repaso al tema de vectores: los vectores en fÍsica 1 ... · qué magnitudes pueden ser...

REPASO AL TEMA DE VECTORES FISICA. 2º BACHILLERATO. PROFESOR: CARLOS M. ARTEAGA

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FÍSICA Y QUÍMICA. 2º DE BACHILLERATO

PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA

REPASO AL TEMA DE VECTORES: LOS VECTORES EN FÍSICA

1.- VECTORES

¿QUÉ TENEMOS QUE APRENDER?

Qué es un vector.

Cuáles son los elementos que caracterizan a un vector.

Qué magnitudes pueden ser representadas por un vector: diferencia entre magnitudes

escalares y magnitudes vectoriales.

Cómo se representa por escrito un vector.

Cuando un móvil se mueve en un plano o en el espacio, conviene definir la posición, desplazamiento, velocidad y aceleración utilizando VECTORES.

Los vectores son unos entes matemáticos que tienen una longitud y una dirección (que incluye un sentido), y que se usan para representar muchas magnitudes de la Física, que reciben el nombre de MAGNITUDES VECTORIALES.

Sin embargo, hay otras magnitudes físicas, como la temperatura, el tiempo o la masa de un cuerpo, que no tienen dirección y se representan por números ordinarios; se llaman MAGNITUDES ESCALARES.

Los vectores se representan geométricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda

a derecha (𝐴) o bien con las letras que determinan el punto origen y el punto

extremo (𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )como se muestra en las figuras.

Un vector es, pues, un segmento que está orientado: tiene un PUNTO ORIGEN, O, y un PUNTO EXTREMO, P, que determina el SENTIDO del vector OP.

La DIRECCIÓN de un vector viene determinada por la recta sobre la que se apoya.

El MÓDULO es un número real positivo que indica la longitud del vector y que determina el valor de la magnitud asociada a dicho vector.

Una magnitud vectorial algebraicamente se representa colocando una flecha sobre el símbolo que la

representa r

o también escribiendo dicho símbolo en negrita, r.

En resumen, en Física existen magnitudes escalares, aquellas cuya medida se expresa con un número y una unidad, y otras, las magnitudes vectoriales, que para expresarlas correctamente es necesario especificar no sólo un número y unidad correspondiente, sino también una dirección y sentido, y a veces, su punto de aplicación. Estas magnitudes las representamos mediante vectores.

CONTESTA Y REPASA

1. Señala algunos ejemplos de magnitudes escalares y vectoriales. Define, a la vista de dichos ejemplos, lo que entiendes por escalar y por vector.


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2.- COMPONENTES Y MÓDULO DE UN VECTOR


Qué son las componentes de un vector y como se determinan.

Cómo se calcula el módulo de un vector a partir de las componentes.

El cálculo de las componentes de un vector a partir del valor del módulo del mismo y del ángulo

que forman.

Toda medida debe efectuarse respecto de un sistema de referencia. Por ejemplo, no tiene sentido decir que Málaga está a 100 km, si no decimos de qué lugar está Málaga a 100 km. Si nos dicen que unos amigos salieron de nuestra ciudad en coche e iban a 70 km/h, no sabremos dónde llegarán, necesitamos saber si salieron hacia el Sur, el Norte o en otra dirección. En Física, solemos representar los sistemas de referencia mediante sistemas de ejes cartesianos ortogonales; nos bastarán dos ejes (X e Y) para representar los vectores en el plano, dándoles valores positivos hacia arriba y a la derecha, y negativos hacia abajo y a la izquierda.

Un vector puede expresarse mediante las componentes, que son las proyecciones sobre los ejes coordenados.

En el dibujo puedes ver representadas las componentes del vector r que son los segmentos x e y:

Como puedes ver para determinarlas tienes primero que trasladar el vector hasta que su origen coincida con el origen de coordenadas, trazar las perpendiculares desde el extremo al eje de las equis (abscisas) y al eje de las íes (ordenadas). La distancia entre el origen de coordenadas y los puntos de corte con cada eje (proyecciones) son las componentes del vector, en este caso x e y.

El valor de cada una de las componentes lo podemos hallar aplicando la trigonometría:

xcos x r cos

r

ysen y r sen

r

Las COMPONENTES (x, y) del vector r coinciden con las coordenadas cartesianas de su extremo cuando el origen está situado en el origen de coordenadas.

Escribiremos el vector como r = (x, y), o como r (x, y), pero cuando se escribe a mano se coloca

generalmente una flecha encima: r

Se llama MÓDULO DE UN VECTOR a su longitud. Observando la figura podemos deducir cómo se puede calcular el módulo r del vector r usando el teorema de Pitágoras. El resultado es:

r x y 2 2

El módulo de un vector r se designa por r o simplemente por r. La dirección o sentido del vector es el que indica la flecha dibujada en su extremo.

