f)magnitudes escalares y vectoriales

Tema: Cantidades vectoriales y escalares

J de Dios d

e la Cruz Chávez

J. de Dios de la Cruz Chávez


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e la Cruz ChávezPor su naturaleza las magnitudes se dividen en escalares y

vectoriales.Cantidades Vectoriales: Son las que, además de un valor numérico y su unidad, necesitan de una dirección o una recta de acción y un sentido, para estar completamente determinadas.La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus efectos al actuar sobre un cuerpo dependerán no solo de su cantidad, sino también de la línea a lo largo de la cual se ejerza su acción.

Cantidades Escalares:

Son aquellas cuya cantidad esta determinada mediante un numero seguido de la unidad correspondiente.

Por ejemplo: la longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía, entre otras.


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1. Punto de aplicación u origen.2. Magnitud. intensidad o modulo del vector: indica su valor y se representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional.3. Dirección: Señala la línea sobre la cual actúa, puede ser horizontal, vertical u oblicua.4. Sentido: Indica hacia donde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda, y queda señalado por la punta de la flecha. El sentido del vector se identifica en forma convencional con signos (+) o (-) según a donde vaya:

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Cantidades vectoriales y escalares10 m al E

20 m/s al S

1

2

4

1

4

2

3

3

1

4

3

2

200 pasos NE

1. Punto de aplicación u origen.2. Magnitud. intensidad o modulo del vector.3. Dirección.4. Sentido.

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Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector.

La magnitud de la fuerza se mide con un dinamómetro su unidad de medida en el SI es el Newton (N), en cgs es la dina y en el sistema ingles es la libra (lb).Para representar un vector es necesario fijar una escala que es la relación que existe entre la magnitud real y la dibujada.Para saber cuántos centímetros va a medir el vector se aplica una regla de tres simple, Por ejemplo: 1 cm- - - - - -100 N

x cm - - - - -350 N X=( 1 cm) X= 3,5 cmPor lo tanto, con esta escala, para representar el vector de 350 N, se dibujará una flecha de 3,5 cm de longitud. En general es recomendable usar escalas de 1:1; 1:10; 1:100; 1:1000, siempre que sea posible.


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e la Cruz ChávezLa dirección de un vector puede darse al norte, este, oeste, sur, norte

del este, norte del oeste, sur del este, sur del oeste.


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e la Cruz ChávezTambién se puede dar la dirección de un vector respecto a los ejes

coordenadas x , y


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e la Cruz ChávezLa dirección se da mediante ángulos medidos en sentido contrario a las

manecillas del reloj a partir del eje de la x positivo considerado .

Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección (consiste en un numero, una unidad y una dirección por ejemplo:desplazamiento 20 pasos Norte; velocidad 40 km/h S de O).


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e la Cruz ChávezClasificación de los vectores

Colineales: Son los vectores que están sobre una línea de acción común.

Coplanares: Si las líneas de acción se encuentran en el mismo plano, o en dos ejes.

No Coplanares: Si las líneas de acción se encuentran en distintos planos, o sea tres ejes.

Concurrentes o angulares: Son los vectores que actúan sobre líneas de acción que concurren en un punto.

Paralelos: Son los vectores que actúan sobre líneas de acción paralela.

Vectores ni concurrentes ni paralelos: Son aquellos que no son colineales, ni paralelos, ni concurrentes entre si; también lo son aquellos vectores integrados simultáneamente por vectores colineales y concurrentes, o paralelos y concurrentes

VECTORES


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e la Cruz ChávezA B C

A

B

C

A

B

X

yz

C

D


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e la Cruz ChávezSuma y Resta de Vectores

Para sumar vectores podemos utilizar los métodos Gráficos y Analíticos y como consecuencia de ello encontramos un vector resultante.

Vector Resultante: Es el vector único que se puede sustituir a todo un sistema dado.

Vector Equilibrante: Es un vector único capaz de poner en equilibrio a todo un sistema.

Tiene la misma magnitud y dirección que el vector resultante pero sentido contrario.


