fcil recordarlo en forma de determinante:

Conocidas las componentes lo definimos como:38PRODUCTO CRUZ O VECTORIAL

39PRODUCTO CRUZ O VECTORIALInterpretacin geomtrica del producto cruzABBsenrea del paralelogramo = base alturarea del paralelogramo = ABsenrea del paralelogramo =

40Ejemplo producto cruz o vectorial.Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j k, determine un vector perpendicular a F y L.

41PRODUCTO CRUZ O VECTORIALDados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j k, determine el rea del paralelogramo cuyos lados son iguales a las magnitudes de F y L.

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