Cuando representamos una magnitud vectorial mediante un segmento orientado, lo hacemos de manera que el módulo del vector sea proporcional al valor de la magnitud representada. Así si una fuerza de 80 N la representamos por un segmento de 4 cm, una fuerza de 160 N estará representada por un segmento de 8 cm.


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En la imagen se puede ver que el vector 𝐴, no es más que la suma de un vector en el eje "X" y otro en el eje "Y".

Cada uno de estos vectores se le conoce con el nombre de

componente, así el vector 𝐴𝑥 es la componente "X" del vector 𝐴 y

el vector 𝐴𝑦 es la componente "y" del vector 𝐴

Para poder escribir correctamente estos vectores debemos introducir los vectores unitarios, los cuales se detallan más adelante.

EJERCICIO RESUELTO

En la figura adjunta el vector A tiene su punto de aplicación en (1,5, 0,5) mientras que sus componentes son (3, 1,5).

En este caso su módulo es:

, , 2 23 1 5 3 35

CONTESTA Y REPASA

2. ¿Es posible que el módulo de un vector sea un número negativo? ¿Por qué?

3. ¿Es posible que las componentes sean números negativos? ¿Qué significado tendrán?

4. Señala el punto de aplicación y las componentes de los vectores B, C y D de la figura anterior y calcula sus módulos.

5. Calcula las componentes de los siguientes vectores y dibújalas en unos ejes de coordenadas:

a) Vector cuyo módulo es 18 y el ángulo que forma con la horizontal es de 600.

b) Vector cuyo módulo es 60 y el ángulo que forma con la horizontal es de 450.

c) Vector cuyo módulo es 0,5 y el ángulo que forma con la horizontal es de 1500.

d) Vector cuyo módulo es 25 y el ángulo que forma con la horizontal es de 2700.

e) Vector cuyo módulo es 40 y el ángulo que forma con la horizontal es de 3150.

3.- PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR


Cuál es el resultado de multiplicar un vector por un escalar.

Cuál es el vector opuesto de un vector.

El producto de un escalar por un vector es otro vector de la misma dirección, cuyo módulo es el módulo del vector multiplicado por el escalar, en valor absoluto.

El cociente de un vector entre un escalar tiene la misma definición, en este caso el módulo del vector queda dividido por el escalar.

Para calcular sus componentes basta multiplicar cada una de ellas por el número por el que queremos multiplicar al vector.

Así si queremos obtener un nuevo vector r multiplicando el vector r por un nº k dicho vector se escribe

r kr . Las componentes de r son (kx, ky).

Tras esta multiplicación el vector se alarga si k > 1, se acorta si k < 1, y no cambia de longitud si kl = 1; su sentido no cambia si k > 0 (positivo), pero se invierte si k < 0 (negativo).

El vector resultante de multiplicar r = (x, y) por –1 se llama VECTOR OPUESTO, se representa por –r r ,

y sus componentes son (–x, –y).


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CONTESTA Y REPASA

6. Dado el vector A (3,2), escribe las componentes del vector 2A, del vector —2A y del vector ½A. Calcula los módulos de cada uno de ellos. ¿Qué relación existe entre los módulos y las componentes de los vectores anteriores?

4.- VECTORES UNITARIOS


Qué son los vectores unitarios.

La manera de representar un vector mediante los vectores unidad.

Otra forma de escribir un vector es utilizando los llamados VECTORES

UNITARIOS i y j

Un vector unidad (o unitario) es aquel que tiene de módulo la unidad. En un

sistema de referencia cartesiano definiremos los vectores unitarios i y j

como aquellos que tienen módulo unidad y sus direcciones son las de los ejes X, Y respectivamente.

De esta manera el vector r de la Figura se puede escribir, indistintamente:

( ) x, x y r y i j

EJERCICIO RESUELTO

Escribe mediante los vectores unitarios y calcula el módulo del vector con origen (0, 0) y extremo (4, 3). SOLUCIÓN:

r 4i 3j

r 2 24 3 5

EJERCICIO RESUELTO

Escribe mediante los vectores unitarios y calcula los módulos de los vectores con origen (0, 0) y extremos (2, 3), (–3, –2).

SOLUCIÓN:

1r 2i 3j r 2 2

12 3 13

– –2r 3i 2j r

2 2

23 2 13

CONTESTA Y REPASA

7. Representa los vectores A i; B j 2 3 . Escribe sus componentes y calcula su módulo

8. Representa los vectores C i j; D , i – , j 2 3 3 5 2 4 . Escribe sus componentes y calcula su módulo


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5.- SUMA DE VECTORES


La manera de sumar vectores gráficamente (regla del paralelogramo)

La suma de vectores en función de sus componentes.

La descomposición de vectores.

Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 W más 20 W son 30 W de potencia. Por el contrario, para la suma de vectores el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido.

Podemos realizar la suma por la regla del paralelogramo o, conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.

5.1 - REGLA DEL PARALELOGRAMO

Si queremos sumar dos vectores gráficamente, ponemos uno a continuación del otro y unimos el origen del primero con el extremo del segundo.

Si queremos sumar varios, los colocamos sucesivamente de la forma anterior y se une el origen del primero con el extremo del último.

En las figuras que aparecen a continuación puedes observar las dos formas de sumar gráficamente los

vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗�

5.2 - SUMA DE VECTORES EN FUNCIÓN DE SUS COMPONENTES

El vector resultante es el obtenido al sumar las componentes respectivas de todos los vectores que se quieren sumar.

EJERCICIO RESUELTO

Suma los vectores con origen (0, 0) y extremos (2, 3), (–3, –2) y calcula el módulo del vector suma. SOLUCIÓN:

r i j

r i j

s r r i j i j i j i j

s

1

2

1 2

2 2

2 3

3 2

2 3 3 2 2 3 3 2

1 1 2

EJERCICIO PROPUESTO

Sean los vectores �⃗⃗⃗� = 𝟐𝒊 + 𝟒𝒋 y �⃗⃗⃗� = 𝟑𝒊 − 𝟐𝒋 Representa y suma los vectores A y B, comprobando que el resultado de la suma coincide haciéndolo por el método gráfico o por el método analítico de sumar las componentes.

Repite los cálculos para obtener el vector (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗�) y el (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗�). ¿Coincide el vector (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗�) con

el vector (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗�)?


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5.3 - SUMA DE VECTORES CONOCIENDO SUS MÓDULOS Y LOS ÁNGULOS QUE FORMAN

Cuando conocemos los módulos de los vectores y el ángulo que forman con la horizontal (o con la vertical), descomponemos cada vector en sus componentes y sumamos las componentes horizontales por un lado y las verticales por el otro como se indica en las figuras:

x

x y

y

x

x y

y

a a cosa a i a j

a a sen

b b cosb b i b j

b b sen

x x y ya b a b i a b j

Para hacerlo de forma correcta y sin fallos tenemos que fijarnos muy bien en los signos de las componentes. En el ejemplo de la figura ay y bx tienen signos positivos, mientras que ax y by tienen signos negativos.

EJERCICIO RESUELTO

Dados los siguientes vectores determina el vector suma:

Descomponemos los dos vectores y calculamos el valor de las componentes:

x

x y

y

x

x y

y

a a cosa a i a j

a a sen

b b cosb b i b j

b b sen

El vector suma será: x x y ya b a b i a b j

x

y

x

y

a a cos cos , N

a a sen sen , N

b b cos cos , N

b b sen sen , N

0

0

0

0

35 50 22 50

35 50 26 81

30 70 10 26

30 70 28 19

a b , , i , , j , i j N 22 50 10 26 26 81 28 19 12 24 55

El módulo del vector suma será:

a b , , N 2 212 24 55 56 35


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CONTESTA Y REPASA

9. Dados los vectores r i j; r i – j; r – i j 1 2 33 2 4 4 2 , calcula el módulo de r3 y el vector suma de

los tres. Dibuja los vectores y calcula la suma gráficamente.

10. Calcula la suma de los vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗� , sabiendo que �⃗� tiene como módulo 12m y forma un ángulo con

el eje de abscisas de 1350 y �⃗⃗� tiene como módulo 20m y forma un ángulo con el eje de abscisas de 300.

SOLUCIONES “CONTESTA Y REPASA”

1.- VECTORES

1. Señala algunos ejemplos de magnitudes escalares y vectoriales. Define, a la vista de dichos ejemplos, lo que entiendes por escalar y por vector.

Magnitudes escalares: longitud, masa, volumen...

Magnitud vectorial: velocidad instantánea, fuerza...

Escalar: Número que, junto a una unidad de medida, determina el valor que tiene una magnitud escalar.

Vector: Segmento orientado dotado de punto de aplicación, módulo, dirección y sentido que determina

el valor de una magnitud vectorial.

2.- COMPONENTES Y MÓDULO DE UN VECTOR

2. ¿Es posible que el módulo de un vector sea un número negativo? ¿Por qué?

No. Porque el módulo es la medida de la longitud del vector y siempre la consideramos positiva.

3. ¿Es posible que las componentes sean números negativos? ¿Qué significado tendrán?

Sí. Nos indicarán el sentido de la componente. Si es negativa la componente x indica que su extremo

está a la izquierda del centro de coordenadas, si lo es la y indica que su extremo está debajo de dicho

centro.