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e la Cruz ChávezSuma y Resta de Vectores

Para resolver problemas de suma de vectores, por el método gráfico utilizamos :

El método del Triángulo El método del Paralelogramo El método del Polígono


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Se utiliza para sumar como máximo dos vectores.Método del Triángulo

Lea el problema cuidadosamente al menos una dos veces. Asegúrese de entender la naturaleza del problema antes de continuar.a).-Primero se selecciona una escala (diapositiva No. 5) y determine la longitud que corresponda a cada vector.b).-Seleccione un sistema de coordenadas(diapositiva 6,7 y 8) y dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y dirección del primer vector seleccionado, trasladándolo al origen del sistema seleccionado.c).-Se coloca el segundo vector con el origen en la dirección del primer vector y posteriormente trazar un vector desde el origen del primer vector hasta el sentido del segundo vector. e).-Este último vector representa la suma o resultante. Mida con una regla y transportador para determinar la magnitud y dirección del vector resultante.

Ejemplo de solución de un Problema

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e la Cruz ChávezUn pirata decide esconder su tesoro y para ello toma como punto de referencia la piedra

mostrada en la siguiente figura. Primeramente camina 3 km al Norte y después 4 km al Este. Calcular: a).-¿La distancia total que recorre?

b).-¿Su desplazamiento?

N Datos Formula Desarrollo = 3 km ´´N´´ = + = 3 km + 4 km = 7 km = 4 km ´´E´´ = ¿? El desplazamiento es una una magnitud =¿? Vectorial solo hay que medir y ∡ con transportador : 5 km ∡ = E

Método del Triángulo


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e la Cruz ChávezMétodo del Paralelogramo

Este método se utiliza cuando se quiere encontrar la resultante de dos vectores que forman un ángulo.Lea el problema cuidadosamente al menos una dos veces. Asegúrese de entender la naturaleza del problema antes de continuar.a).-Primero se selecciona una escala (diapositiva No. 5) y determine la longitud que corresponda a cada vector.b).-Seleccione un sistema de coordenadas(diapositiva 6,7 y 8) y dibuje a escala los dos vectores con sus orígenes coincidiendo en el origen del sistema de coordenadas seleccionado. Los dos vectores forman así los lados adyacentes de un paralelogramo.c).- Los otros lados del paralelogramo se construyen dibujando líneas paralelas a los vectores y de igual magnitud que estos.d).-.La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a partir del origen común de las dos flechas que representan los vectores.e).-Mida con una regla y transportador para determinar la magnitud y dirección del vector resultante.


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Mediante una cuerda un niño jala un carro con una fuerza de 80 N, la cual forma un ángulo de con el eje horizontal, como se muestra en la figura.Calcular:a) El valor de la fuerza que jala al carro horizontalmente.b) El valor de la fuerza que tiende a levantar al carro.

Gráficamente Tenemos componente horizontal componente vertical

F=80 N

ϕ= Método gráfico

𝐹 𝑥

𝐹 𝑦F


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Método analítico: Formula Desarrollo Cos = ∴ = F cos = (80 N)(0,7660)= 61,28 N

fuerza que jala al carro horizontalmente

Sen = ∴ = F = (80 N) (0,6428)= 51,42 N fuerza que tiende a levantar al carro


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e la Cruz ChávezMétodo del Polígono

Este método gráfico se utiliza cuando se quiere encontrar la resultante de tres o más vectores.Lea el problema cuidadosamente al menos una dos veces. Asegúrese de entender la naturaleza del problema antes de continuar.a).-Primero se selecciona una escala (diapositiva No. 5) y determine la longitud que corresponda a cada vector.b).-Seleccione un sistema de coordenadas(diapositiva 6,7 y 8) y dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y dirección del primer vector coincidiendo en el origen del sistema de coordenadas seleccionado.c).- Dibujar la flecha del segundo vector de tal forma que su origen coincida con el extremo del primer vector.d).- Continuar el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo del vector precedente hasta que hayan sido dibujados todos los vectores.e).-Dibujar el vector resultante partiendo del origen del primer vector y terminando en el sentido (extremo) del ultimo vector. f).-Mida con una regla y transportador para determinar la magnitud y dirección del vector resultante.


