CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

Campos escalares y vectoriales que dependen de una sola variable. Diferenciación total y parcial de un vector. Geometría diferencial

EL MAYOR PROBLEMA DEL DISEÑO DEL INVERNADERO PARRAL MULTICAPILLA …

http://www.magrama.gob.es/ministerio/pags/Biblioteca/Revistas/pdf_SH%2FSH_2007_15_1079_1086.pdf

Falta de una adecuada ventilación natural…Elevada Temperatura(estrés hídrico,

Cuajado de frutos,

fisiopatías)

Elevada humedad(Condensación,Goteo, poca luz)

Poco CO 2

(Disminución del

crecimiento de las

plantas)

¿Cuál es la magnitud cuyo conocimiento es crítico para resolver el problema?

¿Cómo influye en el diseño óptimo del invernadero?

EL MAYOR PROBLEMA DEL DISEÑO DEL INVERNADERO PARRAL MULTICAPILLA …

CONOCIMIENTOS ELEMENTALES DE VECTORES

SISTEMAS DE COORDENADAS

• Coordenadas cartesianas

ij

k

A11111111111111

xA

yA

zA

x y zA A i A j A k

2 2 2x y zA A A A

r x i y j zk

CAMPOS ESCALARES

• Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede asociar una función Φ(x,y,z), entonces se ha definido una función escalar Φ en R.

• Ejemplo. Temperaturas al interior y exterior de la Tierra:

3 2(x,y,z) x y z

Distribución de temperaturas en una incubadora

CAMPOS VECTORIALES

• Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede asociar un vector V(x,y,z), hemos definido un campo vectorial.

• Como V depende del punto, también se llama “función vectorial de posición”.

Distribuciones de velocidades en una tubería.

• Las velocidades en cada punto (x,y,z) de un fluido determinan un campo vectorial.

PRODUCTO ESCALAR

• Dados dos vectores,

• el producto escalar se define como

• Propiedades

B

A y B

A B A B cos

A

A B B A

A (B C) A B A C

i j 0

i i 1

k i 0

j k 0

j j 1

k k 1

PRODUCTO VECTORIAL

A y B

C A B A B sen

• Propiedades• Dados dos vectores,

• el producto vectorial se define como

A

B

C

A B B A

A (B C) A B A C

i j k

i i 0

i k j

j k i

j j 0

k k 0

PRODUCTO VECTORIAL

• Otra expresión del producto vectorial

• ¿A qué es igual el producto vectorial de los vectores A y B?

x y z

x y z

i j kA B A A A

B B B

A 3 i 2 j 4 k

B 2 i 2 j k

DIFERENCIACIÓN VECTORIAL

•Derivada de un vector.

Sea R(u) una función de la variable escalar u.

•Curvas en el espacio.

Si R(u) es un vector posición r(u) que une el origen de coordenadas con un punto (x,y,z) cualquiera del espacio, la derivada de dicho vector corresponderá a la función tangente a la curva que describa el vector posición en su dominio.

u 0

dR(u) R(u u) R(u)lim

du u

r (u) x(u) i y(u) j z(u)k

d r (u) dx(u) dy(u) dz(u)i j k

du du du du

DERIVADAS PARCIALES

y 0

A A(x,y y,z) A(x,y,z)lim

y y

z 0

A A(x,y,z z) A(x,y,z)lim

z z

x 0

A A(x x,y,z) A(x,y,z)lim

x x

DIFERENCIAL DE UN VECTOR

• Es la variación infinitesimal de las componentes del vector.

x y zdA dA i dA j dA k

d(A B) dA B A dB

x y zA A i A j A k

d(A B) dA B A dB

A A AdA(x,y,z) dx dy dz

x y z

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

• Estudia las curvas y superficies en el espacio.

• Si se tiene una curva definida por

• Su derivada es tangente a la curva

• La medida de la curvatura está dada por la derivada de la tangente respecto a la trayectoria.

• Donde κ es la curvatura y su recíproca se llama radio de curvatura.

r (u),

d r (u)T

du

dTN

ds

1

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

• El vector unitario perpendicular a los vectores T y N se llama binormal.

• Fórmulas de frenet-Serret

• τ – se llama torsión; y su recíproca (σ), radio de torsión.

B T N

dTN

ds

dBN

ds

dNB T

ds

CONCLUSIONES

1. El estudio de los campos escalares y vectoriales son fundamentales para el diseño y la toma de decisiones constructivas.

2. El álgebra vectorial puede extenderse al estudio de los campos escalares y vectoriales con ayuda de los conocimientos de cálculo.

3. Finalmente, hemos aplicado las operaciones de diferenciación de vectores, derivadas de vectores y elementos de geometría diferencial en la resolución de problemas geométricos y físicos sencillos.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. J. Marsden, A. Tromba. Cálculo Vectorial. Ed. Pearson. 5° edición. Pág. 1-22; 121-134.