4. Señala el punto de aplicación y las componentes de los vectores B, C y D de la figura anterior y calcula sus módulos.

Puntos de Aplicación: de B en (–0,5, 0); de C en (1, –1); de D en (–1, –1,5)

Componentes de los vectores: B (–1,5, 2); C (2, –0,5); D (–3, –1,5)

Cálculo de los módulos: Aplicando el teorema de Pitágoras a las componentes de cada vector:

2 21 5 2 2 5 B , ,

222 0 5 2 06 C , ,

2 2

3 1 5 3 35 D , ,

5. Calcula las componentes de los siguientes vectores y dibújalas en unos ejes de coordenadas:

a) Vector cuyo módulo es 18 y el ángulo que forma con la horizontal es de 600.

0 0

0 0

60 60 18 0 5 9

60 60 18 0 866 15 6

xcos x r cos x ,

r

ysen y r sen y , ,

r


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b) Vector cuyo módulo es 60 y el ángulo que forma con la horizontal es de 450.

0 0

0 0

45 45 60 0 707 42 42

45 45 60 0 707 42 42

xcos x r cos x , ,

r

ysen y r sen y , ,

r

c) Vector cuyo módulo es 0,5 y el ángulo que forma con la horizontal es de 1500.

0 0

0 0

150 150 0 5 0 866 0 43

150 150 0 5 0 5 0 25

xcos x r cos x , , ,

r

ysen y r sen y , , ,

r

d) Vector cuyo módulo es 25 y el ángulo que forma con la horizontal es de 2700.

0

25

x

y

e) Vector cuyo módulo es 40 y el ángulo que forma con la horizontal es de 3150.

0 0

0 0

315 315 40 0 707 28 28

315 315 40 0 707 28 28

xcos x r cos x , ,

r

ysen y r sen y , ,

r

3.- PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

6. Dado el vector A (3,2), escribe las componentes del vector 2A, del vector —2A y del vector ½A. Calcula los módulos de cada uno de ellos. ¿Qué relación existe entre los módulos y las componentes de los vectores anteriores?

2 A = (6, 4); –2 A = (–6, –4); 1/2 A = (1,5, 1)

Cada una de las componentes de A ha quedado multiplicada por el número (escalar)

Módulos:

2 23 2 3 6 A ,

2 2 2 3 6 7 2 A A , ,

2 2 7 2 A A ,

1 1 3 61 8

2 2 2

,A A ,

El valor del módulo es igual al producto del módulo del vector por el escalar tomándolo en valor

absoluto.


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4.- VECTORES UNITARIOS

7. Representa los vectores A i; B j 2 3 . Escribe sus componentes y calcula

su módulo.

Componentes: A , ; B , 2 0 0 3

Módulos: A ; B 2 3

8. Representa los vectores C i j; D , i – , j 2 3 3 5 2 4 . Escribe sus

componentes y calcula su módulo.

Componentes: C ; D2, 3 3,5; -2,4

Módulos:

2 22 3 3 6 C ,

D , , , 2 2

3 5 2 4 4 2

5.- SUMA DE VECTORES

9. Dados los vectores r i j; r i – j; r – i j 1 2 33 2 4 4 2 , calcula el módulo de r3 y el vector suma de

los tres. Dibuja los vectores y calcula la suma gráficamente.

Módulo de r3 : 2 2

34 2 4 5 r ,

Vector suma: 1 2 33 2 4 4 2 3 1 4 2 4 2 0 S r r r i j + i – j – i j i j

Para calcular el vector suma gráficamente vamos colocando los tres vectores uno a continuación de otro. El vector suma tiene el punto de aplicación en el punto de aplicación del primero y el extremo en el extremo del último. En este caso comprobamos que el punto de aplicación y el extremo del vector suma coinciden, por lo que su valor es cero.


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10. Calcula la suma de los vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗� , sabiendo que �⃗� tiene como módulo 12m y forma un ángulo con

el eje de abscisas de 1350 y �⃗⃗� tiene como módulo 20m y forma un ángulo con el eje de abscisas de 300.

Coordenadas del vector �⃗�:

0 0

0 0

135 135 12 0 707 8 49

135 135 12 0 707 8 49

aa a

aa a

xcos x r cos x , , m

r

ysen y r sen y , , m

r

Coordenadas del vector �⃗⃗�:

0 0

0 0

30 30 20 0 866 17 32

30 30 20 0 5 10

bb b

bb b

xcos x r cos x , , m

r

ysen y r sen y , m

r

Coordenadas de �⃗� + �⃗⃗�

2 2

8 49 17 32 8 83

8 49 10 18 49

8 83 18 49

8 83 18 49 20 49

a b

a b

x x x , , , m

y y y , , m

VECTOR SUMA :

a b , i , j m

MÓDULO DEL VECTOR SUMA:

a b , , , m

repaso al tema de vectores: los vectores en fÍsica 1 ... · qué magnitudes pueden ser...

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