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Una ardilla camina en busca de comida, efectuando los siguientes desplazamientos: 15 m al Sur, 23 m al Este, 40 m en dirección Noroeste con un ángulo de medido respecto al Este, 30 m en dirección Noroeste que forma un ángulo de medido con respecto al Oeste, y finalmente 15 m en dirección Suroeste con un ángulo de medido respecto al Oeste. Calcular:a)¿ Cuál es la distancia total recorrida?Datos: Formula Desarrollo= 15 m ´´S´´ =+++ = 15 m+23 m+40 m+30 m+15m= 23 m ´É´´ = 123 m= 40 m ´ŃE´´ ∢ respecto ´É´´= 30 m ´ŃE´´ ∢ respecto ´Ó´´= 15 m ´´SO´´ ∢ respecto ´Ó´´=¿?=¿?


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N

S

O E

S

350

600

400

=38 m

400 El desplazamiento resultante lo encontramos que es igual a 38 m en una dirección NE con un ángulo de medido respecto al E.


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Los métodos gráficos son de gran ayuda ya que logramos visualizar y comprender como se suman las magnitudes vectoriales como son los desplazamientos, las velocidades o las fuerzas sin embargo tienen el inconveniente de ser métodos exactos. Si queremos conocer con precisión el vector resultante es una suma de vectores empleamos el método analítico. Este método utiliza cálculos trigonométricos y estos pueden ser: el Teorema de Pitágoras, funciones trigonométricas seno, coseno y tangente y las leyes de los senos y cosenos.

Método Analítico


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Método del Teorema de Pitágoras: Se emplea para sumar dos vectores concurrentes que forman entre si un ángulos de al sumar gráficamente dos vectores( método del paralelogramo). La magnitud del vector resultante se puede determinar mediante el Teorema de Pitágoras que relaciona los vectores (catetos) con la magnitud del vector resultante (hipotenusa) mediante la ecuación

Método Analítico

Para determinar la dirección del vector resultante se puede emplear un transportador para medir el ángulo con respecto a uno de los vectores sumados y en forma matemática mediante la función tangente.Método de la ley de coseno y la ley de senos: Se emplea para determinar la magnitud y dirección del vector resultante de dos vectores concurrentes cuando el ángulo entre ellos es diferente de aunque se pueden emplear estas leyes entre los dos vectores es de .Descomposición rectangular: Un sistema puede sustituirse por otro equivalente, que contenga un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado .


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Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama composición.Cualquier vector puede descomponerse en sus componentes x e y llamadas componentes rectangulares.Para determinar los componentes rectangulares matemáticamente se utilizan las funciones coseno y seno.Recuerda que el signo para las funciones trigonométricas seno y coseno enlos diferentes cuadrantes


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e la Cruz ChávezSuma de mas de dos vectores por el método analítico:

Cuando se tienen tres o mas vectores de fuerzas, para sumarlos se tiene el siguiente procedimiento:1.- Se representan los vectores mediante un eje de coordenadas, tomando en cuenta sus ángulos.

2.- Se obtienen las componentes x de cada fuerza y se suman:

3.-Se obtienen las componentes y de cada fuerza y se suman:


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4.- Se obtiene la fuerza resultante por medio del Teorema de Pitágoras.

5.- Se obtiene la dirección resultante mediante el ángulo por la función trigonométrica tangente. ∑ /∑ .𝑭𝒙 𝑭𝒚


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e la Cruz ChávezBibliografía:

1. Acosta, S. Raymundo (2002) Matemáticas II, Ed. fondo de cultura económica ediciones, México.

2. Aguilar, M. Arturo, Bravo, V. Fabián Valapai, Cerón, V. Miguel, Gallegos, R. Herman A., Reyes, F. Ricardo (2010) Geometría, Trigonometría y geometría analítica, Ed. Pearson Educación, México.

3. Guzmán H. Abelardo (2002) Geometría y Trigonometría, Ed. Publicaciones Culturales.4. Rich, B. (1991) Geometría, Ed. Mc Graw Hill.5. Tippesn, Paul E. (2001) Física conceptos y aplicaciones, Ed. Mc Graw Hill6. A. Serway Raymond, S. Faughn Jerry (2008) Física para bachillerato general, Ed. Cengage

Learning.7. Pérez, M. Héctor (2009) Física general, Ed. Grupo Editorial Patria.8. Cisneros, Montes de Oca, E. (1993) Problemas de física I, Ed. Impresora y editora baldés

y estrada.9. Quezada, M. Carlos A. (2007) Física I, Ed. Global Educational Solutions.10. Cisneros, M. Moisés, Martínez, M. Eduardo J., Suarez, M. Alicia (2007) Física I

Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje, Ed. Emsad

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